NÚMEROS FIGURADOSKarl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando suprofesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase quesumaran todos los números del 1 al 100.

El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta pocodespués de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:

S=101x50=5050

Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por losPitagóricos en el s. VI a.C.

NÚMEROS TRIANGULARES:

Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura sagrada por la quetenían la costumbre de jurar.

Tabla de los números triangulares:

Nº 1 2 3 4 ........... n . .

T 1 3 6 10 ¿Tn? . .

Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos propiedadessiguientes:

Tn = Tn­1 + n

Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n

Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresión delenésimo número triangular. Halla también la expresión de los dos que le siguen.

NÚMEROS CUADRADOS:

Tabla de los números cuadrados:

Nº 1 2 3 4 ........... n . .

C 1 4 9 16 ........... n2 . .

Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al enésimo. Haz lo mismo con losdos anteriores.

El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los númerostriangulares y los cuadrados:

Comprueba la igualdad de forma algebraica

Existen más tipos de números figurados:

OBLONGOS (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es una unidad mayor que elotro)

PENTAGONALES

HEXAGONALES

ESTRELLADOS

CÚBICOS

TETRAÉDRICOS

TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓN

MÉTODOS GEOMÉTRICOS

El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma de tres númerostriangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3 · Pn­1 + n , de donde

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados.

Realiza la misma actividad con los números hexagonales:

Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales de manera quecada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia. Veamos algunos ejemplos:

­8, ­3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = ­8 y d = 5.

70, 40, 10, ­20, ­50,...es una PA con a1 = 70 y d = ­30.

3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.

De esta manera se tiene que :

En general tenemos que

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PA:

Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n. Observamos que elenésimo número triangular se construye sumando los n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3,4, ......, n, de primer término 1, enésimo término n y diferencia 1. Si aplicamos la fórmula anterior setiene que

Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal:

P 1= 1

P2 = 1+4

P3 = 1+4+7

P4 = 1+4+7+10

P5 = 1+4+7+10+13

Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos que Pn secorresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas quehemos visto:

Halla, mediante una técnica similar, el término general de los números hexagonales yestrellados.

DIFERENCIAS FINITAS

Comencemos estudiando las diferencias entre lostérminos consecutivos de una PA cualquiera, porejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:

Y la de los números cúbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los números hexagonales lo son lasdiferencias segundas y, en el caso de los números cúbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia.Lo anterior, como se verá, no se debe a la casualidad.

En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras diferencias fijas podemos concluirque la secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y primer término a1 :

Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término general 2 n + 5, 3 n ­ 1 y ­6 n + 9.¿Cómo son las secuencias de término general an = a n + b?

Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por un polinomio de segundogrado en n, an = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes:

Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término general será del tipo

an = a n2 + b n + c. Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferenciasegunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor deD1. Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término de la secuencia.

Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de término general

n2 + 3n + 2 y ­n2 + 7

Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los números tetraédricos.Estudia las diferencias de una sucesión de término general an = a n 3 + b n 2 + c n + dHalla el término general de las secuencias:

2, 9, 20, 35, 54, 77,....

4, 5, 8, 13, 20, 29,....

Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un polígono: triangulares,cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la fórmula ,

cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números triangulares; si lacambiamos por 2 obtenemos la de los números cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtienela de los pentagonales, ...

Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:

Cn=Tn + Tn­1

Pn=Cn + Tn­1

Hn=Pn + Tn­1

etc.

No siempre nos valen las diferencias:

Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la técnicade las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiardos tipos de secuencias que también son muy frecuentes en la literatura matemática: las progresionesgeométricas y las sucesiones recurrentes.

Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el procesode construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1).¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la líneanegra?

¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos?

Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales de manera quecada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.

De esta manera se tiene que :

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PG:

Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si ­1 < r < 1, se tiene que ,

es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.

En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG sería . Calcula la

longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo seráel perímetro del copo en ese mismo caso?

SUCESIONES RECURRENTES

De manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas en las que untérmino se expresa en función de términos anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la idea:

Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los vértices numerados parallegar hasta 0 (no vale retroceder):

En el esquema se muestra que C n = C n­1 + C n­2 (cada término es la suma de los dos anteriores)

Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con lo que no sehacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su término general.

Las Torres de Hanoi:

Hay que traspasar los discos a otro poste, de formaque queden en la misma posición. Los discos sólopueden situarse descansando en alguno de los trespostes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobreotro menor.

Hallar la secuencia

Nº. De discos 1 2 ................................. n

Nº. mínimo de movimientos 1 3 .................................

Metodología.

Comenzar por pocos discos.

Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n ­1, siendo

A n = A n­1 + 1 + A n­1 = 1 + 2 · A n­1 .

Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n ­ 1.

Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n­1 se deduce que las diferencia primera será:

D = A n+1 ­ A n = 1 + 2 A n ­ A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre conlas demás diferencias y comprobarás que ocurre lo mismo.

Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemoshallado una expresión para su término general: An = 2n ­ 1.

