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UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS

DE GRAN CANARIA

Departamento de Física

\

MÉTODOS DE

ANÁLISIS ESPECTRAL DEL OLEAJE

Estudio Comparativo

Germán Rodríguez Rodríguez Departamento de Física

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

•

.-"'•i

Prólogo

Esta memoria es presentada por Germán Rodríguez Rodríguez, en el Departamento

de Física de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, con la finalidad de

alcanzar el reconocimiento de su suficiencia investigadora, requisito para optar al

grado de Doctor.

En este trabajo se presenta un estudio comparativo entre las diferentes

metodologías utilizadas comúnmente en el análisis de series temporales de oleaje.

Evidentemente, las conclusiones obtenidas a partir de este estudio son extensibles a

cualquier otro área de la ciencia, en el que sea necesario estudiar fenómenos con un

comportamiento estocástico y cuya interpretación en el dominio frecuencia! resulte

adecuada. Son ejemplos conocidos, la Óptica, la Acústica, el estudio de ondas

en plasmas, la Ingeniería de las comunicaciones, la Geofísica y la Meteorología, la

Econoroía, etc.

Su contenido se desarrolla en dos capítulos. En el primero de ellos se presentan

los fundamentos y las metodologías de análisis espectral de señales aleatorias, para

los diferentes métodos de estimación espectral considerados en el trabajo, haciendo

especial énfasis en las especificidades de los procedimientos del cálculo automático,

así como en los méritos e inconvenientes o limitaciones que cada una de estas

técnicas presenta. En el segundo capítulo, se presentan los resultados del estudio

comparativo. En él se contrastan las características de los diversos métodos de

análisis espectral empleados. Para ello se utilizan registros de oleaje real y series

temporales simuladas, partiendo de modelos espectrales teóricos de oleaje.

Germán Rodríguez Rodríguez

Las Palmas de G.C., Abril de 1995

índice Temático

1 Métodos de Análisis Espectral 1

1.1 Introducción 1

1.2 Idea fundamental del análisis espectral 1

1.3 Modelo Lineal de Oleaje 2

1.4 Métodos para la estimación del espectro 8

1.4.1 Métodos Clásicos 9

1.4.2 Métodos Paramétricos 10

1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 10

1.5.1 Método de Blackman-Tukey 10

1.5.2 Transformada Discreta de Fourier 15

1.5.3 Método de Máxima Entropía 30

2 Estudio Comparativo 47

2.1 Estudios comparativos previos 49

2.2 Análisis comparativo 56

2.2.1 Características del análisis 57

2.2.2 Análisis de registros simulados 59

2.2.3 Análisis de registros reales 78

2.3 Discusión de los resultados 116

A Referencias 123

Lista de Figuras

1.1 Modelo lineal de Oleaje Direccional. (Pierson. et.al 1955) 4

1.2 Modelo lineal de Oleaje Escalar 7

1.3 Suavizado del Periodograma según el procedimiento de Daniell . . . 23

1.4 Diagrama de flujo para el método de Daniell 24

1.5 Suavizado del Periodograma mediante el método de Barttlet 26

1.6 Diagrama de flujo para el método de Bartlett 27

1.7 Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte I 31

1.8 Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte II 32

1.9 Diagrama de flujo para el método de Welch 33

2.1 Espectros de un registro de oleaje (Lago Michigan) obtenidos

mediante los métodos B-T y FFT, Edge & Liu (1970) 51

2.2 (a)Sinusoide truncada (b)Espectro MEM (c)Espectro FFT (Ulrich,1972) 52

2.3 (a) Espectro verdadero; (b) Espectro MEM; (c) Espectro B-T sin

ventana; (d) Espectro B-T con ventana, (Ables, 1974) 53

2.4 (a)Serie temporal (b)Espectros MEM y FFT (Ulrich y Clayton, 1976) 55

2.5 Definición de la frecuencia de pico según el método de Delft 57

2.6 Espectro P-M y serie simulada 62

2.7 Espectros serie ETADSA-PM 63

2.8 Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 64

2.9 Espectro J y serie simulada 65

2.10 Espectros serie ETADSA-J 66


2.12 Espectro 0-H y serie simulada 68

2.13 Espectros serie ETADSA-0 & H 69


2.15 Serie ETADSAll-l-Ruido blanco y Espectros MEM 72

2.16 Espectros B-T para la serie ETADSAIH-Ruido blanco 73

m

IV

2.17 Espectros

2.18 Espectros

2.19 Espectros

2.20 Espectros

2.21 Espectros

2.22 Espectros

2.23 Espectros

2.24 Espectros

2.25 Espectros

2.26 Espectros

2.27 Espectros

2.28 Espectros

2.29 Espectros

2.30 Espectros

2.31 Espectros

2.32 Espectros

2.33 Espectros

2.34 Espectros

2.35 Espectros

2.36 Espectros

2.37 Espectros

2.38 Espectros

2.39 Espectros

2.40 Espectros

2.41 Espectros

2.42 Espectros

2.43 Espectros

2.44 Espectros

2.45 Espectros

2.46 Espectros

2.47 Espectros

2.48 Espectros

2.49 Espectros

2.50 Espectros

2.51 Espectros

2.52 Espectros

FFT-D parala serie ETADSAll+Ruido blanco 74

FFT-B para la serie ETADSAIH-Ruido blanco 75

FFT-W para la serie ETADSAll+Ruido blanco 76

serie C-05-22/06/93 79

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-06-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-07-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-08-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-09-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-10-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-11-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-12-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-13-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-14-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-15-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-16-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-17-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-18-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-21-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

serie C-22-22/06/93

(a)B-T, (b)FFT-D,

c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .















80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

serie C-23-22/06/93 111 c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM

chaptersection

2.53 Espectros (a)B-T. (b)FFT-D. (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . ' . . 112

2.54 Espectros serie C-00-23/06/9.3 113

2.55 Espectros (a)B-T. (b)FFT-D. (c)FFT-B. (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 114

2.56 Espectros serie 22-22/06/93 (N=5r2),(a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B . 117

2.57 Espectros serie 22-22/06/93 (N=512),(a)FFT-W, (b)MEM 118

2.58 Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),{a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B 119

2.59 Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)FFT-W, (b)MEM 120

Capítulo 1

Métodos de Análisis Espectral

1.1 Introducción

Ltis técnicas de análisis en el dominio frecuencial reciben, en general, el nombre de

técnicas de análisis espectral y sus fundamentos básicos pertenecen al denominado

análisis de Fourier. Así, dada una serie temporal discreta, T){t), utilizando la

transformada de Fourier, es posible transferir la información contenida en dicha

serie al dominio de las frecuencias, donde, por lo general, suele resultar más efectiva

la caracterización estadística del fenómeno aleatorio analizado.

La varianza de un proceso es una medida de la dispersión de las observaciones

respecto a su nivel medio. En este sentido, la varianza proporciona una medida de

la intensidad de las fluctuaciones del proceso sobre su nivel medio y por tanto,

de su contenido energético. El análisis espectral nos permite descomponer la

varianza total en bandas de frecuencia en las cuales la contribución de la varianza

es estadísticamente significativa. Para ello se admite, que la varianza total del

proceso es el resultado de la superposición de numerosas contribuciones mutuamente

independientes, cada una de ellas con una frecuencia arbitraria. De este modo,

podemos realizar una descomposición espectral, en términos de amplitudes y fases,

en función de la frecuencia.

1.2 Idea fundamental del análisis espectral

La idea básica sobre la que se apoya el análisis espectral puede resumirse brevemente

de la siguiente manera. Sea una función T]{t) que puede ser expresada como

combinación lineal de un conjunto de funciones /3i{t). Esto es,

1


7/(í) = 5:r¿/3.(í)

Definimos entonces un conjunto de cantidades, en términos de F, que de alguna

manera nos indiquen la importancia relativa de cada /9, para generar 7j(í), mediante

una combinación lineal. Es decir, el análisis espectral consiste en descomponer

fenómenos, de mayor o menor complejidad, en constituyentes elementales y conocer

cual es la contribución de cada uno de ellos al proceso. De esta forma podremos

obtener un mayor conocimiento de la estructura y la evolución temporal (espacial)

del sistema (Físico, Químico, Biológico, etc.), de cuya observación se ha obtenido la

muestra T){t).

Las funciones ¡Si serán del tipo seno y coseno, y los valores de F,- vendrán

representados por las amplitudes correspondientes a tales funciones.

1.3 Modelo Lineal de Oleaje

La idea anterior fue inicialmente aplicada a estudios de oleaje por Pierson y Marks

(1952), Pierson (1955), quienes aceptando que las oscilaciones del nivel medio del

mar (MWL), con respecto a su posición de equilibrio, en un punto de coordenadas

{x,y) en función del tiempo, al paso de una onda progresiva puede describirse como,

r]{x,y,t) = A eos /v'(a;cos^ + ysenO) — ut + ^p (1.1)

donde A representa la amplitud, K el módulo del vector número de onda, u la

frecuencia angular, íp el ángulo de fase y ^ la dirección de propagación de la onda

progresiva respecto al eje positivo de las x. Entonces, asumiendo que la superficie

libre del mar puede considerarse como el resultado de la superposición lineal

de infinitas ondas cosenoidales con diferentes amplitudes, frecuencias, fases y

direcciones de propagación, tal como se muestra en la figura (1.1), las fluctuaciones

del MWL podrán ser modelizadas matemáticamente por la expresión

r}{x,y,i) = / A{u,9)cos[K{xeos9 + ysend) - ut-\-ip{u>,0)] dudo -T O


T OO

+ / / B{u, 6)sen [K{x eos 9 + ysenO) - ut-\- (^(w, 0)] dud9 -ir O

donde A{UJ,0) y B{LJ,6) son los coeficientes complejos de Fourier y los signos

de integración representan en realidad "pseudo-integraíes" (Longuet-Higgins,1957).

Esta ecuación puede expresarse en forma discreta, sin pérdida de generalidad , como

7?(l, y, o = X ] 1 3 ^ ' " " ^^^ (^^""^ ^ ° ^ ^ " + KmysenOn - 2T: fmt + ^mn) (1-2) m=l n=l

siendo / la frecuencia lineal, mientras que A^n y V'mn representan la amplitud

(coeficientes complejos de Fourier) y la fase de las componentes, con frecuencias y

direcciones comprendidas respectivamente en los rangos

Um , fm + A / ) y [On , ^„ + Afl)

El número de ondas Km puede obtenerse a partir de fm, mediante la relación de

dispersión para aguas profundas

K=^2lll (1.3, 9

donde g es la aceleración debida a la fuerza gravitatoria.

De la expresión (1.2) se deduce que la sobreelevación de la superficie del mar en un

punto fijo, de coordenadas {XQ, yo), puede ser representada mediante

OO

T){t)= J2 ^rn eos {2nfm t + fm) (1-4) m = l

donde

Am = yjA¡m+Alm (1-5)

<fim = arctan ( - ^ ) (1.6) ^cm

mientras que

Acm = Yl ^ ™ " '^^^ l^^^^ ^°^ ^ " + Kmysendn + fmn] (1-7) n = l


.J^

A ¿ Jt V

Figura 1.1: Modelo lineal de Oleaje Direccional, (Pierson, et.al 1955)


Asm = X^ AmnSen [li'mX CCS On + limySenOn + Vmn] (1.8) n=l

donde Acm y A^m (coeficientes coseno y seno de Fourier) son variables aleatorias,

con distribución de probabilidad Normal. Luego, según el teorema central del límite,

Am será una variable aleatoria gobernada probabiL'sticamente por una distribución

de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1952).

El valor de A^j^/2 es la energía del oleaje (dividida por pg, donde p es la densidad

del agua de mar), en los rangos (fm , fm + A / ) y (^„ , 0n + ^0).

Se define el espectro direccional del oleaje, S{f,ff), como la densidad de

energía expresada en función de la frecuencia y de la dirección. Por tanto,

S{fm,0n)^fm^Or,

representará la energía esperada en el rango de frecuencias y direcciones antes

especificado. Es decir,

S{fm,en)^fmAen = ^ ^ ^ (1.9)

donde E[ ] es el operador esperanza matemática.

La función de densidad espectral de un proceso aleatorio puede definirse sólo

en función de la frecuencia, integrando sobre todo el rango de direcciones. En tal

caso, dicha función recibe generalmente el nombre de espectro unidimensional,

y toma la siguiente expresión:

5 ( / ) A / = ^ (1.10)

que según lo visto anteriormente, puede expresarse como la suma de las componentes

energéticas con respecto a la dirección,

s(f)Af=Y:^^^ (1-11) n = l '^

por lo que, la relación entre el espectro direccional y el espectro unidimensional será,

Métodos de Análisis Espec t ra l

2 T

s{f) = Jsif,e)de (1.12)

Para la determinación del espectro de frecuencias, de un proceso aleatorio

estacionario, es suficiente con disponer de un único registro. Sin embargo,

para estimar el espectro direccional es necesaria mucha más información y el

procesamiento de dicha información es bastante más complejo. Por ello, en la

mayoría de los casos, en la representación de ri{t) en forma de series de Fourier dada

por la ecuación (1.4), las amplitudes de las diferentes componentes frecuenciales no

suelen expresarse en función de S{f ,6),

Am = ^J2S{f ,e)AfA9

de forma que

o - ir

sino en función de S(f),

Am = yj2S{f)Af

expresándose T)(t) como

7?(í) = y ^ 2 5 ( / ) A / c o s ( 2 7 r / í + < )

o bien, en forma discreta

(1.13)

O O TV

T}{t) = í I yj2S{f ,e)AfAecos{Kxcose + KysenO - 27r/í + < ) (1.14)

(1.15)

(1.16)

r){t) = ¿ ^25( / )A/cos (27r /^ í + cpm) m = l

(1.17)

Obteniendo de esta manera, un modelo de oleaje unidireccional.

Físicamente, con ésta restricción hemos perdido toda información respecto a

la dirección de propagación, de los diferentes trenes de ondas que alcanzan el punto


de medida. De éste modo, el modelo original, gráficamente descrito por la figura

(1.1), se ha transformado en uno mucho más simple, ilustrado en la figura (1.2). Es

decir, hemos reducido la representación de los desplazamientos verticales del MWL, a

una simple superposición de ondas cosenoidales, para obtener una función irregular,

variable en el tiempo y con un contenido energético igual al del proceso real, pero

sin discernir entre las diferentes direcciones con que dicha energía se aproxima, al

punto donde se analiza el fenómeno.

