momento lineal, energia cinetica y su...

MOMENTO LINEAL, ENERGIA CINETICA Y SUCONSERVACION

BERNARDO ARENAS GAVIRIAUniversidad de Antioquia

Instituto de Física

2017

Índice general

1. Momento lineal, energía cinética y su conservación 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Concepto de partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Vector posición (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Vector desplazamiento (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Vector velocidad (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6.1. Vector velocidad media (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6.2. Vector velocidad instantánea (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Momento lineal o cantidad de movimiento (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.1. Conservación del momento lineal en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Movimiento en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.1. Vector posición en dos dimensiones (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones (∆r) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8.3. Vector velocidad en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.4. Vector velocidad media en dos dimensiones (v̄) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.5. Vector velocidad instantánea en dos dimensiones (v) . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Momento lineal o cantidad de movimiento en dos dimensiones (p) . . . . . . . . . . 181.9.1. Conservación del momento lineal en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . 201.9.2. Concepto del vector impulso (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10. Concepto de energía cinética Ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12. ENUNCIADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Bibliografía 31

3

Capı́tulo 1Momento lineal, energía cinética y suconservación

CompetenciasEn esta unidad se busca que el estudiante

Infiera el concepto de sistema de referenciay el concepto de partícula.

Defina conceptual y matemáticamente losconceptos de vector posición, vector des-plazamiento y vector velocidad.

Opere adecuadamente con las cantidadesfísicas vector posición, vector desplaza-miento, vector velocidad y el escalar masa.

Identifique y defina el concepto de vectormomento lineal.

Infiera el concepto de sistema.

Distinga entre sistema aislado y sistema noaislado.

Analice y aplique el principio de conserva-ción del vector momento lineal total de unsistema aislado.

Defina y analice el concepto del escalarenergía cinética, relacionándolo con el con-cepto del vector momento lineal.

Defina el concepto de colisión.

Distinga entre choque y colisión.

Analice diferentes tipos de colisiones.

Distinga entre colisión elástica y colisióninelástica.

CONCEPTOS BASICOS DE LA UNIDADEn esta unidad, se definirán los siguientes con-ceptos: Sistema de referencia, partícula, vectorposición (r), vector desplazamiento (∆r), vectorvelocidad (v), masa (m), vector momento lineal(p), sistema, sistema aislado y energía cinética(Ek).

1.1. Introducción

El concepto de momento lineal o cantidad demovimiento, es de gran importancia en la física,ya que se presentan muchas situaciones realesen las que el momento lineal total de un sistemase conserva, tanto a nivel microscópico como anivel macroscópico. Esto da lugar al principiode conservación del momento lineal, que porser una regla que no tiene excepción, se aplicaen diferentes áreas de la física.

1.2. Sistemas de referencia

La frase traer el cuerpo A que se encuentra a unadistancia de 2 m , es una frase incompleta, yaque como se ilustra en la figura 1.1, puede ha-ber muchos cuerpos con una separación de 2 m.Esto lleva a la pregunta: ¿2 m a partir de quéo respecto a quién? Lo anterior muestra la ne-cesidad de especificar un punto u observador

2 CAPÍTULO 1. MOMENTO LINEAL, ENERGÍA CINÉTICA Y SU CONSERVACIÓN

de referencia respecto al cual se miden los 2 m.Por ello es más correcto decir: "Traer el cuerpoA que se encuentra a una distancia de 2 m res-pecto al observador B".

2 m

2 m 2 m2 m

Figura 1.1: Cuerpos separados entre sí por una dis-tancia de 2 m.

La frase anterior, aunque es menos ambigua,tampoco está completa ya que hay un conjuntomuy grande de puntos ubicados a una distan-cia de 2 m respecto al observador B. Al unir esteconjunto de puntos se obtiene una esfera de ra-dio 2 m en el espacio tridimensional, y una cir-cunferencia de radio 2 m en el espacio bidimen-sional, como se muestra en la figura 1.2 para elcaso de dos dimensiones.

B

Figura 1.2: Cuerpos a una distancia de 2 m respectoa B.

Para definir con toda claridad la posición delcuerpo, se puede hacer la afirmación: Traer elcuerpo A que se encuentra a una distancia de 2 mrespecto a un observador B, de tal manera que la rec-ta que une a B con A coincide con el eje x, toma-do horizontalmente. Esto equivale a decir que seha adicionado un sistema de coordenadas uni-dimensional al observador B, como se muestraen la figura 1.3, donde lo que realmente se hadefinido es un sistema de referencia, que con-siste en un observador al que se le ha asignado

o ligado un sistema de coordenadas en una di-mensión.

Bx (m)

A

2O

Figura 1.3: Posición de A respecto a B.

Por lo anterior, se puede concluir que paraconocer con certeza la posición de un cuerpo,es indispensable definir un sistema de referen-cia, ya que de lo contrario no tendría sentido laubicación del cuerpo en consideración. Como seindica más adelante, para dar una descripcióncompleta del movimiento de un cuerpo, se de-be disponer de un cronómetro o reloj con el finde poder conocer los instantes de tiempo en losque ocupa las diferentes posiciones sobre el ejex.

Lo discutido anteriormente sólo es válido pa-ra el observador B, ya que si se cambia de ob-servador, o lo que es equivalente, de sistema dereferencia, necesariamente la posición del cuer-po sería completamente diferente.

De esta forma, el movimiento de un cuerpopuede definirse como un cambio continuo desu posición respecto a otro cuerpo, es decir, elmovimiento de un cuerpo dado sólo puede ex-presarse en función de un sistema de referencia.Además, el movimiento del cuerpo A, respectoal cuerpo B, puede ser muy diferente al movi-miento del cuerpo A respecto a otro cuerpo C.

MovimientoA

CBx

O

Figura 1.4: A y C se mueven respecto a B.

Suponga que un auto y su conductor, en re-poso entre sí, se mueven sobre una pista rectahacia la derecha. Esta situación real, se modela-rá de tal forma que en la figura 1.4, el conductores el cuerpo A, el auto el cuerpo C y un postefijo al lado de la vía es el cuerpo B.

