- Equilibrio del prisma elemental:

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ANALISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES UNITARIASLos esfuerzos normales y cortantes que actan en la seccin transversal de elementos estructurales como barras, ejes, vigas, etc; pueden calcularse con las frmulas bsicas estudiadas en captulos anteriores; sin embargo, a veces se presentan esfuerzos mayores sobre las secciones inclinadas. Un ejemplo claro de esto se tiene en la prueba de traccin de una probeta de acero estructural A-36. Por lo tanto, comenzaremos el anlisis de esfuerzos y deformaciones unitarias estudiando los mtodos para obtener los esfuerzos normales y cortantes que actan en las secciones inclinadas con respecto al eje axial de los miembros.5.1 ESTADO PLANO DE ESFUERZOS

Ya hemos obtenido expresiones para los esfuerzos normales y cortantes que actan sobre secciones inclinadas de una barra bajo carga axial. Ahora vamos a determinar los esfuerzos actan sobre planos inclinados, a partir de un estado de esfuerzo mas general conocido como esfuerzo plano.Una situacin en la cul dos de las caras de un elemento cbico estn libres de cualquier esfuerzo, mientras que las restantes soportan esfuerzo normal y tangencial; define el estado plano de esfuerzos. Si seleccionamos al eje z perpendicular a estas caras, se tiene entonces que :

; y las componentes definen el estado plano de esfuerzos.

Figura 5.1Y las incgnitas a determinar son las componentes del esfuerzo x, y, xyAsociadas con el elemento despus que ha rotado un ngulo alrededor del eje z; y expresar estas componentes en funcin de x, y, xy y .

Considrese un elemento prismtico con caras respectivamente perpendiculares a los ejes x, y x cuya rea de su cara oblicua es .

Figura 5.2 Estado plano de esfuerzos Equilibrio del prisma elemental:

De trigonometra sabemos que:

Ordenando, obtenemos para el esfuerzo normal a un plano cualquiera:

La expresin para el esfuerzo normal puede obtenerse reemplazando a en la ecuacin (5.1.a) por el ngulo , que es el ngulo que forma el eje y con el eje x :

(

Tenemos entonces:

Sumando las ecuaciones (5.1a) y (5.1b) miembro a miembro:

Esta ltima ecuacin nos indica que la suma de los esfuerzos normales actuantes en un elemento cbico de material es independiente de la orientacin de dicho elemento:

En forma similar, para obtener el esfuerzo cortante:

:

Que es la frmula general de los esfuerzos cortantes en todos los planos inclinados.

ESFUERZOS PRINCIPALES; ESFUERZO CORTANTE MAXIMO

Los planos que contienen a las caras del elemento sobre los cuales actan un esfuerzo mximo y un mnimo se llaman planos principales de esfuerzo en el punto Q: los correspondientes valores del esfuerzo se llaman esfuerzos principales.

Por teora matemtica de los mximos y mnimos, para obtener la orientacin de los planos principales, igualamos a cero la derivada de .

La convencin de los signos para los ngulos es el mismo que se utiliza en trigonometra. Para obtener los esfuerzos principales sustituimos el valor de en la ecuacin (5.1)

CRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO.

El ingeniero alemn Otto Mohr (1835-1918) desarroll una interpretacin grfica til de las ecuaciones de transformacin para el estado plano de esfuerzos. Esta representacin comnmente llamada el Crculo de Mohr, incluye el trazo de un crculo de una manera tal que cada punto en el crculo representa los esfuerzos normal y cortante en un plano que pasa por el punto sujeto a esfuerzos, mientras que la posicin angular del radio con respecto al punto proporciona la orientacin del plano. Las ecuaciones (5.1.a) y (5.3) obtenidas anteriormente son las ecuaciones paramtricas de tal Crculo. Para establecer esta caracterstica eliminaremos

de las ecuaciones (5.1); primero transponiendo en la ecuacin (5.1.a) y elevando al cuadrado ambos miembros de la nueva relacin:

Luego elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacin (5.3):

y finalmente sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas, y efectuando operaciones, se tiene:

Que es la ecuacin del crculo de Mohr

R: radio del crculo:

c: centro del crculo =

En el sistema de ejes coordenados para el crculo de Mohr, las abscisas se identifican con los esfuerzos normales, las ordenadas con los esfuerzos cortantes. En este texto, consideramos el esfuerzo normal X positivo hacia la derecha y el esfuerzo cortante (xy positivo hacia abajo. La ventaja de trazar los esfuerzos cortantes positivos hacia abajo es que el ngulo 2( sobre el crculo de Mohr es positivo en sentido antihorario, lo que concuerda con la direccin positiva de 2( en la deduccin de las ecuaciones de transformacin.

