LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSLa probabilidad de un suceso es

el nº al que se aproxima su frecuencia relativa cuando

aumenta el nº de repeticiones del experimento.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

1. 0≤P(A)≤12. P( E )=13. P( ∅ )=0

4. Si E={A1,A2,...,An}, P(E)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

EXP.ALEAT.: Tirar un dadoE={1,2,3,4,5,6}P(E)=P(“1”)+ P(“2”)+ P(“3”)+ P(“4”)+ P(“5”)+ P(“6”)5. P A! =1−P(A)A={2,5}, P A! =1−P(A)=1-P(“1”,”3”,”5”,”6”)

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NOCIONES BÁSICAS DE PROBABILIDADEXPERIMENTO ALEATORIO

Los resultados del experimento son impredecibles. TIRAR UN DADO, SACAR CARTA DE UNA BARAJA,…(Experimento determinista: si los resultados son predecibles. TIRAR PIEDRAS HACIA ARRIBA, TODAS CAEN)

ESPACIO MUESTRAL: EEs el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. EXP. ALEAT.: tirar dado regularE={1,2,3,4,5,6}

SUCESOEs todo subconjunto del espacio muestral. Se representan con letras mayúsculas.A={3,4}B={Salir número par} C={salir un nº mayor que 2}

TIPOS DE SUCESOSSuceso elemental: formado por un solo resultado del experimento: A={2}Suceso seguro: E, espacio muestral, porque siempre ocurre.Suceso imposible: ∅ (conjunto vacío), aquel que nunca ocurre.Suceso compuesto: está formado por varios resultados del experimento: B={2,4,6}Suceso contrario: B!=E−B , B!={1,3,5}

E B B!

REGLA DE LAPLACESi los resultados del experimento aleatorio tienen la misma probabilidad (equiprobables), la probabilidad de un suceso cualquiera A se calculan:

P A =nº resultados favorables

nº casos posiblesEXP.ALEAT.: Tirar un dadoE={1,2,3,4,5,6}

P “1” =16 . P salir par =

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EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTOEs el que está formado por varios experimentos aleatorios simples que se realizan de forma consecutiva.Para estos segundos casos, realizaremos un diagrama de árbol.En un experimento compuesto, los sucesos elementales están formados por todas las posibles combinaciones de los respectivos sucesos simples elementales.EXP.ALEAT.: Sacar dos bolas de una urna sin reemplazamiento.En la urna hay 3 bolas rojas y 2 verdes.Espacio muestral = E = {(R1,R2),(R1,V2),(V1,V2),(V1,R2)}

Para expresar todas las distintas posibilidades en un experimentoaleatorio compuesto es el diagrama de árbol.

En cada rama escribiremos la probabilidad de que se realice el experimento. (TODAS LAS RAMAS QUE SALEN DE UN MISMO PUNTO, SUMAN 1).También podemos aplicar las siguientes reglas:•Regla del producto: la probabilidad de cada suceso elemental es el producto de las probabilidades de cada rama del árbol que nos lleva hasta ese suceso.(MISMAS RAMAS, SE MULTIPLICAN)

•Regla de la suma: la probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales que lo forman.(DISTINTAS RAMAS, SE SUMAN)

1ª EXTRACCIÓN

2ª EXTRACCIÓN ESPACIO MUESTRALR1, R2

R1, V2

V1, R2

V1, V2

35

25

24

24

34

14

QUEDAN EN LA URNA: 2R,2V

QUEDAN EN LA URNA: 3R,1V

P(R1 ,R2)=35 ·

24 = 3

10 P(R1 ,V2)=35 ·

24=

310 P(V1 ,R2)=

25 ·

34=

310 P(V1 ,V2)=

25 ·

14=

110

P( una sea roja y otra verde)==P((R1, V2), (V1,R2)) = =P(R1, V2)+P(V1,R2) =35 ·

24+

25 ·34 =

1220 =

35

P(2ª bola sea roja)=P((R1, R2), (V1,R2)) == P(R1, R2)+P(V1,R2) =

35 ·

24 +

25 ·

34 =

620 +

620 =

1220 =

35

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EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTOEXP.ALEAT.: Sacar dos bolas de una urna con reemplazamiento.En la urna hay 3 bolas rojas y 2 verdes.

1ª EXTRACCIÓN

2ª EXTRACCIÓN ESPACIO MUESTRALR1, R2

R1, V2

V1, R2

V1, V2

35

25

35

25

35

25

QUEDAN EN LA URNA: 3R,2V

QUEDAN EN LA URNA: 3R,2V

P(R1 ,R2)=35 ·

35 = 9

25

P(R1 ,V2)=35 ·

25 = 6

25

P(V1 ,R2)=25 ·

35 = 6

25

P(V1 ,V2)=25 ·

25 = 4

25P(1ª bola sea roja)=35P(2ª bola sea roja)=P((R1, R2), (V1,R2)) = P(R1, R2)+P(V1,R2) = = 3

5 ·35 + 2

5 ·35 = 9

25 + 625 =

1525 = 3

5P( una sea roja y otra verde)= P((R1, V2), (V1,R2)) = P(R1, V2)+P(V1,R2) = =35 ·

25 + 2

5 ·35 = 6

25 + 625 = 12

25

P(E)=1

EXP. ALEAT.: Lanzamos una moneda dos veces.E={(C,C),(C,X),(X,C),(X,X)}P((C,C))=1

2 ·12 = 1

4, P(al menos una cruz)=P((C,X),(X,C),(X,X))= 12 ·12+ 12 ·

12+ 12 ·

12 = 3

4P(la segunda moneda sea cara)=P((C,C),(X,C))= 12 ·

12+ 12 ·

12 = 2

4 = 12

EXP. ALEAT.: Extraer dos cartas de una baraja española. ¿P(obtener dos oros)?¿P(solo una carta de oros)?

SIN REEMPLAZAMIENTO

0

0-

0

0-

0

0-

1040

3040

939

30391039

2939

P(O1,O2)=1040 ·

939 = 9

156P (O1,O!2 ,(O1,O2))= 10

40 ·3039 + 30

40 ·1039 = 5

13

CON REEMPLAZAMIENTO

0

0-

0

0-

0

0-

1040

3040

1040

30401040

3040

P(O1,O2)=1040 ·

1040 = 1

16P (O1,O!2 ,(O1,O2))=

1040 ·

3040 +

3040 ·

1040 =

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