MÉTODOS NUMÉRICOS Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES

CLASES 10-12Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Métodos de Euler y Runge-Kutta

Universidad Industrial de Santander

Facultad de CienciasEscuela de Física

1

2.1. Problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones diferenciales

2.2. Método de un Euler Simple

2.3. Métodos de Euler Modificados

2.4. Métodos de Runge - Kutta

2.5. Métodos de multipasos explícitos e implícitos

2.6. Predictor-corrector

2.7. Problema de contorno para EDO de segunda orden

CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)

2

Una ecuación o un sistema de ecuaciones que contienen una función o un conjunto de funciones

incógnitas junto con sus derivadas se llama una ecuación diferencial o sistema de

ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS (EDO)

Una ecuación de

1ra orden

y’(x)=f(x, y)

Una ecuación de

orden superior

y’’’(x)=f(x, y, y’, y’’)

Sistema de ecuaciones

de 1ra orden

3

(EDO)

4

555

a) El problema de Cauchy para una solo ecuación diferencial de 1ra orden

2.1. Problema de Cauchy para sistemas de ecuaciones diferenciales

EDO

CONDICIÓNINICIAL

6

b) El problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales de 1ra orden

EDO

CONDICIONESINICIALES

7

Ejemplo del problema de Cauchy para un sistema de dos ecuaciones diferenciales

EDO CONDICIONESINICIALES

21 1 2 1 1 2 1

22 1 2 2 1 2 2

cos( ) sin( ) , , ; 0; (0) 0

sin( ) cos( ) , , ; 0; (0) 1

y x y x y x f x y y x y

y x y x y x f x y y x y

Representación en la forma vectorial

1

2

( )( )

( )

y xx

y x

Y

21 1 2 1 2

22 1 2 1 2

, , ) cos( ) sin( )( , ( ))

, , sin( ) cos( ))

f x y y x y x y xx x

f x y y x y x y x

F Y

1

2

(0) 0( )( , ( )); 0; (0)

(0) 1

yd xx x x

ydx

YF Y Y

Funciones incógnitas

En forma vectorial

Las partes derechas de ecuaciones

diferenciales en forma vectorial

Problema de Cauchy en forma vectorial

8

b) El problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales de 1ra orden

SISTEMA DE EDOCONDICIONES

INICIALES9

REPRESENTACIÖN VECTORIAL DEL PROBLEMA DE CAUCHY PARA SISTEMA DE EDO

10

11

Para resolver este sistema de ecuaciones

diferenciales hay que primero definir las partes

derechas de estas ecuaciones . Si 4 funciones

incógnitas {C(i),i=1,2,3,4} sirven como los

parámetros de entrada, entonces 4 funciones {dC(i),

i=1, 2,3, 4] sirven como las parámetros de salida en

el siguiente pseudocódigo del algoritmo

correspondiente12

13

Para definir las partes derechas de estas ecuaciones notaremos las 4 funciones incógnitas

{u(i),i=1,2,3,4} que sirven como los parámetros de entrada, y 4 funciones {du(i), i=1, 2, 3, 4]

sirven como los parámetros de salida

Siguiente pseudocódigo define algoritmo correspondiente de cálculo de partes derecha de ecuaciones

14

c) El problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales de ordenes superiores

Ejemplo. Oscilaciones forzadas de una masa conectada a resorte

0 0

sin ;

0 ; 0

k bx t x t x t A t

m m

x x x V

EDO de 2ndaorden

Condiciones Iniciales15

c) El proceso de reducción del problema de Cauchy para las ecuaciones diferenciales de ordenes superiores a la forma canónica

16

17

RESUMEN: ESTRATEGIA GENERAL PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA DE CAUCHY PARA UN SISTEMA DE EDO

PASO 1. Representar el problema en la forma canónica que permite elaborar los métodos universales

PASO 2. En forma canónica el problema de Cauchy para EDO incluye sistema de ecuaciones de 1ra

orden y condiciones iniciales: U ’ (x)=F(x, U) y U(x1)=U0

PASO 3. A partir del punto x1inicial se construye una malla con el paso h, xi=x1+(i-1)h y valores

incógnitas de la función sobre esta malla se denotan como Ui=U(xi) para construir un proceso iterativo

PASO 4. Si en el proceso iterativo utilizan solo valores de la función en los nodos el método utiliza

técnicas numéricas de colocación, en caso contrario se utilizan técnicas de ajuste. x1=x1+(i-1)h

Métodos de Euler y Métodos de Runge Kutta son ejemplos mas conocidos del 1er grupo

PASO 5. Si el proceso iterativo arranca a partir solo un nodo anterior los métodos se llaman de un paso

(métodos de Euler, Runge-Kutta). En caso contrario se llaman métodos de multipasos (Adams, Miln).