1.3. CONCEPTO DE PARTÍCULA 3

Los cuerpos A y C en reposo uno respecto alotro, se encuentran en movimiento hacia la de-recha respecto al cuerpo B, como en la figura 1.4.Pero una situación diferente se presenta cuandose toma un sistema de referencia con origen enel cuerpo C, como se indica en la figura 1.5.

MovimientoA

C

O '

Bx '

Figura 1.5: B se mueve respecto a C, A no se mueverespecto a C.

En este caso, el cuerpo A está en reposo res-pecto al cuerpo C y el cuerpo B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

De acuerdo con lo anterior, cuando se quie-re analizar el estado de reposo o de movimientode un cuerpo, es necesario definir con toda clari-dad cuál es el sistema de referencia a utilizar, yaque como en la situación de la figura 1.4, el mo-vimiento de A y C es hacia la derecha respectoal cuerpo B, mientras que para la situación de lafigura 1.5, A está en reposo y B en movimientohacia la izquierda respecto al cuerpo C.

Para obtener información completa sobre laforma como cambia la posición de un cuerporespecto a otro, es necesario medir tiempos, osea, que el observador debe disponer de un relojo cronómetro, además del sistema de coordena-das.

De la situación anterior también se puedeconcluir que reposo y movimiento son concep-tos relativos, ya que ambos dependen del siste-ma de referencia en consideración. Si un cuerpoestá en movimiento respecto a algunos sistemasde referencia, simultáneamente puede estar enreposo respecto a otros sistemas de referencia,esto es, el movimiento es relativo.

En lo que sigue, se supone que se tiene un sis-tema de referencia unidimensional bien defini-do. Los sistemas de referencia que se emplea-rán en adelante, se considera que están en re-poso respecto a la tierra. Estos sistemas recibenel nombre de sistemas de referencia inerciales.Posteriormente, se define de forma más concisa

este tipo de sistemas de referencia, donde tam-bién se incluyen otros sistemas de referencia,que aunque estén en movimiento respecto a latierra, cumplen la condición de ser inerciales.

Necesariamente, cuando un cuerpo se mueveen línea recta respecto a la tierra, bien sea so-bre ella o a una altura determinada dentro de laatmósfera terrestre, estará sometido a los efec-tos del aire. Esta situación se percibe cuando seviaja rectilíneamente en un auto con las ventani-llas abiertas o cuando se deja caer verticalmenteuna hoja de papel. En ambos casos los cuerpostienen un movimiento respecto al sistema de re-ferencia aire.

Por ahora, no se consideran los efectos del ai-re sobre el movimiento de los cuerpos. El análi-sis de esta situación se hace más adelante.

1.3. Concepto de partícula

Para ilustrar el concepto de partícula se consi-dera la siguiente situación: Un bloque desliza ose traslada sobre una superficie horizontal sincambiar su orientación ni su forma geométrica,es decir, se mueve como un todo de una posi-ción a otra. En este caso, como se indica en lafigura 1.6, los puntos A y B, pertenecientes albloque, se mueven la misma distancia d.

A

B

x

x

A

B

x

x

d

d

Figura 1.6: Traslación pura de un cuerpo.

Aunque sólo se han considerado los puntos Ay B, es cierto que todos los puntos del bloque semueven la misma distancia d.

Esto permite analizar el movimiento de soloun punto del bloque, ya que el comportamien-to de él es idéntico al comportamiento de todoslos demás puntos. Cuando es posible hacer lasimplificación anterior, se dice que el cuerpo seha reducido al modelo de una partícula. Poste-riormente, se dará una definición más precisade este concepto.


En esta unidad se considera sólo el movi-miento de traslación de los cuerpos a lo largode una línea recta; por ello el movimiento de loscuerpos se describe mediante el modelo de par-tícula.

1.4. Vector posición (r)

Para el caso de una dimensión, un cuerpo tra-tado bajo el modelo de partícula, se mueve a lolargo de un camino recto, también conocido co-mo trayectoria rectilínea, que en principio pue-de tener cualquier orientación. La posición de lapartícula, en un instante determinado y respec-to al origen del sistema de referencia mostradoen la figura 1.7, está dada por el vector posiciónr trazado desde el origen del sistema de refe-rencia hasta la posición donde se encuentre lapartícula.

x

O i

r( )t

Movimiento

Figura 1.7: Vector posición r de la partícula.

En este caso el vector posición se expresa enla forma r = x i , donde x es la componente dedicho vector.

La forma de la expresión dada por la ecua-ción (1.1) es válida en el caso de un sistema dereferencia unidimensional.

En la figura 1.7 se observa que el vector po-sición r varía con el tiempo en magnitud, mien-tras la partícula se mueve a lo largo de su tra-yectoria rectilínea.

Ejemplo 1.1 El vector posición de un niño quecamina en línea recta, está dado por la expresiónr(t) = (t − 3)i, donde r se da en m y t en s. CuandotA = 2.50 s el niño pasa por el punto A de la figura1.8. Determine la posición del niño en dicho instante.SoluciónReemplazando tA = 2.50 s en la expresión dada, seencuentra que el vector posición, cuando el niño pa-sa pasa por el punto A, está dado por

rA = (− 0.50 m)i.

Como en una dimensión el vector posición se expre-sa en la forma r = xi, al comparar con la igualdad

anterior se tiene que

xA = −0.50 m,

es la coordenada del niño cuando pasa por el puntoA.

El siguiente diagrama es una representación grá-fica del resultado obtenido, donde el niño se ha tra-tado bajo el modelo de partícula.

Ax (m)

i

rA

- 0.50 O

Figura 1.8: Posición del niño.

Ejercicio 1.1 El vector posición de un carrito dejuguete que se mueve en línea recta, está dado porr = (2t2 − 1)j donde r está dado en m y t en s. Cuan-do tA = 2.50 s el carrito pasa por el punto A. Deter-mine la posición del carrito en dicho instante. Mues-tre en un diagrama el resultado obtenido.

