FısicaGuıa de Materia

Movimiento circularModulo Electivo

III Medio

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Nicolas Melgarejo, Veronica SaldanaLicenciados en Ciencias Exactas, U. de ChileEstudiantes de Licenciatura en Educacion, U. de Chile

1. Movimiento circular uniforme

Un cuerpo se encuentra en movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferenciao un arco de circunferencia. Si dicho movimiento se realiza a una velocidad de modulo constante, elmovimiento circular es uniforme.

Una partıcula que gira atada al extremo de una cuerda es un ejemplo de movimiento circular. Enla imagen se observa que el vector velocidad de la partıcula varıa continuamente de direccion, pero sumagnitud se mantiene constante, es decir, se trata de un movimiento circular uniforme M.C.U.

1.1. Velocidad lineal

La velocidad a la cual hacemos referencia en el ejemplo anterior es denominada velocidad lineal otangencial, la cual se representa a traves del vector tangente al punto de la trayectoria circular en que sehalla la partıcula en movimiento. Este vector cambia de direccion constantemente, por lo que la velocidadlineal no es constante. En un M.C.U. la velocidad tangencial mantiene su magnitud constante.

1.2. Rapidez lineal

La rapidez lineal o tangencial es el modulo de la velocidad lineal, en un M.C.U. se mantiene constantey podemos determinar su valor a traves del cuociente entre la distancia recorrida por la partıcula y eltiempo que demora en recorrer dicha distancia.

El tiempo que la partıcula tarda en dar un giro completo se denomina periodo del movimiento, se lerepresenta con la letra T . La distancia que recorre el cuerpo con M.C.U. en el lapso de un periodo T esigual al perımetro de la circunferencia 2πR. Ası, la rapidez tangencial v de un M.C.U. esta dada por:

v =2πR

T(1)

donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria.

1.3. Periodo

Como se indico anteriormente, el periodo T es el tiempo que una partıcula emplea en dar una vueltacompleta a su trayectoria. En un M.C.U. el periodo se mantiene constante, es decir, el cuerpo siempredemora la misma cantidad de tiempo en realizar un giro.

2

. Ejemplo

Determine la rapidez tangencial de un movil que describe una circunferencia de 10[cm] de radio en 0,2[s]:

Solucion: Para hallar la rapidez lineal v, basta con reemplazar los datos dados en el enunciado enla ecuacion (1):

v =2πR

T=

2π · 10[cm]

0, 2[s]= 314

[cms

]

1.4. Frecuencia

Se llama frecuencia f a la cantidad de giros o revoluciones que realiza un cuerpo en movimiento enuna determinada unidad de tiempo, en particular, con movimiento circular. En un M.C.U. la frecuenciaes constante y se puede determinar haciendo el cuociente entre la cantidad de giros y el tiempo empleadoen hacer esos giros. En particular, si consideramos el cuociente entre una vuelta y el tiempo usado paradar esa vuelta se concluye que:

f =1

T(2)

En el S.I. la unidad de medida de la frecuencia es el Hertz [Hz], donde 1[Hz] =1

[1

s

]. Ejemplo

Un motor da 3.000 revoluciones por minuto. Determine su periodo.

Solucion: El enunciado indica que el motor realiza 3.000 giros en un lapso de tiempo igual a 60 segundos,ya que un minuto equivale a 60 segundos. Con esta informacion es posible determinar la frecuencia deoscilacion del motor:

f =3.000

60

[giros

segundo

]= 50[Hz]

Aplicando la ecuacion (2) obtenemos el valor del periodo T :

T =1

f=

1

50[s] = 0, 02[s]

Es decir, el motor demora 0,02 segundos en completar una revolucion.

Desafıo...En un hilo de 1[m] de largo se atan dos pie-dras, una en un extremo de la cuerda y la otraa 40[cm] del extremo, tal como se muestra enla figura. Si se hace girar el hilo a razon de 3vueltas por segundo, ¿que sucede con la rapi-dez lineal de las piedras? ¿son iguales? o ¿unatiene mayor rapidez que la otra? Respuesta

3

1.5. Velocidad angular

Una partıcula que se mueve con movimiento circular pasa por la posicion P1, despues de un intervalode tiempo ∆t esta pasando por la posicion P2, en este lapso de tiempo el radio de la trayectoria delmovimiento del cuerpo ha barrido un angulo ∆θ. La relacion entre el angulo ∆θ descrito y el intervalo detiempo ∆t empleado para describirlo se denomina velocidad angular ~ω del cuerpo en movimiento.