PASO 6. Si en proceso iterativo utilizan tanto los métodos de un paso como de multipasos, el método

se llama predictor-corrector.18

19

Método de Euler pertenecen al grupo de los métodos de Colocación: Reemplazar el problema

original (1) para funciones continuas por la ecuación en diferencias finitas sobre la malla xi=a+(i-1)h .

Sobre esta malla se introducen las notaciones:

Ui=U(xi); Fi=F(xi , U(xi)); Ui+1=U(xi+1)=U(xi +h); Fi=F(xi , U(xi)).

Entonces el problema (1) sobre la malla se reduce a:

U’ (xi))=Fi ; xi=a+(i-1)‣h; i =1,2,3,…… (3)

Para organizar el proceso iterativo se utiliza la fórmula de

la expansión en la serie de Taylor truncada:

Ui+1=U(xi +h)=U(xi )+U’(xi )‣h + O(h2) (4)

Al sustituir (3) en (4) se obtiene la fórmula para el proceso

iterativo del Método de Euler Simple

Ui+1=Ui + F(xi , Ui). ‣ h + O(h2) (5)

Error local (correspondiente a un solo paso) del método es

de orden h2.20

ALGORITMO DEL MÉTODO DE EULER SIMPLE

PASO 1. Dada un sistema de EDO de 1ra orden, o una EDO de orden superior, en cada caso se reducen a una

forma canónica , es decir se definen 2 vectores en forma de dos columnas, el vector de funciones incógnitas

U(x) y el vector de partes derecha de EDO, F(x, U). Se representan las condiciones iniciales en la forma

vectorial de una columna: U(x1)=U0 y el problema de Cauchy en forma vectorial: U ’ (x)=F(x, U) y U(x1)=U0

PASO 2 Se elabora un programa

que definen EDO, siendo n - número, u(n) –valores de funciones en punto x y du(n)-sus derivadas

PASO 3. Definir la función que realiza un paso iterativo de Euler (programa universal, sirve para todas

ecuaciones!)

siendo n - el número de EDO , xprev, xnext - las coordenadas de los nodos anterior y posterior,

h-el paso de la malla, uprev (n), unext (n) –valores de funciones en los nodos anterior y posterior,

PASO 4. Si el proceso iterativo arranca a partir solo un nodo anterior los métodos se llaman de un paso (métodos

de Euler, Runge-Kutta). En caso contrario se llaman métodos de multipasos (Adams, Miln).

PASO 5 Elaborar el programa

siendo n - el número de EDO , xprev, xnext - las coordenadas de los nodos anterior y posterior,

h-el paso de la malla, uprev (n), unext (n) –valores de funciones en los nodos anterior y posterior,

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 Euler_1 ՝𝑛 , ՝𝑥𝑝𝑟𝑒𝑣, ՝𝑢𝑝𝑟𝑒𝑣 𝑛 , ՝ℎ, ՛𝑥𝑛𝑒𝑥𝑡 , ՛𝑢𝑛𝑒𝑥𝑡 𝑛

, , , ,Function main n xinit uinit n h fright

𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓_𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 ՝𝑛 , ՝𝑥, ՝𝑢 𝑛 , ՛𝑑𝑢 𝑛

21

Ejemplo 4. Encontramos la solución del problema de Cauchy desde el punto x0=0.0 hasta el punto xf=2.0 con el paso h=0.01

2 2 exp ' 4 ; 0 2; 0 0; 0 1; 0 1y x x xy x y y x y y y

Paso 1 La reducción a la forma canónica. Introducimos un vector de la dimensión tres:

1

2

3

u x y x

x u x y x

u xy x

u

2

3

21 2 3

0

, ; , ; 0 2; 0 1

12 exp 4

u

x x x u x

x xu x u u

u f u f u u

Paso 2. Definir función f_right correspondiente a la parte derecha del sistema de 3 ecuaciones diferenciales

_ , , ,

* se definen las partes derechas de unsistema de ecuaciones

, / , 1,2, ,

: ,

ar

(

g ,

Function f right n x u n du n

du i

du x i dx du i i n

Parametros de entrada n numerodeecuaciones diferenciales

x umento u n losva

2

,

: *)

1 2 ; 2 3

2 exp3 1 2 4

;

3

lores derivadaslas funciones

Parametro de salida du n losvalores delas derivadas de las funciones

du u du u

du u ux x x u

22

Paso 3. Definir la función que realiza un paso iterativo de Euler (programa universal, sirve para todas ecuaciones!)

