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inO PARA EL MAESTRO

I n n naHHMB□ □ □ □_ PROrESGRWCL□ □ -•-1-n □ □ □ n □ □.. n© EL ESTUDIANTE

. En este número:

Introducción a la lógica mate­mática.

Relaciones y funciones.

Probabilidades

Los números en colores, y otros

más.

IY otros más.

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NOVEDADES DE

PUBLICACIONES CULTURAL S. A.Preocupados por brindar a los docentes la más moderna biblioteca, en la mejor presentación,

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■

ALGEBRA MODERNA Y TRIGONOMETRIAEstructura y método.

i

Autores: M. P. DOLCIANI, S. L. BERMAN y W. WOOTON PRIMERA EDICION EN CASTELLANO

16 capílulos en 625 páginas, a tres colores. En cada capítulo hay infinidad de ejercicios orales y escritos, vocabulario matemático, revisión, resúmenes e incluso notas biográficas. Cada tema se presenta en la forma más moderna, abandonando por completo lo tradicional. Se estudia especialmente la teoría de conjuntos y se establece la estructura axiomática. Para que la materia se comprenda mejor, cada libro lleva ¡uevos de encartes transparentes, impresos en varios colores.

GEOMETRIA ANALITICA (plana y del espacio).Autores: F. H. STEEN y D. H. BALLOUS

Comentarios: MARCELO SANTALÓ PRIMERA EDICION EN CASTELLANOI

Esta obra, además del texto original, contiene un suplemento con más de quinientos problemas, ejercicios, orientaciones y esquemas, para que el esludioso advierta la importancia de una base sólida de geometría analítica para la comprensión del cálculo diferencial e integral. La mayoría de los temas se presentan con métodos nuevos, probados en cursos efectivos como más ventajosos que los tra­dicionales; se piensa que las clases resultarán mucho más agradables para los alumnos.

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO (con una introducción a la trigo­nometría).

Autor: J. A. BALDORTexto revisado y prólogo: MARCELO SANTALÓ

Se introducen innovaciones para facilitar la enseñanza. Consta de dos secciones: geometría plana y del espacio (300 páginas) y nociones de trigonometría (150 páginas). Contiene, además, una sección de "Repasos de Álgebra", para que el lector encuentre con facilidad solución a los problemas de los ejercicios correspondientes. Una última sección —importantísima— contiene 90 ejercicios adicionales, cada una para una hora de clase de un curso normal. Esto ahorrará mucho liempo al profesor, que no necesitará buscar nuevos problemas para sus alumnos.

CURSO MODERNO DE TRIGONOMETRIAA. HOOPER y A. L. GRISWOLD

PRIMERA EDICION EN CASTELLANO

Se exponen los fundamentos de esla rama de la malemática para que los estudiantes estén en condiciones de aplicarlos en los diversos campos de la matemática y de la ciencia. Tiene tablas y un suplemento de ejercicios.

CULTURAL ARGENTINA S. A.MONTEVIDEO 666 - Planta Baja

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MATEMATICA INTUITIVA¡APARECIO!ANA G. DE HOUSSAY - AURORA G. DE ROMERO - Í1D1A V. VICENTE

DE MATEMATICAel material didáctico usado en susEn esta obra las autoras exponen clases y las experiencias vividas en los cursos piloto autorizados por la Se-

Educación de la Nación para la en.senanza de !a Año I Abril - Mayo - Juni-o 1967 N9 2cretaría de Cultura y matemática.

Es una muestraorientaciones modernas, por lo que el libro será un elemen.o útil para e profesor que no sólo debe encarar nuevos temas sino también nuevos enfoques en el tratamiento de temas clásicos, según lo dispuesto por Resolución Minis­terial N? 1772/65. El contenido del libro abarca temas correspondientes a los tres cursos del ciclo básico de los programas vigentes y al programa de

viva de la forma de conducir el aprendizaje siguiendoCARTA AL LECTOR

CONCEPTOS * Hoy llega a usted el segundo número de CONCEP­TOS DE MATEMÁTICA. Agradecemos, en primer ter­mino, los juicios vertidos sobre nuestra labor, anotando, de paso, que no omitiremos esfuerzos para mejorarla. Agradecemos, también, el invalorable apoyo que se nos ha prestado en forma de sugerencias, colaboraciones y suscripciones, llegadas desde los más apartados rincones de nuestro país y desde otros países americanos.* Señalamos un hecho auspicioso, digno de ser imitado: el “Centro de Estudios de Matemáticas y Física ’ de Are­quipa, Perú, se ha hecho presente con 25 suscripciones. Frente a esa situación ¿será excesivo pedir que el Con­sejo Nacional de Educación, el Servicio Nacional de En­señanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, el Con­sejo Nacional de Educación Técnica, el Servicio Nacio­nal de Enseñanza Privada, las Facultades de Ciencias de las Universidades, nacionales y privadas, los organismos educativos , provinciales y municipales, adopten las medi­das tendientes a que no quede escuela o biblioteca del país sin recibir un material que entendemos indispensa­ble para el desarrollo de sus actividades? No queremos ser pesimistas y, por ello, esperamos que esos organismos tomen la palabra.* Junto al auspicio de tantos docentes, sabemos que otros, acaso por falta de tiempo, no han hecho efectiva una adhesión a la cual se sienten impulsados. Pedimos a quien tenga la buena voluntad de hacerlo se tome el tra­bajo de reunir esa adhesiones y enviárnoslas: no oculta­mos que los gastos de todo género son muy elevados, pero esperamos que fructifique el esfuerzo común y se superen todas las dificultades.* Volvemos a recomendar el material que se publica, cuya calidad iguala, sino supera, a la del primer número. Hay importantes artículos de Choquet, Papy, Scbastiao e Silva, Serváis, Santaló, cuya exposición sobre “Relacio­nes y funciones” ha sido muy solicitada por los lectores, Trejo, que vuelca su saber y su experiencia ocupándose de “Probabilidades” en un trabajo que se publicará en varios números y que tiende a resolver dificultades pe­dagógicas ante un tema esencialmente nuevo en nuestra enseñanza secundaria. Marzik, de Chioilcoy, hace por su parte, interesantes consideraciones sobre la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria argentina.

Lo saluda muy atentamente

DE MATEMATICA

Publicación trimestrci Socio; Fernández Blanco 2045 - Bs. As.

Director - Editor

Geometría del Espacio.Al texto se agrega una guía para el profesor en la que se fundamenta

el enfoque metodológico y la organización de los contenidos. Dicha guía será de gran utilidad para todos aquellos que se interesen en el problema del

didáctica apropiada a la moderna enseñanza de la

\JOSÉ BANFl

aprendizaje y en una matemática. ♦

Precio "Guía para el Profesor": $ 150.— Asesores: José Babin-, Juon I. Blaquícr, luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo, Haydéc Fernández, Elsa Sab- botticllo, Andrés Valciras y Crístinu Verdagucr de Banfi.

Dibuiar.’c: Arquiicclo Julio R. Juan.

Suscripción anual: Argentina mSn. 6C0; Exterior, 4 dólares, los piros pos­tales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos = nombre de CONCEPTOS.

Ejcmplcr suelto: m$n. 200.-

Lugarcs de venta: En nuestra sede, Fer­nández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo. Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618; Librería Rcsio, Callao 621; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires; Librería del Azul, San Martín 472, 'Azul; Li­brería "Erasmo", San Martín 3330, Mar del Plata; Librería El Universi­tario, H. Yrigoycn y San Juan, Co­rrientes.

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse di­rectamente al editor.

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MATEMATICA MODERNA"Segundo

por ANTONIO ROBERTO LOPEZ

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Lógica matemática — Teoría de conjuntos — Operci-CONTENIDO:ciones con conjuntos — Par ordenado — Operaciones binarias, interna y externa — Los números naturales — Los números enteros — Los nú­meros racionales — Numeración binaria.

Contiene el programa fijado para el segundo curso de ensayo. La presentación de los distintos temas permite un aprendizaje inmediato de los mismos.

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23

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LA SEMBLANZA PROBLEMAS ARGENTINOS

deas sobre a enseñanza de la

matemática moderna\ •oussay

la escuela primaria y atraviesa raudamente los senderos de la escuela secundaria pa­ra obtener muy joven, a los 17 años, el pri­mer título universitario, al que pronto ha­bría de agregar otros en una carrera abra ­zada con ardor y cumplida con empeño y sacrificio, en la que se hace un deber se­ñalar la gran cantidad de discípulos for­mados, los cuales, si no han alcanzado aun la consagración o los honores del maestro, constituyen, no obstante, un motivo de le­gítimo orgullo para la ciencia argentina.

¿Por qué incluimos a Iioussay en nues­tra galería de semblanzas?

La nuestra es una revista de matemáti­ca, esto es, una revista científica. Y aun cuando no se trate de un matemático, su inquietud intelectual le ha permitido inte­resarse por los problemas de nuestra dis­ciplina y de su enseñanza en nuestro país a través de las funciones que desempeña en el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Desde allí ha co­laborado gozosamente con profesores ar­gentinos que querían realizar algún pro­yecto útil para el país y ciertamente le ha dolido cuando le faltaron medios para fa­vorecer esa obra. Vimos su alegría duran­te las conferencias de Papy, alegría que se justifica porque el doctor Iioussay advir­tió prontamente que Papy era el portador de un mensaje, pero también trasmitía lervor. Por ello, estamos seguros que el doctor Iioussay estará siempre presto a colaborar con quienes realicen alguna ac­ción en favor de la enseñanza de la temática. Y creemos que no faltarán profe­sores argentinos capaces de darle esa sa- tisfación.

Amor a la patria, dignidad personal, cumplimiento del deber, amor a la liber­tad, respeto por la justicia y por los hom­bres son todos atributos que permiten ca­racterizarlo, sobria pero elocuentemente: es un gran ciudadano.

Nada más. No hace falta nada más pa­ra caracterizar a un hombre que se auto- define con uno de sus pensamientos: ‘‘El trabajo es la diversión más barata”.

Luis' S. MAR7JK (Chivilcóy, Argentina)

i Los profesores ya no dudan hoy que la enseñanza de la matemática debe ser en­carada con criterio moderno de modo que no sólo haya un cambio de programas sino también, muy especialmente, un cam­bio de modalidad enfocado hacia las es­tructuras y sus relaciones. Asimismo, es evidente que aun no se ha logrado un acuerdo acerca del contenido de los pro­gramas, pese a las numerosas conferencias y reuniones de nivel internacional en las que se establecieron algunas condiciones mínimas para la redacción de los mismos.

Sería desvirtuar el propósito de este ar­tículo referirse a dichos temas, discutidos en planos tan elevados y por calificados especialistas; queremos tan sólo ubicar den­tro de la enseñanza media argentina los aspectos problemáticos para una aplica­ción conveniente y acorde con los propó­sitos de este nuevo enfoque.

El principal escollo de este planteo ra­dica, sin duda, en la dificultad de pre­parar al docente y de acercarlo a esta lla­mada “revolución”, dificultad que se torna mayor cuando ya están ejerciendo la en­señanza de la especialidad? Este tema es de tanta importancia como para ser en­carado independientemente; pero quedan otros aspectos que predisponen a una pro­funda reflexión que intentaremos bosque­jar.

La iniciativa de nuevas estructuras para la enseñanza media de nuestro país co­rrespondió a un grupo de profesores en su mayoría universitarios, cuya profunda ansiedad e inquietud anhelaban el mejo- i amiento del conocimiento matemático del estudiante secundario para proveerlo de una base más firme en su futura carrera superior; pero la problemática que preten­demos plantear aquí es la de los jóvenes adolescentes cuyos estudios tienen su fi­nalidad en sí mismos, sea porque no tienen

posibilidad de estudios superiores, sea por­que pueden iniciarse de inmediato en una profesión remunerativa, tal como ocurre con técnicos, peritos mercantiles y maes­tros. Corresponden, pues, tres enfoques dis­tintos para esas carreras de la enseñanza media.

Comencemos por los peritos mercantiles. Excepto algunos casos aislados, los egresa­dos de las escuelas de comercio tienen su norte en alguna carrera perteneciente a las ciencias económicas, en donde la ma­temática moderna encuentra poderosa ra­zón de ser (citemos algunos temas direc­tamente vinculados: estadística, probabi­lidades, matrices, programación lineal, etcé­tera). Subsiste la idea de si corresponde en los programas de las escuelas de co­mercio intensificar la enseñanza de algu­nos temas que no serían imprescindibles para quienes no ingresen a facultades de ciencias económicas. Creemos que no ha de resultar difícil encontrar una coordina­ción que satisfaga ambos fines, el educa­tivo y el profesional, pues los fundamentos serían los mismos. Cabe, eso si, urgir una renovación de los programas de cuarto y quinto año, pues entre otros detalles im­portantes, no se debiera terminar la ca­ñera sin alguna noción de geometría tri­dimensional aunque fuera elemental. En lo que se refiere a los temas modernos,

insinúa una tímida reacción en los

El doctor Bernardo A- Iioussay, que aca­ba de cumplir sus “primeros ochenta años”, es el único hombre de ciencia argentino que ha sido distinguido con el galardón del premio Nobel y ese hecho es de gran im­portancia para valorar su personalidad, pero mucho más importante es que se trate de un auténtico trabajador científico cuyo vigor y perseverancia no han decaído a lo largo de su dilatada vida dedicada a la búsqueda de la verdad científica y a en­caminar a sus discípulos por los senderos de Ja investigación. Porque Iioussay en­tiende que “una nación sin actividad cien­tífica vive como un parásito, ya que no contribuye al fondo común de los conoci­mientos sin el cual el hombre no puede vivir con seguridad y libertad”.

Para nosotros es todavía más importante que la obra de Houssay no se haya reduci­do a un sólo sector del conocimiento cien­tífico sino que se haya dado tiempo para auspiciar los esfuerzos de todos aquellos que quisieron dar un paso adelante en el camino de la ciencia.

Nacido en Buenos Aires el 10 de abril de 18S7, su vida esta signada por cacióñ: “el trabajo”. Termina precozmente

un

ma-t

ya seprogramas de cuarto año.

La gravedad del problema se agudiza en las escuelas de educación técnica, de­pendientes del CONET. Allí ni siquiera se ha iniciado un estudio sobre la adecuación de los programas de matemática a los tiempos que corren, o por lo menos se desconoce totalmente la posibilidad de que se haya hecho o esté haciéndose. De los técnicos han de surgir, en elevado por­centaje, los futuros ingenieros y, más aún,

I

una vo-

!4

5

••

(Véanse dos artículos de CONCEPTOS DE MATEMATICA, N9 1: “Los número* en colores ’, p. 38, y "Preparación de los docentes*, p. 6, párrafo ]). De todo lo dicho se infiere que la orientación que se pretende para la enseñanza de la mate­mática en el ciclo del magisterio dehe te­ner dos metas bien determinadas: la for­mación del futuro maestro

LOS FUNDAMENTALESr* la ingeniería, como carrera técnica, io alcanza directamente todo progreso o evo­lución de la ciencia, pues esto trae con­sigo un cambio radical de las técnicas. En­tendemos, pues, que en la rama de las ex- ('scuelas industriales es donde se debe tra­bajar con más intensidad y premura. Pién­sese aue el CONET ni siquiera inició cur­sos pilotos ni tampoco inició una adecua­ción de su personal especializado; allí existe, por tanto, un campo de acción in­mediata y de arduo trabajo. Si llamamos la atención de los < specialistas sobre estas circunstancias es porque nos preocupa el silencio que reina en esas áreas sobre ia renovación. Y queda todavía un agravan­te: la novísima aplicación de equivalencias entre los estudios de las escuelas técnicas y otras escuelas secundarias que se realiza siguiendo normas que no contemplan en absoluto los distintos programas, singular­mente el de matemática. Reiteramos, pues, nuestro llamado de atención y agregamos que nos parece irreal que una carrera tan vinculada a los aspectos y a los adelantos científicos y técnicos se halle olvidada este fundamental desenvolvimiento.

Quedan por considerar los cursos de magisterio. Aquí deben considerarse dos aspectos primordiales: a) la enseñanza del adolescente, y b) su futura condición de maestro. Para el primero caben las suges­tiones generales que corresponden a la pla­nificación común de la enseñanza de la matemática moderna (¡qué feo nombre!) según los enfoques ya comenzados con los cambios de programa habidos. El segundo aspecto requiere preferente atención. So­bre él debemos batallar e insistir puje para obtener lo q u c es claramente previsible y ya se logra en algunos países: Ja introducción de conceptos básicos de matemática moderna en la escuela prima­ria. No. es necesaria mucha imaginación para hacer conocer los aspectos fundamen- lalcs de los conjuntos a niños de 11 años de edad o menos, pues aparecen implíci­tos* en el número, en la operación de lar,, y pueden comunicarse perfectamente

muy poco esfuerzo pedagógico. Casi sin quererlo, el maestro tiene que dar al niño esta noción fundamental y establecer relaciones entre elementos; es verdad que el rigorismo técnico y lingüístico debe ser obviado para evitar inútiles confusiones.

:l método axiomáticoGustave CHOQUET

(Francia)

tructuras: la de grupo, la de cuerpo, la de espacio vectorial, la de orden y la de es­pacio topológico. Recíprocamente, se pue­de hallar una estructura, siempre la misma, en un grupo de teorías distintas. Por ejem­plo, la estructura de grupo hallada en el estudio de R se encuentra también en los enteros de módulo p y en los movimientos especiales.

Para que el estudio de una estructura sea aplicable a teorías diferentes, los juntos considerados deben necesariamente ser muy generales, la naturaleza de sus ele­mentos no debe ser factor sino sólo las re­laciones entre ellos. Estas relaciones están claramente expresadas en los axiomas que definen la estructura.

Así, la estructura ordenada de un con junto arbitrario S es una relación binaría en S, denotada -j, que satisface a los si­guientes axiomas o postulados:

Para cualquier x, y, z pertenecientes a S tenemos:

1) x ] x2) (x \ y3) (.v \ yAlgunas de estas estructuras tienen una

significación más fundamental porque se las encuentra en todas las teorías. Son lla­madas estructuras - madres e incluyen las estructuras asociadas a la relación de equi­valencia; las estructuras de orden; las es­tructuras algebraicas y topológicas.

Cuando comparamos estructuras entre si, podemos ver que algunas son “más ri­cas’ que otras. Así, las estructuras llama­das grupos o cuerpos abolíanos finitos son más ricas que cualquier estructura que sea meramente una estructura de grupo.

Algunas estructuras son más complejas exhiben varias estructuras madres

El estudio de la historia de la matemá­tica muestra en forma suficientemente cla- ía que después de cada período de inves­tigación y extensión sigue un período de revisión y síntesis durante el cual se des­arrollan métodos más generales y se con­solidan los fundamentos de la matemática. Así es que la contribución de Descartes puede considerarse como la culminación de un largo período de investigaciones aparen­temente muy diversas, que hicieron posible relegar a los museos gran número de pro­cedimientos diferentes para el estudio de curvas y funciones particulares y reem­plazarlos por un procedimiento que se acer­ca más a lo universal. Hoy, el número de matemáticos investigadores es tan grande (¡ue los dos procesos, investigación y sín­tesis, pueden realizarse fácilmente en for-

simultánea. No obstante, el trabajo de síntesis en los últimos cincuenta años, he­cho posible por la teoría de conjuntos y su terminología propia, ha sido particu­larmente notable. Esto está claramente es­tablecido en Bourbaki, y allí lo estudiaré.

Para Bourbaki sólo existe una MATEMA­TICA, y el principal instrumento para su evolución hacia la unidad es el método axiomático. Para aplicar este método al estudio de una teoría, el matemático “se­para las principales líneas de razonamiento que figuran en ella, y luego, tomando cada

aisladamente, la considera como un principio abstracto y deduce sus consecuen­cias naturales; entonces, volviendo a la teo­ría que estudia! recombina los elementos que consideró previamente por separado y ve cómo reaccionan entre sí” (Bourbaki). Encontramos en este juicio una presenta­ción estructural de uno de los principios básicos de Descartes: subdividir cada di­ficultad en tantos elementos como sea ne­cesario para comprenderla.1. ESTRUCTURAS

Las “líneas principales de razonamiento” son las estructuras. Por ejemplo, el conjun­to R de los números reales posee varias es-

y su prepara­ción para aplicar esos conceptos en la es­cuela primaria. Así se evitarían en parte dos inconvenientes que padece esta es­cuela actualmente: carencia de personal docente con suficientes conocimientos v cambio de mentalidad necesario para po­der enseñar matemática moderna.

