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DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS ACTIVIDADES DE AULA

GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.

Actividad nº: 9 Nivel: 2º ciclo ESO. Tema: Sistemas.

Objetivos: O69-O76 Metodología: Aula, Individual.

Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____

Sistemas de ecuaciones de primer grado.

Ya hemos visto antes que una ecuación de primer grado con una incógnita era, geomé-tricamente hablando, una recta en el plano, y que la ecuación canónica de una recta en el plano era de la forma:

Puesto de otra forma, la expresión general, sería:

Despejando las variables quedaría:

De dicha expresión se puede deducir la expresión canónica, quedando:

y por comparación con lo visto anteriormente, tenemos:

Pendiente de la recta:

Ordenada en el origen:

Visto lo visto tenemos entonces que:

Conceptos:

Sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones.

Clasificación: Por el grado de los términos que lo componen:

De primer, segundo, tercer grado... etc. Por el número de variables que intervienen:

De dos, tres, cuatro variables... etc. Por el número de ecuaciones que lo componen:

De dos, tres, cuatro ecuaciones... etc.

Sistema de ecuaciones de primer grado es un conjunto de dos o más ecua-ciones en el cual el mayor grado de los términos que los componen es uno. Son los llamados Sistemas lineales.

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Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas (Sistemas lineales): Expresión general: Interpretación gráfica: son dos rectas en el plano. Posiciones relativas de dos rectas en el plano:

Pueden cortarse. Pueden ser paralelas. Pueden estar superpuestas.

Solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado:

Si las rectas se cortan lo harán en un punto, las coordenadas de dicho punto son la solución del sistema y se dice entonces que el sistema es un Sistema Compatible Determinado. (SCD)

Si las rectas están superpuestas entonces coinciden, o se cortan, en in-finitos puntos, luego habrá infinitas soluciones. Se dice que el sistema es un Sistema Compatible Indeterminado. (SCI)

Si las rectas son paralelas no se cortan en ningún punto, luego no hay soluciones, y se dice que el sistema es un Sistema Incompatible, no tiene solución. (SI)

Discusión analítica de las soluciones de un sistema: Si el sistema es SCD (Sistema Compatible Determinado, una única

solución) entonces las rectas no pueden ser paralelas, con lo que sus pendientes han de ser distintas, y por ende:

los coeficientes respectivos de x e y

no están en proporción. Si el sistema es SCI (Sistema Compatible Indeterminado, infinitas so-

luciones) entonces las rectas son superpuestas, tienen la misma pendiente, pero además debe ser igual la ordenada en el origen, así:

los

coeficientes de las variables están en proporción entre sí y con los términos independientes de las ecuaciones.

Si el sistema es SI (Sistema Incompatible, no tiene solución) entonces las rectas son paralelas, tienen la misma pendiente, y no tienen la misma ordena da en el origen , en resumen:

los coeficientes de

las variables están en proporción, pero no lo están con los términos independientes.

Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de pri-mer grado con dos incógnitas: Solución gráfica:

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Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si se cortan en un punto, las coordenadas del punto de corte es la solu-ción del sistema.

Ejemplo:

Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si son paralelas, en cuyo caso no se cortan y no hay solución.

Ejemplo:

Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si coinciden en todos sus puntos, es decir, ver si se superponen, en cuyo caso hay infinitos puntos de corte y, en consecuencia, infinitas soluciones.

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Ejemplo:

Solución numérica: Construir dos tablas de valores, una para cada ecuación, y mirar el o

los puntos en que coinciden los valores, esa o esas serán las solucio-nes, si no coincidieran en ningún punto entonces no habrá solución.

Ejemplos:CASO I: (SCI)

Sistema Compatible Indeterminado, infinitas

soluciones.

CASO II: (SCD)

Sistema Compatible Determinado, una única solución.

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x y=x-3 y=2x/2-6/2-3 -6 -6-2 -5 -5-1 -4 -40 -3 -31 -2 -22 -1 -13 0 04 1 15 2 26 3 37 4 4

Todas son soluciones.

x y=-x+12 y=x-2-3 15 -5-2 14 -4-1 13 -30 12 -21 11 -12 10 03 9 14 8 25 7 36 6 47 5 58 4 69 3 710 2 811 1 912 0 1013 -1 1114 -2 1215 -3 1316 -4 1417 -5 1518 -6 16

La solución es la sombreada.


CASO III: (SI)

Sistema Incompatible, no hay solución.