Euler _1 , , , , ,

*dados valoresde funciones en el punto se encuentran

los valores de es

(

tas funcionesen el punto

usando un pasodelalgor

Function n xprev uprev n h xnext unext n

n uprev n xprev

xnext xprev h

itmodeEuler simple para el sistema

, / , , 1, 2, ,

Parametrosdeentrada : numerodeecuacionesdiferenciales,

argumento, los valoresde las funciones,

Parametro de salida : los valoresde las derivadasd

du x i dx du x i i n

n

x u n

du n

e las funciones

definidos por la función externa _ *)

_ , , , ; ;

1,

f right

call f right n xprev uprev du xnext xprev h

for i n do unext i uprev i h du i

23

Paso 4 Programa principal

0.0; 0.01; (*el punto inicial y el paso de la malla*)

2.0; (*el punto final*)

3; (*el número de ecuaciones*)

(1) 0;

(2) 1; (*condiciones iniciales en el punto de par

function main

x h

xfin

n

xprev x

uprev

uprev

tida*)

(3) 1;

print ; 1, print ( ) (*imprimir coordenada y valores de funciones iniciales*)

; (*un paso iterati_1 , , vo, , e, Euler n xprev uprev h xnex

uprev

xprev for i n uprev i

while xprev xf t unin d exto Call

n bucle*)

print ; 1, print ( ) ;(*imprimir resultados nuevos*)

; 1, ( ) ( )(*preparación datos para siguiente paso

xnext for i n unext i

xprev xnext for i n uprev i unext i

24

Ejemplo 5 Consideremos como otro ejemplo de aplicación del método de Euler siguiente problema de Cauchy:

1 2 1

2 1 2

cos ; 0 0

sin ; 0 0

y x y x x y

y x y x x y

Es fácil verificar que la solución exacta del problema se da por las funciones 1 2cos ; siny x x x y x x x

El programa a continuación permite encontrar las soluciones de este

problema de Cauchy con las malla equidistantes con los pasos h=0.01,

h=0.001 y h=0.0001. Resultados se presentan en Tabla. Se ve que

el error del método de Euler se disminuye con decrecimiento del paso,

sin embargo se queda significativo incluso para el paso h =0.0001

0.0; 0.1; 2.0; (1) 0; (2) 0;

1,3 0.1;

1 (1) cos( );

2 (2) sin( );

print uprev(1), 1, (2),

function main

x h xfin uprev uprev

for i do h h while xprev xfin do

while xprev xfin do er uprev xprev xprev

er uprev xprev xprev

er uprev er

_1

2

, ,

;

;

1,2 ( ) (

,

)

, ,Euler n xprev uprev h xnext unext

r

Call

xprev xnext

for i uprev i unext i

25

2.3. Métodos de Euler modificados

Método de Euler Simple es didáctico y muy simple para programar pero tiene muy baja exactitud. Aplicación de la

fórmula de Euler simple produce el error en cada paso del orden h2. Al llegar al punto final de la malla hay que hacer

(N~1)/h pasos, durante los cuales los errores locales se acumulan, formando el error global de orden h. El algoritmo de Euler

simple por eso es un ejemplo de un algoritmo segunda orden local y de primer orden global.

Hay dos caminos para subir la precisión del método:

1) En el marco de método de colocación incluir en la expansión de series de Taylor siguientes términos para

obtener de fórmulas de Método de Euler de ordenes superiores ,

2) Incluir en el proceso iterativo unos términos adicionales que no pertenecen a los nodos de la malla y en el

marco método de ajustes lograr una precisión más alta .

Desventaja del primer enfoque es imposibilidad de elaborar las fórmulas universales. Por esta razón este enfoque se

utiliza con muy poca frecuencia.

El segundo tipo de algoritmos incluye el método de Euler-Richardson de punto medio paso, el algoritmo “leapfrog”,

el algoritmo implícito de Euler. Estas modificaciones del método de Euler permiten subir la precisión local hasta el

orden h3. Sin embargo, estos métodos tienen menor precisión que el método de Runge-Kutta.26

a) Un ejemplo de aplicación del método de Euler de tercera orden

3 3 2cos ; 3 sini i i i i i i i iy x y x y y x y x

Problema de Cauchy para una EDO de 1ra orden

Derivando ambos lados de esta ecuación se encuentra 2nda derivada

3 23 siny x y x xy x x

(e1)

(e2)

Sobre la malla equidistante xi=i ‣ h, i=1,2,...se utilizan las notaciones

2

31 ; 0,1,2,

2i i i i

hy y h y y O h i

(e3)

La expansión en la serie de Taylor truncada

1; ; ; ;i i i i i i i iy x y y x h y y x y y x y

(e5)

La primera y segunda derivadas en nodos de la malla según (e1 y (e2) son:

3 cos ; 0; 0 1y x xy x x x y

(e4)

Las fórmulas (e4) y (e5) definen un proceso iterativo que realiza

el Método de Euler de 3-era orden27

b) Algoritmo de Punto Medio

Consideremos el algoritmo de Euler de punto medio, cuya

interpretación geométrica se presenta gráficamente en figura anexa.

