Multiplicadores de la Grange con más de una restricción.

Ejemplo: Determine los valores extremos de la función f[x,y,z]=x y + z2 en la intersección del

plano y-x=0 con la esfera x2 + y2 + z

2 = 4

Solución ® Es problema de optimización de una función sujeta a dos restricciónes :

Funcion Objetivo ® f@x, y, zD = x y + z2

Sujeta a dos restricciones ® g@x, y, zD = y - x = 0

h@x, y, zD = x2 + y

2 + z2 - 4 = 0

Escribir la función auxiliar : F@x, y, z, Λ, ΜD = f@x, y, zD - Λg@x, y, zD - Μh@x, y, zD5 Derivadas, un sistema de 5 ecuaciones, 5 incógnitas.

F@x_, y_, z_, Λ_, Μ_D = x * y + z2 - H-x + yL Λ - Ix

2 + y2 + z

2 - 4M Μ

x y + z2 - H-x + yL Λ - I-4 + x

2 + y2 + z

2M Μ

¶x F@x, y, z, Λ, ΜDy + Λ - 2 x Μ

¶y F@x, y, z, Λ, ΜDx - Λ - 2 y Μ

¶z F@x, y, z, Λ, ΜD2 z - 2 z Μ

¶Λ F@x, y, z, Λ, ΜDx - y

¶Μ F@x, y, z, Λ, ΜD4 - x

2 - y2 - z

2

SolveA9y + Λ - 2 x Μ � 0, x - Λ - 2 y Μ � 0,

2 z - 2 z Μ � 0, x - y � 0, 4 - x2 - y

2 - z2 � 0=, 8x, y, z, Λ, Μ<E

:8x ® 0, y ® 0, z ® -2, Λ ® 0, Μ ® 1<, 8x ® 0, y ® 0, z ® 2, Λ ® 0, Μ ® 1<,

:x ® - 2 , y ® - 2 , z ® 0, Λ ® 0, Μ ®1

2>,

:x ® 2 , y ® 2 , z ® 0, Λ ® 0, Μ ®1

2>>

Evaluar ahora la función en cada una de las soluciones del sistema (siempre se sustituye en la

función objetiva)

f@x_, y_, z_D = x y + z2

x y + z2

f@0, 0, -2D4

f@0, 0, 2DfB- 2 , - 2 , 0F

2

fB 2 , 2 , 0F

2

Entonces la función f@x, y, zD alcanza su valor máximo de 4, en dos puntos,

H0, 0, 2L & H0, 0, -2L y su valor mínimo de 2 en los puntos J- 2 , - 2 , 0N & J 2 , 2 , 0N

2 Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb

Plot3DB: 4 - x2 - y

2, y - x � 0>, 8x, -2, 2<, 8y, -4, 4<F

-2-1

01

2

-4-2

0

2

4

-5

0

5

Segundo Ejemplo :

Encuentre 3 números x, y,

z tales que la suma sea 30 y la suma de lsos cuadrados sea mínima ®

Esto por multiplicadores de La Grange la función objetivo es f@x, y, zD =

x2 + y

2 + z2

sujeta a la restricción x + y + z = 30

La función auxiliar F@x, y, z, ΛDF@x_, y_, z_, Λ_D = x

2 + y2 + z

2 - Λ Hx + y + z - 30Lx

2 + y2 + z

2 - H-30 + x + y + zL Λ

¶x F@x, y, z, ΛD2 x - Λ

¶y F@x, y, z, ΛD2 y - Λ

¶z F@x, y, z, ΛD2 z - Λ

¶Λ F@x, y, z, ΛD30 - x - y - z

Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb 3

Solve@82 x - Λ � 0, 2 y - Λ � 0, 2 z - Λ � 0, 30 - x - y - z � 0<, 8x, y, z, Λ<D88x ® 10, y ® 10, z ® 10, Λ ® 20<<f@x_, y_, z_D = x

2 + y2 + z

2

x2 + y

2 + z2

f@10, 10, 10D300

Inventando ...

f@17, 8, 5D378

Para poder graficar las cosas ya que no se cumplen las variables y los puntos.

