mÉtodos numÉricos tipo runge-kutta-nystrÖm para la

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

MÉTODOS NUMÉRICOS TIPO RUNGE-KUTTA-NYSTRÖM PARA LA INTEGRACIÓN

EFICIENTE DE PROBLEMAS OSCILATORIOS

Amelia García Garrosa

Tesis doctoral

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA

2001

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA A LAINGENIERIA

Tesis doctoral

Autor: Dna. Amelia Garcıa GarrosaDirector: Dr. D. Pablo Martın Ordonez

Dra. Da. Ana Belen Gonzalez MartınezTıtulo: Metodos numericos tipo Runge-Kutta-Nystrom para

la integracion eficiente de problemas oscilatorios.

Tribunal

Presidente: Dr. D. Jose Manuel Ferrandiz LealUniversidad de Alicante

Vocales: Dr. D. Juan Getino FernandezUniversidad de Valladolid

Dr. D. Antonio Vigueras CampuzanoUniversidad Politecnica de Cartagena

Dr. D. Manuel Palacios LatasaUniversidad de Zaragoza

Secretario: Dr. D. Jose Miguel Farto AlvarezUniversidad de Valladolid

Fecha de lectura: 30 de noviembre de 2001.Calificacion: SOBRESALIENTE CUM LAUDE.

Contenido

Agradecimientos iii

Introduccion v

1 Metodos de un paso para la integracion de ecuacionesde segundo orden 1

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Metodos Runge-Kutta-Nystrom . . . . . . . . . . . . . 21.3 Metodos RKGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Nuevos metodos tipo Runge-Kutta-Nystrom. 112.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Nuevos metodos especiales para

problemas oscilatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Discusion de metodos de orden oscilatorio cinco 202.2.2 Discusion de metodos de orden oscilatorio seis . 242.2.3 Experimentos numericos . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Metodos RKNh2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Formulacion general . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Error de truncacion local . . . . . . . . . . . . . 332.3.3 Condiciones de orden para un metodo

RKNh2p :q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Metodo RKNh24:5 optimo . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Metodos de paso variable 493.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Construccion de un par encajado

RKNh24:6(3:4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Experimentos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i

ii Contenido

4 Metodos RKNh2 de orden alto 694.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Teorıa de arboles para los metodos RKNh2 . . . . . . . 70

4.2.1 Arboles especiales de Nystrom . . . . . . . . . . 704.2.2 Derivadas de la funcion f . . . . . . . . . . . . 724.2.3 Derivadas de los valores ki . . . . . . . . . . . . 744.2.4 Condiciones de orden. Error de truncacion local 774.2.5 Arboles para un oscilador no perturbado. Condi-

ciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.6 Condiciones de orden para metodos

RKNh2p :q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.7 Condiciones simplificadoras . . . . . . . . . . . 87

4.3 Un metodo RKNh2 de paso variable y orden 8 . . . . . 964.3.1 Construccion del metodo de orden 8 . . . . . . 964.3.2 Construccion del metodo de orden 6 . . . . . . 1034.3.3 Experimentos numericos. . . . . . . . . . . . . . 108

Bibliografa 119

Agradecimientos

El presente trabajo ha sido realizado bajo la direccion de los profesoresPablo Martın Ordonez y Ana Belen Gonzalez Martınez, a quienes deboagradecer la propuesta del tema, su labor de direccion y su enormepaciencia y estımulo en todo momento.

Tambien quiero citar a los profesores Jose Miguel Farto Alvarez yDavid Javier Lopez Medina, tanto por sus comentarios y correccionesa lo largo del trabajo, como por la confianza que siempre depositaronen mı.

Quiero hacer constar que esta memoria ha sido realizada con laayuda financiera de la Junta de Castilla y Leon bajo el proyectoVA11/99 y del Ministerio de Ciencia y Tecnologıa bajo el proyectoAYA2000-1787.

Finalmente, quiero manifestar mi mas profundo agradecimiento atodas aquellas personas que con su constante aliento han hecho posibleque esta memoria vea la luz.

iii

Introduccion

En la segunda mitad del siglo pasado se han realizado numerosos tra-bajos sobre metodos numericos para la integracion de ecuaciones difer-enciales ordinarias. En la actualidad, numerosos paquetes de softwarecontienen rutinas de proposito general para la resolucion de sistemasde ecuaciones diferenciales de primer orden. Dado que una ecuaciondiferencial de cualquier orden puede ser escrita como un sistema deecuaciones de primer orden, dichas rutinas pueden utilizarse para re-solver ecuaciones de cualquier orden. Esto podrıa hacer pensar queno es necesario el desarrollo de algoritmos especıficos para tipos par-ticulares de ecuaciones diferenciales, pero esta clase de estudios no esun trabajo inutil ya que al exigir menos generalidad podemos obtenermetodos mas eficientes.

Uno de los tipos que aparece a menudo en las ciencias aplicadases la ecuacion de segundo orden. Esto es debido, fundamentalmente,al hecho de que las fuerzas son proporcionales a las aceleraciones,es decir, a las derivadas segundas. Dentro de los algoritmos espe-cialmente disenados para ecuaciones de segundo orden estan los detipo multipaso como los metodos de Falkner [23], tambien llamadosformulas de extrapolacion de Adams para ecuaciones diferenciales desegundo orden [14] (vease tambien Martın et al. [85]), los metodos deStormer-Cowell (vease Dormand [19] o Henrici [57]) o la reformulacionde estos conocida como metodos de Gauss-Jackson (vease Dormand[19], Gonzalez y Martın [46], Herrick [58], Jackson [64] o Merson [89]).Otro tipo de algoritmos, y posiblemente los mas utilizados, para laintegracion numerica de ecuaciones de segundo orden son los metodosRunge-Kutta-Nystrom (vease Dormand [19] o Hairer et al. [54]).

En esta memoria estamos interesados en un tipo mas particularde problemas: los problemas oscilatorios. Esta clase de problemasaparece a menudo en el campo de la dinamica orbital. Como es bien

v

vi Introduccion

sabido, la dinamica orbital estudia el movimiento de dos o mas cuerposque interactuan de acuerdo con la ley de Newton y que, posiblemente,estan sujetos a la accion de otras fuerzas perturbadoras. Esto da lu-gar a una considerable variedad de comportamientos que pueden serconsultados en libros especializados como los de Szebehely [106] o Mar-chal [76]. De todos modos, en la practica, los casos mas interesantesson pequenas perturbaciones de un problema puro de dos cuerpos.Las dificultades en este tipo de problemas vienen fundamentalmentede que en muchas ocasiones es necesario obtener soluciones muy pre-cisas validas durante un largo intervalo de tiempo y esto hace que losmetodos de proposito general citados anteriormente, tanto para ecua-ciones de primer orden como para ecuaciones de segundo orden, nosean adecuados.

Si las ecuaciones de Newton son integradas directamente con losmetodos habituales, incluso en el caso de una partıcula que describeun movimiento uniforme en una orbita circular, la solucion numericapuede describir una espiral hacia el interior debido a la inestabilidadorbital (Lambert y Watson [70]), con lo que los resultados obtenidosse mantienen validos por un periodo muy corto de tiempo. Para evitareste tipo de problemas se suelen utilizar dos tipos de tecnicas. Unade ellas es, antes de realizar la integracion numerica, transformar lasecuaciones del movimiento para eliminar el mal comportamiento antesmencionado (Ferrandiz [29], Ferrandiz y Martın [30], Janin [66], Stiefely Scheifele [103], etc.). La otra tecnica consiste en disenar metodosnumericos especiales para reducir los errores y eliminar la inestabilidadorbital (vease Ferrandiz y Martın [31]). Normalmente ambas tecnicasse utilizan a la vez para, en primer lugar, transformar las ecuacionesen otras con soluciones estables, y en segundo lugar, integrar estasecuaciones con un metodo numerico estable.

Dentro de estos metodos numericos especiales podemos citar losmetodos multirrevolucion (vease Graf [51], Melendo y Palacios [87, 88]y Petzold [95]) y el metodo de Kirchgraber [67], disenados para elcalculo a largo plazo de problemas orbitales. Otro grupo de metodosque podemos mencionar son los llamados P-estables. Podemos destacarentre los numerosos trabajos sobre este tipo de codigos los de Cash[10, 11], Chawla [13], Coleman [15], Coleman e Ixaru [16], Costabiley Costabile [17], Fatunla et al. [26], Franco y Palacios [38] e Ixaru yPaternoster [63].

Introduccion vii

Los integradores simplecticos han alcanzado gran popularidad enlos ultimos anos. Estos metodos estan construidos para la integracionnumerica de sistemas hamiltonianos y tienen la propiedad de conservarexactamente la 2-forma simplectica de Poincare-Cartan. Entre losultimos trabajos sobre estos metodos podemos destacar los de Chan yMurua [12], Hardy et al. [56], Li [71] y Sun [105]. Una buena referenciapara estos integradores es el libro de Sanz-Serna y Calvo [97].

Van der Houwen y Sommeijer desarrollaron metodos multipaso[59, 60] minimizando el error de truncacion para oscilaciones cuya fre-cuencia estuviese en un intervalo determinado y construyeron metodosRunge-Kutta [61, 62] con alto orden de dispersion para problemas os-cilatorios.

Una tecnica bastante habitual a la hora de desarrollar codigosnumericos especiales es cambiar el conjunto de funciones de referen-cia. Los codigos de proposito general utilizan los polinomios comoreferencia, mientras que las soluciones de un problema oscilatoriose aproximan mas a otro tipo de funciones. En 1961 Gautschi [41]desarrollo una teorıa tomando como funciones basicas las funcionestrigonometricas. Brock y Murray [4] hicieron un estudio alternativopartiendo de las funciones exponenciales y Sheffield [101] desarrollouna teorıa con distintos tipos de funciones basicas. En 1969 Stiefely Bettis [102] modificaron el metodo de Cowell para integrar exacta-mente el problema de Kepler no perturbado eliminando ası la inesta-bilidad de este metodo. Bettis [1, 2] amplio su trabajo con Stiefel alos metodos de Stormer, Adams-Bashforth y Adams-Moulton de formaque los metodos modificados integrasen productos de polinomios or-dinarios y polinomios de Fourier sin error de truncacion. De Meyeret al. [18] desarrollaron una interpolacion mixta a partir de la cualconstruyeron metodos numericos de tipo multipaso (Van Daele et al.[107], Vanthournout et al. [111, 112]). Otros metodos que podemoscitar que consiguen integrar exactamente funciones exponenciales sonlos de Ozawa [93], Paternoster [94], Van Daele et al. [108] y VandenBerghe et al. [109, 110].

Mediante tecnicas analıticas de las anteriormente citadas, las ecua-ciones de un problema oscilatorio pueden ser reducidas a un sistemade osciladores perturbados. Por ejemplo, para el problema del sateliteartificial, mediante las variables de Kustanheimo-Stiefel (vease Stiefely Scheifele [103]) o mediante las variables de Burdet-Ferrandiz (vease

viii Introduccion

Ferrandiz [28, 29] y Ferrandiz et al. [34]). Para problemas de este tipoScheifele [98] obtuvo un refinamiento del metodo de Taylor basandoseen un nuevo conjunto de funciones, las funciones G (vease Martın etal. [84]). El error de truncacion en el metodo de Scheifele contienecomo factor el parametro de perturbacion y, por tanto, consigue inte-grar exactamente el problema no perturbado. A pesar de las buenaspropiedades del metodo de Scheifele, su uso practico esta limitado aproblemas con perturbaciones muy simples dada la complejidad delos calculos previos que requiere (vease Fairen et al. [22]). Este prob-lema fue solucionado por Martın y Ferrandiz [81, 82] transformando elmetodo de Scheifele en un esquema multipaso (metodos SMF). Paraproblemas que no contengan explıcitamente la derivada de la solucionMartın y Farto [78] han obtenido una mejora de estos metodos, yLopez [72] han dado una reformulacion de los metodos construidospor Jain et al. [65] (vease tambien Franco et al. [37]). A la vez sehan obtenido extensiones de los metodos SMF a sistemas lineales deprimer orden perturbados (Martın [77], y Martın y Ferrandiz [83]) ya problemas lineales perturbados de cualquier orden (Lopez y Martın[73] y Lopez et al. [75]). Un trabajo importante sobre este tipo demetodos es el de Vigo-Aguiar y Ferrandiz [114]. Tambien, a partirde los metodos de Scheifele, se han obtenido metodos del tipo Runge-Kutta-Nystrom (vease Gonzalez [44] y Gonzalez et al. [47, 49, 50]).

El buen comportamiento de gran parte de los algoritmos anterior-mente citados depende del conocimiento previo de la frecuencia prin-cipal del problema oscilatorio o de una buena aproximacion a esta.Ferrandiz y Novo [33], basandose en el metodo de Lindstedt (veasePoincare [96] o Verhulst [113]), introdujeron una tecnica para la deter-minacion precisa de la frecuencia que aplicaron a los metodos de Bettisconsiguiendo que el error en la integracion se mantuviese acotado enintegraciones a largo plazo. Posteriormente esta tecnica ha sido uti-lizada con exito para la integracion del problema del satelite artificialcon diferentes esquemas numericos (vease Ferrandiz et al. [32, 35] yNovo y Rojo [91, 92]). Recientemente Martın y Farto [79] han prop-uesto otra tecnica para la determinacion de la frecuencia basada enla primera aproximacion de Kryloff-Bogoliuboff [68]. Utilizando estatecnica Martın y Velasco [86], y Garcıa et al. [40] han desarrolladoprocedimientos numericos para obtener buenas aproximaciones a lafrecuencia del problema.

Introduccion ix

Un estudio comparativo de algunos de los metodos numericos es-peciales anteriormente citados puede verse en Martın y Ferrandiz [80].

En esta memoria desarrollaremos nuevos esquemas numericos me-diante una pequena modificacion en los codigos clasicos de Runge-Kutta-Nystrom. Introduciremos dicha modificacion para mejorar elcomportamiento de los metodos cuando integran problemas oscila-torios. La idea consiste en exigir a los nuevos metodos un ordenmas elevado cuando integran el problema del oscilador no perturbadosin llegar a exigir la integracion exacta de este, como lo hacen otrosmetodos especiales. La ventaja de los nuevos esquemas sera la simpli-cidad de sus coeficientes, lo que les hacen muy recomendables para laintegracion con paso variable.

El primer capıtulo de esta memoria es de caracter introductorio.En el presentamos los metodos clasicos de Runge-Kutta-Nystrom ylos metodos desarrollados por Gonzalez et al. [47]. Realizamos esterecordatorio ya que los metodos que se construyen en los capıtulossiguientes puede considerarse que estan en un punto intermedio entreambos tipos de metodos.

El segundo capıtulo esta dedicado al desarrollo de unos nuevosmetodos, que denominaremos por abreviar RKNh2, introduciendo elconcepto de orden oscilatorio. Se ilustra la filosofıa de dichos esque-mas con la construccion y discusion de metodos de orden cuatro yordenes oscilatorios cinco y seis, haciendo hincapie en las ventajasque presentan estos algoritmos frente a los esquemas Runge-Kutta-Nystrom clasicos cuando se trata de integrar el problema del osciladorarmonico, que con el mismo numero de etapas solo es capaz de alcanzarorden cuatro. Se obtienen expresiones para el error de truncacion localy a partir de ellas se construye el metodo de orden oscilatorio cincooptimo. A lo largo de todo el capıtulo se presentan diversos experimen-tos numericos que ponen de manifiesto el excelente comportamientode los algoritmos desarrollados a la hora de integrar numericamenteproblemas oscilatorios.

En el tercer capıtulo obtenemos metodos de paso variable y or-den bajo. Con los ejemplos presentados se pone de manifiesto laventaja que presentan los nuevos codigos cuando se implementan enpaso variable frente a los esquemas debidos a Gonzalez et al. [47],especialmente disenados para integrar problemas oscilatorios. Estosposeen coeficientes que dependen del tamano de paso de forma com-

x Introduccion

plicada y requieren un coste de tiempo de CPU elevado en una imple-mentacion en paso variable. Debido a la sencillez de los coeficientes delos codigos que se construyen en esta memoria el coste computacionalen tiempo de CPU es mucho menor. Ademas, estos metodos presen-tan un comportamiento mucho mejor que los metodos Runge-Kutta-Nystrom clasicos a pesar de que estos tienen coeficientes constantes.

Parte de los resultados presentados en los capıtulos dos y tres estanya publicados en Garcıa et al. [39].

En el ultimo capıtulo se construyen metodos de orden alto. Paraello se hace necesario introducir previamente la teorıa de arboles es-peciales de Nystrom con raız debida a Hairer y Wanner [55] (veasetambien Butcher [6] y Hairer et al. [54, 55]) y adaptarla a los metodosque nos ocupan en la presente memoria. De nuevo los experimen-tos numericos realizados nos muestran unos resultados de los nuevosalgoritmos altamente satisfactorios.

Capıtulo 1

Metodos de un paso para laintegracion de ecuaciones desegundo orden

1.1 Introduccion

La mayor parte de los metodos numericos existentes han sido disenadospara la integracion de sistemas de ecuaciones diferenciales de primerorden. Sin embargo, en la practica, muchos problemas dan lugar aecuaciones de segundo orden. Los sistemas dinamicos estan basadosen fuerzas que provocan aceleraciones, que no son mas que la derivadasegunda de la posicion. Una posibilidad, para la integracion de ecua-ciones de segundo orden, es la reduccion de estas a un sistema deecuaciones de primer orden. Pero, debido a la gran cantidad de prob-lemas que se modelan mediante ecuaciones de segundo orden, parececonveniente el desarrollo de metodos especıficos para estas ecuaciones.

En este capıtulo nos centraremos en metodos numericos de un paso.En primer lugar presentaremos los metodos clasicos de Runge-Kutta-Nystrom (RKN) y en una segunda parte los metodos desarrolladospor Gonzalez et al. [47] (RKGM) para la integracion de osciladoresperturbados. Presentamos estos dos tipos de algoritmos porque, dealguna forma y como se vera a lo largo de esta memoria, los nuevosmetodos que vamos a introducir podrıa considerarse que se situan enun punto intermedio entre los metodos RKN y los RKGM.

1

2 1. Metodos de un paso para ecuaciones de segundo orden

1.2 Metodos Runge-Kutta-Nystrom

Consideremos el problema de valores iniciales

y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 . (1.1)

Si reescribimos la ecuacion diferencial de segundo orden como un sis-tema de ecuaciones diferenciales de primer orden obtenemos

d

dx

(yy′

)=

(y′

f(x, y, y′)

).

Aplicando una formula Runge-Kutta para sistemas de primer ordenobtenemos la siguiente aproximacion numerica:

y1 = y0 + hs∑

i=1

biki, (1.2)

y′1 = y′0 + hs∑

i=1

biki, (1.3)

ki = y′0 + hi−1∑

j=1

aijkj, (1.4)

ki = f(x0 + cih, y0 + hi−1∑

j=1

aij kj, y′0 + h

i−1∑

j=1

aijkj), (1.5)

i = 1, . . . , s.

Insertando (1.4) en (1.2), (1.3) y (1.5), obtenemos la expresion delsiguiente metodo

y1 = y0 + hy′0 + h2s∑

i=1

biki,

y′1 = y′0 + hs∑

i=1

biki,

ki = f(x0 + cih, y0 + cihy′0 + h2i−1∑

j=1

aijkj, y′0 + h

i−1∑

j=1

aijkj),

i = 1, . . . , s,

conaij =

∑

k

aikakj y bi =∑

j

bj aji . (1.6)

1.2. Metodos Runge-Kutta-Nystrom 3

Estos metodos de tipo Runge-Kutta disenados para ecuaciones diferen-ciales de segundo orden se denominan habitualmente metodos Runge-Kutta-Nystrom ya que fueron introducidos por Nystrom en 1925,aunque Nystrom construyo metodos que no satisfacıan necesariamentelas condiciones (1.6) (vease Dormand [19]). Un gran numero de estetipo de metodos han sido desarrollados por Dormand et al. [20, 21],Fehlberg [27], Fine [36], Hairer [52, 53] y Sharp y Fine [99, 100].Para este tipo de metodos se suelen usar las abreviaturas RKNG oRKN, aunque habitualmente se reserva esta ultima abreviatura paralos metodos especıficamente disenados para problemas en los que lafuncion no contiene explıcitamente a la derivada de la solucion (veaseDormand [19] y Hairer et al. [54]):

y′′ = f(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 . (1.7)

Para este tipo de problemas las formulas del metodo serıan de la sigu-iente forma

y1 = y0 + hy′0 + h2s∑

i=1

biki,

y′1 = y′0 + hs∑

i=1

biki, (1.8)

ki = f(x0 + cih, y0 + cihy′0 + h2i−1∑

j=1

aijkj), i = 1, . . . , s.

Notese que los coeficientes aij ya no aparecen en las formulas del al-goritmo. En este caso, puede alcanzarse una gran simplificacion tantoen la implementacion del metodo como en el coste computacional re-querido. El interes de estas formulas radica en el amplio espectrode problemas que pueden reducirse a ecuaciones de este tipo tras unadecuado cambio de variables.

A menudo los coeficientes de un metodo Runge-Kutta-Nystrom sedisponen en tablas que ayudan a visualizar el metodo como quedareflejado en la Tabla 1.1.

Para metodos de tipo RKN especıficamente disenados para la inte-gracion numerica de ecuaciones diferenciales de segundo orden se sueledefinir el orden del metodo de la siguiente forma.


c1 aij

ci c2 a21...

.... . .

cs as1 as2 . . . as s−1

bi b1 b2 . . . bs−1 bs

bi b1 b2 . . . bs−1 bs

Tabla 1.1: Metodo Runge–Kutta–Nystrom.

Definicion 1.2.1 Se dice que un metodo RKN tiene orden p si paraproblemas suficientemente regulares se verifica

y(x0 + h)− y1 = O(hp+1),

y′(x0 + h)− y′1 = O(hp+1).

2

Llegados a este punto, una tarea importante pero compleja, es laderivacion de condiciones de orden para metodos RKN. Con el finde simplificar los calculos se recurre a ciertas funciones y a una teo-rıa de grafos principalmente resultado de los avances realizados porButcher y posteriormente por Hairer y Wanner, que en este momentono trataremos, pero que adaptaremos mas adelante a una nueva fa-milia de esquemas de un paso. No obstante podemos remitirnos aButcher [5, 6], Hairer et al. [54] y Hairer y Wanner [55], donde seproporciona una detallada y rigurosa exposicion de las tecnicas antescitadas para metodos Runge-Kutta y Runge-Kutta-Nystrom y a Calvoy Sanz-Serna [9] donde se cuenta el numero de condiciones de ordenindependientes tanto para metodos RKN como RKN simplecticos.

1.3 Metodos RKGM

La frecuencia con que se presentan en las ciencias aplicadas problemasque se modelizan mediante osciladores perturbados:

y′′ + ω2y = εg(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, (1.9)

1.3. Metodos RKGM 5

hace interesante la labor de desarrollar metodos numericos especıficospara los mismos. Ası, el metodo de funciones G de Scheifele [98]sirvio como punto de partida para desarrollar por parte de Martın yFerrandiz [82] un tipo de metodos multipaso (SMF) que presentabanotables mejoras en la integracion de osciladores perturbados con re-specto a los desarrollados hasta entonces. Con la misma idea Gonzalezet al. [44, 47, 50] desarrollaron formulas de tipo RK para estos mis-mos problemas (metodos RKGM). Vamos describir brevemente estosmetodos.