Figura 1.2: Modelo lineal de Oleaje Escalar


1.4 Métodos para la estimación del espectro

Puesto que las señales que deseamos analizar presentan fluctuaciones aleatorias, no

es posible aplicar directamente los métodos del análisis de Fourier. Es, por tanto,

necesario adoptar dichcis técnicas desde un punto de vista estadístico, utilizando

para ello promedios característicos de la señal aleatoria. En particular, la función

de autocorrelación, es un momento estadístico que permite caracterizar una señal

aleatoria en el dominio del tiempo y que, para un proceso aleatorio estacionario,

viene definida por:

T

i í (r) = l i m i fri{tUt + T)dt (1.18) T-*oo 1 J

O

Su transformada de Fourier representa la función de densidad espectral, cuya

expresión es:

oo

G ( / ) = í R{T)ex'p{-i2irfr)dT (1.19) —oo

Teniendo en cuenta que tanto R{T) como G{f) son funciones par, podemos expresar

la siguiente relación, conocida como teorema de Wiener-Kintchine:

S{f) = 4 í RÍT)cos{2TrfT)dT o

(1.20) oo

R{T) = J S{f)cos(2irfT)df o

Donde S{f) representa la función de densidad espectral unilateral. Es decir, aquella

en la que solo se consideran frecuencias positivas, que son las únicas que poseen

significado físico.

El teorema de Wiener(1930) y Kintchine(1934) constituye el fundamento

básico de la metodología propuesta por Blackman y Tukey (1959) para realizar

el cálculo del espectro, mediante la transformada de Fourier de la función de

autocorrelación.

Schuster(1897) describió una técnica para la obtención del espectro, mediante

la transformada discreta de Fourier de una serie de valores numéricos. Este

1.4 Métodos para la estimación del espectro

procedimiento, conocido como método del Periodograma, conlleva un' elevado

número de operaciones aritméticas, por lo que, aunque fue propuesto con

anterioridad aJ método de B-T, no gozó de popularidad entre los científicos que

precisaban del análisis espectral hasta bien entrados los años sesenta. A mitad de

esta década, la técnica del periodograma llegó a alcanzar un papel predominante

frente a la B-T, debido a los avances tecnológicos en el campo de la informática

y al desarrollo del algoritmo de computación propuesto por Cooley y Tukey

(1965), conocido como la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y que

reduce significativamente el tiempo de computación necesario para el cálculo de

la transformada de Fourier de series largas de datos.

A principios de los años setenta, aproximadamente, comienza a surgir con gran

fuerza, una forma innovadora en el análisis espectral de series temporales y

espaciales de datos aleatorios. Estas técnicas, cuyo origen radica fundamentalmente

en los trabajos realizados por los científicos Americanos J.P.Burg (1967,1968)

y Parzen (1968,1969), se distinguen esencialmente de las denominadas técnicas

convencionales en que éstas, a diferencia de las primeras, tratan de ajustar las

series de datos disponibles, mediante un conjunto de parámetros, a modelos del

tipo Autorregresivo (AR) , de Medias Móviles (MA) o modelos mixtos (ARMA).

Es por este motivo que dichas técnicas reciben frecuentemente la denominación de

Métodos Paramétricos.

1.4.1 M é t o d o s Clásicos

La función de densidad espectral puede estimarse, según lo visto anteriormente,

considerando el Teorema de Wiener-Khintchine, es decir, como la transformada de

Fourier de la función de autocorrelación:

oo

5 ( / ) = 4 /"i2(r)exp(-¿27r/r)íir / > 0 ; r > 0 (1.21)

o

o bien, directamente a partir de la definición de la función de densidad espectral, es

decir:

5(/) = lim I I Xif) |2 (1.22) i —•oo i

siendo X{f) los coeficientes complejos de Fourier que se obtienen mediante la

transformada de Fourier de r]{t),

10 Métodos de Análisis Espectral

Xif) = í r]{t)e<-'^''^'Ut (1.23) —co

Estos dos procedimientos reciben, generalmente, los nombres de Blackman-

Tukeyy Transformada Discreta de Fouriero Feriodograma, respectivamente. Ambas

técnicas son denominadas en común como, Métodos Clásicos o Convencionales, en

contraste con los llamados procedimientos Modernos o Paramétricos.

1.4.2 M é t o d o s Paramétricos

Las nuevas técnicas de análisis espectral están basadas en la caracterización de los

procesos estocásticos mediante el ajuste de modelos lineales, autorregresivos (AR),

de media móvil (MA) o combinaciones de ambos (ARMA).

Una magnífica exposición de estos métodos se puede encontrar en el artículo

de revisión de Kay y Marple (1981), así como en los libros publicados por ambos

autores, S.L.Marple (1987) y S.M.Kay (1988). Centraremos aquí nuestra atención,

en la descripción de los métodos de cálculo de la función de densidad espectral

para los modelos AR, haciendo especial énfasis en el procedimiento denominado de

Máxima Entropía, por ser éste el método que con mayor frecuencia y éxito se

ha empleado hasta el momento en el análisis espectral de registros de oleaje, Holm

y Hovem (1979), Peña, et al.(1980), Borgman (1985), Calderón y Marón (1986),

Rodríguez (1992), Rodríguez et al. (1992), etc.

1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro

Consideremos una serie temporal de elevaciones de la superficie libre del mar,

T]{t), de media nida. Admitamos, además, que dicha serie es representativa de un

proceso estacionario y ergódico. A continuación describimos de modo esquemático,

y haciendo hincapié en los aspectos computacionales, las diferentes técnicas que

emplearemos para estimar la función de densidad espectral de diclia serie.

1.5.1 M é t o d o de B lackman-Tukey

Puesto que la media del proceso considerado es nula, las funciones de autocovarianza

y autocorrelación serán equivalentes. Además, por haber considerado un proceso

ergódico, podremos escribir


1

RÍT) = lirn^^ J rj{t)rjit + r)dt (1.24)

o expresión que para un registro de longitud finita tomará la forma

T

ítir) = ^ J V{t)r){t + T)dt (1.25) o

donde R{T) representa una estimación de la función de autocorrelación y no la

verdadera función, puesto que además de haber eliminado el operador esperanza

matemática, admitiendo la hipótesis de ergodicidad, estamos calculando el valor de

dicha función a partir de un registro de longitud finita T. Es decir, no podemos

utilizar ni si quiera, una realización completa del proceso {rjit)], de forma que

los valores que obtengamos para cada r , serán simplemente estimaciones del valor

real, que presentarán una cierta varianza con respecto al verdadero valor de dicho

parámetro.

Con frecuencia, suele emplearse una expresión ligeramente diferente para el

estimador de la función de autocorrelación de un proceso ergódico dada por

r - T

R{T) = ^ ; ^ J iit)r]it + T)dt (1.26) o

Estimadores de la función de autocorrelación

Al definir un estimador de la función de autocorrelación, es importante tener presente

la relación existente entre dicha función y la función de densidad espectral, dada por

el teorema de Wiener-Khintchine, de modo que la ecuación empleada para discretizar

R{T), verifique dicha relación.

Estimador Insesgado

Sea una serie temporal discreta, í?(ín), de longitud finita T en la cual los datos han

sido muestreados a intervalos regulares de tiempo, At. Para obtener numéricamente

la función de autocorrelación a partir de estos datos, Blackman y Tukey (1958)

proponen la siguiente expresión

, N-K-l

Riir) = ^^t_^ E r,itnHtn + T)At (1.27) n=0


eliminando At se puede escribir

N-k-l

N -k n-O

(1.28)

donde

A; = 0.1,2, , M

siendo jV el número de datos de la serie y M el número de Lags, es decir, el máximo

valor que toma k.

Este estimador presenta la propiedad de ser insesgado, es decir, su esperanza

matemática coincide con el valor real del parámetro poblacional que se desea conocer,

R{T).

Estimador sesgado

En lugar de discretizar la expresión (1.26), Akaike (1964) propone hacerlo con la

ecuación (1.25), obteniendo

^2(^)=7FT7 E litnHtn + r)At NAt

(1.29) n=0

Procediendo de igual manera que con el estimador RI{T), se puede escribir

N-k-l

Mr) = M^^At) = R2{k) = ^ ¿ VnVn+k N n = 0

(1.30)

Luego, la única diferencia entre el estimador Ri{k) y el R2Ík) es el factor de

normalización, que mientras en el primero varía con k, en el segundo permanece

constante. Este estimador presenta el inconveniente de ser sesgado para valores

finitos de N, es decir, su esperanza matemática no coincide con el valor real del

parámetro poblacional, R{T).


Densidad Espectral

Anteriormente se demostró que la función de densidad espectral de un proceso

ergódico puede expresarse, en términos de la función de autocorrelación mediante la

igualdad:

oo

5 ( / ) = 4 / i?(T)cos(27r/r)rfr O < / < oo (1.31)

Empleando la regla trapezoidal para aproximar la integración anterior se tiene,

S(fm)=4 ^ R(Tn)cosi2TvfmTn) + ¿(r„_i)cos(27r/^r„_i) / \ 2 ^ • [Tn - Tn-l) n=0

que para registros equiespaciados, en los cuales (r„ - r„_i) se reduce a

(r„ - r„_i) = Ai

se verifica

S{fm) = 2At A / - 1

R{0) + 2 ^ ^(nA/)cos(2;r /„nA0 + ^(A/)cos(27r/,„MA0 n = l

(1.32)

donde M es el número máximo de Lags.

La frecuencia del espectro correspondiente a cada lag viene dada por

fm = m (1.33)

2A/M

donde se han considerado las restricciones impuestas, sobre la resolución frecuencial,

por la longitud finita del registro, T, y la frecuencia de muestreo empleada, 1/Aí.

Estas restricciones tienen su explicación teórica en el Teorema del Muestreo y se

expresan analíticamente, tal como ya hemos comentado, mediante la frecuencia de

Nyquist

fN = 1

2Aí

de forma que si para valores dados de M y Ai la resolución frecuencial viene dada

por


A / = MAt

la frecuencia máxima resoluble será

fmax = MAf = 2Aí

de donde

A/ = 2AíAÍ

por lo que

/„ = mA/ = m 2AtM

Incluyendo esta restricción en la ecuación (1.32), se puede escribir

5 (mA/) = 2Aí M - l

RÍO) + 2 ^ Á(nAí) eos ( ^ ) + R{M) eos / "— n = l

O bien, teniendo encuenta que

ÍTn-K\

es decir,

luego

- 1

\ M J

para m par

para m impar

VM

eos teUr-\M ) = (-ir

(1.34)

(1.35)

SimAf) = 2Aí <M-1

¿(0) + 2( ^ É ( n A í ) c o s ( ^ n + ( - l ) ' " ^ (M) . n = l

(1.36)

para


n = 0,1.2,---,AÍ y m = 0,1,2,-•• , M

Obviamente, si consideramos el teorema de Wiener-Kintchine. la función de

autocorrelación de T]{t) podrá ser obtenida como la transformada de Fourier de

Sif)

R{T) = í S{f)cos2TrfTdf O < r < oo (1.37)

Empleando la regla de integración trapezoidal para discretizar esta ecuación se tiene.

R(nAt) = 1

4MAt 5(0) + 2 Í ' ¿ ' 5 ( m A / ) c o s ( = ) U ( - i r 5 ( M )

(1.38)

para

n = 0 ,1 ,2 , - - - ,M m = 0 , l ,2 , - - - ,AÍ

Puede demostrarse (ver p.ej. Rodríguez, 1993) que las estimaciones espectrales

obtenidas mediante la expresión (1.38) poseen una elevada varianza, siendo necesario

emplear algún método de suavizado que reduzca esta alta variabilidad estadística.

El procedimiento normalmente seguido para obtener tal fin es el empleo de ventanas,

bien en el dominio de los desfases temporales, bien en el dominio frecuencial.

1.5.2 Transformada Discreta de Fourier

La función de densidad espectral definida previamente como

S{f) = lim - I X(/) p r—^oo 1

(1.39)

donde X{f) son los coeficientes complejos de Fourier, puede estimarse directamente

a partir de la serie temporal r}{t), mediante la transformada de Fourier de ésta, sin

necesidad de obtener la función de autocorrelación. La transformada de Fourier de

una serie temporal discreta puede expresarse como


A'(/) = E^(0^~"''^'^' (1-40)

La estimación del espectro así obtenida recibe normalmente el nombre de

Periodograma.

Estimación del Periodograma

Considerando una serie temporal discreta, constituida por N puntos muestreados en

intervalos de tiempo equidistantes Ai

viU) = Vn = r?(nAí) n = 0,1,2,• • •, A - 1

podremos limitar el rango de variación de la sumatoria entre O y N-1, de forma que

para una frecuencia dada se tendrá

i V - l

X{fm) = Ai E T/(<„)e-2'^^'"'" (1.41) n=0

para

m = 0 , l , 2 , - - - , A f - 1 y n = 0,1,2,-• • ,7V - 1

donde

tn = nAt y fm- mAf

siendo A / la resolución frecuencial obtenida al realizar la transformada de T](t). Es

decir, A / representa la separación entre las frecuencias asociadas a cada dos valores

de X{fm) consecutivos.

Para una serie temporal de duración T = iVAí, la relación entre la resolución

frecuencial y el intervalo de muestreo viene dada por

NAt

de forma que


^ , ^ . . . 'Iirmn ^~jmtn = 2-mnAfAt = —-—

por lo que la Transformada Discreta de Fourier para 7/(í) se podrá escribir como

Xifm) = Ai j ; T^ í í je -^- -^^"^ ' (1.42) n=0

O bien

N-l

X(U = Ai 5^ T?( /„)e(" ' ' ^ ) (1.43) n=0

donde cada valor de /„, vendrá dado por

m • '" ~ ivÁí ^^^^ m = 0 , l ,2 , , i V - l

Sin embargo, no será necesario realizar el cálculo de los coeficientes complejos

de Fourier hasta el punto N-l puesto que, debido a las propiedades matemáticas

intrínsecas a la transformada de Fourier, se verifica la siguiente relación de simetría

X{U = Xifrn-N) (1.44)

Luego, solamente será preciso especificar X{fm) para valores de m comprendidos

entre O y iV/2.

Ademas, para un periodo de muestreo Ai, la frecuencia máxima que puede ser

resuelta viene dada por la frecuencia de Nyquist, /A^,

Jmax — ^ . . = JN

Es decir, el valor máximo que puede tomar m en fm vendrá determinado por

NAt 2At • • ••"" ' '^- 2

En otras palabras, para m igual a N/2 se tiene el valor de la frecuencia máxima

resoluble, JN

f - f - ^V2 _ 1 _ ,


Esto es, el valor máximo de m debe ser, como ya se había apuntado,,i\72, de forma

que con los valores de X{f) asociados a las frecuencias pertenecientes al rango

O < /m < /iV

obtendremos toda la información que nuestro intervalo de muestreo Ai nos permite.