Insistimos en (¡ue el planteamiento he­cho no pretende ser un estudio de las con­diciones en que se debe desarrollar la en­señanza de ía matemática en nuestra es­cuela media y sí un esbozo de algunos pro­blemas sobre este aspecto fundamental.

RESUMIENDO: queda mucho camino por anclar y los pasos para recorrerlo serían:a) Formación de profesores;b) Adecuación de los programas a las

cuatro orientaciones fundamentales de nuestros planes ele estudios secundarios.

I. Ciclo básico y bachillerato: in­dudable preparación para conti­nuar estudios.

II. Escuelas de educación técnica: comenzar ya mismo una profunda revisión de los programas, ade­cuándolos a dos aspectos. Por parte, preparación para seguir carrera técnica, y, por otra, posi­bilidad de aplicación a fines in­mediatos, como ocurre, por ejem­plo, con la profesión de técnico especializado. No debe perderse de vista la notable y continua evo­lución de la ciencia y de la téc­nica en el mundo de hoy

11 í. Ciclo del magisterio:

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e y -¡ x) — (.Y = y) e y ] z) - (x \ z)

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con em-

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prepararniaestros capaces de introducir conceptos de matemática moderna en la escuela primaria

IV. Cursos de escuelas da comercio: darle a los programas de cuarto y quinto año (ciclo superior) el ca­rácter de preparación para carreras de ciencias económicas y comple­tarlos con elementos ele geometría

tridimensional.

con-porqueligadas por las condiciones de compatibi­lidad. Son denominadas estructuras - múl- lipes. Por ejemplo, un grupo topológico es un conjunto que exhibe al mismo tiempo una estructura de grupo y una estructura topológica vueltas compatibles estipulando

con

6 7

.

mismo que proyectar ortogonalmente cono convexo de un espacio de Hilbert. Más generalmente, aunque los conjuntos convexos pertenecen a la geometría, resul­tan una de las herramientas básicas del analista que está estudiando espacios loríales topológicos.

Esta multivalencia de las grandes es­tructuras es, por tanto, un factor unificador que permite un ensanchamiento mutuo de diversas teorías matemáticas. Un fenómeno tal no es nuevo. Ya teníamos ejemplos en la representación geométrica de los núme­ros complejos, en la síntesis de álgebra y geometría efectuada por Descartes, en el empleo que hizo Monge de la geometría en sus investigaciones en análisis. Pero se dejó para el álgebra de conjuntos y su len­guaje universal amplificar este fenómeno. He aquí sólo unos pocos ejemplos típicos:

— Topología de Zariski en geometría al­gebraica.

— Interpretación topológica y demostra­ción de un numero de teoremas importantes en lógica.

— Teoría de Lera y sobre los haces fi­brosos, estudiados primeramente en topolo­gía algebraica, pero ahora invadiendo el álgebra y el análisis.(c) Mutua iluminación de los entes ma­

temáticos: DinamismoSe sigue de esta multivalencia que ya no

se estudian más entes aislados; lo que se estudia son familias de entes que tienen algunas relaciones mutuas. No sólo los teo-

adquieren con ello mucho mayor ge­neralidad, sino que al mismo tiempo, es individualmente, mejor conocido cada ente, puesto que sus relaciones con otros entes sacan a luz sus aspectos variados propios. Aquí también lo que es nuevo no es el uso

“contexto” sino el conocimiento del fenómeno y de su generalidad:

Se sabe bien que una tangente apunto ha sido definida por

familia de secantes; que las funciones

ciones, saltos, flechas y esquemas con fle­chas.

en unestructuras - madres, a las herramientas - máquinas.

El método axiomático efectúa economía en pensamiento y en notación, puesto que los importantes teoremas que se necesitan en formas variadas, en diferentes contextos, se establecen una vez para siempre sistema de axiomas suficientemente general como para que incluya todas las aplicacio­nes útiles. En ese sistema general, de re­ferencia, la terminología y la notación se eligen para ajustarse a los variados especiales, y siempre se da preferencia a las palabras más sugestivas que producen resonancia y llamadas a la intuición. Este cuidado en la elección de los términos es- parejo con la inquietud por la claridad en la presentación; los matemáticos modernos han desarrollado un estilo preciso y aus­tero y sólo están satisfechos cuando sus escritos sólo consisten de descarnados es­queletos de definiciones, lemas, teoremas, corolarios, observaciones y advertencias.(b) Multivalencia: una garantía de unidad y universalidad.

Los primeros sistemas axiomáticos fueron categóricos o univalentes, como la axioma- tización de la geometría elemental por Eu- c lides y por Hilbert, la definición de teros por Peano. Por contraste, las estruc­turas fundamentales son multivalentes, lo que significa que los axiomas que los de­finen pueden aplicarse a vastas clases de conjuntos que contienen estructuras no iso- mórficas.

Esta multivalencia es una garantía de su adaptabilidad a las más variadas situa­ciones. Se sigue de ello que a veces es di­fícil decir si una proposición pertenece al álgebra, la geometría o el análisis.

Así, podemos decir que la geometría ele­mental del espacio no es nada más que el álgebra lineal en un espacio vectorial de tres dimensiones en el cual se define el pro­ducto escalar, y que el estudio de las for­mas cuadráticas en ese espacio es equiva­lente al estudio de las cónicas planas.

De manera similar, estudiar el espacio de Hilbert es, por supuesto, estar haciendo geometría (puesto que allí se puede hablar de esferas, ángulos, perpendiculares), pero es igualmente * estar haciendo álgebra y análisis.

Por ejemplo, para Iienri Cartan, el barri­do (Balayage) en la teoría potencial es lo

que las operaciones (x, y) x. y y x -* xmí deben ser continuas.

El álgebra topológica y la topología al­gebraica están vinculadas con estructuras múltiples; la geometría diferencial y el ál­gebra diferencial consideran estructuras to­davía más ricas. En la cúspide del edificio encontramos “estructuras de enlace” que realmente implican muchas estructuras. La teoría del potencial es un ejemplo particu­larmente bueno de una estructura semejan­te. La multiplicidad de las estructuras ma­dres halladas en tales teorías es lo que ex­plica por qué matemáticos tan diferentes entre sí tienen tanto interés en ellas; cada paso hacia adelante en el estudio de las estructuras constituyentes repercute en to­da la teoría. Es fácil establecer que el pro­greso en la teoría del potencial corresponde al progreso en otras teorías como la inte­gración de Lebesguc, espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos, medición de Radon, grupos compactos localmente abelianos, distribuciones, etc.

Tales estructuras son el cuerpo real de estudio de los analistas y podemos definir el análisis como el conjunto completo de es­tructura de enlace. Pero así como éstas no han definido rígidamente las regiones limí­trofes, nuestra definición de análisis sólo establece una jerarquía.

Una teoría A se clasificará como más perteneciente al análisis que una teoría B si las estructuras estudiadas en A son más ricas que las estudiadas en B.

El análisis aparece como un universo cuya complejidad recuerda la de la vida misma. Aunque el álgebra es un mundo de materiales cuyas bondades son las de los cristales con sus formas puras, el análisis está habitado por seres cuyas formas son tan inciertas como las de las algas, hidras o esponjas; es un mundo exuberante lleno lie oportunidades en el que las explora­ciones pueden seguir cualquiera de un gran número de cursos y donde cada uno juede < olocar la impronta de su personalidad en el área que explora.2. CARACTERISTICAS DEL

METODO AXIOMATICO (a) Economía de pensamiento

Desarrollos recientes en la matemática v en la industria muestran interesantes ana­logías: el método axiomático es análogo

línea de producción automática; las

Una notación muy conveniente y suges­tiva fue creada para indicar relaciones y transformaciones.

/\ ► A*

7t Ai ; E/Rx -*■ f (x);

x ~ y ; A X B ;En manos de los matemáticos, los entes

son modelados como piedras preciosas en manos del joyero y cada una de las trans­formaciones que se le producen revela una nueva faceta, un aspecto inesperado.

Este aspecto relacional de la matemática está de acuerdo con el bien conocido prin­cipio de que para conocer bien una noción se deben estudiar sus formas y las opuestas. Está también de acuerdo con un principio que parece dominar todas las investigacio­nes científicas modernas, vale decir, que no podemos alcanzar la “esencia” de los entes estudiados sino sólo las relaciones de uno con otro. Un experimento en física sólo revela una relación entre el Universo y el aparato experimental. Lo esencial en una red telefónica no es la naturaleza del alambre o su forma, sino el circuito. Para el matemático, dos conjuntos estructura­dos isomórficamente son equivalentes.

La virtuosidad con que la nueva genera­ción de matemáticos se ha nutrido de los

métodos, usa el dinamismo de las

vec­

en un

casos

j

!

en­nuevos•/elaciones y la satisfacción que obtiene de ello, parece probar que ese dinamismo se adapta bien a la estructura del cerebro humano.(d) Adaptabilidad al universo físico

Esta multivalencia de teorías es una ga­rantía de mayores posibilidades para su

la física. Así, el espacio de Hilbert ha servido para interpretar mejor las teorías de los quanta; la simetría de los espacios de Riemann y el campo diferencial exterior han formado* el esqueleto de la Relatividad General. La misma física teórica moderna está desarrollando ahora sus propias estruc­turas axiomáticas: se toman como postu­lados algunos hechos fundamentales de los

deducen consecuencias cuya veri-

remas

uso en

íae un

unacurva en un unaanalíticas de variable real resultan mejor c onocidas cuando se las estudia en el plano complejo, y que por algún tiempo, las fa­milias normales” de Jas funciones analíticas han sido una herramienta poderosa. La ma­temática moderna es “relacional , y esto le da un dinamismo interno reflejado en el vocabulario especial y los signos topográ­ficos especiales: correspondencias, inyec-

I que seficación experimental se busca luego. Na­turalmente se comprende que los axiomas elegidos corresponden a sólo un aspecto del universo físico.(e) Validación de las nociones que se han

vuelto metafísicasA menudo, la única manera de resolver

a una9

8

i

?!

general no implica que será útil, parti­cularmente si la luz que arroja es dema­siado débil. En otro lugar veremos con qué economía Bourbaki ha seleccionado las teorías a las cuales ha dado el derecho de piso. Pero es interesante buscar las de­fensas que protegerán a Bourbaki de caer en la tentación de desarrollar sistemas axio­máticos como un objetivo en sí mismo.

Para André Weyl, “si la lógica senta las reglas de la higiene para u n a matemática, el alimento básico de que vive está formado por los grandes problemas”. Esta es otra manera de expresar lo que Ililbert acostumbraba decir: “Una rama de la ciencia está llena de vida mientras pre­senta abundantes problemas; la ausencia c falta de ellos es un signo de muerte”.

Para Bourbaki, Ililbert es un modelo y casi una figura señera. El hijo imita al padre en la elegancia y simplicidad de trabajos “debido al hecho de que extrajo de la tierra donde nadie había sido capaz de verlos hasta entonces los principios fun­damentales que hicieron posible trazar el camino real que hasta entonces se había buscado en vano”. Es el Maestro del mé­todo axiomático, ya se consideren estruc­turas univalentes (como en geometría ele­mental), o multivalentes, y él ha enseñado a los matemáticos a pensar axiomática­mente. “Nunca cae en la trampa de alguno de sus discípulos, de crear una teoría ela­borada para

dificultades metafísicas es un buen sistema axiomático. Así, los números complejos sólo perdieron su misterio y su “absurdidad cuando su conjunto fue identificado con R~ al cual se asocian dos operaciones bien definidas. En épocas más recientes, los fun­damentos de la teoría de probabilidades eran muy nebulosos cuando se basaba en la teoría de juegos, en la teoría de errores y en la teoría estocástica. La teoría de pro­babilidades sólo ha encontrado su unidad y sus fundamentos sólidos cuando Kolmo- gorov le da su presentación axiomática. Por estos axiomas, aparece de la teoría de la medida, pero especial que muestra mucho vigor, tiene mi propio lenguaje y sus propios problemas >' que podría enriquecerse con los resulta­dos de la teoría de la medida a la

EL PANORAMA

D

matemática'repre-

L. A. SANTALO y H. R. VOLKER (Argentina)

un dominio cabal del tema, visto con sen­tido crítico y desde un nivel superior, ha­bilita para discernir con claridad la mejor forma y el medido alcance con que debe ser enseñado. El futuro profesor secundario debe recibir su formación científica en la Universidad o en institutos de categoría similar a la universitaria y la intensidad y extensión de los cursos que siga —sobre todo en los primeros años o semestres — no tienen por qué diferir mayormente de los que siguen los futuros matemáticos profesionales. Un seminario elemental a esa al tina de los estudios, que lo capacite para enfrentar por cuenta propia temas nuevos y sacar de ellos provecho para su formación científica será de incalculable valor para su evolución futura. En los cur­sos superiores, en cambio, ha de tenerse en cuenta que no se trata de preparar un investigador científico, sino un docente que por cierto debe conocer con solidez las distintas disciplinas matemáticas y su interrelación pero que, al mismo tiempo, debe estar particularmente capacitado para adaptar los temas que interesan, a las po­sibilidades de ser enseñados a los alumnos secundarios.2. La capacitación pedagógica.

Paralelamente a la formación científica —pero con preferencia en los cursos supe­riores— es preciso que el futuro docente reciba una adecuada formación pedagó­gica, que abarcará desde planteos educa­tivos amplios hasta el tratamiento de cues­tiones específicas de la enseñanza matemá­tica. Los cursos de pedagogía general sue­len basarse en otros de filosofía y es usual que éstos figuren entre las materias que se desarrollan al comienzo de la carrera, es decir, cuando el candidato aun no tiene ni la información ni la madurez científica suficientes como para apreciar la necesidad

como una rama una rama

I. NOTA PRELIMINAREl extraordinario desarrollo de los co­

nocimientos matemáticos durante las úl­timas décadas y las posibilidades crecien­tes de sus aplicaciones a las distintas cien­cias y la tecnología obligan a revisar los contenidos y métodos de la enseñanza temática en la escuela secundaria y, con­secuentemente, la formación de los docen­tes para dicho ciclo.

Hay consenso prácticamente general so­bre la necesidad de enseñar en la escuela de nivel secundario cuestiones de la así llamada “matemática moderna”, pero al mismo tiempo se advierte que el personal en ejercicio no siempre está capacitado para hacerlo, porque no ha sido formado, en su

vez queiertilizaría el análisis clásico. Una brillante ilustración de este último hecho puede contrarse en la estrecha relación que últi­mamente se ha demostrado que existe entre los procesos de Markov y la teoría pa- tcncial.

ma-cn- SllS

3. PELIGROS DEL METODO AXIOMATICO

Aunque los sistemas axiomáticos son las herramientas - máquinas de la matemática, fácilmente se comprenderá que sólo in­teresan cuando su producción es buena. Es relativamente sencillo construir siste-

axiomáticos, modificando ligeramente sistemas conocidos; infortunadamente, se encuentra que se producen, y se producen demasiados, como tesis o trabajos de fin de carrera. Sus autores pueden haber ha­llado gran placer en formularlos y esto los lleva a exagerar su importancia. Una tidad de estas vastas teorías tienen o ninguna aplicación. Surge entonces pregunta urgente: ¿cuáles son los sistemas axiomáticos útiles?

Probablemente no haya un criterio ab­soluto que permita decidir sobre este asun­to. Sin embargo, podemos concordar en que no hay necesidad de un tanque si uno sólo desea matar una mosca. Úna teoría general se justifica si revela lazos fruc­tíferos e inesperados entre teorías hasta entonces aparentemente no relacionadas, o si resuelve un desafío hasta solución. El hecho de

momento, para afrontar por cuenta propia las situaciones cambiantes y paraadaptarse a ellas. Se advierte, además, la necesidad de adecuar la formación de los futuros profesores secundarios a las nue­vas exigencias y surge así la pregunta de cómo hacerlo de la mejor manera a la vez de condicionar esa formación a las posibi­lidades y características de cada país.

El presente documento de trabajo trata de señalar aspectos que se consideran bá­sicos para esa formación y, sin entrar en detalles, los caracteriza con el fin de que puedan ser debatidos, ampliados y preci­sados en su justo alcance.II. ASPECTOS BASICOS I. La preparación matemática.

La información científica adecuada — por su extensión, intensidad y actuali­dad— se considera esencial para un eficaz desempeño docente. De allí que el profe-

secundario deba disponer de conoci­mientos sólidos y actualizados que supe­ren ampliamente los contenidos que se proponga transmitir a sus alumnos. Sólo

pocos resultados magros, y nunca generaliza por el placer de ge­neralizar.” (Dicudonné). Es del problema espacial, preciso y concreto. Fue con el fin de resolver tales problemas que ha creado las herramientas cuya im­portancia no ha disminuido aun: el mé­todo directo en el cálculo de variaciones basado en la semicontinuidad, con el fin de resolver el problema de Diriclilet; la definición y el uso de los “espacios de Hil- bert” para la solución de las integrales, etc.

unosmas

un amante

!

can-pocauna

ecuaciones

Los grandes problemas sobre los cuales llamó la atención de los. matemáticos en el Congreso de 1900, continúan estimu­lando investigaciones fructíferas. Hoy, por ejemplo, el problema de los ceros de la función (g) está provocando aun muchos intentos de solución, aunque la verdadera naturaleza del problema parece todavía escapar a todos.

i

sor

entonces sin que una teoría sea

* Proycclo presentado por los autores en la Conferencia de Lima, do 1966 (N. do R.).10

11

cesivo sera, pues, conveniente prever en la formación del profesor una gran flexibi­lidad, es decir, que la carrera se estructu­rará de tal forma que la aptitud para el cambio quedase asegurada. Ello implica capacitar al futuro docente secundario para que, una vez recibido y en actividad, siga estudiando por cuenta propia y considere

imperativo el mantenerse infor­mado sobre los adelantos científicos y me­todológicos por medio de revistas y libros especializados y la asistencia sistemática a reuniones profesionales. Acaso esta exi­gencia parezca pretensiosa y de difícil o imposible cumplimiento, si so considera que el docente en ejercicio es hombre ata­reado y de escaso tiempo. No obstante, es lícito suponer que la inclusión en el plan del profesorado de, por ejemplo, un semi­nario sobre temas de matemática como ciencia y otro sobre adaptación a la es­cuela secundaria de cuestiones de matemá­tica actual, como asimismo algún curso so­bre fundamentos de matemática o de cues­tiones de matemática elemental vistas des­de un punto de vista superior, dejarán en el futuro docente profundas huellas y lo habilitarán para afrontar con éxito res­ponsabilidades del tipo señalado.4. La conexión con otras ciencias.

El hecho de tener la matemática una in­fluencia decisiva en el desarrollo de otras ciencias, a tal punto que algunas, como la Física o la Economía, tienen de ella necesidad vital, requiere poner de mani­fiesto esa situación en la enseñanza; sólo porque contribuye a cjue el alumno adquiera un concepto más claro y comple­to de la importancia de la matemática como 1 actor de cultura y progreso, sino para que advierta fundamentalmente el amplísimo campo de sus aplicaciones que evidencia su valor como herramienta insustituible del pensamiento. Por ello conviene que el profesor secundario de matemática conoz­ca bien alguno de esos campos de aplica­ción y esté en condiciones de ilustrar a sus alumnos sobre el tema con los ejemplos del caso. La incorporación al plan del profe­sorado de matemática de algún curso de mecánica o de física-matemática o de temática aplicada a la economía, la biolo­gía o el rendimiento escolar —para no ci­tar sino algunos ejemplos posibles— puede ser, en el sentido expuesto, de gran utili­dad.

de una fundamcntación filosófica. Se su- esto ha contribuido de alguna la falta de prestigio de la for­

mación pedagógica entre los estudiantes de disciplinas científicas, en general; pero es de suponer también que un replanteo de estas cuestiones producirá un cambio, sobre todo si la capacitación pedagógica so orienta hacia los problemas concretos que debe afrontar el docente secundario en el ejercicio profesional; problemas de cuya acertada solución depende el éxito de la enseñanza que imparte. Así, por ejemplo, interesa para el desempeño do­cente la conducta individual y colectiva que observan los alumnos frente a la ne­cesidad y conveniencia del conocimiento. La cuestión se vincula con la psicología del adolescente y la dinámica de grupos. También es fundamental conocer teoría y técnicas del aprendizaje para aplicarlas a la enseñanza de la matemática, especial­mente cuando se trata de adaptar al nivel secundario y en ía forma más clara y ac­cesible para los alumnos, cuestiones nue­vas que derivan de un nivel superior. Un curso o seminario especial dedicado a este tipo de tareas parece justificarse, máxime si se lo utilizara también para familiarizar a los futuros docentes con los trabajos y conclusiones de conferencias y congresos que han versado sobre el tema. Se trataría así de capacitarlos para una labor crítica, creativa y renovadora, directamente vincu­lada con su quehacer diario. El período de práctica de la enseñanza —más o me­nos prolongado, de acuerdo con las espe­ciales aptitudes del candidato— serviría de ensayo para la aplicación concreta de los conocimientos y técnicas adquiridos.