Consideremos el problema de Cauchy (1.9). La solucion de esteproblema se puede representar mediante una serie de funciones G deScheifele como sigue:

y0G0(x− x0) + y′0G1(x− x0) + ε∞∑

j=0

g(j)0 Gj+2(x− x0),

donde las funciones G de Scheifele se definen como las soluciones delos problemas de valores iniciales siguientes:

G′′0 + ω2G0 = 0, G0(0) = 1, G′

0(0) = 0,

G′′1 + ω2G1 = 0, G1(0) = 0, G′

1(0) = 1,

G′′k + ω2Gk =

xk−2

(k − 2)!, Gk(0) = 0, G′

k(0) = 0, k ≥ 2.

y donde

g(j)0 =

dj

dxjg(x, y(x))

∣∣∣∣∣x=x0

.

Si esta expresion se trunca de forma que intervengan las p−2 primerasderivadas de la funcion g, podemos aproximar la solucion y su derivadapor:

y1 = y0G0(x− x0) + y′0G1(x− x0) + εp∑

k=2

g(k−2)0 Gk(x− x0), (1.10)

y′1 = y′0G0(x− x0)− ω2y0G1(x− x0) + εp∑

k=2

g(k−2)0 Gk−1(x− x0),

(1.11)

que alcanza un orden menos en la aproximacion a la derivada de lasolucion que en la correspondiente a la posicion. Sustituyendo las


derivadas de la funcion que intervienen en (1.10) y (1.11) por combina-ciones lineales de evaluaciones de funcion en diversos puntos, podemosconseguir convertir el anterior esquema en un algoritmo que presentagrandes analogıas con los metodos Runge-Kutta-Nystrom. Para masdetalles se puede consultar Gonzalez [44], Gonzalez et al. [45], Lopez[72], Martın [77] y Scheifele [98].

Para fijar ideas, consideremos el metodo de Scheifele con p = 4, enel que intervienen las dos primeras derivadas de la funcion, y consider-emos los puntos x0, x0+h/2 y x0+h. Como candidatos a evaluacionesde funcion tomamos:

k1 ≈ g(x0, y(x0)),

k2 ≈ g

(x0 +

h

2, y

(x0 +

h

2

))

k3 ≈ g(x0 + h, y(x0 + h)).

El problema que se nos presenta ahora es aproximar la solucion en lospuntos que hemos seleccionado.

El primer valor es un dato del problema planteado y que denotare-mos por

y(x0) = y0 =: y1.

De esta formak1 = g(x0, y0) = g0.

Para el segundo valor podemos considerar

y

(x0 +

h

2

)= y0 +

h

2y′0 +

h2

8(εg0 − ω2y0) + O(h3)

= y0 +h

2y′0 +

h2

8(εk1 − ω2y1) + O(h3),

y definiendo

y2 := y0 +h

2y′0 +

h2

8(εk1 − ω2y1),

consideramos

k2 = g

(x0 +

h

2, y2

).

1.3. Metodos RKGM 7

Un razonamiento semejante al anterior nos permite aproximar la solucionen x0 + h de la siguiente forma:

y(x0 + h) ≈ y0 + hy′0 +h2

2(εk2 − ω2y2),

definir

y3 := y0 + hy′0 +h2

2(εk2 − ω2y2),

y tomar

k3 = g(x0 + h, y3).

Por tanto, las evaluaciones de funcion consideradas son

k1 = g(x0, y0),

y1 = y0,

k2 = g

(x0 +

1

2h, y0 +

1

2hy′0 +

h2

8(εk1 − ω2y1)

),

y2 = y0 +1

2hy′0 +

h2

8(εk1 − ω2y1),

k3 = g

(x0 + h, y0 + hy′0 +

h2

2(εk2 − ω2y2)

).

Nuestro proposito ahora sera aproximar las derivadas de la funcion gde la siguiente forma:

g(0)0 = g0 ≈ b01k1 + b02k2 + b03k3, (1.12)

g(1)0 ≈ b11k1 + b12k2 + b13k3, (1.13)

g(2)0 ≈ b21k1 + b22k2 + b23k3. (1.14)

Es claro que la mejor aproximacion a g0 se obtiene sin mas que tomarb01 = 1 y b02 = b03 = 0, pues de esta forma se obtiene el valor ex-acto. Para determinar los valores bji, j = 1, 2, basta hacer un desar-rollo de Taylor en torno a h = 0 de los segundos miembros en (1.13)

y (1.14) e identificar terminos semejantes con g(1)0 y g

(2)0 respectiva-

mente. Ilustremoslo con el calculo de los coeficientes b1i, i = 1, 2, 3.


Desarrollando en serie de Taylor el segundo miembro de (1.13) resulta

b11k1 + b12k2 + b13k3 =3∑

i=1

b1ig0 +h

2

3∑

i=2

b1i(gx + gyy′0)

+h2

2

3∑

i=2

b1i

(gxx + 2gxyy

′0 + gyyy

′20 + gyg − ω2y0gy

)+

O(h3), (1.15)

donde por gx y gy denotamos las derivadas parciales de la funcion gevaluadas en x = x0.

Por otro lado, se verifica

g(1)0 = gx + gyy

′, (1.16)

e identificando terminos semejantes entre (1.15) y (1.16) obtenemos elsiguiente sistema de tres ecuaciones:

b11 + b12 + b13 = 0b12 + 2b13 = 2/hb12 + 4b13 = 0

(1.17)

Con solucion b11 = −3/h, b12 = 4/h, b13 = −1/h. Razonando de lamisma forma para obtener b2i, i = 1, 2, 3, resulta b21 = 4/h2, b22 =−8/h2, b23 =4/h2. Unos simples calculos muestran que con estos val-ores, conseguimos aproximar las dos primeras derivadas de la funcionhasta orden 2 y que no es posible aproximar con dicho orden laderivada de orden tres de la funcion.

Sustituyendo en (1.10) y (1.11) las aproximaciones obtenidas, lleg-amos al siguiente metodo numerico:

y1 = y0G0 + y′0G1 + ε(k1G2 + (−3k1 + 4k2 − k3)

G3

h+

(4k1 − 8k2 + 4k3)G4

h2

),

y′1 = y′0G0 − ω2y0G1 + ε(k1G1 + (−3k1 + 4k2 − k3)

G2

h+

(4k1 − 8k2 + 4k3)G3

h2

),

1.3. Metodos RKGM 9

que podemos reescribir como:

y1 = y0G0 + y′0G1 + ε((

G2 − 3G3

h+ 4

G4

h2

)k1 +

(4G3

h− 8

G4

h2

)k2

+(−G3

h+ 4

G4

h2

)k3

), (1.18)

y′1 = y′0G0 − ω2y0G1 + ε((

G1 − 3G2

h+ 4

G3

h2

)k1 +

(4G2

h− 8

G3

h2

)k2

+(−G2

h+ 4

G3

h2

)k3

). (1.19)

De esta forma podemos visualizar el metodo obtenido como una versionde tipo Runge-Kutta del metodo de Scheifele, donde tras truncar laserie de funciones G, hemos sustituido las derivadas de la funcion g porcombinaciones de evaluaciones de funcion en los puntos x0, x0 + h/2y x0 + h con coeficientes

b1 = G2 − 3G3

h+ 4

G4

h2, b2 = 4

G3

h− 8

G4

h2, b3 = −G3

h+ 4

G4

h2, (1.20)

en el caso de la aproximacion a la posicion y

b1 = G1 − 3G2

h+ 4

G3

h2, b2 = 4

G2

h− 8

G3

h2, b3 = −G2

h+ 4

G3

h2, (1.21)

en el caso de la aproximacion a la velocidad.Los metodos construidos de esta forma fueron denominados por sus

autores RKGM (Runge-Kutta-G-functions-Methods). La definicionformal de tales metodos es la siguiente

Definicion 1.3.1 Sean s ∈ ZZ+, p ∈ IN, aij, aij i = 1, . . . , s, j =1, . . . , i− 1, bji, j = 1, . . . , p− 2, b01 = 1, b0i = 0, i 6= 1, c1 = 0 y ci,i = 2 . . . s coeficientes reales. Llamaremos metodo RKGM explıcitode s etapas y p + 1 funciones G para el problema

y′′ + ω2y = εg(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y0 , (1.22)

al siguiente esquema

y0 = y0, yi = y0 + cihy′0 + h2i−1∑

j=1

aij(εkj − ω2yj),


y′0 = y′0, y′i = y′0 + hi−1∑

j=1

aij(εkj − ω2yj),

ki = g (x0 + cih, yi, y′i) , i = 1, . . . , s,

y1 = y0G0 + y′0G1 + εs∑

i=1

p−2∑

j=0

bjiGj+2

hjki,

y′1 = y′0G0 − ω2y0G1 + εs∑

i=1

p−2∑

j=0

bjiGj+1

hjki.

2

Es interesante destacar que los metodos RKGM no suponen un in-cremento del coste computacional sobre los esquemas de tipo RKNcuando integramos con paso fijo, ya que la unica diferencia con talcodigo se produce al comienzo de la integracion numerica, momentoen el que se calculan los coeficientes, que dependen en este caso deltamano de paso h. Cuando se implementan en paso variable sı queaparecen diferencias ya que en cada cambio de paso hay que recalcularlos coeficientes.

Otra propiedad interesante de tales metodos es que el error de trun-cacion local aparece multiplicado por el parametro de perturbacion ε(vease Gonzalez et al. [47]). Por ello son muy efectivos cuando se tratade integrar osciladores debilmente perturbados (ε pequeno).

Capıtulo 2

Nuevos metodos tipoRunge-Kutta-Nystrom.

2.1 Introduccion

Nuestro interes se centra en la integracion de problemas de valoresiniciales cuyas ecuaciones sean osciladores perturbados de la forma:

y′′ + ω2y = εg(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, (2.1)

siendo ε un pequeno parametro de perturbacion. Como mencionamosanteriormente, muchos problemas de las ciencias aplicadas y de latecnica pueden ser formulados mediante sistemas de tales ecuaciones.Tomando f(x, y) = εg(x, y)− ω2y podemos escribir (2.1) como

y′′ = f(x, y), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, (2.2)

e integrar el problema con un metodo de proposito general como el es-quema RKN (1.7) que tratamos en el capıtulo anterior. Sin embargoresulta mas conveniente la integracion con alguno de los metodos espe-cialmente disenados para este tipo de ecuaciones. Entre estos metodospodemos mencionar los debidos a Bettis [1, 3], Franco et al. [37],Gonzalez et al . [47], Jain et al. [65], Lopez et al . [74], Martın yFerrandiz [82], Paternoster [94] o Scheifele [98]. Todos ellos propor-cionan excelentes resultados integrando el problema que nos ocupa.Mejores, en muchos casos, que los metodos de proposito general comoel mencionado RKN. Sin embargo, presentan el inconveniente de que

11

12 2. Nuevos metodos tipo Runge-Kutta-Nystrom

sus coeficientes no son tan sencillos como los de un RKN clasico. En-tre los citados anteriormente, por ejemplo, los metodos de Bettis uti-lizan una relacion de recurrencia para obtener dos de ellos y otroscodigos requieren evaluar las funciones G de Scheifele. Este incon-veniente se hace verdaderamente serio si realizamos la integracion enpaso variable, pues entonces recalcular los coeficientes, que dependendel tamano de paso de una forma complicada, lleva un importantecoste computacional, que solo es despreciable en problemas con fun-ciones costosas de evaluar.

Ası, si buscaramos una aproximacion razonablemente buena a lasolucion de (2.2) estarıamos en la disyuntiva de usar un metodo clasicocon un numero de etapas, en general, elevado para obtener suficienteprecision, o por el contrario, utilizar los metodos especiales, que puedenresultar mucho mas adecuados, pero cuyos coeficientes son mas com-plicados y conllevan un incremento en coste computacional cuando seimplementan en paso variable.

El objetivo de este trabajo es disenar, a partir de un esquemaclasico como el considerado en (1.7), nuevos metodos que integren efi-cientemente el problema que nos ocupa, pero con unos coeficientesmucho mas sencillos. Estos coeficientes apenas incrementaran el costecomputacional cuando se construya una rutina de paso variable. Paraello, partiendo de un metodo Runge-Kutta-Nystrom introduciremosciertas modificaciones en los coeficientes de modo que cuando la funcionf del problema (2.2) sea una funcion cualquiera, el metodo sea capazde alcanzar el mismo orden que el metodo Runge-Kutta-Nystrom ycuando f = −ω2y el metodo alcance mayor orden. De esta formatendremos metodos que integren mejor que el codigo RKN original eloscilador no perturbado y, por tanto, cabe esperar tengan un buencomportamiento para el problema (2.1) cuando el parametro de per-turbacion sea pequeno. A lo largo de la memoria nos sera de granutilidad la siguiente definicion.

Definicion 2.1.1 Diremos que un metodo numerico para integrarecuaciones diferenciales de segundo orden tiene orden oscilatorio q siposee dicho orden cuando integra el siguiente el problema de valoresiniciales

y′′ = −ω2y, y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, (2.3)

2

2.2. Nuevos metodos especiales 13

En definitiva, lo que perseguimos con los nuevos metodos es alcanzarel mismo orden que los esquemas RKN con igual numero de etapasconsiguiendo ademas, un orden oscilatorio mayor.

Nota 2.1.2 En lo sucesivo consideraremos las funciones f y g sufi-cientemente regulares 2

2.2 Nuevos metodos especiales para

problemas oscilatorios

Vamos a considerar un metodo del tipo (1.7) de 3 etapas para integrarel problema de Cauchy (2.2)

k1 = f(x0, y0),

k2 = f(x0 + hc2, y0 + hc2y′0 + h2a21k1),

k3 = f(x0 + hc3, y0 + hc3y′0 + h2(a31k1 + a32k2)), (2.4)

y1 = y0 + hy′0 + h2(b1k1 + b2k2 + b3k3),

y′1 = y′0 + h(b1k1 + b2k2 + b3k3).

Si exigimos que dicho algoritmo tenga orden cuatro tanto en la aprox-imacion a la solucion como a su derivada, de acuerdo con la Definicion1.2.1, es necesario que los errores locales cumplan las siguientes condi-ciones:

y(x0 + h)− y1 = O(h5),

y′(x0 + h)− y′1 = O(h5),

siendo y1 e y′1 las aproximaciones en x = x0 + h a y(x) e y′(x) respec-tivamente. Es decir, es necesario que los desarrollos de Taylor de lasolucion exacta y la numerica coincidan hasta el termino en h4, y delmismo modo, en la derivada de la solucion.

Podemos expresar la solucion exacta y su derivada segun su desar-rollo de Taylor

y(x0 + h) = y(x0) + hy′(x0) +h2

2!y′′(x0) +

h3

3!y′′′(x0) + O(h4),

y′(x0 + h) = y′(x0) + hy′′(x0) +h2

2!y′′′(x0) +

h3

3!y(iv)(x0) + O(h4),


y reemplazando y′′ por f cada vez que aparece de acuerdo con (2.2),resulta

y(x0 + h) = y0 + hy′0 +h2

2!f(x0, y0) +

h3

3!(fx + fyy

′)(x0, y0) +

+h4

4!(fxx + 2fxyy

′ + fyy(y′)2 + fyf)(x0, y0) + O(h5),

y′(x0 + h) = y′0 + hf(x0, y0) +h2

2!(fx + fyy

′)(x0, y0) +

+h3

3!(fxx + 2fxyy

′ + fyy(y′)2 + fyf)(x0, y0)

+h4

4!(fxxx + 3fxxyy

′ + 3fxyy(y′)2 + fyyy(y

′)3

+ 3fyyfy′ + 3fxyf + fxfy + f 2y y′)(x0, y0) + O(h5),

Desarrollando en torno a h = 0 y restando obtenemos para loserrores las siguientes expresiones:

y(x0 + h)− y1 = h2(

1

2− b1 − b2 − b3

)F

(2)1 (x0, y0)

+ h3(

1

6− b2c2 − b3c3

)F

(3)1 (x0, y0, y

′0)

+ h4[(

1

24− 1

2b2c

22 −

1

2b3c

23

)F

(4)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

24− b2a21 − b3(a31 + a32)

)F

(4)2 (x0, y0, y

′0)

]

+ O(h5),

y′(x0 + h)− y1 = h(1− b1 − b2 − b3)F(2)1 (x0, y0, y

′0)

+ h2(

1

2− b2c2 − b3c3

)F

(3)1 (x0, y0, y

′0)

+ h3[(

1

6− 1

2b2c

22 −

1

2b3c

23

)F

(4)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

6− b2a21 − b3(a31 + a32)

)F

(4)2 (x0, y0, y

′0)

]

+ h4[(

1

24− 1

6b2c

32 −

1

6b3c

33

)F

(5)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

8− b2c2a21 − b3c3(a21 + a31)

)F

(5)2 (x0, y0, y

′0)

+(

1

24− b3c2a32

)F

(5)3 (x0, y0, y

′0))

]+ O(h5).


Para simplificar la notacion hemos introducido las diferenciales ele-mentales para ecuaciones de segundo orden, que se obtienen de formasimilar a las de un proceso Runge-Kutta para ecuaciones de primerorden derivando y′′ = f(x, y(x)) sucesivamente con respecto a x (veaseButcher [5] y Dormand [19])

F(2)1 = f,

F(3)1 = fx + fyy

′,

F(4)1 = fxx + 2fxyy

′ + fyy(y′)2,

F(4)2 = fyf,

F(5)1 = fxxx + 3fxxyy

′ + 3fxyy(y′)2 + fyyy(y

′)3,

F(5)2 = fyyfy′ + fxyf,

F(5)3 = fxfy + f 2

y y′, (2.5)

F(6)1 = fxxxx + 4fxxxyy

′ + 6fxxyy(y′)2 + 4fxyyy(y

′)3 + fyyyy(y′)4,

F(6)2 = fxxyf + 2fxyyfy′ + fyyyf(y′)2,

F(6)3 = fyyf

2,

F(6)4 = fyyfy(y

′)2 + fyfxyy′ + fxyfx + fyyfxy

′,

F(6)5 = fyy(y

′)2 + 2fyfxyy′ + fxxfy,

F(6)6 = f 2

y f,

· · ·Para alcanzar orden cuatro tenemos que anular los coeficientes

hasta h4 inclusive. Esto nos lleva a las siguientes ecuaciones de orden

b1 + b2 + b3 = 1/2, (2.6)

b2c2 + b3c3 = 1/6, (2.7)

b2c22 + b3c

23 = 1/12, (2.8)

b2a21 + b3(a31 + a32) = 1/24, (2.9)

b1 + b2 + b3 = 1, (2.10)

b2c2 + b3c3 = 1/2, (2.11)

b2c22 + b3c

23 = 1/3, (2.12)

b2a21 + b3(a31 + a32) = 1/6, (2.13)

b2c32 + b3c

33 = 1/4, (2.14)


b2c2a21 + b3c3(a31 + a32) = 1/8, (2.15)

b3c2a32 = 1/24. (2.16)

Podemos utilizar las clasicas condiciones de suma de fila

a21 =1

2c22, (2.17)

a31 + a32 =1

2c23, (2.18)

y otras condiciones simplificadoras que aparecen frecuentemente enla bibliografıa (vease Dormand [19], Dormand et al. [20, 21], Hairer[52, 53] y Hairer et al. [54])

b1 = b1, (2.19)

b2 = b2(1− c2), (2.20)

b3 = b3(1− c3). (2.21)

De esta forma se reduce el numero de ecuaciones de orden que hayque resolver. Esto es bastante habitual cuando el orden del metodoes alto y el numero de ecuaciones es tan grande que se hacen nece-sarias estas condiciones simplificadoras para que el sistema resulte masmanejable. Resolviendo el sistema anterior se obtendrıa una familiauniparametrica de metodos. Podrıamos tratar de utilizar el parametrolibre para satisfacer las ecuaciones adicionales que surgen al imponerorden 5. Sin embargo, el numero de coeficientes es entonces inferioral numero de ecuaciones y el sistema resultante es incompatible.

Vamos a considerar ahora el problema del oscilador no perturbadotomando como funcion f(x, y) = −ω2y en (2.2). Para este caso par-ticular las diferenciales elementales se simplifican mucho, quedandolos terminos en los que aparece solo fy = −ω2 o cualquiera de suspotencias. Ası

y′′ = −ω2y,

y′′′ = −ω2y′,

y(iv) = ω4y,

y(v) = ω4y′, (2.22)

y(vi) = −ω6y,

y(vii) = −ω6y′,

· · ·


Tomando en las correspondientes series de Taylor los terminos enh5 y h6 y sustituyendo (2.22) obtenemos para los metodos (2.4)

ω4y′0(b3a32c2 − 1/120) h5, (2.23)

−ω6y0(b3a32a21 − 1/720) h6, (2.24)

−ω6y0(b3a32a21 − 1/120) h5, (2.25)

ω6y′0720

h6. (2.26)

Las expresiones (2.23) y (2.24) corresponden al error en la aprox-imacion a solucion y (2.25) y (2.26) al error en la aproximacion a laderivada. El termino (2.26) no se anula en general, por lo que serıaimposible alcanzar orden oscilatorio 6. Por otra parte, para obtenerorden oscilatorio 5 con el metodo (2.4), serıa necesario resolver el sis-tema de ecuaciones

b3a32c2 = 1/120,

b3a32a21 = 1/120.

Si sustituimos los coeficientes del metodo en funcion del parametrolibre, obtendrıamos de nuevo un sistema sin solucion. Por tanto, conel esquema RKN que estamos considerando no se puede alcanzar ordenoscilatorio 5.

Consideremos ahora un nuevo metodo que se obtiene a partir delesquema RKN (2.4), conservando las mismas etapas y anadiendo unosnuevos coeficientes b∗i y b∗i multiplicados por h2:

k1 = f(x0, y0),

k2 = f(x0 + hc2, y0 + hc2y′0 + h2a21k1),

k3 = f(x0 + hc3, y0 + hc3y′0 + h2(a31k1 + a32k2)), (2.27)

y1 = y0 + hy′0 + h2((b1 + h2b∗1)k1 + (b2 + h2b∗2)k2 + (b3 + h2b∗3)k3),

y′1 = y′0 + h((b1 + h2b∗1)k1 + (b2 + h2b∗2)k2 + (b3 + h2b∗3)k3).

Desarrollando de nuevo en serie de Taylor tenemos

y(x0 + h)− y1 = h2(

1

2− b1 − b2 − b3

)F

(2)1 (x0, y0, y

′0)

+ h3(

1

6− b2c2 − b3c3

)F

(3)1 (x0, y0, y

′0)


+ h4[(

1

24− 1

2b2c

22 −

1

2b3c

23

)F

(4)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

24− b2a21 − b3(a31 + a32)

)F

(4)2 (x0, y0, y

′0)

+ (b∗1 + b∗2 + b∗3)F(2)1 (x0, y0, y

′0)

]+ O(h5),

y′(x0 + h)− y1 = h(1− b1 − b2 − b3)F(2)1 (x0, y0, y

′0)

+ h2((1

2− b2c2 − b3c3

)F

(3)1 (x0, y0, y

′0)

+ h3[(

1

6− 1

2b2c

22 −

1

2b3c

23

)F

(4)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

6− b2a21 − b3(a31 + a32)

)F

(4)2 (x0, y0, y

′0)

+ (b∗1 + b∗2 + b∗3)F(2)1 (x0, y0, y

′0)

]

+ h4[(

1

24− 1

6b2c

32 −

1

6b3c

33

)F

(5)1 (x0, y0, y

′0)

+(

1

8− b2c2a21 − b3c3(a21 + a31)

)F

(5)2 (x0, y0, y

′0)

+(

1

24− b3c2a32

)F

(5)3 (x0, y0, y

′0))

+ (b∗2c2 + b∗3c3)F(3)1 (x0, y0, y

′0)

]+ O(h5),

e imponiendo orden cuatro tendrıamos las ecuaciones (2.6)–(2.16) jun-to con otras tres, que surgen como resultado de la nueva estructuradel metodo

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.28)

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.29)

b∗2c2 + b∗3c3 = 0. (2.30)

Resolviendo el sistema obtendremos metodos de orden cuatro parael problema (2.2).