Por otra parte, considerando la relación de Euler, el término exponencial de la

transformada discreta de Fourier se puede escribir como

g(-¿27rmn/Ar) ^ cos(27rmn/iV) - sen{27rmn/N)

Es decir, los coeficientes complejos de Fourier pueden ser descompuestos en una

parte real (Sí) y otra imaginaria (G), tal como sigue

Xif) = ^[Xif)]-iQ[Xif)] (1.45)

donde

§?[X(/TO)] = A Í 2 j ^n (^os ( ——— j — ' Transformada Coseno (1-46)

[X(/m)] = Ai ^ í?n-sen í ——— j —*• Transformada Seno (1-47)

Es decir,

X{ím) = iV-1

n=0 eos

2nmn N

N-l

iAt Y, nn sen n=0

271 mn

N (1.48)

que escrito en forma más compacta es

Entonces, según la definición dada para la función de densidad espectral

5 ( / ) = lim -\X(f)f


y teniendo en cuenta que

podremos obtener una estimación de la función de densidad espectral, considerando

que el registro analizado es de longitud finita, mediante

S{U = I I X(fm) P (1.49)

expresando X{fm) en función de las transformadas seno y coseno y extrayendo como

factor común el valor Ai. se tiene

para

m f^ = J^t ' "^ = 0 '1 '2 ' ' ^ / 2

Los términos Sím e 9 ^ se pueden obtener directamente a partir de sus definiciones,

es decir,

5í[X(/^)] = A / X : \ n C 0 . ( ^ )

^[X{fm)] = Ai ^ v^seni——] n = 0 \ ly /

Sin embargo, este proceso requiere un tiempo de computación muy elevado,

principalmente para valores altos de N. Sin embargo, estas expresiones pueden

ser resueltas empleando el algoritmo de la " Transformada Rápida de Fourier'\ que

permite reducir sustancialmente el número de multiplicaciones involucradas en la

resolución de las expresiones anteriores, consiguiéndose así una reducción drástica

en el tiempo de computación necesario.


Suavizado del Periodograma

El análisis de las propiedades estadísticas de los coeficientes de Fourier revela

que éstos presentan una elevada varianza respecto a su valor medio. De esta

forma, el espectro "crudo''' obtenido directamente a partir de los mismos, no puede

proporcionarnos resultados estadísticamente significativos.

La forma más elemental de reducir la variabilidad de las estimaciones

espectrales es emplear el operador ""promedió". Los promedios para suavizar léis

estimaciones espectrales pueden ser:

1. Promedio de diferentes estimaciones para la misma frecuencia.

2. Promedio de las estimaciones centradas alrededor de una frecuencia dada.

Para obtener varias estimaciones espectrales para la misma frecuencia, a partir

de una serie temporal discreta, se debe subdividir la secuencia de observaciones en

segmentos de menor tamaño. Automáticamente, ésto da lugar a una disminución

en la resolución frecuencial.

Al promediar estimaciones alrededor de una frecuencia dada, éstas deben ser

estadísticamente independientes entre sí para que el promedio sea fructífero. Si el

espectro varía rápidamente sobre dichas frecuencias, el promedio generará un sesgo

significativo.

Los promedios tipo (1) corresponden al denominado método de Bartlett,

(Bartlett, 1948). Este método fue modificado posteriormente por Welch, (Welch,

1967). Los promedios tipo (2) constituyen el método de suavizado propuesto por

Daniell, (Daniell, 1946).

Método de Daniell

El método propuesto por Daniell (1946) es ,probablemente, el primero y más

básico de los estimadores del periodograma suavizado. Este método consiste en

realizar un promedio, uniformemente ponderado, de un número determinado de

estimaciones adyacentes del espectro "crudo", admitiendo que éstas son mutuamente

independientes y que la función de densidad espectral S{f), varía lentamente con la

frecuencia. De esta forma, es posible suavizar las fluctuaciones rápidas que presenta

el periodograma.

Para una serie temporal T){t) de N datos equiespaciados temporalmente en Ai,

{'?(0),í?(l), ,í?(A^-l)}


se obtienen N/2 estimaciones espectrales en el intervalo O < / t < /AT,

{s(fo),S{fi),S(f2), JÍ/N)}

donde /o corresponde a la frecuencia / = 0 y /;v representa la frecuencia de Nyquist.

La frecuencia / t vendrá dada por

donde

fk =

k = 0,1,3,

NAt

' 2

La estimación S{fk), asociada a la frecuencia /¿., puede ser suavizada mediante el

promedio de las m estimaciones anteriores y posteriores y ella misma. Esto es,

Sifk) = Sifk-m) + Sifk-m+l) + ••• + Sih) + ••• + Sifk+m-l) + S(fk+m)

2 m 4 - l

Por tanto, la función de densidad espectral estimada será

1 "*

j = - m

(1.51)

de este modo, el número de estimaciones espectrales que se obtienen es,

N 2(2m+l)

correspondientes a las frecuencias

fk = 2m + j=-m

Los argumentos dados anteriormente para el cálculo de S{fic), deben ser modificados

al determinar las estimaciones correspondientes a las frecuencias / = O y / = ^^ • En

este caso, dado que S{f) es una función par, que estimada más allá de /o y / ü , se

repite como una imagen especular, los valores de S{fk) a cada lado de la frecuencia

central serán los mismos. Entonces, para A- = 0,


5(0) 1

2m + 1

y para fk = ^^= /^vys,

S{fN/2) = 1

5(0) + 2 ^ 5 ( / , + , ) j = \

2m+ 1 S{N/2) + 2j2S{h-j)

3 = 1

La generalización de éste método se puede entender como la aplicación de un

filtro de péLso bajo, con función de respuesta H{f), al "nití; espectró'\ (Marple, 1987).

Esto es, el periodograma suavizado mediante el método de Daniell puede expresarse

como la convolución del "raiü" espectro con un filtro de paso bajo

5 ( / ) = 5 ( / ) * ^ ( / )

Las ideas fundamentales de éste método pueden visualizarse en la figura (1.3). En

la figura (1.4) se ilustra un esquema del algoritmo de cálculo del espectro, suavizado

mediante el método de Daniell.

Método de Bartlett

Dadas K variables aleatorias incorrelacionadas,

Xi,X2, ,XK

cada una de ellas con media n y varianza c^, su media aritmética

X1 + X2 + + XK

K

tendrá el mismo valor medio, /i, mientrcis que su varianza será a^ ¡K. Este hecho

sugiere que la varianza de las estimaciones espectrales del periodograma se puede

reducir, en un factor 7v', dividiendo la serie de datos observada.

rj{t) = r]{nAt) = rjn n = 0, l , ,N-l

en K segmentos con M datos cada uno y promediando sus correspondientes

periodogramas.

Este tipo de estimador para reducir la varianza del periodograma se debe a

Bartlett (1948), quien propuso para tal fin, subdividir la muestra de N puntos en

K segmentos, cada uno de ellos con M puntos, de forma que


HMÍII : ancs im§.)

C ' It W « *« M M Itt tu t** tío tn Itt (M U< t40 tSt rctn^w (ng.)

¿IL.

I.»

J

V • O.OOai ! f m í

WU: iliWiMi !•! cf* •.>< • . j ü c . x f «Ja tjs «.40 «.« S.M

J ^ -

ÍM-I

U l

U -

U -

, , J -

l,a.

§..íi f.*-

«L«-

0 ^ -

«UH

ta^Mlr* nn tf » 0.01*5

«Ta. «( MWWMI

I i J . J . ! , .> , . f , > , • , . , .

nma*) • v • fO wnn • St

•.M « M a.fs «Lff illa 0.13 OJO «.» a.4S a.4s AJO

Figura 1.3: Suavizado del Periodograma según el procedimiento de Daniell


Inicio

'^i]{nAt); n = 0 , l , - - - , i V - 1.

N-l Ji—í í - i2Trnm A

X{h) ^AtZ r]{nAt)ei—^) n=0

sih) = Ai l' '(A-)l

2m + 1

Si No

Sih) = 2 ^ 2m+l 5(A) + 2E^(A-±,) j = i

5(A) 2m+l E 5(A+,) j=-m

S{f)

Figura 1.4: Diagrama de flujo para el método de Daniel!


N = K.M

Es decir, la muestra rf^t) se fracciona en los siguientes A' segmentos,

%(0 = í/o, í?!, , 77(A/-i)

í / i ( í ) = f/A/, '7M+1, , ri(2M-\)

V{K-l){i) = V{K-l)Mi'n(K-l)M+-l, ^V{KM-1) .

que en forma compacta expresaremos como

r)j{l) = r]{I^.JM]

donde

í 7 = 0 , 1 , 2 , - - - , M - l

\ J = 0 , 1 , 2 , - - - , A ' - 1

A continuación, se estima el periodograma para cada uno de los K segmentos,

mediante la expresión,

M-\

7 = 0

(1.52)

Por último, promediamos los periodogramas correspondientes a cada segmento, para

obtener la función de densidad espectral suavizada,

SU) = 1 [5o(/) + S^if) + + S^K-i){f)]

o bien.

j=o (1.53)

La figura (1.5) ilustra gráficamente este procedimiento, mientras que en la figura

(1.6) se presenta un esquema del algoritmo de computación.


o 14 lU llt

te

Sll> I

H • Sil

J v^^ «.»• 9,1* KM

x j

JTapaetro 5 U * M T W £

. » 1

? ¿WH

i «

¿: w •LM

1

iw -íti tat ÍLM *J mn» (BM) »

» • • I l » l . I • mM & M flifo & i i « L M «.U Olio

"*] "?

hJ\ S 1 •o J

XM ' •LM X

&f«

W

^ ^ r ILM i L n

s f 04a

• L U <LJ (•«•J

Figura 1.5: Suavizado del Periodograma mediante el método de Barttlet


Inicio

4){nAt); n = 0,l,---,N -ly

y~iry

M = ^

J = 0

r]j = j]{I+JM)

7 = 0 , 1 , 2 , - - - , A / - l

SÁf) = W M-l

J = J+1

sif) = 1

'

A ' - l .

E Sjif) J=0

•

Sif)

Figura 1.6: Diagrama de flujo para el método de Bartlett


En este método se admite que el valor de R(T), en cada, segmento, es

despreciable para valores de r mayores que A/, De esta forma, es razonable

admitir que los periodogramas asociados a cada segmento son estadísticamente

independientes entre sí.

Método de Welch

Welcli (1967) propuso una modificación del método de Bartlett, que básicamente

consiste en aplicar una ventana de datos, diferente de la rectangular, a los diversos

segmentos en los que se subdivide la serie original, y permitir además que tales

segmentos puedan solaparse. El objetivo que se persigue al utilizar las ventanas de

datos es el de reducir el sesgo de las estimaciones, minimizando el efecto leakage,

aunque ésto provoque un ligero descenso de la resolución frecuencial. El permitir el

solapamiento de los segmentos tiene como fin el aumentar el número de segmentos o,

lo que es equivalente, de periodogramas a promediar, para así conseguir una mayor

reducción de la varianza de las estimaciones espectrales.

La aplicación de estas mejoras, conjuntamente con la eficiencia computacional

del algoritmo FFT, han permitido que el método de Welch se halla convertido en el

procedimiento de estimación espectral más frecuentemente usado en la actualidad.

El método de Welch puede ser descrito tal como sigue. Sea un registro de N datos,

r}{t)

{'?(0),í7(l), ,rj{N-l)]

Al dividir T¡{Í) en K segmentos, de M datos cada uno, solapados en una cantidad

{S = M — D), donde D representa el desplazamiento entre segmentos adyacentes, el

comienzo de la segunda secuencia se localiza en la ordenada D, la tercera secuencia

en 2D y así sucesivamente, hasta alcanzar la posición N — M — 1, origen de la ultima

secuencia a analizar. De esta forma, los K segmentos pueden expresarse como,

Voit) = %, í?i, , ?7(A/-i)

^ i (0 = VD,'nD+i-, •,VD+M--I)

»?2(0 = ^2D, í?2D+l, , %D+(A/-1)

^(A--l)(*) - '?(A'-l)D,'/(/\-l)D+l7 ,V{K-\)D+{M-1) ,


o bien, en forma compac ta

donde

rjj{I) = r^iI + JD)

í I = 0,l,2,---,M - 1

1 J = 0 , 1 , 2 , - - - , A ' - 1

siendo JD el origen de la J-esima secuencia. Es decir, la diferencia entre el número

de datos por segmento y el de los datos solapados,

JD = J{M - S)

Para un M y un 5 dados, el número de subseries que se obtiene, a partir de un

registro de N datos, viene dado por la parte entera de

K = INT N -S

.M - S.

o teniendo en cuenta que la cantidad de desplazamiento D es

{D = M - S) K = INT N - M + D

D

la expresión de los diferentes segmentos ponderados mediante la ventana de datos

sera

nj{I) = w{I)-r¡{I + JD)

y el espectro correspondiente a cada uno de ellos,

SAf) = \Xj{fW o< / < 1

UMAt ' •'^"' ' - ' - 2Aí donde Xj{f) es la transformada discreta de Fourier del segmento J-ésimo,

M-\

XJU) = AtY: w{l)njil)e^-''-^^'''^ 1=0

y ¿y es un factor de correción, introducido para soslayar la reducción de energía

(varianza) en la subserie al aplicarle la ventana, de datos.


Una vez calculados los periodogramas correspondientes a cada una de las K

subseries, se realiza el promedio de éstos, obteniéndose el estimador espectral de

Welch,

s^''\f) = TE SAf) ^ ' . = 0

(1.54)

Este procedimiento se ilustra esquemáticamente en las figuras (1.7) y (1.8), y en la

figura (1.9) se muestra un diagrama de flujo, con los pasos principales a seguir en el

proceso de computación.

1.5.3 M é t o d o de M á x i m a Entropía

Los métodos no-paramétricos vistos anteriormente (BT y FFT) precisan de registros

de datos largos para poder obtener la resolución frecuencial que se requiere en muchcis

aplicaciones. Además, estos métodos presentan el problema del "leakage^'' inherente

a los registros de longitud finita. Con frecuencia, el efecto del leakage enmascara

señales débiles que están presentes en los datos.

La limitación básica de los métodos no-paramétricos, es la hipótesis impL'cita

de que las estimaciones de la función de autocorrelación, ¿ (mAí) , es cero para

m> N. Esta suposición limita severamente la resolución frecuencial y la calidad de

la estimación de la función de densidad espectral obtenida. Por otro lado, la hipótesis

impL'cita en la estimación del periodograma es que los registros son periódicos, de

periodo NAt. Ninguna de estas dos hipótesis es en absoluto realista.

