a b

c d

e

AB

TEORIA DE CONJUNTOS

Concepto.- Es la agrupación de objetos bien definidos

A B

C

RELACIÓN DE PERTENENCIA

V

∈ V ∉ V

Amor

Respeto

Responsabilidad

Honestidad

Honestidad Odio

Odio

Cuando un objeto forma parte de un conjunto llamamos a este objeto “elemento” del conjunto y empleamos el símbolo ∈

A B

C

CLASES DE CONJUNTOS

a e

i o u

A

B

C

D

0 1

2 3 4

5 …E

F

Números pares

Puntos de la recta

FINITOS INFINITOS

Adelante

Conjunto Finito.- Es aquel cuyos elementos podemos contar de principio a fin

Atrás

A B

C

Conjunto Infinito.- Es aquel que no es finito

Atrás

A B

C

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

{ }A a,e,i,o, u= { }A x / x es vocal=

A B

C

{ }B 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9= { }B x / x es número digito=

{ }C 0,2,4,6,8,10,...= { }C x N / x es número par= ∈

{ }E 0,3,6,9,12,15,...= { }E x N / x es multiplo de 3= ∈

TABULACIÓN COMPRENSIÓN

{ }D a,b,c,d,e, f ,..., z= { }D x / x es letra del alfabeto=

A B

CRELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a b c d ef g

A

1 23

4 0 6

C

a g c f e

d b

D

B1 2 3 4 0 6 9 7

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

INCLUSIÓN

IGUALDAD

⊆

=

A B

C

Definición.- Decimos que el conjunto B está incluido en el conjunto A y lo notamos con

cuando todos los elementos que pertenecen al conjunto B también pertenecen al conjunto A

INCLUSIÓN

A

0 9

6

1 3 5

1 3 5

B

B A⊆

INCLUSIÓN

Se lee “B está incluido en “A”

“B está contenido en A”

“B es subconjunto de A”

“A incluye al conjunto B”

“A contiene al conjunto B”

“A es superconjunto de B”

B A⊆

INCLUSIÓN

A

0 9

6

1 3 5

1 3 1

5 8

B

¿Cuando decimos que B no

está incluido en A?

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

A

a b

c

d e f

A

a b

c

d e f

Reflexiva.- Todo conjunto está incluido en si mismo

0 4

6

C

⊆Transitiva.- Si A B y B C entonces A C⊆ ⊆

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

{ }A 1,2,5=

{ }B 1,2,7,8,9,5=

{ }C 1,0,4,2,7,8,6,9,5=

1 8

9

B

1 2 5

A

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN

Antisimétrica.-

A

a b

c

d e f

B

a b

c

d e f

B A⊆

A B⊆

A B=

SI A B Y B A entonces A B⊆ ⊆ =

A B

C

IGUALDAD

Definición.- Decimos que el conjunto A es igual al conjunto B y lo notamos con A=B cuando tienen los mismos elementos

a b c d ef g

A

a b c d ef g

B=

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Reflexiva.- Todo conjunto es igual en si mismo

A

1 2

3

A

1 2

3

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Simétrica.- Si A = B entonces B= A

A

a b

c

d e f

B

a b

c

d e f

A B=

B A=

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

Transitiva.- Si A = B y B = C entonces A = C

{ }A 1,2,5=

{ }B 1,2,5=

{ }C 1,2,5=

1 2 5

A

1 2 5

B

1 2 5

C

===

A B

C

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNION

INTERSECCIÓN

DIFERENCIA

DIFERENCIA SIMÉTRICA

COMPLEMENTO

UNION

A B

C

4 0

9• 42 1 0

6 9

A

8 5

B

DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A

unión B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen a los conjuntos A y B

A B∪

{ }A B x / x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

A B∪

PROPIEDADES DE LA UNION

A B

C

Clausurativa.- Si A y B son conjuntos entonces es también conjunto

A B∪

PROPIEDADES DE LA UNION

Conmutativa.- Si A y B son conjuntos entonces

A B B A∪ = ∪

A BB A

A B∪

B A∪

PROPIEDADES DE LA UNION

A B

C

Asociativa.- Si A, B y C son conjuntos entonces

( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪A

B

C

PROPIEDADES DE LA UNION

A B

C

Modulativa.- Si A es un conjunto entonces

A A A∪ ∅ = ∅ ∪ =

1 5

3 44 0

A

INTERSECCION

A B

C

• 42 1 0

6 9

A

8 5

B

DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A

intersección B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y al conjunto B

A B∩

{ }A B x / x A x B∩ = ∈ ∧ ∈

A B∩

4 0

9

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION

A B

C

Clausurativa.- Si A y B son conjuntos entonces es también conjunto

A B∩

A

A

B

B

Conmutativa.- Si A y B son conjuntos entonces

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION

A B B A∩ = ∩

A B∩

B A∩

PROPIEDADES DE LA INTERSECCION

A B

C

A BC

Asociativa.- Si A, B y C son conjuntos entonces

( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

( )A B C∩ ∩

( )A B C∩ ∩

DIFERENCIA

• 42 1 0

6 9

A

8 5

B

DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A menos

B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B

{ }A B x / x A x B− = ∈ ∧ ∉

A B−

4 0

9

A B−

DIFERENCIA SIMÉTRICA

• 42 1 0

6 9

A

8 5

B

DEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, decimos A

diferencia simétrica B y lo notamos por al conjunto cuyos elementos son los no comunes a los conjuntos A y B

( ) ( )A B A B B A∆ = − ∪ −

A B∆

4 0

9

A B∆

COMPLEMENTO RELATIVO

1 8

9

B

1 8

9

1 2 5

A

BCADEFINICION.- Sean A y B dos conjuntos tales que, decimos complemento de A respecto a B y lo notamos con , al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto B y no pertenecen al conjunto A

A B⊆

BCA

{ }BCA x / x B A= ∈ ∧ ∉

0 1 3

• 7

8 9

1 56

U

A

CA

COMPLEMENTO

DEFINICION.- Sea A un conjunto, decimos complemento de A y lo notamos con , al conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto U y no pertenecen al conjunto A

{ }BCA x / x U A= ∈ ∧ ∉

CA

OPERACIONES COMBINADAS

{ }A = { }B =

{ }C =

C

A

1 , 5 3 84, ,,

0 4, ,5, ,7 8

2 , 5 3 64, ,

B

OPERACIONES COMBINADAS

( ) { }A B C∪ − =

{ }1,5, 8A 3,4,= { }2,5, 6B 3,4,= { }0,5, 8C 7,4,=

C

1

5

4

A

3 2 6

B

1

5

4

A

3 2 6

BA

8

7 0

1

5

4

3 2 6

B

1 , 2 3 6, ,