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1

MÉTODO SIMPLEX

PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

[email protected]

Minimizar Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Minimizar Z = 4x1 + x2

Sujeto a: 3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Estandarización Tradicional

Como n=4 y m=3, el Simplex hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crearun sistema de ecuaciones consistente que arroje una Solución Inicial Inmediata yFactible .

Qué pasa si x1 se hace igual a cero? Qué pasa si x2 se hace igual a cero?

x1 = 0

x2 = 3

S2 = 3

S3 = -2

x2 = 0

x1 = 1

S2 = -2

S3 = 3

2

El método SIMPLEX necesita que la base inicial sea la matriz idéntica para poder arrancar. El problema general de PL es:

0X

b),,(AX

:a sujeto

CX )(

≥≥≥≥

≥≥≥≥====≤≤≤≤

====ZMINMAX

Si todas las restricciones son de ≤ , el método SIMPLEX inicia con la base igual a la matriz idéntica, formada por las columnas de las variables de holgura. Pero si existe por lo menos una restricción de = ó de ≥ , la matriz idéntica no aparece en forma automática y por lo tanto debe crearse mediante la adición de variables artificiales.

En general, las restricciones de “=“ y de “≥” generanproblemas al Simplex al momento de construir la tablainicial que arranca el procedimiento. En cambiocuando las restricciones son de “≤” no existen estosinconvenientes y el método puede iniciar sinproblemas con las variables de holgura.

El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranquecreando Variables Artificiales.

3

Min Z = 4x1 + x2

Sujeto a:

3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1 , x2 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2

Sujeto a:

3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 – S2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2,S2, S3 ≥ 0

Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

Sujeto a:

3x1 + x2 + R1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

Aquí n = 6 y m = 3, siendo (n-m) = 3. Es decir, al hacer 3 variables iguales a “cero” saleuna Solución Inicial Inmediata Factible. [Puede observar que estas 3 variables no básicasiniciales deben ser x1, x2, s2]. La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta queen el renglón (Zj – Cj) las variables básicas tienen necesariamente valores de “cero”.

Tenga en cuenta que en la Tabla 1:

- Variables No Básicas: x1, x2, s2

- Variables Básicas: R1, R2, S3

El MÉTODO DE LA GRAN M

Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2

Sujeto a:

3x1 + x2 + R1 = 3

4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6

x1 + 2x2 + S3 = 4

x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0

De la primera y segunda restricción:

R1 = 3 - 3x1 - x2

R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2

Transformación necesaria en la Función Objetivo:

Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2)

Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M

Variables Básicas

Coeficientes en la Función Objetivo

(Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

R1 M 3 1 0 0 1 0 3

R2 M 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M

4

Tabla 1

Variables Básicas

Coeficientes en la Función

Objetivo (Cj)

x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

R1 M 3 1 0 0 1 0 3

R2 M 4 3 -1 0 0 1 6

S3 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj - (4-7M) (4M -1) -M 0 0 0 9M

Tabla 4

Variables Básicas

Coeficientes en la Función

Objetivo (Cj)

X1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución (R.H.S.)

X1 4 1 0 0 -1/5 2/5 0 2/5

X2 1 0 1 0 3/5 -1/5 0 9/5

S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

Zj - Cj 0 0 0 -1/5 7/5-M -M 17/5

Tabla OPTIMA

NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento.

Maximice Z = (5/2)X1 + X2

Sujeto a: 3X1 + 5X2 ≤ 155X1 + 2X2 ≤ 10Xj > 0 ; j = 1, 2

Tabla Final OPTIMA

Variables

Básicas


(Cj)

x1 X2 S1 S2 Solución

(R.H.S.)Razón θ

S1 0 0 3.8 1 -0.6 9 9/3,8 = 2,36

X1 5/2 1 0.4 0 0.2 2 2/0.4 = 5

Zj - Cj 0 0 0 0.5 5 -

Entonces aquí la variable que entra es la variable no-básica que tenga el valor (Zj - Cj) másnegativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Si esta variable entra, lafunción objetivo permanece inmodificable.

Puede encontrarse otra solución con el mismo valor de Z

Observe que una Tabla Optima deMAXIMIZACION tiene todos los valoresdel renglón (Zj – Cj) ≥ 0. Es decir, elcriterio funciona a la inversa de laMinimizacion.

Múltiples Soluciones

5

Minimice Z = - X1 + X2 Sujeto a: - X1 + X2 ≤ 0

- 0,5X1 + X2 ≤ 1 Xj > 0 ; j = 1, 2

Problema sin solución Cuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor que cero.