Solución analítica: Proceder con ambas ecuaciones por separado siguiendo los pasos

necesarios para resolver una ecuación de primer grado hasta llegar a obtener una expresión para cada una de la forma . Para ello

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x y=-x+7 y=-2x/2+9/2-3 10 7,5-2 9 6,5-1 8 5,50 7 4,51 6 3,52 5 2,53 4 1,54 3 0,55 2 -0,56 1 -1,57 0 -2,58 -1 -3,59 -2 -4,510 -3 -5,511 -4 -6,512 -5 -7,513 -6 -8,5

No hay solución.


aplicar los principios de equivalencia para ecuaciones de primer grado.

Principios de equivalencia : Si a los dos miembros de una ecuación se le suman o restan las mismas

cantidades la ecuación no varía, tiene las mismas soluciones. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por una

misma cantidad, distinta de cero ( ), la ecuación no varía, tiene las mismas soluciones.

Una vez tengamos el sistema en su forma general, procederemos a dis-cutir sus soluciones, de modo que, ejemplos:

NO HAY SOLUCIÓN, no seguimos

HAY INFINITAS

SOLUCIONES, tomamos dos cualesquiera de ellas, por ejemplo, si en la primera ecuación hacemos x = 0, tenemos y = −3, y haciendo y = 0 obtenemos x = 3, luego ya tenemos las soluciones .

HAY UNA ÚNICA

SOLUCIÓN, en cuyo caso procederemos ha buscarla de modo analítico empleando uno cualquiera de los siguientes métodos:

Una vez conseguida la misma podemos proceder de tres maneras diferentes:

Reducción. Sustitución. Igualación.

Método de reducción: Consiste en eliminar una de las dos variables sumando

o restando miembro a miembro ambas ecuaciones.

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SISTEMA INCOMPATIBLE:

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO:

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO:

9y2x2

7yx Relación:

SI9

7

2

1

2

1

6y2x2

3yx Relación:

SCI6

3

2

1

2

1

2yx

12yx Relación:

SCD1

1

1

1


Para que el coeficiente de una de las dos variables se anu-le mediante sumas o restas, es necesario que el coeficien-te de dicha variable, en ambas ecuaciones, sea el mismo.

¿Cómo conseguir igualar el coeficiente de una variable en ambas ecuaciones a la vez?. Buscando el m.c.m. de sus coeficientes, dividiendo éste por el coeficiente de la variable en la ecuación, y multiplicando ambos miembros de la ecuación por el cociente de la división. Lo mismo en la otra ecuación. Es como reducir fracciones a común de-nominador, así:

En la primera ecuación, el coeficiente de x es 5, luego 15/5 = 3, debemos multiplicar la primera ecuación por 3.

En la segunda ecuación tenemos, 15/3 = 5, luego debemos multiplicar la segunda por 5, y obtendríamos el sistema equivalente (que tiene la misma solución que el original):

Si ahora restamos, miembro a miembro, a la primera la segunda, nos quedaría:

Para hallar la solución en x, sustituimos el valor de y en una cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original, por ejemplo, en la primera, y nos quedaría:

, que es la solución en x.

Luego la solución del sistema será:. Comprobarlo aplicando los otros dos métodos.

A la postre lo que hacemos es aplicar los principios de equivalencia para siste-mas de ecuaciones, que son, a saber:

Principios de equivalencia para sistemas de ecuaciones: Si sustituimos una de las ecuaciones del sistema por una combinación

lineal de las otras, el sistema que resulta es equivalente, tiene las mismas soluciones.

Si sustituimos una o más ecuaciones del sistema por ellas mismas multipli-cadas o divididas (ambos miembros), por un número real distinto de cero, el sistema no varía.

Si sustituimos una o más ecuaciones del sistema, a las que se les ha sumado o restado la misma cantidad a ambos miembros, el sistema no varía.

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Una combinación lineal de dos o más ecuaciones no es más que la suma o resta de las mismas, multiplicadas o divididas por números reales adecuados, distin-tos de cero. Así, de este modo, en el caso anterior tendríamos la combinación lineal: , con lo que pasaríamos al sistema

equivalente: Con sustituir el valor de y en la primera ecuación ya

tenemos la solución del sistema.

Método de sustitución: Consiste en despejar una de las dos variables en una

cualquiera de las dos ecuaciones, y luego reemplazar la expresión obtenida en el lugar que ocupa dicha variable en la otra ecuación, así:

Hemos despejado la y en la primera ecuación, ahora sustituiremos dicho valor en la segunda, con lo que nos queda:

la cual no es más que una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya sabemos resolver. Resolviéndola, nos queda:

, que es la solución en x, para hallar la solución en y nos vamos a la primera ecuación del sistema equivalente y sustituimos el valor hallado, así:

, que es la solución en y.La solución del sistema será . Comprobarlo aplicando los otros dos métodos.