f@x_, y_D = x2 + y

2 + H30 - x - yL2

x2 + H30 - x - yL2 + y

2

¶x f@x, yD2 x - 2 H30 - x - yL¶y f@x, yD-2 H30 - x - yL + 2 y

Solve@82 x - 2 H30 - x - yL � 0, -2 H30 - x - yL + 2 y � 0<, 8x, y<D88x ® 10, y ® 10<<Plot3D@f@x, yD, 8x, 9.9, 10.1<, 8y, 9.9, 10.1<D

4 Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb

9.90

9.95

10.00

10.05

10.109.90

9.95

10.00

10.05

10.10

300.00

300.02

300.04

300.06

Ejemplo 3®

Una compañía de mensajería sólo acepta cajas rectangulares tales que la suma de su largo

con su circunferencia (perímetro de una sección transversal) no exceda 108. Determine las

dimensiones de la caja de máximo volumen aceptable.

Solución:

La función objetivo es f[x,y,z]=x y z

Sujeta a la restricción g[x,y,z]=2y+2z+x=108

Función Auxiliar:

F@x, y, z, ΛD = x y z - Λ H2 y + 2 z + x - 108Lx y z - H-108 + x + 2 y + 2 zL Λ

¶x F@x, y, z, ΛDy z - Λ

¶y F@x, y, z, ΛDx z - 2 Λ

¶z F@x, y, z, ΛDx y - 2 Λ

Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb 5

¶Λ F@x, y, z, ΛD108 - x - 2 y - 2 z

Solve@8y z - Λ � 0, x z - 2 Λ � 0, x y - 2 Λ � 0, 108 - x - 2 y - 2 z � 0<, 8x, y, z, Λ<D88x ® 0, y ® 0, z ® 54, Λ ® 0<, 8x ® 0, y ® 54, z ® 0, Λ ® 0<,

8x ® 36, y ® 18, z ® 18, Λ ® 324<, 8x ® 108, y ® 0, z ® 0, Λ ® 0<<La solución es -> x = 36, y = 18 & z = 18.

Ejemplo 4 ® ¿A cuánto asciende el cambio de f@x, y, zD =

ln x2 + y

2 + z2

si el punto P Hx, y, zL se mueve dentro de P0 H3, 4, 12Luna distancia de 0.1 unidades en la direccion del vector 3 i + 6 j - 2 k.

Solución :

Encontrarla derivada direccional de f en la dirección del vector dado.

f@x_, y_, z_D = LogB x2 + y

2 + z2 F

LogB x2 + y

2 + z2 F

Para sacar el vector gradiente ®

Grad@x_, y_, z_D = 8¶x f@x, y, zD, ¶y f@x, y, zD, ¶z f@x, y, zD<

: x

x2 + y2 + z2,

y

x2 + y2 + z2,

z

x2 + y2 + z2>

Grad@3, 4, 12D

: 3

169,

4

169,

12

169>

Calcular vector unitario en la dirección deseada ->

Normalize@83, 6, -2<D

: 3

7,

6

7, -

2

7>

6 Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb

DotB: 3

169,

4

169,

12

169>, : 3

7,

6

7, -

2

7>F

9

1183

N@%D0.00760778

El cambio es ® Lo que cambias por unidad de tiempo en esa dirección.

0.0076077768385460695* 0.1

0.000760778

� Ejemplo 5 ®

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección

de las superficies x y z = 1 y x2 + 2 y

2 + 3 z2 = 6 en el punto H1, 1, 1L

Solución

F1@x_, y_, z_D = x y z - 1

F2@x_, y_, z_D = x2 + 2 y

2 + 3 z2 - 6

Grad1@x_, y_, z_D = 8¶x F1@x, y, zD, ¶y F1@x, y, zD, ¶z F1@x, y, zD<Grad2@x_, y_, z_D = 8¶x F2@x, y, zD, ¶y F2@x, y, zD, ¶z F2@x, y, zD<Cross@Grad1@1, 1, 1D, Grad2@1, 1, 1DD

Las ecuaciones paramétricas de la recta pedida son : x = 1 + 2 t, y = 1 - 4 t y z = 1 + 2 t

Multiplicadores de la Grange con más de una restricción, Jueves 21 de Junio del 2012.nb 7