Los denominados métodos paramétricos no requieren tales hipótesis. En

realidad, estos métodos extrapolan los valores de la función de autocorrelación para

lags m > N. La extrapolación es posible si tenemos alguna información a priori de

como se han generado los datos. En tal caso, se puede construir un modelo, para la

generación de la señal, con un número de parámetros que pueden estimarse a partir

de los datos observados. Mediante el modelo y los parámetros estimados, podemos

calcular la función de densidad espectral correspondiente al modelo seleccionado

para caracterizar el proceso.


l04íl¡W¡^4'^

f^MM^ I ' I • I ' I

tu tu tu U4 Ut

t-t u t u t u U4 t u

tmrJ t U §4 U

Figura 1.7: Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte I


§'

cr

I

Myntt • iliiKi t

ts—sr .wal

| H

i ?L al» ' '«.i* 0.r ^ °'

i-

x s — = " ..«&«»^ • (••;

*M M> AN &M AM « • & •

> « ;

f qitetrv prom*c(iaiio

uso «.M (Lf* CfS /rteumeia fffsj

Figura 1.8: Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte II


f Inicio j

^rj(nAt); n = 0 ,1 , - • • ,iV - 1

ZEJI7

D = M-S; K = INT N-M+D D

A/-1 z = Í7 E Mi)Y

1=0

J = 0

r]j{I) = r¡{I + JM); O < / < M - 1

7/j(/) = w{I) • rjil + JD)

SJU)=m 1=0

No 7 = 7 + 1

Si •

SU) = 1 ' E ' SJU) J=0

' '

SU)

Figura 1.9: Diagrama de flujo para el método de Welcii


En consecuencia, este procedimiento elimina la necesidad de ventanas y

la hipótesis de que la función de autocorrelación es cero para m > N. Por

ello, los métodos de estimación de la función de densidad espectral paramétricos,

proporcionan una mejor resolución frecuencial que los métodos no-paramétricos y

evitan el problema del "leakage".

Los métodos paramétricos se basan, en general, en modelizar la serie temporal ri{t)

como la salida de un filtro lineal. Como caso particular, los procesos AR, MA y

ARMA pueden considerarse generados a partir de un ruido blanco, mediante un

filtro lineal:

Filtro lineal rP{B)

i írt 1 * [Vt]

En general, el proceso de filtrado adquiere la forma

rit = ^{B)wt = (1 - ipiB - ^2^2 )wt

donde •0(5) es un operador polinómico, denominado función de transferencia del

filtro. En el caso particular de los procesos AR, MA y ARMA, las funciones

de transferencia del filtro se denotarán respectivamente por: <^~^(5), 0{B) y

cl>-HB)9{B)

Luego, un proceso AR(p) podrá expresarse como

Vt = 4>\'nt-\ + 4>2-nt-2 + • • • + <t>pm-p + '^t

donde {<jl>,} es conjunto de constantes y {wt} un ruido blanco. Entonces,

<t){B)rft = Wt


rjt = (t>-\B)wt

El término

cpiB) = 1 - <l>iB - 4>2B'' cppB^

es un operador autoregresivo de orden p y 5 es el operador de desplazamiento

inverso.

En general, los diferentes modelos paramétricos considerados pueden escribirse

como

Proceso lineal general rjt — %l^{B)wt

Proceso AR (p(B)r]t — Wt => T]t = 4>~^(B)wt

Proceso MA ^ ^ = wt => rjt = 6{B)wt

Proceso A R M A 4>iB)rit = e{B)wt ^ m = ^Wt

Expresando la función de transferencia del filtro mediante la transformada z, en

lugar del operador desplazamiento inverso, se tendrá para un proceso ARMA la

siguiente función de transferencia

Hiz) = f g = - ^ , (1.55)

siendo la ecuación lineal en diferencias correspondiente

P 9 •n{t) = Tl{nAt) = T]n = -Y^ akTJn-k + ^ bkWn-k (1 .56)

donde Wn es la secuencia de entrada al sistema lineal, mientras que los datos

observados, Tjm representan la secuencia de salida. Los coeficientes a/.- y bk son

los parámetros del modelo (o coeficientes del filtro).

En la estimación de la función de densidad espectral, la secuencia de datos de

entrada no es observable. Sin embargo, si los datos observados se caracterizan

como un proceso aleatorio estacionario, entonces la secuencia de entrada también


es considerada como un proceso aleatorio estacionario. En tal caso» la función de

densidad espectral del registro de datos viene dada por

Sr,if) = \Hif)\'SM) (1-57)

donde Swif) es la función de densidad espectral de la secuencia de entrada y H{f)

es la respuesta frecuencial del modelo.

Dado que nuestro objetivo es estimar la función de densidad espectral 5,,(/),

será conveniente admitir que la secuencia de entrada, u?„, es un "ruido blanco''' de

media nula y con autocorrelación

RUT) = Rn,{mAt) = RJm) = a^¿(m) (1.58)

donde a^ es la varianza del ruido blanco. Esto es,

< = E [wl

Luego, la función de densidad espectral de los datos observados será simplemente

mf)\' \Aif)\'

Sr,if) = crl \Hifr = KTTTTT^ (1-59)

Según este procedimiento, la estimación de la función de densidad espectral consiste

esencialmente en dos pasos:

1. Dada la secuencia de datos,

{r]{n)} ; O < n < A - 1

se calculan los parámetros del modelo, {cfc} y {bk}.

2. Entonces, se determina la estimación de la función de densidad espectral a

partir de dichos parámetros, mediante (1.57).

De los tres modelos lineales vistos, el modelo AR es, con mucho, el más ampliamente

utilizado. El motivo es doble. Primero, el modelo AR es apropiado para representar

espectros con picos estrechos. Segundo, el modelo AR da lugar a ecuaciones lineales

muy simples para la estimación de los parámetros AR, {uk}.

Sin embargo, el modelo MA, por lo general, requiere muchos más coeficientes

para reperesentar un espectro estrecho, motivo por el cual es empleado con menor

frecuencia en las estimaciones espectrales.


Dado que el modelo ARMA combina polos y ceros, presenta una mayor

eficacia, desde el punto de vista del número de parámetros del modelo, para

representar el espectro de un proceso aleatorio. Sin embargo, la estimación de los

parámetros resulta bastante más compleja.

Por otro lado, teorema de Cramer-Wold, (Cramer, 1946), afirma que existe

un único modelo AR para la representación del proceso % — Dt- Esto es. cualquier

proceso estacionario con su parte determinista eliminada (incluyendo el valor medio)

puede ser representado por un modelo AR, o de modo más general, por un modelo

ARMA. Una expresión análoga de este teorema es:

Todo proceso ARMA o MA puede ser representado unívocamente mediante un

modelo AR de orden infinito, y cualquier proceso ARMA o AR puede

representarse por un modelo AM de orden infinito.

En consecuencia, la elección del tipo de modelo a emplear, se reduce a seleccionar

el modelo que requiere un menor número de parámetros y cuyo cálculo sea lo más

sencillo posible.

Estimación de los parámetros AR

La estimación de los coeficientes de un modelo AR puede realizarse, a partir del

las ecuaciones de Yule-Walker, mediante diversos métodos. Los dos más utilizados

son el método de Yule-Walker y el método de Burg. La diferencia esencial entre

ambos es la forma de estimar la secuencia de autocorrelación de la serie temporal

observada.

En el método de Yule-Walker, la secuencia de autocorrelación se obtiene de

forma independiente, utilizando el estimador sesgado (1.30), para luego resolver

las ecuaciones de Yule-Walker. El estimador sesgado da lugar a una matriz de

autocorrelación semidefinida positiva. Sin embargo, el uso de dicho estimador

implica admitir que los datos fuera del intervalo de observación son cero, suposición

que claramente viola el principio de máxima entropía.

Para soslayar este inconveniente, Burg (1967,1968) propone minimizar directamente

la varianza del error de predicción (potencia del error de predicción o varianza del

ruido blanco). El error de predicción es considerado como la suma de las varianzas

de las predicciones de error directa e inversa. La minimización del error en ambos

predictores conjuntamente, conduce a la obtención de un operador de predicción

de error de mínimo desfase, e imph'citamente a la estimación de una secuencia de

38 Métodos de Análisis Espect ra l

autocorrelación semidefinida positiva (Smylie et al., 1973). De este raodo se elimina

la necesidad de conocer a priori la función de autocorrelación. Para una discusión

detallada de estos métodos, (ver, p.ej., Rodríguez, 1993).

Estimación espectral MEM

El método de Burg para la estimación espectral se denomina frecuentemente

como método de máxima entropía (MEM), criterio empleado por Burg

(1967,1968,1975) como base para la modelización AR en la estimación paramétrica

del espectro.

Burg consideró el problema de como realizar la mejor extrapolación de la función

de autocorrelación Rn{m), para valores de m > p, a partir de la secuencia

R,j{m) ; -p < m < p

de modo que la secuencia de autocorrelación completa fuese semidefinida positiva.

Puesto que existe un número infinito de extrapolaciones posibles, Burg postuló que

la extrapolación debía ser hecha en base a la maximinización de la incertidumbre

(entropía o aleatoriedad), en el sentido que el espectro del proceso Sr,{f) sea el más

plano de todos los posibles espectros, con la secuencia de autocorrelación dada.

Considerando que la entropía por muestra de un proceso Gaussiano, que

consideramos de media nula, es proporcional a la integral

H= J logSr,{f)df (1.60)

-JN

Burg, utilizando los multiplicadores de Lagrange, encontró que sometida a las (p+1)

restricciones

IN IN

J Sr,if)z"'df = I 5^(/)e'2'-^'"^'í// = Rr,{mAt) ; O < m < p (1.61)

-JN -JN

es decir, bajo la condición de que 5^(/) debe ser consistente con la secuencia de

autocorrelación conocida.

el máximo de dicha integral es el proceso AR(p) para el cual la secuencia de

autocorrelación dada, R,^{m), está relacionada con los parámetros AR mediante

la ecuación

1.5 Técnicas pa ra el cálculo au tomát ico del espect ro 39

í P

-ff„(m) = <

- ^ akRr,{m - k) ; m > O

- E akRnim - k) + crl, ; m = O (1.62) k=l

[ R;{-m) ; m < O

Expresando Sr,{f) en términos de la función de autocorrelación, en la integral (1.60),

se tiene la igualdad

IN

-ÍN

J2 R{mAt)e-'^''f"'^'df (1.63)

cuya maximización, mediante los multiplicadores de Lagrange, da lugar al siguiente

problema de variaciones

IN

-ÍN 1-

log5,(/) - ¿ A„ (5„(/)e'2'^^'"^' - R{mAt)) df msz—p

= 0 (1.64)

donde los multiplicadores Lagrangianos se determinan imponiendo las restricciones

dadas por (1.61).

La solución al problema de variaciones anterior, conduce a la expresión de la función

de densidad espectral bilateral de máxima entropía (Smylie, et al., 197.3), dada por

sru) Ata?.

1 + É áp(m)e-'2'^/'"^« m = l

; \f\<fN (1.65)

Puesto que 5,,(/) es una función par, para un proceso real la expresión anterior toma

la forma

sru) ÍN 1 + É áp(m)e-'2^/'«^*

m = l

; 0<f<fN (1.66)


Algoritmo de computación MEM

Dada una serie temporéd, íy(nAí), que representa una realización finita de un proceso

estocástico {T]{t)} Gaussiano y de media nula,

77(nAí) = 7?„ ; 1 < n < A''

la estimación de la función de densidad espectral de máxima entropía

correspondiente, conlleva el ajuste de un modelo AR a la serie T]n.

Al ajustar un modelo AR de orden p a dicho proceso, el cálculo de los coeficientes

{cm}, implica resolver el sistema de ecuaciones dado, en forma matricial, por

Rr,{0) Rr,{-1)

Rr,{l) RM

Rr,{p-l) Rniv-2)

RÁ-p)

Í2r,(-P+1)

i2,(0)

1

O

La resolución de éste sistema de ecuaciones, mediante el método propuesto por Burg

(1967, 1968), puede realizarse de la siguiente manera:

1. Inicialización de la varianza muestral de predicción de error

Para el orden A/ = 0, se tiene que

-2 ÍE(0) • 1 = áá

Luego,

N

p — »2 _ n=l Zvi N


2. Inicialización de los errores de predicción directa e inversa

fo(") = Vn , fo(^) = ^n

l<n< N

3. Estimación recursiva de los errores de predicción directo e inverso

d/(") = ^ii-iin - 1) + KM^Íí-iin)

M + l<n< N

4. Estimación del coeficiente de reflexión

¿MÍM) = KM =

2 E eÍj_,iny^_,in-l) n-M+l

N

E n=M+l

H/-i("))' + (4í- i ("- i)) '


M + l<n< N

5. Estimación de la varianza del error de predicción

PM = ^M = ^M-i ( l - -'Í'A/J

6. Cálculo de los coeficientes del modelo

áMim) = áM-iim) + KM • aM-\{M - m)

O < m < M = Mopt = p

donde, para m = 0,

áM(0) = 1

7. Estimación de la función de densidad espectral

s....U) = al

ÍN 1+ Y. áp(m)e-'2'^/'"^'


0<f<fN O < m < p

Méritos y deméritos del método de Burg

A continuación comentamos las principales ventajas que el método de Burg presenta,

frente a los métodos convencionales, para la estimación espectral de un proceso

aleatorio, así como los problemas más importantes que presenta dicha técnica.

Los métodos convencionales requieren del uso de ventanas (temporales, de

desfase o espectrales) para reducir el efecto del "leakagé"' y como consecuencia, existe

una perdida de resolución frecuencial. Además, ya se ha comentado en capítulos

anteriores que existen fuertes discrepancias sobre la utilidad de las ventanas. Uno

de los motivos principales que originan tales discrepancias, es que las ventanas

modifican los datos originales sin tener en cuenta las características del proceso

aleatorio. Es decir, no existe ningún tipo de relación o dependencia entre las

propiedades de las series y las de las ventanas aplicadas. De éste modo, puede

ocurrir que las conclusiones obtenidas sean erróneas. Así, por ejemplo, ciertos

picos presentes en el espectro estimado, pueden tener su origen en un efecto de

"/ea/fcajre" generado por los lóbulos laterales de la ventana, y no reflejar la estructura

del espectro verdadero. Los problemas generados por el uso de las ventanas resultan

particularmente importantes, si la cantidad de datos disponibles es tan limitada,

con respecto a los requerimientos de estabilidad de las estimaciones espectrales,

que no exista una ventana capaz de ofrecer la resolución necesaria para resolver las

componentes presentes en la serie analizada.

Por otra parte, se deben emplear registros de datos suficientemente largos para

obtener estimaciones con una estabilidad estadística aceptable. Por ello, con

frecuencia, se suelen analizar registros de duración entre 20 y 30 minutos. En

el contexto de la estacionareidad, éstas longitudes de registro son bastante

cuestionables y pueden restringir enormemente, en caso de no verificarse dicha

hipótesis, la utilidad de los datos disponibles. Por otro lado, éstos métodos necesitan

la utilización de algún proceso de suavizado (medias móviles ponderadas, promedio

de las estimaciones obtenidas al segmentar la serie original, etc.), con lo cual la

resolución frecuencial disminuye y el sesgo de las estimaciones se incrementa.