LA ORIENTACIONpone que manera a

a geometría en la enseñanza

moderna de la matemáticacomo un

G. PAPY (Bélgica)

de los espacios vectoriales con producto escalar es el marco natural del precioso legado de la tradición euclidiana!

¿Es posible estudiar los espacios vecto­riales sin introducir la estructura de gru­po... cuando un espacio vectorial es, ante todo, un grupo conmutativo.. . y cuando aparecerán inevitablemente los grupos do transformaciones lineales?

La mayoría de los grupos examinados son grupos de permutaciones. Se tratará, pues, de distinguir las permutaciones entre Jas transformaciones.

El conjunto de las clases laterales de lodo sub-cspacio vectorial constituye una partición.

Y no hemos evocado todavía el campo de los coeficientes. Los espacios vectoria­les considerados son reales: se trata, pues, de introducir el cairqDo ordenado de los nú­meros reales, en el que la estructura de orden desempeña un papel del todo fun­damental.

Inútil prolongar esta enumeración en cascada; una buena enseñanza de los ele­mentos de los espacios vectoriales emplea inevitablemente todos los conceptos de la teoría elemental de los conjuntos, de las relaciones y de los grupos.

La introducción del estudio del espacio vectorial en el programa de la enseñanza secundaria impone las grandes líneas de ese programa que examinaremos detalla­damente más abajo, siguiendo el orden cronológico y polarizando nuestras obser­vaciones sobre la geometría y el espacio vectorial euelidiano plano.

En 1961, en el mismo momento en que la empresa belga de renovación de la en­señanza de la matemática se inició en la clase sexta (12-13 años), tomé una clase tercera de la especialidad científica (alum­nos de 15 -16 años, 7 períodos de 45 mi-

E1 programa de la experiencia belga para los cinco primeros años del ciclo se­cundario (12 a 17 años) está de acuerdo con las voces unánimes emitidas en todas las reuniones de matemáticos puros y apli­cados que se han preocupado por el pro­blema de la enseñanza:1. La matemática actualmente útil es la

matemática moderna. Ella tiene las ma­yores posibilidades de entrar en reso­nancia con el espíritu de los niños ele hoy.

2. Es necesario aprender a “matematizar’ situaciones.

3. Los programas de enseñanza secunda­ria deben incluir: conjuntos, relaciones, gráficos, grupos, espacios vectoriales (comprendiendo los. espacios vectoria­les con producto escalar euelidiano), las primeras nociones de análisis matemá­tico y del cálculo diferencial e integral.

El punto central, el más fundamental del programa precedente, es sin disputa:

ESPACIOS VECTORIALESLa puesta en evidencia sistemática de

los espacios vectoriales subyacentes, en las ramas más variadas, es uno de los rasgos característicos del verdadero rostro de la matemática de hoy. El estudio de difíciles problemas de topología usa especialmente la estructura de anillo-módulo, que gene­raliza la de espacio vectorial.

¿Quién no ve la imposibilidad actual de desarrollar honestamente un curso de aná­lisis matemático sin usar de manera funda­mental los espacios vectoriales (DI)? ¿Es admisible disimular que diferenciales e in­tegrales son ejemplos importantes de apli­caciones lineales?

Gustavo CROQUET ha indicado con cuánta fuerza y razón los espacios vecto­riales con producto escalar constituyen el Camino Real de la Geometría. ¡La teoría

una

no

o. La aptitud para el cambio.Desde que los formidables adelantos de

la matemática como ciencia exigen una rápida actualización de los contenidos y métodos de enseñanza en el nivel secun­dario, el profesor de la asignatura debe imprimir a su labor docente un carácter esencialmente dinámico. Quiere decir, que debe estar capacitado para el cambio, cir­cunstancia que la formación tradicional del profesor de matemática no tenía en cuen­ta; hecho que dificulta en el presente rápida adaptación del personal en ejerci­cio, que debe ser actualizado mediante cursos de todo tipo, lo que significa ingen­tes gastos de tiempo y dinero. Para lo su-

fma-

una

(sigue en pág. 46)

1213

?l

geometría porque nuestros alumnos han estudiado ante conjuntos y relaciones especialmente, las permutaciones.

CLASE QUINTA (13-14 años) (4 pe­ríodos semanales de 4o minutos).

Este año está casi enteramente consa­grado a la génesis simultánea del campo ordenado de los reales y de la estructura vectorial plana. El hecho importante para recordar aquí es que existe por lo un método que permite introducir nociones importantes, de manera a la vez rigurosa c intuitiva.

Esta enseñanza ha podido tener éxito gracias a la presentación anterior de los elementos de la geometría en forma con­juntóla, axiomática y relacional. La i ación posicional desempeña un papel esencial en la introdución del conjunto or­denado de los reales. Para mayores deta­lles, volvemos a enviar al lector interesado a (F1), obrita dedicada a los enseñantes, c a (MM2), manual dedicado a los alum­nos y escrito después de la experiencia.

Un andar paciente nos ha conducido de los axiomas originales de carácter intuitivo a la estructura del espacio vectorial real de dimensión dos. A medida que se des­arrolla el curso, se invocan cada vez menos los axiomas originales y las proposiciones intermedias y cada vez más las propiedades que caracterizan la estructura de espacio vectorial real del plano.

El curso culmina por la puesta en evi­dencia de esta estructura y termina con su utilización sistemática. Se prepara así < 1 retorno psicológico del comienzo de la clase tercera en donde la estructura vec­torial es la base axiomática de partida.

CLASE CUARTA (14-15 años) (4 pe- i iodos semanales de 45 minutos).

"El marco del espacio vectorial eucli- diano plano es el camino real para la en­señanza de la geometría”. Entonces, con­viene llegar sin choques a este camino. Tal es el objetivo de nuestra enseñanza de la geometría métrica en la clase cuarta.

A partir de la noción muy intuitiva de simetría ortogonal, se introduce o se vuel­ven a encontrar los desplazamientos (rota­ciones o traslaciones) y los retornos (si­metrías deslizantes o no).

El medio pedagógico de las rectas moradas facilita el acceso al grupo de las

isometrías v al de los desplazamientos (MM0) y (MM3).

El uso simultáneo de esos grupos v de las señales afines de las rectas introduce la noción de distancia, bajo su forma moder­na, como aplicación de - X en R+, lo que da por sobreentendida la elección pre­via de la unidad. No hay ninguna objeción para la fijación de ésta, puesto, que el cam­bio de unidad plantea un problema cuya solución es trivial.

El grupo conmutativo de las rotaciones de centro dado conduce al grupo de los ángulos. Como la medida de los ángulos no desempeña ningún papel en la geome­tría elemental, el problema que plantea su introducción se traslada a la clase primera donde se resuelve en el marco de Ja teoría de las funciones circulares. La aprehensión numérica del ángulo se hará primeramente por intermedio del coseno.

Distancia y coseno introducen el pro­ducto escalar. Su conmutatividad

La geometría es abordada en el curso de la segunda mitad de ese año, emplean­do a la vez las nociones conjuntólas ad­quiridas y el método axiomático de las ciencias experimentales. El plano es con­siderado como dato que se idealiza de ma-

armoniosa cuando la experiencia pro­

habíanulos por semana) para ver si no allí manera de enseñar la teoría de jos espacios vectoriales a alumnos de 15 años que habían seguido una enseñanza tradi­cional.

Esta experiencia me llevó a la siguiente conclusión:1. La enseñanza tradicional anterior a los

15 años ya había condicionado a los alumnos en sentido opuesto al espíritu de la matemática moderna. Se debían realizar grandes esfuerzos para desin­toxicarlos. El condicionamiento anterior no tenía nada de natural ni de espon­táneo: tesoros de pedagogía y de ab­negación tradicionales habían sido gas­tados para llegar a ese resultado... (pie ahora convenía destruir.

¡Qué pérdida de tiempo y de energía!2. Las nociones fundamentales concer­

nientes a los conjuntos y relaciones se enseñan más fácilmente a los 12 que a los 15 años. Ellas taponan el curso de la clase de 15 años donde dema­siados conceptos deben ser introducidos simultáneamente.

3. Conjuntos, relaciones, grupos... si son enseñados desde los 12 -13 años es po­sible usar armoniosamente esos concep­tos como útiles motores de la construc­ción misma del edificio matemático y, en particular, de la geometría. Resulta así una enorme ganancia de tiempo y de motivación y la matemática aparece entonces en una visión unitaria.

CLASE SEXTA (12-13 años) (4 perío­dos semanales de 45 minutos) (*)

La primera mitad de este año está re­servada a los conjuntos y relaciones, en­señadas con ayuda de representaciones geométricas por diagramas de Venn y grá­ficos multicolores.

Todos los que han procedido de esta manera —y han dedicado tiempo a esta enseñanza-- han podido comprobar, en los años siguientes, que las principales nocio­nes de esta teoría elemental e ingenua eran asimiladas definitivamente v for ma b a n parte del conocimiento adquirido inmedia­tamente disponible.

El uso de los aiagoamas de Venn y de los gráficos enseña subsidiariamente a di­bujar esquemas y a esquematizar situa- cionesj lo que es fundamental para todos los estudios posteriores.

y»

nerapíamente dicha deja de dar respuestas. El maestro elige situaciones que provocan la expresión de ciertas afirmaciones más o

descriptivas. Entre ellas se eligen los axiomas de incidencia de la geometría

menos esasmenos

plana.A menudo, es difícil razonar sobre fi­

guras, porque se ven las respuestas sin razona r. Este inconveniente se obvia empleando diagraams de Venn (MM1, pág. G8-71) y, notablemente, pidiendo que se dibujen en el plano situaciones primitiva­mente descriptas por los diagramas.

El axioma de las paralelas se introduce en forma global (MM1, pág. 73-75).

Las cadenas de paralelogramos condu­cen en forma totalmente natural a la no­ción de pares equipolentes. El carácter arguesiano del plano está contenido en el axioma que afirma la transitividad de la equipolencia.

Las traslaciones o vectores (clases de equivalencia de la equipolencia) aparecen de buenas a primeras como permutaciones del plano. La identificación deliberada de vector y traslación con una permutación del plano economiza conceptos y evita dis­tingos sutiles pero inútiles.

En lo que concierne a la geometría, el curso sexto termina por la puesta en evi­dencia del grupo conmutativo de los vec­tores, al cual se identifica el plano x después de la fijación de un origen. Los alumnos efectuarán cálculos en el grupo

la que es en sí misma una prodi­giosa situación pedagógica.

Además de las traslaciones, se consideran en esta clase las proyecciones paralelas del plano sobre una recta y una de las pri­meras demostraciones dignas de ese nom­bre consiste en probar que las proyeccio­nes paralelas de los pares equipolentes, son equipolentes, primer paso hacia el teore­ma de Tales. Se empleará, a ese efecto, el medio pedagógico de las tiras didác­ticas para señalar las etapas de la demos­tración (MM1, p. 362).

Es posible una presentación tal de la

nume-

y su con­dición de ser bilineal implican el teorema de Pitágoras, la desigualdad de Cauchy - Schwartz y la desigualdad triangular.

El curso culmina por la puesta en evi­dencia de la estructura del espacio vec­torial euclidiano plano y termina con su empleo sistemático.

CLASE TERCERA CIENTIFICA (15- 16 años) - (7 períodos semanales de 45 minutos).

Los alumnos han tenido ocasión de dar­se cuenta de la importancia de la estruc­tura del espacio vectorial, lo que motiva un pequeño estudio intrínseco cuyo punto crucial es el teorema de la base:

SI un espacio vectorial admite una base de n elementos, ENTONCES toda base de ese espacio vectorial comprende n ele­mentos.

Este teorema se pone al alcance de los alumnos de 15 años gracias a un medio pedagógico que materializa las sustitucio­nes en el pasaje de una base a otra. Este procedimiento se describe de manera es­quemática en (F2; ps. 32-33).

Adquirido este punto, ha llegado el mo­mento de efectuar el retorno psicológico a que ya hemos hecho alusión. El fin do los cursos de las clases quinta y cuarta ya ha enseñado, en efecto, a servirse de los axiomas de definición de la estructura del espacio vectorial euclidiano plano.

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1514

formaciones lineales) que conservan el pro­ducto escalar? Felizmente se puede esla- blacer que las únicas transformaciones or­togonales son las ya conocidas: simetrías

rotaciones. El estudio de las matrices de transformaciones en una base orto-

Los alumnos que han recorrido otros el camino que conduce de los axio­mas originales de esta estructura tienen a menudo cierta angustia por la idea de no letener el detalle del itinerario recorrido. El retorno psicológico viene en el momen­to oportuno: calma y reconforta saber que se tiene el derecho de no retener más que los axiomas de definición de los reales y los de la estructura del espacio vectorial euclidiano plano.

La dimensión no interviene en las de­mostraciones concernientes al cuadrado es­calar de una suma y el teorema de Pitá- goras. Se matan dos pájaros de un tiro puesto que esos resultados siguen valiendo en el espacio.

La mayor parte de los cursos terceros, en lo que concierne a la geometría, está consagrada, sin embargo, a un estudio más sistemático del espacio vectorial euclidia­no plano. Sería doloroso no usar esta im­portante estructura más que para estable­cer de una nueva manera resultados ya adquiridos en la enseñanza anterior y es­pecialmente en la clase cuarta. El desa­rrollo del curso tercero debe convencer a los alumnos que el espacio vectorial eu­clidiano plano es una formidable base de partida para la conquista de nociones ab­solutamente fundamentales de Ja matemá­tica de siempre.

La linealidad de las proyecciones para­lelas, de las homotecias y de las simetrías paralelas (y ortogonales), puestas en evi­dencia en las clases quinta y cuarta, motiva el estudio de las transformaciones lineales del espacio vectorial euclidiano plano.

Toda transformación lineal está deter­minada por la imagen de los elementos de una base. Se adivina de inmediato el be­neficio que se podría obtener por el em­pleo adecuado del método de los gráficos, cuyo interés aumenta aquí súbitamente. A cada uno de esos gráficos parciales está asociada la matriz de la transformación en la base considerada. Este estudio pone en evidencia el anillo de las transformaciones lineales (y subsidiariamente el de las ma­trices R2*2, +, .) y el grupo lineal general (ver A7, cap. 2).

Se ha visto, en los cursos anteriores, que las isometrías centradas son lineales. De allí el problema inverso: ¿cuáles son las transformaciones ortogonales (o las trans-

con nos- LO DIDACTICO

introducción a la lógica matemáticai yosasnormada conduce al coseno de una rota­ción lo mismo que al semigiro y a los dos cuartos de giro.

El grupo de las semejanzas y el semi- grupo de las semejanzas directas se ob­tienen componiendo homotecias y trans- Jormaciones ortogonales. Se establece, en fin, que el conjunto de semejanzas directas os un campo (o cuerpo conmutativo).

Una de las maneras de orientar al espa­cio vectorial consiste en decidirse a llamar i a uno de los cuartos de giro. Toda se­mejanza directa se identifica con el nú­mero complejo a + bi; la componente real a no depende de la orientación, contraria­mente al signo de su parte imaginaria b. En el plano orientado, se define el seno de una rotación o de un ángulo.

Los ángulos se introducen como ele­mentos de un grupo aditivo, isomorfo al grupo composicional de las rotaciones o al grupo multiplicativo de los números com­plejos de módulo 1.

Es fácil deducir algunas fórmulas trigo­nométricas importantes de las propiedades de los números complejos.

Para mayores detalles, volvemos a re­mitir a la bella obra (D2) de Jean DIEU- DONNE, escrita para las necesidades de estudiantes intrépidos y a (MM6) direc­tamente destinada a los alumnos.

En la clase segunda (16-17 años) se desarrolla la geometría del espacio a par­tir del espacio vectorial euclidiano de di­mensión tres.

J. SEBASTIÁO c SILVA (Portugal)

F y el valor V), conjunto que podemos designar abreviadamente por la notación i V. F }. \

Tales operaciones quedan definidas por las tablas anteriores.

Ete nuevo punto de vista simplifica con­siderablemente el estudio de la lógica, co­mo tendremos ocasión de verificar.J2. Las operaciones lógicas y las máquinas de calcular. El funcionamiento de las mo­dernas computadoras electrónicas se basa en gran parte en la lógica matemática. Pre­sentaremos los esquemas de circuitos eléc­tricos que efectúan las operaciones de con­junción, disjunción y negación, en máqui­nas de tipo simple basadas en electroima­nes (en las máquinas electrónicas, mucho más rápidas, la idea es esencialmente la misma, pero los electroimanes son reem­plazados por válvulas electrónicas).

El circuito de conjunción (o circuito “y”) está esquematizado en la Fig. 1; el circuito de disjunción (o circuito “o”) en la Fig. 2, y el circuito de negación (o circuito "no”) en la Fig. 3.

J1 . Las operaciones lógicas consideradas como operaciones sobre valores lógicos. So dijo antes que designamos con “V" al va­lor de verdad y con “F” al valor de fal­sedad. Para determinar el valor lógico de la negación, de la conjunción y de la dis- junción, partiendo de los valores lógicos de las proposiciones dadas, pueden usarse las siguientes tablas, llamadas habitual- nlente tablas de verdad:

f\ q pn

FV F tTFV

VV F VVVF V FVrF FFLas dos últimas son tablas de dos en­

tradas, semejantes a las tablas pitagóricas de la multiplicación; en ellas se ve inme­diatamente que el valor de la conjunción es V cuando ambos datos tienen el valor V (y sólo en ese caso), y que el valor de la disjunción es V cuando uno, por lo menos, de los datos tiene el valor V (y sólo en ese caso).

Estas tablas nos inducen a considerar la negación, la conjunción y la disjunción, *fio propiamente como operaciones sobre pro- jiosiciones, sino como operaciones sobre va­lores lógicos. De ese modo, el resultado de la negación sobre los valores lógicos V y F será, respectivamente, F y V, o sea, en símbolos: ^ V F; ^ F = V.

Análogamente se tendrá:V A V = VV A F = F F A V = F F A F = F

Se trata, ahora, muy simplemente, de las operaciones definidas -en un conjunto for­mado apenas por dos elementos (el valor

* Véase No 1, paos. 21 a 26 (N. de R.).

a Ab

(Fig- 1)

El valor lógico V se traduce en este caso por pasaje de corriente y valor F por ausen­cia de corriente.

En el primer esquema, los interruptores están colocados en serie y, por tanto, habrá corriente en el circuito cuando se envíe corriente a las dos bobinas ai mismo tiem­po, cerrando los dos interruptores que, de otro modo, se mantienen abiertos por me­dio de válvulas. Así, el resultado será V cuando, y sólo cuando, ambos datos a y b sean V; trátase, pues, de la conjunción.

En el segundo esquema, los interrupto­res están dispuestos en paralelo y, por tanto, pasará corriente en el circuito cuan-

(Fig. 2)\

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V V V = VV V F = V F V V = V FVF=F

/

(sigue en pág. 24)

1617

a. (b + c) == (a. b) + (a.c) siendo a, b, c números cualesquiera.

Muchas veces, por comodidad de len­guaje, la conjunción es también llamada producto lógico, escribiéndose entonces p. q (Leer “p veces q”) en lugar de p A q. A su vez, la disjunción es llamada lógica, escribiéndose p + q (leer p más q) en lugar de p V q. En este caso, se acostumbra a designar los valores lógicos V y F con los símbolos 1 y 0. Entonces, el producto lógico coincide con el pro­ducto usual en el conjunto -¡0, 1J-, pero no sucede lo mismo con la suma lógica, dado que V V V = V, o sea 1 + 1 = 1.