Tabla Inicial

Variables Básicas


(Cj)

x1 X2 S1 S2 Solución (R.H.S.) Razón θ

S1 0 -1 1 1 0 0 0/-1 = 0

S2 5/2 -0.5 1 0 1 1 1/-0,5 = -2

Zj - Cj 1 -1 0 0 0

Entra x1 pero: ¿Cuál variable sale?

Problema de solución infinita (ó No Acotada)

Condiciones De Parada Del Método Simplex

1. Si todos los valores (Zj – Cj) son positivos (MAX), o negativos (MIN), el SIMPLEX concluye y se tiene entonces una solución ÓPTIMA.

2. Si el valor (Zj – Cj) de, por lo menos, una cualquiera de las variables NO básicas (iniciales) en el tablero SIMPLEX óptimo es cero (0), el SIMPLEX ha detectado un conjunto infinito de soluciones que puede escribirse como una combinación líneal convexa de cualesquiera dos ó más de ellas.

3. Si el tablero SIMPLEX actual tiene una variable candidata a entrar a la base, pero no hay una candidata a salir de ella, esto es, falla la regla del cociente, relacionada con la factibilidad de la siguiente solución básica, entones se concluye que se está trabajando con una función objetivo no acotada.

4. Si el tablero SIMPLEX cumple con la condición de parada enunciada en 1 pero aparece una variable artificial con un valor positivo en la solución óptima, entonces el SIMPLEX ha detectado que el problema NO tiene solución factible alguna.

6

3.3 EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES

Este método elimina el problema de trabajar con la “Gran M” y los

errores de redondeo asociados.

FASE I: trata de encontrar una solución básica factible inicial.

Aquí se minimiza la suma de las variables artificiales, sujeto a las restricciones del problema original. Hay dos posibilidades:

a) La suma de las variables artificiales es igual a cero, entonces se continua con la fase II.

b) Si el valor óptimo de la función objetivo es mayor que cero, entonces el problema original no tiene ninguna solución factible.

FASE II: Se cambia la función objetivo a la función objetivo original y se utiliza la solución básica factible encontrada en la fase I.

EL METODO SIMPLEX DE LAS DOS FASES

Ejemplo:

El modelo se transforma como sigue para iniciar el método de las dos fases:

0)X,X(

4X2X

6XX4

3XX3 :

X4X Z

21

21

21

21

21

≥≤+≥+

=++=

Sujeto a

Minimizar

esArtificial Var. , ;0),,,(

4 2

6 34

3 3 :a sujeto

Minimizar

212121

2 21

2121

121

21'

AASSXX

SXX

ASXX

AXX

AAZ

≥=++=+−+=++

+=

7


Variables Básicas

Coeficientes en la FO

(Cb)

X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución (R.H.S.)

A1 1 3 1 0 0 1 0 3

A2 1 4 3 -1 0 0 1 6

S2 0 1 2 0 1 0 0 4

Zj - Cj 7 4 -1 0 0 0 9


4 2

6 34

3 3 :a sujeto

Minimizar

212121

2 21

2121

121

21'

AASSXX

SXX

ASXX

AXX

AAZ

≥=++=+−+=++

+=

biC ijP

bC

Coeficientes de lasvariables en lafunción objetivo

Columnas

ijP

�� − �� = �� × ��

= 1� − ��


Variables

Básicas

Coeficientes en la FO (Cb)


Razón Mínima

(θ)

A1 1 3 1 0 0 1 0 3 3/3 = 1

A2 1 4 3 -1 0 0 1 6 6/4 = 1.5

S2 0 1 2 0 1 0 0 4 4/1 = 4

Zj - Cj 7 4 -1 0 0 0 9


4 2

6 34

3 3 :a sujeto

Minimizar

212121

2 21

2121

121

21'

AASSXX

SXX

ASXX

AXX

AAZ

≥=++=+−+=++

+=

Qué variable entra a la base? Qué variable sale a la base?

8

Variables

Básicas



Razón Mínima ( θ)

X1 0 1 1/3 0 0 1/3 0 1 1 / (1/3) = 3

A2 1 0 5/3 -1 0 -4/3 1 2 2 / (5/3) = 1,2

S2 0 0 5/3 0 1 -1/3 0 3 3/(5/3) = 1,8

Zj - Cj 0 5/3 -1 0 -7/3 0 2

Variables Básicas




X1 0 1 0 1/5 0 3/5 - 1/5 3/5X2 0 0 1 - 3/5 0 - 4/5 3/5 6/5S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

0 0 0 0 -1 -1 0 Zj - Cj

Se debe pasar a la fase dos, con la anterior solución inicial


Gauss…


En la FO original: Cb 4 1 0 0

Variables Básicas


X1 X2 S1 S2 Solución (R.H.S.)


