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PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE
Grado: Quinto Duración: 2 horas pedagógicas
I. TÍTULO DE LA SESIÓNDeterminando alturas previas a la visita de Pachacamac
II. APRENDIZAJES ESPERADOSCOMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES
ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE FORMA,
MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN DE CUERPOS
Comunica y representa ideas
matemáticas
Presenta ejemplos de razones trigonométricas con ángulos agudos y notables en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos y otros
Elabora y usa estrategias
Selecciona la estrategia más conveniente para resolver problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos, notables, complementarios y suplementario
Razona y argumenta generando ideas matemáticas.
Plantea conjeturas al demostrar el Teorema de Pitágoras.
III. SECUENCIA DIDÁCTICAInicio: (20 minutos)
UNIDAD 5NÚMERO DE SESIÓN
5/14
El docente da la bienvenida a los estudiantes y plantea las siguientes preguntas: ¿Qué actividades realizamos la clase anterior? ¿Para qué utilizamos el goniómetro?
Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas. El docente, mostrando y manipulando el goniómetro, identifica los diferentes tipos de ángulos que se forman al realizar observaciones desde diferentes puntos referenciales.
El docente pregunta:
Los estudiantes dialogan en equipo e intercambian opiniones.
El docente presenta el propósito de la sesión de aprendizaje y lo plasman en la pizarra.
- Aplicar estrategias para determinar la altura haciendo uso de las razones trigonométricas.
Desarrollo: (60 minutos)
Los estudiantes presentan en tarjetas sus posibles respuestas a las preguntas de inicio.
El docente sistematiza las respuestas y fomenta el diálogo sobre las diversas posibilidades de
determinar las alturas de objetos de su entorno.
Con el apoyo del docente, los estudiantes realizan la gráfica respectiva. Colocan los datos
recogidos e identifican cada elemento que ha intervenido en la actividad práctica.
El docente monitorea el trabajo planteando preguntas de reflexión y análisis:
- ¿Se conoce la distancia entre los puntos A y B? ¿Cómo la determinaron?
- ¿Se conoce la distancia entre A y la base del objeto observado? ¿Cómo lo representamos?
-Los ángulos de elevación y β” ¿son notables?
-¿Qué ángulo forma la altura y la base del piso?
-¿Cómo podemos representar las líneas imaginarias denominadas horizonte visual?
¿Cómo podremos determinar la altura a partir de los datos recogidos en la experiencia anterior?
http://arablogs.catedu.es/arablogs/repositorio/900/jalon3.jpg
http://i.ytimg.com/vi/tiNazhCsNtw/maxresdefault.jpg
-¿Cómo representamos la altura del observador?
Cada equipo presenta la gráfica correspondiente:
El docente plantea las siguientes preguntas:
-¿Cómo podemos determinar la altura del objeto observado con los datos obtenidos?
-¿Has resuelto alguna situación parecida? ¿Qué estrategias utilizaste?
Se espera que los estudiantes respondan que han resuelto problemas aplicando el Teorema
de Pitágoras.
- ¿Por qué no es posible resolver este problema aplicando el Teorema de Pitágoras?
- ¿Recuerdan las razones trigonométricas trabajadas el año anterior? ¿Cuáles son?
(Se espera que los estudiantes respondan que son 6 razones trigonométricas: seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante, de no ser así, el docente -a través de preguntas-
les ayudará a recordar).
El docente presenta la siguiente información en un papelógrafo o PPT:
1.
El docente pregunta: ¿Qué razones trigonométricas nos ayudará a determinar la altura?
Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas y el docente anota en la pizarra las
ideas fuerza.
El docente invita a los estudiantes a observar la segunda parte del video: “Proyecto
calculando alturas” (se sugiere ver desde el minuto 4,14 s ).
https://www.youtube.com/watch?v=tiNazhCsNtw
Los estudiantes, con la ayuda de su calculadora y tablas, proceden a realizar los cálculos
correspondientes para determinar las alturas de la actividad anterior. Desarrollan la actividad
1 (ficha de trabajo 1, anexo 1).
Anexo 1
El asta de la bandera de la I.E. (ejemplo)Datos: h= 1,4 d=2m ∝ = 20° β=25 ° x=? H=?
Tan ∝ (1)
Despejando “H” (2)
Tan β (3) Despejando “H” (4)
Igualando: (2) = (4)
Reemplazando y hallando X
tan∝=H−hx+2(x+2)( tan∝)
+h=H
tanβ=H−hx x( tanβ )+h=
H
(x+2)( tan∝) +h= x( tanβ )+h
X =
Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:
Un integrante de cada equipo presenta los resultados obtenidos.
El docente promueve la reflexión en torno a los resultados y las variaciones en los diferentes
equipos. Plantea a los estudiantes que resuelvan las preguntas de la actividad 2 (ficha de
trabajo 1, anexo 1):
- ¿Por qué hay variación en las respuestas? ¿A qué se debe?