El método MEM posee la ventaja de no precisar el uso de ventanas que modifiquen


la serie original, puesto que la extrapolación de la función de autocorrelación

maximizando la entropía evita las discontinuidades en los extremos, y por tanto el

problema del " leakage^. Según Lacoss (1971), es como si al determinar la estimación

espectral correspondiente a una frecuencia dada, el método se autoajustase para que

ésta no sea afectada por las estimaciones asociadas a otras frecuencias. Es decir, se

podría pensar en una ventana hipotética que se autoadapta al espectro de la señal

analizada. Esta particular interpretación es la que induce a dicho autor a denominar

al método MEM como método adaptativo de análisis espectral.

El método de máxima entropía tampoco requiere procedimientos de suavizado

para disminuir la varianza de las estimaciones. Una propiedad extremadamente

importante del estimador MEM es su naturaleza ^'óptimamente suavizadd\ Ulrich h

Clayton (1976). La razón de ésta característica es que el espectro estimado mediante

el método MEM, es el espectro del proceso, siendo la serie analizada una realización

del mismo. El periodograma suavizado es el espectro de la realización.

Por otra parte, la extrapolación de máxima entropía de la función de autocorrelación

da lugar a una función de densidad espectral (1.66) que es una función continua de

la frecuencia, proporcionando así una mejora sustancial de la resolución frecuencial.

Sin embargo, el método de Burg también posee algunos inconvenientes.

1. El principal problema del método MEM es la selección del orden del modelo

AR a ajustar. La dificultad en la elección de ciertos parámetros, para obtener

una estimación espectral aceptable, es un mal común a todas las técnicas de

análisis espectral (Gutowski, et al., 1978).

2. El método exhibe un desdoblamiento de lineas espectrales para relaciones

señal-ruido elevadas (ver Fougere et al., 1976). Es decir, que el espectro de

77(71) puede tener un* único pico apuntado, pero el método de Burg puede dar

lugar a dos o más picos muy próximos entre sí.

3. Para órdenes del modelo muy altos, el método también introduce picos falsos.

4. Para señales sinusoidales con un elevado nivel de ruido, el método de Burg

es sensible a la fase inicial de una sinusoide, especialmente en registros de

datos cortos. Esta sensibilidad se manifiesta como un desplazamiento de la

frecuencia respecto de la verdadera frecuencia, dando lugar a un sesgo en las

frecuencias que depende de la fase.


Para más detalles sobre estas limitaciones ver, por ejemplo, Chen y Stegen

(1974), Ulrich y Clayton (1976), Fougere et al. (1976), Kay y Marple(1979), Swingler

(1979a, 1980) y Thorvaldsen (1981).

Selección del Orden del modelo

La selección del orden del modelo AR, p, es una parte importante en el proceso de

modelización. Si la señal analizada es parte de un proceso AR puro de orden p, todos

los coeficientes ajt, para k > p son iguales a cero, existiendo una única solución para el

orden del modelo exacto, (Papoulis, 1981). Por otro lado, la mayoría de los procesos

reales, incluyendo las series temporales de los desplazamientos de la superficie libre

del mar, no son procesos AR puros. Luego, los coeficientes AR nunca serán cero

para cualquier orden, p, y en consecuencia no existe una solución única para el orden

del modelo.

La selección del orden óptimo de un modelo no-AR es un problema difícil, que

debe ser considerado de diferente manera para cada aplicación. Esta es una de las

principales desventajas de los métodos de análisis espectral no-paramétricos.

La mayoría de los criterios propuestos, para estimar el orden de un modelo

lineal, están bz^ados en la minimización de la varianza del error de predicción, a^,.

Sin embargo, para un proceso no-AR o un proceso AR con "ruido" el error de

predicción decrese monótonamente al aumentar el orden del modelo (Kay, 1988).

Por otra parte, en la práctica, se trabaja con registros de datos de longitud finita

de modo que la elección de un orden elevado (próximo al tamaño de la muestra)

conduce a un incremento del error en la estimación de los parámetros del modelo.

En consecuencia, existe un compromiso entre:

1. Un orden bajo para el modelo AR con un elevado error de predicción

2. Un orden alto con estimaciones de los parámetros AR poco fiables

En general, los criterios basados en la varianza de la predicción de error incluyen un

término que considera la disminución del error de predicción y otro para el aumento

del error en la estimación de los parámetros del modelo. El valor del orden del

modelo que minimiza el criterio es aceptado como valor óptimo.

Algunos de los criterios más conocidos para estimar el orden del modelo son

(ver, p.ej., Rodríguez, 1993):

1. Criterio de Error Final de Predicción-(FPE)


2. Criterio de Información de Akaike-(AIC)

3. Criterio de la Función de Transferencia Autorregresiva-(CAT)

4. Criterio de los coeficientes de correlación parcial-(PCC)

Los resultados experimentales obtenidos por diversos autores, indican que la

selección del orden del modelo, empleando los criterios arriba mencionados, no ofrece

resultados definitivos. Así, por ejemplo, Ulrich y Bishop (1975), Jones (1976), y

Berryman (1978), encuentran que el criterio {FPE)p tiende a infraestimar el orden

del modelo. Kashyap (1980), demostró que el criterio {AIC)p es estadísticamente

inconsistente cuando el número de datos de la serie tiende a infinito.

Otros autores (p.e., Gangopadhyay et al, 1988; Holm & Hovem, 1979) han estudiado

las características del análisis espectral AR, para series temporales oceanógraficas,

obteniendo que los criterios basados en la varianza del error de predicción, CT¿,

infraestiman el orden del proceso.

La ausencia de criterios analíticos, para aplicaciones con procesos AR no puros,

puede entenderse si consideramos que el objetivo final de la modelización es evaluar

la función de densidad espectral y por tanto, no existe un único modelo AR que

pueda representar el espectro. Así, en la mayoría de las aplicaciones la elección del

orden del modelo es parcialmente subjetiva.

De los criterios descritos anteriormente, el que quizas posea mayor aceptación

es el FPE (Landers y Lacoss, 1977; Haykin y Kesler, 1983). Sin embargo, aunque

es evidente que dichos criterios proporcionan una cierta ayuda en la determinación

del orden, el valor de p suele obtenerse de forma empírica. Así, por ejemplo, Holm

y Hovem (1979), obtienen buenos resultados, al ajustar series temporales de oleaje

a modelos AR de dimensión entre 15 y 30. Holm y Overvik (1981) encuentran

que p debe tener un valor superior a 10-15. Calderón y Marón (1986), obtienen

al estimar espectros unimodales, valores de p próximos a 12, mientras que para

espectros bimodaJes el valor de p debe estar alrededor de 30. Egozcue (1986), estima

adecuado un valor de p igual a 15, para espectros unimodales tipo JONSWAP. Nieto

(1991), obtiene ajustes adecuados para espectros bimodales, al compararlos con los

resultados obtenidos vía FFT, con p = 18. Rodríguez (1992), obtiene resultados

válidos para la estimación de espectros unimodales y bimodales con valores de p

próximos a 25.

Capítulo 2

Estudio Comparativo

Durante mucho tiempo el análisis espectral de series temporales se realizó, casi

exclusivamente, empleando la técnica desarrollada por Blackman S¿ Tukey (1959).

Sin embargo, desde que Cooley y Tukey (1965) implementaron el algoritmo de la

FFT, haciendo factible de éste modo la estimación del espectro mediante el método

propuesto por Schuster (1898), es decir, calculando directamente los coeficientes

complejos de Fourier de la serie temporal (Periodograma), éste procedimiento pasó

a ser el más empleado, dada su eficiencia computacional.

Estos métodos, denominados convencionales, requieren del uso de ventanas

(temporales, de desfase o espectrales) para reducir el efecto del "leakagé" y como

consecuencia, existe una perdida de resolución frecuencia!. Además, ya se ha

comentado en capítulos anteriores que existen fuertes discrepancias sobre la utilidad

de las ventanas. Uno de los motivos principales que originan tales discrepancias, es

que las ventanas modifican los datos originales sin tener en cuenta las características

del proceso aleatorio. Es decir, no existe ningún tipo de relación o dependencia

entre las propiedades de las series y las de las ventanas aplicadas. De éste modo,

puede ocurrir que las conclusiones obtenidas sean erróneas. Así, por ejemplo, ciertos

picos presentes en el espectro estimado, pueden tener su origen en un efecto de

^leakage" generado por los lóbulos laterales de la ventana, y no reflejar la estructura

del espectro verdadero. Los problemas generados por el uso de las ventanas resultan

particularmente importantes, si la cantidad de datos disponibles es tan limitada,

con respecto a los requerimientos de estabilidad de las estimaciones espectrales,

que no exista una ventana capaz de ofrecer la resolución necesaria para resolver las

componentes presentes en la serie analizada.

Por otra parte, se deben emplear registros de datos suficientemente largos para

48 Estudio Comparativo

obtener estimaciones con una estabilidad estadística aceptable. 'Por ello, con

frecuencia, se suelen analizar registros de duración entre 20 y 30 minutos. En

el contexto de la estacionariedad, éstas longitudes de registro son bastante

cuestionables y pueden restringir enormemente, en caso de no verificarse dicha

hipótesis, la utilidad de los datos disponibles. Por otro lado, éstos métodos necesitan

la utilización de algún proceso de suavizado (medias móviles ponderadas, promedio

de las estimaciones obtenidas al segmentar la serie original, etc.), con lo cual la

resolución frecuencia! disminuye y el sesgo de las estimaciones se incrementa.

El método MEM posee la ventaja de no precisar el uso de ventanas que modifiquen

la serie original, puesto que la extrapolación de la función de autocorrelación

maximizando la entropía evita las discontinuidades en los extremos y, por tanto, el

problema del ^Ueakage". Según Lacoss (1971), es como si al determinar la estimación

espectral correspondiente a una frecuencia dada, el método se autoajustase para que

ésta no sea afectada por las estimaciones asociadas a otras frecuencias. Es decir, se

podría pensar en una ventana hipotética que se autoadapta al espectro de la señal

analizada. Esta particular interpretación es la que induce a dicho autor a denominar

al método MEM como método adaptativo de análisis espectral.

El método de máxima entropía tampoco requiere procedimientos de suavizado

para disminuir la varianza de las estimaciones. Una propiedad extremadamente

importante del estimador MEM es su naturaleza ^^óptimamente suavizada", Ulrich &

Clayton (1976). La razón de ésta característica es que el espectro estimado mediante

el método MEM, es el espectro del proceso, siendo la serie analizada una realización

del mismo. El periodograma suavizado es el espectro de la realización.

Por otra parte, la extrapolación de máxima entropía de la función de autocorrelación

da lugar a una función de densidad espectral que proporciona una mejora sustancial

de la resolución frecuencial.

Una vez descritos los diferentes métodos de análisis espectral objeto de estudio

en este trabajo, así como sus principales propiedades, procederemos a realizar un

estudio comparativo entre los mismos. En primer lugar, se exponen las conclusiones

de otros estudios de este tipo, con el objetivo de poder contrastar los resultados

obtenidos en la sección (2.2).


2.1 Estudios comparativos previos

En esta sección se citan y revisan las conclusiones de algunos trabajos realizados

por diversos autores, que comparan las características de los métodos tradicionales,

así como los resultados obtenidos por otros autores al contrastar las propiedades de

las técnicas convencionales con las del método de máxima Entropía (MEM), (Burg,

1967-1968).

• Jenkins &¿ Watts (1968) se inclinan por el uso del método B-T, debido a la

importancia de la función de autocorrelación, obtenida como paso intermedio.

Sin embargo, Bingham, et al. (1969), demuestran que dicha función puede

obtenerse con mayor rapidez empleando la FFT.

• Hinich &¿ Clay (1968) contrastaron los dos métodos clásicos de análisis

espectral (Blackman k. Tukey y FFT), llegando a la conclusión de que ambos

métodos generan estimaciones espectrales asintóticamente insesgadas, con la

condición de que el número de datos y el número de lags, cuando se emplea

la función de autocorrelación, tiendan a infinito. Además, considerando que

las ordenadas de la función de densidad espectral, obtenidas aplicando la

transformada discreta de Fourier a la serie temporal, son filtradas (es decir,

convolucionadas) con la ventana espectral (Kernel) de Fejer

sen'^iNirAtf) Nsen'^iwAtf) ^ ' '

mientras que las obtenidas mediante el método de la autocorrelación son

filtradas con la ventana espectral (Kernel) de Dirichlet

sen({Tn+ l)wAtñ ;—-—— m = número de lags (2.2)

seniírAif) ^ ^ '

demuestran que puesto que la ventana espectral de Fejer se atenúa más

rápidamente que la de Dirichlet, las estimaciones obtenidas mediante el método

FFT poseen menor cantidad de leakage. Por otro lado, observan que el método

directo aplicado a series de media nula proporciona una estimación de la

densidad espectral también nula para la frecuencia cero. Sin embargo, en

el procedimiento que emplea la función de autocorrelación puede no ocurrir

así, ya que la integral de dicha función sobre todos los lags empleados no es

necesariamente cero.


• Edge &: Liu (1970) muestran, mediante el análisis de datos experimentales,

que ambos procedimientos dan lugar a resultados similares, aunque para

espectros con una fuerte pendiente de caida, en las frecuencias superiores a

la frecuencia de pico, el método de la FFT presenta una mayor cantidad de

leakage. Estos autores llegan a tal conclusión al comparar el comportamiento,

en dicho rango de frecuencias, del espectro de registros de oleaje obtenidos

por ambos procedimientos, con una recta de pendiente —5, seleccionando

los parámetros que controlan la varianza de las estimaciones, de modo que

ésta sea equivalente en ambos procedimientos, tal como se ilustra en la figura

(2.1). Este procedimiento admite como válida la denominada hipótesis de

Phillips(1958), según la cual el espectro del oleaje en la región de altas

frecuencias debe atenuarse de forma proporcional a f~^. Sin embargo,

existen números autores, entre ellos Phillips (1985) y Liu(1989), que ponen

de manifiesto un comportamiento más próximo a / ' " ' en dicha zona. De éste

modo, la interpretación de sus resultados debe ser al contrario, es decir, el

procedimiento que presenta una mayor cantidad de leakage es el B-T, tal como

hablan obtenido Hinich & Clay (1968).

En función de los resultados obtenidos, Edge & Liu (1970) sugieren que el

método B-T es más efectivo que la FFT para calcular el espectro de series

temporales cortas, mientras que para series temporales largas el método FFT

es mucho más eficiente.