1.5. Vector desplazamiento (∆r)

Como se indica en la figura 1.9, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el puntoA, definido mediante el vector posición rA . Sien un cierto tiempo posterior tB (tB > tA) la par-tícula pasa por el punto B, definido mediante elvector posición rB, el vector desplazamiento, quedescribe el cambio de posición de la partículaconforme se mueve de A a B, es dado por

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i. (1.1)

x

O i A BDr

rB

rA

Figura 1.9: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

Ejemplo 1.2 Un niño que se mueve en línea rectay cuyo vector posición está dado por r(t) = (t − 3)i,donde r se da en m y t en s, se encuentra en el puntoA en tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasapor el punto B, calcule la magnitud y dirección del

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 5

vector desplazamiento entre A y B.SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 s en la expre-sión dada, se encuentra que los vectores posición delniño, en componentes rectangulares, respectivamen-te están dados por

rA = (− 0.50 m)i,rB = (1.00 m)i.

Ahora, utilizando la ecuación (1.2), para este casose tiene que el vector desplazamiento, entre A y B,en componentes rectangulares está dado por

∆r = (1.50 m)i.

Por consiguiente, las magnitud del vector desplaza-miento está dada por

∆r = 1.5 m,

En la figura 1.10 se muestra, el vector desplaza-miento, donde el niño se tratado bajo el modelo departícula.

x(m)

Or

Ar

B

Dr i= (1.5 m)

-0.5 1.0

Figura 1.10: Vector desplazamiento.

Ejercicio 1.2 Un carrito de juguete que se mueveen línea recta y cuyo vector posición está dado porr = (2t2 − 1)j , donde r está dado en m y t en s, seencuentra en el punto C en tC = 2.50 s . Si en el tiem-po tD = 4.00 s pasa por el punto D, calcule el vectordesplazamiento del carrito entre C y D.

1.6. Vector velocidad (v)

Cuando la posición de una partícula respecto aun observador, cambia al transcurrir el tiempo,se dice que la partícula ha adquirido una velo-cidad respecto a dicho observador. En general,la velocidad de una partícula se define como larapidez con la cual cambia el vector posición dela partícula al transcurrir el tiempo, en determi-nada dirección.

1.6.1. Vector velocidad media (v̄)

De acuerdo con la figura 1.11, se considera unapartícula que en el instante tA pasa por el pun-to A, determinado por el vector posición rA. Sien un tiempo posterior tB (tB > tA) la partículapasa por el punto B, determinado por el vectorposición rB, la velocidad media de la partícula du-rante el intervalo de tiempo ∆t = tB − tA , sedefine como el desplazamiento dividido entreel intervalo de tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i

tB − tA

= v̄xi.

(1.2)

x

O A BDr

rB

rA

v

Figura 1.11: Vector velocidad media entre A y B.

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.3), las dimensio-

nes del vector velocidad media y en general dela velocidad, son LT−1 . Por consiguiente, lasunidades son m s−1 en el sistema SI, cm s−1 enel sistema gaussiano, p s−1 en el sistema Inglés;y en general, cualquier unidad de longituddividida por una unidad de tiempo, tal comokm h−1 ó mi h−1.

La definición (1.3) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector desplazamiento ∆r entre el inter-valo de tiempo ∆t, o sea que la velocidad mediaincluye tanto magnitud como dirección. Dondesu magnitud está dada por |∆r/∆t| y su direc-ción por la del vector desplazamiento ∆r. Estacantidad es una velocidad media, ya que la ex-presión no dice cómo fue el movimiento entre Ay B, pues el movimiento pudo haber sido conti-nuo o variable.

La siguiente es una situación en la que el vec-tor velocidad media es nulo. En la figura 1.12,


un auto parte del punto A y pasando por el pun-to B regresa al punto A, luego de un tiempo ∆t .En este caso, la velocidad media es cero ya queel desplazamiento de la partícula es cero, aun-que la distancia recorrida es diferente de cero.

x

O A B

rBA

-rBA

Figura 1.12: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.3 Un niño cuyo vector posición estádado por r(t) = (t − 3)i, donde r se da en m y t en s,se encuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en eltiempo tB = 4.00 s pasa por el punto B, determinela magnitud y dirección de la velocidad media delniño entre A y B.SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆r y sabiendoque ∆t = 1.5 s, mediante la ecuación (1.3), se encuen-tra que la velocidad media del niño en componentesrectangulares está dada por

v̄ = (1.00 m · s−1)i.

En este caso se encuentra que la magnitud del vectorvelocidad media es

v = 1.00 m · s−1

Se observa que el vector desplazamiento y el vec-tor velocidad media son paralelos, como se espera-ba.

Ejercicio 1.3 Un niño que se mueve en línea rectay cuyo vector posición está dado por r(t) = (t − 3)j,con r en m y t en s, se encuentra en el punto C enel instante tC. Si en el tiempo tD pasa por el pun-to D, demuestre que la velocidad media cuando elniño pasa del punto C al punto D, está dada porv̄ = (1 m · s−1)j.

Ejercicio 1.4 Un carrito de juguete que se mueveen línea recta y cuyo vector posición está dado porr = (2t2 − 1)i, donde r se da en m y t en s, se en-cuentra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, halle para el carritoel vector desplazamiento y el vector velocidad me-dia entre A y B.

Ejemplo 1.4 La velocidad media cuando uncamión pasa del punto A al punto B, está dadapor v̄ = −(tB + tA)i . Obtenga la magnitud dela velocidad media, cuando el camión se muevedurante los intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la siguiente tabla.

SoluciónEn la tabla se muestran los valores obtenidos parala magnitud (v̄) del vector velocidad media, en dife-rentes intervalos de tiempo (∆t) con tB = 3.0 s.

tA (s) tB (s) ∆t(s) v̄(m/s)2.980000 3.0 0.020000 5.9800002.990000 3.0 0.010000 5.9900002.995000 3.0 0.005000 5.9950002.998000 3.0 0.002000 5.9980002.999000 3.0 0.001000 5.9990002.999500 3.0 0.000500 5.9995002.999800 3.0 0.000200 5.9998002.999900 3.0 0.000100 5.9999002.999990 3.0 0.000010 5.9999902.999995 3.0 0.000005 5.999995

Pregunta 1.1 ¿Qué puede concluir al observar losvalores de las dos últimas columnas de la tabla ante-rior?