- ¿Existen alguna variación el usar tablas y usar calculadora para hallar el valor de la
tangente del ángulo? ¿Por qué?
- ¿Cuántos equipos coincidieron o se aproximaron en sus respuestas?
- ¿Qué respuesta es la más próxima a la altura real del objeto observado?
El docente promueve el diálogo, despeja dudas y consolida la información haciendo énfasis
en que el margen de error se da debido a las aproximaciones utilizadas al determinar el valor
de la tangente.
El docente pregunta:
- ¿Qué razón trigonométrica nos permitiría hallar la longitud de la línea visual en cada uno
de los casos?
(Se espera que los estudiantes respondan: aplicando seno o coseno, según sea el caso).
El docente promueve la reflexión sobre el uso de las razones trigonométricas inversas
(cotangente, secantes, cosecante) y demuestra que se llega al mismo resultado.
El docente pregunta a los estudiantes: ¿Cómo puedo demostrar que los valores obtenidos
para los tres lados del triángulo rectángulo, en ambos casos, son los correctos?
(Se espera que los estudiantes haciendo uso del Teorema de Pitágoras corroboren que se
cumple dicha relación: a2 = b2 + c2. Reemplazan dos de los valores obtenidos en el triángulo
rectángulo y determinan el tercero demostrando que los lados del triángulo hallados al
aplicar las razones trigonométricas son los adecuados.
Los estudiantes responden a la pregunta:
¿En qué otras situaciones se hacen evidente la utilización de las razones trigonométricas?
Los estudiantes argumentan adecuadamente sus respuestas.
El docente media las intervenciones analizando cada caso y reflexionando sobre las
argumentaciones vertidas por cada equipo. Luego, consolida la información y concluye que
las razones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación,
por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas; en la
medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Los estudiantes, en equipo, plantean un ejemplo de una situación de su entorno donde
determinen alturas y hagan uso de las razones trigonométricas.
El docente monitorea el trabajo y despeja dudas.
Un integrante de cada equipo presenta sus ejemplos y argumenta sus procedimientos.
Cierre: (10 minutos) El docente pregunta: ¿Habrá casos en los que se utilice el seno o el coseno para su solución?
Los estudiantes dialogan al respecto.
El docente plantea el caso de la actividad 3 (ficha de trabajo 1, anexo 1):
El señor Luis decide pintar el balcón del segundo piso de su casa que se encuentra a una
determinada altura. Se percata que si coloca la escalera a una determinada distancia de la
casa, formando un ángulo de 37° con el piso, la escalera no sería lo suficientemente grande
como para llegar a su objetivo; pero si la acerca 1,75m a la casa y la coloca formando un
ángulo de 53° con el piso, sí lograría su propósito. ¿A qué altura se encuentra el balcón de la
casa del señor Luis? ¿Qué tamaño tiene la escalera?
Los estudiantes grafican la situación y ubican los datos correspondientes. Aplican las razones
trigonométricas correspondientes según el caso.
Cada equipo colocan sus respuestas en tarjetas y las pegan en la pizarra.
El docente corrobora los resultados con la participación activa de los estudiantes y llegan a
las siguientes conclusiones:
El docente les recuerda que en la próxima clase realizarán la visita al Complejo Arqueológico
de Pachacamac y les pide que coordinen entre ellos para llevar todos los materiales que
necesitan para el trabajo de campo.
El docente promueve la reflexión en los estudiantes a través de las siguientes preguntas:
¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿De qué manera lo realizado en la
clase nos ayudará a resolver situaciones cotidianas?
Observación: La sesión presenta la adaptación de la estrategia “Prácticas en laboratorio de matemática” – Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página 66.
IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA El docente solicita a los estudiantes que coordinen con su equipo para que reúnan
todos los materiales a utilizarse en el trabajo de campo: goniómetro, wincha, libreta de anotaciones, tiza o marcador, cámara fotográfica.
- Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.-Las razones trigonométricas son usualmente utilizadas en topografías e ingeniería, astronomía, en sistemas de navegación y para medir distancias.-Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo no siempre son notables, por lo que se hace necesario utilizar calculadora o tablas para determinar sus razones trigonométricas.
V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR- Ministerio de Educación MINEDU. Texto de consulta Matemática 5 (2016) Lima. Editorial
Santillana S.A.
- Calculadora científica, tabla de valores de las razones trigonométricas para ángulos que no son notables.
- Reglas, escuadras, compás, fichas, pizarra, tizas, encuestas, etc.
VI. EVALUACIÓN- Evaluación formativa: Se utiliza la ficha de trabajo para verificar el logro de los indicadores previstos
en el aprendizaje esperado.
Anexo 1Ficha de trabajo 1
Nombre del grupo: Fecha: …/…/………
Integrantes de grupo:
Actividad 1
El asta de la bandera de la I.E. (ejemplo)Datos: h= 1,4 d=2m ∝ = 20° β=25 ° x=? H=?