• Rikiishi (1976) realiza una comparación numérica y analítica de los métodos

convencionales y obtiene nuevamente que los resultados de ambas técnicas son

equivalentes. La única diferencia entre ambos, se encuentra en las ventanas

espectrales, de modo que las ventanas espectrales del método FFT son más

efectivas que las del método B-T, puesto que las primeras no dan lugar a

estimaciones espectrales negativas y su banda de influencia en el dominio

frecuencia! es limitada.

Con respecto a la economía en tiempo de computación, aunque generalmente

el método directo es más eficiente, en el caso de registros largos, analizados

empleando pocos lags, el método B-T resulta más económico.

• Proakis &¿ Manolakis (1988) comparan el método B-T con los

procedimientos de Bartlett y Welch para la estimación del espectro vía FFT y

concluyen que las técnicas B-T. y Welch presentan propiedades superiores a la


I0-'

i . 4 0 •, \

ai os 10 {

B-T

FFT

\ \

\ \

\ \

£ • 2 0

i

ai 05 10 f

Figura 2.1: Espectros de un registro de oleaje (Lago Michigan) obtenidos mediante

los métodos B-T y FFT, Edge k Liu (1970)

propuesta por Bartlett. Childers (1978) apunta que el mejor de los métodos

directos (FFT) es el propuesto por Welch.

• Ulrich (1972), analiza las características del espectro de una señal sinusoidal

truncada a la cual se ha añadido un determinado porcentaje de ruido blanco.

Tal como se ilustra en las figuras (2.2-a,b,c), donde se muestra la señal

sinusoidal de frecuencia IHz, con fase inicial cero y truncada en un ciclo

(2.2-a), correspondiente a 21 datos, el método MEM (2.2-b) proporciona

una estimación de una calidad enormemente mayor que la ofrecida por el

método FFT (2.2-c). Además, el periodograma provoca un desplazamiento

de la frecuencia de pico hacia frecuencias más bajas. Efecto que se acentúa al

introducir un desplazamiento en la fase de la señal analizada. Sin embargo,

MEM no se ve afectado por este desplazamiento de fase.

• Lacoss, (1971) compara el método B-T, aplicando la ventana espectral de

Bartlett, y el método MEM, obteniendo que éte último es más eficiente,

particularmente cuando el proceso analizado posee dos picos estrechos,

próximos entre sí, que deben ser resueltos.


I— t.o

I —I 1 .2 il rWÜULI^I IHi> l.t M «J

Figura 2.2: (a)Sinusoide truncada (b)Espectro MEM (c)Espectro FFT (Ulrich,1972)

• Ables (1974) realizó el análisis experinaental de una señal con espectro

conocido (fig. 2.3-a) empleando los métodos B-T y MEM. La señal posee

tres picos espectrales con forma gaussiana y amplitudes relativas (5 : 10 : 1).

El método B-T es aplicado sin ventana espectral (fig. 2.3-c) y además con la

ventana espectral "campana cosenoidar (fig. 2.3-d), con la cual se logra una

disminución del efecto leakage inversamente proporcional a

(/ - fof

donde /o es la frecuencia sobre la que se centra la ventana y / representa la

frecuencia hasta la cual llega el efecto de dispersión de la varianza.

Wn = 1 + eos Trn

El número de /ags empleado es M = 15. Al aplicar el método MEM (fig. 2.3-b)

se utiliza el mismo número de lags (coeficientes AR). Los resultados obtenidos

muestran una clara superioridad del método MEM tanto en resolución como

en la supresión del leakage.

• Cheng & Stegen (1974) analizan el esprectro de señales sinusoidales, con

un cierto nivel de ruido, mediante los métodos convencionales v el MEM. Al


a: u » o o.

n 1 A/ /U 1

JL FREOUENCY

K Ui » O 0.

L FREOUENCY

c u » o a.

FREQUENCY

-

bl » O Q.

FREQUENCY

Figura 2.3: (a) Espectro verdadero; (b) Espectro MEM; (c) Espectro B-T sin

ventana; (d) Espectro B-T con ventana, (Ables, 1974)


contrario que Ulrich (1972), observan que el desplazamiento de la frecuencia de

pico es similar para los diferentes métodos, dependiendo éste de la fase inicial y

de la longitud de la señal analizada. El desplazamiento de la frecuencia de pico

es sustancial para sinusoides cortas y disminuye gradualmente al aumentar el

número de datos. La resolución espectral es muy superior al utilizar el método

MEM.

• Kaveh & Gooper (1976) obtienen que, mientras la resolución del método

B-T es independiente del nivel de ruido presente en la serie, la resolución del

estimador MEM depende fuertemente de la relación señal/ruido. Por otro

lado, la resolución en MEM es muy superior a la de B-T.

La varianza de ambos estimadores es similar, cuando en el procedimiento B-T

se aplica una ventana espectral con un punto de truncamiento igual al número

de coeficientes AR empleado en MEM. También los tiempos de computación

son similares en ambos métodos.

• Ulrich &¿ Clayton (1976) analizan la curva de intensidad de luz de un quasar

(fig. 2.4-a) utilizando los estimadores MEM y FFT (suavizado con un promedio

sobre 3 y 5 estimaciones adyacentes). Estudios previos, realizados con el

método FFT, hablan detectado una periodicidad de 10 años en el proceso. Sin

embargo, el análisis mediante MEM (fig. 2.4-b) no refleja dicha periodicidad,

motivo por el cual Ulrich y Clayton consideran que ésta falsa periodicidad es

fruto de una mala interpretación, inducida por el método de análisis empleado.

• Haimov et al., (1993) realizan un estudio sobre la modelización del oleaje

mediante modelos AR y su relación con las técnicas de teledección. Analizando

registros de oleaje de diferente longitud obtienen que, bajo condiciones

meteorológicas estacionarias, los resultados proporcionados por el método de la

FFT^ y el método MEM son similares, para registros de duración superior a los

10 minutos. Para registros de duración inferior el método FFT no es aplicable

desde el punto de vista práctico, debido a la elevada inestabilidad estadística de

las estimaciones espectrales resultantes. Sin embargo, el método MEM permite

realizar adecuadamente el análisis de registros de duración mucho menor (p.ej.

2 min.).

En consecuencia, el método MEM ofrece la posibilidad de realizar de un modo

eficiente el análisis espectral de registros de corta duración, como los que deben

^Procedimiento de Welch con la ventana de datos de Hanning y el 25% de solapamiento


ser considerados al estudiar el oleaje en condiciones meteorológicas de rápida

variabilidad, de forma que se cumpla la hipótesis de estacionareidad, implícita

en todos los métodos de análisis espectral descritos en éste trabajo, o bien en

el caso de registros incompletos que generalmente suelen ser rechazados (p.ej.

por fallo en el sistema de recogida de datos, por existir segmentos con un

elevado nivel de ruido, etc).

I

' ^*'^ • 1 -V' . i ' I

"^M 'n

100 200 • (oaTS/iool

¡1

i 1

-

1 \

\

\ ^^V-<- 'V/-w^- ' ••""

^'•^-^, MCM

0 0.9 10 >.s : ; CTCLCS/noO 0*TS

B

-

1

2S

Figura 2.4: (a)Serie temporal (b)Espectros MEM y FFT (Ulrich y Clayton, 1976)


2.2 Análisis comparativo

Con el fin de comparar las características de las diferentes técnicas de análisis

espectral desarrolladas en el presente trabajo, es decir.

1. Método Blackman & Tukey => [B-T]

(a) - Procedimiento de Daniell = > [FFT - D]

(b) - Procedimiento de Bartlett = ^ [FFT - B]

(c) - Procedimiento de Welch = ^ [FFT - W]

. 3. Método de Máxima Entropía => [MEM]

analizamos diferentes registros de oleaje, tanto simulados como reales, y estudiamos

el comportamiento de los momentos espectrales

2. Método FFT <

nin-^ írS{f)df ; para n = 0 ,1 ,2 ,4 , -1 (2.3)

o

dada su importancia en la determinación de otros muchos parámetros espectrales,

tales como los diferentes periodos espectrales, parámetros de anchura de banda

y apuntamiento espectral,etc. Además, se estudia la variabilidad de la altura de

ola significativa y la frecuencia de pico, dos parámetros fundamentales desde el

punto de vista práctico. Para ello, definiremos ambos parámetros siguiendo los

criterios dados por el grupo de trabajo sobre generación y análisis del oleaje, de

la Asociación Internacional para Investigaciones Hidráulicas (lAHR), "List of Sea-

State parameters" (1990). Estas son:

Altura de ola significativa;

Una vez estimado el momento espectral, respecto a / = 0, de orden cero.

= Jsif)df (2.4) mo o

determinaremos la altura de ola significativa, aceptando como válida la distribución

de Rayleigh para las alturas de ola. Esto es

Hmo = "^yAño (2.5)

2.2 Análisis compara t ivo 57

i §

a

Mteu

]

1 Á

i /,! i/.

V C M .r-.r C H

1

«r •

Figura 2.5: Definición de la frecuencia de pico según el método de Delft.

Frecuencia de pico;

Dada la frecuencia de pico /p como la coordenada correspondiente al máximo

valor de las densidades espectrales obtenidas, S{fp), estimaremos la frecuencia de

pico mediante el método de Delft. Es decir

f - ^ JPD — ,

hsim

h{f)df h

(2.6)

Expresión que define el centroide de la banda espectral centrada en /p y limitada

por Icis frecuencias inferior y superior a /p, asociadas a los primeros valores de 5 ( / )

que interceptan a la función de densidad espectral en el umbral definido por el 80%

de 5(/p), tal como se muestra en la figura (2.5).

2.2.1 Característ icas del análisis

El análisis espectral de los registros de oleaje, simulados y reales, se realiza tratando

que las estimaciones obtenidas mediante las diferentes técnicas posean estabilidad

estadística y resolución fracuencial similares aunque, con frecuencia, resulte dificil

alcanzar un compromiso óptimo entre ambas características.

Las series registradas por la Red Exterior de Medida y Registro de Oleaje (REMRO)

poseen, normalmente, 5120 datos digitalizados con una frecuencia de muestreo de

58 Estudio Compara t ivo

2H2. Sin embargo, dada su duración, T K 43mzn., por lo general-, emplearemos

tan sólo 2048 datos, con el fin de evitar posibles problemas de estacionareidad de la

sene. Siguiendo la recomendación de Tucker (1992,1993), utilizamos un valor de A / «

O.OO5/Í2» dado que esta resolución parece bastante adecuada para resolver los rasgos

del pico en un espectro tipo JONSWAP.

Esta resolución se obtendrá, para los diferentes métodos, seleccionando los

parámetros que controlan dicha característica como sigue

1. Método B-T

2. Método FFT-D

3. Método FFT-B

4. Método FFT-W

N = 2048

M = N/10 w 204

A / 1 2MM 0.0049^2

N

{2m

A / + 1)

=

=

=

2048

5 2m+l 0.0049^

A = 2048

N/Segm. = 512

N/Segm.

A /

2048

512 1

N/Segm.At 0.004^,


5. Método MEM

TV

N.Estim.

A /

2048

200 1

N/Estim. = 0.005^^

2.2.2 Análisis de registros simulados

La simulación de los registros de oleaje se realiza aplicando el método DSA (Tuah &

Hudspeth, 1982), por poseer la propiedad de que los espectros reconstruidos a partir

de la serie simulada, deben ser muy parecidos al espectro de partida. De este modo,

se pueden contrastar las características de los diferentes procedimientos espectrales

empleados.

Se generan tres registros tomando como espectros de partida los modelos espectrales

de Pierson k Moskowitz (1964), JONSWAP (Hasselmann et al., 1974) y Ochi &

Hubble (1976), que denotaremos respectivamente por P M , J y OH. Las expresiones

analíticas de dichos modelos son:

Espectro Pierson-Moskowitz

donde

(2.7)

a = Parámetro de Phillips (0.0081)

g = Aceleración gravitatoria (9.80665[m/í^])

fp = Frecuencia de pico [Hz]


Espectro JONSWAP

donde

(2.8)

<y = ojyj < fp)

(y = o-6(/ > /p )

Factor de intensificación de pico

Parámetro de anclio de pico (lateral izquierdo)

Parámetro de ancho de pico (lateral derecho)

Espectro Ochi-Hubble

S(¡) = I (4A_, + l ) (27r/p,) '

4

J= l r(A,) (2x/)(''^.+i) exp 4 )(W

donde

(2.9)

Hsi =

Al =

Hs2 =

JP2 =

A2 =

Altura significativa para el espectro de bajas frecuencias

Frecuencia de pico para el espectro de bajas frecuencias

Parámetro de apuntamiento para el espectro de bajas frecuencias

Altura significativa para el espectro de altas frecuencias

Frecuencia de pico para el espectro de altas frecuencias

Parámetro de apuntamiento para el espectro de altas frecuencias


Registros simulados sin Ruido Blanco

A continuación se muestran los '''espectros de partida", las series generadas y

las funciones de densidad espectral obtenidas mediante las diferentes técnicas de

computación utilizadas. Además, se dan los valores de los momentos espectrales, la

altura de ola significativa y la frecuencia de pico, en función del método empleado.

El método de simulación empleado en este trabajo es conocido como método

de las fases aleatorias (Miles & Funke, 1988), o también como método de amplitudes

espectrales deterministas (Tuah & Hudspeth, 1982). En este método de simulación

de oleaje se admite que el perfil de la superficie libre del mar puede expresarse como:

N/2

r]{t) = ¿ AnCos(2Trfnt + 0n) (2.10) 7 1 = 1

donde N representa el número de datos de la serie que se desea simular. Las

frecuencias /„ están densamente distribuidas en el rango [0,oo) y las amplitudes An

vienen determinadas por el espectro de partida seleccionado mediante la igualdad:

An = y 2 5 ( / „ ) A / ;n = l ,2 , - - - ,A72

de modo que la ecuación anterior puede ser escrita, como:

Ar/2

rjit) = ¿ y 2 5 ( / n ) A / c o 5 ( 2 7 r / „ í + < „) (2.11) n = l

Las frecuencias utilizadas vienen definidas por el incremento frecuencial. A / ,

determinado por la frecuencia máxima, o de corte, fe, para la que consideramos que

el espectro posee un contenido energético significativo, y cuyo valor máximo queda

fijado por la frecuencia de Nyquist. La naturaleza estocástica del proceso es incluida

a través de los ángulos de fase, ^„ , admitiendo que éstos están uniformemente

distribuidos en el intervalo [0,27r]. Los valores de <z!>„ pueden obtenerse utilizando

alguna de las numerosas rutinas existentes para generar números "pseudoaleatorios''\

uniformemente distribuidos en [0,1] (Ugrin,1991), y que pueden ser fácilmente

transformados a {/[0,27r] (Morgan, 1984).

