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Dibujo Técnico II María Amián

Bloque I: Geometría Plana

Tema 2: Polígonos

2.1 Triángulos:

Algunas propiedades que debes recordar acerca de los triángulos:

La suma de los tras ángulos interiores vale 180º Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, pero

mayor que la diferencia (resta) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que cada uno de sus

catetos.

Rectas y puntos notables de los triángulos

Altura: Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Las alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro. En el caso de un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Mediana: Recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. Las medianas se cortan en un punto llamado Baricentro. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se halla a una distancia de los vértices igual a dos tercios de la longitud total de la mediana.




Mediatriz: Es una perpendicular trazada desde la mitad de los lados. . Las mediatrices se cortan en el Circuncentro, que es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, que contiene los vértices. En el caso de un triángulo rectángulo, el circuncentro coincidirá con

el punto medio de su hipotenusa.

Bisectriz: La recta que divide los ángulos en dos y que se cortan en el Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

¿Para qué sirve?

Es muy importante que conozcas las rectas y puntos notables pues te ayudarán a resolver problemas de triángulos.

Por ejemplo: Si conocemos dos vértices y el baricentro podemos hallar los lados del triángulo, sabiendo que desde el baricentro hasta los vértices hay dos tercios de la longitud total de las medianas.



2.2 CuadriláterosTipos de Cuadriláteros

Consideraciones geométricas para la construcción de cuadriláteros.

Construcción de un trapecio conocido los cuatros lados.

En un trapecio, la paralela a un lado trazada desde un extremo de la base menor, lo descompone en un paralelogramo ADCE y un triángulo CEB que tiene como lados la diferencia de las bases y los lados no paralelos del trapecio.



Construcción de un trapecio conocidos sus lados paralelos y sus diagonales.

En un trapecio, si se traza una recta CE paralela a una diagonal desde el extremo de la base menor, se forma un triángulo CAE que tiene como lados la suma de las bases y las diagonales del trapecio.

En general, para dibujar un cuadrilátero es aconsejable triangular el polígono y, así, su trazado se limita a dibujar los triángulos.

Cuadriláteros inscribibles

Es el que puede inscribirse en una circunferencia.

Sus ángulos opuestos son suplementarios, suman 180º. Por lo tanto cualquier cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos suplementarios, será inscribible.

¿Para qué sirve?

Para resolver problemas en los que tenemos como datos las bases y las diagonales de un trapecio.

Ángulo A + Ángulo C= 180º

Ángulo B + Ángulo D= 180º

A+B+C+D= 360º



Ejemplo: El trapecio isósceles como cuadrilátero inscribible en una circunferencia.

El único tipo de trapecio que es inscribible en una circunferencia es el isósceles. Lo que nos viene a decir que las mediatrices de los lados de todo trapecio isósceles, concurren en el centro de su circunferencia circunscrita.

Cuadriláteros circunscribibles

Son los que pueden contener una circunferencia inscrita.

La suma de los lados opuestos vale lo mismo. Por lo tanto, un cuadrilátero cuyos lados opuestos sumen lo mismo, será circuscribible.

2.3 Polígonos regulares inscritos

Un polígono regular es el que tiene los lados y los ángulos iguales.

¿Recuerdas?



Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada circunferencia circunscrita.

Los elementos de un polígono regular son:

Centro: es el punto que equidista de todos los vértices. Coincide con el centro de la circunferencia circunscrita.

Radio: es el segmento que une el centro con un vértice. Mide lo mismo que el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema: es el segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

A continuación vamos a ver cómo dividir la circunferencia en:

3,6, 12… partes iguales1) Se traza un diámetro MN cualquiera.2) Con el radio hacemos centro en M y N y trazamos arcos que corten la

circunferencia en los puntos A,B,R y S, que junto con M y N serán los vértices de un HEXÁGONO

3) Si unimos los vértices de dos en dos, obtendremos un TRIÁNGULO4) Para hallar un DODECÁGONO, podemos trazar las mediatrices de los

lados del hexágono o las bisectrices de sus ángulos.5) Si repetimos el paso anterior obtendremos polígonos de 24 lados, 48…

4,8,16… partes iguales1) Se trazan dos diámetros, AE y CG, que sean perpendiculares y dividen la

circunferencia en cuatro partes iguales, si unimos los vértices obtendremos un CUADRADO.