Tan ∝ (1) Despejando “H” (2) Tan β (3) Despejando “H” (4)
Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X
tan∝=H−hx+2
(x+2)( tan∝) +h=H
tanβ=H−hx
x( tanβ )+h= H (x+2)( tan∝) +h= x( tanβ )+h
X =
Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:
La puerta de entrada de la I.E.Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=? Tan ∝ (1)
Despejando “H” (2)
Tan β (3) Despejando “H” (4)
Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X
Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:
El arco de la cancha de fulbito
Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=?
Tan ∝ (1) Despejando “H” Tan β (3) Despejando Igualando: (2) = (4) Reemplazando y
Utilizando el goniómetro realiza las mediciones según indica la ficha y determina las alturas respectivas.
(2) “H” (4) hallando X
Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:
Del poste de luz cercano
Datos: h=___ d=___ ∝ = ___ β=¿¿ x=? H=?
Tan ∝ (1) Despejando “H” (2)
Tan β (3) Despejando “H” (4)
Igualando: (2) = (4) Reemplazando y hallando X
Reemplazando X en (1) o (3) y hallar H:
Actividad 2
1. ¿Por qué hay variación en las respuestas de cada uno de los equipos? ¿A qué se debe?
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2. ¿Existe alguna variación al usar tablas o al usar calculadora para hallar el valor de la
tangente del ángulo? ¿Por qué?
Responde a las siguientes preguntas:
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____________________________________________________________________________
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3. ¿Cuántos equipos coincidieron o se aproximaron en sus respuestas? ¿Por qué?
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4. ¿Qué respuesta es la más próxima a la altura real del objeto observado?
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____________________________________________________________________________
5. ¿Qué razón trigonométrica nos permitiría hallar la longitud de la línea visual en cada
uno de los casos?
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____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. ¿Cómo puedo demostrar que los valores obtenidos para los tres lados del triángulo
rectángulo -en ambos casos- son los correctos? Realiza cálculos correspondientes para dicha
demostración.
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7. ¿En qué otras situaciones se hacen evidente la utilización de las razones
trigonométricas?
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8. ¿Habrá casos en los que se utilice el seno o el coseno para su solución?
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Actividad 3
Lee atentamente la siguiente situación y responde a la pregunta planteada:
El señor Luis decide pintar el balcón del segundo piso de su casa que se encuentra a una
determinada altura. Se percata de que si coloca la escalera a una determinada distancia
de la casa, formando un ángulo de 37° con el piso, la escalera no sería lo suficientemente
grande para llegar a su objetivo; pero si la acerca 1,75m a la casa y la coloca formando un
ángulo de 53° con el piso, sí lograría su propósito. ¿A qué altura se encuentra el balcón de
la casa del señor Luis? ¿Qué tamaño tiene la escalera?
GRAFICA LA SITUACIÓN PLANTEADA Y COLOCA LOS DATOS
Anexo 2
Propósito: Identificar las razones trigonométricas y su aplicación en ejemplos sencillos.
Nombre del grupo: Fecha: …/…/………Integrantes de grupo:
Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un
triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo
rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo
rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
CALCULA LA ALTURA HACIENDO USO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
A continuación, recordaremos las seis razones trigonométricas y su aplicación en diferentes situaciones de la vida cotidiana.
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo que queremos determinar.
Existen seis funciones trigonométricas básicas:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
A continuación te presentamos un ejemplo aplicativo:
La profesora ha solicitado a sus estudiantes que determinen las alturas del árbol más alto de su localidad. Ella sugiere que hagan uso del goniómetro elaborado en el salón.
Representación gráfica de la situación:
https://elpostulante.files.wordpress.com/2010/07/cobertclinom.gif
Resuelve las siguientes situaciones haciendo uso de las razones trigonométricas.
1. ¿Cuál es la altura de la casa de Margarita? Se sabe que ubicándose a 4 metros de distancia se divisa el punto más alto de su casa formando un ángulo de elevación de 30° con respecto al piso.
2. Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, tal como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.
3. Desde una montaña de 1800 m metros de altura, un habitante divisa un barco con un ángulo de depresión de 37°. ¿A que
distancia se encuentra el barco, si se sabe que el habitante está sobre una pequeña torre de 15 m de altura?
Datos recogidos: D= 6m
∝=37 °
h= 1,4 (altura del observador)
tan∝=H−hD
tan37 °=H−1,46
34=H−1,4
6
H= 5,9 metros
http://aplicarazonestrigo.wikispaces.com/file/view/PROBLEMA%20BARCO.jpg/360879940/398x296/PROBLEMA%20BARCO.jpg
http://1.bp.blogspot.com/OJa6ImmboDc/T1U4V9TMfGI/AAAAAAAAABU/wr9vuKj79Jk/s1600/nnnnn.png
https://matesnoaburridas.files.wordpress.com/2015/01/faro.jpg