Obsérvese que la disjunción también es distributiva con respecto a la conjunción:

p V (q A r) = (p V q) A (p V r)Por ejemplo, la proposición:“O llueve o está ventoso y frío”

equivale a afirmar las dos proposiciones:‘'Llueve o está ventoso” y “Llueve o

hace frío”.

operaciones fundamentales, por ejemplo, según la fórmula:

a V — (a V b) A - (a A b)(esto es, verifícase a V b cuando se veri­fica a o b, pero no a y b al mismo tiempo).

Uno de los tipos de problemas de lógica matemática, impuesto por los cerebros electrónicos, que exigen cada vez más el

de especialistas de la materia,

Para hacer una lista de las propiedades de la conjunción y de la disjunción, supondre­mos que las letras a, b, c designan cuales­quiera de los valores lógicos V, F.

A) Propiedades de la conjunción.1. La conjunción es conmutativa, esto es,

a A b = b A a2. La conjunción es asociativa, esto es,

(a A b) A c = a A (b A c)3. El elemento V es tal que:

a A V = a, cualquiera sea a (V o F)4. El elemento F es tal que:

a \ F = F cualquiera sea a.B) Propiedades de la disjunción.

I’- La disjunción es conmutativa:a V b = b V a

2\ La disjunción es asociativa:(aVb) Vc = aV (bVc)

3’. El elemento F es tal que:a V F = a cualquiera sea a

4’. El elemento V es tal que: a V V = V cualquiera sea a

C) Propiedades mixtas (de la conjunción ¡I de la disjunción)ó. La conjunción es distributiva con

respecto a la dis junción. a A (b V c) = (a A c)

G. La disjunción es distributiva con respecto a la conjunción:

a V (b A c) = (a V b) A (a V c) La demostración de estas propiedades

puede reducirse a una simple verificación empleando las tablas de la conjunción y de la disjunción y considerando todas las sustituciones posibles de las letras a, b, c por valores lógicos. En efecto, como cada letra sólo puede tener dos valores (V y F), el número de tales sustituciones es fi­nito. Así, por ejemplo, la propiedad con­mutativa de la conjunción resulta de la tabla respectiva observando que:

1) si a = V y b = V, es a A b = b A a = V

2) si a = V y b — F, es a A b = b A a = F

3) si a = F y b = V, es a A b = b A a = F

4) si a = F y b = F, es a A b = b A a = F

Análogamente para la propiedad asocia­tiva:

do (y sólo cuando) se envía corriente por lo menos a una de las dos bobinas: tra­tase, pues, de la disjunción.

Finalmente, en el tercer esquema, el en­vío de corriente a la bobina produce in­terrupción en el circuito y existe una vula que cierra automáticamente el inte­rruptor cuando no hay corriente en la bobi­na; se trata, pues, de la negación.

vál- suma

concurso es el siguiente:

Dada una expresión de cálculo proposi- cionaly reducirla a una expresión mínima, esto es, a una expresión equivalente que requiera el mínimo de circuitos elemen­tales Cy”, V’ y “no') y, por tanto, el mí­nimo de consumo energético del cerebro.

Esto se consigue aplicando las propieda­des de las operaciones lógicas, que vamos a estudiar, y cuya utilidad fundamental es: ECONOMIA DE TIEMPO, ECONOMIA DE PENSAMIENTO, ECONOMIA DE ESFUERZO.

A modo de ejemplo, obsérvese que, de las dos formas anteriores para definir a V b, la segunda es más económica visto que elimina un circutio “no”.13. Propiedades de la conjunción y de la disjunción. Consideremos la siguiente pro­posición :

“Carlos estudia y Pedro oye música o

'S'cL;

*-¿(Fig. 3)

A partir de estos tres tipos de circuitos elementales, que podemos indicar respec­tivamente con los símbolos

-TU—z=Lies fácil construir varios circuitos que efec­túen otras operaciones lógicas más o menos complicadas, en vista de que todas, en úl­timo análisis, se pueden definir a partir de aquellas tres. Por ejemplo, la disjunción ex­clusiva, dada por la tabla adjunta, puede ser definida a partir de la conjunción, de

aVb

Por lo contrario, en el caso de los nú­meros, la adición no es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es, no se tiene generalmente:

a + (b. c) = (a. b)Por ejemplo:

(a.c)

3 + (2.5) - (3 + 2). (3 + 5)Observemos desde ahora el provecho que

se puede obtener de estas propiedades de la conjunción y de la disjunción en los cerebros electrónicos. Por ejemplo, la ex­presión (a A b) V (a V c) conduce al esquema de la Fig. 5, en tanto que la ex­presión equivalente a A (b V c) conduce al esquema de la Fig. 6: ésta es, puesr, más económica, pues elimina un circuito “y”.

Pero hay otras propiedades de la adición y de la multiplicación de números que se extienden a la disjunción y a la conjunción (sobre proposiciones o valores lógicos).

lee”.)Es obvio que esta proposción equivale

a la siguiente:“Carlos estudia y Pedro oye música, o

Carlos estudia y Pedro lee”.Usando las letras a, b, c, respectivamen­

te, como abreviatura de las proposiciones “Carlos estudia”, “Pedro oye música”, “Pe­dro lee”, la referida equivalencia queda traducida por la fórmula:

VV rv FFla disjunción y de la negación, por medios de la fórmula:

a V b = (a A ^ b) V (b A ^ a)esto es, verifícase a V b cuando se veri­fica sólo a o sólo b). De acuerdo con esta fórmula, representamos en la Fig. 4 el esquema de un circuito que efectúa la dis­junción exclusiva.

• 1

a A (b V c) = (a A b) V (a A c)Es evidente que esta fórmula es verda­

dera, cualesquiera sean las proposiciones en los lugares de las letras. Se expresa esteb A*v3.

Aft(bvc)(Fig. 5) b —«r. 0—V b

hecho diciendo que la conjunción es dis­tributiva con respecto a la disjunción. Esta manera de decir fue adoptada por analogía con lo que ocurre con respecto a los nú­meros; en este caso, la multiplicación es distributiva con respecto a la adición, esto

o _r (Fig. 6)a a b1) si a = V, b = V y c = V,

es (a A b) Ac= (V A V) \ V = V y a A (b A c) =

V A (V A V) = V

V

Aun se pueden imaginar otros circuitos para efectuar esta operación, pues podemos definirla de otros modos a partir de las

(aAbMbAc)

es:1918

i

í

i

a a x = F y a V x = VClaro es que este valor x es precisamente

el contrario de a, o sea ^ a, igual a F si a = V, igual a V si a = F. Tenemos, pues:

a A ^ a = F; a V ^ a = V, cual­quiera sea a.

Estas fórmulas, aplicadas a proposiciones, traducen a una nueva forma los principios de la lógica bivalente:

PRINCIPIO DE NO CONTRADIC­CION. Decir que una proposición es ver­dadera o falsa al mismo tiempo, es siem­pre falso.

PRINCIPIO DEL TERCERO EXCLUI­DO. Decir que una proposición o es ver­dadera o es falsa, es siempre verdadero.

Finalmente, es fácil deducir de las ta­blas de verdad las dos propiedades si­guientes:

~ (a A b) = a V ~ b;^ (a V b) = ^ a A bSuponiendo que en los lugares de a y

b se ubican proposiciones, estas fórmulas expresan las dos siguientes leyes del pen­samiento, llamadas primeras leyes de DE MORGAN.

por tanto:(a A b) A c = a A (b A c);

2) si a = V, b == F y e = V es (a A b) A c =(V A F) AV == F y a (b A c) = V A (F A V) = F

Y-te aciones y funcionesLuis A. Santaló

(Argentina)Por tanto:(a A b) A c = u A (b A c),

y así sucesivamente (en este caso mero de sustituciones posibles es S).

De este modo, adquirimos la certeza de que todas las referidas propiedades válidas.

Obsérvese que, empleando las notacio­nes a.b, a -}- b, 1 y 0 (en lugar de las notaciones a A b, a V b, V y F, las pro­piedades 3, 4, 3’ y 4* relativas a V y F, toman, respectivamente las formas:

a. 1 = a, a. 0 =0 a + 0 = a, a + 1 = 1

siendo a cualquiera de los valores lógicos. De estas propiedades, sólo la última no se verifica en el caso de la adición y de la multiplicación usuales con números.

Las propiedades 3, 4, 3’ y 4', respecti­vamente, se expresan diciendo: V es el demento neutro de la conjunción, F es el elemento absorbente de la conjunción, F es el elemento neutro de la disjunción, V es el elemento absorbente de la disjunción.

Las propiedades de la conjunción y de la disjunción revelan Ja armonía de las le­yes del pensamiento. Volviendo a la lista anterior, un hecho llama luego la atención:

Las propiedades de la conjunción y de la disjunción son formalmente idénticas, esto es, se pasa de unas a otras cambiando sólo “a” por “V" y “V" por “F\

En este hecho, y en otros que se apun­tarán oportunamente, (que no se verifican c-n el caso de operaciones con números) consiste el PRINCIPIO de DUALIDAD LOGICA.14. Propiedades de la negación: sus rela­ciones con ¡a conjunción y la disjunción. La propiedad más simple de la negación es la PROPIEDAD DE LA DOBLE NEGA­CION:

^ a = a, cualquiera sea a (esto es, la doble negación equivale a la afirmación).

Observemos ahora que la negación pue­de definirse por la siguiente propiedad de la conjunción y de la disjunción:

Cualquiera sea el valor lógico a existe solo un valor lógico x, y uno sólo, tal que:

el nú-Una de las principales ventajas de la

matemática moderna es su universalidad. Es aplicable a situaciones mucho más ge­nerales que la matemática clásica. Contri­buye decididamente a que la naturaleza y la vida sean vistas con ojos de matemáti­co. Pero la matemática moderna, si bien se aplica a dominios muy diversos del cono­cimiento y a muchas situaciones corrientes de la vida ordinaria, es ante todo matemá­tica sin adjetivos y, por tanto, no puede desligarse de la matemática clásica, a la cual comprende y de la cual recibe los prin­cipales flujos de vitalidad.

Sobre todo en la enseñanza secundaria puede ser peligroso dejarse llevar por un entusiasmo exagerado y dejar de lado to­do lo que tiene sabor a clásico, reduciendo la matemática a un conjunto de definicio­nes o propiedades que por su gran gene­ralidad y amplio espectro de aplicaciones, devienen muchas veces puras trivialidades. Al contrario, es necesario insistir en que la matemática moderna comprende todo lo útil e importante de la matemática clásica y que merced a ella todo lo que esta última tiene de fundamental y permanente se al­canza a ver de manera más clara, por lo cual se asimila mejor y se aprende de ma­nera más fácil y agradable.

En lo que sigue, vamos a ver si conse­guimos mostrar como lo nuevo es útil a lo clásico y como, a su vez, lo clásico es la fuente mas importante para ejemplificar lo moderno.

1. RELACIONES. Vamos a reunir pri­mero las principales definiciones, juntando a continuación unos cuantos ejemplos tí­picos para aclarar las mismas. Ello no es él camino más conveniente desde el punto de vista didáctico, pues conviene siempre motivar antes las definiciones, pero en cam­bio puede ser útil para el x:>rofesor tener reunidas en breve espacio las principales definiciones.

Def. 1.1. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos X, Y el conjunto formado por los pares ordenados (x, y) con x 6 X, y 6 Y. Se representa X X Y.

Def. 1.2. Se llama relación entre un con­junto X y un conjunto Y a todo subconjun- to de X X Y.

Sea R una relación entre X, Y. Si (x, y)£ R se escribe también x R y y se dice que x e y están relacionados.

El conjunto X se llama el dominio de R y el conjunto Y el codominio de R. Estas de­nominaciones, como otras que vendrán a continuación, no son universalmente acep­tadas, pues todavía no hay una nomencla­tura indiscutida.

Def. 1.3. A toda relación R entre X e Y corresponde una relación R_l entre Y y X llamada inversa de R, que se define por la condición(x, y) £ R'1 si y solo si (y, x) £ R.

Según esta definición, el dominio de R_l es el codominio de R y el codominio de R~l es el dominio de R. Al conjunto de ele­mentos x£X tales que se cumple (y0, x) £R_1, con y0 un elemento fijo de Y, se le llama un conjunto de nivel de X respecto de R.

Consideremos el caso en que X=Y; se dice entonces que R es una relación en X. En este caso, cabe considerar algunas pro­piedades que pueden poseer las relaciones, a saber:

a) R es reflexiva si (x, x) £ R para todo x £ X.

b) R es simétrica si (x, y) £ R implica (y,x) £ R.

c) R es transitiva si (x,y) £ R, (y, z) £ R implican (x, z) £ R.

d) R es antisimétrica si (x, y) £ R, (y, x) £ R implican x=y.

c) R es circular si (x, y) £R, (y, z) £R implican (z, x)£R.

f) R es triangular si (x, y) £ R, (x, z) £ R implican (y, z) £ R.

Def. 1.4. Una relación R definida en un conjunto X se dice que es una relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejercicio: probar que R es una relación de equivalencia:

a) si es reflexiva y circular; b) si es re­flexiva y triangular.

son

I. Negar que dos proposiciones dadas son al mismo tiempo verdaderas equivale a afirmar que una, por lo menos, es falsa.

II. Negar que una, por lo menos, de dos proposiciones es verdadera equivale a afirmar que ambas son falsas.

Por ejemplo, la negación de “Es inteli­gente y estudia” equivale a “NO es in­teligente o no estudia”; la negación de “Es médico o profesor” equivale a “NO es mé­dico y no es profesor”.

Estas propiedades pueden asimismo ex­presarse diciendo que la negación transfor­ma la conjunción en disjunción y la dis­junción en conjunción. Así, las leyes de De Morgan explican el ya citado PRINCI­PIO DE DUALIDAD LOGICA y mues­tran cómo es posible definir la disjunción a partir de la conjunción y de la negación, o la conjunción a partir de la disjunción y de la negación:

a V b = r-/ (É a A ■—- b), a A b = ^ a V ^ b)Esto quiere decir que un cerebro elec­

trónico podría funcionar con sólo dos tipos de circuitos elementales: circuitos de con­junción y de negación, o circuitos de dis­junción y de negación. (continuará)

2021

I

3. EJEMPLOS DE RELACIONES I. Relaciones entre conjuntos de Ja vi­

da común. Es conveniente mostrar algu- ejemplos de relaciones que aparecen

de manera natural en la conversación co­rriente. Ellas dan idea de cómo la matemá­tica se extiende a dominios de la vida co­mún y no es solamente pura calculatoria como daba la impresión de ser la matemá­tica clásica. El análisis de relaciones defi­nidas coloquialmente, que no pueden ex­

mediante fórmulas matemáticas

Dcf. 1.5. Una relación R definida en un conjunto X se dice que es una relación de orden si es reflexiva, transitiva y antisime- trica.

Si R es una relación de orden en X, se dice que ella define en X un orden. Este orden se llama teta! x =:= y implica que (x,y) £R o bien (y, x) £ R. Si, en cam­bio, existen elementos x => y tales que ni el par (x, y) ni el par (y, x) son elementos de R, el orden se llama parcial.

i cpasai muchas propiedades que suelen aparecer desconectadas entre sí. Ejemplos:

19) X=Y— conjunto de los círculos del plano.

a) ^y) ^ s* y sólo si x coincide o es interior

Es una relación reflexiva y transitiva, pero no simétrica.

b) ( y)r £ R- si y sólo si x, y tienen punto común. Es reflexiva, simétrica, transitiva.

c) (x> y) <5 R3 si y sólo si los radios r, r’ de x, y cumplen (r-1) (r-1) > 0, Es simé­trica y transitiva, pero no es reflexiva para los círculos de radio 1.

29) X--=Y= todos los polígonos del pla-

Fijo x, los conjuntos de nivel (x, y) £ R son las circunferencias de centro x.

6o) X= puntos de la Tierra, Y= núme­ros reales representativos de una escala termométrica.

(x, y) £ R si y sólo si en el punto x la temperatura es y (en un instante dado). Los conjuntos de nivel (x, y0) £ R, para cada y0 fijo son las líneas isotermas. De­finir análogamente las líneas isóbaras.

79) X= rectángulos del plano, Y= pares de rectas del plano.

(x, y) £ R si y sólo si el par de rectas y son las diagonales del rectángulo x.

Ejercicio: construir la relación inversa, o sea, dados dos rectas del plano, no para­lelas, construir rectángulos que las tengan por diagonales; probar que todos son se­mejantes.

III. Relaciones entre conjuntos de nú­meros. Aparecen de manera natiual en va­rias cuestiones de aritmética y álgebra. Ejemplos:

19) X= conjunto de los números na­turales, Y= conjunto de los números pri­mos.

nos

i

a y.

nopresarsesimples, es útil para agilizar el razona­miento y para acostumbrar a ver el mundo dentro el marco de los esquemas matemá­ticos. Veamos algunos ejemplos:

19) X= conjunto de las ciudades, Y— conjunto de los países, (x, y) £ R si y sólo si la ciudad x pertenece al país y.

Otra relación puede ser:(x, y) £ Ri si y sólo si la ciudad x es la

capital del país y.Expresar las relaciones inversas.2?) X= alumnos de una clase, Y= nú­

meros de 1 a 31. (x, y) £ R si y sólo si el alumno x nació el día y del mes.

Se trata de una relación uniforme, pues a cada alumno corresponde un solo nú­mero; son las relaciones que luego llama­remos funciones. La inversa no es unifor-

2. OBSERVACIONES SOBRE LAS REI. ACION ES DE EQUIVALENCIA

I. En la definición de relación de equi­valencia aparentemente sobra la condición do ser reflexiva, pues dado x, si (x, y) £ R, por ser simétrica es también (y, x) £ R, y de estas dos condiciones, por la tran- sitividad se deduce (x, x) £R. Sin em­bargo, obsérvese que esta demostración su­pone que, dado x, existe siempre por lo menos un y relacionado con él. Esta con­dición puede no cumplirse, en cuyo caso la demostración anterior falla y por esto la reflexividad debe postularse. Por ejem­plo, sea X=Y el conjunto de los números reales y la relación “(x, y) £ R si y sólo si x y > O”. Es simétrica y transitiva, y sin embargo no se cumple que (0,0) £ R, de­bido a que 0 no está relacionado con nin­gún elemento de X. La condición de ser reflexiva puede, por tanto, ser sustituida por la condición “todo elemento está rela­cionado por lo menos con un elemento”.

II. Las relaciones de equivalencia sirven para clasificar los elementos de un con­junto. Se establece la siguiente

Def. 2.1. Dada una relación de equiva- cencia R en un conjunto X, se llama clase de equivalencia en X según R, al conjunto de elementos de X equivalentes a un x dado.

El conjunto de las clases de equivalencia se llama el conjunto cociente de x por R y se representa X/R. De esta manera a to­da relación de equivalencia R corresponde una partición de X. Recíprocamente, a toda partición de X en subconjuntos X,, corres­ponde la relación de equivalencia R defini­da por “(x, y) £ R si y solo si x, y pertene­cen a un mismo X,”. Es inmediato compro­bar que se trata, efectivamente, de una re­lación de equivalencia.

no.a) (x, y) £ Ri si y sólo si x, y tienen igual

número de lados. Es una relación de equi­valencia. Las ciases de equivalencia son los triángulos, cuadrados, pentágonos,...

b) (x, y) £ Ro si y sólo si x, y tiene la misma área. Es una relación de equivalen­cia.

!!

39) X=Y= conjunto de las rectas del plano.

a) (x, y) £ Rt si x, y son perpendicula­res. Es simétrica, pero 110 reflexiva ni trans- sitiva.

b) (x, y) £ Ro si y sólo si x, y coinciden o son paralelas. Es una relación de equi­valencia. Las clases de equivalencia son las direcciones en el plano. En lenguaje de la geometría proycctiva, las clases son los puntos impropios o puntos del infinito.

49) X=Y= conjunto de los segmentos orientados del plano = conjunto de los pa­res ordenados de puntos de plano = con­junto de los vectores fijos del plano.

a) (x,y) £ R, si y sólo si los segmentos son iguales, paralelos y del mismo sentido. O bien: si x es el par de puntos (A, B), e y es el par (C, D), es (x, y) £ Ri si y sólo si los cuatro puntos A B CD están alinea­dos o son vértices de un paralelogramo.

Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición, los vectores li­bres del plano.

b) (x, y) £ R2 si y sólo si los segmentos x, y son iguales, del mismo sentido y per­tenecen a una misma recta. Es una rela­ción de equivalencia. Las clases son, por definición, los vectores deslizantes del pla-

59) X=Y= los puntos del plano.(x, y) £ R si y sólo si la distancia xy—I.