Método de igualación: Consiste en despejar la misma variable en las dos

ecuaciones, y luego igualar las expresiones así obtenidas, así de este modo:

, que es la solución en x. Para hallar la

solución en y sustituimos éste valor en una cualquiera de las dos ecuaciones del

sistema equivalente, y así ,

que es la solución en y.

Con lo que la solución del sistema es .

Comprobarlo aplicando los otros dos métodos.

Hay problemas que requieran del uso de la técnica de resolución de sistemas debido a que el planteamiento de los mismos, como sistema, los hace más fáciles de resolver.

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Resolución de problemas mediante el uso de sistemas de ecuaciones. En muchos casos la información que proporcionan los enunciados de los pro-

blemas es escasa para poder plantear éstos como una ecuación de una sola va-riable. En dichos casos se hace necesario el planteamiento de los mismos en dos variables, y para poder resolverlos necesitaremos entones de dos ecuacio-nes o de dos condiciones previas. Así:

Ejemplo: Las dos cifras de mi edad suman 7. Invirtiendo el orden de las cifras, resulta un número igual al duplo del primero más dos unida-des. ¿Qué edad tengo?.

Mi edad es un número de dos cifras, por ejemplo ab, en forma polinómica . Del enunciado se deduce que

, que es la 1ª condición. Además, si invierto el orden de las cifras, ba, en forma polinómica , re-sulta que , 2ª condición.

Con lo que se nos plantea el sistema:El cual ya sabemos resolver.

Para ello, lo primero es arreglar las ecuaciones de modo que se parezcan a la forma general de un sistema de ecuaciones, así:

Aplicando el método de sustitución:que es la solución en a, para la solución en b

sustituimos en la primera ecuación del sistema equivalente, y nos queda: , luego mi edad es de 25 años. Ahora compruébalo confirmando los datos del enun-ciado.

En muchos casos, como en el caso anterior, no es necesario el planteamiento del problema como un sistema, ya que hay una relación de totalidad entre las variables, con lo que siempre podemos escribir una en función de la otra y pasar directamente a una ecuación de primer grado en una variable.

Actividades de aplicación.

P1.- Resolver, por el método gráfico, los siguientes sistemas:

a) b) c)

d) e) f)

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P2.- Resolver los siguientes sistemas, por los tres métodos:

P3.- En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20% en abrigos y del 10% en camisas. Julia paga 208.85 € por un abrigo y una camisa. Si los hubiera comprado antes de las rebajas le habrían costado 255.43 €. ¿Cuál era el precio del abrigo y de la camisa en ese momento?.

P4.- En un examen, cada pregunta correcta vale un punto y cada una incorrecta resta 1/4 de punto. Si una alumna ha contestado 75 preguntas y obtenido 56 puntos y 1/4, ¿Cuántas ha contestado correctamente y cuál ha sido la nota final del examen?.

P5.- En una clase hay 45 alumnos entre chicos y chicas. Practican natación el 32% de los chicos y el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican natación es de 20, ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?.

P6.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. Las del tipo A utilizan tres bombillas y las del tipo B utilizan cuatro bombillas. En el almacén hay en total 60 lámparas y 220 bombillas. ¿Cuántas lámparas hay de cada clase?.

P7.- Las dos cifras de mi edad suman 7. Invirtiendo el orden de las cifras, resulta un número igual al duplo del primero más dos unidades. ¿Qué edad tengo?.

P8.- Luisa tiene 225 ptas. en monedas de duro y de diez pesetas. Si tiene 29 monedas en total, ¿Cuántas tiene de cada clase?.

P9.- En un avión hay 192 personas entre hombres y mujeres. El número de mujeres son los 3/5 del de los hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?.

P10.- Entre la bolsa A y la B hay un total de 80 bolas. Si pasamos 10 bolas de la bolsa B a la A, el número de bolas de la bolsa A es tres veces el número de bolas de la B. ¿Cuántas bolas hay en cada bolsa?.

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P11.- La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a la cuarta parte del menor. ¿Cuáles son esos números?.

P12.- Un albergue juvenil tiene habitaciones con literas de dos y de cuatro camas. Sa-biendo que tiene 80 habitaciones y 270 camas, ¿Cuántas habitaciones hay de cada clase?.

P13.- Dividir el número 1.000 en dos sumandos tales que si de los 5/6 del primero se resta 1/4 del segundo, se obtiene 10.

P14.- Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 35 cm. Calcula la longitud de sus lados sabiendo que los lados iguales miden tres veces más que el lado desigual.

P15.- Hallar dos números sabiendo que están en proporción 5 a 3, y que si se resta 10 al primero y se aumenta 10 al segundo, la proporción en que se hallan los nuevos números es la inversa de la anterior.

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