X1 4 1 0 1/5 0 3/5 (3/5)/(1/5) = 3X2 1 0 1 - 3/5 0 6/5 -S2 0 0 0 1 1 1 1/1 = 1

0 0 1/5 0 18/5Zj - Cj

Variables Básicas


X1 X2 S1 S2 Solución (R.H.S.)

X1 4 1 0 0 - 1/5 2/5X2 1 0 1 0 3/5 9/5S1 0 0 0 1 1 1

0 0 0 - 1/5 17/5Zj - Cj

FASE 2 �� − �� = �� × ��

= 1� − ��

21 X4X Z +=Minimizar

9

3. MÉTODO SIMPLEX Cualquier problema de Programación Lineal, en su forma estándar puede escribirse así:

0X

bAX

CX

≥=

=

:a sujeto

Z(MIN) MAX

donde

Z = Valor de la función objetivo C = Vector fila de los coeficientes de todas las variables en la función

objetivo X = Vector columna de todas las variables del problema (incluyendo las de

holgura) A = Matriz de coeficientes del sistema b = Vector del lado derecho

3. MÉTODO SIMPLEX En su forma general, un modelo estándar tendrá n variables (incluyendo las de holgura) y m restricciones. Así, en general, las dimensiones de cada matriz y vector son las siguientes:

[ ] nnCCCC ×= 1 321 ······· C

1

2

1

.

.

.

×

=

nnX

X

X

X (incluye variables de holgura Sk)

nmmnm

n

n

aa

aaa

aaa

×

=

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

· · ·

· · ·

1

22221

11211

A

1

2

1

.

.

.

×

=

mmb

b

b

b

10

3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial

[ ] [ ] ; ; T2 1210 0 3 5 S S X X== XC

=

=

10

15 ;

1025

0153bA

0)X,(X

10X25X

15X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Original Modelo

21

21

21

21

≥≤+≤+

+=

•

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Estándar Modelo

2121

221

121

21

≥=++=++

+=

SS

S

S

•


Solución Básica Nº X1

X2

S1

S2

Factible

Valor de Z

1 0 0 15 10 Si 0

2 0 3 0 4 Si 9

3 0 5 -10 0 No –

4 5 0 0 -15 No –

5 2 0 9 0 Si 10

6 20/19 45/19 0 0 Si 235/19 = 12.4

•

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Estándar Modelo

2121

221

121

21

≥=++=++

+=

SS

S

S

•

Variables no básicas

Variables básicas

11


=

=

=

−

10

15

10

15

10

01

10

15

10

01

1

2

1

2

1

S

S

S

S

Solución básica Nº 1

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

S0S0X3X5ZMaximizar

2121

221

121

2121

≥=++=++

+++=

SS

S

S

0),,X,(X

10)(1)(0(0)25(0)

15 )0( )(1(0)53(0)

:a sujeto

)(0)(0(0)3)0(5ZMaximizar

2121

21

21

21

≥=+++=+++

+++=

SS

SS

SS

SS

X1 = 0 X2 = 0 S1 = 15 S2 = 10

•3.1 Soluciones Básicas En Forma Matricial


Solución Básica Nº X1

X2

S1

S2

Factible

Valor de Z

1 0 0 15 10 Si 0

2 0 3 0 4 Si 9

3 0 5 -10 0 No –

4 5 0 0 -15 No –

5 2 0 9 0 Si 10

6 20/19 45/19 0 0 Si 235/19 = 12.4

•

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Estándar Modelo

2121

221

121

21

≥=++=++

+=

SS

S

S

•

Variables no básicas

Variables básicas

12

−=

−=

=

=

−

15

5

10

15

13/5

03/1

10

15

15

03

10

15

15

03

1

2

1

2

1

S

X

S

X

Solución básica Nº 4

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

S0S0X3X5ZMaximizar

2121

221

121

2121

≥=++=++

+++=

SS

S

S

S1 = 0 X2 = 0S2 = -15 X1 = 5No factible!

0),,X,(X

10)(1 )0(0)0(25X

15 )(0)0(1(0)53X

:a sujeto

)0() 0(0(0)3X5ZMaximizar

2121

21

21

21

≥=+++

=+++

+++=

SS

S

S

S


Obsérvese que, en cada caso, lasolución básica se obtieneinvirtiendo la base ypremultiplicándola por el vectorb, o sea que una solución básicaes de la forma ,

donde B es la matriz baseasociada a la solucióncorrespondiente.

bB 1−

3.1 Método SIMPLEX en Forma Matricial El problema general de P.L. dado en su forma estándar por el conjunto de ecuaciones, puede tomarse de la siguiente manera:

[ ] [ ]RCCC

X

X

XRBA MLM B

R

B

=

==

Bm×m = Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de la matriz A, correspondientes a

las variables básicas)

Rm×(n-m) = Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A, asociadas a las variables no

básicas.