Interpretación del algoritmo de punto medio

Para un problema de Cauchy las tangentes de la curva al

inicio y al final del intervalo son iguales respectivamente a:

1 1 1tan , , tan ,i i i i i ix x f u f u

La precisión del método de Euler se mejora si en lugar de solo una

tangente al inicio tomar un valor promedio de dos tangentes, al

inicio y al final. De aquí aparece el algoritmo de paso medio

1 1 31 11 1

1, ; , ,

2i i i i i i i ii ix h x x h O h

u u f u u u f u f u

El algoritmo de Euler de punto medio es el primer ejemplo del grupo de métodos de un paso que

utilizan las técnicas de ajuste y que da una clara idea como puede usarlas para llegar a los

métodos de Runge-Kutta.28

Demostración: Al derivar (2) se obtiene (1) y además sustituir en (2) x = xi la integral se anula y se ve que se

cumple la condición inicial 29

Función u(x) en (2) forma una parte de la función subintegral

Sin embargo en la base de la relación (2) se puede construir

algoritmos numéricos mas eficientes

(2) es una ecuación integral

que puede resolverse solo

aproximadamente

. Reemplacemos en (2) el limite superior de la integral por xi+1 ,el punto final del segmento1 1

1 ( , ( )) ( ) ; (3)

( ) ( , ( )) Pendientede la curva ( ) en punto

i i

i i

x x

i i i

x x

x x dx x dx

x x x x x

u u f u u k

k f u u

En el método de Euler Simple la función de k(x) se

reemplaza por su valor en el inicio del intervalo. k(x) . k(xi)

En los método de Euler Modificados la función de k(x) se

reemplaza por su valor en el inicio del intervalo. k(x) . k(xi),

al final k(x) k(xi+h), y en la mitad de intervalo k(x)k(xi+h/2),

En los métodos de Runge-Kutta la pendiente k(x) se tiene en cuenta en varios puntos del intervalo para

ajustar el resultado al valor exacto de una manera óptima.30

31

El significado de cuatro pendientes k presentes

en estas fórmulas se puede ver en la figura anexa: las contribuciones de pendientes en dos

extremos son 1/6 y de dos pendientes en el centro del segmento son 2/6 cada uno

-k1 - es pendiente al inicio del segmento

-k2 - es la primera estimación (progresiva) de pendiente en mitad del segmento

-k3 - es la segunda estimación (corregida o regresiva) de pendiente en mitad del segmento

-k4 - es la estimación de pendiente en final del segmento

Algoritmo de Runge-Kutta global es de 4ta orden y para un solo paso (local) es de 5ta orden

32

1 1 1

1 1 2 3 4

1

2 1

3 2

( ) ( , ( )); ; ( ) (a1)

2 2 ; (a2)6

( , ); (a3)

( 2, 2); (a4)

( 2, 2);

i i

i i

i i

i i

x x x x x x

h

x

x h h

x h h

u f u u u

u u k k k k

k f u

k f u k

k f u k

4 3

(a5)

( , ); (a6)i ix h h k f u k33

_ 4 _ _ , , , , , ,

*dados valoresde funciones en el punto se encuentran

los valores de estas funcionesen el punto

usando u

(

Function RK One Step fright n xprev uprev n h xnext unext n

n uprev n xprev

xnext xprev h

n paso delalgoritmode Runge-Kutta de 4-to orden

para sistema de ODE , / , , 1, 2, ,

con derivadas , definidas mediante funcion externa fright

Parametros deentrada : numerodeecuacionesdiferen

du x i dx du x i i n

du x i

n

ciales,

argumento, los valoresde las funciones,

Parametro de salida : los valoresde las derivadasde las funciones

definidos por la función externa *)

x u n

du n

fright

PSEUDOCÖDIGO DE ALGORITMO DE RUNGE_KUTTA DE 4-to ORDEN PARA UN PASO

34

(* calculo de la pendiente k1 *) , , ( ), 1( ) ;

1, 1 2 ; / 2;

(* calculo de la pendiente k2 *) , , ( ), 2( )

1,

call fright n xprev uprev n k n

for i n do ut i uprev i h k i xt xprev h

call fright n xt ut n k n

for i n do u

2 2

(* calculo de la pendiente k3 *) , , ( ), 3( )

1, 2 ; ;

(* calculo de la pendiente k4 *) , , ( ), 4( )

(* cal

;

t i uprev i h k i

call fright n xt ut n k n

for i n do ut i uprev i h k i xt xprev h

call fright n xprev ut n k n

culo del resultado final*)

1, 1 2 2 2 3 4 6 ;for i n do unext i uprev i h k i k i k i k i

xnext xprev h

35

36