(x, y) £ R si y sólo si x es múltiplo de y.Definir la inversa y utilizarla para repa­

sar divisibilidad; por ejemplo hallando to­dos los relacionados con x=15, x=47,...

29) X=Y conjunto de los pares de nú­meros naturales.

( [ x, y] , |X,y’] ) £ R si y sólo six + y’=x’ + y.

Es una relación de equivalencia. Las cla­ses son, por definición, los números ente­ros, o sea, X/R= conjunto de los números enteros.

39) X=Y conjunto de los pares de núme­ros enteros.

me.39) X=Y= conjunto de los alumnos de

un colegio, (x, y) £ R si y sólo si x, y son del mismo año.

Es una relación de equivalencia. Las cla­ses de equivalencia son los conjuntos de alumnos de cada año.

49) En un conjunto de personas X cabe considerar muchas relaciones. Por ejemplo: Ri = ‘ser igual o más alto”, R2= “tener distinto nombre”, R3= “ser hermano de”, R.,= “sentarse en el mismo banco” (si son alumnos de una misma clase), R:>= “vivir en la misma calle”, Rtí= “haber nacido el mismo año”.

Es muy fácil analizar las propiedades (reflexiva, simétrica,...) de estas relacio­nes. Por ejempljo R„ Rc, Rc son relaciones de equivalencia; Rt es una relación de or­den. Las clases de equivalencia de RG están formadas por las personas de las misma edad.

II. Relaciones entre elementos geométri­cos. Desde el punto de vista didáctico, es muy útil “relacionar” elementos geométri-

y con ello sistematizar, o por lo menos

, IX,y’] ) £ R si y sólo si( [x,y]x y* = x* y.

Es una relación de equivalencia. Las clases son, por definición los números re- cionales, o sea X/R = conjunto de los nú­meros racionales.

49) X = Y = conjunto de los números enteros.

(x, y) e R si y sólo si x— y = múltiplo del número primo p.

Es una relación de equivalencia. X/R = conjunto (0, 1, 2, ... p — 1) = cuerpo de los enteros módulo p.

59) X = números reales positivos,Y = números reales.

no.

eos

2322

j

r

origen. A cada x corresponden infinitos va­lores de y. Analizar la inversa R

2?) X = Y = conjunto de los números reales.

(x, y) £ R si y sólo si se cumplen las dos condiciones.

' x + y - 1 > 0,

(x, y) e R si y sólo si y2 = x.A cada x corresponden dos valores de

y, a saber, ± Vx.Es importante hacer hincapié sobre la

no uniformidad de x para evitar el falso

razonamiento siguiente: “ V4 = 2, V4 = — 2, luego 2 = — 2”. Desde la primera vez que aparece el signo de raíz y se co­nocen los números negativos, hay que se­ñalar su carácter multiforme, es decir, y =

Vx no es un valor determinado, sino que significa que x, y están relacionados por la ecuación y2 — x = 0. ¿Y si se trata de la raíz cúbica y se conocen los números com­plejos?

IV. Representaciones gráficas. Cuando el dominio X y el codominio Y de la re­lación R están constituidos por números reales, cada par (x, y) £ R se puede re­presentar por un punto del plano, tomando los elementos de X como abscisas y los de Y como ordenadas. De esta manera, R que­da representada por un conjunto de puntos del plano que se llama la gráfica de R. Re­presentaremos por R indistintamente a la relación y a su gráfica.

Recíprocamente, cualquier conjunto de puntos del plano es la gráfica de una re­lación en el conjunto de los números reales.

Si R es reflexiva, su gráfica debe conte­ner los puntos de la bisectriz y = x co­rrespondiente a todo x £ X.

Si R es simétrica, su gráfica debe ser simétrica respecto de la bisectriz y = x.

Para ver la caracterización geométrica de las relaciones transitivas, representemos por Q el conjunto de los rectángulos de la­dos paralelos a los ejes coordenados (su­puestos ortogonales) que tienen un vértice

ociones sobre cálculo de

probabilidadesx — y — 2 < 0. La gráfica es el ángulo limitado por las

rectas x + y — 1 = 0, x — y — 2 = 0 que contiene el segmento 1 < x < 2. César R. TREJO

(Argentina)39) X = Y = números enteros.(x, y) £ R si y sólo si existe un número

entero z tal que x2 + y2 = z2.La gráfica está formada por los puntos

del plano dados por x == u2 — v2, y = 2 u v, para valores enteros cualesquiera de u, v.

4?) X = Y = conjunto de los números reales.

Introducción0. “vuelco hacia la matemática”, con el es­tudio de conceptos fundamentales como los de independencia de eventos, de probabi­lidad condicional, de variable aleatoria, etc.

Lo que diremos al niño para cultivar su mente no debe ser un primer pedazo de lo que estudia el adulto cuando busca instru­mentos idóneos para otras cosas, que pue­den ser problemas científicos, técnicas agro­nómicas, médicas, ingeníenles, etc., o me­nesteres de la vida diaria.

1. Concepto de probabilidad 1.1 Al hablar de probabilidades, parece natural comenzar por definir “probabili­dad”. Este es un problema delicado, que ha preocupado desde muy antiguo a mate­máticos y filósofos, y aún divide tanto a unos como a otros. Veremos que desde el punto de vista estrictamente matemático

define la probabilidad sino dentro de mía estructura que se llama “espacio de probabilidad”.

No obstante, para comenzar con una in­troducción informal, usaremos una defini­ción provisoria de “probabilidad”. Para Aristóteles “lo probable es lo que ocurre

frecuencia”. A esta “definición” impre­cisa (y perfeccionada luego), pero objetiva y empírica, se oponen definiciones de tipo subjetivo, en relación con el grado de nues­tro conocimiento respecto de un suceso que pueda verificarse o no. Así, si en una urna tenemos 10 bolilas iguales salvo el color, y extraemos una al azar, suponemos que no hay ninguna razón para esperar la apari­ción de una bolilla con preferencia a otra. Diremos entonces que todas las bolillas tie-

la misma probabilidad de salir, o que las extracciones de las distintas bolillas constituyen sucesos igualmente probables. Si entre las 10 bolillas hay 3 blancas dire-

que la probabilidad de obtener una blanca es p = 3/10, y en general:

0.1 Nos proponemos dar un esquema co­herente lo más sencillo y preciso posible, ele conceptos básicos sobre probabilidades que el profesor debe tener presente para trasmitir una noción clara de probabilidad y un enfoque correcto de problemas ele­mentales, al alumno de la segunda mitad del ciclo medio, que suponemos familia­rizado con las operaciones de Boole sobre conjuntos y provisto de nociones precisas sobre relaciones en general, relaciones de equivalencia y funciones.0.2 Con tocio, lo que puede trasmitirse al alumno es sólo una parte (acaso peque­ña) de lo que aquí expondremos, suavizan­do el camino con más ejemplos y motiva­ciones, y comenzando con un lenguaje más “suelto”.0.3 El desarrollar uno de los posibles “es­quemas para el profesor” obliga a restrin­gir el uso informal de términos habitual­mente muy imprecisos, como “experimen­to”, “evento”, etcétera, y a tender a un en­foque axiomático, con limitación a un mol­de abstracto en una exioosición no exenta de cierto dogmatismo. Sólo al final, relación con el teorema de Bernoulli, dire-

algo sobre la relación entre probabili­dad y experiencia. Pero algo de eso debe decirse al alumno desde el comienzo.0.4 En un tema tan controvertido y tan pródigo en confusiones y malentendidos co­mo el de la probabilidad, se hace más ne­cesario un esquema conceptual de cierta rigidez, para decidir qué decir, cómo de­cirlo, y qué no decir.0.5 En lo que respecta al contenido, exposición elemental pero formativa no de­be caer en un juego intrascendente de des­trezas “combinatorias” — por otra parte muy útiles en las aplicaciones— y nada más. Esta etapa debe considerarse previa a un

(x, y) £ R si y sólo si x — y — l < 0, - x - I < Ó.La gráfica es la banda de plano limitada

por las rectas x — y — 1 = 0, y — x — 1 = 0. Es reflexiva y simétrica, pero no tiansitiva.

5?) X = Y = conjunto de los números reales.

(x, y) £ R si y sólo si y — x2 > 0, y2 — x < 0.

y

La gráfica es la intersección del interior de las dos parábolas y — x2 = 0, y2 —0; es una relación simétrica.

no sex =

(continuará)(viene de la pég. 16)7. (F2) PAPY. Iniliation aux Espaccs Vecto-

riels, Prenses Universitaires de Bruxe- lles, Gauthier - Villars, 1963.

S. (MM1) PAPY. Matliématique Moderno 1, Didicr, 1963.

9. (MM2) PAPY. Matliématique Moderno 2, Didier, 1965.

conv en

en la bisectriz y = x. Si R es transitiva, todo rectángulo de Q que tenga los dos

mos

vértices opuestos no pertenecientes a la bi­sectriz y = x contenidos en R, debe tener en R también su cuarto vértice.

Ejercicio: buscar la caracterización de las gráficas de las relaciones circulares y triangulares.

Ejemplos:l9) X = Y == conjunto de los números

reales.(x, y)£ R si y sólo si 2x — y -f 1 > 0.La gráfica es el semiplano limitado por

la recta 2x — y-f 1 = 0 que contiene el

10. (7) PAPY. (Con la colaboración de los ayu­dantes del C. B. P. M.). Documen- iation potir V enseignement clu Vecto- riel euclidien plan, Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, 1965.

11. (MM6) PAPY. Matliématique Moderno 6,Labor, Didier. nenuna

12. (MM3) PAPY. Matliématique Moderno 3, a aparecer, Didier.

(1) Ciertas clases sextas belgas disponen de 5 a 6 períodos semanales. Es el ideal. Perso­nalmente, hemos realizado la experiencia en cursos de 4 períodos.

mos

2524

í

Los eventos son, pues, conjuntos de re­sultados. Por consiguiente debemos distin­guir entre el resultado 5 ey el evento Í5Í que es un conjunto unitario.2

1.6 Lo que hasta ahora hemos dicho con respecto al espacio de resultados (4) es completamente general y aplicable a todos los espacios de resultados y espacios de probabilidad (que luego definiremos) excepción de la manera de calcular p(A) p(B) y p (C) en (5), (6) y (7).

Ahora señalaremos para (4), aspectos generales pero que, para evitar malenten­didos, importa destacar juntamente con la advertencia de que no tienen vigencia ge­neral.

(i) Memos asignado la misma probabili­dad, 1/6, a cada elemento de E, es decir, a cada resultado posible. No lo hemos di­cho explícitamente, pero hemos usado esta asignación para calcular p (A), p (B) y P(C).

(ii) En (5) a (7) hemos calculado pro­babilidades de eventos, que son subconjun­tos de E, sumando las probabilidades de sus elementos (resultados posibles pertenecien­tes al evento).

(iii) Con la ampliación señalada en 1.4, los eventos en el espacio de resultados (4) son todos sus subconjuntos, o sea los 2G = 64 elementos del conjunto de partes P (E). O sea, podemos escribir en este caso la fór­mula más estricta que (8):

S evento^SCE->Ss P (E). (13)

rrir que un evento con probabilidad 1 no sea cierto o seguro, y que un evento con probabilidad 0 no sea imposible.1.7 Analicemos los aspectos (i) a (iv) de 1.6.

están E mismo, pues E C E, que llamare- euento cierto, y el conjunto vacío 0,

pues 0CE, que llamaremos evento impo­sible, Por extensión de lenguaje, y violando el sentido habitual de la palabra 'evento”, incluiremos el evento cierto E y el evento imposible 0 entre los eventos.

En términos más intuitivos, y con re­ferencia al espacio (4), si n es uno de sus puntos (que en este caso son números)

es cierto o seguro que n < 10,

pues el conjunto de los elementos de E que verifican n < 10, es E mismo:

*jn | íuEyn < 10}■ = -¡n | n e E[■

En el lenguaje que hemos adoptado, dire­mos:

La probabilidad p de un suceso S es igual al número f de casos favorables (ca­sos en que se verifica S) sobre el número total t de casos posibles:

mos

(1) (i) En (4) hemos asignado la misma pro­babilidad a cada elemento de E, es decir, a cada resultado posible.

a. Cotejemos esta asignación de proba­bilidades, que podríamos llamar definición de dado simétrico o no cargado, con esta reflexión histórica: Uno de los primeros matemáticos que enunciara una definición clásica de probabilidad es P. S. Laplace [4]: “La teoría del azar consiste en reducir to- “dos los acontecimientos del mismo género “a un cierto número de casos igualmente “posibles, es decir, tales que estemos igual- “mente inseguros sobre su existencia, y en “determinar el número de casos favorables “al acontecimiento cuya probabilidad se “busca. La relación de este número con “el de todos los casos posibles es la me- “dida de esa probabilidad”.

Esta afirmación de Laplace es en sí im­precisa y subjetiva debido a la frase que hemos puesto en cursiva.

Veamos, sobre la base de un ejemplo, su interpretación en un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad, en su aspecto matemático. Se arrojan dos dados, uno ro­jo y uno negro. Llamemos r y n al número de puntos obtenido en cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma r+n=5?

a,. Si no conociéramos nada sobre el dis­positivo por el cual aparece la suma, como ésta puede tomar los valores

2, 3, 4, .. ., 12,

podría parecer legítimo considerar que te- 11 casos posibles y uno solo favora­

ble (suma 5), luego p = 1/11.Esto equivale a observar sólo las sumas

y -f- n (y no los sumandos r y n), conside- el espacio de resultados

F - *¡2, 3, 4, ..., 12^, (14)

cuyos puntos son esas sumas, y asignar la misma probabilidad 1/11 a cada una.

au. Pero, teniendo en cuenta como puede formarse cada suma, resulta intuitivo que

p = -t

supuestos todos los casos igualmente pro­bables.1.2 Ejemplo. Si en una urna hay a bo­lillas blancas y b negras, por lo demás to­das iguales, la probabilidad de obtener una blanca es

con

(9) no

ap = E.a -f- b

y la de obtener negra:1b E, evento cierto; probabilidad

p (E) = 1.q = (10)a -f- bPor otra parte, también con referencia al

espacio (4)Obsérvese que la suma de estas proba­

bilidades es(2)p + q = i-

1.3 Consideremos los posibles resultados n al arrojar un dado, y observemos si se verifican o no los sucesos:

es imposible que n ^ 10, ( 11)

pues el conjunto de los elementos n de E que verifican n ^ 10 es el vacío:

■|n | n e E y n ^ 10J- = 0.En el lenguaje que hemos adoptado, di­remos:

n es par, n < 4, n = 5.Los resultados posibles forman un con­

junto

(3)

t0, evento imposible; probabilidadp (0) =0.

1.5 Nombres. El concepto de espacio de resultados se debe a R. von Mises [6] \ quien usó el término Merkmalraum. Este podría traducirse por “espacio de marcas o señales”. En inglés se dice sample space (es­pacio de muestras).

El espacio de resultados es el conjunto de los resultados posibles de un experimen­to, en nuestro caso arrojar un dado y ob­servar el número de puntos en la cara su­perior. Kolmogorov [3] llama eventos ele­mentales (elementare Ereignisse; clemen- tary events) a estos resultados posibles, que en nuestro caso son

E = i 1, 2, 3, 4, 5, 6 },que llamaremos espacio de los resultados. Los elementos de este conjunto se llaman puntos.

Cada suceso (3) corresponde a un sub­conjunto de E:

neA = •{ 2,4,6 }-, probabilidad: p (A)=—, (5)

nsB = \ 1,2,3}-, probabilidad: p (B)== —, (6)2

neC = *¡ 5 probabilidad: p (C) = i, (7)

Consideramos, pues, palies o subconjun­tos del espacio de resultados E; los llama­remos eventos. Indicando con P (E) el conjunto de partes de E, tenemos:

S evento C E ^ S e P (E). (8)1.4 Cualquiera sea el espacio de los re­sultados E, entre sus partes o subconjuntos

(4) (12)1

Pero, en general, no vale (13) sino só­lo (8), es decir, los eventos son algunos subconjuntos del espacio de resultados.

(iv) En (4), el único evento con proba­bilidad 1 es el evento cierto, y el único evento con probabilidad 0 es el evento im­posible.

Veremos que, si bien valen las implica­ciones

nemos

S cierto p (S) = 1,S imposible p (S) = 0,

no valen las implicaciones contrarias; en espacios de resultados infinitos, puede

'rarocu-

•. — Las denominaciones "evento elemental , eventocontener una pri-1, 2, 3, 4, 5, 6,;

y eventos aleatorios (Zufállinge Ereignisse; random events) a los conjuntos que hemos llamado simplemente eventos.1. Estos corchetes se rofieren a la bibliografía, que so incluirá al final.

(13)í aleatorio", lian originado confusiones por mera palabra, "evento", para objetos do categorías logic distintas. Los "eventos aleatorios" indescomponibles, es decir, no cxprcsablcs como unión disjunta de c°?l£n,os " vacíos, son subconjuntos unitarios de E, y no deben * fundirse con los "eventos elementales en el sentí Kolmogorov, que son elementos do E, como 5 o • .subconjuntos de E, como (S) o (6). Sobre el concep o experimento, véase nota 3 al pie.

2726

I

Es inmediato verificar. ., , . , clue ~ es una re­lación de equivalencia, es decir, tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transiti­va. Por tanto determina una partición de G en clases de equivalencia (fig. 3).

c. Para resolver nuestro problema (pro­babilidad de obtener suma 5) o cualquie­ra donde sólo intervenga la suma r -f- n, podemos realizar este otro experimento,

los resultados do F no son igualmente pro- hables. Por ejemplo, es más fácil obtener

suma 5 (— 1 -f-4 = 2-1-3 = 3+2 = 4+1),(pie que consiste en arrojar los dos dados y ob­

servar la suma de los puntos en las caras que quedan hacia arriba. Este otro experi-Si indicamos cada clase de equivalencia

Ch por la suma h = r + n correspondiente a un par ordenado cualquiera (r, n) e Ch, obtenemos (como conjunto cociente G/^ de G respecto de la relación de equivalen­cia -—'), el espacio de resultados F (fig. 4), correspondiente a otro experimento.3

ssuma 2 (=1+1),y tomando como igualmente probables las 36 asociaciones de cada valor posible de r con cada uno de n, resulta para la su­ma 5 la probabilidad

mentó corresponde al espacio de resulta­dos F (fig. 4). Pero obviamente debemosi +4asignar a cada uno de los puntos de F no la misma probabilidad, sino la suma de lasprobabilidades en el espacio G, para la cla-

i14 se correspondiente:\(15)P 36"Esto equivale a:1) Considerar como resultados posibles

todos los pares ordenados (r, n) con r, n e E, con lo cual el espacio de los resulta­dos es el producto cartesiano ExE (fig. 1):G = E X E = <¡ (r, n) | r e E, n e E (16)

9■ó-2

G

O1

5P

n 3 A S2A/C -O-■ 4Fig. 2. Evento S (suma r + n === 5).

b. Mirar sólo las sumas r + n (y no los sumandos r y n por separado), significa considerar equivalentes los pares (r, n) y (r, n) si r + n = r + n, es decir, definir la relación ^ en G por(r,n) (r’,n) si y sólo si r+n = r+n\ (17)

s3

(4.4) O——A

2E<3

1

2 cJ

5

p! 452 3 4 G\

E 3

Fig. 1. Espacio de resultados G = E X E para un par de dados.

z

que tiene 6.6 = 36 elementos (puntos), y2) asignar la misma probabilidad 1/36 a

cada uno de estos elementos.En la figura 2 se han rodeado con una

curva los puntos que representan los pares ordenados (r, n) para los cuales r + n 5. El conjunto formado por ellos es el evento S, de probabilidad dada por (15).

probabilidades:

,n cccpondenci. AXocb.

i21

resultados, quo _ .

“correspondiente a otro experimento", y más explíc.tamcntc •en el apartado c.

36 36 * 36 ’ 36

Lo mismo que en (5) a (7), tanto en F como en G calculamos las probabilidades

36 ’ 36 *

3 ~ A G521

Fig. 3. Partición de G en clases de equival.29

28

.

:

!

el. En cambio, r > n, o sea (fig. 6) el evento

de eventos, que son conjuntos, sumando las probabilidades de sus elementos.