Ejercicio 1.5 Para un auto, el vector posición enfunción del tiempo está dado por r = (2t2 − 1)i ,donde r está dado en m y t en s. a) Si el auto pa-sa por el punto C en el instante tC y por el punto Den el instante tD, halle el vector velocidad media. b)Obtenga la magnitud de la velocidad media, cuandoel auto se mueve durante los intervalos de tiempomostrados en la tercera columna de la tabla anterior.

1.6.2. Vector velocidad instantánea (v)

La velocidad instantánea de una partícula, es lavelocidad de ella en un instante dado cualquie-ra. O también, es la velocidad en un instante, res-pecto a determinado sistema de referencia, que en elcaso de una dimensión, puede variar sólo en magni-tud mientras el sentido de movimiento no cambie.

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 7

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.13, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

x

O i A BB´B´´

Dr´´´rA

rB

B´´´

Dr´´ Dr´

Dr

Figura 1.13: Vector velocidad instantánea.

Al considerar las posiciones intermedias de lapartícula en t2, t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por losvectores posición r2, r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que losvectores desplazamiento ∆r, ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cam-bian en magnitud.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime aún más al punto A, el vector despla-zamiento se hace cada vez más pequeño hastaque tiende a un valor límite. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .

Si ∆r es el desplazamiento finito en un peque-ño intervalo de tiempo ∆t , a partir de un tiempoto, la velocidad en un tiempo posterior t , es elvalor al que tiende ∆r/∆t cuando tanto ∆r como∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.3)

La ecuación (1.4) no es más que la definición dederivada, esto es

v =drdt

. (1.4)

De la ecuación (1.5), se concluye que la veloci-dad instantánea es tangente a la trayectoria se-guida por la partícula, ya que el desplazamientoinfinitesimal dr es paralelo a ella. La magnitudde la velocidad se llama rapidez y es igual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ . (1.5)

Como r = xi , se tiene que

v =drdt

=dxdt

i

= vxi= vi.

De acuerdo con la definición del vector velocidadinstantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

Como, en este caso, la trayectoria rectilínea dela partícula coincide con el eje de coordenadasx, la velocidad es un vector cuya magnitud estádada por la ecuación (1.6) y cuya dirección coin-cide con la del movimiento. Así, la velocidad vestará dirigida en el sentido del vector unitarioi si dx

/dt > 0 y en el sentido opuesto de i si

dx/

dt < 0. O sea, el signo de dx/

dt indica elsentido de movimiento, como se muestra en lafigura 1.14.

En síntesis, de acuerdo con lo anterior, se tie-ne que el signo de la velocidad está dado por elsistema de referencia empleado.

O

O

i

ix

x

Movimiento

Movimiento

v > 0

v < 0

v

v

A

A

Figura 1.14: El signo de v indica el sentido de movi-miento.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición deuna partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Mediante la ecuación (1.5) y sabiendo que enel instante to la partícula se encuentra en la po-


sición ro, se encuentra que la posición en el ins-tante t está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.6)

Mientras no se conozca la forma como varía elvector velocidad (v(t)) con el tiempo, no es po-sible resolver la integral de la ecuación (1.7).

Para movimiento a lo largo del eje x, estoes en una dimensión, la expresión dada por laecuación (1.7) adquiere la forma

x = xo +

t∫to

v(t)dt, (1.7)

que como se sabe, es posible resolver la integralsi se conoce la forma funcional de v(t).

Un caso particular se presenta cuando el vec-tor velocidad permanece constante en magni-tud y dirección. Cuando ello ocurre, las ecua-ciones (1.7) y (1.8), respectivamente, se transfor-man en

r = ro + v(t − to), (1.8)

x = xo + v(t − to), (1.9)

Las ecuaciones (1.9) y (1.10), conocidas comoecuaciones cinemáticas de posición, correspon-den a un movimiento conocido como movi-miento rectilíneo uniforme, ya que al no cam-biar la dirección de la velocidad, la trayectoriaes rectilínea y al no cambiar la magnitud de lavelocidad su rapidez es constante.

Ejemplo 1.5 El vector posición de un camiónque se mueve a lo largo del eje x, está dado porr(t) = −(t2 − 15)i, donde r se da en m y t en s.Determine la velocidad del camión t = 3 s.SoluciónEmpleando la ecuación (1.5) se tiene que la veloci-dad en cualquier instante de tiempo t está dada por

v = −2ti.

Reemplazando t = 3 s en la expresión para v, se tie-ne que el vector velocidad del camión está dado por

v = −(6 m · s−1)i.

Pregunta 1.2 Compare este resultado con los valo-res de la velocidad media mostrados en la tabla delejemplo 1.4. ¿Qué puede concluir?

Ejercicio 1.6 El vector posición de un carrito dejuguete que se mueve sobre el eje y, está dado porr = (2t2 − 1)j donde r está dado en m y t en s. Deter-mine la velocidad del carrito en el instante t = 3 s .Compare el resultado con lo obtenido en el ejercicio1.4.

Ejemplo 1.6 Si la velocidad de un automóvil estádada por v = −2ti, donde v se da en m · s−1 y t en s,halle el vector posición del automóvil en el instantede tiempo t, sabiendo que partió de una posición enla cual ro = (15 m)i en to = 0.SoluciónReemplazando los vectores ro y v en la ecuación(1.8), se encuentra que al integrar, evaluar y simpli-ficar, el vector posición del automóvil está dado por

r = −(t2 − 15)i,

De este resultado, se puede concluir que si se cono-ce el vector posición de un cuerpo, en función deltiempo, es posible conocer el vector velocidad y si seconoce el vector velocidad, en función del tiempo, sepuede conocer el vector posición del cuerpo (recuer-de que la integración es la operación inversa de laderivación).

Ejercicio 1.7 Si la velocidad de un camión está da-da por v = −3t2j, donde v se da en m · s−1 y t en s,halle el vector posición del camión en el instante detiempo t, sabiendo que partió de una posición en lacual en ro = −(1.00 m)j en to = 0.

Hasta este momento se han definido, para elcaso de movimiento rectilíneo, las cantidadescinemáticas vector posición y vector velocidadque permiten describir el movimiento de cuer-pos tratados bajo el modelo de partícula y quese mueven en línea recta. El movimiento recti-líneo es el movimiento más simple que puedeadquirir un cuerpo.

