Movimiento armnico simple.

Presentado por: Nicolle Stephanya Mendoza Lpez.Karen Melissa Cardozo PacaguiDiana Mara Salamanca RojasSebastin David Ros IzaquitaMileidy Marcela Serrano Estupian

rea: Matemticas

Institucin Educativa Colegio de Sugamuxi10BSogamoso- Boyac2014

Introduccin

En lanaturalezahay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales detiempo, estos son llamados movimientos peridicos. EnFsicase ha idealizado un tipo demovimientooscilatorio, en el que se considera que sobre elsistemano existe laaccinde las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipacin de energa y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energaexteriora este.

El movimiento Armnico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armnico de una partcula tiene como aplicaciones a los pndulos, es as que podemosestudiarel movimiento de este tipo desistemastan especiales, adems de estudiar las expresiones de la Energa dentro del Movimiento Armnico Simple.

El trabajo que se presenta a continuacin es con el fin de hacer entender y dar a conocer el tema del movimiento armnico simple, junto con su definicin y sus caractersticas se encuentra una gran variedad de ejemplos y complementos acerca del tema.

Objetivos

Este trabajo tiene como causa, el desarrollo de la temtica propuesta en clase acerca del movimiento armnico simple, a lo cual refiere a la comprensin, aprendizaje, conocimiento y aplicacin de este en el rea de matemticas, tambin para resumir de buena manera el Qu es? para que sirve? Caractersticas, ejemplos de este y una conclusin, de esta manera nos proponemos a desarrollar una buena temtica para el pblico en general.

Contenido.1- Qu es el movimiento armnico simple?.2- Caractersticas de el movimiento armnico simple.3- Mecnica clsica.4- Ejemplos de Movimiento armnico simple.5- Conclusin.

Elmovimiento armnico simple(m.a.s.), tambin denominadomovimiento vibratorio armnico simple(m.v.a.s.), es un movimiento peridico, y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin deltiempopor una funcin senoidal (senoo coseno). Si la descripcin de un movimiento requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico, pero no un m.a.s.En el caso de que latrayectoriasea rectilnea, la partcula que realiza un m.a.s. oscila alejndose y acercndose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que suposicinen funcin deltiempocon respecto a ese punto es unasinusoide. En este movimiento, la fuerza que acta sobre la partcula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia ste.

Movimiento Armnico Simple es un movimiento peridico en el que la posicin vara segn una ecuacin de tipo senoidal o cosenoidal. La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo mxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. El M.A.S. es un movimientoacelerado no uniformemente. Suaceleracin es proporcional al desplazamientoy de signo opuesto a este. Toma su valor mximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mnimo en el centro. Podemos imaginar un M.A.S. como una proyeccin de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posicin del cuerpo en el instante inicial.

La descripcin cinemtica de un movimiento, se da a travs de la posicin, la velocidad y la aceleracin en cualquier instante de tiempo, en el movimiento armnico simple, cuando La partcula que describe el movimiento, a lo largo del eje X su posicinxest modelada por la funcin: x=Asen(t+)Donde Aes la amplitud. wla frecuencia angular. wt+jla fase. jla fase inicial.Expresin que tambin cumple con las caractersticas de un M.A.S. : Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre-Ay+A.

La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempoPtal quew(t+P)+j=wt+j+2p.P=2/

Cinemtica del movimiento armnico simpleEl movimiento armnico simple es un movimiento peridico de vaivn, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada, y en intervalos iguales de tiempo.Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.Es tambin, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibracin; pero, pongamos atencin, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultneo de todos los puntos de la cuerda.

Posicin (negro), velocidad (verde) y aceleracin (rojo) de un oscilador armnico simple.Respecto a su posicin de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posicin de equilibrio, esta fuerza es tal quedondees una constante positiva yes la elongacin. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que acta sobre la partcula est dirigida haca la posicin de equilibrio; esto es, en direccin contraria a su elongacin (la "atrae" hacia la posicin de equilibrio).Aplicando lasegunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define entonces en una dimensin mediante laecuacin diferencial

Siendola masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendose obtiene la siguiente ecuacin dondees lafrecuencia angulardel movimiento:(2)La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma(3)donde:es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.es laamplituddel movimiento (elongacin mxima).es lafrecuencia angulares eltiempo.es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el instantet= 0 de la partcula que oscila.Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:(4), y por lo tanto el periodo comoLavelocidadyaceleracinde la partcula pueden obtenersederivandorespecto del tiempo la expresin.VelocidadLa velocidad instantnea de unpunto materialque ejecuta un movimiento armnico simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:(5)AceleracinLa aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo de encuentro:(6)Amplitud y fase inicialLa amplitudy la fase inicialse pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongaciny de la velocidadiniciales.(7)(8)Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos(9Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos(10)Dinmica del movimiento armnico simpleEn el movimiento armnico simple la fuerza que acta sobre el mvil es directamente proporcional:(11)Un ejemplo sera el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese casoksera la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendramos:(12)Comparando esta ecuacin y la que tenamos para la aceleracin (6) se deduce:(13)Esta ecuacin nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constante elstica de la fuerza que acta sobre ella:(14)Energa del movimiento armnico simple

Las fuerzas involucradas en un movimiento armnico simple soncentralesy, por tanto,conservativas. En consecuencia, se puede definir uncampo escalarllamadoenerga potencial(Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresin de la energa potencial, basta con integrar la expresin de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obtenindose:(15)La energa potencial alcanza su mximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el puntox= 0, es decir el punto de equilibrio.Laenerga cinticacambiar a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:(16)La energa cintica es nula en-Ao+A(v=0) y el valor mximo se alcanza en el punto de equilibrio (mxima velocidad A).(17)Como slo actan fuerzas conservativas, laenerga mecnica(suma de la energa cintica y potencial) permanece constante.(18)Finalmente, al ser la energa mecnica constante, puede calcularse fcilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partcula es nula y por lo tanto la energa potencial es mxima, es decir, en los puntosy. Se obtiene entonces que,(19)O tambin cuando la velocidad de la partcula es mxima y la energa potencial nula, en el punto de equilibrio(20)

Medicin de masa en ingravidezEn condiciones deingravidezno es posible medir la masa de un cuerpo a partir de supeso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del movimiento armnico simple para realizar tal medicin.Para ello se instal en la estacin espacialSkylabun dispositivo (experimento M1721) destinado a medir la masa de los tripulantes consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de oscilacinelectrnicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa del individuo:(21)

En conclusin:

El Movimiento Armnico Simple es un movimientoperidicoen el que la posicin vara segn una ecuacin de tipo senoidal o cosenoidal. La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo mxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. El M.A.S. es un movimientoacelerado no uniformemente. Suaceleracin es proporcional al desplazamientoy de signo opuesto a este. Toma su valor mximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mnimo en el centro. Podemos imaginar un M.A.S. como una proyeccin de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posicin del cuerpo en el instante inicial.