La figura 5 representa los conjuntos S C G y S' C F correspondientes a r n ^ 5.

i

número infinito numerable de veces. Es decir, si partiendo de conjuntos de S se efectúan esas operaciones, los resultados son también conjuntos de S.

En partículas, si Si y S_. son conjuntos de la clase S, conjuntamente con los eventos Si y S2 se pueden considerar:

Él evento S! U S- (fig. 9), verificado por un resultado x e E si y sólo si

x e Si U Sj,

T = -j (r, n) e E X E | r > n j-,

del espacio de resultados G, no puede po- correspondencia natural con

evento T del espacio F.Tampoco es posible hacer esta reducción

del espacio G al espacio F con la verifi­cación de

n(18) cI ! v

unnerse en &i nc I-«r \\\\ \\ A\s \V. A

1 i \ \LUI )\A (r + n<5) A (r > n),

donde indicamos con A el conectivo lógico “y”, o sea, con el evento (fig. 7),

(19)\! \\ \ \14 \ N-5 \ S\ \\>s P 12

T'-o-—42 "vrt"2 §2Si\\'X 4-i n

\ c'\ > á i\S>\ A\ S\ c\ *

\ \ \ \

•J

\ZT\B\ j . Fig. 9. Evento S, U S2

(contorno grueso)PZc\

2 5A A BVig. 5 \ c/7\ o sea, si y sólo siS1 4 Fig. S. SUT

Por ejemplo, en el tiro al blanco, la pro­babilidad de dar en el centro, considerado como punto matemático, es 0, y lo mismo la probabilidad de hacer impacto en un punto exactamente a x cm del centro, cualquiera sea el número positivo x. Por tanto, la pro­babilidad, no nula, de hacer impacto a me­nos de 20 cm del centro, no puede obtener­se como suma de esas probabilidades para los infinitos valores entre 0 cm y 20 cm.

Sin embargo, para un tirador dado, existe y no es 0 la probabilidad de hacer impacto a menos de 20 cm del centro, lo mismo la probabilidad de hacer impacto entre 20 y 50 cm del centro, a más de 50 cm, etcétera.

Esto muestra que en general debemos asignar probabilidades a ciertos subconjun­tos del espacio de resultados E, que llama­mos eventos, y no necesariamente a cada punto de E.

(iii) Si el espacio E de resultados es in­finito, los eventos no son necesariamente todos sus subconjuntos o elementos del con­junto P(E). Debe darse, además de E, una clase S de partes de E que se llaman tos. Esta clase SCP(E) puede no ser todo P(E), pero debe tener estas propiedades de P(E).

1) EeS;2) S es cerrada con respecto a las ppera-

cion.es de Boole (unión U, intersección y complemento ’) incluso efectuadas un

x 8 Si V x 8 Sj2

/5 - ► I

X !10 S'reliemos P(s) - -ge

pues S tiene 10 puntos, y también1 2 3 4 10

36 = 36

§2Si i2

é■ 1i' p(S’) _ -L I. T36 36 36; i Fig. 10. Evento Si f] Sa

(contorno grueso)

El evento S, D S2 (fig. 10), verificado por un resultado x 8 E si y sólo si

se Si fl S^., o sea, si y sólo si

X 8 Sl A X 8 S2Y el evento S’,, llamado complementario

de Si, verificado por un resultado x 8 E si y sólo si x e S’,, o sea, si y sólo si x 8 Si.

n Pc ■A < -bi1 z 5 c4 5

Fig. 7. S n Ts.i

-I (r,n)eNXN | (r+n<5) A (r>n) }=SflT,4(19)

y con el evento, donde indicamos con V el conectivo lógico “o” (inclusivo):

(r + n ^ 5) V (r > n),

?> + tT (20) Ei 2

o sea (fig. S),

■i (r,n)eNxN | (r+n^5)V(r>n) )=s u T’ :even-i (20’) !

(ii) Si el espacio E de resultados tiene infinitos puntos, puede ocurrir que la pro­babilidad de un evento, que es un cierto subconjunto de E, no se obtenga sumando probabilidades asignadas a sus puntos.

Pt\ 2 5 4 5 C :.Fig. 6 Fig. 11. Evento Sx\ complementario de Sx

• ■

30i 5 31!

■

•I

isignados por “resultado posible”, “evento”, probabilidad . Por ahora nos limitamos al

caso de espacios de probabilidad finitos (confrontar 2.4, nota).

Sea E un conjunto finito (llamado espa­cio de resultados) de elementos llamados resultados posibles, S una clase de subcon- juntos de E, llamados eventos, y p una fun­ción de S en R (números reales) llamada probabilidad. Estos objetos verifican los axiomas siguientes:

Axioma 1. E e S.Axioma 2. S es cerrada con respecto a

las operaciones de Boole.Axioma 3. Para todo S e S p (S) ^ 0.Axioma 4. p(E) = 1.Axioma e. Si fl S.= 0 -*■ p (Sx U So) ==

(S.) + p(Ss).2.6 Un sexto axioma, que se cumple au­

tomáticamente si E es finito; se introdu-

bilidad a toda terna ordenada (E, S, formada por:

1) Un conjunto E, llamado espacio deresultados;

2) Una clase S de subconjuntos de E, lla­mados eventos que contiene a E y es ce­rrada con respecto a las operaciones de Boole, incluso en número infinito numera-

ce en el caso de espacios de probabilidad infinitos.

Los ejemplos de § 1, con E finito y S=P(E), muestran que el sistema de los axiomas anteriores es consistente. Además, es no categórico, es decir, no determina un campo de probabilidades a menos de un isomorfismo. Recordemos que la no catego- ricidad de los sistemas axiomáticos y es­tructuras (grupo, anillo, etc.) los hace más fecundos y adaptables al admitir interpre­taciones esencialmente variadas, y distin­guen en cierta medida la matemática mo­derna de la clásica.1

P),(iv) El ejemplo del tiro al blanco, con siderado en (ii), nos muestra que no valen las implicaciones contrarias a jas de (iv). La probabilidad de hacer impac o en el centro, considerado como punto matemá­tico, es Ó, pero este acontecimiento no es imposible. La probabilidad de no haca im­pacto en el centro es 1, pero este aconteci­miento no es cierto o seguro.

2. Espacios de probabilidad. Axiomas del Cálculo de probabilidades.

2.1 Puesto que a cada elemento S de la (lase S de conjuntos, le corresponde una probabilidad p(S) que es un número real, la probabilidad es una ¡unción

p: S •“* R,cuyo dominio es la clase S y cuyo codomi- nio es el conjunto R de los números reales.

Convención. En lo que sigue designare­mos con S, S„ S2 ..., eventos,es decir, con­juntos de la clase S.

2.2 Las consideraciones anteriores mues­tran que la probabilidad tiene la propiedad siguiente, llamada propiedad aditiva: si Si y S2 son eventos disjuntos (o sea, sin pun­tos comunes, S, fl S2= 0), la probabili­dad del conjunto unión ST U S2 (que es también un evento) es la suma p (S,) + p (So) o sea,

Propiedad aditiva. La función (21) veri-

iible;

3) Una función p: S -► R, llamada me­dida de probabilidad, o simplemente pro­babilidad, que verifica (22) y p(E) = i.

Nota. En el caso en que E es un con­junto finito, basta con que la clase S cerrada respecto de las operaciones de Boo­le, y en tal caso puede omitirse en 2) la frase “incluso en número infinito numera­ble".

4 Dice Dicudonnc (Algebre lincairc ct géomó- trie élémentaire, París, 1964; nota al pie de pág. 19) con referencia a otro contexto: “Cela a aussi heurcmcmcnt pour cffet de rendre la thcoric “non catégorique'’ (c’est-a-dirc non déterminéc á isomorphisme pres par les axiomes) rompant ainsi avec une exigence ridicule des niatliémati- ques elassiques.”

sea(21) I:

2.5 Un espacio de probabilidad puede darse en forma axiomática. Recordemos brevemente en qué consiste el método axio­mático.

Una teoría científica no es una mera lis­ta o catálogo de proposiciones. Estas se estructuran de modo sistemático, de suer­te que podamos advertir sus mutuas rela­ciones. Pero ¿qué relaciones mutuas impor­ta percibir?; ¿cómo se estructuran las pro: posiciones en una disciplina científica? En una ciencia, algunas proposiciones pueden deducirse o demostrarse a partir de otras: por ejemplo, tanto las leyes de Kepler so­bre el movimiento de los planetas como las de Galileo sobre la caída de los graves pueden deducirse de las leyes generales de la Dinámica y de la gravitación de Newton, y la relación mutua entre estas leyes es una parte de la ciencia física.

Una disciplina matemática se estructura conjunto de proposiciones llamadas

teoremas, cada uno de los cuales se dedu­ce de otros anteriores. Puesto que para de­mostrar una proposición o teorema hay que partir de otras proposiciones ya estableci­das, siempre hemos de partir de unas pro- posiciones primeras o axiomas, que deben aceptarse sin demostración. De igual modo, los teoremas de la teoría enuncian propie­dades de ciertos objetos ideales, algunos de os cuales podrán definirse mediante otros, pao también ahora es forzoso partir de ciatos conceptos primitivos u objetos pd' míticos no suceptibles de definición.

La axiomática del Cálculo de probabih- ( ac cs se basa en conceptos primitivos de-

(continuará) 1lii:

INCOMPRENSION DE LA MATEMATICA1 Caso de falsa percepción de las propo­

siciones: hacer analizar esas proposiciones, impedir que el niño concentre su atención en una palabra valorizándola a expensas de las otras palabras.

Falsa percepción visual:

Investigación de sus causas psicológicasEs necesario distinguir desde ahora cau­

sas afectivas y causas psico-intelectuales. Sólo estas últimas se estudian en esta ex-posición.

Primera causa: falta o retardo de madu­ración intelectual —uno de sus aspectos es el pensamiento conceptual.

Segunda causa: falta percepción de las proposiciones, de los problemas y de las figuras geométricas.

Esta causa parece la más importante por­que es independiente de la edad y explica también la incomprensión de la matemática entre ciertos adultos de gran inteligencia.

Tercera causa: ausencia de la prepara­ción intelectual que debe preceder inme­diatamente a un problema.

He aquí, pues, el esbozo de un método para adquirir las aptitudes necesarias para el estudio de la matemática utilizando cla­cos de la psicología experimental.

Caso de retardo de la aparición del pen­samiento conceptual: habituar a los alum­nos a transformar lo concreto en abstiacto, es decir, hacerles expresar lo concreto, que ellos han visto y comprendido, primera­mente en términos de la lengua familiar, y después empleando la terminología geo­métrica. ----------

Ifica:s,ns2= 0-p(s,(js,.) = p(s,) + p( s2). Entrenar al niño, teniendo en cuenta

los datos de la Gestaltthcorie, en el aná­lisis de todos los detalles de la figura geo­métrica. Impedir que concentre su aten­ción en un aspecto particular de la figura

lo conduciría a una solución del

( I(22)

Ejemplos. Si Sx v S2 son los conjuntos de la partición de G (fig. 3) correspondientes ar + n = 2i/r + n = 3 respectivamente, es p(SO = 1/36, p(S2) = 2/36, y p (SxU S2) = 3/36 = p (Si) +p (S2)

Con referencia a la figura 8 se tiene p(S) = 10/36, p( T) = 15/36 y p(SUT) = 21/36 =!= p (S) + p (T), pero S y T disjuntos.

2.3 En virtud de la propiedad aditiva (22), la probabilidad es una medida espe­cial. Esta medida está definida para los con­juntos de S, y cumple p (E) = 1.

2.4 En todo problema sobre probabilida­des debemos tener el conjunto de todos los resultados posibles, o espacio de resultados L, una clase S de conjuntos de E v una función p: S - E, con las propiedades se- saladas en 1.6 (íü), 2.2 y 2.3. Este siste- c/«í/dc dat0S Se ama eslmcio de probabili-

Definición. Se llama

:i

que noproblema. Descentralizar artificialmente su falsa visión geométrica ocultándole las par­tes, provisoriamente inútiles, de la figura.

Preparación intelectual:La psicología experimental muestra que

Ja respuesta a una cuestión planteada a una persona no depende del contenido del pen­samiento del período siguiente al estímulo sino del contenido del pensamiento que precede al estímulo. Es necesario, pues, pre­parar el pensamiento del alumno antes de que conozca el problema o la cuestión plan­teada, recordándole las proposiciones que se relacionan a la solución del problema que se le ha de plantear. Se provoca así, artificialmente, una asociación entre la pro-

(Sigue en pág. 44)

en unno son

i;i I

i íespacio de proba- !i 33

32i¡

t

ESPACIO DE POLEMICA |

LA ENSEÑANZA DE LOS N/ÑOS!Carta abierta i

Estudiantes que se han educado en Ja nueva matemática en Ja escuela secundaria están ahora comenzando a aparecer en las clases vocacionales de las escuelas técnicas. Este hecho ha impulsado al que escribe, Jefe del Departamento de Ingeniería Me­cánica de una escuela técnica, a averiguar de que trata la nueva matemática y descu­brir qué efectos tendrá en la educación pos­terior de los jóvenes ingenieros. Los siguien­tes comentarios y observaciones son el re­sultado de esta investigación.

Un examen de los libros recientemente publicadas sobre la

os números en cooresde arreglarse si trabaja con decenas; (b) los maestros protestan por tener que ense­ñar a sus niños a trabajar en docenas y veintenas en la aritmética monetaria; (c) cuando ni uno en un millar manejará, algu­na vez un computador, y (d) la conver­sión de números decimales al régimen bina­rio de un computador se hace automática­mente.

W. SERVAIS (Bélgica)

La gama de regletas, ordenadas por or­den creciente o decreciente, da el primer ejemplo de progresión aritmética. Se cons­truyen otros variando la razón. Pero lo que interesa en una progresión aritmética es la estructura en escalera que se puede subir o bajar.

Cuando se examinan las operaciones de adición o de sustracción que deben efec­tuarse para pasar de un término a sus ve­cinos, se ve de inmediato que un término es la media aritmética de los dos términos que lo encuadran.

De la misma manera, si se progresa, en los dos sentidos, se obtiene la bien cono­cida propiedad de la suma de dos términos equidistantes de los extremos.

Números negativosPor ejemplo, representemos la diferencia

en una sustracción, yuxtaponiendo los dos términos de esta última, colocando el yor a la izquierda, como en la escritura habitual; la diferencia está entonces repre­sentada por el extremo de la regla más grande que excede a la más pequeña. (Fi­gura NT<? 4)

Cambiemos la posición de las dos regle­tas, colocando la más pequeña a la iz­quierda. (Figura 5)

¿Qué significación se dará a esta sime­tría que no sea el pasaje de un número a su opuesto?

Se puede considerar que éste está re­presentado por el vacío en forma de re­gleta que bastaría superponer a la regla pequeña para obtener la longitud de la más grande.

Efectuando la suma de dos números opuestos en forma totalmente intuitiva, se obtiene evidentemente cero (una diferen­cia nula) (Fig. 6)

! !ma-Otro rasgo digno de atención de los nue­

vos libros de matemática es la gran parte del texto ocupado por temas no matemáti-

por ejemplo, “ilustraciones cómicas"; insustanciales referencias históricas a los sis­temas numéricos chino, egipcio y romano; trozos poéticos de ninguna significación particuplar, explicaciones ampulosas veces ca pricli osas.

Muchas de las cuestiones requieren res­puestas verbales no matemáticas y en algu­nos libros hay marcada insuficiencia de problemas dedicados a enseñar el manejorápido y exacto de cifras y símbolos mate­máticos.

También hago la crítica de que mucha de la nueva matemática es abstracta, abstrusa e innecesariamente complicada. Así, por ejemplo, se apela a las matrices para resol­ver ecuaciones simultáneas, y a los conjun­tos para establecer la naturaleza de las frac­ciones. Como ejemplo de oscuridad, el si­guiente extracto de un libro escrito niños de tercer año de la escuela dariay sería difícil de superar:

“‘Las transformaciones afines planas a su vez casos particulares de transforma­ciones proyectivas planas, que son descrip­tas algebráicamcnte por la ecuación (dada en el texto), con una condición que garan­tice que la matriz tenga una inversa, de mo­do que el sistema forme un grupo” ¡Pobre alumno de tercer año!

Obviamente, las escuelas tienen tanto cJ derecho como la responsabilidad de deci­dir cómo debe enseñarse una asignaturar pero ellas no son necesariamente los mejo­res jueces acerca de lo que se deberá en­señar. Las escuelas debieran sin una industria eficiente construir

'

¡ieos,nueva matemática

muestra que ella contiene muchos temas no familiares ni siquiera sugeridos en los textos tradicionales, como conjuntos, siste­mas de notación (particularmente el bina­rio), matrices, poliedros, topología, diagra­mas de Venn, modelos numéricos, inecua­ciones, álgebra de Boole, etc. La única ca­racterística común a todos esos diversos temas es su casi completa irrelevancia respecto a la matemática que se usa gene­ralmente en la industria. Esta irrelevancia es confirmada por la ausencia de los nue­vos temas, prácticamente en cualquier li­bro de texto empleado en la educación técnica y comercial. El que escribe puede establecer categóricamente que se pueden estudiar temas tales como resistencia de materiales, mecanismos de máquinas, inge- ncría termodinámica, estructuras, mecáni­ca de fluidos, aerodinámica, hasta el nivel de graduados sin conocer la diferencia tre un diagrama de Venn y una matriz. .

Es un hecho que las únicas destrezas ma­temáticas requeridas por la vasta mayoría de las personas empleadas en la industria, es la habilidad para sumar y restar, usar una regla de cálculo, leer tablas matemáti-

• y sustituir cifras en una fórmula extraí­da de un libro de referencia. Sólo los que se ocupan de tecnología deberán hacer al­guna vez alguna matemática seria, y aún en este campo pocos operarán alguna sobre el nivel “O".

!

!!y o

conPr

i.p !Fig. 7

La suma de los términos de una P. A. permite una ilustración muy sugestiva (Fi- gura 7)Variables

:!1para

secun- íien- son 1l ii i El uso que acabamos de hacer no ha subrayado los valores numéricos que les

atribuidos individualmente. Cuando comprendemos la posibilidad de operar so­bre las regletas tomadas a voluntad, las re­gletas desempeñan el papel de variables como podrían hacerlo las letras a las cua­les estamos acostumbrados.

m son

Fig. 6Fig. 4No es difícil materializar la adición de

dos números positivos o negativos o de dos números de signos contrarios y reencontrar la habitual regla de la adición algebraica.

Fig 5cas

.:

! AreasvezAcabamos de superponer sobre un plano

las regletas, lo que recuerda la noción de extensión.

Yuxtaponiendo de distintas maneras las un mismo conjunto sobre la

V por que razón debe enseñarse a los niños el sistema binario cuando (a) la in­mensa mayoría de las

Progresiones aritméticasUna cuestión particularmente cómoda

para estudiar con ayuda de las regletas es la de las progresiones aritméticas o poi diferencia.

recordar que no se podrán

nuevas escuelas ni pagar los sala-(sigue en pág. *10)

:peí sonas a fíenos puc-

regletas de34

35 !5j

;

:J

*1mesa, se obtienen con gran facilidad su­perficies desiguales (pie tienen la misma úrea (o extensión o superficie). Lo mis-

que la longitud estaba representada por una clase de regletas iguales, el área (stá representada por una clase de super­ficies equivalentes.

La suma y la diferencia de dos áreas pueden entonces ser presentadas intuitiva­mente bajo diversas formas.

Así, ha bastado que actuáramos sobre las regletas por yuxtaposición plana, en for­mas cualesquiera, para que apareciera el área, noción matemática manera, es sólo una cara lateral de una regleta la que se ha tomado en considera­ción, y las regletas de un mismo color tie­nen superficies equivalentes.

La medida de una cara lateral de una regleta en centímetros cuadrados es igual a la medida de la longitud de esa regleta en centímetros.

Eso nos permite evaluar las áreas de to­das las superficies (pie hemos obtenido.

Una superficie de construcción particu­larmente simple es el rectángulo formado por la yuxtaposición de regletas del mismo color. Lo que precede da inmediatamente la medida del área de esta superficie por el producto de la medida de sus dos la­dos. (Figura S)

Si todavía fuéramos más torpes, yuxta­pondríamos las regletas como en la Fig. 10.