De acuerdo con lo anterior, la trayectoria rec-tilínea de una partícula se puede hacer coincidirtanto con el eje x como con el eje y. Igualmente,la trayectoria y por ende el eje coordenado pue-de ser horizontal o tener cualquier orientaciónes decir, la trayectoria en línea recta, puede servertical, horizontal u oblicua, como la mostradaen la figura 1.15.

Aunque el desplazamiento, por definición esuna cantidad vectorial, se ha considerado la si-

1.6. VECTOR VELOCIDAD (V) 9MovimientoiO

x

Figura 1.15: Movimiento rectilíneo de una partícu-la.

tuación en la cual sólo una componente del des-plazamiento es diferente de cero, al hacer coin-cidir el eje de coordenadas con la trayectoriarectilínea descrita por la partícula.

En la figura 1.15, el eje x coincide con la tra-yectoria descrita por una partícula, por lo quesu vector posición y su vector velocidad estándados, respectivamente, por

r = xi, v = vi.

Ahora, la coincidencia entre el eje x y la trayec-toria rectilínea de la partícula, define la direc-ción del movimiento, por lo que es posible es-cribir las cantidades anteriores en la forma

x, v =dxdt

. (1.10)

O sea, las definiciones y conceptos considera-dos anteriormente son válidos, ecuaciones (1.1)a (1.9), siempre y cuando se tenga presente quesolo aparece una componente en cada uno delos vectores, esto es, cuando la trayectoria coin-cida con el eje utilizado.

A BO

x

Figura 1.16: Desplazamiento y distancia recorrida.

Es preciso tener presente que no se debe con-fundir desplazamiento con distancia recorrida, co-mo se ilustra en la figura 1.16, donde una partí-cula va del origen de coordenadas O al punto Ay luego regresa, pasando por O, hasta llegar alpunto B.

Así, en este caso, el vector desplazamientode la partícula tiene una magnitud dada por

∆x = OB, apuntando hacia la derecha; estocorresponde al vector que va del punto O alpunto B, mientras que la distancia recorrida esd = 2OA + OB.

Ejercicio 1.8 Un auto, cuya ecuación cinemáticade posición está dada por y(t) = 3t3 − 4t2 − t + 5,donde y se da en m y t en s, se mueve paralelamenteal eje y . a) Determine la velocidad del auto en fun-ción del tiempo. b) Calcule la posición y la velocidaddel auto en el instante t = 2.5 s. c) ¿Cuáles son lasdimensiones de los coeficientes numéricos, en cadauno de los términos de las ecuaciones cinemáticas deposición y velocidad?

Ejercicio 1.9 Determine, en función del tiempo, laposición un móvil que se mueve a lo largo del eje z,sabiendo que su ecuación cinemática de velocidadestá dada por v = 9t2 − 8t − 1, donde v se da enm · s−1 y t en s, con zo = 5 m en to = 0. Comparesu resultado con la expresión para y(t) dada en elejercicio 1.8.

1.6.3. Movimiento rectilíneo uniforme(MRU)

En esta sección se analiza con mayor detalle elcaso de un movimiento con velocidad constan-te, es decir, v = Constante. Esta situación ocu-rre, por ejemplo, cuando la aguja del velocíme-tro de un auto no cambia de posición mientrasel auto está en movimiento por una vía recta. Deeste modo, la ecuación (1.10),

x = xo + v(t − to), (1.11)

es la ecuación cinemática de posición, denominadomovimiento rectilíneo uniforme (MRU).

En muchos casos, es posible tomar to = 0.De acuerdo con la geometría analítica, la

ecuación (1.12) corresponde a la ecuación deuna línea recta, donde su pendiente es la veloci-dad del movimiento.

En las figuras 1.17 y 1.18 se muestran las gráfi-cas de posición y velocidad en función del tiem-po, para el caso de una partícula con movimien-to rectilíneo uniforme.


x

x

xo

to

t

tO

Figura 1.17: Gráfica de la posición en función deltiempo para un MRU.

v

v

to

ttO

Area = Dx

Figura 1.18: Gráfica de la velocidad en función deltiempo para un MRU.

En la figura 1.17 se tiene que la pendiente dela gráfica de posición en función del tiempo estádada por

Pendiente =x − xo

t − to= v. (1.12)

Al comparar las ecuaciones.(1.12) y (1.13) se en-cuentra que realmente la pendiente de la rectacorresponde a la velocidad de una partícula conmovimiento rectilíneo uniforme.

Ejercicio 1.10 Utilizando la figura 1.18, demuestreque para el intervalo de tiempo ∆t = t − to, el áreasombreada es igual al desplazamiento ∆x del cuerpoque se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.

Ejemplo 1.7 Un auto A y una moto B se muevencon velocidades vA y vB, sobre una pista recta, encarriles paralelos y con sentidos opuestos. Inicial-mente, los móviles están separados una distanciad. a) Haga un diagrama ilustrativo de la situaciónplanteada, donde se muestre el sistema de referenciaa emplear. b) Teniendo en cuenta el sistema de re-ferencia elegido, plantee las ecuaciones cinemáticasde posición para cada móvil. c) Determine el tiempo

que demoran los móviles en pasar uno frente al otro.d) Halle el valor de la cantidad obtenida en el nu-meral anterior, si vA = 216 km · h−1, vB = 40 m · s−1

y d = 50 mSolucióna) En la figura 1.19 se muestra un diagrama ilustrati-vo de la situación planteada, donde se incluye el sis-tema de referencia a emplear, las posiciones de loscuerpos y sus sentidos de movimiento.

Movimiento

O

Movimiento

A

d

x

B

Figura 1.19: Movimientos con sentidos opuestos.

b) De acuerdo con el enunciado, las cantidades d,vA y vB son dadas y los móviles se mueven con ve-locidades constantes, por lo que cada uno tiene mo-vimiento rectilíneo uniforme. Así, las ecuaciones ci-nemáticas de posición tienen la forma general dadapor la ecuación (1.12), con to = 0, xoA = 0 y xoB = d.