Llegados a este punto resaltamos dos importantes ventajas quepresenta este metodo frente al clasico:

1. Debido a que los nuevos metodos cuentan con mas parametrosque el esquema clasico esto nos permitira, con el mismo numerode etapas, alcanzar orden oscilatorio 5.


2. Por otro lado, los nuevos coeficientes b∗i y b∗i van multiplicadospor h2 entonces, aparecen las mismas relaciones que en los corre-spondientes bi y bi pero multiplicando a F

(k+2)j en lugar de a F

(k)j .

Para el problema que nos interesa, teniendo en cuenta (2.22) essencillo ver que y(k+2) + ω2y(k) = 0 y por ello, los coeficientesque proceden del metodo clasico que acompanan a F

(k+2)i y los

introducidos en el nuevo metodo que acompanan a F(k)i quedan

agrupados. Gracias a esto podremos anular el termino de error(2.26), que antes era constante y ahora depende de los coefi-cientes, alcanzando ası orden oscilatorio 6.

Veamos con mas claridad lo que acabamos de exponer. Para losnuevos esquemas (2.27) y sustituyendo de nuevo (2.22) en las seriesde Taylor de los errores, los terminos en h5 y h6 son

ω4y′0(b3a32c2 − b∗2c2/ω2 − b∗3c3/ω

2 − 1/120) h5,

−ω6y0(b3a32a21 − b∗2a21/ω2 − b∗3(a31 + a32)/ω

2 − 1/720) h6,

−ω6y0(b3a32a21 − b∗2a21/ω2 − b∗3(a31 + a32)/ω

2 − 1/120) h5,

ω6y′0(b∗3a32c2/ω

2 + 1/720) h6.

Entonces, para conseguir orden oscilatorio 5 sera necesario satisfacer,ademas de (2.6)–(2.16) y (2.28)–(2.30), las siguientes ecuaciones deorden

b∗2c2 + b∗3c3 = ω2(b3a32c2 − 1/120), (2.31)

b∗2a21 + b∗3(a31 + a32) = ω2(b3a32a21 − 1/120). (2.32)

Anadiendo las condiciones (2.17) y (2.18), y (2.19) – (2.21, obtenemosun sistema, que como veremos en la seccion siguiente, nos propor-cionara una familia biparametrica de soluciones. Los parametros libresse pueden elegir para tratar de minimizar el error, consiguiendose asıun metodo optimo de orden 5. Resolviendo ademas de las ecuacionesanteriores, las que siguen

b∗2a21 + b∗3(a31 + a32) = ω2(b3a32a21 − 1/720), (2.33)

b∗3c2a32 = −ω2/720, (2.34)

obtenemos, como se vera mas adelante, un unico metodo de ordenoscilatorio 6.


2.2.1 Discusion de metodos de orden oscilatoriocinco

Como ya hemos visto en la seccion anterior, para obtener un metodocon orden oscilatorio 5, es necesario que los coeficientes de (2.27) sat-isfagan las ecuaciones (2.6)–(2.16), (2.28)–(2.30), y (2.31) y (2.32). Sianadimos las clasicas condiciones de suma de fila (2.17) y (2.18), y desimplificacion de Butcher (2.19) y (2.20) las ecuaciones que se han deverificar son las siguientes:

b1 + b2 + b3 = 1, (2.35)

b2c2 + b3c3 = 1/2, (2.36)

b2c22 + b3c

23 = 1/3, (2.37)

b2c32 + b3c

33 = 1/4, (2.38)

b3c2a32 = 1/24, (2.39)

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.40)

b∗2c2 + b∗3c3 = ω2(b3a32c2 − 1/120), (2.41)

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.42)

b∗2c2 + b∗3c3 = 0, (2.43)

b∗2c22 + b∗3c

23 = ω2(b3a32c

22 − 1/60). (2.44)

Las cuatro primeras ecuaciones forman un sistema lineal en las vari-ables bi, con i = 1, 2, 3. Este sistema tiene como matriz asociada

A =

1 1 10 c2 c3

0 c22 c2

3

0 c32 c3

3

y como matriz ampliada

A∗ =

1 1 1 10 c2 c3 1/20 c2

2 c23 1/3

0 c32 c3

3 1/4

.

Segun el teorema de Rouche, estos sistemas tendran solucion si co-inciden los rangos de la matriz asociada y la matriz ampliada. Vamosa analizar las distintas posibilidades:


1. Para que el rango de A sea 3 bastara con que el determinantede Vandermonde

c2c3

∣∣∣∣∣1 1c2 c3

∣∣∣∣∣ = c2c3(c3 − c2)

sea distinto de 0, es decir, que c2 6= 0 (esta condicion es necesariaademas para que se verifique (2.39)), c3 6= 0 y c3 6= c2. Para queel rango de A∗ sea tambien 3 su determinante ha de ser nulo.Esto se cumple si los ci satisfacen:

4(c2 + c3) = 3 + 6c2c3, (2.45)

es decir,

c2 =4c3 − 3

2(3c3 − 2). (2.46)

De esta relacion se deduce que c3 6= 2/3.

Resolviendo el sistema y sustituyendo (2.46), obtenemos los co-eficientes bi en funcion del parametro c3

b1 =6c2

3 − 6c3 + 1

6c3(4c3 − 3), (2.47)

b2 =2(9c2

3 − 12c3 + 4)(3c3 − 2)

3(6c23 − 8c3 + 3)(4c3 − 3)

, (2.48)

b3 =1

6c3(6c23 − 8c3 + 3)

, (2.49)

Observando estas expresiones se llega a que c3 6= 3/4. Segun(2.39) es necesario que b3 6= 0 y a la vista de (2.49), esta condicionse satisface para los valores de c3 que estamos considerando.

El siguiente paso sera obtener los b∗i y los b∗i , con i = 1, 2, 3.Las ecuaciones (2.40) y (2.41) forman un sistema lineal en lasindeterminadas b∗i y del mismo modo (2.42), (2.43) y (2.44) enlas b∗i . El primer sistema tiene rango 2 y esto da lugar a unafamilia de soluciones que depende de uno de los coeficientes b∗i :

b∗1 =(c3 − c2)b

∗3 − ω2(b3a32c2 − 1/120)

c2

,

b∗2 =ω2(b3a32c2 − 1/120)− c3b

∗3

c2

,

b∗3 = b∗3.


El segundo sistema tiene rango 3 y resolviendo obtenemos:

b∗1 =−2ω2(b3a32a21 − 1/120)

c2c3

,

b∗2 =2ω2(b3a32a21 − 1/120)

c2(c2 − c3),

b∗3 =2ω2(b3a32a21 − 1/120)

c3(c3 − c2).

Los aij se obtienen a partir de las condiciones de suma de fila(2.17) y (2.18) y la ecuacion (2.39) y los bi gracias a (2.19) y(2.20). Ası tenemos

a21 =c22

2, (2.50)

a31 =c23

2− a32, (2.51)

a32 =1

24c2b3

, (2.52)

b1 = b1, (2.53)

b2 =2− 3c3

6c2(c2 − c3)(1− c2), (2.54)

b3 =2− 3c2

6c3(c3 − c2)(1− c3). (2.55)

Expresando todos los coeficientes en funcion de c3 y b∗3, obten-emos una familia biparametrica de metodos del tipo (2.27) apartir de los siguientes valores:

b1 =1

6

6α2 − 6α + 1

α(4α− 3), b2 =

1

3

(9α2 − 12α + 4)(2α− 1)

(6α2 − 8α + 3)(4α− 3),

b3 =−1

6

α− 1

α(6α2 − 8α + 3),

b1 =1

6

6α2 − 6α + 1

α(4α− 3), b2 =

2

3

(9α2 − 12α + 4)(3α− 2)

(4α− 3)(6α2 − 8α + 3),

b3 =1

6

1

α(6α2 − 8α + 3),


b∗1 =1

60

360α2β − 480αβ + ω2(15α2 − 22α + 8) + 180β

4α− 3,

b∗2 =−1

60

(ω2(5α− 4) + 120αβ)(3α− 2)

4α− 3, b∗3 = β,

b∗1 =1

120

ω2(8α− 7)

α(4α− 3), b∗2 =

−1

60

ω2(8α− 7)(3α− 2)

(6α2 − 8α + 3)(4α− 3),

b∗3 =1

120

ω2(8α− 7)

(6α2 − 8α + 3),

a21 =1

8

(4α− 3

3α− 2

)2

, a31 = − α(9α3 − 20α2 + 14α− 3)

4α− 3,

a32 =1

2

α(3α− 2)(6α2 − 8α + 3)

4α− 3,

c2 =1

2

4α− 3

3α− 2, c3 = α.

siendo α 6= 3/4, 2/3, 0 y β los parametros. Estos metodos alcan-zan orden 5 para el problema no perturbado.

De entre estos metodos mostramos en la Tabla 2.1 los coeficientesdel metodo obtenido con α = 1 y β = 0.

0 aij

ci 1/2 1/8

1 0 1/2

bi 1/6 1/3 0

b∗i ω2/60 −ω2/60 0

bi 1/6 4/6 1/6

b∗i ω2/120 −ω2/60 ω2/120

Tabla 2.1: Un metodo de orden oscilatorio 5.

En este caso los coeficientes bi, bi, aij y ci coinciden con los de unmetodo RKN de orden 4 ampliamente conocido (vease Hairer etal. [54]) y ademas los coeficientes b∗i y b∗i son muy sencillos.


2. Para que la matriz A tenga rango 2 es preciso que los deter-minantes de las submatrices 3x3 obtenidas a partir de ella seancero. Para ello bastara con que c3 = 0, o bien, c3 = c2 6= 0.Descartamos la posibilidad de que c2 = 0 porque en ese caso nose satisface la ecuacion (2.39). Para que el sistema tenga solucionel rango de la matriz A∗ tambien tendra que ser 2 y, por tanto,los determinantes de A∗ y de las correspondientes matrices 3x3deben ser 0. La primera condicion se satisface, como ya hemosvisto, si c2 y c3 cumplen (2.45). Sin embargo, de forma sencillase puede comprobar que no es posible anular simultaneamentetodos los determinantes 3x3, por lo que podemos concluir queel sistema no tiene solucion y los metodos que obtenemos sereducen a los discutidos en el punto 1.

2.2.2 Discusion de metodos de orden oscilatorioseis

De manera analoga a los metodos discutidos con anterioridad, paraque el metodo (2.27) alcance orden oscilatorio 6 es preciso obtenerlos coeficientes a partir de las ecuaciones (2.6)–(2.16), (2.28)–(2.30),(2.31) y (2.32), y (2.33) y (2.34). Anadiendo las condiciones (2.17) y(2.18), y (2.19) y (2.20), las ecuaciones que se han de verificar son lassiguientes:

b1 + b2 + b3 = 1, (2.56)

b2c2 + b3c3 = 1/2, (2.57)

b2c22 + b3c

23 = 1/3, (2.58)

b2c32 + b3c

33 = 1/4, (2.59)

b3c2a32 = 1/24, (2.60)

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.61)

b∗2c2 + b∗3c3 = ω2(b3a32c2 − 1/120), (2.62)

b∗2c22 + b∗3c

23 = ω2(b3a32c

22 − 1/360), (2.63)

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0, (2.64)

b∗2c2 + b∗3c3 = 0, (2.65)

b∗2c22 + b∗3c

23 = ω2(b3a32c

22 − 1/60), (2.66)

b∗3c2a32 = −ω2/720. (2.67)


0 aij

ci 2/9 2/81

19/24 −1235/18432 779/2048

bi 1/76 63/164 80/779

b∗i −83ω2/12160 233ω2/26240 −8ω2/3895

bi 1/76 81/164 384/779

b∗i −4ω2/95 12ω2/205 −64ω2/3895

Tabla 2.2: Metodo de orden oscilatorio 6.

Podemos observar que este sistema de ecuaciones coincide con elobtenido para los metodos de orden oscilatorio 5 anadiendole las ecua-ciones (2.63) y (2.67). Por lo tanto, basta sustituir la solucion generalbiparametrica anterior en las ecuaciones (2.63) y (2.67), obteniendose

2160α3β − (120 + 2880β)α2 + (192 + 1080β)α− 77

1440(3α− 2)= 0,

α

60− 23

1440= 0,

lo que nos lleva a una unica solucion en la que α = 19/4 y β =−8ω2/3895. Sustituyendo en el resto de expresiones se obtiene ununico metodo (2.27) cuyos coeficientes son los que se muestran en laTabla 2.2:

Nota 2.2.1 Como se puede apreciar en las Tablas 2.1 y 2.2 en loscoeficientes b∗i y b

∗i aparece siempre el factor ω2. 2

2.2.3 Experimentos numericos

Resulta conveniente en este momento comprobar como se comportanlos metodos obtenidos con respecto a otros codigos. Para ello consid-eraremos tres problemas diferentes consistentes en la integracion de


0 aij

ci 1/2 1/8

1 0 1/2

bi 1/6 1/3 0

bi 1/6 4/6 1/6

Tabla 2.3: Metodo RKN de orden 4

osciladores o sistemas de osciladores perturbados de la forma (2.1).Compararemos los resultados de los esquemas que hemos construidocon los resultados obtenidos con un metodo RKN muy frecuente en labibliografıa (Hairer et al. [54]), con el metodo debido a Gonzalez et al.(vease Gonzalez [44] y Gonzalez et al. [47]), que considerabamos en laseccion 1.3 y que ha demostrado en experimentos anteriores un buencomportamiento para integrar el tipo de problemas que estamos con-siderando, y con un codigo simplectico desarrollado por Calvo y Sanz-Serna [7, 97]. Todos estos metodos son explıcitos, tienen orden cuatroy excepto el metodo simplectico, son codigos de tres etapas. El inte-grador simplectico es un esquema RKN de cinco etapas y propiedadFSAL (First Same As Last): solo necesita cuatro evaluaciones de lafuncion por paso, salvo en el primero.

Los experimentos se han realizado integrando 10 revoluciones paradistintos valores para h. Los calculos han sido realizados con precisionaritmetica de 16 dıgitos.

En las figuras denotaremos por RKNh24:5 el metodo con ordenoscilatorio 5 de la Tabla (2.1), por RKNh24:6 el algoritmo de ordenoscilatorio 6 de la Tabla (2.2), por RKN4 el metodo clasico cuyoscoeficientes corresponden a la Tabla (2.3), por RKGM4 el metodode orden 4 debido a Gonzalez et al. [44, 47] y por Calvo4 el metodosimplectico. Se ha representado el logaritmo decimal del error maximoa lo largo de la integracion frente al logaritmo decimal del numero deevaluaciones de funcion empleadas.


Figura 2.1: Oscilador de Duffing. ε = 10−1.

El primer problema que consideramos es el oscilador de Duffing:

y′′ = −y + εy3 , (2.68)

con condiciones iniciales

y(0) = 1 , y′(0) = 0 .

Este problema interviene en la descripcion de diversos sistemas mecanicos,tales como el caso del pendulo o de una masa conectada a un muelleque oscila, y esta tambien presente en ciertos sistemas electricos.

En las Figuras 2.1 y 2.2 observamos los resultados obtenidos alintegrar este problema con los distintos metodos y dos valores delparametro de perturbacion, ε = 10−1 y ε = 10−3 respectivamente.El error se ha calculado con respecto a una solucion de referenciaobtenida mediante tecnicas de perturbaciones desarrolladas por Fartoet al. [24, 25], que es extremadamente precisa a largo plazo. En laintegracion los tamanos de paso se han tomado entre 1/2 y 1/27 paratodos los metodos.



En ambos experimentos se observa que los resultados de los nuevosmetodos son mejores que los del metodo clasico. En la Figura 2.1 sepuede apreciar que el metodo RKNh24:6 es ligeramente mejor que elesquema RKGM4. Para valores de h pequenos apenas se distinguen lasgraficas correspondientes a los metodos RKNh24:5 y RKGM4 porquepresentan un comportamiento muy similar. El metodo simplecticoproporciona al integrar este problema el mejor comportamiento. Sinembargo, la diferencia entre los metodos crece cuando disminuye elvalor de ε. Logicamente, para problemas suficientemente regulares,cuando ε es pequeno la solucion esta mucho mas proxima a la soluciondel problema no perturbado y, por tanto, los nuevos metodos debenproporcionar mejores resultados. El metodo que mejor se comporta esRKNh24:6, seguido muy de cerca por el metodo RKGM4. El metodoCalvo4 presenta ahora un comportamiento mucho peor que en el casoanterior, siendo superado por el metodo RKNh24:5 que ni siquiera esel metodo de orden oscilatorio 5 optimo.


El segundo problema que consideraremos es el sistema de osciladores

y′′1 = −y1 + 10−4(y31 − y2

2) ,

y′′2 = −y2 + 10−4(y52 − 2y1y2) ,

con condiciones iniciales

y1(0) = y2(0) = 0 , y′1(0) = y′2(0) = 1 .

La Figura 2.3 muestra los resultados obtenidos al integrar esteproblema.

Figura 2.3: Sistema de osciladores.

Los errores han sido calculados con respecto a la integral primera

H(y1, y′1, y2, y

′2) =

1

2(y2

1 +y′21 +y22 +y′22 )− 10−4

4y4

1 +10−4y1y22−

10−4

6y6

2 .

Los tamanos de paso considerados oscilan entre 1/2 y 1/27 parael metodo RKN4, 1/2 y 1/28 para el codigo RKNh24:5, y 1/2 y 1/26


para los restantes. En este ejemplo se puede ver el excelente compor-tamiento del metodo RKNh24:6. Para los valores de h mas pequenosproporciona errores menores que el codigo RKGM4, aunque este semuestre mas eficiente para los valores de h mas grandes. El metodoRKNh24:5 para este problema se comporta peor, aunque en cualquiercaso, proporciona soluciones mas aproximadas que el metodo clasicoy para h pequeno es mas eficiente que el metodo simplectico.

Como ultimo ejemplo consideraremos el problema de la prediccionde la orbita de un satelite artificial. Hemos tomado las ecuacionesde movimiento formuladas en variables focales (vease Ferrandiz [29] yFerrandiz et al. [34]). En dichas variables el problema se reduce a unsistema de cuatro osciladores perturbados con frecuencia unidad

y′′i = −yi + Qi, i = 1, 2, 3, (2.69)

u′′ = −u +µ

c2+ Q,

donde µ es la masa reducida y Qi y Q son los correspondientes terminosde perturbacion. En los experimentos que se desarrollaran a lo largode la memoria se ha tomado como perturbacion solamente la de-bida al achatamiento terrestre, es decir, consideraremos solamente elarmonico zonal J2. Ademas se ha considerado una orbita ecuatorial.De esta forma las ecuaciones anteriores se concretan en

y′′i = −yi, i = 1, 2, 3,

u′′ = −u +µ

c2+ 12

J2

c2u2,

donde c es el momento angular. Hemos usado como solucion de refer-encia la obtenida por Farto et al. [24]. La integracion se ha realizadopara valores de h variando entre 1/2 y 1/27. En la Figura 2.4 semuestran los resultados de integrar una orbita circular (e = 0).

Los nuevos metodos vuelven a mostrar su buen comportamiento enla integracion de este tipo de problemas. Fijado un error se necesitanmenos evaluaciones de funcion con los metodos que presentamos quecon los codigos clasico y simplectico. Comparados con el algoritmoRKGM4, el metodo RKNh24:6 tambien requiere menos evaluacionesde funcion por paso.

Para terminar, mostramos el mismo experimento (Figura 2.5) conuna orbita altamente excentrica (e = 0.99). Los resultados son sim-ilares a los del caso anterior. Como se puede apreciar el metodo

2.3. Metodos RKNh2. Propiedades 31

Figura 2.4: Problema del satelite. e = 0.

RKNh24:5, para los valores de h menores, tiene un comportamientomuy similar al codigo RKGM4.

2.3 Metodos RKNh2. Propiedades

2.3.1 Formulacion general

En esta seccion intentaremos formalizar las ideas que nos han con-ducido a la construccion de unos nuevos metodos que parecen presen-tar un excelente comportamiento en la integracion de osciladores per-turbados. En todos los metodos discutidos se observa que los nuevoscoeficientes b∗i y b∗i son siempre constantes multiplicadas por ω2 . Estonos ha llevado a reformular los coeficientes para facilitar el manejo ya partir de este momento denotaremos por ω2b∗i y ω2b∗i a los antiguoscoeficientes b∗i y b∗i de los metodos que estamos desarrollando.

Definicion 2.3.1 Sean s ∈ IN, aij i = 2, . . . , s, j = 1, . . . , i − 1,


Figura 2.5: Problema del satelite. e = 0.99.

bi, b∗i , bi, b

∗i , i = 1, . . . , s, c1 = 0 y ci i = 2, . . . , s coeficientes reales.

Llamaremos metodo RKNh2 explıcito de s etapas para el problema(2.2) al siguiente esquema

ki = f

x0 + cih, y0 + hciy

′0 + h2

i−1∑

j=1

aijkj

, i = 1, . . . , s,

y1 = y0 + hy′0 + h2s∑

i=1

(bi + h2ω2b∗i )ki,

y′1 = y′0 + hs∑

i=1

(bi + h2ω2b∗i )ki.

2

Nota 2.3.2 Aunque nos referiremos a los anteriores como metodosRKNh2, en realidad son una familia de metodos, ya que para cadafrecuencia considerada tendremos un codigo particular. 2


Nota 2.3.3 En esta memoria solo estudiaremos los metodos explıcitos,es decir, el caso en que c1 = 0 y aij = 0 si i ≤ j. 2

Nota 2.3.4 Igual que los metodos RKN, (vease Lambert [69]) loscodigos que acabamos de definir se pueden utilizar para integrar sis-temas de ecuaciones. 2

Definicion 2.3.5 Los metodos RKNh2 son de orden p si para fun-ciones f suficientemente regulares se cumple

y(x0 + h)− y1 = O(hp+1),

y′(x0 + h)− y′1 = O(hp+1).

2

2.3.2 Error de truncacion local

Consideremos un metodo numerico de un paso para el problema (2.2)que podemos escribir como sigue

yn+1 = yn + hφ(xn, yn, y′n, h),

y′n+1 = y′n + hφ′(xn, yn, y′n, h), (2.70)

donde, segun la notacion de Henrici [57], φ y φ′ son las funcionesincremento del metodo. Los metodos RKNh2 se pueden escribir deesta forma considerando

φ = y′ + hs∑

i=1


φ′ =s∑

i=1


de manera similar a un metodo RKN (vease Dormand [19] y Dormandet al. [20, 21]). Volviendo sobre (2.70), podemos reescribirlo como dosecuaciones

0 = yn + hφ(xn, yn, y′n, h)− yn+1,

0 = y′n + hφ′(xn, yn, y′n, h)− y′n+1,


que en general no se satisfacen si se sustituye la solucion exacta y(xn)por yn, y su derivada y′(xn) por y′n. La discrepancia se define comoerror de truncacion local

tn+1 = y(xn) + hφ(xn, y(xn), y′(xn), h)− y(xn+1),

t′n+1 = y′(xn) + hφ(xn, y(xn), y′(xn), h)− y′(xn+1),

y corresponde a la cantidad por la cual la solucion exacta no satisfacela formula numerica. No obstante una cantidad mas practica desde elpunto de vista computacional, es el error por paso o error local, que secalcula como la diferencia y(xn+1)− yn+1, o bien y′(xn+1)− y′n+1, con-siderando que los valores anteriores son exactos. Afortunadamente losdos errores, local y de truncacion local, son muy similares en magnitud(vease Dormand [19]) y por ello unas buenas estimaciones (tanto mejorcuanto menor sea el tamano de paso h) de los errores de truncacionlocal seran

y1 − y(x0 + h),

y′1 − y′(x0 + h).