Lo que conduce a la proposición: Si se hace experimentar a un arco simple de línea una traslación en una determinada dirección, se determina una superficie cuya área tiene una medida calculable como la de un paralelogramo. (Fig. 11)

¿Es necesario subrayar aquí cómo la pre­sentación dinámica del estudio de las áreas está alejado de la investigación escolar del áiea de rectángulo con ayuda de un cuadri­culado de cuadrados.

En este punto, no quisiera no indicar aproximaciones que el material vuelve evi­dentes: el área del trapecio y la suma de los términos de una P. A. se calculan por fórmulas análogas.

la actividad matemática de los alumnos es superior a la memorización que conduce a repetir con inteligencia más o menos gran­de las explicaciones doctrinarias del fesor.

Pero volvamos a las regletas que, esta vez, aglomeraremos entre sí de manera de formar un sólido.

Con el mismo conjunto de regletas, po­demos obtener sólidos muy variados que tienen evidentemente el mismo volumen. Desde este nuevo punto de vista, las re­gletas del mismo color tienen volúmenes ¡guales. Se tiene así una partición en clases de equivalencia que se superpone a las precedentes.

Paro obtener la expresión en centímetros cúbicos del volumen de un sólido com­puesto de regletas, basta hacer la suma de los volúmenes de estas.

Hallar el volumen de un paralelepípedo íectángulo es entonces un juego. Como yo me permito subrayarlo, no es por cálculo por donde abordamos el estudio de los volúmenes sino por la adquisición de las nociones de equivalencia y de adi­ción de volúmenes.

En este orden de ideas, tocios los mon­tones compactos formados por los mismos conjuntos ele regletas de igual longitud tie­nen el mismo volumen. De tal suerte que los sólidos prismáticos o cilindricos de ba­ses equivalentes y de la misma altura, tie­nen volúmenes equivalentes.

Si en un montón hacemos subir o des­cender ciertas regletas, la sección recta del montón no cambia, y de allí la expresión del volumen obtenido al someter a una traslación una porción simple de superfi­cie.Fracciones

Una cuestión delicada es la de las frac­ciones.

Hasta ahora hemos admitido que la re- • gleta blanca era la unidad (unidad de

longitud, unidad de superficie, unidad de volumen, según la manera en que la con­sideremos).

Si tomamos como nueva unidad la regla x oja, los valores atribuidos a las regletas cambian.

Una vez que estamos empeñados en este camino, cada entero considerado como ope­rador está representado por un par de re-

1 V77?.)

^~rIIK) pro-

Fig. 16

La vinculación entre el producto de dos números y el área de un rectángulo ha su­gerido a Cuisenairc la representación de ese producto por la cruz formada por dos regletas que recuerda, además, al producto cartesiano de dos segmentos.

Un producto de varios factores está re­presentado por una superposición de re­gletas en cruz. (Fig. 17)

Cuisenaire ha desarrollado una pedago­gía de la multipicación en la que los nú­meros aparecen con sus descomposiciones en productos de dos factores. Estos prod tos son retenidos con extraordinaria viva­cidad gracias a los colores.

La movilización de la memoria se rea­liza en un tiempo de reacción cuya breve­dad contrasta con la inercia creada por la recitación de las tablas de multiplicación.Logaritmos

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nueva. De esta;

!zoV/'/’-'A -■ : : - ■:

uc-m-r - - ~~ ’-'/Xi

Fig. 12

A = Yl (a + b). h S = Vz (a 4* 1). n

Propiedades de la multiplicación y de la división

El cálculo del área del rectángulo per­mite volver muy intuitivas las propiedades de la multiplicación y de la división.

1. Conmutatividad. (Fig. 13) ^

ese

La formación de cruces con ayuda de icgletas del mismo color conduce a las po­tencias y a las progresiones geométricas mediante una acción y una representación muy sugestivas.

Así, para repetir una multiplicación por un número, basta superponer regletas del mismo color en cruz, mientras que para repetir la suma de un número basta co­locar una tras otra a tales regletas.

Si realizamos las multiplicaciones en unasor-

í ¡iF 7i-r

F/fi. 8 Fig. 9 Fig.•Si se es un 2. Distribulividad de lapoco torpe para superponer

las regletas, se obtiene una figura con es­calona* tos que evoca imperfectamente un paralelogramo (Fig. 9). Para obtener más correctamente un paralelogramo, necesita­ríamos regletas más delgadas, lo que nos conduce al comienzo de la noción clave del cálculo de las áreas por integración. Tam­bién se puede cortar los escalona’tos extremo para trasladarlos al otro.

Esta operación puede ser simplemente virtual o incluso figurada mediante recortes en cartón.

C« respeelo , ], a(|¡ctón. (,.”“5$™'“" i,:íparte y las adiciones en otra, cómo no

prendernos ante la correspondencia entre las potencias y los múltiplos sucesivos. Allí reside en germen el isomorfismo sobre el que se apoyan los logaritmos.

Es tan simple que una clase de niños de 9 a 10 años descubre esa corresponden­cia y puede hacer uso de ella.

Es tan potente que una presentación ac­tiva semejante me ha permitido descubrir durante una lección en una clase de tercera de latín-matemática las propiedades de las progresiones aritméticas y deducir de ellas, por traspaso, las propiedades homólogas de las progresiones geométricas. Y puedo ase­guraros que el conocimiento obtenido poi

ÜFig. 14

3. Distributividad de la multiplicación con respecto a la sustracción. (Fig. 15)

:1en un

Fig. 15Si se multiplica el dividendo y el divisor

de una división por un mismo factor, el cociente no cambia pero el resto queda multiplicado por ese factor. (Fig. 16)

pBFig. 10 Fig. 11

36 37

í

1i.

1 longitud, área y volumen , permite com­prender sus relaciones mutuas y procura un conocimiento tangible de su orden de magnitud.

Por otra parte, se puede emplear el ma­terial liara la representación decimal de los números enteros. Antes de ser transferidos a su forma habitual, las operaciones ele­mentales, adición, sustracción, son efectua­das concretamente con la ayuda de re­gletas.

El material puede contribuir al estudio de ciertas figuras geométricas. Señalaremos el uso de regletas para la construcción de sólidos que se representarán en proyección. No sólo el material proporciona los modelos a representar sino que permite construir un sólido cuyas proyecciones están dadas.

Ese problema, que Piette realiza también mediante un juego de construcciones más variado que el de las regletas, es indispen­sable para desarrollar la lectura de las pro­yecciones entre los alumnos poco dotados desde ese punto de vista. El material Cui- senaire permite también realizar ciertas de­mostraciones de fórmulas como lo hace el “algebloc” material constituido por para­lelepípedos coloreados debidos a Van Lier-

3x3 = 1 i1glelas que escribiremos superponiéndolas (orno en las razones o fracciones, siendo la unidad el denominador.

Así, se tendrá para representar al número 3 los pares:

regleta roja = — regleta verde oscuroH3 Se tiene también: ■

1 3X^3 = 1lo que conduce a 2 = - .6verde claro verde oscuro 1 !3

blanca En los casos precedentes, multiplicar cantidad por un operador y después el re­sultado obtenido por un segundo operador, equivale a multiplicar la cantidad inicial por el producto de los operadores.

Seo multiplicar una regleta verde claro 7

por — y después el resultado obtenido

roja una1 1

De manera tal que multiplicar por —azul 2 azul3

verde claro 2 verde claro

pero se puede también obtener la segunda relación atribuyendo a la regleta roja el valor 2, a la verde claro el valor 3,..., o aun pasando a los números atribuidos ini­cialmente a cada regleta:

vuelve a resultar, tanto para los números cómo para las cantidades, lo mismo que dividir por 3.

Se define fácilmente la multiplicación por una fracción cualquiera.

Suma de fracciones

¿Cómo llegar a la suma de fracciones? Multiplicar una cantidad por 7 equivale

a multiplicarla por 4 y por 3 y hacer des­pués la suma de las cantidades obtenidas:

35

por —.

La primera operación conduce de la re­gla verde claro a la negra, la segunda de la negra a la amarilla. El producto de las dos fracciones deberá conducirnos de la verde claro a la amarilla.

Se tiene, pues:

!3 6.9 9X2

1 2 3 3X2

de manera tal que el nuevo símbolo, la fracción, indica el cociente exacto de su numerador por el denominador. Podemos todavía subrayar el papel de los opera­dores enteros por las escrituras:

regleta verde oscura = 3 regletas rojas

lo que corresponde a 6 = 3x2.Efectuemos una simetría entre las regle­

tas; tendremos:

7 = 4 + 3

7 4 3 14 S 55 76 i+ de.- X1 1 1 2 2 3 32 7

Conclusión ¡JEste caso privilegiado permite calcular

el producto de dos fracciones cualesquiera.De la misma manera, multiplicar

longitud por —— equivale, por ejemplo, a o

4multiplicarla por —

5suma de las longitudes obtenidas.

unaAsí hemos recorrido, un poco rápida­

mente, el panorama de ciertas cuestiones que pueden ser abordadas y trabajadas gra­cias a las regletas en colores.

Hemos hecho resaltar, sobre todo, la multivalencia de ese material y, al mismo tiempo, hemos destacado en qué forma de­termina nuestra manera de actuar sobre las regletas la matemática que nosotros truimos.

Para algunos de esos empleos, el material Cuisenaire puede eventual mente actuar concurrencia con otros materiales, cada uno de los cuales tiene algún mérito. Él los

sus múltiples usos y por su

8 4 8X4 5X4

5 7 5x4 ' 5x^

(8X4) X (5X4)

(5x4) X (5X7)

3— y por —— y hacer la } >>

verde claro verde oscuro - X - —blanca roja

ií7 4 3verde claro cons-2 verde claro Escribiremos:5 5 5azul 2 azul

Para pasar del denominador al oor, basta esta vez tomar un tercio del pri-

Sc tendrán naturalmente las equiva­lencias entre fracciones:

;en

Multiplicación de fracciones

Para los operadores enteros, multiplicar longitud por 2 y después el resultado

por 3, equivale a multiplicarla por 6: 2X3-6

: 1Multiplicar una longitud por — y luego

| 3el resultado por 3 equivale a tomar una vez la longitud. Escribiremos:

S 4 SX4numera-X. mero. 5 7 5x7

En todo lo que precede, no he dicho na­da acerca de la utilidad del material Cui- senaire en el sistema métrico; ¡es demasiac o evidente!

Desde la escuela primaria, ese , da una idea concreta de las unidades c e

. supera porsimplicidad. /

La idea de representar a los números reglas de longitud apropiada Ya la señora Montessori había construido y empleada reglas divididas en partes de igual longitud por bandas de dos colores alternados.

una1 con

1 no es nueva.2 3 3X2

3 6 9 9X2

Traduciremos tomar como signo de mul­tiplicación. Y escribiremos:

material

3938

ii

■

tsi•:

de la Unión Internacional de Matemáticos, ha dicho:

“Con Klein hemos tenido las matemáticas elementales desde un punto de vista su­perior; con las regletas podemos hacer las matemáticas superiores desde un punto de vista elemental”.

Hay una forma de hacerse una opinión sobre las regletas en colores; es ver el par­tido que pueden sacar de ellas los niños, los alumnos de una clase y, a lo mejor, hacer un ensayo en su clase y con sus propios niños.

Ninguno de los colegas que ha hecho esta experiencia personal ha denigrado el material.

Sin querer hacer de esto una panacea pe­dagógica, creo que debemos estar recono­cidos a quien las inventó.

Lo que ól llamó, para el empleo que había concebido, los “números en colores”, quedará en la pedagogía de la matemática como un material de múltiples usos.

Esc material ha hecho comprender, un poco mejor, no sólo a los alumnos sino tam­bién a los maestros qué es la matemática como actividad natural, psicológica y ló­gica. Las regletas en colores tiene una uti­lidad que supera la denominación de “nú­meros en colores”.

¿Por qué no reservar toda la multivalcn- cia de sus usos designándolas más ade­cuadamente con el nombre: “Regletas en colores de Georges Cui sena iré”?

Esta presentación restringe de inmediato el alcance del material; además no fuerza, como las regletas Cuisenairc, a considerar una regleta o un número como un todo.

Si no se tienen en cuenta las estructuras (pie hacemos aparecer por nuestra acción sobre el material, queda que las regletas son objetos pequeños. En este nivel, pode­mos emplearlas para realizar las manipula­ciones sobre los conjuntos finitos y fami­liares con las nociones de inclusión, equiva­lencia, unión, intersección de conjuntos.

Por ejemplo, las regletas permiten un es­tudio muy vivo, a la vez que verdadera­mente activo, de las permutaciones. Estas aparecen bajo su verdadera luz: las trans­formaciones de un conjunto en sí mismo (cuando nuestra presentación en la ense­ñanza secundaria hace series de letras).

Estas transformaciones se componen de forma totalmente natural. Su conjunto, pro­visto de la ley de composición, es un grupo cuyo estudio puede ser hecho intuitiva­mente.

Volvemos a encontrar así una noción fun­damental que bien se puede satisfacer an­tes del fin de la enseñanza secundaria o de la inscripción en la universidad.

Los matemáticos que han asistido a la actividad de una clase provista de ese ma­terial siempre han experimentado viva sa­tisfacción.

Uno de ellos, Ilopf, que fue Presidente

¿SABIA UD. QUE...!

I. MEDIDAS ANTIGUAS DE LON­GITUD. Primitivamente los hombres usa­ban, para medir longitudes, unidades o módulos relacionados con su propio cuerpo o con sus sentidos. Para longitudes peque­ñas, la longitud del pie, la de las falanges del dedo pulgar (pulgada), la máxima abertura de la mano (palmo), la longitud del brazo (yarda), etc.

Para distancias cortas empleaban el pa­so; para mayores, el alcance de una flecha o tiro de ballesta, o el radio de la máxima visión en un terreno plano, que llamaron legua. Las superficies las relacionaban la siembra; así el acre era la superficie ble en una mañana, y algunas unidades de superficie usadas en Babilonia estaban de­terminadas por la cantidad de grano ne­cesario para sembrarlas.

La necesidad fundamental de poder re­producir las unidades de medida en cual­quier momento, independientemente de la (xistencia de modelos o patrones determi­nados, indujo a definirlas, pero se hacía de manera tan imprecisa como puede ver­se en estos ejemplos: “La pulgada es la longitud de tres granos de cebada tomados de la mitad de la espiga" (Estatuto inglés).

"Para determinar la longitud de una vara en forma recta y legal y de acuerdo a usos científicos, debe reunirse a la salida de la Iglesia en día domingo, una vez ter­minado el oficio religioso, a 16 hombres de la concurrencia, altos y bajos, y alinear­los con sus respectivos pies izquierdos unos a continuación de otros; la longitud obte­nida es la recta y legal vara para medir la tierra, y su décima sexta parte la recta y legal longitud del pie". (Definición de Kobel, 1514).

A veces se introducían nuevas unidades arbitrarias, como por ejemplo, la longitud de la yarda, fijada bajo Enrique I en In­glaterra (1811), la cual, según la tracli- f ión, era la longitud del brazo de su amiga favorita.

Como los patrones o modelos de las uni­dades de medida no se podían redeter­minar con precisión, dado su carácter con­vencional, eran protegidos de las adultera- ciones fraudulentas, y se confiaba su cus­todia, por lo general, a los sacerdotes, o

se esculpían en los basamentos de algunos monumentos, como en Roma, en la esta­tua de Vespasiano, y en Londres, en la de Nelson, en donde se grabó la longitud de la yarda. También se acostumbraba a fijar los de longitud, por la distancia entre dos garfios de hierro empotrados en los muros de las ciudades.

Como es fácil imaginar, la variedad de medidas usadas, aun dentro de un terri­torio y con un mismo nombre, dificultaba enormemente el intercambio mercantil, ex­puesto así a toda clase de engaños, por la deficiencia e ignorancia de sus equiva­lencias.

En todos los países se producía este fe­nómeno; así, por ejemplo, en Francia había unas 200 unidades de medida diferentes, impuestas, en La Edad Media por los se­ñores feudales en sus respectivos territorios, v en España, cada región, y aun cada pueblo, tenía su vara, su libra, etc.

(De J. Rey Pastor, Aritmética, 1937)2. EL ULTIMO TEOREMA DE FER-

MAT. En el margen de un libro que es­taba leyendo, la Aritmética de Diofanto (Siglo III), el famoso matemático francés P. FERMAT (1601-1665) escribió: “Si n es un número mayor que 2, no existen nú­meros naturales x, y z tales que xn + yn = z*. He encontrado una demostración ver­daderamente maravillosa de esta propiedad, pero el margen es demasiado pequeño para colocarla allí”.

Mucho tiempo antes de Fermat ya se sabía que cuando n = 2 es fácil encontrar números naturales x, y, z tales que xs -f if = z', por ejemplo, 3, 4 y 5, o 5, 12 y 13. Por ello, tales números han sido deno­minados números pitagóricos. Pero nadie pudo hallar ternas que cumplieran la pro­piedad cuando n es mayor que 2. En rea­lidad, Fermat sólo propuso los casos n = 3 y ii = 4.

Descubierta la nota marginal de Fermat, los matemáticos trataron de demostrar la citada propiedad, pero sin éxito, pese a los enormes esfuerzos realizados. La imposi­bilidad de solución para n = 3 fue intuida por el árabe BEIIA EDDIN (1547-1622) v demostrada por L. EULER (1707-1783), " (sigue en pdg. 42)

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conara-

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:

(viene de pdg. 34)

ríos de los maestros, de lo cual se deduce que no sólo es obligación de la escuela ba­ria la sociedad enseñar Jo que requiere la industria, sino también, un asunto de bien entendido interés personal.

En la escuelas técnicas, nosotros, debido a nuestra larga y estrecha asociación con la industria, estamos probablemente mejor equipados que muchos maestros para apre­ciar la clase de destreza matemática, que la industria requiere del egresado. En las escuelas secundarias, la matemática está, m considerable extensión, aislada de los otros asignaturas, mientras que en una es­cuela técnica, la matemática no se enseña

materia por derecho propio, sino co­mo el lenguaje en la cual son presentadas

las materias tecnológicas aplicadas. Si la es­cuela evade la enseñanza de la matemática básica requerida para este objetivo, enton­ces este trabajo deberá agregarse al ya ates­tado horario de los cursos de las escuelas técnicas.

Un comentario final. Si el objetivo prin- cipal de la nueva matemática no es ense­ñar a los alumnos a dar respuestas correctas a los problemas prácticos, entonces, en lo que la industria le concierne, bien pudiera ser dejada de lado en el plan escolar o, al­ternativamente, mantenida esas materias, latín, del que se dice que es enseñado puramente como una disciplina educativa y no con ningún objetivo de sór- dico utilitarismo.

como una de

como fí. M. 1IELSDON (Inglaterra)

40 41

!

.*

BIBLIOGRAFIAHISTORIA MILENARIAí

A. M. e. CECI, J. B. CGSENTINO, O. M. de PAGULLA, Matemática I, (de acuerdo al programa de primer año del Ciclo Básico y Escuelas Nacionales de Comer­cio, con los nuevos temas de Matemá­tica Moderna), Biblioteca Pedagógica, EDITORIAL GUADALUPE, Buenos Aires! 1967.De la matemática moderna

y usa constantemente la nomenclatura y la notación conjuntista, al mismo tiempo que se procura desarrollar y canalizar la intui­ción mediante gráficos y ejemplos bien se­leccionados. Aun atados por las exigencias del programa oficial, los autores han acer­tado al variar, según la importancia, la ex- • tensión dedicada a cada uno de ellos. Para nuestro gusto, es un poco excesiva la axio­mática y el formalismo en ciertos puntos, pensando en que está dedicado a alumnos de 13 años, pero este es precisamente una de las cuestiones que se trata de analizar a través de experiencias y ensayos.

La publicación de libros como el pro- rente de los profesores Ceci, Cosentino y de Paglilla es muy útil y necesaria. Con ella se tiene la base para ir experimentando la reacción de los alumnos ante las nuevas

iiA J. WALLIS (1G46-JL716) se debe el

productoEste importantísimo número de la

matemática, cuyas primeras cifras son 3,1415926535..., como es sabido, expresa la relación entre la longitud de una circun­ferencia cualquiera y su respectivo diáme­tro. El símbolo fue introducido por G. OUGIITRED (1574-1650), pero su difu­sión general se debe a I. BARROW (1630- 1677).