Fig. 5.2 Crculo de Mohr para esfuerzosPor convencin:

Del crculo de Mohr trazado anotamos las observaciones siguientes:

1.-

2.-El esfuerzo normal en la condicin de esfuerzo cortante mximo es

3.-El ngulo que forman los ejes principales y el es,

concluimos que los planos donde acta el esfuerzo cortante mximo forman un ngulo de 45 con los planos principales en el elemento.

PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR EL CIRCULO DE MOHR

1- Segn el sistema de cargas, se define el estado plano de esfuerzos .

2- Se halla el valor del radio R (ec. (5.6)) y del centro C (ec.5.7).

3- Con las coordenadas del centro (C,0) y el valor de R se traza, a escala, el crculo en el sistema coordenado , considerando positivo el esfuerzo normal a la derecha del origen; y para el esfuerzo cortante, positivo hacia abajo.4- Se localizan los puntos A y B , de manera que el punto A define la orientacin positiva del eje x; y el otro extremo B del dimetro, localiza el eje y.

5- Conocida la posicin de los ejes x - y, es posible ubicar cualquier estado plano de esfuerzos cuya orientacin respecto a los ejes x-y, se conozca.

La localizacin en el crculo de los ejes x-y, se hace siguiendo el mismo sentido de giro (horario o antihorario), de los ejes en el elemento diferencial de rea.

5.2 ANALISIS DE DEFORMACIONES

TRANSFORMACION DE DEFORMACION PLANA

Si en un estado general de deformaciones consideramos a igual a cero, obtenemos el denominado estado de deformacin plana, definido por las componentes .

Vamos a estudiar enseguida las transformaciones de la deformacin bajo una rotacin de los ejes coordenados. Nuestro propsito es determinar en funcin de y (, las componentes de deformacin en funcin de asociados con los ejes n t.Sea el rectngulo elemental OABC de lados: , al aplicarse las cargas, el rectngulo se deforma en un paralelogramo OABC Fig. (5.3)

Figura 5.3

Nomenclatura:

Relaciones

Aplicando ley de cosenos al tringulo OAB:

Reemplazando valores:

Pero,

Siendo los desplazamientos pequeos, hacemos y tambin:

De manera que podemos escribir:

Utilizando las relaciones trigonomtricas del ngulo doble:

ecuacin que nos permite calcular la deformacin unitaria en el eje n.

Para el , habr que sustituir ( por ()

Deformacin angular :

Aplicando la ley de senos al tringulo OAB:

(5.11)Como las deformaciones son pequeas:

de otro lado, por trigonometra:

reemplazando (5.12) y (5.13) en (5.11)

reemplazando de (5.9) en (5.14) :

EMBED Equation.3

Para hallar asociado con la direccin t bastar reemplazar en (5.15), .

Ahora, para la deformacin angular

que podemos ordenar y presentarlo como:

Las ecuaciones (5.10) y (5.16) son similares a la obtenidas en la transformacin de esfuerzos, con la diferencia de que ahora, las distorsiones angulares (XY y (nt tienen el factor .Trabajando con (5.10) y (5.16) de manera similar al caso de los esfuerzos:

La construccin grfica del crculo de Mohr tambin es vlida. El eje de las abcisas representa valores de (X , mientras que el eje de las ordenadas valores de ((XY/2).

Figura 5.4 Crculo de Mohr para deformaciones

(5.18)

PROBLEMA 5.1 Un estado de tensiones en un punto es el resultado de tres estados distintos que producen las tensiones indicadas (ver figura). Determinar las tensiones principales y la orientacin de los planos principales en el estado resultante.