Respecto al sistema de referencia mostrado en eldiagrama y con origen en O, las ecuaciones cinemá-ticas de posición para el auto A y para la moto B,respectivamente, adquieren la forma

xA = vAt. (1)

xB = d − vBt. (2)

c) Cuando un vehículo pasa frente al otro la posiciónes la misma, por lo que las ecuaciones (1) y (2) soniguales, teniendo en cuenta que a partir de la situa-ción inicial, el tiempo que demoran los móviles enencontrarse es el mismo.

Por lo tanto, luego de igualar las ecuaciones (1)y (2), y simplificar, se encuentra que el tiempo quedemoran en encontrarse está dado por

t =d

vA + vB. (3)

d) Al reemplazar en la ecuación (3) los valores vA =

216 km · h−1 ≡ 60 m · s−1, vB = 40 m · s−1 y d =50 m, se tiene

t =50 m

60 m · s−1 + 40 m · s−1

= 0.5 s,

que es el tiempo que los móviles demoran en pasaruno frente al otro.

Ejercicio 1.11 Dos autos A y B se mueven con ve-locidades vA y vB (vA > vB), sobre una pista recta, en

1.7. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) 11

carriles paralelos y en el mismo sentido. Inicialmen-te, los autos están separados una distancia d. a) Ha-ga un diagrama ilustrativo de la situación planteada,donde se muestre el sistema de referencia a emplear.b) Teniendo en cuenta el sistema de referencia ele-gido, plantee la ecuación cinemática de posición pa-ra cada auto. c) Determine el tiempo que demoranlos autos en pasar uno frente al otro. d) Halle el va-lor de la cantidad obtenida en el numeral anterior, sivA = 60 m · s−1, vB = 144 km · h−1 y d = 50 m, e)¿Qué se puede afirmar respecto al tiempo, cuandolas velocidades de los autos son iguales?

1.7. Momento lineal o cantidad demovimiento (p)

En esta sección se analiza la expresión matemá-tica que relaciona los conceptos de masa y ve-locidad con el concepto de momento lineal ocantidad de movimiento, en el caso de una di-mensión. Por ello, es necesario hacer referenciaa las cantidades dinámicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayoría de losconceptos que se tratarán en adelante.

La física dispone de una cantidad escalar quees característica o propia de cada cuerpo y lacual permite conectar la cinemática de una par-tícula con la dinámica de una partícula; estapropiedad de los cuerpos es su masa. En lo quesigue, no se hace una definición operacional dela masa, sino que en su lugar se emplea el con-cepto intuitivo que de ella se tiene, esto es, loque marca una balanza cuando un cuerpo se co-loca sobre ella.

La masa de un cuerpo, que se representa me-diante los símbolos M o m, es una cantidad fun-damental cuya dimensión es M. De acuerdo conesta dimensión, las unidades respectivas son: elkilogramo (kg) en el sistema de unidades SI, yel gramo (g) en el sistema gaussiano de unida-des. En el sistema inglés la unidad de masa es elslug, que se definirá más adelante.

La equivalencia entre estas unidades está da-da por la identidad: 1kg ≡ 103g.

Una vez que se han considerado los concep-tos de vector velocidad y del escalar masa, la

primera cantidad dinámica a definir, es el vectormomento lineal o cantidad de movimiento, que esde gran importancia en la física ya que permiteobtener mayor información que la que permiteobtener el vector velocidad.

O

pm

x

Figura 1.20: Momento lineal de una partícula.

Cuando una partícula de masa m, posee unavelocidad v respecto a determinado observador,se dice que su vector momento lineal, respectoa dicho observador, está dado por

p ≡ mv= mvi, (1.13)

De acuerdo con la definición dada por laecuación (1.14), se tiene que el momento lineales una cantidad vectorial que apunta en la mis-ma dirección del vector velocidad, como se ilus-tra en la figura 1.20.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es paralela a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es paralelo a la trayectoria quela partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolinealDe acuerdo con la definición de momento lineal,se tiene que sus dimensiones son iguales a ladimensión de masa por la dimensión de velo-cidad, es decir [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lotanto, las unidades en los respectivos sistemasestán dadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI deunidades, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano deunidades y como se verá más adelante, lb · s enel sistema inglés de unidades.

En el ejemplo 1.8, se muestra que el momentolineal permite obtener mayor información quela velocidad.

Ejemplo 1.8 El camión de masa M y el auto demasa m de la figura 1.21 (M > m), se mueven conigual velocidad v respecto al sistema de referencia


mostrado. ¿Cuál es más difícil llevar al estado dereposo?SoluciónLa experiencia muestra que el camión, con mayormomento lineal, es más difícil de llevar al estado dereposo. Lo anterior indica que aunque cinemática-mente no existe diferencia alguna entre el estado delos dos autos, velocidades iguales, dinámicamentese presenta una diferencia como consecuencia de ladiferencia en sus momentos lineales, al tener dife-rentes masas.

x

v

v

O

mM

Figura 1.21: Cuerpos con igual velocidad y diferentemomento lineal.

1.7.1. Conservación del momento linealen una dimensión

Aunque solo se consideran dos casos particula-res, el principio de conservación del momentolineal tiene validez general, sin importar elnúmero de partículas que intervengan en unsistema. Este principio es de gran utilidad enla física, tanto desde el punto de vista teóricocomo experimental. En los dos casos que seconsideran a continuación, se recurre a losresultados que muestra el experimento, cuandoeste se lleva a cabo.

1. Como primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masa m yen movimiento rectilíneo, se le impide interac-tuar con cualquier otra, como se ilustra en la fi-gura 1.22. Al no interactuar la partícula con nin-guna otra, el resultado que se obtiene es que suestado de movimiento no es alterado, esto es,su velocidad permanecerá constante, o lo quees igual, su momento lineal debe permanecerconstante. Lo anterior se puede expresar mate-máticamente en la forma

p = mv = mvi = Constante o sea ∆p = 0

vm

x

Figura 1.22: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.23, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1y m2. Decir que se aíslan del resto del universo,equivale a afirmar que sólo se permiten sus in-teracciones mutuas. A un sistema como este sele llama sistema aislado.

v1

m1

v2

m2

t

t´ >t

v1´

m1

v2´

m2

x

x

Figura 1.23: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

Cuando a las partículas se les permite interac-tuar entre sí, se encuentra que sus momentos li-neales individuales pueden cambiar al transcu-rrir el tiempo. Por otro lado, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partícu-las, en cualquier instante, está dado por la sumade los momentos lineales de las partículas. Deacuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-

1.8. MOVIMIENTO EN UN PLANO 13

mento lineal del sistema aislado, está dado por

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2

= m1v1i + m2v2i, (1.14)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2

= m1v′1i + m2v′2i. (1.15)

Cuando se realiza este experimento, se encuen-tra que independientemente de los valores de ty t′, el momento lineal total del sistema perma-nece constante, o sea,

P = P′

Pi = P′i (1.16)

Para el caso unidimensional, se puede enunciarel principio de conservación del momento li-neal, en la forma: El momento lineal total del siste-ma aislado formado por las dos partículas, permanececonstante.