La solucion exacta y su derivada se pueden expresar segun su de-sarrollo de Taylor

y(x0 + h) = y0 + hy′0 + h2∞∑

i=2

hi−2

i!f (i−2)(x0, y0),

y′(x0 + h) = y′0 + h∞∑

i=1

hi−1

i!f (i−1)(x0, y0).

que en terminos de las diferenciales elementales se pueden escribir

y(x0 + h) = y0 + hy′0 + h2∞∑

i=2

hi−2ni∑

j=1

α(i)j

i!F

(i)j (x0, y0, y

′0),

y′(x0 + h) = y′0 + h∞∑

i=1

hi−1ni+1∑

j=1

α(i+1)j

i!F

(i+1)j (x0, y0, y

′0),

donde α(k)j es el coeficiente que acompana a F

(k)j en f (k). Para abreviar

la notacion en lo sucesivo representamos F(i)j (x0, y0, y

′0) simplemente

como F(i)j .


Desarrollando tambien en serie de Taylor las aproximaciones numericasen torno a h = 0 se tiene

y1 = y0 + hy′0 + h2∞∑

i=2

hi−2

ni∑

j=1

β(i)j F

(i)j

+ ω2h4∞∑

i=2

hi−2

ni∑

j=1

β∗(i)j F

(i)j

y′1 = y′0 + h∞∑

i=1

hi−1

ni+1∑

j=1

β(i)j F

(i+1)j

+ ω2h3∞∑

i=1

hi−1

ni+1∑

j=1

β∗(i)j F

(i+1)j

,

donde β(i)j y β

(i)j son funciones de los parametros aij, ci y bi o bi respec-

tivamente, y β∗(i)j y β

∗(i)j son identicas pero sustituyendo bi por b∗i y bi

por b∗i . Con ni representamos el numero de diferenciales elementalesde orden i.

Entonces,

y1 − y(x0 + h) =∞∑

i=2

hi

ni∑

j=1

β

(i)j − α

(i)j

i!

F

(i)j

+ ω2∞∑

i=4

hi

ni−2∑

j=1

β∗(i−2)j F

(i−2)j

,

y′1 − y′(x0 + h) =∞∑

i=2

hi−1

ni∑

j=1

β

(i−1)j − α

(i−1)j

(i− 1)!

F

(i)j

+ ω2∞∑

i=4

hi−1

ni−2∑

j=1

β∗(i−3)j F

(i−2)j

.

En ambas expresiones los primeros sumatorios coinciden con los er-rores locales para los metodos RKN (vease Dormand [19]).

Definiendo los coeficientes de error

τ(i)j = β

(i)j − α

(i)j

i!, τ

∗(i)j = β

∗(i)j ,

τ′(i)j = β

(i)j − α

(i)j

i!, τ

′∗(i)j = β

∗(i)j ,


y tomando τ∗(0)j = τ

∗(1)j = 0 y τ

′∗(−1)j = τ

′∗(0)j = 0, tenemos finalmente

y1 − y(x0 + h) =∞∑

i=2

hi

ni∑

j=1

τ(i)j F

(i)j + ω2

ni−2∑

j=1

τ∗(i−2)j F

(i−2)j

,

y′1 − y′(x0 + h) =∞∑

i=1

hi

ni+1∑

j=1

τ′(i)j F

(i+1)j + ω2

ni−1∑

j=1

τ∗′(i−2)j F

(i−1)j

.

En la Tabla 2.4 tenemos los coeficientes de error τ(i)j para los

primeros valores de i. Para obtener los correspondientes a la derivada

basta sustituir τ(i)j por τ

′(i−1)j , bi por bi y multiplicar cada fraccion a

la derecha del signo menos por i. Los coeficientes τ∗(i)j y τ

′∗(i)j , sigu-

iendo la definicion, se obtienen de los correspondientes τ(i)j y τ

′(i)j susti-

tuyendo bi por b∗i y bi por b∗i y eliminando las fracciones a la derechadel signo menos.

Vamos a particularizar ahora las anteriores expresiones del error detruncacion local para los dos problemas que centran nuestra atenciona lo largo de esta memoria.

En primer lugar consideremos el caso del oscilador no perturbado.En este caso la funcion a considerar es f = −ω2y y para cada i soloresulta una diferencial elemental no nula que denotaremos por F (i)

osc.Como ya veıamos en (2.22)

F (i)osc =

{(−1)nω2ny si i = 2n(−1)nω2ny′ si i = 2n + 1

De forma sencilla se observa que

F (i)osc = −ω2F (i−2)

osc ,

y de este modo para los metodos RKNh2 la expresion del error localse simplifica notablemente

y1 − y(x0 + h) =∞∑

i=2

hi

(τ (i) − ω2 τ ∗(i−2)

ω2

)F (i)

osc, (2.71)

y′1 − y′(x0 + h) =∞∑

i=1

hi

(τ (i)′ − ω2 τ

′∗(i−2)

ω2

)F (i+1)

osc , (2.72)


τ(2)1 =

∑

i

bi − 1/2 τ(6)6 = τ

(6)5

τ(3)1 =

∑

i

bici − 1/6 τ(7)1 = (1/120)

∑

i

bic5i − 1/5040

τ(4)1 = (1/2)

∑

i

bic2i − 1/24 τ

(7)2 = 10τ (7)

1

τ(4)2 = τ

(4)1 τ

(7)3 = 15τ (7)

1

τ(5)1 = (1/6)

∑

i

bic3i − 1/120 τ

(7)4 = (1/2)

∑

ij

bic2i aijcj − 1/504

τ(5)2 = 3τ

(5)1 τ

(7)5 = τ

(7)4

τ(5)3 =

∑

ij

biaijcj − 1/120 τ(7)6 = (1/2)

∑

ij

biciaijc2j − 1/1008

τ(6)1 = (1/24)

∑

i

bic4i − 1/720 τ

(7)7 = (1/6)

∑

ij

biaijc3j − 1/5040

τ(6)2 = 6τ

(6)1 τ

(7)8 = τ

(7)6

τ(6)3 = 3τ

(6)1 τ

(7)9 = 3τ

(7)7

τ(6)4 =

∑

ij

biciaijcj − 1/180 τ(7)10 =

∑

ijk

biaijajkck − 1/5040

τ(6)5 = (1/2)

∑

ij

biaijc2j − 1/720

Tabla 2.4: Coeficientes de error


donde designaremos por τ (i), τ ∗(i), τ′(i) y τ

′∗(i) los coeficientes de errorque acompanan a la correspondiente diferencial elemental no nula. Ala vista de las expresiones anteriores, podemos observar que multipli-cando a las diferenciales elementales aparece un factor que consta dedos sumandos. En el caso de un RKN en este factor aparece solo elprimer sumando. Nosotros aprovecharemos el segundo sumando paraintentar elevar el orden de un metodo RKNh2 para el problema noperturbado (como hicimos en las secciones precedentes), ya que fijadoun numero de etapas s contamos con un mayor numero de coeficientesde error que dependen de los parametros del metodo.

Consideremos ahora el caso del oscilador perturbado. En este casola funcion del problema (2.2) es f = −ω2y + εg(x, y), entonces, loserrores locales para un metodo RKNh2 vienen dados por

y1 − y(x0 + h) =∞∑

i=2

hi(τ (i) − τ ∗(i−2)

)F (i)

osc (2.73)

+ ε∞∑

i=2

hi

ni∑

j=1

τ(i)j G

(i)j + ω2

ni−2∑

j=1

τ∗(i−2)j G

(i−2)j

,

y′1 − y′(x0 + h) =∞∑

i=1

hi(τ′(i) − τ

′∗(i−2))F (i+1)

osc (2.74)

+ ε∞∑

i=1

hi

ni+1∑

j=1

τ′(i)j G

(i+1)j + ω2

ni−1∑

j=1

τ′∗(i−2)j G

(i−1)j

,

donde denotamos por G(i)j las diferenciales elementales de la funcion

g y por F (i)osc las correspondientes a la parte no perturbada de f .

Logicamente los primeros sumatorios en ambas expresiones coincidencon los errores locales para el oscilador no perturbado (2.71) y (2.72).


2.3.3 Condiciones de orden para un metodoRKNh2p :q

Segun la Definicion 2.3.5 para obtener metodos RKNh2 de orden p esnecesario

τ(i)j = 0

{i = 2, . . . , pj = 1, . . . , ni

τ′(i)j = 0

{i = 1, . . . , pj = 1, . . . , ni+1

τ∗(i)j = 0

{i = 2, . . . , p− 2j = 1, . . . , ni

τ′∗(i)j = 0

{i = 1, . . . , p− 2j = 1, . . . , ni+1

(2.75)Este conjunto de ecuaciones constituyen lo que se conoce como condi-ciones de orden.

Teniendo en cuenta (2.71) y (2.72), las condiciones de orden paraun metodo RKNh2 de orden oscilatorio q se concretan en

τ (i) − τ ∗(i−2) = 0, (2.76)

τ′(i) − τ

′∗(i−2) = 0, (2.77)

con i = 1, . . . , q.Como ya mencionamos anteriormente, los coeficientes de error en

y e y′ que dependen de bi y bi se hallan relacionados (vease Dormand[19]) y basta conocer los de y′. En cuanto a los que dependen delos coeficientes b∗i y b∗i se pueden obtener de forma sencilla a partirde los anteriores como ya hemos visto. Pese a estas relaciones, laobtencion de los coeficientes de error suele ser muy compleja, por lo quepara obtener las condiciones de orden para metodos de orden elevadorecurriremos a la conocida teorıa de arboles especiales de Nystromcon raız. Dicha teorıa es debida a Hairer y Wanner (vease Haireret al. [54, 55]), que continuaron los trabajos iniciados por Butcher(vease Butcher [6]) para ecuaciones de primer orden. Aunque en estemomento no vamos a tratar la teorıa de arboles, la adaptaremos masadelante a los metodos que venimos considerando.

Definicion 2.3.6 Llamamos metodo RKNh2p :q a un codigo RKNh2

con orden p para un problema general y orden oscilatorio q. 2

Para obtener un metodo RKNh2p :q se han de satisfacer las condi-ciones de orden (2.75) para alcanzar orden p para un problema generaly, las condiciones (2.76) y (2.77) con i = p + 1, . . . , q, para conseguirorden oscilatorio q.


2.4 Metodo RKNh24:5 optimo

Como ya hemos mencionado a lo largo de discusiones anteriores, elerror de truncacion local en la aproximacion a la solucion para unmetodo RKN de orden p se puede escribir (vease Dormand [19]) como

tn+1 =∞∑

i=p+1

hi

ni∑

j=1

τ(i)j F

(i)j

,

y analogamente en la aproximacion a la derivada

t′n+1 =∞∑

i=p+1

hi

ni+1∑

j=1

τ′(i)j F

(i+1)j

,

donde F(i)j son las anteriormente mencionadas diferenciales elemen-

tales (2.5), y τ(i)j y τ

(i)′j son los correspondientes coeficientes de error

para y e y′.La influencia dominante en el error de truncacion local si el tamano

de paso h es suficientemente pequeno, viene dada por las funcionesprincipales de error:

ϕp =np+1∑

j=1

τ(p+1)j F

(p+1)j

para el error en la aproximacion a la solucion y

ϕ′p =np+2∑

j=1

τ′(p+1)j F

(p+2)j

para en el error en la derivada.Cuando se tiene una familia de metodos con parametros libres,

estos se pueden utilizar para obtener metodos optimos, es decir, fijadoun orden obtener el metodo que consiga minimizar la norma euclıdeade los coeficientes de error en las funciones principales de error (Dor-mand [19]). Se trata por tanto de minimizar la funcion

Ψ =√

(A(p+1))2 + (A′(p+1))2,

2.4. Metodo RKNh24:5 optimo 41

donde

A(p+1) =

√√√√np+1∑

j=1

(τ(p+1)j )2, A′(p+1) =

√√√√np+2∑

j=1

(τ′(p+1)j )2.

Una idea similar utilizaremos en la presente seccion para obtenerun metodo RKNh2, como el discutido en la seccion 2.2.1, que alcanceorden oscilatorio 5 y sea optimo en el sentido comentado. Recordemosque existıa un unico metodo RKNh24:6 de tres etapas y por tanto,dicho esquema es el metodo optimo.

La familia de metodos RKNh2 que estamos considerando alcanzaorden 4 cuando se trata de integrar un problema general y orden os-cilatorio 5. Por tanto, las expresiones de los errores locales se obtienena partir de (2.73) y (2.74) imponiendo orden 5 para la parte no per-turbada y orden 4 para la parte perturbada de f , es decir,

y1 − y(x0 + h) =∞∑

i=6

hi(τ (i) − τ ∗(i−2)

)F (i)

osc (2.78)

+ ε∞∑

i=5

hi

ni∑

j=1

τ(i)j G

(i)j + ω2

ni−2∑

j=1

τ∗(i−2)j G

(i−2)j

,

y′1 − y′(x0 + h) =∞∑

i=6

hi(τ′(i) − τ

′∗(i−2))F (i+1)

osc (2.79)

+ ε∞∑

i=5

hi

ni+1∑

j=1

τ′(i)j G

(i+1)j + ω2

ni−1∑

j=1

τ′∗(i−2)j G

(i−1)j

.

Observando (2.78) y (2.79), vemos que el termino que predomina enel error de truncacion local dependera de los valores de h y ε. Losterminos en h5 aparecen multiplicados por ε y por tanto no en todoslos casos es posible despreciar los terminos en h6, dependera de si hes mayor o menor que ε. Entonces en cada caso concreto convendrıaminimizar un termino u otro dependiendo de en cual de las situa-ciones mencionadas nos encontremos. Esto en principio nos llevarıaa obtener dos metodos distintos que podrıamos seleccionar segun elproblema. Sin embargo, en una implementacion en paso variable eltamano de paso puede variar notablemente y podemos pasar de unasituacion a otra numerosas veces a lo largo de la integracion. Por ello,una solucion de compromiso es tratar de minimizar simultaneamente


ambos terminos de error. Entonces, el metodo optimo sera aquel quehaga mınima la funcion

Ψ =√

(A(5))2 + (A′(5))2 + (A(6))2 + (A′(6))2, (2.80)

donde

A(5) =

√√√√3∑

j=1

(τ(5)j )2 + (τ

∗(3)j )2, A′(5) =

√√√√6∑

j=1

(τ′(5)j )2 + (τ

′∗(1)j )2,

A(6) =√

(τ (6) − τ ∗(4))2, A′(6) =√

(τ ′(6) − τ ′∗(4))2.

Los coeficientes τ(5)j , τ

′(5)j , τ

′∗(3)j y τ

′∗(1)j se pueden obtener de forma

sencilla a partir de Tabla 2.4. Los coeficientes τ (6), τ′(6), τ

′∗(4) y τ′∗(4)j

son los correspondientes coeficientes de error no nulos para el casoconcreto del oscilador no perturbado. Si a los metodos RKNh2 corre-spondientes al esquema (2.27) les exigimos orden oscilatorio 5 tenemos,como ya discutimos en la seccion 2.2.1, una familia biparametrica decodigos dependientes de los parametros α = c3 y β = b∗3. Tras sustituirlos coeficientes del metodo se obtienen:

τ(5)1 =

−1

720

10α2 − 12α + 3

3α− 2, τ

(5)2 = 3τ

(5)1 ,

τ(5)3 =

1

30− α

24, τ

∗(3)1 = τ

(5)3 ,

τ′(5)1 =

−1

4τ

(5)1 , τ

′(5)2 =

−3

2τ

(5)1 ,

τ′(5)3 =

−3

4τ

(5)1 , τ

′(5)4 = −τ

(5)3 ,

τ′(5)5 =

1

480

8α− 7

3α− 2, τ

′(5)6 = τ

′(5)5 ,

τ′∗(3)1 = τ

′(5)5 τ

′∗(3)2 = τ

′(5)5 .

Los terminos en h6 en los errores locales son

−h6(b3a32a21 − 1

720− (b∗2a21 + b∗3(a31 + a32)

)ω6y0,

h6(b∗3a32c2 +

1

720

)ω6y′0,


y nos permiten obtener τ (6)−τ ∗(4) y τ′(6)−τ

′∗(4). Podemos expresarlosde nuevo en funcion de los parametros del metodo

τ (6) − τ ∗(4) =α

60− 19

1440,

τ′(6) − τ ∗(3) =

αβ(2160α3 − 6660α2 + 6120α− 1890) + α(60α− 99) + 40

1440(3α− 2).

Sustituyendo los coeficientes de error en (2.80) se obtiene unafuncion en los parametros α y β que buscamos minimizar√

103

8(τ

(5)1 )2 + 3(τ

(5)3 )2 + 4(τ

′(5)5 )2 + (τ (6) − τ ∗(4))2 + (τ

′(6) − τ′∗(4))2.

La minimizacion se ha realizado con la funcion extrema de MapleV4. Esta funcion tiene como parametros la expresion de la cual sequieren obtener los extremos, las variables y ocasionalmente condi-ciones frontera. En nuestro caso, las condiciones frontera proceden deuna serie de restricciones adicionales que imponemos sobre el tamanode los coeficientes para evitar el excesivo crecimiento de los errores deredondeo. En concreto imponemos que α tome valores entre 0 y 1 y βentre -1 y 1. Ası el metodo optimo es aquel en el que los parametroslibres toman los valores α = 1047/1250 y β = −1183/200000 y portanto los coeficientes del metodo son los de la Tabla 2.5.

Para estos coeficientes los valores de A(5), A′(5) y A

′(6) son 0.0023,0.00262 y 0.0007 respectivamente. La norma A(6) es despreciable re-specto al resto.

El metodo optimo obtenido lo denotaremos por RKNh24:5M. Laletra M significa cerca del mınimo (vease Dormand [19]).

Con el fin de estudiar la eficiencia del metodo optimo constru-ido mostraremos los resultados obtenidos al integrar numericamentetres de los problemas ya considerados en la seccion 2.2.3: el prob-lema del oscilador de Duffing para ε = 0.001, el problema del sateliteartificial ecuatorial con alta excentricidad y la perturbacion debidaal achatamiento terrestre y el sistema de osciladores. Compararemosel metodo optimo RKNh24:5M con el esquema de orden oscilatorio5 de la Tabla 2.1, que denotaremos por RKNh24:5, y con el codigoRKNh24:6, que acabamos de ver presentaba un buen comportamiento.


0 aij

ci219

641

47961

821762

1047

1250

11132259957

285156250000

88896811293

285156250000

bi143627

1375758

86695891

261076689

79296875

1248161157

b∗i

−657115973

164250000000

1628654723

164250000000

−1183

200000

bi143627

1375758

263374721

522153378

488281250

1248161157

b∗i−23375

2751516

14983375

1044306756

−14609375

2496322314

Tabla 2.5: Metodo RKNh24:5M



En las Figuras 2.6 y 2.7 se presentan los resultados obtenidos al in-tegrar el problema del oscilador de Duffing con ε = 10−3 y el problemadel satelite con una orbita altamente excentrica respectivamente. Lostamanos de paso considerados se han variado entre 1/2 y 1/27 para laintegracion numerica del primer problema, y entre 1/2 y 1/26 para elsegundo. En ambos casos el metodo optimo proporciona mejores resul-tados que el correspondiente metodo particular RKNh24:5 y un exce-lente comportamiento comparado con el metodo RKNh24:6. Cuandola integracion se realiza con los tamanos de paso mas pequenos lasdiferencias entre los metodos RKNh24:6 y RKNh24:5M no son signi-ficativas. Esto puede ser debido a que para valores de h suficiente-mente pequenos, los terminos que predominan en los errores de trun-cacion local en ambos mtodos son los correspondientes a h5.

Por ultimo, en la Figura 2.8 se muestran los resultados de la in-tegracion numerica del sistema de osciladores. En este caso se hanutilizado tamanos de paso que varıan entre 1/2 y 1/26 para el metodoRKNh24:6 y entre 1/2 y 1/28 para los otros dos codigos. Como vi-


mos en la seccion 2.2.3, el metodo particular de orden oscilatorio 5no proporcionaba tan buenos resultados como el de orden oscilatorio6. Como se puede ver, el metodo RKNh24:5M mejora los resultadosobtenidos aunque el esquema RKNh24:6 sigue siendo el mas eficiente.



Figura 2.8: Sistema de osciladores.

Capıtulo 3

Metodos de paso variable

3.1 Introduccion

En problemas del tipo (2.2) no excesivamente complejos la aproxi-macion de las soluciones mediante la integracion numerica con pasofijo, empleando pasos pequenos con el fin de conseguir gran precision,conduce a soluciones numericas suficientemente buenas. Sin embargo,en muchos problemas practicos las derivadas de la funcion f varıan deforma significativa en magnitud, dando lugar a una gran variacion enlos errores locales que se producen paso a paso (recordemos que estosdependen de las diferenciales elementales). Entonces serıa mas conve-niente emplear metodos que permitieran mantener acotados los erroreslocales adecuando los tamanos de paso a lo largo de la integracion. Eneste contexto surgen los metodos de paso variable, de los cuales losmas empleados con esquemas Runge-Kutta y Runge-Kutta-Nystromson los denominados pares encajados (vease Dormand [19], Dormandet al. [20, 21] y Hairer et al. [54]). Una implementacion eficiente deun metodo de paso variable requiere, por tanto, de un mecanismo decontrol de la amplitud del paso h, que sera mas pequena en aquellaszonas en las que la solucion varıe rapidamente y aumentara en laszonas mas sencillas de integrar. Un par encajado RKNq(p)s constade dos metodos RKN de s etapas, de ordenes p y q, con p 6= q, deforma que las etapas intermedias, ki, son las mismas para ambos. Laintegracion avanza con el metodo de orden q mientras que el metodode orden p solo se utiliza para obtener una estimacion del error localnecesaria, como veremos seguidamente, en el mecanismo de control depaso. Por lo general se consideran pares RKNq(p) con p < q, es decir,

49

50 3. Metodos de paso variable

se aplica el modo conocido como extrapolacion local (vease Dormand[19] y Dormand et al. [20, 21]). En este caso se utiliza la aproximacionde orden mas alto (en general mas precisa) para avanzar en la inte-gracion, y el metodo auxiliar de orden p para obtener una estimaciondel error local. Como veremos a continuacion, dicha estimacion no serefiere al error local cometido por el metodo con el que se efectua laintegracion, sino al cometido por el metodo de orden mas bajo. Estoresulta ventajoso, porque se pueden minimizar los coeficientes de er-ror del metodo de orden q (con el fin de obtener un metodo optimo)sin que se perjudique con ello la estimacion del error. A lo largo deesta seccion veremos ademas que criterios se han de seguir para quela estimacion del error local conseguida con el metodo de orden p sealo mas fiable posible. Consideremos un par RKNq(p)s explıcito conp < q

yn+1 = yn + hnφ(xn, yn, y′n, hn),

y′n+1 = y′n + hnφ′(xn, yn, y′n, hn),

yn+1 = yn + hnφ(xn, yn, y′n, hn),

y′n+1 = y′n + hnφ(xn, yn, y′n, hn),

donde

φ(xn, yn, y′n, hn) = y′n + hn

s∑

i=1

ˆbiki,

φ′(xn, yn, y′n, hn) =

s∑

i=1

biki,

φ(xn, yn, y′n, hn) = y′n + hn

s∑

i=1

biki,

φ′(xn, yn, y′n, hn) =

s∑

i=1

biki,

siendo las s etapas intermedias

ki = f

xn + cihn, yn + cihny

′n + h2

n

i−1∑

j=1

aijkj

,

con i = 1, . . . , s y c1 = 0. En las expresiones anteriores yn y y′n sonaproximaciones a la solucion y su derivada en el punto xn propor-

3.1. Introduccion 51

cionadas por las formulas de orden q; yn e y′n son las aproximacionesproporcionadas por las formulas de orden p y hn = xn+1 − xn.