SOLUCION

Para determinar el estado de esfuerzos resultante, previamente obtenemos los esfuerzos

EMBED Equation.3 de los estados B y C.Estado BDel crculo de Mohr:

Para el estado C

En el estado A slo tenemos

EMBED Equation.3 . Luego el estado resultante de esfuerzos ser :

Los esfuerzos principales para este estado resultante, segn la ecuacin (5.5):

La ecuacin (5.4) nos da la orientacindel plano principal con respecto al eje x.

PROBLEMA 5.2. Para el siguiente estado tensional mostrado en la figura, se pide determinar:

a) Las deformaciones principales

b) La orientacin del plano donde acta el esfuerzo cortante mximo.

Considere E= 2 x 105 Mpa; (=0.25

SOLUCION

De acuerdo a los datos, existe un esfuerzo de traccin.

Ecuacin (5.1-b)

EMBED Equation.3 ordenando y despejando

Mpa

Clculo de los esfuerzos principales:

EMBED Equation.3 de donde se obtiene:

EMBED Equation.3 a) Las deformaciones principales las calculamos por la ley generalizada de Hooke:

Reemplazando valores:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 b) Como se sabe, la orientacin del plano donde acta el esfuerzo cortante mximo es 45 con respecto a los planos principales:

con respecto al eje x.

PROBLEMA 5.3. Para el estado de deformacin plana mostrado determinar:

a) Los ejes principales y las deformaciones principales

b) La deformacin de corte mximo y su correspondiente deformacin normal

SOLUCION

El estado de deformaciones dado es:

Trazamos el crculo de Mohr:

Centro del crculo: (c,0)

Radio del crculo: R

la orientacin de los ejes principales:

c) La mitad de la deformacin angular mxima, se sabe, es numricamente igual al radio del crculo y se encuentran a 45 de los ejes principales:

Su respectiva deformacin normal lo obtenemos del crculo

PROBLEMA 5.4 El conducto para grava representado en la figura, se apoya en los puntos A y F de la armadura. La masa total del conducto lleno es de 600 kg por metro. Determinar:

a) El dimetro interior mximo que debe tener el miembro EF de la armadura, si la resistencia admisible al corte del material de las barras es de 50 MPa?.

b) El estado de esfuerzos en un punto interior del miembro EF de la estructura, en las direcciones x-y indicadas, utilizando el mtodo analtico.

c) Las deformaciones (X, (Y, (XY. Para el mismo punto de la pregunta anterior; y adems las deformaciones principales.

NOTA: Todas las barras son acero A 36, y su seccin es tubular de 19 mm de dimetro exterior.

SOLUCINPrimero hallamos las cargas que el conducto de grava transmite, a travs de los apoyos A y F, a la armadura.

DCL del conducto de grava:

Ecuaciones de equilibrio:

Cabe indicar que haciendo el corte a-a en la armadura, es posible calcular la fuerza FEF sin necesidad de conocer el valor de FA

En el DCL de la porcin derecha de la armadura:

Ecuacin de equilibrio:

Peso W del conducto:

FEF = 9 790,2 NClculo del rea de la seccin transversal:

, por dato, D = 19 mmEl esfuerzo axial viene a ser un esfuerzo principal; en esta caso (2 , pus (1 es nulo al no existir cargas que lo generen ((1 = 0).

El esfuerzo cortante mximo acta a 45 de los ejes principales y su magnitud es igual a la mitad de (2

El dimetro interior requerido lo obtendremos igualando (mx con el esfuerzo cortante admisible (50 N/mm2) y despejando d

(un valor comercial sera 5/8 pulgada (15.8 mm))b) Estado de esfuerzos para el sistema coordenado x-y de la figura dato:

Para un punto interior de la barra EF representamos su estado de esfuerzos principales y localizamos la orientacin de los ejes X Y.

Para determinar el estado plano de esfuerzos relacionado con el sistema de ejes x-y usaremos las ecuaciones (5. 1 a), (5. 1 b), y (5.3) respectivamente

c. El estado de deformaciones: y deformaciones principales .

Ley de Hooke generalizada:

Para el clculo de la deformacin angular, previamente calculamos el mdulo de Young G:

(

EMBED AutoCAD.Drawing.15

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