Para la situación de interés, se tiene que elmomento lineal ganado (o perdido) por unapartícula, es perdido (o ganado) por la otra par-tícula; así, al reemplazar las ecuaciones (1.15) y(1.16) en la ecuación (1.17) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constantep1i + p2i = p′1i + p′2i

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2

∆p1i = −∆p2i, (1.17)

de donde, el momento lineal que gana una par-tícula es igual al momento lineal que pierde laotra.

Como consecuencia de este resultado, de va-lidez general, el cambio en el momento linealde una partícula se debe a su interacción con laotra partícula. En conclusión, toda interacción en-tre dos partículas genera cambios en sus momentoslineales individuales.

A diario se presentan situaciones en las que semanifiesta la conservación del momento lineal.Por ejemplo, cuando un rifle en reposo respectoa la tierra es disparado, se observa que el rifle re-trocede. Este retroceso es una consecuencia delprincipio de conservación del vector momentolineal, ya que en este caso, el momento linealtotal del sistema rifle-proyectil, inmediatamen-te antes del disparo e inmediatamente despuésdel disparo, debe ser nulo.

1.8. Movimiento en un plano

Las cantidades físicas vector posición (r), vec-tor desplazamiento (∆r), vector velocidad (v) yvector momento lineal (p), se han definido pa-ra el caso de una dimensión. En lo que sigue,se analizan situaciones en las que los cuerposse mueven sobre un plano y no sólo en línearecta. Por consiguiente, los vectores anteriorestendrán dos componentes rectangulares, lo cualsignifica que en este caso los sistemas de refe-rencia deben ser bidimensionales.

1.8.1. Vector posición en dos dimensio-nes (r)

Para el caso de dos dimensiones, un cuerpo tra-tado bajo el modelo de partícula, se mueve alo largo de un camino, también conocido comotrayectoria. La posición de la partícula, en uninstante determinado y respecto al sistema dereferencia mostrado en la figura 1.24, está dadapor el vector posición r trazado desde el origendel sistema de referencia hasta la posición don-de se encuentre la partícula.

x

y

O i

j

r( )t

A( , )x y

Trayectoria

q

Figura 1.24: Vector posición r de la partícula.


Si el vector posición en componentes rectan-gulares está dado por r = x i + yj , se tiene quesu magnitud y dirección están dadas, respecti-vamente, por

r =√

x2 + y2 y θ = tan−1 yx

. (1.18)

La forma de las expresiones dadas por la ecua-ción (1.19) son válidas, en general, para obtenerla magnitud y dirección de cualquier vector, sise conocen sus componentes rectangulares.

En la figura 1.24 se observa que el vector posi-ción r varía con el tiempo tanto en magnitud co-mo en dirección, mientras la partícula se muevea lo largo de su trayectoria.

Ejemplo 1.9 El vector posición de una perso-na que se mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r está dado enm y t en s. Cuando tA = 2.50 s la persona pasa porel punto A. Determine: a) Las coordenadas de lapersona en el punto A. b) La magnitud y direccióndel vector posición en dicho instante.Solucióna) Reemplazando tA = 2.50 s en la expresión dada,se encuentra que el vector posición en componentesrectangulares, cuando la persona pasa por el puntoA, está dado por

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j.

Como en el plano el vector posición en general seexpresa en la forma r = xi + yj, al comparar con laigualdad anterior se tiene que

xA = −0.50 m y yA = 8.75 m,

que son las coordenadas de la persona cuando pasapor el punto A.

b) Utilizando las ecuaciones (1.19), se encuentraque la magnitud y dirección del vector posición es-tán dadas por

rA = 8.76 m y θA = 86.73o.

Así, el vector posición se puede expresar en la forma

rA

= 8.76 m 86.73o

La figura 1.25 es una representación gráfica de losresultados obtenidos.

Ejercicio 1.12 El vector posición de un estudianteque se mueve en el plano xy, está dado por r(t) =

(t − 3)i − (t2 − 15)j donde r está dado en m y t en

A

x (m)

y (m)

i

j

rA

8.75

- 0.50 O

qA

Figura 1.25: Vector posición en un instante.

s. a) Encuentre la ecuación de la trayectoria seguidapor el estudiante. De acuerdo con su resultado, ¿quétrayectoria describe el estudiante? b) Halle el instan-te en que el estudiante pasa por el eje x y el instanteen que pasa por el eje y . c) Obtenga el vector posi-ción de la partícula en el instante t = 0.

Ejercicio 1.13 El vector posición de una partículaque se mueve en el plano xy, está dado por r(t) =

(2t2 − 1)i − (t3 + 2)j donde r está dado en m y t ens. Cuando tA = 2.50 s la partícula pasa por el puntoA. Determine: a) Las coordenadas de la partícula enel punto A. b) La magnitud y dirección del vectorposición en dicho instante.

1.8.2. Vector desplazamiento en dos di-mensiones (∆r)

Para el caso de movimiento en dos dimensio-nes, como lo muestra la figura 1.26, se conside-ra una partícula que en el instante tA pasa porel punto A, definido por el vector posición rA. Sien un instante de tiempo posterior tB (tB > tA )la partícula pasa por el punto B, definido me-diante el vector posición rB, el vector desplaza-miento, que describe el cambio de posición de lapartícula conforme se mueve de A a B, es dadopor

∆r = rB − rA

= (xB − xA)i + (yB − yA)j. (1.19)

Ejemplo 1.10 Una partícula cuyo vector posiciónestá dado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde rse da en m y t en s, se encuentra en el punto A en


x

y

O ij

A( , )x yA A

B( , )x yB B

Dr

rB

rA

Figura 1.26: Vector desplazamiento ∆r entre A y B.

tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B.SoluciónAl reemplazar tA = 2.50 s y tB = 4.00 s en la expre-sión dada, se encuentra que los vectores posición dela partícula, en componentes rectangulares, respec-tivamente están dados por

rA = (− 0.50 m)i + (8.75 m)j,rB = (1.00 m)i − (1.00 m)j.