Pero la historia de este número es muy anterior. En el Antiguo Testamento se le asigna el valor 3. Los egipcios, con proce­dimiento gráfico, obtuvieron el valor 3,1605, empíricamente. El conocido valor 3,1416 era ya usual en la época tolemaica, unos 150 años d.J.C., aunque el primer mé­todo racional para determinar su valor se debe a ARQUIMEDES (2S7P-212 a.C.): se trata del método de los polígonos ins­criptos y circunscriptos para lograr la cua­dratura del círculo; mediante un polígono de 96 lados determinó que n estaba com­prendido entre 3 f 1/7 y 3 -f 10/71, siendo el primero de estos valores, 22/7, aún muy útil en la práctica. LIEU HUEI, en el siglo III, mediante polígonos de 192 y 3072 la­dos, obtiene el valor 3,14159.

El método arquimediano puede exten­derse indefinidamente, pero los cálculos se vuelven muy engorrosos, no obstante lo cual, con notable paciencia y constancia, L. VAN CEULEN (1540-1610) llegó a calcular 35 cifras, por lo cual algunos lo han denominado “número ludolfiano” alu­diendo a su nombre de pila.

El problema varía de aspecto cuando, en 1593, VIETA cambia los antiguos mé­todos de aproximación por el primer algo­ritmo infinito conocido, resultado que fue expuesto por C. IIUYGENS (1629-1695) en una pequeña obra, De circuli magnitucline invenia que cierra definitivamente el pe­ríodo arquimediano de la cuadratura e ini- ciael período moderno.

jt/2 = 2/1.2/3.4/3..., y su amigo G. BOUNCKER (1620-1684) logra éxito empleando la fracción continua

jt = 4/ + 17 2 + 37 2 + ... empleando una idea esbozada por R. BOM­BEELE

Asimismo, uno de los primeros éxitos de G. LEIBNIZ fue el descubrimiento de la

se conocenbien sus aspectos generales y los fines a los que, con ella, se quiere llegar. Se saben los puntos que la caracterizan y se saben, todavía mejor, los defectos de la matemá­tica clásica. En el caso de la enseñanza media está bastante claro lo que debe dar­se y lo que debe suprimirse. La dificultad comienza en el momento de llevar a la

serie alternadajt/4 = 1 - 1/3 + 1/5 ...

Estas relaciones entre expresiones infini­tas y el número tí prueban una vez más la íntima conexión entre las diversas for­mas matemáticas; con descubrimientos de nuevas series, J. MACHIN, J. HERMAN y L. EULER, lograron determinar mayor nú­mero de cifras de x

Uno de los resultados más espectaculares fue logrado en 1873 por G. SIIANXS (1812- 1SS2) quien, empleando una serie rápida­mente convergente calculó 707 cifras del número tí cometiendo algunos errores que luego fueron corregidos.

La verdadera naturaleza del número sólo fue determinada por J. II. LAMBERT (1728-1777) quien demostró rigurosamente (iue era un número irracional, y en 1882, C. F. L. LINDEMANN (1852-1939) probó que era un número trascendente.

En nuestros días, las modernas máquinas de calcular han resuelto definitivamente el problema v en muy poco tiempo pueden calcular millares de cifras; el problema ha dejado de tener interés para la investiga­ción matemática.

Digamos, en fin, que el número jt, lo mismo que el número e resulta imprescin­dible para la descripción de muchos fe­nómenos o procesos de la naturaleza; las mareas, por ejemplo, no podrían ser des- criptas analíticamente sin su ayuda, ni mu­chas fórmulas probabilísticas serían posi­bles sin él.

práctica de manera orgánica estas supre­siones y añadidos, de modo que quede una unidad comprensible para los alumnos, en la cual los conceptos modernos aparezcan de manera natural, cada uno a su debido tiempo, como base y sostén de la parte utilitaria de la matemática, que nunca de­be olvidarse ni retacearse. Es natural que así sea. La matemática clásica lleva siglos de experiencia, durante los cuales se ha ido destilando lo que de ella debe darse, > cómo debe darse, en cada ciclo de la enseñanza; se tienen de ella una ordena­ción y gradación perfectas. Pero es preci­samente esta perfección misma lo que ha­ce difícil la introducción en su edificio del estilo y del contenido modernos, cosa por otra parte imprescindible dado el progre­so general de todas las ciencias relaciona­das con la matemática, que necesitan otras cosas y otros puntos de vista diferentes de los tradicionales.

La matemática moderna, como su pre­cursora inmediata de la década del 20, usa mucha axiomática. Pero hay que procurar no incluir o por lo menos no insistir en los axiomas hasta que el alumno pueda com­prender su necesidad. Hay que pasar rá­pidamente sobre los resultados evidentes — y la evidencia es una función decreciente con la edad— para dejar tiempo a las no­vedades, -que son muchas y muy necesarias las que deben aprenderse durante el se­gundó ciclo de la enseñanza.

En el libro que nos ocupa se introduce

tendencias, con lo cual, junto con las opi­niones de los profesores de matemática y de materias afines, se irá decantando y puliendo la mejor forma de presentar los lemas y la distribución de los mismos a lo largo del ciclo medio. Dos temas de este primer año, por ejemplo, son las pre­sentaciones de los números enteros y ra­cionales. Los autores optan en ambos ca­sos por la definición como pares ordena­dos con la correspondiente equivalencia. Es una definición excelente desde el punto de vista estrictamente matemático, pero ¿lo será también desde el punto de vista didáctico para ser expuesto a los 13 años? Los profesores tienen la palabra, siempre que, como en todo hecho tratado científi­camente, la avalen con experiencias efec­tivas e imparcialmente practicadas, no úni­camente con opiniones personales a prior?, muy respetables pero igualmente muy dis­cutibles.

(

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L. A. Santaló

Elbridge P. VANCE. Introducción a la ma­temática moderna, ADD1SSON - WESLEY PUBLISHING COMPANY, Reading, EE. UU., 1966.

534 páginas de gran formato contienen el material de esta obra del prestigioso profesor americano del Oberlin Collegc presentado en edición bilingüe en caste-

(viene de pág. 41) lo mismo que para 4, caso ya probado por el mismo Fermat. Otros autores logra­ron probar otros casos particulares, llegán- üose hasta n — 600 por lo menos,

a la demostración general, para la cual, desde 1906, se ha instituido en Alemania un premio de cien mil marcos, sea que se pruebe su validez o su invalidez.

n =!

ipero no43i 42 i

pj

noticiasración de las funciones circulares a la re­solución de triángulos, Más aplicaciones cíe las funciones circulares, Números piejos, Secciones cónicas, Integración.

Para el desarrollo de su tarea el autor se basa en las instrucciones de la “Aso­ciación Matemática de América” y de la comisión de matemática de la “Mesa Exa­minadora para el Ingreso a la Universi­dad”, y en las numerosas experiencias Üzadas en su país. Además cíe subrayar la importancia del razonamiento lógico, in­tenta presentar un esquema unificado del álgebra, la trigonometría y la geometría analítica y asimismo una sólida introduc­ción al cálculo infinitesimal que permita al alumno secundario dominar estos temas y abordar sin dificultades posteriores estu­dios de lógica matemática, probabilidades, estadística, matemática finita, etc. Los ejer­cicios han sido bien seleccionados para contribuir a la unidad de la materia y para permitir la introducción de conceptos; no cabe ninguna duda de que el autor co­noce su oficio y sabe exponer los temas con claridad, destacándose que la noción de conjunto, introducida al comienzo, se usa en todo el libro, el cual se caracteriza por la ordenada presentación de las ideas modernas. En trigonometría, aun cuando se ha subrayado el aspecto analítico, nos parece excesivo el espacio destinado a los .aspectos computativos tratándose de un iexto para la enseñanza secundaria.

De paso, una objeción: las figuras y las fórmulas sólo figuran en el texto en inglés,, lo cual obliga al lector de la parte en castellano a cambiar frecuentemente de columna, lo cual, sin duda, no favorece la lectura.^ La presentación del libro es muy cui­dada y los gráficos, simples pero muy claros.

llano o inglés. La traducción a nuestra idioma es del Dr. Alberto Saenger, de la Universidad Católica de Chile, con quien colaboraron 11. Paz Estrada, II. Cantó S. y Francisco Garriga. Estas ediciones bi­lingües presentan ciertas ventajas y al­gunos inconvenientes. En verdad, han de ser muy apreciadas en muchos medios edu­cativos de EE. UU., decididos empeñosa­mente a difundir en su país nuestro idioma al que intentan convertir en su segunda lengua; la apreciarán también muchos es­tudiantes latinoamericanos que tienen ne­cesidad de reforzar sus conocimientos do inglés para su futuro desenvolvimiento, por más que no sea la traducción el medio más útil para lograr los objetivos expues­tos. El inconveniente mayor radica en el volumen que adquiere el libro con la ló­gica consecuencia de la elevación de su precio de venta que se aleja así de las po- ribilidades de algunos interesados.

En cuanto a la obra en sí se trata de un serio intento para educar al estudiante en la naturaleza de la matemática consi­derada como esquema lógico. Trata de lograrlo en 22 capítulos cuya enumeración interesa para comprender cómo se ha re­suello en otros países —y el del autor era tradicionalmente deficitario— el problema de los conocimientos que se consideran im­prescindibles a la finalización de los es­tudios secundarios. Los nombres de di­chos capítulos son: Conjuntos y números, El álgebra de los números como sistema lógico, Generalizaciones de la lógica del álgebra, Desigualdades, valores absolutos y sistemas de coordenadas, Funciones y su representación gráfica, Funciones circula­res, Funciones lineales, Funciones cuadrá­ticas, Determinantes, Método de Induc­ción, Funciones, límites y continuidad, De­rivadas, Polinomios, Algunas aplicaciones de la diferenciación, Funciones inversas, Funciones exponencial y logarítmica, Apli-

icom- 1. CONCEPTOS DE MATEMATICA:

se dispone a dar cumplimiento cumpli­miento a objetivos señalados en su primer número. Sabe de la preocupación reinante entre los profesores de matemática ante algunos temas introducidos en los progra­mas actuales, especialmente los que se re­fieren a Probabilidades y Estadística. Para enfrentar esa dificultad ha tenido la singu­lar fortuna de lograr el asentimiento del prestigioso matemático argentino, doctor Carlos A. Trejo, cuya capacidad es bien conocida por los docentes y trasciende, por etra parte, las fronteras de nuestro país. Con nuestra organización el Dr. Trejo dic­tará un cursillo de seis clases sobre proba­bilidades en el Salón de Conferencias del Liceo Nacional de Señoritas NT<? 2, Rivada- via 4950, Buenos Aires, los días 12, 19 y 26 de junio y 10, 17 y 24 de julio próximo, ii las 1S,45 lis. La entrada a dicho cursillo será absolutamente gratuita y quienes se inscriban en el mismo podrán obtener ci correspondiente certificado de asistencia.

Otra iniciativa nuestra, generosamente recogida por el Departamento de Enseñan­za de las Ciencias del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, per­mitirá al Dr. Trejo repetir su cursillo en la ciudad de Córdoba durante las vacaciones de invierno. Los artículos del Dr. Trejo serán publicados en nuestra revista con ex­clusividad.

2. Organizado por el Departamento pa­ra la Enseñanza de las Ciencias del Con­sejo Nacional de Investigaciones Científi­cas y Técnicas y el Servicio Nacional de Enseñanza Media, Normal, Especial y Su­perior, se está dictando desde el 25 de abril un curso sobre probabilidades y es­tadística a cargo de la profesora Marta Moraschi de Mastrogiovani. Dado el exceso de inscripciones, el curso se ha desdoblado y otro análogo se iniciará el 1° de junio y en el mismo lugar y a cargo de la misma profesora.

3. Asimismo, la profesora Mastrogio- vaimi repetirá ese curso en forma intensi­va, con clases por la mañana y por la tarde, en la ciudad cordobesa de Bell Ville, •durante las vacaciones de invierno.

4. En la misma época, vale decir, des­

de el 10 hasta el 15 de julio la profesora Nelly Vázquez de Tapia tendrá a su car­go un curso sobre ‘Funciones, Estructuras Algebraicas y Espacios Vectoriales', que se dcsarrolará en el Colegio Nacional de* Mercedes, San Luis.

5. La EDITORIAL GUADALUPE ha organizado un “Curso de matemática cierna en el cual la profesora Angélica M.E. Ceci desarrolla los lunes, miércoles y viernes, en 26 horas de clase, de 18,30 a 20,30, los programas oficiales de primer año, a partir del 3 de mayo de 1967 en Man- silla 3865, Buenos Aires.

6. Se están preparando nuevos progra- cle matemática para 5? año de las es­

cuelas de comercio. La Comisión que tie­ne a su cargo esta tarea está integrada pol­los inspectores R. R. Vólker y A. A. Piaña, del Servicio Nacional de Enseñanza Se­cundaria, Normal, Especial y Superior, los doctores C. Lambiasse y J. González Calé, ele la Escuela Superior de Comercio “Car­los Pellegrini” y los Dres. R. F. Pistrclli yF. I. Toranzos, de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de B. Aires.

7. También se están redactando los pro­gramas para 5? año de bachillerato que comprenden por una parte, Trigonometría, y Nociones de Límites, Continuidad y De­rivadas, y, por otra, Nociones de Astrono­mía Elemental, programa este último redac­tado por el Dr. Jorge Sallado, del Observa­torio Astronómico de La Plata, que cola­boró con la comisión integrada por L. A. Santaló, II. R. Volker y A. A. Piaña.

8. Ha partido para Europa el profesor Atilio A. Piaña quien, entre otras ciuda­des, piensa visitar Roma, París, Bruselas y Madrid. Su reconocida inquietud le ha de brindar sin duda, oportunidades para ob­tener informaciones que habrán de resul­tar útiles para las funciones que desempe­ña en nuestro país.

9. En la Escuela Normal “A Lincoln” de Lincoln, Bs. As., se dictó un cursillo sobre “Temas de álgebra moderna”, que es­tuvo a cargo de las profesaras María de las M. Guitiérrez, Esther C. R. de Huzmán, Élsa Pallavicini María C. J. de Raggio, Su- san C. de Sánchez, Elsa A. Santángelo, Isa­bel A. Santángelo y Julia Vegas.

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Cristina Verdaguei de Banfi1

I(Viene tic la jxífíina 33) f

posición o las proposiciones útiles y la so­lución del problema.

Todo lo que se ha dicho no vale más que para los reacios a la matemática. Los dolados están

espíritus las proposiciones que les permitirán comprender y encontrar las so­luciones del problema planteado.

a sus

en posesión de esquemas operatorios que, automáticamente, imponen M. Pattinger

(Bélgica)’

4544

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1742, Rosario; Arturo M. González Tilomas» Colón 41S, Coya; Susana S. de Hinríksen Santa Fe 1595, Rosario; Catalina J. B. de Lacena, Av. Rosario 265, Bo. Crisol, Córdo­ba; María D. Manghi, General Paz 1295, Tandil; Luis S. Marzik, Av. José L. Suárez 25, Chivilcoy; Nélida L Mclan i, Colón 2815, Córdoba; María D. Reguero, Lavalle 430, Lujan; Estela A. Santángelo, Pellegrini 265, Lincoln; Natalia Tomaszewski, Almirante Brown 3S22, Mar del Plata; Delia A. Vilas, 32 N9 1443, La Plata; Nelly C. de Camba, Av. San Martín 2040, Tunuyán.

Varios lectores. Como era nuestro deseo, este número se publican varios trabajos

de docentes argentinos: Marzik, Sanlaló, Trejo, Volker. Anunciamos para próximos números colaboraciones de Yolanda M. de García, A. R. López, Emilio de Ceceo y otros.

CORREO MATEMATICA MODERNATenemos el agrado de dar a conocer a

nuestros lectores la lista de nuestros corres­ponsales en el interior, prestigiosos docen­tes lodos ellos que han aceptado colaborar en la tarea de que CONCEPTOS DE MA­TEMATICA se constituya en un vínculo entre educadores argentinos. Les solicita­mos quieran colaborar con ellos, en la se­gura de que su colaboración será justamen­te apreciada.

Hasta ahora constituyen dicha nómina:José María Arango, Zapiola .128, Bahía

Blanca; Lela N. Bachur, Maipú 488,Tucu- mán; Vicente II. Bajfa Trasci, Caseros 10S4, Salta; Enrique Bilbao, Av. Rawson 1126 (n), San Juan; María E. Bloise, Belgrano 340, Chacabuco; Rey naide Borghesaleo, Av. Ju­lio A. Roca 316, Junín, Liliana Casetti, Do- rrego 1523, Guaymallén, Mendoza; Alfredo ]. Cossi, Av. Rene Simón 1608, Bañadero; María A. Crespi, 50 N9 379, La Plata; Ri­cardo M. Dupleich, 25 de Mayo 953, Con­cordia; María E. Franco Puig, Mendoza

Textos de ARITMETICA y GEOMETRIA, para los cursos del ciclo básico, de los profesores Lidia E. Alcántara, Raquel Lomazzi y Félix Mina.

T.

Incluyen los temas nuevos, incorporados a los programas oficiales, y orientan progresivamente la enseñanza de la Matemática de acuerdo didáctica especializada.

los conceptos modernos y lacon

nuevo manual estrada

Para los grados 273?, 374°, 4?/5°, 50.6°, 6°/7? de las escuelas provinciales y nacionales.

La parte destinada a Matemática inicia a los alumnos en el conocimiento de los principios modernos de esta disciplina.

en

EDITORIAL ESTRADAProf. Isabel de Garin, Glew (Bs. As.). No olvidamos su pedido y próximamente trata­remos de ocuparnos especialmente del pro­blema de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria.

BOLIVAR 462/66 T.E. 33-6520/29

O S AIRES

(Continuará)

—.-.-r'r.11.—-5. Matemática y cultura general.El profesor secundario de matemática

debe desarrollar su enseñanza atendiendo, en primer término, a los contenidos espe­cíficos de su materia y subsidiariamente — como ya se señaló— a las posibilidades de su aplicación; pero en su carácter de educador no puede sustraerse a la obliga­ción de contribuir a la cultura general de sus alumnos. La influencia notable que en casi todas las ramas del saber y en la tec­nología ejerce el pensamiento matemá­tico en el siglo actual, pone al profesor de matemática frente a una responsabili­dad grave y requiere de su parte un co­nocimiento fundado de esa influencia, lo que a su vez implica que esté al tanto de las grandes corrientes del pensamiento matemático y de sus relaciones con la evo­lución científica general en épocas ante­riores. Parece pues, recomendable que en la preparación del profesor secundario de matemática y preferentemente en los años superiores, no falte algún curso que verse sobre historia de la matemática, o sobre la evolución del conocimiento científico, sobre matemática y lógica o cuestiones se­mejantes. (Continuará)

(viene de la púg. 12)Es tradicional en..algunos países que el

profesor que enseña matemática como mo­lería principal, también dicte física o quí­mica como materia subsidiaria; lo que por cierto obliga a incorporar al plan del pro­fesorado de matemática la cantidad sufi­ciente de asignaturas de la otra especiali­dad que garantice un desempeño decoroso. Puede este criterio —de la doble carrera — ser útil en muchos lugares, sobre todo en escuelas o localidades menores, donde re­sulte difícil conseguir docentes secundarios para las ciencias básicas; pero no es del caso recomendar esa salida, sino hacer hincapié en la necesidad de que el profe­sor de matemática esté lo suficientemente familiarizado con otro campo del saber como para usar en él sus conocimientos matemáticos a modo de instrumento e ilustrar a sus alumnos sobre la matemá­tica como ciencia aplicada. Va de suyo que ello requerirá una buena preparación en esc otro campo y que tal circunstancia puede servir de base para la obtención de un segundo titulo docente o la de mejores calificaciones profesionales, hechos de to­dos modos auspiciosos.

YA ESTAMOS

TRABAJANDO

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FUTURO

Cuando csrc niño sea hombre y po- sca un automóvil, cuando utilice un tractor o cualquier otra maquinaria para su trabajo, el adelanto de la tcc- n,Ca exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, quepueden ser totalmente desconocidos hoy.Adelantándose a Jas necesidades del

dedicados a esas tarcas, que signifi­can una cuantiosa inversión anual de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo empresario y científico, mira al futuro de ios niños de hoy, extendiendo los beneficios de la investigación de SHELL a todos los países en que actúan sus empre­sas asociadas.

mundial de cons-

mañana, la organización SHELL estudia y experimenta

miles de elementos ytantcmemc con nuevos procesos, para con las exigencias del progreso. En 21 centros de investigación disemina­dos en varios países, unos 6.000 téc­nicos y hombres de ciencia de la organización SHELL

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