Si la magnitud del error local se intenta mantener por debajo deuna tolerancia Tol, y el valor E representa la estimacion del maximoerror local cometido en las aproximaciones a la solucion y su derivada,el mecanismo de cambio de paso funciona como sigue

• Si E ≥ Tol, la longitud de paso hn resulta demasiado grandey se rechaza la ultima aproximacion, yn+1, y

′n+1, que se calcula

otra vez a partir de la anterior disminuyendo el tamano de paso.La longitud del paso viene dada por la formula

hn+1 = Fac · hn ·(

Tol

E

)1/(p+1)

, (3.1)

siendo Fac un factor de seguridad (vease Dormand [19], y Dor-mand et al. [20, 21]) que oscila entre 0.75 y 0.95 y que modera loscambios de paso. Tambien se suele introducir un paso maximohmax y uno mınimo hmın de modo que la expresion anterior en lapractica se usa como sigue

hn+1 = max

hmın, mın

hmax, Fac · hn ·

(Tol

E

)1/(p+1)

.

De esta forma se evitan tamanos de paso excesivamente grandes,que darıan lugar a errores de desbordamiento, o excesivamentepequenos, que producirıan un incremento inacceptable de loserrores de redondeo. que llevarıan a rechazos posteriores.

• Si E < Tol, la longitud de paso hn es suficientemente pequenay se acepta el ultimo paso dado. Se avanza un paso, desde xn+1

al punto xn+2 = xn+1 + hn+1, con hn+1 dado por (3.1).

Denotando por δn+1 y δ′n+1 las diferencias

δn+1 = yn+1 − yn+1,

δ′n+1 = y′n+1 − y′n+1,

la estimacion E se calcula como

E = max(||δn+1||, ||δ′n+1||).


Nota 3.1.1 Se puede elegir cualquier norma, aunque nosotros uti-lizaremos la norma euclıdea 2

Nota 3.1.2 En cuanto a la estimacion del error, se puede estimar elerror absoluto, relativo o ponderarlo de manera distinta en cada una delas componentes segun el problema considerado. Tambien es posibleestimar solo el error cometido al aproximar la posicion E = ||δn+1||aunque los resultados suelen ser peores (vease Dormand et al. [20, 21]).2

Nota 3.1.3 La formula de cambio de paso considerada en (3.1) seobtiene tratando de controlar que el error por paso se mantenga pordebajo de la tolerancia fijada. Otra alternativa serıa tratar de con-trolar el error por unidad de paso como se sugiere en Lambert [69].2

En realidad δn+1 y δ′n+1 son estimaciones de los errores locales cometi-dos por el metodo de orden p y no del metodo de orden q con el queavanzamos en la integracion pues

δn+1 = yn+1 − yn+1 = (y(xn + hn)− yn+1)− (y(xn + hn)− yn+1)

= en+1 + O(hq+1) = O(hp+1),

δ′n+1 = y′n+1 − y′n+1 = (y′(xn + hn)− y′n+1)− (y′(xn + hn)− y′n+1)

= e′n+1 + O(hq+1) = O(hp+1),

donde en+1 y e′n+1 representan los errores locales para el metodo deorden p. Para un buen funcionamiento del codigo es deseable que lasestimaciones del error del metodo de orden bajo sean mayores quela del metodo de orden alto. Teniendo en cuenta que los errores detruncacion local para un metodo de orden m para las aproximacionesa la solucion y su derivada se pueden escribir (vease Dormand [19])respectivamente

∞∑

i=m+1

hini∑

j=1

τ(i)j F

(i)j ,

∞∑

i=m+1

hini∑

j=1

τ′(i)j F

(i+1)j ,

es claro que

δn+1 =∞∑

i=p+1

hini∑

j=1

(τ(i)j − τ

(i)j )F

(i)j , (3.2)

δ′n+1 =∞∑

i=p+1

hini∑

j=1

(τ′(i)j − τ

′(i)j )F

(i+1)j . (3.3)

3.1. Introduccion 53

Una vez obtenido el par encajado RKNq(p) conviene establecer unaserie de criterios para elegir los parametros libres de forma que seobtenga un buen par encajado (vease Dormand et al. [20]). Nos in-teresa por un lado que el metodo de orden q sea optimo y por otroque la estimacion del error sea lo mas fiel posible. Esto se traduce enlo siguiente:

1. Puesto que la integracion avanza con la formula de orden q yel correspondiente error local se comporta como O(hq+1) parecelogico intentar minimizar los coeficientes que acompanan a hq+1.Considerando que todas las diferenciales elementales tienen lamisma contribucion al error lo que se trata de hacer es

A(q+1) = ||τ (q+1)||, A′(q+1) = ||τ ′(q+1)||,

tan pequenos como sea posible.

2. Puesto que la formula (3.1) se basa en que el estimativo seaproporcional a hp+1, habra que pedir que en las estimaciones delerror, tanto para la solucion como para la derivada, dominen losterminos en hp+1. Teniendo en cuenta (3.2) y (3.3) bastara conpedir que

C(p+1) =||τ (p+2) − τ (p+2)||

||τ (p+1)|| , C′(p+1) =

||τ ′(p+2) − τ′(p+2)||

||τ ′(p+1)|| ,

sean lo mas pequenos posibles.

3. Se ha de pedir ademas que en el metodo de orden p dominenlos terminos en hp+1 frente a aquellos en hp+2. Esto se consigueminimizando

B(p+2) =||τ (p+2)||||τ (p+1)|| , B

′(p+2) =||τ ′(p+2)||||τ ′(p+1)|| .

De esta forma conseguimos que las dos formulas sean suficiente-mente distintas, ya que es muy habitual elegir q = p + 1.

4. Por ultimo como recomendacion general, hay que tomar valorespara los coeficientes no demasiado grandes para evitar los posi-bles errores de redondeo.


En las siguientes secciones trataremos de extender las ideas expuestaspara metodos RKN a los metodos de tipo RKNh2 que hemos intro-ducido en el capıtulo anterior. Siguiendo la notacion introducida de-notaremos estos pares por RKNh2q :q′(p :p′) siendo q y p el orden porlas formulas de orden mayor y menor respectivamente conseguido paraun problema general y q′ y p′ los ordenes oscilatorios correspondientes.

3.2 Construccion de un par encajado

RKNh24:6(3:4)

Utilizando las ideas de la seccion anterior, construiremos un par queconstara de dos formulas RKNh2: una de ellas de orden 4 y ordenoscilatorio 6 que sera la que usaremos para hacer avanzar la integraciony otra formula de orden 3 y orden oscilatorio 4 que emplearemos paraestimar el error. El metodo de orden 4 es el obtenido en la seccion2.2.2 cuyos coeficientes son los de la Tabla 2.2, que como vimos es elunico metodo de tipo RKNh2 con orden oscilatorio 6. Teniendo encuenta las condiciones de orden de la seccion 2.3.3, para obtener laformula de orden 3 con orden oscilatorio 4 sera necesario resolver elsiguiente sistema de ecuaciones:

b1 + b2 + b3 = 1/2,

b2c2 + b3c3 = 1/6,

b∗1 + b∗2 + b∗3 = (b2c22 + b3c

23 − 1/12)/2,

b1 + b2 + b3 = 1,

b2c2 + b3c3 = 1/2,

b2c22 + b3c

23 = 1/3,

b∗1 + b∗2 + b∗3 = 0,

b∗2c2 + b∗3c3 = b3a32c2 − 1/24.

Consideraremos las condiciones de suma de fila (2.17) y (2.18). Sigu-iendo la filosofıa de los pares RKNq(p) de la seccion precedente, loscoeficientes aij y ci coinciden con los de la formula de orden alto. Re-solviendo el sistema anterior resulta una familia de metodos con cuatroparametros libres. De forma analoga a los pares RKNq(p) trataremosahora de que estos parametros hagan mınimos los correspondientes

3.3. Experimentos numericos 55

C(4), C′(4), B(5) y B

′(5) buscando que el estimativo sea proporcionala h4 y que en la formula de orden menor dominen los terminos enh4 frente a los terminos en h5. Para los metodos considerados lasconstantes son las que siguen:

C(4) =||τ (5) + τ ∗(3) − (τ (5) + τ ∗(3))||

||τ (4) + τ ∗(2)|| ,

C′(4) =

||τ ′(5) + τ′∗(3) − (τ

′(5) + τ′∗(3))||

||τ ′(4) + τ ′∗(2)|| ,

B(5) =||τ (5) + τ ∗(3)||||τ (4) + τ ∗(2)|| ,

B′(5) =

||τ ′(5) + τ′∗(3)||

||τ ′(4) + τ ′∗(2)|| .

Buscamos que los grados de libertad minimicen las funciones

Φ =√

C(4)2 + B(5)2 ,

ϕ =√

C ′(4)2 + B′(5)2 .

Empleando una vez mas la funcion extrema de Maple V 4, los coefi-cientes del metodo son los de la Tabla 3.1. Para estos coeficientes

C(4) = 0.65, B(5) = 0.14, C′(4) = 0.077, B

′(5) = 0.178.

Si se considera como referencia el metodo RKN4(3) propuesto en Dor-mand et al. [20] para el cual los valores de las constantes son

C(4) = 1.02, B(5) = 1.03, C′(4) = 1.19, B

′(5) = 1.20,

vemos que las minimizaciones en nuestro caso han sido hechas de formaeficiente.

3.3 Experimentos numericos

Con el fin de ilustrar el buen comportamiento del par encajado con-struido mostraremos los resultados obtenidos al integrar numericamentetres problemas oscilatorios:


0 aij

ci2

9

2

81

19

24

−1235

18432

779

2048

bi−296317

19416860

17750961

41899540

18231592

199022815

b∗i

−386269

117727488

1

12800

bi1

76

81

164

384

779

b∗i−2

95

6

205

−32

3895

Tabla 3.1: Metodo de orden bajo para el par RKNh24:6(3:4)


1. El oscilador de Duffing (2.68) con ε = 10−3, que es un problemaque hemos venido considerando en los experimentos anteriores.Este no presenta serios problemas en su integracion que den lugara muchos rechazos y a la consecuente reduccion de la amplitudde paso. Por ello el paso mınimo permitido a lo largo de laintegracion ha sido 10−3.

2. El problema del satelite artificial ya considerado (2.69), inte-grando una orbita ecuatorial con alta excentricidad y teniendoen cuenta, como anteriormente, solo la perturbacion debida alarmonico zonal J2. Este problema formulado en variables BF(Burdet-Ferrandiz) presenta gran regularidad ya que las derivadasno varıan rapidamente. El paso mınimo utilizado coincide conel del problema anterior.

3. El problema de Bessel, que tiene por ecuacion:

y′′ + 100y = − y

4x2, (3.4)

cuyos valores iniciales han sido tomados de la solucion casi periodica(y(x) ≈ y(x + 2π/10))

√xJ0(10x),

siendo J0 la funcion de Bessel de primera especie. Este problemaha sido utilizado por varios autores con diversos propositos comopodemos ver en Gautschi [41], van der Houwen y Sommeijer [61]y Neta y Ford [90]. Nosotros lo utilizaremos como test de efi-ciencia para los pares encajados, pues a medida que el extremoinferior de integracion se aproxima a cero aumenta la dificul-tad de integracion, ya que en x = 0 la funcion no es derivabley cerca de el los valores de la derivada difieren enormemente.En este sentido hemos considerado tres intervalos de integracion[1, 10], [0.1, 10] y [0.01, 10] para poner de manifiesto el compor-tamiento de los diferentes metodos a medida que el problemase hace mas difıcil de integrar. El paso mınimo permitido entodos los algoritmos ha sido de 10−4 en la integracion en los dosprimeros intervalos, salvo en el metodo RKGM4(3) para el quese ha considerado un valor de 10−5. En el ultimo intervalo se ha


realizado la integracion con un tamano de paso mınimo de 10−5

en todos los esquemas.

Los metodos utilizados en la integracion numerica de los anterioresproblemas han sido los que siguen:

• Los algoritmos desarrollados en el presente capıtulo implementa-dos tanto en paso fijo como en paso variable. En las graficas nosreferiremos a ellos como RKNh24:6 para el metodo de paso fijoy como RKNh24:6(3:4) para el par encajado. En ambos casos serequieren tres evaluaciones de funcion por paso.

• El par encajado RKN4(3) con cuatro etapas desarrollado porDormand et al. [20]. Dicho metodo tiene propiedad FSAL porlo que, salvo en el primero, el metodo avanza realizando solo tresevaluaciones de funcion por paso.

• El par encajado disenado especialmente para problemas oscila-torios y debido a Gonzalez et al. [44, 47, 48] que requiere cu-atro evaluaciones de funcion por paso. Lo denotaremos porRKGM4(3) en las graficas.

Todas las integraciones han sido realizadas considerando un paso ini-cial h = 0.1. Cuando la eleccion del tamano de paso inicial resultecrıtica , existen alternativas para seleccionar dicho tamano de paso deforma adecuada al problema que se desee integrar (vease Gladwell etal. [43] y Hairer et al. [54]), aunque en los problemas citados no hasido necesario.

Las graficas presentadas son graficas de eficiencia en las que serepresenta el logaritmo decimal del error a lo largo de la integracionfrente al logaritmo decimal del numero de evaluaciones necesarias. Enalgun caso incluiremos ademas graficas de numero de evaluaciones defuncion frente a tiempo de CPU empleado, que en el caso de integra-ciones con metodos de paso variable tambien es una buena forma deilustrar la eficiencia de los metodos. Los calculos han sido realizadoscon precision aritmetica de 18 dıgitos.

La Figura 3.1 muestra la integracion del oscilador de Duffing conε = 10−3 al cabo de 10 revoluciones. Se han tomado tolerancias quevarıan de 10−3 a 10−7 para el metodo RKN4(3), de 10−4 a 10−14 para elesquema RKGM4(3) y de 10−3 a 10−13 para el codigo RKNh24:6(3:4).



Para el algoritmo RKNh24:6 se han empleado tamanos de paso en-tre 1/2 y 1/28. La graficas ponen de manifiesto que el par enca-jado RKNh24:6(3:4) resulta ser mucho mas eficiente que los metodosRKGM4(3) y RKN4(3). Las diferencias son aun mayores si represen-tamos el tiempo de CPU empleado en realizar las integraciones. Comovemos en la Figura 3.2, el esquema RKNh24:6(3:4) requiere un costecomputacional en tiempo de CPU mucho menor que los otros dos algo-ritmos, especialmente que el metodo RKGM4(3). Este ultimo, ademasde emplear una evaluacion de funcion mas por paso, tiene unos coe-ficientes que dependen de h de forma no tan sencilla como el metodoque hemos desarrollado y recalcularlos cada vez que el tamano de pasovarıa, supone un coste computacional nada despreciable para proble-mas con funciones no excesivamente caras de evaluar. Volviendo sobrela Figura 3.1, si comparamos los metodos RKNh24:6 y RKNh24:6(3:4)observamos que el esquema implementado en paso fijo presenta unosresultados ligeramente mas precisos que el par encajado. Esto puedeser debido, como ya apuntabamos anteriormente, al hecho de que este



problema no presenta dificultades de integracion y por ello un buenmetodo implementado en paso fijo deberıa ser suficiente para obtenerbuenas aproximaciones.

En la Figura 3.3 observamos los resultados de integrar el problemadel satelite artificial con e = 0.99. En este problema las toleranciasempleadas varıan de 10−3 a 10−8 para el metodo RKN4(3), de 10−3

a 10−14 para el esquema RKGM4(3) y de 10−3 a 10−12 para el algo-ritmo RKNh24:6(3:4). Para el esquema en paso fijo hemos utilizadotamanos de paso que oscilan entre 1/2 y 1/27. En este caso el metodoRKNh24:6(3:4) presenta los mejores resultados, proporcionando solu-ciones mas precisas que los otros dos pares encajados. Cuando no serequiera mucha precision, el metodo implementado en paso fijo empleamenos evaluaciones de funcion que el correspondiente metodo de pasovariable. Sin embargo, este ultimo proporciona resultados mas aprox-imados cuando se requiera una precision mayor, aunque la diferenciasigue siendo mınima. De nuevo nos enfrentamos a un problema deno excesiva dificultad para ser integrado en paso fijo. La variacion en



el tamano de paso no es importante, de modo que los dos esquemasse comportan de modo muy similar. Como vemos en la Figura 3.4la ventaja de nuestros metodos frente a los esquemas RKGM4(3) yRKN4(3) en tiempo de CPU es clara.

En las Figuras 3.5, 3.6 y 3.8 se tienen los resultados de integrarel problema de Bessel en los intervalos [1, 10], [0.1, 10] y [0.01, 10].Las tolerancias para la integracion en el primer intervalo varıan de10−3 a 10−7 para el metodo RKN4(3), de 10−3 a 10−15 para el es-quema RKGM4(3) y de 10−3 a 10−12 para el metodo RKNh24:6(3:4).En el segundo intervalo las tolerancias empleadas varıan hasta 10−14

para el metodo RKGM4(3); para el resto de codigos las toleranciasutilizados coinciden con los del intervalo [1, 10]. En el ultimo inter-valo se han utilizado valores de tolerancias entre 10−3 y 10−7 para elmetodo RKN4(3), y entre 10−3 y 10−14 para los esquemas RKGM4(3)y RKNh24:6(3:4). En los tres casos, se han empleado tamanos de pasoque oscilan entre 1/25 y y 1/211 para el codigo RKNh24:6.



Como se puede apreciar en la Figura 3.5, en el intervalo [1, 10]los metodos RKNh24:6(3:4) se muestran menos eficientes que el es-quema RKGM4(3) cuando se requieran soluciones no demasiado pre-cisas. Sin embargo, para errores menores los metodos RKNh24:6(3:4)y RKNh24:6 muestran un comportamiento muy similar, proporcio-nando los mejores resultados. En tiempo de CPU nuestros metodoaventajaran aun mas, como hemos visto en los problemas anteriores,al metodo RKGM4(3). En la Figura 3.6 se pone de manifiesto que enel intervalo [0.1, 10] el metodo RKGM4(3) presenta unos resultados lig-eramente mejores que los esquemas RKNh24:6(3:4) y RKNh24:6. Noobstante, como se puede ver en la Figura 3.7, el metodo RKGM4(3)requiere un coste en tiempo de CPU mucho mayor. Ademas, estealgoritmo requiere tamanos de paso menores para obtener resultadoscomparables.

En estos dos intervalos, podemos observar que el comportamientodel metodo de paso fijo es muy similar al del correspondiente metodode paso variable cuando se requieran los soluciones mas precisas. Esto


Figura 3.5: Problema de Bessel. x ∈ [1, 10]

puede ser debido a que el numero de rechazos en la integracion en pasovariable es pequena y por ello el comportamiento esta proximo al delos metodos de paso fijo. Sin embargo, para obtener estos resultados,ha sido necesario integrar el problema en paso fijo con pasos menoresque en los problemas anteriores. Por el contrario, como muestra laFigura 3.8 correspondiente a la integracion del problema de Bessel en[0.01, 10], cuando el extremo inferior del intervalo esta mas proximoa cero, el metodo de paso fijo deja de tener un comportamiento com-parable con los algoritmos de paso variable RKN4(3), RKNh24:6(3:4)y, especialmente, RKGM4(3). Este ultimo es el que proporciona losmejores resultados. No obstante, el par RKNh24:6(3:4) conserva laventaja frente al par RKGM4(3) de que el coste en tiempo de CPU esbastante menor (Figura 3.9).


Figura 3.6: Problema de Bessel. x ∈ [0.1, 10]

Capıtulo 4

Metodos RKNh2 de orden alto

4.1 Introduccion

En multitud de situaciones es necesario obtener la aproximacion ala solucion del problema con gran precision. En estos casos el usode metodos de orden no demasiado alto, como los expuestos en loscapıtulos precedentes, pueden llevar al uso de amplitudes de paso ex-cesivamente pequenas que provocan un gasto computacional consider-able. Ademas, al reducir el paso excesivamente los errores de redondeodominan a los de truncacion local, por lo que hay ciertas barreras a laprecision que se puede alcanzar con un metodo de orden bajo (veaseDormand [19]). Solamente en aquellos casos en los que se requiera unmoderado error puede utilizarse una formula de orden bajo. Si no,es preferible el uso de esquemas de orden alto. Mas aun, como yajustificabamos en la seccion 3.1, la integracion numerica de muchosproblemas hace necesaria la implementacion de los metodos en pasovariable. La obtencion de los metodos de paso fijo RKNh2p :q aunqueteoricamente clara, nos lleva a tratar con formulas y calculos cada vezmas complicados. A medida que aumentamos el orden de los metodosresulta sumamente ventajoso el uso de representaciones graficas quenos permitan obtener de forma sistematica las ecuaciones de orden ylas correspondientes constantes de error. Con este fin, hemos tomadocomo referencia la teorıa de arboles con raız desarrollada tanto parametodos Runge-Kutta, como para Runge-Kutta-Nystrom y de la quepodemos encontrar un profundo analisis en Butcher [6], Hairer et al.[54] y Hairer y Wanner [55]. Esta teorıa, modificada convenientementepara los metodos que nos ocupan, nos permitira obtener las ecuaciones

69

70 4. Metodos RKNh2 de orden alto

y constantes de error para conseguir un par encajado RKNh2 de ordenelevado.

4.2 Teorıa de arboles para los metodos

RKNh2

4.2.1 Arboles especiales de Nystrom

Antes de comenzar con esta teorıa trataremos de motivar la con-struccion de estos arboles con raız. Partiendo del problema (4.3), con-siderabamos los metodos RKNh2 de orden p y tratabamos de aprox-imar las derivadas de la funcion f mediante evaluaciones de funcionde la forma siguiente:

p−2∑

j=0

hjf(j)0

(j + 2)!≈

s∑

i=1

(bi + h2ω2b∗i )ki, (4.1)

p−1∑

j=0

hjf(j)0

(j + 1)!≈

s∑

i=1

(bi + h2ω2b∗i )ki, (4.2)

en las expresiones de la solucion y la derivada respectivamente. Desar-rollando en serie de Taylor la segunda parte de las expresiones anteri-ores e identificando terminos semejantes, llegabamos a las ecuacionesde orden p que habrıan de ser resueltas. Debido a los coeficientes adi-cionales que presentan los metodos que venimos desarrollando frentea los codigos RKN clasicos, para el problema particular f = −ω2ypodıamos incrementar el orden del metodo hasta q, obteniendose asıalgoritmos que integran el problema del oscilador perturbado (2.1) deforma mas eficiente que los algoritmos clasicos. De lo que se trataahora es de evitar el proceso anterior para llegar a tales ecuacionesy, por tanto, de dar una manera sistematica de obtener tanto lasderivadas de la funcion f como de los valores ki. Esto lo haremosutilizando la ya mencionada teorıa de arboles especiales de Nystromcon raız. Dichos arboles facilitaran ası mismo la obtencion de expre-siones para el error de truncacion local y las constantes de error. Unavez hecho esto para un problema general, concretaremos para el casoparticular del oscilador no perturbado con el fin de obtener metodoscon orden oscilatorio q.

