Matemática

DIP

CAN

MTA

0700

2V1

Potencias

an donde a se denomina base y n exponente de la potencia

an = a • a • a • a • a •… • a, n veces, es decir la base se repite la cantidad de veces que diga el exponente.

Propiedades: Sean a y b distintos de cero• Producto: an • am = an + m (Bases iguales) an • bn = ( a • b)n (Bases diferentes, exponentes iguales)

• División: an : am = an – m (Bases iguales) an : bn = (a : b)n (Bases diferentes, exponentes iguales)

• Potencia de potencia: (an)m = an · m

• Exponente negativo: a– n = ( 1a )n = 1

an

• Exponente 0: a0 = 1

Para tener presente:

• La adición y sustracción NO tienen propiedades, en este caso debes reconocer términos semejantes para sumar y/o restar, de lo contrario factorizar.

• 00 es indeterminado. • (– 1)n = 1, si n es par. (– 1)n = – 1, si n es impar.

Álgebra y

Funciones

Unidad temática: potencias

Potencias

Unidad temática: raícesRaíces raíces

m�xn donde, m es índice de la raíz xn es la cantidad subradical de la raíz

Para tener presente:

• El índice siempre debe ser mayor o igual a dos.• Si m es par, xn siempre debe ser ≥ 0, de lo contrario su

resultado NO pertenece al conjunto de los números reales (IR).

Propiedades

• Relación de la raíz y la potencia

p�aq = a

qp ; p ≠ 0

• Multiplicación de igual índice

n�a •

n�b =

n�a • b , n ≠ 0

• División de igual índice

n�a :

n�b =

n�a : b , o bien,

n�an�b

= � ab

n; n ≠ 0

• Composición

a • n�b =

n�an • b ; n ≠ 0

• Descomposición

n�an • b = a •

n�b ; n ≠ 0

Función Potencia

f(x) = xn , su gráfica asociada es:

n par

y

x

n impar

y

x

• Raíz de una raíz

p�q

�a = p · q

�a ; p y q ≠ 0

• Racionalizar

a

�b •

�b

�b =

a�bb

a

n�bm

• n�bn – m

n�bn – m

= a

n�bn – m

b ; n ≠ 0

Para tener presente:

• p�a •

q�b = a

1p • b

1q = a

qpq • b

ppq =

p · q�aq •

p · q�bp

• p�aq = (p

�a)q

• �a2 = |a|

Unidad temática: álgebra

álgebra

ÁlgebraPara sumar y restar expresiones algebraicas, debes reconocer términos semejantes (idéntico factor literal, distinto factor numérico).

NOMBRE FACTORIZACIÓN PRODUCTO

Cuadrado de binomio(a + b)2 a2 + 2ab + b2

(a – b)2 a2 – 2ab + b2

Suma por diferencia (a + b) · (a – b) a2 – b2

Dos binomios con un término en común (x + a) · (x + b) x2 + (a + b) · x + ab

Cubo de binomio(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Suma de cubos a3 + b3 (a + b) · (a2 – ab + b2)

Diferencia de cubos a3 – b3 (a – b) · (a2 + ab + b2)

productos notables

Unidad temática: ecuaciones de primer gradoUso de paréntesis

• x + (a) = x + a• x + (– a) = x – a • x – (a) = x – a• x – (– a) = x + a • a (x + b) = ax + ab

Reglas para despejar la incógnita

• a♠

+ b♣

= c♥

/ ♠ ♣ ♥ m.c.m

⇒ a ♣ ♥ + b ♠ ♥ = c ♣ ♠

• x + a = b ⇒ x = b – a • x – a = b ⇒ x = b + a • ax = b ⇒ x = b : a • x : a = b ⇒ x = ab

ecuaciones

Función raíz cuadrada

f(x) = �xDom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0}

y

x

�x

f(x) = – �xDom f: IR+ ∪ {0} Rec f: IR+ ∪ {0}

y

x

–�x

Sistemas de ecuaciones

Representan rectas en el plano cartesiano.

ax + by = cdx + ey = f

• Si ad

≠ be

, existe una única solución, es decir las rectas se intersectan en ese punto.

• Si ad

= be

≠ cf

, NO existen soluciones, es decir las rectas son paralelas.

• Si ad

= be

= cf

, existen infinitas soluciones, es decir, las rectas son coincidentes.

Unidad temática: inecuaciones linealesInecuaciones

• x + a > b ⇒ x > b – a • x – a > b ⇒ x > b + a • ax > b ⇒ x > b : a ; si a > 0• ax > b ⇒ x < b : a ; si a < 0

Solución de una inecuación

x > a x ≥ a x < a x ≤ a a < x < b a ≤ x ≤ b

]a, + ∞[ [a, + ∞[ ]– ∞, a[ ]– ∞, a] ]a, b[ [a, b]

Unidad temática: función afín y función linealFunción afín

f(x) = mx + n; m ≠ 0, n ≠ 0m : pendienten : ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición)

• Si m < 0, entonces la función es decreciente.y

x

• Si m = 0, entonces la función es constante.y

x

• Si m > 0, entonces la función es creciente.

y

x

Casos particulares de la función afínSi n = 0 y m = 1

Función identidad: f(x) = xSi m = 0 y n = c

Función constante: f(x) = cSi n = 0

Función lineal: f(x) = mx

f(x)

x

2

1

1

– 1

– 1

2

f(x)

x

c

f(x)

x

m > 0

Reg

istro

de

prop

ieda

d in

tele

ctua

l de

Cpe

ch.

Pro

hibi

da s

u re

prod

ucci

ón to

tal o

par

cial

.

Unidad temática: función parte entera y función valor absoluto

Función parte entera

f(x) = [x] Dom f: IRRec f: Z

1

– 2

– 1

– 3

– 3

2 3 4x

y

12

3

– 2 – 1

Función valor absoluto

f(x) = |x| x, x ≥ 0 f(x) = |x| = – x, x < 0

Dom f: IR Rec f: IR+ ∪ {0}

x

y

|x|

Unidad temática: función exponencialf(x) = ax

Dom f: IRRec f: IR+

Caso especial Interés compuesto: K = C · (1 + i)n

Donde:C = Monto inicialK = Monto finali = Tasa de interésn = Período

ax

y

x

a > 1; función creciente

a > 1

ax

a < 1; función de creciente

y

x0 < a < 1

Unidad temática: función cuadráticaFunción cuadrática

f(x) = ax2 + bx +c

(0, c): intersección con el eje Y

c

y

x

a > 0

Cóncava hacia arriba

y

x

a < 0

Cóncava hacia abajo

c

Unidad temática: función logarítmica

y

x

logb x

b > 1; función creciente

b > 11

0 < b < 1; función decreciente

y

x

logb x

0 < b < 1

1

Para tener presente:

y = logb x ⇔ by = x, b ≠ 1

f(x) = logb x

Dom f: IR+

Rec f: IR