Esta metodología presenta la característica de que el espectro obtenido a partir

de la serie temporal simulada reproduce con bastante apro.ximación el espectro de

partida.


tu tst uo Tiempo (rntg.)

TÓ4 TSM til Titmpo (m*g.)

Figura 2.6: Espectro P-M y serie simulada


tftttrm a-T itp—irm rrr-t Mtfítrm rrr-t «•pMra rrr-w

Figura 2.7: Espectros serie ETADSA-PM

SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO : P-M

Q- = 0.0081 ; /p = 0.1 \H,\

P a r á m e t r o s

E s t a d í s t i c o

E s p e c t r a l e s

mo \rn}\

m i [m^/.s]

xa.2 [m^/á^]

m 4 [77z^/s'*]

m _ l [m^í¡]

fp [^.]

fpn [^^] Hs [m]

Hmo ['"]

M é t o d o s de Anál i s i s

B &: T

1.0002

0.1294

0.0196

0.0011

8.6104

0.1029

0.1008

4.0014

4.0004

F F T - D

1.0002

0.1304

0.0198

0.0011

8.4992

0.1025

0.1026

4.0014

4.0003

F F T - B

1.0049

0.1452

0.0273

0.0044

7.9651

0.1064

0.1137

4.0014

4.0099

F F T - W

1.0151

0.1401

0.0223

0.0012

8.0846

0.1094

0.1068

4.0014

4.0302

M E M

1.0012

0.1301

0.0202

0.0017

8.8371

0.1005

0.0987

4.0014

4.0023


fmmmmmtmfmmí

Figura 2.8: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM


I I I I I I I •f^-^fn^^'^r'y—i l i l i l í I ^' . •y^.T—^^.^p'T^.^. 'r i i i C4 ÍIM lU til Xte a*4 441 sil STt

Tittnpo (ng.)

riendo (tg.)

Figura 2.9: Espectro J y serie simulada


•

JL

- - •

tá-

« i

m - aMotf : ¡, • tMnt j c xj : m. ^ O.VT : m, c a.n

-i=M3

M ' ' c á t ' ' «.!« «.» *-U «-'* tJt fl lili (tm)

w

Figura 2.10: Espectros serie ETADSA-J

SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO : JONSWAP

a = 0.0081 ; /p = 0.0976 \H^] ; 7 = 3.3 ; cTa = 0.07 ; a = 0.09

Parámetros

Estadístico

Espectrales

mo [m^]

m i [m?ls\

m2 [m?ls^]

m4 [m? 1 s^]

m _ l [vi^s]

fp [Hz]

W [ '] H s [7n]

Hnio ["í]

M é t o d o s de Anál i s i s

B &: T

1.6771

0.1964

0.0264

0.0012

15.5203

0.0978

0.0968

5.1807

5.1801

FFT-D

1.6767

0.1971

0.0265

0.0012

15.4346

0.0977

0.0979

5.1807

5.1795

FFT-B

1.6920

0.2144

0.0360

0.0061

14.9829

0.1016

0.0984

5.1807

5.2030

FFT-W

1.6500

0.1986

0.0272

0.0012

14.7838

0.1016

0.0984

5.1807

5.1380

M E M

1.6827

0.1971

0.0268

0.0016

15.8573

0.0980

0.0968

5.1807

5.1888


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StU: MTABSUI

ttz xss ato Tiampo (ng.)

M 4 6U

Titmpo (ttg.)

Figura 2.12: Espectro 0-H y serie simulada


,

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i«. g . 14

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«•

Mtpmt^m O-M

M,^mlS : /..majtS : KtJ

Mmiíe ! /,,ma.it : ] » ^ . e

* i m > i « - r <»yii»« rrr-»

««P««>» jrijr

Figura 2.13: Espectros serie ETADSA-0 & H

SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO: OCHI-HUBBLE

Hsi = 2.5 ; Hs2 = 2.0 ; /pi = 0.05 ; fp2 = 0.12 ; Ai = 2.5 ; A2 = 2.0




mo [m2]

m i [m'^/s]

m 2 [m'^/s^]

m4 [m^/á'*]

m _ l [m'^í]

fp [^.]

W [ --] H s [ni]

Hnio [" ]

M é t o d o s de Aná l i s i s

B & T

0.6407

0.0558

0.0065

0.0005

9.4419

0.0490

0.0494

3.2022

3.2018

FFT-D

0.6395

0.0561

0.0064

0.0003

9.0996

0.0537

0.0496

3.2022

3.1989

FFT-B

0.7445

0.1161

0.0436

0.0217

8.5939

0.0625

0.0574

3.2022

3.4514

FFT-W

0.8954

0.1854

0.0898

0.0494

9.7571

0.0625

0.0574

3.2022

3.7851

MEM

0.6047

0.0539

0.0066

0.0008

8.7751

0.0503

0.0519

3.2022

3.1105


i -

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M

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Figura. 2.14: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM


De los resultados anteriores se podría inferir que los métodos B-T y FFT-D,

son los que mejores resultados proporcionan. Sin embargo, aunque parece obvio a

la vista de las gráficas (2.8 y 2.14), correspondientes a las simulaciones generadas a

partir de los modelos espectrales P-M y 0-H, y de los valores de los parámetros

estimados mediante dichos métodos, debe notarse que el número de datos por

segmento empleado en los procedimientos FFT-B y FFT-W es de 256 (T « 2mm.).

Un valor realmente bajo para poder discernir la estructura frecuencial del proceso

simulado. Este hecho queda de manifiesto al observar la gráfica (2.11), y los valores

de los parámetros estimados a partir de los espectros en ella representados. En

este caso se han utilizado 512 datos por segmento, de forma que a pesar de haber

reducido a la mitad el número de grados de libertad (estabilidad estadística) de las

estimaciones, los resultados para los métodos FFT-B y FFT-W experimentan una

mejoría notable.

Es por este motivo que los métodos de suavizado mediante promedios de la densidad

espectral asociada a una misma frecuencia (Bartlett y Welch), sólo son aconsejados

cuando la longitud de la serie analizada es lo suficientemente grande como para poder

usar un número de segmentos tal que, permita obtener estimaciones espectrales

con una estabilidad estadística aceptable y, al mismo tiempo, la longitud de cada

segmento posibilite la extracción de los rasgos fundamentales del proceso analizado.

Respecto al método MEM, es posible observar que, aunque los valores de los

diferentes parámetros no difieren sustancialmente de los obtenidos mediante B-T y

FFT-D, la fisonomía del espectro sí que se aparta notablemente de la del espectro

de partida. Este fenómeno tiene una explicación bien sencilla. Un filtro AR intenta

modelizar un proceso aleatorio considerando que la entrada al modelo es un ruido

blanco. Sin embargo, las señales sintetizadas mediante el método DSA, no son más

que una simple superposición lineal de un número más o menos elevado de sinusoides.

Es decir, las señales anteriormente analizadas son totalmente deterministas. A pesar

de ello, se observa que el método es capaz de resolver los detalles del proceso simulado

con bastante exactitud. Véase el espectro MEM calculado para la serie simulada a

partir de un modelo 0-H.

Para verificar este hecho, a continuación añadimos a la serie simulada con un espectro

J, un ruido blanco Gaussiano, de media nula, y estimaremos el espectro de la serie

resultante mediante los distintos métodos de análisis.


i.

tmiK Mtatmsi * Jhrf^ I

í-

Figura 2.15: Serie ETADSAll+R.uido blanco y Espectros MEM


I

M-

Strii: Mtmdm»lt * Kvméa

M-T

'>•<•*•

rm»)

í ;

§-H

SmiK Mlténtt * JlwM*

Mtpmtn M-T

Mu. 4* 1 ^ « • tu

C»)

StiK ttutmtt * JlHMa

Mtpttn M-T

M». 4m Ufm > M

«miin jwrsnr

Figura 2.16: Espectros B-T para la serie ETADSAll+R.uido blanco


¿

Strit: < U 4 M > ( • JtMMo

tmfmctro m-B

ttftttn MMSWtr • - rrr-a

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t

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SOTte MIaémmIt * JtwMo > l i w

Jiy»tli» XÍT-4

4ta. * MOmilwni >i»»L • •

—— « i m t i jontw

«.(« <•>( « J e

Figura, 2.17: Espectros FFT-D para la serie ETADSAll+Ruido blanco


Strí*: ttmásmll * « u U s 4(a»M

ttpBiiro rrr-B

I i l . i r n [ i <y>fi ii^ r

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Xcrte XIMtoafr 4- JIuM» M a i M

Mipmtn m-B

#tai * 4a«*</OT»tMnte • tS§

«.« €M éJU «J M «*«;

L

Caite Mtmátmil * JtMU* M a m

Figura 2.18: Espectros FFT-B para la serie ETADSAll+Ruido blanco


Etptctro rrr-r

joMstur M^mtn rrt-W

ri^Ao I r»^

:

SiU: timámtt •*• «uM*

MtpmUm m-W

Ha. tMlm/—t.'tS$ : Satt^mU

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Stric Mtmdaatl * «MMO M B M *

tfttra m-W

Ha. 4mim/mag.BttM : Sal^ 'TU

/ \ —— Mtfmtn MHsnr 1 \ Mtfttat rrr~w

1 1

M / \

X^JLS-^^ •.(• «.!« ('*)

Figura. 2.19: Espectros FFT-W para la serie ETADSAll+Ruido blanco


Registros simulados con un Ruido Blanco

En las figuras (2.15-2.19) se ilustran los espectros obtenidos mediante los diferentes

métodos, al añadir un ruido blanco a la serie simulada partiendo de un modelo

espectral JONSWAP.

Los resultados mostrados en la figura (2.15), ponen de manifiesto una mejora

sustancial en la estimación de la función de densidad espectral, mediante el método

MEM. De modo que para un orden del modelo p = 20, el espectro de partida y el

estimado empleando este prodedimiento son prácticamente indistinguibles. Además,

las variaciones que sufre el espectro estimado, con una ligera modificación del orden

del modelo seleccionado, son muy leves.

Las figuras (2.16) y (2.17), muestran claramente como los métodos B-T

y FFT-D experimentan cambios importantes al disminuir el número de lags y

de estimaciones promediadas, respectivamente. Es decir, al reducir la resolución

espectral, incrementando la estabilidad estadística, las estimaciones B-T y FFT-D

aparecen cada vez más suavizadas, alejándose progresivamente de la estructura del

espectro de partida. En el caso particular del método FFT-D, al promediar bloques

de 9 estimaciones espectrales adyacentes, los resultados continúan proporcionando

un ajuste realmente satisfactorio, aunque la resolución espectral se ha reducido en

un orden de magnitud, aproximadamente, respecto del "raw''^ espectro.

Con respecto a los métodos FFT-B (fig. 2.18) y FFT-W (fig. 2.19), se

aprecia un comportamiento análogo al comentado en la sección anterior. Es decir,

al disminuir el número de datos por segmento la bondad de los ajustes disminuye de

manera significativa. Así, mientras para segmentos de duración T « 4.2 minutos, con

lo cual se obtienen 4 segmentos para FFT-B y 5 para FFT-W (25% de solapamiento),

los resultados son bastante aceptables, a pesar de la lógica inestabilidad de las

estimaciones, para segmentos de duración T « 1 minuto (16 y 20 segmentos

respectivamente) estos métodos son incapaces de resolver la estructura frecuencial

del proceso, generando resultados ciertamente absurdos.


2.2.3 Análisis de registros reales

En este apartado se analizan 18 series que corresponden a la boya de La Coruña,

registradas el día 22/06/1993, con una cadencia de muestreo de 1 hora. Cada una de

ellas posee una duración de 43 minutos, aproximadamente, y han sido digitalizadas

con una frecuencia de 2 H^.

A continuación se presentan los valores de los parámetros ya indicados, para

cada registro, así como la representación gráfica de los espectros correspondientes

a cada método, acompañada de los intervalos de confianza asociados a un nivel de

probabilidad del 90%.

En las estimaciones obtenidas mediante el procedimiento de máxima entropía no ha

sido posible introducir los intervalos de confianza, dado el escaso desarrollo del tema.

Baggeroer (1976), obtuvo una expresión analítica de los intervalos de confianza para

los espectros MEM, pero la complejidad de los resultados hace que éstos sean de

poca utilidad, desde el punto de vista práctico. Newton y Pagano (1984) han logrado

obtener los intervalos de confianza para la función de densidad espectral de un

proceso AR(p) Gaussiano, pero los métodos AR y MEM son iguales tan sólo en

situaciones muy especiales.

Conjuntamente con los espectros individuales, correspondientes a cada método, se

muestran en una única gráfica los espectros obtenidos con las cinco técnicas, con la

intención de facilitar la comparación entre los mismos.

Los parámetros seleccionados, en la aplicación de cada método, se especifican en la

figura correspondiente.

TaJ como se comentó con anterioridad, se emplean solamente 2048 datos de los 5120

que posee cada serie, con el fin de evitar posibles problemas de estacionareidad. Sin

embargo, para un registro, de entre los 18 analizados, se han estimado las funciones

de densidad espectral empleando además los valores de A' = 512 y N = 4096, para

poder describir el efecto de la longitud del registro sobre dichas estimaciones y la

validez relativa de cada método, en función de este parámetro.

Al igual que en los ejemplos anteriores, en el método B-T se emplea la ventana

espectral de Parzen, mientras que en el método FFT-W se emplea una ventana de

datos Cosenoidal truncada para reducir los efectos de leakage.