1mBX×

= Vector de las variables básicas.

1X

×m)-(nR = Vector de las variables no básicas.

m×1BC = Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función objetivo.

)(1R mn−×C = Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la función objetivo.

13

Por la tanto el modelo de P.L. quedaría expresado así:

0X

bRXBX

XCXC

≥=+

+=

:a sujeto

Z(MIN) MAX

RB

RRBB

Una solución básica es aquella en la que 0=RX , y, por lo tanto, bBX 1−=B . Una solución básica factible es aquella solución básica bBX 1−=B , tal que.

0X ≥B

3.1 Método SIMPLEX en Matricial

MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL

Inicie con una solución básica factible inmediata

¿Se cumple el CRITERIO DE PARADA?

Escoger la variable que va a entrar a la base (CRITERIO DE ENTRADA )

Determinar la variable que va a salir de la base (CRITERIO DE SALIDA )

Realizar las operaciones fila elementales para cambiar de base y obtener una nueva

solución básica factible

No

La solución básica factible actual es una SOLUCIÓN

ÓPTIMA

FIN

Si

14

1. Llevar el modelo a la forma estándar.

2. Determinar los parámetros de punto de partida:

Bm×m Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de

la matriz A, correspondientes a las variables básicas)

Rm×(n-m) Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A,

asociadas a las variables no básicas.

1mBX×

Vector de las variables básicas.

1X

×m)-(nR Vector de las variables no básicas.

m×1BC Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función

objetivo.

)(1R mn−×C

Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la

función objetivo.


3. Calcule la solución básica inicial, donde:

bBX 1−=B BBZ XC=

4. Calcule el valor de jZ - jC para las variables no básicas

jBjZ YC= y jj aBY 1−=

RBY 1−=

donde ja son las columnas de A que forman la matriz R.


15


5. Revise el Criterio de Optimalidad:

Caso Maximización: si todos los jj CZ − calculados en el literal

anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima: Caso Minimización: si todos los jj CZ − calculados en el literal

anterior son menores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima: Si se cumple el criterio finalice, de lo contrario continúe el

paso 6.

0≥− jj CZ

0≤− jj CZ

6. Realice el proceso de primer cambio de base

a) Criterio de entrada:

Caso Maximización: sea el “más negativo”.

Caso de Minimización: sea el “más positivo”.

)( jj CZ −

)( jj CZ −

b) Criterio de salida

Sale de la base aquella variable cuyo cociente θ sea el minimo, donde:

0 ; >= sksk

s yy

xθ


16

MÉTODO SIMPLEX MATRICIAL 6. Realice el proceso de primer cambio de base

b) Criterio de salida:

Recuérdese que RBB YXXX −= , en este caso:

−

=

= i

B

x

d

c

b

aX

Columna asociada a iX , variable a entrar a la base.

Luego: { }b/d , /c, amínd

b

c

amín =

=θ

Por lo tanto sale de la base asociada al θ mínimo

7. Actualizar la información con la nueva solución y repita todo el proceso, hasta llegar a la solución óptima.

Ejemplo:

0)X,(X

10X25X

15X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Original Modelo

21

21

21

21

≥≤+≤+

+=


17

Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial

1. Llevar el modelo a la forma estándar.

0)X,(X

10X25X

15X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Original Modelo

21

21

21

21

≥≤+≤+

+=

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

Estándar Modelo

2121

221

121

21

≥=++=++

+=

SS

S

S


2. Determinar los parámetros de punto de partida:

Bm×m Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de

la matriz A, correspondientes a las variables básicas)

Rm×(n-m) Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A,

asociadas a las variables no básicas.

1mBX×

Vector de las variables básicas.

1X

×m)-(nR Vector de las variables no básicas.

m×1BC Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función

objetivo.

)(1R mn−×C

Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la

función objetivo.

[ ] [ ]

=

=

=

===

=

2

1

2

1 ; ;25

53 ;

10

15 ;35 ;00 ;

10

01

X

X

S

SRBRB XXRbCCB

S1 S2 X1 X2

18


3. Calculo de la solución básica inicial bBX 1−=B

0),,X,(X

10 X25X

15 X53X

:a sujeto

X3X5ZMaximizar

2121

221

121

21

≥=++=++

+=

SS

S

S ;10

15 ;

10

01

=

= bB

Entonces:

=

==

−−

10

15

10

15

10

011

1bBX B

0== BBZ XC

BX es la solución básica factible inicial.