2) Si hallamos las mediatrices de los lados del cuadrado o las bisectrices de sus ángulos, tendremos los vértices de un OCTÓGONO y si repetimos la acción, un polígono de 16 lados



5,10,… partes iguales1) Dibujamos dos diámetros MN y AF perpendiculares.2) Trazamos la mediatriz del segmento centro-N, para hallar el punto S.3) Con centro en S y radio SF, trazamos un arco que corte al diámetro MN

en un punto T.4) El segmento FT será el lado de un PENTÁGONO.5) El segmento centro-T, será el lado de un DECÁGONO.

7,14,… partes iguales1) Trazamos un diámetro cualquiera HA.2) La mediatriz del radio centro-H corta la circunferencia en dos puntos, R y

S, y un punto T, que divide en dos el radio. La distancia RT es el lado del HEPTÁGONO.

3) Si hallamos las mediatrices de los lados del heptágono tendremos un polígono de 14 lados.

9, 18,… partes iguales1) Trazamos dos diámetros perpendiculares, AF y RS.2) Desde S, y con el radio de la circunferencia, un arco que la corte en N.3) Con centro en R y radio RN, trazamos un arco que corte a la prolongación

del diámetro AF en T.4) Con centro en T y radio TR, un arco que corte al radio AF en el punto Q.5) El segmento FQ es el lado de un ENEÁGONO.



6) Si dividimos en 2 los lados o ángulos del eneágono, obtendremos un polígono de 18 partes.

Método general, te servirá para hallar polígonos de cualquier número de lados.

1) Dibujamos una circunferencia de centro P2) Trazamos dos diámetros perpendiculares MN y RS.3) Dividimos RS en tantas partes iguales como deseamos que tenga el

polígono (podemos usar el teorema de Thales)4) Con centro en R y en S,, y radio RS y SR trazamos dos arcos que se

cortarán en el punto T.5) Unimos el punto T con la 2ª división del diámetro RS.6) Prolongamos la recta T2 hasta que corte a la circunferencia en el punto A7) El segmento RA es el lado del polígono regular.

¿Para qué sirve?

Puedes encontrar ejercicios en los que debas hallar un polígono para luego transformarlo, o construir una figura usándolo como base.

Es muy común construir polígonos en ejercicios de homología y proyecciones diédricas.



2.4 Polígonos regulares conocido un lado.En ocasiones, el dato proporcionado para que construyas un polígono regular, será un lado.

Pentágono dado el segmento AB1) Prolongamos el lado AB y hallamos la mediatriz m y el punto medio M.2) Dibujamos la perpendicular S por el extremo A.3) Trazamos un arco con centro en A y radio AB, que cortará a la

perpendicular S en el punto P.4) Trazamos otro arco, con centro en M y radio MP, hasta que corte en N a

la prolongación del lado AB.5) Otro arco, con centro en B y radio BN hasta cortar al primer arco en E y a

la mediatriz m en D. Ambos puntos serán vértices del pentágono.6) Con centro en B y en D, y radio AB, trazamos dos arcos que se cortarán

en C.

Heptágono dado el segmento AB1) Trazamos la mediatriz m del segmento AB.2) Subimos una perpendicular por A3) Con vértice en B, construimos un ángulo de 30º que corte a la

perpendicular en un punto R4) Con centro en B y radio BR, trazamos un arco que corte a la mediatriz en

P, será el centro de una circunferencia que tiene como radio PA e inscribe al polígono.



Octógono dado el segmento AB1) Hallamos la mediatriz y su punto medio M2) Dibujamos una circunferencia con dentro en M y diámetro AB, que corte

a m en el punto I3) Con centro en I y radio IA o IB, trazamos un arco que corte a m en el

punto P.4) P es el centro de una circunferencia de radio PA o PB, que inscribe al

polígono.

Eneágono dado el segmento AB1) Trazamos la mediatriz.2) Con centro en B y radio AB, un arco que corte a la mediatriz en el punto

L.3) Con centro en L y radio LA, un arco que corte a la mediatriz en M.4) Con centro en M y radio ML, un arco que corte a la mediatriz en el punto

F.5) La mediatriz de BF corta a la mediatriz m en P, centro de la

circunferencia que inscribe al polígono.



