mt 1 díptico número y proporcionalidad
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Matemática
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CAN
MTA
0700
1V2
Números y
Proporcionali
dad
Unidad temática: conjuntos numéricos
Números enteros (Z) Z = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
–∞.................. – 2, – 1, 0, 1, 2, .................. +∞
Z– Z+= IN• NO existen inversos multiplicativos.
Números naturales (IN)
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Este conjunto tiene algunas características:
• Divisores de n: Factores que dividen exactamente a n.
• Múltiplos de n: n, 2n, 3n, 4n, 5n, …
• m.c.m.: el menor de los múltiplos comunes entre dos o más números.
• M.C.D.: el mayor de los divisores comunes entre dos o más números.
• Primos = {2, 3, 5, 7, 11, …} (Divisible por 1 y por sí mismo)
• El número uno es el elemento neutro de la multiplicación.
• NO existe neutro aditivo.
consecutividad numérica
n – 1 n n + 1
antecesor sucesor
paridad e imparidad
2n – 3 2n – 1 2n + 1
antecesor impar sucesor impar
Números impares: Son de la forma 2n – 1; n ∈ Z
2n – 2 2n 2n + 2
antecesor par sucesor par
Números pares: Son de la forma 2n; n ∈ Z
Números cardinales (IN0)
IN0 = {0,1,2,3,...}, es decir, según el conjunto anterior:
IN0 = {0} ∪ IN
• El cero es el elemento neutro de la adición.
• NO existen inversos aditivos.
Números enteros (Z)
operatoria en Z
Suma (signos iguales): se suman y se conserva el signo, es decir:
a + a = 2a – a + – a = – 2a
Resta (signos diferentes): se restan y se conserva el signo del coeficiente mayor, es decir:
– 3a + a = – 2a 2a – a = a
Observación: cuando tengas doble signo debes dejar solo uno, es más cómodo para trabajar, es decir:
– a + – a = – a – a a – – a = a + a
Regla de signos para producto y división:
+ • + = + y + • − = −− • − = + − • + = −
prioridad de las operaciones
(PAPOMUDAS)
En cálculos con expresiones que tengan paréntesis y operaciones combinadas, el orden para ejecutar las operaciones es el siguiente:
PARÉNTESIS, partiendo de los interiores a los exteriores.
POTENCIAS.
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES, de izquierda a derecha.
ADICIONES Y SUSTRACCIONES, de izquierda a derecha.
1º
2º
3º
4º
Números racionales (Q)
Q = ab / a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0
Operaciones
• Para sumar y restar fracciones con igual denominador, este se conserva y se suman o restan los numeradores.
• Para sumar y restar fracciones con distinto denominador, debes seguir los siguientes pasos:
Si b, c y d son distintos de cero, entonces:
ab + c
d =
a · d + b · cbd
ab – c
d =
a · d – b · cbd
• Para multiplicar y dividir fracciones, debes seguir los siguientes pasos:
Si b, c y d son distintos de cero, entonces:
ab
• cd
= a · cb · d
ab
: cd
= ab
· dc
= a · db · c
¿Cómo se convierte de decimal a fracción?
• Decimal finito: 2,5 = 2510
• Decimal infinito periódico: 8,7373... = 8,73= 873 – 899
= 86599
• Decimal infinito semi-periódico: 5,42323... = 5,423 = 5.423 – 54990
= 5.369990
Recuerda:
Siempre debes simplificar todo lo que sea posible antes de comenzar a realizar tus cálculos.
• 7 · 23 ≠ 7
23
143 ≠
21 + 23
operatoria en Q
Números irracionales (Q*)
Además de los números mencionados anteriormente, existen números decimales que tienen
infinitas cifras decimales, sin período, los cuales NO se pueden escribir como una fracción
con numerador y denominador enteros. Estos elementos se llaman números irracionales.
En resumen, los números irracionales son todos aquellos que NO se pueden escribir de la
forma ab
, con a y b ∈ Z y b ≠ 0.
Q* ={…, ± �3, ± �2, ± π, ± �π ,…}
Síntesis
IN: Naturales
IN0: Cardinales
Z: Enteros
Q: Racionales
Q*: Irracionales
IR: Reales
Q ∪ Q* = IR
IN ⊂ IN0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
Q ∩ Q* = ∅
ININ0
ZQ
Q*
IR
Reg
istro
de
prop
ieda
d in
tele
ctua
l de
Cpe
ch.
Pro
hibi
da s
u re
prod
ucci
ón to
tal o
par
cial
.
Unidad temática: proporcionalidad
Tipos de proporcionalidad:
Proporción compuesta
• Poseen más de dos variables
Proporcionalidad directa
• Ambas variables aumentan o ambas disminuyen.
• Definición: xy = k
y
x
Proporcionalidad inversa
• Mientras que una variable aumenta, la otra disminuye.
• Definición: x • y = k
y
x
Razón: es la comparación de dos cantidades a través de la división, por lo que:
ab
≠ ba
Proporción: igualdad entre dos razones
ab
= cd
, donde a y d son los extremos en la proporción y b y c son los medios.
Se debe cumplir la siguiente propiedad fundamental: producto de medios es igual al producto de extremos, es decir:
a • d = b • c
Unidad temática: porcentajes e interésPorcentajes
a% = a
100, esta definición es fundamental cuando se trata de porcentajes reiterados, es decir:
a% de b% de c% de d% de n, utilizando definición nos queda:
a
100 · b
100 · c
100 · d
100 · n , luego debes comenzar a simplificar todo lo posible para luego multiplicar lo que quede
(numerador con numerador y denominador con denominador).
Interés
Interés simple: K = C • (1 + i • n)
Donde:C = Monto inicialK = Monto finali = Tasa de interésn = Período