no todos los números son racionales. la raíz cuadrada de 2 no es racional. pitágoras de samos...
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No todos los números son Racionales
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Pitágoras de Samos
(murió entre 490-500 a.C.) pensaba que
todos los números eran
racionales.
Hipaso de Metaponto, un estudiante de
Pitágoras, demostró, en el siglo V a.C que la raíz cuadrada de
dos no es un número racional.
1
1 2
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Número Enteros, números Racionales y números Reales.
Notación:Notación:
Enteros
Números Naturales
Números Racionales p y q no tienen factor común.
0,1,2,3,... ,.. N n
0, 1, 2, 3,... ,.. Z n
Z
, , , 0, ( , ) 1 p
Q p q q mcd p qq
¢ ¢
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Número Enteros, números Racionales y números Reales.
Teorema:Teorema:
No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Números Enteros, números Racionales y números Reales.
Notación:Notación:
Ampliando el conjunto de números racionales con los números irracionales, la ecuación r2 = 2 tiene soluciones. Desde un punto de
vista práctico, los números irracionales están tienen infinitas cifras decimales no
periódicas.
Números Reales: R = { r | r racional o irracional }.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Suponemos lo contrario (reducción al absurdo).
Esto significa que p2 = 2q2. Demostraremos el teorema probando que ésto es absurdo.
Entonces existen dos números enteros p y q tales que p2/q2 = 2 siendo p y q primos
entre sí (sin ningún factor común)
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración Demostración
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Si p2 = 2q2, el área B del cuadrado grande marrón es dos veces el área G del cuadrado verde.
p
q
GB
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Observa que como p y q son primos entre sí, son los
números más pequeños que cumplen p2 = 2q2.
p
q
GB
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Por lo tanto B y G , en el dibujo, son los cuadrados
más pequeños de longitud de lado un número entero tales
que el área de B es dos veces el área de G.
p
q
GB
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Si se sitúa una copia del cuadrado verde en la esquina superior derecha del cuadrado más grande.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)
p
qp-q
A
AIp
q
GB
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
La intersección I de los dos cuadrados verdes es el cuadrado I
con el área I.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)
p
qp-q
A
AIp
q
GB
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
La construcción implica que I = 2A.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración (continuación)Demostración (continuación)Como la longitud del lado de A es p − q la del
lado del cuadrado I será p- 2(p-q) =2q − p.
p
qp-q
A
AIp
q
GB
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
I = 2A es ahora imposible, mientras G y B sean los los
cuadrados más pequeños con B = 2G.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.Demostració
n (continuació
n)
Demostración
(continuación)
p
qp-q
A
AIp
q
GB
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Demostración de Hipaso
Demostración de Hipaso
Supongamos lo contrario. Entonces existen dos números enteros p y q, que no tienen
factor común tales que
2
p
q.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Como p es par, es de la forma p = 2n para un entero n.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Por lo tanto p2 = 2q2.
Entonces p2 debe ser par. Pero esto es sólo posible si p es par (porque no es un
número entero). 2
Demostración de Hipaso
Demostración de Hipaso
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Es decir: 4n2 = 2q2.
La ecuación p2 = 2q2 entonces implica que(2n)2 = 2q2.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Por tanto se tiene: 2n2 = q2.
Demostración de HipasoDemostración de Hipaso
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es Racional
Por lo tanto tanto p como q deberían ser pares
La ecuación 2n2 = q2 implica que q es par.
TeoremaTeorema No existe ningún número racional r tal que: r2 = 2.
Pero ésto es imposible, porque suponemos que p y q son primos entre sí.
Demostración de Hipaso
Demostración de Hipaso
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Otros Número IrracionalesLos siguientes números son famosos
números irracionales:
e,,e .
El número es irracional o un entero. n1
m
er es irracional para los números racionales r tales que r
≠ 0.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:Félix Alonso
Gerardo RodríguezAgustín de la Villa