APÉNDICES

TRAYECTO DESDE LAS SUCESIONES RECURRENTES A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS MEDIANTE UNAACTIVIDAD RECREATIVA DEBIDA A LEWIS CARROLL: El cuadrado evanescente

Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. (CHASLES, en otrosentido, claro)

En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y 13. Si probamosa plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos quetambién funciona con los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a lostérminos de la sucesión de Fibonacci, vista anteriormente, en los que cadauno es la suma de los dos anteriores.

Precisamente, si construimos la paradoja con los números 2, 3 y 5 veremosmejor la trampa que encierra (la diagonal del rectángulo no es una línea,sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una unidad).

Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a · c+1, o b2 = a · c ­1

Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada término seobtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b= c y b2 = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas delrectángulo tenga el área igual al cuadrado?.

Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación b2 ­ ab ­ a2 = 0.Cuya solución

positiva es

¡Aparece el número áureo!

La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos adyacentes es

la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de razón 1,N,N 2,N 3,N 4,...

TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES RECURRENTES:

Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de unasucesión recurrente.

Ecuación característica de una sucesión recurrente

Si una relación de recurrencia es del tipo:

siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión:

Está claro que la sucesión verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuacióncaracterística. En general, si la ecuación tiene raíces no nulas y distintas, entoncescualquier sucesión del tipo:

, donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de recurrencia. Si se dan kcondiciones iniciales , entonces se puede obtener una solución particular, pues estascondiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas ci:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es elproducto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos unasolución particular para An

Veamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:

Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos , la

ecuación característica asociada es .

Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 =

2. Tenemos así el sistema

cuyas soluciones son: . Así pues, el término general de la sucesión viene dado

por la regla: , que se llama fórmula de Binet (1786­1856) porque que la obtuvo.

Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli. Dado que , tenemos

que

Por lo tanto para n suficientemente grande.

Encuentra el término general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada término se obtienemultiplicando por cuatro el término anterior y restándole el triple del que está detrás de éste.

ALGUNAS ACTIVIDADES RECREATIVAS RELACIONADAS CON EL TEMA:

D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño favoritoconsiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes.

He aquí algunos patios construidos por él:

Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la siguientetabla, en la que B indica el número de baldosas blancas empleadas.

L 3 4 5 6 ................. n

B 8 12 16 20 ................. ?

Un señor le pregunta a Juan la fórmula para un patio con n baldosas de lado. ¿Sabríasayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que se necesitarían?

El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en losbordes. Su especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la mitad delotro pero tiene el problema de que se lía contando. ¿Sabrías ayudarle a calcular lasbaldosas blancas y rojas, en función del número de baldosas del ancho del patio?

El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas sereparten cien medidas de trigo; la segunda recibe más que la primera tanto como la terceramás que la segunda, la cuarta más que la tercera y la quinta más que la cuarta. Además, las dosprimeras recibieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitrosemanal para cada una. Esto se hacía en el caso de que el número de gallinas permanecierainvariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves, la comidapreparada duró el doble de lo proyectado. ¿Qué cantidad de comida prepararon como reservay para cuánto tiempo fue calculada?Los soldados de una guarnición costera van a construir un fuerte en una isla. Si hubiesetrabajado toda la guarnición hubiesen tardado 24 días. La isla se comunica con la costamediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta.

El trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que llegó a la isla, al díasiguiente se le unió el segundo grupo, al tercer día el tercero, etc. Sabiendo que todos losgrupos eran iguales y que el primero trabajó once veces más que el último, ¿cuántos díastrabajó cada grupo?

Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad delas manzanas de su jardín más media manzana; al segundo la mitad de las restantes másmedia, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media manzana, etc. El séptimocomprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes más media manzana, agotó lamercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardín?

Determina la expresión de An :

Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y sumas uno, obtienes un númerocuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geométrico. (NOTA: la demostraciónalgebraica requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto)Realiza las sumas:

1+3+5+.....+(2n+1)

3+4+5+.....+(n+2)

5+8+11+....+(3n+2)

Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140 toneles que dispone.¿Con cuántos toneles se formará la base? ¿Y si fuesen 345 toneles, podría realizar su deseo?Una escuadrilla aérea tiene unos cincuenta aviones aproximadamente y su formación en vueloes un triángulo equilátero.

Algunos aviones caen después de uncombate, de manera que cuando losaviones restantes regresan lo hacenformando cuatro triángulos equiláterosde igual lado.

Dinos cuántos aviones tenía la escuadrilla,sabiendo que con los aviones derribados sepodía haber formado otra formación igual entriángulo equilátero.

¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, sepueden obtener como máximo al realizar n cortes sobre una tarta?

Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendoque las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen constantes.

Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el número de cubosnecesario para realizar una de n capas.

Halla An (número máximo de regiones obtenidas por intersección de n círculos)

A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo de regiones que se puedenobtener al unir n puntos de una circunferencia, la observación de los 5 primeros términos

parece indicar que la secuencia sigue lafórmula An = 2n­1. Claramente se ve que eltérmino sexto no cumple ya esa regla.Determina la expresión general de la sucesión,sabiendo que sus primeros términos son 1, 2,4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que suscuartas diferencias son constantes.

Curiosidades con números cuadrados:

16 = 42

1156 = 342

111556 = 3342

1115556 = 33342

11115556 = 333342

1111155556 = 3333342

12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

999992 = 9999800001