4. Calculo de )( jj CZ − para las variables no básicas.

jBjBjZ aBCYC 1−== , donde ja son las columnas de A que forman

la matriz R.

=

== −

25

53

25

53

10

011RBY (columnas de la matriz Y)

[ ][ ][ ][ ] 02500

05300

22

11

===

===T

B

TB

Z

Z

YC

YC

330

550

22

11

−=−=−⇒

−=−=−⇒

CZ

CZ

19


5. Revisión del criterio de optimalidad

Caso Maximización: si todos los jj CZ − calculados en el literal

anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima:

Como

330

550

22

11

−=−=−⇒

−=−=−⇒

CZ

CZ

Entonces ésta no es la solución óptima y se debe continuar con el paso 6

0≤− jj CZ


6. Primer Cambio de Base:

a) Criterio de entrada: )( jj CZ − sea el “más negativo”.

=

== −

25

53

25

53

10

011RBY (columnas de la matriz Y)

[ ][ ][ ][ ] 02500

05300

22

11

===

===T

B

TB

Z

Z

YC

YC

330

550

22

11

−=−=−⇒

−=−=−⇒

CZ

CZENTRA A LA BASE LA VARIABLE x1

20


6. Primer Cambio de base

b. Criterio de salida:


−

=

=

2

1

2

1

25

53

10

15

x

x

s

sBX

Columna asociada a 1X , variable a entrar a la base.

Luego: { } 22 , 5mín5

10,

315

mín ==

=θ

Por lo tanto sale de la base la variable S2.

Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial 7. Actualización de la información con la solución básica

factible actual:

Actualmente, las nuevas condiciones son:

[ ] [ ]

=

=

=

===

=

2

2

1

1 ; ;21

50 ;

10

15 ;30 ;50 ;

50

31

X

S

X

SRBRB XXRbCCB

s1 x1 s2 x2

Entonces, la solución actual es:

=

−=

==

−−

2

9

10

15

510

531

10

15

50

311

bBX 1B

10== BBZ XC

21


Segundo Cambio de Base: (si se necesita) Criterio de entrada: )( jj CZ − sea el “más negativo”.

jBjBjZ aBCYC 1−== , donde ja son las columnas de A que forman la

matriz R.

−=

−== −

5/25/1

5/195/3

21

50

5/10

5/311RBY (Columnas de Y)

S2 X2

[ ][ ][ ][ ] 25/25/1950

15/15/350

22

11

===

=−==T

B

TB

Z

Z

YC

YC

10111 =−=−⇒ CZ

13222 −=−=−⇒ CZ , ENTRA A LA BASE LA VARIABLE X2 (la única cuyo Zj – Cj es negativo)


Criterio de salida:


−−

=

=

2

2

1

1

5/25/1

5/195/3

2

9

x

s

x

sBX

Columna asociada a 2X , variable a entrar a la base.

Luego: 1945

5 ,1945

mín =

=θ

Por lo tanto sale de la base la variable S1.

22

Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial � Solución básica factible actual:

Actualmente, las nuevas condiciones son:

[ ] [ ]

=

=

===

=

1

2 ; ;01

10 ;

10

15 ;00 ;53 ;

52

35

X

XRBRB XXRbCCB

x2 x1 s2 s1

Entonces, la solución actual es:

=

−−

=

==

−−

19/20

19/45

10

15

19/519/2

19/319/5

10

15

52

351

1bBXB

37.1219/235Z ≅== BB XC


Tercer Cambio de Base: (si se necesita)

Criterio de entrada: )( jj CZ − sea el “más negativo”.

jBjBjZ aBCYC 1−== , donde ja son las columnas de A que forman la

matriz R.

−−

=

−−

== −

19/219/5

19/519/3

01

10

19/519/2

19/319/51RBY (columnas de Y)

[ ][ ][ ][ ] 19/519/219/553

19/1619/519/353

22

11

=−==

=−==T

B

TB

Z

Z

YC

YC

019/5 019/5

19/16019/16

22

11 ≥

=−=−⇒

=−=−⇒

CZ

CZ, SE CUMPLE EL CRITERIO DE PARADA Y

OPTIMALIDAD.

23

FUENTES:

1. Vidal, Carlos Julio (2005). Introducción A LaModelación Matemática Y Optimización.

2. Bravo, Juan José. Notas de Clase: MétodoSimplex.

3. Ramírez, Luis Felipe (2009). Notas de Clase:Método Simplex.

4. Toro, Héctor Hernán. Notas de Clase. MétodoSimplex

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