2.5 Polígonos estrellados.Los polígonos estrellados regulares, se obtienen dividiendo la circunferencia en tantas partes como se indique y uniendo los vértices de dos en dos, tres en tres, cuatro en cuatro…A continuación tienes una tabla en la que se indica el número de polígonos estrellados que existen de un número de vértices y la forma de unirlos.

Vértices Polígonos Unirlos de…

5 1 2 en 26 0 07 2 2-38 1 39 2 2-410 2 311 4 2,3,4,512 1 513 5 2,3,4,5,614 4 3-5

Ejemplo: Construcción de un pentágono regular estrellado.

1) Dividimos la circunferencia en 5 partes iguales.2) Unimos los vértices de 2 en 2.



Los polígonos estrellados más utilizamos son los de ocho vértices y los de cinco, aunque debes saber cómo trazarlos todos.

Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y así reforzar nuestros conocimientos.

1 Construye un triángulo rectángulo de perímetro 8 cm, sabiendo que uno de sus ángulos agudos mide 60º.

2 La longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles es de 120 mm y la altura sobre uno de esos lados iguales es de 75 mm, se pide:

a) Representar el triángulo isósceles.b) Representar la circunferencia inscrita en el triángulo, indicando los puntos

de tangencia.

3 Construir un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 6 cm y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa 4 cm. Una vez dibujado el triángulo, determinar su baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro, indicando cuál es cada uno.

4 Construir el triángulo ABC del que se conoce el lado AB= 5,5 cm, la altura sobre este lado hc=4,4 cm, y la altura ha= 4 cm, sobre el lado BC.

5 Dibuja un pentágono conociendo el radio 3,5 cm, establece una homotecia y halla el pentágono homotético sabiendo que la razón es k= 1/4

6 Representa el triángulo ABC, del que conocemos el lado AB y el incentro.

A B

+ i



7 Representa el triángulo ABC del que conocemos el lado AB y el baricentro.

8 Dada la diagonal AC de un pentágono regular, halla dicho pentágono. AC= 45 mm

9 Traza un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa valga 8 cm y la suma de los catetos sea 10cm.

10 Dibuja un octógono regular de apotema 30mm y traza una de las posibles estrellas, hallando el valor de uno de sus ángulos inscritos.

11 Dibuja un cuadrilátero inscribible con los siguientes datos AC= 100mm (diagonal), AB= 40mm, BD= 80mm (diagonal), ángulo en D= 75º

12 Divide una circunferencia de radio 25 mm en dieciocho partes iguales.

13 Conociendo un lado AB= 20 mm, construye los siguientes polígonos regulares: a)pentágono, b) heptágono, c)octógono, d) eneágono.

14 Construye un pentágono regular estrellado conocido el radio r=2 cm

15 Construir el triángulo ABC definido por los lados a= 55mm, c= 64 mm y el ángulo en el vértice C=60º

16 Construye el triángulo escaleno ABC conociendo el lado a= 70 mm, la altura ha= 50 mm, y la mediana ma= 55mm, sabiendo que ambas parten del mismo vértice.

17 Construye un triángulo rectángulo de hipotenusa a= 70mm, y diferencia de catetos b-c= 18mm.

18 Construye el triángulo escaleno ABC conocido el lado a=70 mm y las medianas mb=75 mm y mc=50mm.

19 Dibuja el triángulo rectángulo de hipotenusa a=70 mm y ángulo en C= 60 º

20 Halla el cuadrilátero rectángulo del que tenemos un lado a=40 mm y la diagonal d= 65 mm.

A B

+ G



21 Halla el cuadrilátero rectángulo del que tenemos como datos el lado a= 50mm y la suma de la diagonal y el otro lado paralelo b+d= 88mm.

22 Construye un rombo dada la distancia entre los lados opuestos, h=35 mm y la diagonal mayor d=70mm.

23 Construye un rombo dados el lado l= 40mm y el ángulo menor comprendido entre dos lados α=60˚.

24 Construye un Trapecio isósceles conociendo la diagonal d=70 mm, la diferencia entre sus bases a-b= 24 mm, y el ángulo en A= 75˚

25 Construye el paralelogramo romboide de base 44 mm y diagonales d1= 60 mm y d2=70mm.

26 Construye un trapecio conocidos sus lados a=55 mm, b= 35 mm (bases) y los otros lados c=40mm y d=50mm

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