En un M.C.U. la velocidad angular se mantiene constante, su magnitud esta dada por:

ω =∆θ

∆t(3)

Como la velocidad angular se mantiene constante, podemos hallar el valor de ω para el instante enque la partıcula completa una vuelta, tendremos que ∆θ = 2π radianes y ∆t = T , ası:

ω =2π

T(4)

donde recordemos que T es el perıodo o tiempo que emplea el cuerpo en dar un giro completo. Sabiendoque la frecuencia f es el inverso multiplicativo del periodo, la expresion (4) es equivalente a:

ω = 2πf (5)

Si a la ecuacion (4) multiplicamos el valor del radio R de la circunferencia que sigue el cuerpo comotrayectoria, se obtiene la expresion (1):

ω ·R =2π

T·R

Se concluye:ω ·R = v (6)

El vector velocidad angular ~ω es perpendicular al plano en donde se dibuja la trayectoria circular delmovimiento de la partıcula, su origen se encuentra en el eje de rotacion y su sentido depende del sentidodel vector velocidad lineal ~v. Es posible expresar la ecuacion (6) vectorialmente como producto cruz:

~ω × ~R = ~v (7)

donde ~R es el vector posicion del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sı y se relacionan atraves de la regla de la mano derecha.

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Desafıo...

Respecto al desafıo anterior, ¿que sucede con la magnitud de la velocidad angularde las piedras? ¿son iguales? o ¿una tiene mayor rapidez angular que la otra?Respuesta

. Ejemplo

Calcule la magnitud de la velocidad tangencial de un punto de la lınea del Ecuador de la Tierra. Considereel radio terrestre igual a 6.000[Km]

Solucion: La Tierra tarda un dıa en dar un giro completo respecto de su eje de rotacion. En unavuelta o giro completo, el radio terrestre barre un angulo de 360◦, lo que expresado en radianes es iguala 2π. De acuerdo a esto, la velocidad angular ω del movimiento de rotacion terrestre es:

ω =2π rad

dıa

Un dıa corresponde a 24 horas. Como cada hora tiene 60 minutos y cada minuto tiene 60 segundos,realizando un sencillo calculo puede concluir que un dıa equivale a 86.400 segundos. Reemplazando:

ω =2π

86.400

[rad

s

]Aplicando la ecuacion (6) obtenemos el valor de la magnitud de la velocidad tangencial, es decir, la rapideztangencial v del punto del Ecuador:

v = ω ·R =2π

86.400

[rad

s

]· 6.000[Km] = 0, 436

[Km

s

]

1.6. Aceleracion centrıpeta

Sabemos que en un M.C.U. la magnitud de la velocidad lineal o tangencial de la partıcula se mantieneconstante, lo que implica que no existe sobre el cuerpo aceleracion tangencial. Pero la direccion del vectorvelocidad lineal cambia, por lo tanto, existe una variacion de dicho vector en el tiempo, lo que a su vezgenera el vector aceleracion centrıpeta ~ac.

El vector ~ac tiene la direccion del radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria ysiempre apunta hacia el centro de esta. Su magnitud esta dada por la ecuacione:

ac =v2

R(8)

5

donde v es la magnitud de la velocidad lineal, R el radio de la circunferencia.

Segun la ecuacion (6) v = ω ·R, reemplazando en (8) nos queda que:

ac =(ω ·R)2

R

=ω2 ·R2

R= ω2 ·R

(9)

donde R es el radio y ω la magnitud de la velocidad angular.

1.7. Fuerza centrıpeta

De acuerdo a la segunda ley de Newton, si un cuerpo con M.C.U. se ve afectado por la aceleracioncentrıpeta, entonces sobre este cuerpo actua una fuerza que provoca dicha aceleracion. Esta fuerza a sidodenominada fuerza centrıpeta, tiene igual direccion y sentido que la aceleracion centrıpeta. Su magnitudqueda determinado por:

Fc = m · acdonde m corresponde a la masa del objeto en movimiento y ac a su aceleracion centrıpeta. Reemplazandolas ecuaciones (8) y (9) obtenemos:

Fc = m · v2

R(10)

Fc = m · ω2 ·R (11)

Desafıo...

Demuestre que la magnitud de fuerza centrıpeta es igual al producto del momentumlineal p y la rapidez angular ω, es decir,

Fc = p · ω

Respuesta

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. Ejemplo

Determine la magnitud de la fuerza centrıpeta sobre un automovil de 10[Kg], el cual recorre una pistacircular de 80[m] de radio, con M.C.U. a 72

[Kmh

]de velocidad lineal.

Solucion: De acuerdo a los datos entregados en el enunciado, la ecuacion pertinente para determinar elmodulo de la fuerza centrıpeta Fc es la numero (10). Reemplazando:

Fc = m · v2

R= 10[Kg] ·

(72[Kmh

])280[m]

Note que es necesario trasformar los [Km] de la unidad de la velocidad lineal, ya que el radio de la pistaesta expresada en metros. Ademas transformaremos la unidad hora a segundos para escribir la respuestaen Newton:

Fc = 10[Kg] ·(72.0003.600

[ms

])280[m]

= 50[Kg · m

s2

]= 50[N ]

1.8. Momento angular

Momento angular o cantidad de movimiento angular ~L corresponde a una ca-racterıstica de los cuerpos que estan en rotacion, es la medida de la inercia rota-cional de un cuerpo que gira. El momento angular es un vector perpendicular alplano de la trayectoria del cuerpo que rota, el cual tiene una magnitud dada por:

L = R · p (12)

donde R es el radio de la circunferencia que el cuerpo sigue como trayectoria y pes la magnitud del vector momento lineal de la partıcula. El momento lineal ~p esuna caracterıstica de los cuerpos con masa que se mueven a cierta velocidad, es lamedida de la inercia de un cuerpo que se traslada, su magnitud esta dada por:

p = m · v (13)

donde m es la masa del cuerpo en movimiento y v su velocidad, en el caso de moverse con M.C.U. v es lavelocidad lineal de la partıcula. Reemplazando la ecuacion (13) en la expresion (12) se obtiene:

L = R ·m · v (14)

Reemplazando la ecuacion (6) en esta ultima expresion se concluye que el momento angular depende dela masa del cuerpo que gira, de su velocidad angular y del radio de giro de su trayectoria:

L = m ·R2 · ω (15)

Es posible escribir vectoriamente la ecuacion (12) como producto cruz:

~L = ~R× ~p (16)

donde ~R es el vector posicion del cuerpo. Estos vectores son perpendiculares entre sı y se relacionan atraves de la regla de la mano derecha.

7

1.9. Conservacion del momento angular

El momento angular se conserva si no actua sobre el objeto o sistema en rotacion un momento de torsiono torque externo neto. Recordemos que torque ~τ es una magnitud vectorial que indica cuantitativamentela tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotacion de un cuerpo respecto de un eje de giro.En funcion del cambio de momento angular ∆L del cuerpo o sistema en rotacion, el torque puede seexpresado como:

τ =∆L

∆t(17)

donde ∆t es el intervalo de tiempo en el cual se produce la variacion de momento angular.Aplicar un torque a un cuerpo o sistema mecanico en rotacion genera una variacion o cambio en su

momento angular. Si la magnitud de torque es nulo, es decir, τ = 0, entonces el cambio en el momentoangular tambien es nulo. Por lo tanto, si no actua un torque externo sobre un objeto o sistema en rotacion,el momento angular se mantiene constante, es decir, se conserva.

. Ejemplo

Un hombre esta sentado en una silla giratoria mientras sostiene dos bolas de boliche de 3[Kg] cada una.Despues de darse un impulso comienza a girar con los brazos estirados, las bolas rotan con una rapidez

lineal igual a 2[ms

]con un radio de giro igual a 60[cm]. Si el radio de giro disminuye a 40[cm] al recoger

sus brazos, ¿cual es la rapidez lineal de las bolas de boliche?

Solucion: Por el principio de conservacion del momento angular, la magnitud del momento angularantes de recoger los brazos, Li, es igual a la magnitud del momento angular despues de recoger los brazos,Lf , ası:

Li = Lf

Reemplazamos en la ecuacion (14) los valores correspondientes al antes y despues de haber cambiado elradio de giro:

Ri ·mi · vi = Rf ·mf · vfComo la masa de las bolas de boliche no varıa, la expresion se reduce a:

Ri · vi = Rf · vf

Despejamos el valor de la rapidez de las bolas despues de haber encojido los brazos, vf , y hallamos suvalor reemplazando los datos:

vf =Ri · viRf

=60[cm] · 2

[ms

]40[cm]

= 3[ms

]

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Desafıos resueltos

3 Desafıo I: La piedra que esta en el extremo de la cuerda tiene mayor rapidez lineal que la que seencuentra a 40[cm] del extremo, pues en el mismo tiempo describe una circunferencia mayor, esdecir, recorre una mayor distancia. Volver

3 Desafıo II: Ambas piedras poseen igual rapidez angular ya que describen angulos iguales en tiemposiguales. Volver

3 Desafıo III: Por la ecuacion (10) tenemos que:

Fc = m · v2

R

que puede ser reescrita como:

Fc = m · v · vR

Como el momentum es igual a masa por velocidad (P = m·v) y por la ecuacion (6) ω = vR , entonces:

Fc = p · ω

Volver

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Bibliografıa

[1 ] Fısica 3◦ Educacion Media, Santillana (2010)Luis Pavez, Javier Jimenez, Esteban Ramos.

[2 ] Fısica General, Tercera edicion, Harla. Mexico (1981)Beatrız Alvarenga, Antonio Maximo.

[3 ] Fısica Tomo I, Tercera edicion, Mc Graw-Hill. Mexico (1992)Raymond A. Serway.

[4 ] Fısica Conceptual, Novena edicion, Pearson Educacion. Mexico (2004)Paul Hewitt.

[5 ] Introduccion a la Fısica, Septima edicion, Editorial Kapelusz, Argentina (1958)Alberto Maiztegui, Jorge Sabato.

[6 ] Manual de preparacion PSU ciencias modulo optativo, Fısica, Ediciones UniversidadCatolica de Chile, Chile (2004)Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, Oscar Bravo Lutz, Luz Marıa Gazzolo Torrealba.

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