mt227 examen final 2014 ii

Universidad Nacional de Ingeniería P.A. 2014-2

Facultad de Ingeniería Mecánica 12-12-14

Departamento de Ingeniería Aplicada

Examen Final de Control Moderno y Óptimo –MT227-A

SOLO SE PERMITE EL USO DE UNA HOJA DE FORMULARIO Y CALCULADORA

ESCRIBA CLARAMENTE SUS PROCEDIMIENTOS

PROHIBIDO EL USO DE CELULARES U OTROS EQUIPOS DE COMUNICACION ELECTRONICA

DURACION: 110 MINUTOS

Problema 1

Considere el sistema masa-resorte no lineal:

0)()()()()( 324 tytutytyty

con u como entrada al sistema, se pide:

a. (1pto) Represente el sistema en forma de espacio estado no lineal con

el siguiente vector de estados TTtytytxtxtx )]()([)()()( 21

.

b. (2 ptos)¿Es el origen un punto de equilibrio? Si su respuesta es

afirmativa linealice el sistema anterior.¿ Que puede concluir con respecto a la estabilidad?

c. (2 ptos) Hacer 3

2xcu , considerando c como una función de x1 y x2, en el sistema no

lineal . Demuestre que el origen es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov. Use

como candidata de la función de Lyapunov:2

2

4

1)( xxxV

Problema 2

Se pretende mover un carro en un intervalo de tiempo de 10 segundos con el

fin de minimizar:

10

0

2

1 )(2

1)10()( dttuxuJ

donde u es la fuerza aplicada al automóvil (variable manipulada) y x1 la

posición medida desde el primer momento. Puesto que se supone que el

automovil se desliza sin fricción, las ecuaciones que describem su

movimiento son:

ux

xx

2

21

con 0)0()0( 21 xx

a. (1 pto) Definir la Ecuación de Hamilton-Bell-Jacobi (o función Hamiltoniana) que resuelve

el problema de control óptimo.

b. (2 ptos) Determinar la ecuación de co-estados (pseudo-estados) incluir su condición de

frontera. Resolver dichas ecuaciones .

Problema 3

Dado un determinado sistema que presenta ruido en el proceso (w) y en la medida (v):

y = x2 + v

si se cumple que

Determine

Fig 1 Masa Resorte- Amortiguador no Lineal

Fig 2 Dinámica del movimiento de un carro




a. (1 pto)La matriz A, C y G.

b. (2 ptos) Si R y Q representan las covarianzas de v y w, respectivamente. Demuestre que, en

estado estacionario.

Donde

a) (2 ptos) Determine la ganancia del filtro de Kalman (L)

Problema 4

Con el fin de mantener una nave espacial en su trayectoria, se debe

empezar con la estabilización a lo largo de la dirección de vuelo. La

nave espacial se equipó con propulsores en la proa y en la popa. Las

desviaciones de la trayectoria nominal son desigandas por:

Aquí, x1(t) la posición y x2(t) es la velocidad de la nave

espacial, y u(t) es el empuje de los motores. Tanto la

posición y la velocidad son conocidas en todo momento, es

decir, puede ser un regulador de estado. Los ruidos w(t)y v(t)

son los ruidos del proceso y de la medida respectivamente ,

con varianzas w=0.5, v=0.5 .Con E[w(t)]=E[v(t)]=0. Y el

índice de conducta es considerado como:

En un primer intento las matrices de Ponderación para el

LQR son:

25.20

01Q y R=4

a. (1pto) Demuestre que el sistema es completamente controlable.

b. (2ptos) Demuestre que al aplicar el control LQR , la ganancia de retroalimentación es

K=[0.5 1.25].

c. (2ptos) Determine la covarianza P y la ganancia L del fitro de kalman-Bucy.

d. (2ptos) Determine la ecuación de estado Txx ˆ del sistema final planta mas compesador

LQG (L+K) con entrada U=[ w(t) v(t)]T y como salida Y=[z(t) y (t)]

. Ver Fig.4. Explique

cuáles son los valores propios de la matriz de este sistema.

Los Profesores

Fig 4 Planta + Compensador LQG

Fig. 3 Nave Espacial

)()(01)(

)(1

0)(

1

0)(

00

10)(

tvtxty

twtutxtx




Solucionario:

Problema 1

a. Modelo de espacio estado no lineal

b. Haciendo dx1/dt=0 y dx2/dt=0 se observa que independiente del valor de u, el

origen es el punto de equilibrio.

El sistema en el origen es inestable, ya que tiene sus polos en cero.

c. Si u=c-x22 y c es función de x1 y x2, tenemos;

Si 2

2

4

1)( xxxV entonces aplicando el criterio de Lyapunov

Para demostrar que el punto del origen es asintóticamente estable se debe hallar

c en función de x1 y x2, para hacer dV/dt<0.

Por lo tanto remplanzando el valor de c en dV/dt, obtenemos:

Problema 2

a) dtuxJ 10

0

2

12

1)10(

b) )(2

1),,( 221

2 uxuuxH

02

u

u

H 2* u

21

2

22

1* xH

Ecuaciones de co-estado

0*

1

1

x

H 1 =A=cte




12

2

*

x

H 12

Usando las condiciones de frontera:

)10(1 1

1

Tx

y )(1 t =-1

)10(0 2

2

Tx

12

12 dt

d

tt

dtd10

)(

0

2

2

)10()(2 tt

10)(2 tt

tu 10*

Problema 3

a)

b) Plantear la ecuación de Riccati

c)

Problema 4

a. El sistema si es completamente Controlable en (A,B)

1

0

00

10BA

2)det(01

10]*[

CoBABCo

b. Demostración de la ganancia K en el LQR

]01[1

0

00

10

CGBA 01 QPBPBRPAPA tt

00

00

25.20

0101]

4

1[

0

1

00

10

01

00

32

21

32

21

32

21

32

21

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

525.224

1

5.24

1

214

1

32

2

3

1132

2

2

2

ppp

pppp

pp

52

25.2P




K=R-1BTP=[ 2

1

4

5]

c. Filtro de Kalman LQE: 00

1

000 T

wv

TT GGCPCPAPAP

v = 5.0w

00

00

0

0010]

1[

1

0

01

00

00

10

32

21

32

21

32

21

32

21

wvpp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

Covarianza

2

1

2

12

1

2

1

P

1

21v

T

ok CPL

d.

v

x

x

x

x

y

y

vw

x

x

x

x

x

x

x

x

0

1

ˆ

ˆ1000

0010

ˆ

1

2

0

0

0

0

1

0

ˆ

ˆ

4

5

2

301

12024

5

2

100

0010

ˆ

ˆ

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Los valores propios son los que corresponde a la matriz (A-BK) de la matriz del sistema

controlado y los que corresponden a la matriz (A-LC) por el principio de separación.

Los valores propios de la Matriz A no aparecerán en el sistema compensado.

L A-BK-LC

-BK

LC

A B

C

C

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