monografía_matemática iii_divergencia, rotacional, coordenadas cilíndricas y esféricas_9...
DESCRIPTION
mate 3TRANSCRIPT
-
Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin
UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO
ANTUNEZ DE MAYOLO
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA
Y METALURGIA
ASIGNATURA : MATEMTICA III
TRABAJO : DIVERGENCIA, ROTACIONAL, COORD.
CILNDRICAS Y ESFRICAS
DOCENTE : RUBEN MARIO LEIVA BERNUY
ALUMNOS : - RODRIGUZ ROBLES, ERICK
- SALVADOR JARA, PAUL
- VERAMENDI SANTOS, YAEZ
AO ACADMICO : 2014-II
CICLO : III
FECHA: 16/01/2015
HUARAZ - PER
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
1
TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................................................... 1
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL ................................................................. 2
DIVERGENCIA DE UNA FUNCIN VECTORIAL ....................................................................................... 2 Definicin ....................................................................................................................................... 3
ROTACIONAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL ........................................................................................ 4 Propiedades ................................................................................................................................... 4 Ejercicios desarrollados .................................................................................................................. 5
COORDENADAS CILINDRICAS .............................................................................................................. 6 COORDENADAS ESFRICAS ................................................................................................................. 6
BIBLIOGRAFA ........................................................................................................................................ 8
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
2
Divergencia y Rotacional de una funcin vectorial
DIVERGENCIA DE UNA FUNCIN VECTORIAL
Si una funcin vectorial es = (1, 2, 3), donde 1, 2, 3 son funciones escalares,
entonces el producto escala de la funcin vectorial y el vector simblico es decir:
se denomina la divergencia de la funcin vectorial y se denota por ( ) =
es decir:
( ) = = 1
+2
+3
a) Teorema:
Si y son dos funciones vectoriales, mostrar que ( + ) = +
Demostracin
Si = (1, 2 , 3) y = (1 , 2, 3), entones + = (1 + 1, 2 + 2 , 3 + 3)
( + ) =
(1 + 1) +
(2 + 2) +
(3 + 3)
= (1
+2
+3
) + (1
+
+
3
)
= +
b) Teorema:
Si es una funcin escalar, entonces la divergencia del gradiente de es
() =2
2+
2
2+
2
2
Demostracin
Como () = =
+
+
() =
+
+
(()) = () =
(
) +
(
) +
(
) =
2
2+
2
2+
2
2
La divergencia del gradiente se escribe como 2. Entonces () se
escribe como = 2. Al operador 2 le llamamos el Laplaciano, es decir:
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
3
Lapaciano = 2=2
2+
2
2+
2
2 entonces se tiene:
2 = (2
2+
2
2+
2
2) =
2
2+
2
2+
2
2
Definicin Una funcin escalar se dice armnica si es continua, tiene segundas derivadas
continuas y satisface a la ecuacin de Laplace.
2 = 0
Ejemplo 01:
Mostrar que funcin 1
, donde = = (2 + 2 + 2)1 2 es una funcin armnica
siempre que 0
Solucin
Claramente 1
es continua, puesto que 2, 2, 2 y son continuas entonces el Laplaciano
es:
2 (1
) = (
2
2+
2
2+
2
2)(2 + 2 + 2)1 2
=2
2(2 + 2 + 2)1 2 +
2
2(2 + 2 + 2)1 2
+2
2(2 + 2 + 2)1 2 (1)
de donde la primera y segunda derivada parciales de 1
con respecto a x son:
(2 + 2 + 2)1 2 = (2 + 2 + 2)3 2
2
2(2 + 2 + 2)1 2 = (2 + 2 + 2)3 2 + 32(2 + 2 + 2)5 2
En forma similar, las derivadas parciales de 1
con respecto a las variables x, y, z.