4.2. Teorıa de arboles para los metodos RKNh2 71

Comencemos recordando los arboles de Nystrom con raız. Paraello consideremos el sistema autonomo de ecuaciones diferenciales

(yJ)′′ = fJ(y1, . . . , yn), (4.3)

donde el superındice J denota la J-esima componente del correspondi-ente vector. La variable x se puede ajustar al sistema como x′′ = 0, porello no supone restriccion de generalidad suponer (4.3) independientede x.

Definicion 4.2.1 Un arbol especial de Nystrom t con raız de orden qes un grafo con q nodos de dos tipos, gordos y delgados, unidos entresı. El del nivel anterior a uno fijo se llama padre de este y el es suhijo. Ademas se verifican las siguientes condiciones:

• La raız es siempre gorda.

• Un nodo delgado puede tener a lo sumo un hijo que debe sergordo.

• Los nodos gordos solo pueden tener hijos delgados.

2

Asociadas a todo arbol especial de Nystrom tenemos las siguientesfunciones

1. ρ(t), conocida como orden de t, es el numero de nodos.

2. α(t) es el numero de etiquetados distintos para un mismo arbol.

3. γ(t), conocida como funcion densidad, es el producto de ρ(t) ytodos los ordenes de los arboles que aparecen si las raıces, unadetras de otra, se van quitando de t.

4. F J(t)(y), tambien llamada diferencial elemental, es la suma deun producto de expresiones de la forma

∂rfJ

∂yK . . .(y) , y′K .

En lo que sigue emplearemos para las derivadas parciales de fJ

la notacion fJKL.... Un factor del tipo fJ

K · fK aparece si el nodo


gordo j esta conectado vıa uno delgado con su hijo k. Un factordel tipo fJ

K ·y′K aparece si k es el ındice de un nodo final delgado.Por tanto, la derivacion con respecto a x consiste en anadir unarama con un nodo delgado en cada nodo gordo y una rama conun nodo gordo en cada nodo delgado final. De este modo sevan obteniendo sucesivamente los distintos arboles de orden q apartir de los de orden q − 1. Las etiquetas indican el orden degeneracion de los nodos siguiendo este procedimiento.

5. Φj(t), llamado tambien peso elemental, es la suma extendida atodos los nodos gordos salvo la raız j y con un termino generalque es un producto con factores que pueden ser de dos tipos: aij

si el nodo gordo i tiene un nieto grueso j, y cki si el nodo gordo

i tiene k hijos delgados finales.

Representaremos por SNTq (Special Nystrom Trees) al conjunto dearboles especiales de Nystrom con raız de orden q y por LSNTq (La-belled Special Nystrom Trees) al conjunto de arboles especiales conraız etiquetados de orden q.

En la Figura 4.1 hemos representado todos los SNTq con q menoro igual que 5 y las correspondientes funciones asociadas.

4.2.2 Derivadas de la funcion f

Derivando sucesivamente respecto a x cada componente fJ , vamosobteniendo

(fJ)(1) =∑

K

fJKy′K0 ,

(fJ)(2) =∑

K,L

fJKLy′K0 y′L0 +

∑

K

fJKfK

0 ,

(fJ)(3) =∑

K,L,M

fJKLMy′K0 y′L0 y′M0 + 3

∑

K,L

fJKLfKy′L0 +

∑

K,L

fJKfK

L y′L0 ,

. . .

Teorema 4.2.2 Se satisface la siguiente relacion

(fJ)(q) =∑

t∈SNTq+1

α(t)F J(t)(y) =∑

t∈LSNTq+1

F J(t)(y).


t

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

t11

t12

t13

t ρ(t)

1

2

3

3

4

4

4

5

5

5

5

5

5

1

1

1

1

1

3

1

1

6

3

4

1

1

α(t)

1

2

3

6

4

8

24

5

10

20

30

60

120

γ(t) F J(t)(y) Φj(t)

fJ

∑

K

fJKy′K

∑

K,L

fJKLy′Ky′L

∑

L

fJLfL

∑

K,L,M

fJKLMy′Ky′Ly′M

∑

L,M

fJLMy′MfL

∑

L,M

fJLfL

My′M

∑

K,L,M,P

fJKLMP y′Ky′Ly′My′P

∑

L,M,P

fJLMP y′Ly′MfP

∑

L,M

fJLMfLfM

∑

L,P

fJLMfL

P y′My′P

∑

L,P,M

fJLfL

MP y′My′P

∑

L,P

fJLfL

P fP

1

cj

c2j

∑

l

ajl

c3j

∑

l

cjajl

∑

l

ajlcl

c4j

∑p

c2jajp

∑

l,m

ajlajm

∑

l

cjajlcl

∑

l

ajlc2l

∑

l,p

ajlalp

sj

sjAAqk

sjAAqk¢¢ql

sjllqk,,

sl

sjQQqk ql

´qm

sjllq k,,

,,qmsl

sjllq k,,

slllqm

sjQQqk

AAql¢¢qm

´qp

sjQQqk´spql

´qm

sjQQqk

´qp¦¦

slEEsm

sjllq k,,

,,qm

slllqp

sjllq k,,

slllqm

,,qp

sjllq k,,

slllqm,,

sp

Figura 4.1: SNT hasta orden 5.


Demostracion:Para q = 1, 2, 3 basta comparar las derivadas obtenidas anteriormentecon los correspondientes arboles de ordenes 2, 3 y 4 de la Figura4.1. Para valores q ≥ 4 bastara con seguir un sencillo razonamientoinductivo como el que se puede ver en Hairer et al. [54]. Para obtenerla derivada de orden q se han de derivar los correspondientes arbolesde dicho orden y geometricamente implica anadir una nueva rama conuna nueva letra en cada nodo del modo comentado anteriormente.Siguiendo este proceso es claro que todos los LSNT de orden q + 1aparecen en la derivada q-esima una sola vez. Agrupando todos losterminos con identicas diferenciales elementales obtenemos finalmentela expresion de la derivada q-esima. Esto equivale a que los SNT deorden q + 1 aparezcan multiplicados por α(t). 2

El teorema anterior nos proporciona una regla general para obtenerderivadas de cualquier orden para la funcion f .

4.2.3 Derivadas de los valores ki

Comenzaremos por reescribir un metodo RKNh2 de la forma siguiente:

gJ1 = yJ

0 ,

gJi = yJ

0 + cihy′J0 + h2∑

j

aijfJ(gj), i > 1,

kJi = fJ(gi),

yJ1 = yJ

0 + hy′J0 +s∑

i=1

(bi + h2(ωJ)2b∗i )kJi , (4.4)

y′J1 = y′J0 + hs∑

i=1

(bi + h2(ωJ)2b∗i )kJi . (4.5)

A la hora de calcular las derivadas de ki es necesario tener encuenta que para cualquier funcion Φ(h) se verifican las relaciones

(hΦ(h))(q) |h=0 = q (Φ(h))(q−1) |h=0, (4.6)(h2Φ(h)

)(q) |h=0 = q(q − 1) (Φ(h))(q−2) |h=0, (4.7)


que se prueban facilmente sin mas que aplicar la formula de Leibniz.Con estas relaciones es sencillo comprobar que

(gJi )(1)|h=0 = ciy

′J0 ,

(kJi )(1)|h=0 =

∑

K

fJK(gi)(g

Ki )(1)|h=0 = ci

∑

K

fJKy′K0 ,

(gJi )(2)|h=0 = 2

∑

j

aijfJ ,

(kJi )(2)|h=0 = c2

i

∑

K,L

fJKLy′K0 y′L0 + 2

∑

J,K

aijfJKfK ,

(gJi )(3)|h=0 = 6

∑

j,K

aijcjfJKy′K0 ,

(kJi )(3)|h=0 = c3

i

∑

K,L,M

fJKLMy′K0 y′L0 y′M0 + 6ci

∑

j,K,L

aijfJKLfKy′L0

+ 6∑

j,K,L

aijcjfJKfK

L y′L0 ,

(gJi )(4)|h=0 = 12

∑

j,K,L

aijc2jf

JKLy′K0 y′L0 + 24

∑

j,l,K

aijajlc2jf

JKfK ,

(kJi )(4)|h=0 = c4

i

∑

K,L,M,N

fJKLMNy′K0 y′L0 y′N0 y′M0

+ 12c2i

∑

j,K,L,M

aijfJKLMfKy′L0 y′M0

+ 24ci

∑

j,K,L,M

aijcjfJKLfK

My′M0 y′L0

+ 12∑

j,l,K,L

aijajlc2jf

JKLfKfL

+ 12∑

j,K,L,M

aijc2jf

JKfJ

KfKLMy′L0 y′M0

+ 24∑

j,l,K,L

aijajlc2jf

JKfK

L fL,

. . .

Aunque lo hemos omitido por abreviar la notacion, se entiende quecada fJ y fJ

KL... estan evaluadas en h = 0. En lo sucesivo tambienevitaremos especificarlo en las derivadas de gJ

i y kJi .

Teorema 4.2.3 Se satisface la siguiente relacion

(gJi )(q+1) = (q + 1)

∑

t∈SNTq

α(t)γ(t)∑

j

aijΦj(t)FJ(t)(y)


= (q + 1)∑

t∈LSNTq

γ(t)∑

j

aijΦj(t)FJ(t)(y). (4.8)

Demostracion:Para demostrar la relacion anterior procederemos por induccion sobreq. La formula ha quedado probada hasta q = 3. Aplicando (4.7) paraderivar gJ

i obtenemos que

(gJi )(q+1) = (q + 1)q

∑

j

aij(fJ(gj))

(q−1).

Ahora utilizaremos la formula de Faa di Bruno (vease Hairer et al.[54]) que nos proporciona la siguiente relacion. Para q ≥ 1 resulta

(fJ(g))(q−1)|h=0 =∑

t∈LSq

∑

K1...Km

fJK1...Km

(g)(gK1)(δ1) . . . (gKm)(δm).

(4.9)donde LSq es el conjunto de todos los arboles con raız y q nodos quesolo tienen ramificaciones en la raız, m es el numero de ramas quesalen de la raız y δ1, . . . , δm son los numeros de nodos de cada rama,tales que q = 1 + δ1 + · · ·+ δm.

Utilizando (4.9) e insertando las derivadas (gKsj )(δs) con δs < q

obtenemos, tras reagrupar terminos

(gJi )(q+1) = (q + 1)q

∑

t∈LSq

∑

t1∈LSNTδ1−1

· · · ∑

tm∈LSNTδm−1

δ1 · · · δmγ(t1) · · · γ(tm) ·∑

j

aij

∑

k1

ajk1Φk1(t1) · · ·∑

km

ajkmΦkm(tm) (4.10)

∑

K1...Km

fJK1...Km

(y)FK1(t1)(y) · · ·FKm(tm)(y).

La principal dificultad con que nos encontramos ahora es ver que acada (m + 1)-upla (t, t1, . . . , tm) con t ∈ LSq y ts ∈ LSNTδs−1 lecorresponde un arbol etiquetado τ ∈ LSNTq tal que

γ(τ) = q · δ1 · · · δm · γ(t1) · · · γ(tm) (4.11)

F J(τ)(y) =∑

K1,...,Km

fJK1...Km

(y)FK1(t1)(y) · · ·FKm(tm)(y) (4.12)

Φj(τ) =∑

k1,...,km

ajk1 . . . ajkmΦk1(t1) · · ·Φkm(tm). (4.13)


Esta correspondencia puede verse considerando que el arbol τ se ob-tiene si las ramas de t se reeemplazan por los arboles t1, . . . , tm y lascorrespondientes etiquetas se toman de forma natural, por ejemplo,conservando el orden. De esta forma, todos los arboles t ∈ LTq apare-cen exactamente una vez. Entonces, insertando (4.11)–(4.13) en (4.10)se obtiene el resultado buscado. 2

Teorema 4.2.4 Las derivadas de ki satisfacen la siguiente relacion

(kJi )(q−1) =

1

q

∑

t∈SNTq

α(t)γ(t)Φj(t)FJ(t)(y) =

1

q

∑

t∈LSNTq

γ(t)Φj(t)FJ(t)(y).

Demostracion:Teniendo en cuenta que kJ

i = fJ(gi), llevando (4.8) a (4.9) resulta

(fJ(g))(q−1) =∑

t∈LSq

∑

t1∈LSNTδ1−1

· · · ∑

tm∈LSNTδm−1

δ1 · · · δmγ(t1) · · · γ(tm) ·∑

k1

ajk1Φk1(t1) · · ·∑

km

ajkmΦkm(tm)

∑

K1...Km

fJK1...Km

(y)FK1(t1)(y) · · ·FKm(tm)(y).

La misma correspondencia a la que hicimos referencia en el Teorema4.2.3 nos permite concluir la demostracion. 2

4.2.4 Condiciones de orden. Error de truncacionlocal

En la presente seccion aplicaremos la teorıa de arboles anteriormenteexpuesta a los metodos de RKNh2 con el fin de encontrar las condi-ciones de orden para conseguir orden p. Ası mismo, obtendremos unaexpresion para el error de truncacion local en terminos de las con-stantes de error que pueden calcularse gracias a los ya mencionadosarboles especiales de Nystrom con raız.

Teorema 4.2.5 Un metodo RKNh2 es de orden p cuando integra elproblema (4.3) si se satisfacen las siguientes condiciones de orden:

∑

i

biΦi(t) =1

(ρ(t) + 1)γ(t), ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 1, (4.14)


∑b∗i Φi(t) = 0, ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 3, (4.15)

∑

i

biΦi(t) =1

γ(t), ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p, (4.16)

∑

i

b∗i Φi(t) = 0, ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 2. (4.17)

Demostracion:Segun la Definicion 2.3.5, para que un metodo RKNh2 sea de orden pes preciso que, tanto la solucion exacta como su derivada, coincidancon las correspondientes aproximaciones numericas hasta el terminoen hp.

Aplicando el Teorema 4.2.2 al desarrollo de Taylor de la solucionexacta se obtiene

yJ(x0 + h) =

= yJ0 + hy′J0 + h2

∞∑

j=0

hj

(j + 2)!f

(j)0

= yJ0 + hy′J0 + h2

p−2∑

j=0

hj

(j + 2)!

∑

t∈SNTj+1

α(t)F J(t)(y0) + O(hp+1).

Segun (4.4) para alcanzar orden p bastara entonces obtener el desar-

rollo en serie de Taylor en h = 0 des∑

i=1

(bi + h2(ωJ)2b∗i )kJi e identificar

terminos semejantes para j = 0, . . . , p− 2.

∑

i

(bi + h2(ωJ)2b∗i )kJi =

p−2∑

j=0

hj

j!

(∑

i

bikJi

)(j)

+ (ωJ)2

(h2

∑

i

b∗i kJi

)(j) + O(hp−1).

(4.18)

Aplicando el Teorema 4.2.4

(∑

i

bikJi

)(j)

=1

j + 1

∑

i

bi

∑

t∈SNTj+1

α(t)γ(t)Φi(t)FJ(t)(y0).


Para obtener el segundo termino, aplicamos primero (4.7) y de nuevoel resultado del Teorema 4.2.4:(h2

∑

i

b∗i kJi

)(j)

= j(j − 1)

(∑

i

b∗i kJi

)(j−2)

= j(j − 1)∑

i

b∗i1

j − 1

∑

t∈SNTj−1

α(t)γ(t)Φi(t)FJ(t)(y0)

= j∑

i

b∗i∑

t∈SNTj−1

α(t)γ(t)Φi(t)FJ(t)(y0).

Sustituyendo los resultados anteriores en (4.18) se tiene∑

i


p−2∑

j=0

hj

1

(j + 1)!

∑

i

bi

∑

t∈SNTj+1


+(ωJ)2

(j − 1)!

∑

i

b∗i∑

t∈SNTj−1


+ O(hp−1).

Analogamente, la derivada de la solucion exacta se puede expresar

y′J(x0 + h) = y′J0 + hp−1∑

j=0

hj

(j + 1)!

∑

t∈SNTj+1

α(t)F J(t)(y0) + O(hp+1).

Siguiendo el razonamiento anterior para buscar orden p bastara con

desarrollar ahoras∑

i=1

(bi + h2(ωJ)2b∗i )kJi en serie de Taylor en h = 0:

s∑

i=1


p−1∑

j=0

hj

1

(j + 1)!

∑

i

bi

∑

t∈SNTj+1


+(ωJ)2

(j − 1)!

∑

i

b∗i∑

t∈SNTj−1


+ O(hp−1).

Identificando terminos semejantes, tanto en la solucion exacta co-mo en la derivada de la misma, con los desarrollos obtenidos para las


aproximaciones, llegamos a los sistemas

γ(t)

(j + 1)!

∑

i

biΦi(t) =1

(j + 2)!

para t ∈ SNTj+1 con j = 0, . . . , p− 2,

∑b∗i Φi(t) = 0

para t ∈ SNTj−1 con j = 0, . . . , p− 2,

γ(t)∑

i

biΦi(t) = 1,

para t ∈ SNTj+1 con j = 0, . . . , p− 1,

∑

i

b∗i Φi(t) = 0

para t ∈ SNTj−1 con j = 0, . . . , p− 1.Teniendo en cuenta que ρ(t) = j + 1 para t ∈ SNTj+1, de forma

inmediata se obtienen las condiciones de orden buscadas. 2

Teorema 4.2.6 Consideremos un metodo RKNh2 de orden p con fsuficientemente regular, el error de truncacion local cometido es

yJ1 − yJ(x0 + h) = hp+1

∑

t∈SNTp

τ (p)F J(t)(y0)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTp−2

τ ∗(p−2)F J(t)(y0)

+ O(hp+2),

y′J1 − y′J(x0 + h) = hp+1

∑

t∈SNTp+1

τ ′(p+1)F J(t)(y0)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTp−1

τ ′∗(p−1)F J(t)(y0)

+ O(hp+2)

donde

τ (p) =α(t)γ(t)

p!

(∑

i

biΦi(t)− 1

(p + 1)γ(t)

), t ∈ SNTp


τ ∗(p−2) =α(t)γ(t)

(p− 2)!

∑

i

b∗i Φi(t), t ∈ SNTp−2,

τ ′(p+1) =α(t)γ(t)

(p + 1)!

(∑

i

biΦi(t)− 1

γ(t)

), t ∈ SNTp+1

τ ′∗(p−1) =α(t)γ(t)

(p− 1)!

∑

i

b∗i Φi(t), t ∈ SNTp−1.

Demostracion:Usando los desarrollos de Taylor obtenidos previamente, podemos es-cribir yJ

1 − yJ(x0 + h) e y′J1 − y′J(x0 + h) de la siguiente forma:

yJ1 − yJ(x0 + h) =

∞∑

j=2

hj

∑

t∈SNTj−1

τ (j−1)F J(t)(y0) (4.19)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTj−3

τ ∗(j−3)F J(t)(y0)

+ O(hp+2),

y′J1 − y′J(x0 + h) =∞∑

j=1

hj

∑

t∈SNTj

τ ′(j)F J(t)(y0) (4.20)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTj−2

τ ′∗(j−2)F J(t)(y0)

+ O(hp+2),

donde

τ (j−1) =α(t)γ(t)

(j − 1)!

(∑

i

biΦi(t)− 1

jγ(t)

), t ∈ SNTj−1

τ ∗(j−3) =α(t)γ(t)

(j − 3)!

∑

i

b∗i Φi(t), t ∈ SNTj−3,

τ ′(j) =α(t)γ(t)

j!

(∑

i

biΦi(t)− 1

γ(t)

), t ∈ SNTj

τ ′∗(j−2) =α(t)γ(t)

(j − 2)!

∑

i

b∗i Φi(t), t ∈ SNTj−2.

tomando τ ∗(−1) = τ ∗(0) = τ ′∗(−2) = τ ′∗(−1) = 0.Los coeficientes τ (j), τ ′(j), τ ∗(j) y τ ′∗(j) se denominan constantes de

error. Anulando los terminos en hj con j = 0, . . . , p en (4.19) y (4.20),se obtienen las expresiones del teorema. 2


4.2.5 Arboles para un oscilador no perturbado.Condiciones de orden

Consideremos de nuevo el problema de un oscilador armonico no per-turbado:

(yJ)′′ + (ωJ)2yJ = 0. (4.21)

En este caso fJ = −(ωJ)2yJ y se cumple

fJK = 0, si J 6= K,

fJJ = −(ωJ)2,

fJKLM... = 0, ∀J,K, L, M . . . .

De esta forma los arboles especiales de Nystrom se simplifican con-siderablemente, quedando un unico arbol para cada orden q. Dichoarbol, que denotaremos por tq, es el que solo tiene una ramificacionpor cada nodo. Las correspondientes diferenciales elementales seranentonces:

fJ = −(ωJ)2yJ ,∑

K

fJKy′K = −(ωJ)2y′J ,

∑

K

fJKfK = (ωJ)4yJ ,

∑

KL

fJKfK

L y′L = (ωJ)4y′J ,

· · ·

Es sencillo comprobar mediante un razonamiento inductivo que

F J(t2n)(y) = (−1)n(ωJ)2ny′J ,

F J(t2n−1)(y) = (−1)n(ωJ)2nyJ .

y por lo tanto se satisface la siguiente relacion:

F J(tq)(y) = −(ωJ)2F J(tq−2)(y). (4.22)

Como veremos en los lemas enunciados a continuacion, para los arbolestq las funciones α(tq) y γ(tq) son sencillas y esto simplificara, comoveremos posteriormente, las expresiones de las condiciones de orden.


Lema 4.2.7 Para todo arbol tq con q ≥ 1, se satisface la siguienterelacion

γ(tq) = q!

Demostracion:Por definicion, un arbol tq es aquel con q nodos que tiene solo una ram-ificacion por nodo. Para calcular γ(tq) basta multiplicar ρ(tq) = q porlos ordenes de los arboles que aparecen si las raıces, una detras de otrase van quitando de tq, y ası resultarıan sucesivamente tq−1, tq−2, . . . , t1.Entonces, es claro que

γ(tq) = q · (q − 1) · (q − 2) · · · 1 = q!

y el resultado quedarıa demostrado. 2

Lema 4.2.8 Para todo arbol tq con q ≥ 1, se tiene

α(tq) = 1.

Demostracion:Por construccion, los arboles con una sola ramificacion por nodo soloaparecen una vez por cada orden q y, por tanto, α(tq) = 1. 2

Teorema 4.2.9 Un metodo RKNh2 es de orden p cuando se integrael problema (4.21), si se satisfacen las siguientes condiciones de orden

∑

i

b∗i Φ(tj−2) =∑

i

biΦ(tj)− 1

(j + 1)!, j = 1, . . . , p− 1,

∑

i

b∗i Φ(tj−2) =∑

i

biΦ(tj)− 1

j!, j = 1, . . . , p.