1.75-

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OJO

Figura 2.20: Espectros serie C-05-22/06/9.3

B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 05:00 FECHA : 22-06-1993




mo [m^]

m i l'Tí^/s]

m 2 [m'^/s'^]

m 4 [m^/s'*]

m _ i [m'^s]

fp [H.]

fpn [H^]

Hs [m]

Hnio [" ]

B & T

0.0573

0.0099

0.0020

0.0001

0.6640

0.1373

0.1376

0.9575

0.9574

M e t o

F F T - D

0.0573

0.0100

0.0020

0.0001

0.3605

0.1416

0.1396

0.9.575

0.9574

dos de Anal

F F T - B

0.0576

0.0103

0.0022

0.0002

0.3554

0.1406

0.1411

0.9575

0.9603

isis

F F T - W

0.0566

0.0101

0.0021

0.0002

0.3505

0.1406

0.1416

0.9575

0.9519

M E M

0.0573

0.0099

0.0020

0.0001

0.3634

0.1365

0.1348

0.9575

0.9577


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B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 06:00 F E C H A : 22-06-1993


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0.1373

0.1353

0.9732

0.9728

F F T - D

0.0591

0.0100

0.0019

0.0001

0.3828

0.1367

0.1357

0.9732

0.9726

F F T - B

0.0598

0.0106

0.0023

0.0003

0.3783

0.1445

0.1401

0.9732

0.9784

F F T - W

0.0620

0.0106

0.0021

0.0002

0.3948

0.1367

0.1359

0.9732

0.9957

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0.0592

0.0099

0.0019

0.0001

0.3846

0.1325

0.1329

0.9732

0.9730


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0.9179

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0.9183

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F F T - B

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0.9183

0.9206

FFT-W

0.0572

0.0102

0.0022

0.0003

0.3538

0.1367

0.1361

0.9183

0.9570

MEM

0.0527

0.0091

0.0018

0.0001

0.3321

0.1406

0.1393

0.9183

0.9181


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BOYA : LA CORUÑA H O R A : 08:00 F E C H A : 22-06-1993


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0.0108

0.0022

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0.3787

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0.1403

0.9904

0.9904

FFT-B

0.0659

0.0137

0.0041

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0.3962

0.1523

0.1510

0.9904

1.0269

F F T - W

0.0596

0.0113

0.0027

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0.3576

0.1523

0.1467

0.9904

0.9769

M E M

0.0613

0.0108

0.0022

0.0002

0.3803

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0.1411

0.9904

0.9906


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B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 09:00 FECHA : 22-06-1993


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M E M

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0.0117

0.0022

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F F T - D

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F F T - B

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0.1489

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0.9622

F F T - W

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0.0110

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1.0807

1.0801

F F T - B

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0.0152

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F F T - D

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F F T - B

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F F T - D

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0.0110

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0.1367

0.1353

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1.0129

F F T - B

0.0655

0.0120

0.0030

0.0007

0.4182

0.1367

0.1360

1.0135

1.0234

F F T - W

0.0645

0.0113

0.0024

0.0003

0.4129

0.1367

0.1359

1.0135

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M E M

0.0642

0.0109

0.0022

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0.1325

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F F T - B

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M E M

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BOYA: LA CORUÑA HORA: 15:00 FECHA : 22-06-1993

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FFT-W

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M E M

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1.0206

F F T - B

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0.3969

0.1445

0.1435

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1.0288

F F T - W

0.0660

0.0124

0.0028

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0.3993

0.1406

0.1439

1.0214

1.0274

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F F T - B

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1.0421

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1.0368


F F T - D

0.0671

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0.1331

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F F T - B

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0.0127

0.0030

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1.0412

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BOYA : LA CORUÑA HORA : 22:00 FECHA : 22-06-1993


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1.0770

1.0768

F F T - D

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0.0026

0.0002

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0.1318

0.1303

1.0770

1.0766

F F T - B

0.0743

0.0138

0.0032

0.0005

0.4597

0.1328

0.1324

1.0770

1.0996

F F T - W

0.0687

0.0125

0.0028

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0.4237

0.1328

0.1340

1.0770

1.0482

M E M

0.0725

0.0126

0.0025

0.0002

0.4603

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0.1289

1.0770

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1.0814


F F T - D

0.0731

0.0125

0.0025

0.0002

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0.1367

0.1347

1.0815

1.0814

F F T - B

0.0754

0.0142

0.0036

0.0008

0.4725

0.1406

0.1375

1.0815

1.0985

F F T - W

0.0741

0.0131

0.0027

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0.4641

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0.1390

1.0815

1.0888

M E M

0.0731

0.0124

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0.1295

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B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 00:00 F E C H A : 23-06-1993


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B & T

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0.1378

1.2426

1.2420

FFT-D

0.0964

0.0162

0.0031

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0.1400

1.2426

1.2419

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0.0965

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0.1434

1.2426

1.2425

F F T - W

0.0972

0.0168

0.0033

0.0003

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0.1445

0.1432

1.2426

1.2473

M E M

0.0965

0.0162

0.0030

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BOYA: LA CORUÑA

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HORA: 22:00

B & T

0.1013

0.0173

0.0035

0.0003

0.6689

0.1373

0.1287

1.2739

1.2729

Me to

F F T - D

0.1011

0.0177

0.0035

0.0003

0.6329

0.1367

0.1341

1.2739

1.2721

FECHA: 22-06-1993 TV = 512

dos de Análisis

F F T - B

0.0464

0.0280

0.0203

0.0133

0.1317

0.6406

0.6374

1.2739

0.8613

F F T - W

0.0502

0.0280

0.0195

0.0120

0.1689

0.6406

0.6383

1.2739

0.8959

M E M

0.1014

0.0173

0.034

0.002

0.6541

0.1285

0.1294

1.2739

1.2739

BOYA: LA CORUÑA HORA: 22:00 FECHA: 22-06-1993 iV = 4096


Estadís t ico

Espec t ra les

mo [m^]

m i [m'^/s]

m2 [m^/5^]

m4 [m^/s'*]

m _ i [m^s]

fp [í^.]

fpn [H.] Hs [m]

Hmo ['"]


B & T

0.0740

0.0130

0.0026

0.0002

0.4674

0.1296

0.1301

1.0883

1.0881

F F T - D

0.0740

0.0130

0.0026

0.0002

0.4653

0.1318

0.1303

1.0883

1.0880

F F T - B

0.0762

0.0144

0.0035

0.0006

0.4670

0.1328

0.1323

1.0883

1.1039

F F T - W

0.0741

0.0139

0.0033

0.0006

0.4532

0.1338

0.1338

1.0883

1.0887

M E M

0.0740

0.0130

0.0026

0.0002

0.4670

0.1325

0.1310

1.0883

1.0883

116 Es tudio Comparativo

2.3 Discusión de los resultados

De los resultados obtenidos para los registros simulados a partir de un modelo

espectral P-M (figuras 2.7 y 2.8), J (fig. 2.10 y 2.11), O&H (fig. 2.13 y 2.14)

puede inferirse que todos los métodos utilizados dan resultados similares para los

parámetros estadístico espectrales.

En el caso particular del espectro inicial P-M, la frecuencia de pico es /p = 0.1[Hz],

y los valores teóricos de mo y -Hmo? obtenidos mediante la integración analítica de

la función de densidad espectral teórica son:

mo = 0.9996[m2] ^ jj^^ ^ 3.999[7??,]

Luego, el mejor de los resultados para Hmo se obtiene con FFT-D, mientras que

MEM proporciona el valor m ás próximo para fp.

A pesar de la similitud de los resultados, debe notarse que los métodos FFT-B y

FFT-W provocan ligeras desviaciones de los parámetros obtenidos, respecto al resto

a los proporcionados por lo demás procedimientos.

En cuanto a la forma del espectro, el método MEM ofrece el peor de los ajustes,

mientras que éste es prácticamente perfecto para B-T y FFT-D.

Resultados semejantes se obtienen para el espectro simulado con un modelo espectral

JONSWAP. Sin embargo, en este caso es de resaltar la mejoría experimentada por

los métodos FFT-B y FFT-W. Esta mejoría es, sin duda, debida al aumento del

número de puntos por segmento. De este modo, el ajuste con el modelo teórico es

bastante satisfactorio, en especial en el caso del procedimiento FFT-W, donde los

valores de la densidad espectral quedan siempre dentro de los intervalos de confianza,

estimados para un nivel de probabilidad del 90%.

El sesgo comentado en el análisis del registro P-M mediante FFT-B y FFT-W,

vuelve a repetirse con el registro 0-H, donde nuevamente se han empleado 256

puntos por segmento. Además, en este ejemplo, los métodos B-T y FFT-D ya no

ofrecen el ajuste casi perfecto que muestran en los dos casos anteriores, mientras que

el método MEM ha mejorado significativamente en este aspecto, proporcionando un

ajuste con una bondad similar a la dada por dichas técnicas. Este hecho se debe

a la mayor anchura de banda del espectro de partida. Es decir, al mayor rango de

frecuencias contenido en el registro, dando lugar a una mayor "aleatoriedad" del

registro simulado, hecho que puede observar al comparar las series simuladas con los

tres modelos espectrales (figs. 2.6. 2.9 y 2.12).


4.»-

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SrriK C-XZ-U/09/93

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StrlK C'tt-U/M/tí

H • til ¡ 11/Sfm.m tu

Mttaéo m-B

w

J L » a j i i »ju «.M <LU •.«« • . « * . « • /y«eu«neia CAs^

Figura 2.56: Espectros serie 22-22/06/93 (N=5r2),(a.)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B


«.« 4 4

4.«-

1/1

M -

l.«-

• J -

« 4 -a.

4Lf •

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lo

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Stri*.- C-tÍ-lZ/OS/»a

H = StZ : N/5*9m.= IZB

Sola^ 15

Mttodc rrr-w

M «.M Af0 «.ft éjo /ytmil

1

US CJO »J6 lL4t Q.M Ktt meta (Hm)

STÍK C~U-U/09/B3

K B B1Z ; p m ts

irtta^ joír

J^--V_^ » *M Alt CM «JS «LU tje «ijf ÍL« «.M t u t

Figura 2.57: Espectros serie 22-22/06/93 (N=512),(a)FFT-W. (b)MEM

2.3 Discusión de los resul tados 119

4.S-

4.0-

xs-

- ? " :

h.i 5i :

' • * •

' • • i

OJ-

M 1 1 t 1

V I ' f(V/\'.

7 1 ' >

7 ^ =

Sari*.- C-2t-tX/0e/9a

N s 4 0 » S .• ¿«V* =• 40S

Mtloáo B-T LvmiXn 4» ttmfiaaxMO.

.^.-^ e.M A M ».IQ 0.IM «.Jt »JS »JO OM 9.49

fWcucnoia (HM)

SWTU: c-it-tt/oe/aa M m 40H : N/Stpm.* Bit

— Mttoé» rrr-B lumia* éa manfimnMa

aso oas 0.S0 A'ncucneia (iix)

I I 1 ^ •!

0.40

Figura 2.58: Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B


S.0

4.S-

4.0-

a.5

«o

1.0

0.S

Strie: C-22-22/0e/9S

N = 4096 : N/Sagm.* SI2

Solap: 25

0.0 0M> 0.05 0.10

Método FFT-W ¿intitea dt eonfiatiMa

' I ' I 1 1 i - n ' - T - ^ ^ í I I I I I I I f I 1 I f ***" O.X0 OJU 0.40 0.M /Vaeucneta (Hz)

M I I 0.40 e.«< 0.M

4.0

-VJLO

SOTÍM: C-X2-Z2/0e/aa

M B 4088 ; p * 2S

Motad» MEM

• ^ • ^ • ^ • T ^ " ^ ! I ^ 1 I I I I I I I I I I I I I I I I T ^ ^ ^ ^ W ^ ^ ^

0.00 O.Off 0.>0 0.>5 0.tO OJU 0.30 0.35 0.40 0.4S 0.50 Froeumeia (Ha)

Figura 2.59: Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)FFT-W. (b)MEM


Tal como se comento en la sección 2.2.2, la adición de un ruido blanco a l'íis señales

simuladas, hacen que los resultados proporcionados por el método MEM mejoren

sustancialmente. De esta forma, tanto los valores de los parámetros, como la bondad

del ajuste con el modelo espectral son casi perfectos. Además, se debe resaltar, que

la modificación del orden del modelo AR ajustado no produce, sobre los resultados,

un efecto tan significativo como ocurre con el resto de los procedimientos de cálculo.

Un simple análisis visual de los espectros obtenidos para los 18 registros de oleaje

real estudiados, pone de manifiesto que los métodos de análisis espectral directos, es

decir, FFT-D, FFT-B y FFT-W, muestran una mayor variabilidad estadística que

la presentada por las técnicas B-T y MEM.

En cuanto a los resultados numéricos, se puede destacar la similitud de los valores

obtenidos mediante los procedimientos B-T, FFT-D y MEM, mientras que los

resultados que ofrecen FFT-B y FFT-W, se apartan ligeramente de los estimados

por los anteriores, dada la escasa longitud de los registros.

Para confirmar este fenómeno, se ha realizado un análisis más exhaustivo de uno

de las series temporales (22:00/22-06-93), empleando para ello diferentes longitudes

de registro. En las figuras (2.56) y (2.57) se muestran los resultados para un valor

de iV = 512, observándose la inviabilidad de los métodos FFT-B y FFT-W, en tal

caso. Sin embargo, tanto los valores obtenidos para los parámetros estadísticos

como la fisonomía del espectro, en relación a la obtenida mediante el resto de

los procedimientos, experimenta una notable mejoría, al aumentar la longitud del

registro hasta N = 4096, figuras (2.58) y (2.59).

Se debe resaltar la similitud existente entre los resultados proporcionados por los

métodos B-T y MEM, siendo este último capaz de detectar un pico secundario o

una meseta, alb' donde existe, (véanse, por ejemplo, las figuras 2.21, 2.29, 2.31, 2.39

y 2.45), sin resaltar posibles "falsos picos" que pueden detectarse mediante los otros

métodos analizados.

Por otra parte, los métodos B-T y MEM, no parecen sobrestimar los valores de

la densidad espectral, efecto este de gran importancia al determinar parámetros

como Qp (parámetro de Goda), (Tucker, 1991). Además, debido a la "suavidad"

de los espectros obtenidos, estas técnicas (B-T y MEM) posibilitan la aplicación de

métodos de ajuste no lineal a espectros teóricos, con mucha mayor eficiencia que los

obtenidos vía FFT, principalmente el método MEM (Rodríguez y Jiménez, 1994).

De todo lo anteriormente comentado, se puede concluir que los métodos B-T, FFT-

D y MEM, ofrecen mejores resultados que los procedimientos FFT-B y FFT-W,


cuando se emplean longitudes de registro que no hagan dudar áobre la validez

de la hipótesis de estacionaridad, admitida intrínsecamente en todas las técnicas

de análisis estudiadas. Sin embargo, al ampliar la duración de los registros, los

resultados proporcionados por los diferentes métodos son muy similares.

Luego, dada la eficiencia computacional y las virtudes estadísticas de los métodos

FFT-B y FFT-W, debidas éstas últimas a que en dichos procedimientos, las

estimaciones espectrales se obtienen mediante el promedio de diferentes valores de

la densidad espectral, asociada a una frecuencia dada, sería de gran importancia

el desarrollo de un estudio que permitiese conocer, con un nivel de confianza

significativo, si las las características del oleaje, en las distintas épocas del año y

en diferentes puntos del litoral español, permiten la ampliación de la longitud de los

registros, hasta intervalos de tiempo superiores a los aproximadamente 20 minutos,

utilizados en la mayoría de los estudios de oleaje a corto plazo.

Respecto al método MEM, es de vital importancia el llegar a deducir una expresión

para los límites de confianza, que permitan conocer, de forma efectiva desde el punto

de vista práctico, la variabilidad estadística de las estimaciones obtenidas.

Apéndice A

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