2
2(2 + 2 + 2)1 2 = (2 + 2 + 2)3 2 + 32(2 + 2 + 2)5 2
2
2(2 + 2 + 2)1 2 = (2 + 2 + 2)3 2 + 32(2 + 2 + 2)5 2
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
4
Luego al momento de reemplazar en (1) se tiene:
2 (1
) = (2 + 2 + 2)3 2 + 32(2 + 2 + 2)5 2 (2 + 2 + 2)3 2
+ 32(2 + 2 + 2)5 2 (2 + 2 + 2)3 2
+ 32(2 + 2 + 2)5 2
= 3(2 + 2 + 2)3 2 + 3(2 + 2 + 2)(2 + 2 + 2)5 2
= 3(2 + 2 + 2)3 2 + 3(2 + 2 + 2)5 2 = 0
Como satisface la ecuacin de Laplace, la funcin 1
es armnica.
ROTACIONAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL
Si una funcin vectorial = (1, 2, 3), donde 1, 2 , 3 son funciones escalares con
primeras derivadas continuas entonces su producto o cruz con el vector simblico es:
= (
+
+
) (1 + 2 + 3 ) = ||
1 2 3
||
= (3
2
) + (1
3
) + (3
2
)
Llamamos a esta funcin el rotacional ( ) de la funcin vectorial es decir:
Rotacional =
Nota: no necesariamente es perpendicular a .
Propiedades
1) Sean y funciones vectoriales entonces:
( + ) = +
2) Sea una funcin escalar con segundas derivadas continuas entonces:
(()) = 0
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
5
3) Sea una funcin vectorial con segundas derivadas continuas entonces:
( ) = 0
4) Sean y funciones vectoriales, entonces:
( ) = ( )
Ejercicios desarrollados
1) Si = () donde = (, ) entonces mostrar que = (u) = ()u
Solucin
Como el gradiente de es: = (u) =2
2 +
2
2 +
2
2
= ()
+ ()
+ ()
= () (
+
+
) = ()u
2) Hallar el rotacional de (, , ) = + 22 + 3
Solucin
Como el rotacional es dado por:
= ||
22 3
||
= [
(3)
(22)] + [
()
(3)] + [
(22)
()]
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
6
COORDENADAS CILINDRICAS
A las coordenadas cilndricas de un punto p del espacio denotaremos por p(r,,z) donde
(r, ) es la coordenada polar de la proyeccin de p sobre el plano polar y z es la distancia
dirigida del plano polar al punto p.
Un punto p del espacio tiene dos representaciones una en coordenadas Cartesianas
p(x,y,z) y la otra en coordenadas cilndricas p(r,,z). La relacin que existe entre las
coordenadas cartesianas y las coordenadas cilndricas es: = ; = ; z=z.
Donde las coordenadas cilndricas r, son las coordenadas polares del punto (x, y, 0) en
el plano XY, que es la proyeccin ortogonal del punto p sobre el plano XY.
Calculando el Jacobiano de las coordenadas cilindricas:
(, , ) =(, , )
(, , )=
[
]
= [ 0 0
0 0 1] (, , ) =
COORDENADAS ESFRICAS
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
7
En un sistema de coordenadas esfricas se tiene: un plano polar y un eje Z perpendicular
al plano polar con el origen del eje Z en el polo del plano polar.
A las coordenadas esfricas de un punto del espacio denotaremos por (, , ), en
donde = || > 0, es el ngulo polar de la proyeccin de p en el plano polar y es
el ngulo entre la direccin positiva del eje Z y el radio vector .
La relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas es: = ,
= , = , > 0, 0 2, 0 .
Calculando el Jacobiano de las coordenadas esfricas se tiene:
(, , ) =(, , )
(, , )=
[
]
(, , ) = [
0 ] = 2
(, , ) = 2
-
FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA
8
Bibliografa
ESPINOZA R, E. 2012. Anlisis matemtico III: Para estudiantes de ciencias e ingeniera. 6ta edicin.
VERA, S. 2003. Clculo para la ingeniera.
CABELLO P, J. Apuntes de Clculo. Departamento de Anlisis Matemtico.
Universidad de Granada.