Demostracion:Como ya hemos mencionado con anterioridad, si consideramos el prob-lema del oscilador armonico, para cada conjunto de arboles SNTj conj = 1 · · · p solo resulta un arbol, tj. Por lo tanto, si sustituimos larelacion (4.22) en (4.19) y (4.20), cuando un metodo RKNh2 integra


el problema (4.21) se tiene lo siguiente

yJ1 − yJ(x0 + h) =

∞∑

j=2

hj(τ (j−1)osc − τ ∗(j−3)

osc )F J(tj−1)(y0), (4.23)

y′J1 − y′J(x0 + h) =∞∑

j=1

hj(τ ′(j)osc − τ ′∗(j−2)osc )F J(tj)(y0), (4.24)

donde

τ (j−1)osc =

α(tj−1)γ(tj−1)

(j − 1)!

(∑

i

biΦi(tj−1)− 1

jγ(tj−1)

),

τ ∗(j−3)osc =


(j − 3)!

∑

i

b∗i Φi(tj−3),

τ ′(j)osc =α(tj)γ(tj)

j!

(∑

i

biΦi(tj)− 1

γ(tj)

),

τ ′∗(j−2)osc =


(j − 2)!

∑

i

b∗i Φi(tj−2).

Entonces, para obtener un metodo RKNh2 de orden p para este prob-lema particular las condiciones de orden que se han de satisfacer sonlas que siguen:

τ (j)osc − τ ∗(j−2)

osc = 0, j = 1, . . . , p− 1,

τ ′(j)osc − τ ′∗(j−2)osc = 0, j = 1, . . . , p.

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores los resultados de los Lemas4.2.7 y 4.2.8 se obtienen directamente las condiciones de orden delteorema. 2

Teorema 4.2.10 El error de truncacion local para un metodo RKNh2

de orden p cuando se integra el problema (4.21) es

yJ1 − yJ(x0 + h) = hp+1(τ (p)

osc − τ ∗(p−2)osc )F J(tp)(y0) + O(hp+2),

y′J1 − y′J(x0 + h) = hp+1(τ ′(p+1)osc − τ ′∗(p−1)

osc )F J(tp+1)(y0) + O(hp+2),

donde

τ (p)osc =

∑

i

biΦi(tp)− 1

(p + 1)!,


τ ∗(p−2)osc =

∑

i

b∗i Φi(tp−2),

τ ′(p+1)osc =

∑

i

biΦi(tp+1)− 1

(p + 1)!,

τ ′∗(p−1)osc =

∑

i

b∗i Φi(tp−1).

Demostracion:Es una consecuencia inmediata de imponer las condiciones de ordendel Teorema 4.2.9 en las expresiones (4.23) y (4.24) 2

4.2.6 Condiciones de orden para metodosRKNh2p :q

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones de orden paraobtener metodos del tipo RKNh2 que integren un problema generalcon orden p y ademas alcancen orden oscilatorio q. Como ya hemos co-mentado en diversas ocasiones a lo largo de la memoria, este aumentode orden para el problema del oscilador no perturbado se traducira enun buen comportamiento de estos metodos cuando integren problemasoscilatorios.

Teorema 4.2.11 Las condiciones de orden para obtener un metodoRKNh2p :q, con p < q, son las que siguen:

∑

i

biΦi(t) =1

(ρ(t) + 1)γ(t), ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 1,(4.25)

∑

i

b∗i Φi(t) = 0, ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 3, (4.26)

∑

i

biΦi(t) =1

γ(t), ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p, (4.27)

∑

i

b∗i Φi(t) = 0, ∀t ∈ SNTρ, ρ(t) ≤ p− 2, (4.28)

∑

i

b∗i Φ(tj−2) =∑

i

biΦ(tj)− 1

(j + 1)!, j = p, . . . , q − 1, (4.29)

∑

i

b∗i Φ(tj−2) =∑

i

biΦ(tj)− 1

j!, j = p + 1, . . . , q. (4.30)


Demostracion:Basta aplicar los Teoremas 4.2.5 y 4.2.9 que anulan los terminos hastahp en el error de truncacion local para una funcion f general, y losterminos hasta hq cuando se integra un oscilador no perturbado. Ob-viamente, los terminos en hj con j = 0, . . . , p del error de truncacionlocal se anulan tambien en este caso al imponer las condiciones gen-erales de orden p y solo es necesario satisfacer las condiciones del Teo-rema 4.2.9 para j = p, . . . , q− 1 o j = p + 1, . . . , q segun corresponda.2

Nota 4.2.12 Un caso particular de problema oscilatorio es el ya men-cionado oscilador perturbado, para el que es muy sencillo obtener unaexpresion para el error de truncacion local para un metodo RKNh2p :q,sin mas que tener en cuenta que la funcion que corresponde a dichoproblema, fJ = εJgJ − (ωJ)2yJ , consta de dos sumandos, el segundode los cuales es la funcion correspondiente al oscilador no perturbado.Bastara considerar (4.19) y (4.20) para la parte perturbada y el Teo-rema 4.2.10 para la no perturbada obteniendo finalmente la siguienteexpresion:

yJ1 − yJ(x0 + h) = εJ

∞∑

j=p+1

hj

∑

t∈SNTj−1

τ (j−1)GJ(t)(y0)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTj−3

τ ∗(j−3)GJ(t)(y0)

+∞∑

j=q+1

hj(τ (j−1)osc − τ ∗(j−3)

osc )F Josc(t

j−1)(y0),

y′J1 − y′J(x0 + h) = εJ∞∑

j=p+1

hj

∑

t∈SNTj

τ ′(j)GJ(t)(y0)

+ (ωJ)2∑

t∈SNTj−2

τ ′∗(j−1)GJ(t)(y0)

+∞∑

j=q+1

hj(τ ′(j)osc − τ ′∗(j−2)osc )F J

osc(tj)(y0),


donde

τ (j−1) =α(t)

j!

(jγ(t)

∑

i

biΦi(t)− 1

), t ∈ SNTj−1,

τ ∗(j−3) =α(t)γ(t)

(j − 3)!

∑

i


τ ′(j) =α(t)

(j)!

(γ(t)

∑

i

biΦi(t)− 1

), t ∈ SNTj,

τ ′∗(j−1) =α(t)γ(t)

(j − 2)!

∑

i


τ (j−1)osc =

α(tj−1)

j!

(jγ(tj−1)

∑

i

biΦi(tj−1)− 1

),

τ ∗(j−3)osc =


(j − 3)!

∑

i

b∗i Φi(tj−3),

τ ′(j)osc =α(tj)

j!

(γ(tj−1)

∑

i

biΦi(tj)− 1

),

τ ′∗(j−2)osc =


(j − 2)!

∑

i

b∗i Φi(tj−2),

siendo GJ(t)(y) las diferenciales elementales correspondientes a la funciongJ y F J

osc(tj)(y) las correspondientes a la parte no perturbada. 2

4.2.7 Condiciones simplificadoras

Para obtener un metodo RKNh2p : q con ordenes elevados se requiereresolver un sistema con un gran numero de ecuaciones. Afortunada-mente no todas ellas son independientes, con lo que el numero fi-nal de ecuaciones a satisfacer para imponer un determinado ordenp, se reduce notablemente. Las condiciones simplificadoras que em-plearemos para obtener metodos de orden alto ya han sido ampli-amente utilizadas por otros autores tales como Calvo [7], Calvo ySanz-Serna [8], Dormand et al. [20, 21], Gonzalez [44], Gonzalez et al.[50], Hairer [52, 53], Hairer y Wanner [55] o Hairer et al. [54]. Estascondiciones son las que se obtienen de los lemas que presentamos acontinuacion.


Lema 4.2.13 Si

bi = bi(1− ci) i = 1, . . . , s,

las condiciones (4.25) implican (4.27).


Demostracion:Sea t ∈ SNTρ con orden ρ(t) ≤ p − 1. Sea u ∈ SNTρ con ordenρ(u) = ρ(t) + 1 obtenido al anadir a t un hijo delgado a la raız de t.Como ya indicamos en la definicion de Φi, la expresion cm

k se obtienecuando un nodo grueso k tiene m hijos delgados finales. Por tanto,para los arboles t y u se cumple que Φi(u) = ciΦi(t). Ademas, teniendoen cuenta (4.11), es facil ver que γ(u) = (ρ(t)+1)γ(t)/ρ(t). Entonces,bajo la suposicion del enunciado la conclusion es clara

s∑

i=1

biΦi(t) =s∑

i=1

biΦi(t)−s∑

i=1

biΦi(u) =1

γ(t)− 1

γ(u)=

1

(ρ(t) + 1)γ(t).

2

Nota 4.2.14 Gracias al lema anterior, para encontrar los coeficientesde un metodo RKN resolviendo el sistema correspondiente a las condi-ciones de orden para los coeficientes bi podemos obtener los coeficientesbi a partir de las relaciones del Lema 4.2.13. 2

Lema 4.2.15 Sean t, u ∈ SNT como los de la Figura 4.2, donde laspartes dentro del cırculo se suponen identicas. Entonces, si

i−1∑

j=1

aij =c2i

2i = 2, . . . , s,

las condiciones de orden para t y u son las mismas.Demostracion:A partir de la definicion de Φi(t) se sigue que Φi(t) = Φi(u)/2 yconsiderando (4.11) se llega a que γ(t) = 2γ(u). Ademas ambos arbolestienen el mismo orden. Como consecuencia, bajo la suposicion delenunciado, se obtienen condiciones de orden equivalentes. 2

Lema 4.2.16 Sean t, u ∈ SNT como los de la Figura 4.3, donde laspartes dentro de los cırculos se suponen identicas. Entonces, si

i−1∑

j=1

aijcj =c3i

6i = 3, . . . , s,

las condiciones de orden para t y u son las mismas.


½¼

¾»

½¼

¾». . . . . .q qJJ

q

JJ

t u

Figura 4.2: SNT del Lema 4.2.15.

Demostracion:Siguiendo la demostracion del Teorema 4.2.15 se tiene que Φi(t) =Φi(u)/6 y γ(t) = 6γ(u). A partir de esto la demostracion del teoremaes inmediata. 2

½¼

¾»

½¼

¾». . . . . .q qJJ

qJJ

ii

iiJJPP

t u



i−1∑

j=1

aijc2j =

c4i

12i = 3, . . . , s,

las condiciones de orden para t y u son las mismas.Demostracion:Siguiendo la demostracion del Teorema 4.2.15 se tiene que Φi(t) =Φi(u)/12 y γ(t) = 12γ(u). Y de forma trivial se obtiene el resultadodel teorema. 2


½¼

¾»

½¼

¾». . . . . .q qJJ

qJJ

ii

iiJJPPQQ

t u


Nota 4.2.18 Para ordenes elevados puede ser util para la general-izacion de los lemas anteriores,

i−1∑

j=1

aijcqj =

cq+2i

(q + 2)(q + 1)

para q > 2 (vease Hairer [52, 53], Hairer et al. [54] y Hairer y Wanner[55] para mas detalles). 2

Las condiciones de los lemas 4.2.15, 4.2.16 y 4.2.17 no se puedenaplicar directamente cuando se trata de un metodo explıcito debido aque ciertos coeficientes son nulos por la propia definicion de metodoexplıcito. En ese caso los lemas anteriores se aplican bajo algunascondiciones adicionales como se expone en los lemas que siguen (veaseHairer [52, 53]).


i−1∑

j=1

aijcj =c3i

6i = 3, . . . , s,

y b2 = 0, las condiciones de orden para t y u son las mismas. 2


i−1∑

j=1

aijc2j =

c4i

12i = 3, . . . , s,

y b2 = 0, las condiciones de orden para t y u son las mismas. 2


q qJJ

qJJ

ii

iiJJPP

t u


q qJJ

qJJ

ii

iiJJPPQQ

t u


Lema 4.2.21 Sean t, u ∈ SNT como los de la Figura 4.7 con k + 1ramas saliendo de la raız y con identicas partes dentro de los cırculos.Entonces, si

i−1∑

j=1

aijcj =c3i

6i = 3, . . . , s,

ys∑

i=3

bicki ai2 = 0,

con k = 0, 1, 2, las condiciones de orden para t y u son las mismas. 2

Lema 4.2.22 Sean t, u ∈ SNT como los de la Figura 4.8 con k + 1ramas saliendo de la raız y con identicas partes dentro de los cırculos.Entonces, si

i−1∑

j=1

aijc2j =

c4i

12i = 3, . . . , s,


q qJJ JJ

¤¤,,(( ¤

¤,,((

k k

JJ

qJJ

ii

iiJJPP

t u


ys∑

i=3

bicki ai2 = 0,

con k = 0, 1, 2, las condiciones de orden para t y u son las mismas. 2

q qJJ JJ

¤¤,,(( ¤

¤,,((

k k

q qJJ

qJJ

ii

iiJJPPQQ

t u


Utilizaremos ademas las condiciones simplificadoras que nos propor-ciona el siguiente lema que se emplean con frecuencia en la obtencionde metodos Runge-Kutta-Nystrom de orden elevado (vease Hairer[52, 53]).

Lema 4.2.23 Sean t, u, v, w ∈ SNT como los de la Figura 4.9. En-tonces, si

s∑

i=j+1

biaij = bj

(c2j

2− cj +

1

2

), (4.31)


con j = 1, . . . , s − 1 y se cumplen las condiciones de orden para losarboles t, u y v , entonces se satisfacen tambien las condiciones deorden correspondientes al arbol w. 2

JJ

ii

q

q

JJ

w

qJJ

ii

t

qJJ

ii

u

qJJ

iiPP

v


Demostracion:Antes de probar el resultado del teorema establezcamos algunas rela-ciones entre los arboles t, u, v y w. Llamemos p al orden del arbol t,entonces es claro que

ρ(u) = p + 1, ρ(v) = p + 2, ρ(w) = p + 2.

La funcion densidad de t la podemos escribir como γ(t) = p · c, dondec representa el producto de los ordenes de todos los arboles que apare-cen si las raıces, una detras de otra, se van quitando en t. Comoconsecuencia, se tiene para los arboles u, v y w

γ(u) = (p + 1) · c,γ(v) = (p + 2) · c,γ(w) = (p + 2) · (p + 1) · p · c.


Teniendo en cuenta este resultado, las condiciones de orden para losarboles considerados se pueden escribir como sigue

∑

j

bjΦj(t) =1

p · c, (4.32)

∑

j

bjΦj(u) =1

(p + 1) · c, (4.33)

∑

j

bjΦj(v) =1

(p + 2) · c, (4.34)

∑

j

bjΦj(w) =1

(p + 2) · (p + 1) · p · c. (4.35)

Por otro lado, si Φj(t) es la funcion peso elementalpara el arbol t essencillo ver que

Φj(u) = cjΦj(t), (4.36)

Φj(v) = c2jΦj(t), (4.37)

Φj(w) =∑

k

ajkΦk(t). (4.38)

Tras multiplicar la expresion (4.31) por Φj(t) realizamos la suma en j.Teniendo en cuenta (4.36) y (4.37), y que se satisfacen las condicionesde orden (4.32), (4.33) y (4.34) llegamos a

∑

j

s∑

i=j+1

biaijΦj(t) =1

2

1

(p + 2) · c −1

(p + 1) · c +1

2

1

p · c =

=1

(p + 2) · (p + 1) · p · c.

A partir del anterior resultado y considerando (4.38) obtenemos final-mente

s∑

i=j+1

biΦi(t) =1

(p + 2) · (p + 1) · p · c.

Como aij = 0 siempre que i ≥ j, el anterior sumatorio esta extendidopara los valores de i para los que tiene sentido, entonces (4.35) nospermite afirmar que se satisface tambien la condicion de orden parael arbol w.


Nota 4.2.24 Como se puede ver en Hairer [53], para metodos conordenes muy elevados el Lema 4.2.23 se puede generalizar imponiendo

s∑

i=j+1

bicki aij = bj

(ck+2j

(k + 2)(k + 1)− cj

(k + 1)+

1

(k + 2)

),

para j = 1, . . . , s− 1 y k = 1, 2, . . . 2

4.3 Un metodo RKNh2 de paso variable

y orden 8

A lo largo de esta seccion seguiremos la construccion de un par en-cajado 8(6) a partir de dos formulas RKNh2 utilizandolas en modode extrapolacion local. De este modo avanzaremos con el esquema deorden 8, utilizando el metodo de orden 6 para estimar el error local.Como ya hicimos en los pares 4(3) del capıtulo anterior, buscaremosque el par obtenido alcance ordenes mayores cuando se trata de inte-grar un oscilador no perturbado. Comencemos obteniendo el metodode orden 8. Emplearemos la misma filosofıa y notacion que en lospares 4(3) obtenidos previamente.

4.3.1 Construccion del metodo de orden 8

Aunque se pueden obtener metodos RKNh2 de orden 8 con s = 8etapas, no debemos perder de vista que perseguimos encajar estaformula con un metodo de orden menor para conseguir el par. Porello, nosotros hemos considerado s = 9 para conseguir que los dosmetodos del par encajado fuesen lo mas diferentes posible. Habitual-mente en pares encajados RK y RKN, se construye el par utilizandola propiedad FSAL debida a Dormand y Prince (vease Dormand [19],Dormand et al. [20, 21], Hairer et al. [54] o Lambert [69]). Esta con-siste en anadir una etapa mas solo al metodo de orden bajo imponiendoque la ultima evaluacion de cada paso sea la misma que la primera enel siguiente. Ası, salvo en el primer paso, siempre calcularemos solos evaluaciones de funcion, y no s + 1, que podremos usar en ambasformulas. Es decir, para un metodo RKN de s + 1 etapas se ha de

4.3. Un metodo RKNh2 de paso variable y orden 8 97

cumplir

(k1)n+1 = f(xn+1, yn+1) = f(xn + h, yn + hy′n + h2s+1∑

j=1

ˆbjkj) (4.39)

= f(xn + hcs+1, yn + hcs+1y′n + h2

s∑

j=1

as+1,jkj) = (ks+1)n.

Esto nos lleva a las siguientes condiciones para algunos coeficientes

cs+1 = 1, ˆbs+1 = 0, as+1,j = ˆbj j = 1, . . . , s.

Sin embargo, observando (4.39) la propiedad FSAL implicarıa paralos metodos RKNh2 lo siguiente

s∑

j=1

as+1,jkj =s+1∑

j=1

(ˆbj + h2ω2 ˆb∗j)kj

y entonces los coeficientes as+1,j dependerıan de h2.Buscamos por tanto un metodo RKNh2 con s = 9 etapas que

alcance orden 8 al integrar numericamente el problema (2.2). Impon-

dremos ˆb9 = b9 = 0. En un primer intento obtuvimos un metodo conorden oscilatorio 9, pero no proporcionaba resultados satisfactorioscomparado con ciertos metodos RKN de orden 8 que mencionaremosmas adelante. Este motivo nos llevo a buscar metodos con el mayor or-den oscilatorio posible, que resulto ser 11. Para ello fue preciso resolverel conjunto de ecuaciones del Teorema 4.2.11 con p = 8 y q = 11. Te-niendo en cuenta las condiciones simplificadoras de los Lemas 4.2.13,4.2.15, 4.2.19, 4.2.20, 4.2.21, 4.2.22 y 4.2.23 los coeficientes buscadosse obtienen resolviendo las siguientes ecuaciones:

ˆbi = bi(1− ci), i = 1, . . . , 9, (4.40)i−1∑

j=1

aij =c2i

2, i = 2, . . . , 9, (4.41)

i−1∑

j=1

aijcj =c3i

6, i = 3, . . . , 9, (4.42)

i−1∑

j=1

aijc2j =

c4i

12, i = 3, . . . , 9, (4.43)

9∑

i=j+1

biaij = bj

(c2j

2− cj +

1

2

), j = 1, . . . , 8, (4.44)


9∑

i=1

bicki =

1

k + 1, k = 0, . . . , 7, (4.45)

9∑

i=3

bicki

i−1∑

j=2

aijc3j =

1

(k + 6) · 5 · 4 , k = 0, 1, 2, (4.46)

9∑

i=3

bicki

i−1∑

j=2

aijc4j =

1

(k + 7) · 6 · 5 , k = 0, 1, (4.47)

9∑

i=3

bicki

i−1∑

j=2

aijc5j =

1

(k + 8) · 7 · 6 , k = 0, (4.48)

9∑

i=3

bicki ai2 = 0, k = 0, 1, 2, (4.49)

9∑

i=1

ˆb∗i cki = 0, k = 0, . . . , 4, (4.50)

9∑

i=1

b∗i cki = 0, k = 0, . . . , 5, (4.51)

9∑

i=3

b∗ii−1∑

j=2

aijc3j = 0, (4.52)

9∑

i=3

b∗i ai2 = 0, (4.53)

9∑

i=4

ˆb∗ii−1∑

j=3

aijc3j =

9∑

i=5

ˆbi

i−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc3k −

1

60480, (4.54)

9∑

i=4

b∗ii−1∑

j=3

aijc4j =

9∑

i=5

bi

i−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc4k −

1

15120, (4.55)

9∑

i=4

ˆb∗ii−1∑

j=3

aijc4j =

9∑

i=5

ˆbi

i−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc4k −

1

151200, (4.56)

9∑

i=5

b∗ii−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc3k =

9∑

i=6

bi

i−1∑

j=5

aij

j−1∑

k=4

ajk

k−1∑

l=3

aklc3l −

1

604800,

(4.57)9∑

i=5

ˆb∗ii−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc3k =

9∑

i=6

ˆbi

i−1∑

j=5

aij

j−1∑

k=4

ajk

k−1∑

l=3

aklc3l −

1

6652800,


(4.58)9∑

i=5

b∗ii−1∑

j=4

aij

j−1∑

k=3

ajkc4k =

9∑

i=6

bi

i−1∑

j=5

aij

j−1∑

k=4

ajk

k−1∑

l=3

aklc4l −

1

1663200.

(4.59)

Las ecuaciones (4.40)–(4.44) son las condiciones simplificadoras uti-lizadas. Las ecuaciones (4.45)–(4.48) y (4.50)–(4.52) son las condi-

ciones de orden 8 para los coeficientes bi,ˆb∗i y b∗i respectivamente. Por

ultimo, las ecuaciones (4.54)–(4.59) son las condiciones para alcanzarorden oscilatorio 11. Para poder aplicar las correspondientes condi-ciones simplificadoras y reducir ası el numero de arboles a considerar,es necesario que se cumplan (4.49) y (4.53). Por identica razon es

preciso que b2 = ˆb2 = b∗2 = ˆb∗2 = 0.

Si consideramos las ecuaciones (4.41), (4.42) y (4.43) para i = 3resulta un sistema lineal de tres ecuaciones para a31 y a32. Dichosistema tiene solucion no nula si

c2 =c3

2. (4.60)

Esto nos proporciona una condicion mas que relaciona los coeficientesc2 y c3.

Las condiciones simplificadoras empleadas hacen que los arbolesde Nystrom considerados para obtener las ecuaciones para un metodode orden 8 sean los de la Figura 4.10. Pero no todos ellos son in-dependientes: los arboles correspondientes a las ecuaciones (4.46),(4.47) y (4.48) para k = 0 ya estan considerados en virtud del Lema4.2.23, pero los incluiremos porque nos seran utiles a la hora de bus-car los coeficientes del metodo siguiendo el trabajo debido a Hairer[53]. Las condiciones de orden oscilatorio 11 son las proporcionadaspor los arboles t8, . . . , t11 que se obtienen de forma sencilla como yacomentamos en la seccion 4.2.5.

Pese a la enorme reduccion del numero de ecuaciones que ha tenidolugar tras la imposicion de las condiciones simplificadoras, el intentopor resolver de forma simbolica estas ecuaciones con Maple V 4 yempleando un ordenador Pentium III 500 con 128 Mb de RAM eje-cutando Windows 2000 5.0 SP2 resulto fallido. Este hecho motivo labusqueda de vıas alternativas para la resolucion de los correspondi-


sj sj sjJJ sjJJ sjZZ ½½LL ¯ sjZZ ½½LL ¯ sjJJsJJ

sjZZ ½½LL ¯PP ³³ sjJJJJsJJ

sjJJs³³LLPP

sjZZ ½½LL ¯PP ³³ sjJJJJsJJ

sjJJJJs³³LLPP

sjJJsJJPP ³³

Figura 4.10: SNT para un metodo de orden 8.

entes sistemas de ecuaciones, como ya han hecho otros autores: Calvo[7], Gonzalez [44], Hairer [52, 53],. . .

Tras diversos intentos nos decidimos a seguir los pasos del trabajode Hairer [53] eligiendo de forma adecuada los coeficientes ci. Asıimpusimos las siguientes condiciones:

c1 = 0, c8 = 1, c3 = c7, b3 + b7 = 0,

y tomamos c4, c5 y c6 como una de las permutaciones de los nodos decuadratura de Lobatto De esta forma, b1, b4, b5, b6 y b8 son los corre-spondientes pesos que satisfacen

5∑

i=1

ωiαki =

1

k + 1, k = 0, . . . , 4

siendo α1 = 0, α2 = 1/2−√21/14, α3 = 1/2, α4 = 1/2+√

21/14, α5 =1 los mencionados nodos. Ciertos aspectos de cuadratura numericapueden encontrarse en Stoer y Burlisch [104] y mas en concreto enGander y Hrebıcek [42] cuyas rutinas numericas ligeramente modifi-cadas nos proporcionaron los nodos y pesos de la cuadratura de Lo-batto con aritmetica exacta. La eleccion de este tipo de nodos es laempleada en los mencionados trabajos de Hairer [52, 53] y Gonzalez[44]. Sin embargo, siguiendo esta idea, la busqueda de los parametros


2

3

4

1

1

1

1

1 1

5 1 0 1 1

6 4 2 4 4 4

7 5 2 5 5 5 5

8 5 2 5 5 5 5 3

1 2 3 4 5 6 7

cc

cc

cc

cc

Figura 4.11: Pasos seguidos para la obtencion de los ai,j hastai = 8.

libres desemboca en funciones que Maple V 4 no es capaz de min-imizar. Finalmente nos decidimos por los ci del metodo RKN8(6)debido a Dormand et al. [21], esquema que presenta un buen compor-tamiento. Estos coeficientes son los que siguen:

c1 = 0, c2 =1

20, c3 =

1

10, c4 =

3

10,

c5 =1

2, c6 =

7

10, c7 =

9

10, c8 = 1, c9 = 1.

Notese que c2 y c3 satisfacen la condicion (4.60).Fijados los coeficientes ci, las ecuaciones (4.45) constituyen un sis-

tema lineal en las variables b1, b3, . . . , b8. Obtenidos los coeficientes

bi, de forma inmediata (4.40) nos permite calcular los ˆbi. Obviamentetodos ellos toman los mismos valores que los correspondientes a laformula de orden 8 del par debido a Dormand et al. [21].

Para obtener los coeficientes aij con i = 2, . . . , 8, j = 1, . . . , i − 1,seguiremos los siguientes pasos, que de forma esquematica se ilustranen la Figura 4.11.Paso 1: A partir de la condicion (4.41) para i = 2, calculamos a21.Con (4.41) y (4.42) para i = 3, obtuvimos a31 y a32, y con (4.41),(4.42) y (4.43) para i = 4 los coeficientes a41, a42 y a43. Imponiendo


a52 = 0, de identica forma los ecuaciones (4.41), (4.42) y (4.43) parai = 5, nos proporcionan a51, a53 y a54.Paso 2: Empleando las ecuaciones (4.49) obtuvimos a62, a72 y a82.Paso 3: Gracias a la relacion (4.44) para j = 7 pudimos obtener a87.Paso 4: Primero calculamos las expresiones

i−1∑

j=2

aijc3j

para i = 2, 3, 4, 5, ya que todos los coeficientes han sido calculados enpasos anteriores. Posteriormente resolvimos el sistema (4.46) en lasvariables

A1 =i−1∑

j=2

a6jc3j , (4.61)

A2 =i−1∑

j=2

a7jc3j , (4.62)

A3 =i−1∑

j=2

a8jc3j . (4.63)

De forma similar a como hicimos en el paso 1, a61, a63,a64 y a65 seobtuvieron a partir de las condiciones simplificadoras (4.41)–(4.43)anadiendo ademas (4.61).Paso 5: Es similar al paso anterior. En este caso se calculan previa-mente las expresiones

i−1∑

j=2

aijc4j

para i = 2, 3, 4, 5, 6 y se resuelve el sistema formado por las ecuaciones(4.47) en las variables

B1 =i−1∑

j=2

a7jc4j , (4.64)

B2 =i−1∑

j=2

a8jc4j . (4.65)

Con las ecuaciones (4.41)–(4.43) para i = 7 junto con (4.62) y (4.64)obtuvimos los coeficientes a71, a73, a74, a75 y a76. Analogamente a par-tir de (4.41)–(4.43) para i = 8 anadiendo (4.63) y (4.65) calculamoslos restantes coeficientes a81, a83, a84, a85 y a86.


Queda ahora comentar como hemos obtenido los coeficientes b∗i yˆb∗i con i = 1, . . . , 9 y los a9j.

A partir de (4.51)–(4.53), (4.55), (4.57) y (4.59) se pudieron con-seguir los valores de b∗1 y b∗i para i = 3, . . . , 8 y a9j para j = 2, . . . , 5.Resolviendo (4.52), (4.54), (4.56) y (4.58) calculamos los coeficientesˆb∗1 y ˆb∗i para i = 3, . . . , 8. Finalmente las condiciones simplificadoras(4.41)–(4.43) para i = 9 nos proporcionaron los valores de a91, a96 ya98.

De esta forma resolvimos todas las ecuaciones quedando libres las

indeterminadas a97 y ˆb∗9, que posteriormente utilizamos para mini-mizar la norma euclıdea de los terminos de error correspondientes alas aproximaciones tanto a la solucion, como a la derivada, con el finde que el esquema de orden 8 fuese optimo, tarea que llevamos a cabode forma similar a como hicimos en el caso del metodo RKNh24:5Mde la seccion 2.4, utilizando la funcion extrema de Maple V 4.

Nota 4.3.1 En la busqueda de los coeficientes del metodo de orden8 se han utilizado gran parte de las ecuaciones de orden mostradasen el inicio de la seccion, aunque no todas porque no consituyen unconjunto de ecuaciones independientes. Esto es debido, como ya hemoscomentado, a que hemos anadido arboles redundantes con el fin de quela resolucion de los sistemas fuese mas sencilla, similar a los trabajosde Hairer [53]. Por otro lado, cuando ci 6= cj si i 6= j e i = 1, . . . , 8, sepuede demostrar que las condiciones de orden (4.45)–(4.49) implicandirectamente (4.44). Ası podrıamos haber buscado el metodo de orden8 empleando las funciones Qik y Rkj de los trabajos de Dormand etal. [20, 21]. 2

4.3.2 Construccion del metodo de orden 6

Inicialmente tratamos de buscar un metodo de orden 7 con ordenoscilatorio 8, pero los coeficientes obtenidos coincidıan con los delmetodo de orden alto. Este hecho nos llevo a considerar un esquemade orden 6. La busqueda de este metodo fue una tarea mas sencilladebido a que el numero de ecuaciones era menor y gran parte delos coeficientes del metodo ya venıan determinados por la formula deorden alto. Para encontrar metodos de orden 6 y orden oscilatorio


7 es preciso que los coeficientes del metodo satisfagan las siguientesecuaciones:

9∑

i=1

bicki =

1

k + 1, k = 0, . . . , 5, (4.66)

9∑

i=3

bi

i−1∑

j=2

aijc3j =

1

6 · 5 · 4 , (4.67)

9∑

i=1

b∗i cki = 0, k = 0, 1, 2, (4.68)

9∑

i=1

b∗i cki = 0, k = 0, . . . , 3, (4.69)

9∑

i=3

b∗i c3i =

9∑

i=4

ˆbi

i−1∑

j=3

aijc3j −

1

840, (4.70)

9∑

i=3

b∗i c4i =

9∑

i=4

bi

i−1∑

j=3

aijc4j −

1

210, (4.71)

correspondientes a los coeficientes bi, b∗i y b∗i . Una vez calculados los bi,los coeficientes bi se encuentran de forma analoga al metodo de ordenalto con las relaciones:

bi = bi(1− ci), i = 1, . . . , 9. (4.72)

De nuevo las ecuaciones (4.66)–(4.69) son las correspondientes condi-ciones de orden 6, y (4.70) y (4.71) las ecuaciones para alcanzar or-den oscilatorio 7. Resolviendo las ecuaciones anteriores resultaron 9parametros libres, que como ya hicimos para el metodo RKNh24:6(3:4)desarrollado en el capıtulo precedente, elegimos para que los corre-spondientes coeficientes B(8), B′(8), C(7) y C ′(7) fuesen pequenos y asıla estimacion del error lo mas fiel posible. Previamente fijamos cier-tos valores de los parametros libres de modo que no se cumpliesenlas correspondientes ecuaciones de orden 7 y orden oscilatorio 8 y asıel metodo de orden bajo tuviese el orden deseado. Los valores elegi-dos garantizaban ademas que los coeficientes bi, bi, b∗i y b∗i restantesestuviesen en el intervalo [−1, 1].

A continuacion se incluyen los coeficientes del metodo obtenidoque, siguiendo la notacion establecida, llamaremos RKNh28:11(6:7).


a2,1 =1

800, a3,1 =

1

600, a3,2 =

1

300,

a4,1 =9

200, a4,2 =

−9

100, a4,3 =

9

100,

a5,1 =1

48, a5,2 = 0, a5,3 =

5

96,

a5,4 =5

96, a6,1 =

−56791

222000, a6,2 =

1666

2775,

a6,3 =−6713

29600, a6,4 =

245

3552, a6,5 =

539

9250,

a7,1 =127179

164500, a7,2 =

−7569

4700, a7,3 =

18303

18800,

a7,4 =819

3760, a7,5 =

−108

5875, a7,6 =

114

1645,

a8,1 =−52691

21408, a8,2 =

28325

5352, a8,3 =

−145695

57088,

a8,4 =−805

3568, a8,5 =

13335

28544, a8,6 =

−705

14272,

a8,7 =1645

57088, a9,1 =

994504107

25000000,

a9,2 =−33212673736579434846689079566967852067

1660899109075482077058488451189750000,

a9,3 =−70553478436066909868143867546115131611791947

1657444438928605074338206795211275320000000,

a9,4 =3471068868153604904036771637389582336269

179044923958336967906905055038255050000,

a9,5 =2670944043902080461381447103732604997741233

153467077678574543920204332889932900000000,

a9,6 =−949664280542831457337540361787622800545249

138120369910717089528183899600939610000000,

a9,7 =−43694959368739267015472991075414815984221

1860207002164539926305507065332520000000,

a9,8 =6294421983065912825000000000

373365757088517101462732871,


ˆb1 =223

7938, ˆb2 = 0, ˆb3 =

1175

8064,

ˆb4 =925

6048, ˆb5 =

41

448, ˆb6 =

925

14112,

ˆb7 =1175

72576, ˆb8 = 0, ˆb9 = 0,

b1 =223

7938, b2 = 0, b3 =

5875

36288,

b4 =4625

21168, b5 =

41

224, b6 =

4625

21168,

b7 =5875

36288, b8 =

223

7938, b9 = 0,

ˆb∗1 =120517713150354725873809026321001395360437

1099726613654166276271005865429687500000000000,

ˆb∗2 = 0,

ˆb∗3 =−46106911575464960046030898669085052853952717

177363908250143937036987825976500000000000000000,

ˆb∗4 =10674703909260670639131044930710642617984239

34487426604194654423858743939875000000000000000,

ˆb∗5 =−17941311880099063788755370915178802853952717

82112920486177748628235104618750000000000000000,

ˆb∗6 =551216004630873665731086719746525407707531

14780325687511994753082318831375000000000000000,

ˆb∗7 =1136031979474092496502239648747494127338587

19707100916682659670776425108500000000000000000,

ˆb∗8 =−17190153161813383124503313207109745796828533

484979436621487327835513586654492187500000000000,

ˆb∗9 =−38937

250000000000,

b∗1 =−158141506376075320050497204938384646047283

100382664495622467791295524840625000000000000000,

b∗2 = 0,

b∗3 =158141506376075320050497204938384646047283

36711374444113359649388077656000000000000000000,


b∗4 =−158141506376075320050497204938384646047283

21414968425732793128809711966000000000000000000,

b∗5 =158141506376075320050497204938384646047283

16996006687089518356198184100000000000000000000,

b∗6 =−158141506376075320050497204938384646047283

21414968425732793128809711966000000000000000000,

b∗7 =158141506376075320050497204938384646047283

36711374444113359649388077656000000000000000000,

b∗8 =−82606929081151911714771634844120796828533

100382664495622467791295524840625000000000000000,

b∗9 =−10421875559551203

13850287844000000000000,

b1 =1397094195674

53806306640625, b2 = 0,

b3 =6600563561777

43728300000000, b4 =

4787014563223

32796225000000,

b5 =1187958687259

12146750000000, b6 =

4787014563223

76524525000000,

b7 =6600563561777

393554700000000, b8 = 0,

b9 = 0, b1 =1397094195674

53806306640625,

b2 = 0, b3 =6600563561777

39355470000000,

b4 =4787014563223

22957357500000, b5 =

1187958687259

6073375000000,

b6 =4787014563223

22957357500000, b7 =

6600563561777

39355470000000,

b8 =132021343833695039162708094251727321527425437987353

4893047949788074911936883248078900129140001978515625,

b9 =−291547127602519717045485560625231427629

286909978502885356388337367211387900103035,

b∗1 =35525087

600000000000, b∗2 = 0,

b∗3 =−399134801

4000000000000, b∗4 =

537055727

12000000000000,


b∗5 =−2089711

2000000000000, b∗6 =

−2089711

4000000000000,

b∗7 =−2089711

4000000000000, b∗8 =

−2089711

2000000000000,

b∗9 =−2089711

2000000000000,

b∗1 =−439812717071188382219965958478072428887174134539657993

1721459871017312138330024203268327400618210000000000000,

b∗2 = 0,

b∗3 =1644895610209920851750144102090022430736356271063992759

2754335793627699421328038725229323840989136000000000000,

b∗4 =−1946469977391889261781846757465178924765077375948521437

2754335793627699421328038725229323840989136000000000000,

b∗5 =2489302974954561554208903720714890733362442403153416103

4590559656046165702213397875382206401648560000000000000,

b∗6 =−536558220976427323667426360780059868913439198483303423

2754335793627699421328038725229323840989136000000000000,

b∗7 =−2089711

4000000000000, b∗8 =

875991

50000000, b∗9 =

−2089711

2000000000000.

4.3.3 Experimentos numericos.

Con el proposito de estudiar el comportamiento del esquema de orden8 construido en las secciones precedentes, tanto en paso fijo como vari-able, se han realizado diversos experimentos numericos integrando var-ios de los problemas anteriormente considerados con distintos metodosdel mismo orden y el par de orden 4 obtenido en el capıtulo anterior.

Consideraremos, por tanto, dos problemas oscilatorios

1. El problema de Bessel (3.4), que es un test muy empleado paravalorar la eficiencia de esquemas de paso variable, integrandoloen los intervalos [1, 10], [0.1, 10] y [0.01, 10].

2. El problema del satelite artificial ecuatorial (2.69) integrandouna orbita circular y otra altamente excentrica.

La integracion numerica de dichos problemas se ha llevado a cabo conlos siguientes esquemas:


• El par encajado RKN8(6) con nueve etapas y verificando lapropiedad FSAL (que hace que el metodo requiera ocho eval-uaciones por paso) presentado Dormand et al. [21].

• El esquema de paso variable debido a Gonzalez [44] y Gonzalezet al. [47], que es un par de ordenes ocho y siete que requierediez evaluaciones de funcion por paso. Este esquema ha sidoespecialmente desarrollado para integrar problemas oscilatoriosy tiene orden oscilatorio infinito. Nos referiremos a este codigocomo RKGM8(7).

• Los metodos desarrollados a lo largo del presente capıtulo imple-mentados tanto en paso fijo como en paso variable. En amboscasos se necesitan nueve evaluciones de funcion. Siguiendo la no-tacion introducida nos referiremos a ellos como RKNh28:11 parael metodo de paso fijo y RKNh28:11(6:7) para el par encajado.

De nuevo hemos considerado una practica muy comun para estu-diar la eficiencia de un metodo numerico, midiendo el coste computa-cional del metodo mediante el logaritmo decimal de las evaluacionesde funcion necesarias en toda la integracion frente al logaritmo deci-mal del maximo error cometido a lo largo misma. Presentaremos enalgunos casos, graficas en las que se representa el coste computacionalmedido en tiempo de CPU. Todas las integraciones se realizaron encuadruple precision. Para los algoritmos en paso variable se ha con-siderado un tamano de paso inicial de 0.1. Para los algoritmos de pasovariable el tamano de paso mınimo se ha tomado 10−5 para el primerproblema en todos los metodos e intervalos, y 10−3 para el segundoproblema en todos los esquemas, salvo en el de menor orden para elque se considera 10−5. No obstante, la integracion en la mayorıa delos casos se realiza con pasos alejados del tamano mınimo. El tamanode paso maximo permitido en todos los casos fue de 1.5.

Los distintos algoritmos se han implementado modificando conve-nientemente el programa DOPRIN que puede encontrarse en Haireret al. [54] en la edicion de 1986.

La Figura 4.12 corresponde a la integracion del problema de Be-ssel en el intervalo [1, 10]. Las tolerancias empleadas varıan entre 10−2

y 10−15 para el metodo RKN8(6), 10−3 y 10−16 para el esquemaRKGM8(7), 10−2 y 10−10 para el algoritmo RKNh24:6(3:4) y 10−3


y 10−13 para el par RKNh28:11(6:7). Para el metodo de paso fijoRKNh28:11 se han considerado tamanos de paso que oscilan entre1/22 y 1/27. Como era de esperar, los metodos de orden alto se mues-tran tanto mas eficientes cuanto mayor sea la precision requerida. Deentre ellos los metodos RKNh2 son los que presentan el mejor com-portamiento, siendo mınima la diferencia entre el de paso fijo y el depaso variable. Estos, comparados con el metodo clasico y el metodoRKGM8(7), proporcionan resultados mejores. La Figura 4.13 ponede manifiesto que considerando el coste computacional en tiempo deCPU, la eficiencia del metodo RKNh28:11(6:7) es muy superior al es-quema RKGM8(7), que ha sido desarrollado para integrar este tipode problemas a costa de un importante gasto computacional. Frenteal metodo RKN8(6) tambien presenta un ahorro en tiempo de CPU.


En las Figuras 4.14 y 4.15 se muestran los resultados de integrarel problema anterior en el intervalo [0.1, 10]. En este caso se hanconsiderado tolerancias entre 10−3 y 10−14 para el par RKNh28:11(6:7)y tamanos de paso entre 1/22 y 1/28 para el esquema RKNh28:11. En



el resto de algoritmos se han empleado los mismos valores que en losintervalos anteriores. Podemos apreciar que, a pesar del excelentecomportamiento que presentaba el metodo de paso fijo en el intervalo[1, 10], en este intervalo el metodo RKNh28:11 ha empeorado, aunquesigue siendo mas eficiente que el metodo RKN8(6). Esto es debidoa que el extremo inferior del intervalo se encuentra mas cercano a 0,donde el problema de Bessel presenta serios problemas de integracion.El metodo RKNh28:11(6:7) sigue presentando los mejores resultadosy, como se aprecia en la Figura 4.15, considerando el tiempo de CPUempleado en la integracion, la ventaja frente al metodo RKGM8(7) esclara.

Las Figuras 4.16 y 4.17 corresponden a la integracion del problemaque nos ocupa en el intervalo [0.01, 10]. Se han empleado los mismosvalores que en el intervalo anterior, salvo en el esquema RKNh24:6(3:4)para el que se han usado tolerancias entre 10−3 y 10−11. En este casose aprecia claramente el pesimo comportamiento del metodo de pasofijo debido, como ya comentabamos para el caso anterior, a que la



integracion se inicia muy proxima a 0. No obstante, como en loscasos anteriores, el metodo RKNh28:11(6:7) es el que se muestra maseficiente. En este intervalo, la diferencia con el esquema RKGM8(7)se hace menor aunque en tiempo de CPU, como podemos apreciar enla Figura 4.17, la eficiencia sigue siendo muy superior.

Para finalizar esta seccion integraremos el problema del sateliteartificial, que como ya hemos mencionado, no pretende ser un fieltest de eficiencia tanto como una aplicacion del tipo de esquemas quehemos desarrollado a lo largo de la memoria.

En la Figuras 4.18 y 4.19 se presentan las graficas de eficienciacorrespondientes a la integracion de 10 revoluciones para un sateliteecuatorial con excentricidades e = 0 y e = 0.99 respectivamente.Los valores de tolerancias empleados en ambos casos oscilan entre10−6 y 10−17 para el metodo RKN8(6), 10−6 y 10−17 para el esquemaRKGM8(7), 10−2 y 10−12 para el algoritmo RKNh24:6(3:4) y 10−7

y 10−16 para el par RKNh28:11(6:7). Para el metodo de paso fijoRKNh28:11 se han considerado tamanos entre 1/2 y 1/24. De nuevo,



los metodos RKNh2 manifiestan un excelente comportamiento. Comocabıa esperar, el algoritmo en paso fijo proporciona unos resultadosligeramente superiores a los correspondientes para el esquema en pasovariable. Esto puede ser debido a que el problema del satelite consid-erado es bastante regular y la integracion en paso fijo con un metodoadecuado puede resultar suficiente.

Como conclusiones de los experimentos realizados podemos decirlo siguiente:

• Los metodos RKNh2 de orden alto, implementados tanto en pasovariable como en paso fijo, son mas eficientes que los de ordenbajo cuando se busca precision elevada.

• Los esquemas RKNh28:11(6:7) y RKNh28:11 muestran una graneficiencia comparados no solo con un metodo clasico de propositogeneral como el algoritmo RKN8(6), sino tambien frente a losmetodos RKGM desarrollados para integrar eficientemente prob-lemas oscilatorios.



• Los esquemas RKNh2 de paso fijo, tanto para orden alto comopara ordenes menores (como pudimos ver en los experimentosdel capıtulo precedente) tienen un comportamiento excelenteaun comparandolos con las correspondientes implementacionesen paso variable. Sin embargo, cuando la dificultad del prob-lema ası lo requiere, los metodos de paso variable proporcionanaproximaciones mucho mas precisas.

• Los metodos RKNh2, ademas de mostrarse mas precisos que losmetodos RKGM, requieren un gasto computacional en tiempode CPU comparable al de los esquemas clasicos. Esto se debe ala sencilla dependencia de sus coeficientes del tamano de paso yal menor tiempo invertido en recalcularlos cuando la amplitudde paso cambia.

• Los metodos RKNh2 implementados en paso variable, se mues-tran como los algoritmos mas eficientes de todos los comparados.


Figura 4.18: Problema del satelite. e = 0.

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