Ahora, utilizando la ecuación (1.20), se tiene que elvector desplazamiento, entre A y B, en componentesrectangulares está dado por

∆r = (1.50 m)i − (9.75 m)j.

Por último, utilizando las ecuaciones (1.19), se en-cuentra que la magnitud y dirección del vector des-plazamiento están dadas por

∆r = 9.86 m y β = 81.25o,

Es decir

rA

= 9.86 m 81.25o

En la figura 1.27 se muestra, tanto el vector des-plazamiento como el ángulo que forma con la hori-zontal.

Ejercicio 1.14 Una partícula cuyo vector posiciónestá dado por r(t) = (2t2 − 1)i − (t3 + 2)j, donde restá dado en m y t en s, se encuentra en el punto Aen tA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, calcule la magnitud y dirección del vectordesplazamiento entre A y B.

x

y

O

b

rA

rB

D r

Figura 1.27: Vector desplazamiento.

1.8.3. Vector velocidad en dos dimensio-nes (v)

Igual que en el caso de movimiento rectilíneo,cuando la posición de una partícula cambia conel tiempo, la partícula ha adquirido una veloci-dad. En general, la velocidad de una partículase define como la rapidez con la cual cambia laposición con el tiempo.

1.8.4. Vector velocidad media en dos di-mensiones (v̄)

Para el caso de movimiento en el plano y deacuerdo con la figura 1.28, se considera una par-tícula que en el instante tA pasa por el punto A,determinado por el vector posición rA. Si en untiempo posterior tB (tB > tA ) la partícula pasapor el punto B, determinado por el vector po-sición rB, la velocidad media durante el intervalode tiempo ∆t = tB − tA , se define como el vec-tor desplazamiento dividido entre el intervalode tiempo correspondiente, es decir

v̄ ≡ ∆r∆t

=rB − rA

tB − tA

=(xB − xA)i + (yB − yA)j

tB − tA

= v̄xi + v̄yj.

(1.20)

Dimensiones y unidades del vector velocidadmediaDe acuerdo con la ecuación (1.21), las dimen-siones y en general de la velocidad, son LT−1 .Por consiguiente, las unidades son m · s−1 enel sistema SI, cm · s−1 en el sistema gaussiano,


x

y

O i

j

A( , )x yA A

B( , )x yB B

v

rA

rB

D r

Figura 1.28: Vector velocidad media entre A y B.

p · s−1 en el sistema Inglés; y en general, cual-quier unidad de longitud dividida por unaunidad de tiempo, tal como km · h−1.

La definición (1.21) muestra que la velocidadmedia, v̄ , es un vector ya que se obtiene al di-vidir el vector ∆r entre el escalar ∆t, por lo tan-to, la velocidad media incluye tanto magnitudcomo dirección. Donde su magnitud está dadapor |∆r/∆t| y su dirección por la del vector des-plazamiento ∆r. Esta cantidad es una velocidadmedia, ya que la expresión no dice cómo fue elmovimiento entre A y B. La trayectoria pudohaber sido curva o recta, el movimiento pudohaber sido continuo o variable.

La siguiente es una situación en la que elvector velocidad media es nulo. La figura 1.29,muestra la trayectoria de un auto que parte delpunto A y pasando por el punto B regresa alpunto A, luego de un tiempo ∆t. En este caso, lavelocidad media es cero pues el desplazamientode la partícula es cero, aunque la distancia reco-rrida es diferente de cero, ya que correspondea la longitud de la trayectoria cerrada seguidapor la partícula.

x

y

O

A

B

Figura 1.29: Vector desplazamiento nulo.

Ejemplo 1.11 El vector posición de unapartícula en movimiento está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r está dadoen m y t en s, se encuentra en el punto A entA = 2.50 s. Si en el tiempo tB = 4.00 s pasa por elpunto B, determine la magnitud y dirección de lavelocidad media entre A y B.SoluciónObteniendo el vector desplazamiento ∆r y sabien-do que ∆t = 1.5 s, utilizando la ecuación (1.21), seencuentra que la velocidad media en componentesrectangulares está dada por

v̄ = (1.00 m · s−1)i − (6.5 m · s−1)j. (1)

Mediante las ecuaciones (1.19) y para este caso, seencuentra que la magnitud y dirección del vector ve-locidad media, están dadas por

v = 6.58 m · s−1 y β= 81.25o

o sea que es la misma dirección del vector desplaza-

v = 6.58 m s-1

81.25o

miento ∆r , como se esperaba.

Ejercicio 1.15 Una partícula cuyo vector posiciónestá dado por r(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, con r en my t en s, se encuentra en el punto A en el instantetA. Si en el tiempo tB pasa por el punto B, demuestreque la velocidad media cuando la partícula pasa delpunto A al punto B, está dada por v̄ = i − (tB + tA)j.

Ejercicio 1.16 Una partícula cuyo vector posiciónestá dado por r(t) = (2t2 − 1)i− (t3 + 2)j, se encuen-tra en el punto A en tA = 2.50 s. Si en el tiempotB = 4.00 s pasa por el punto B, calcule la magni-tud y dirección del vector desplazamiento entre A yB y del vector velocidad media en dicho intervalo.

Ejemplo 1.12 La velocidad media cuando unapartícula pasa del punto A al punto B, está dada porv̄ = i − (tB + tA)j . Obtenga la magnitud y direcciónde la velocidad media, cuando la partícula se muevedurante los intervalos de tiempo mostrados en latercera columna de la tabla siguiente.SoluciónEn la tabla se muestran los valores obtenidos para lamagnitud (v̄) y la dirección (θ) del vector velocidadmedia, en diferentes intervalos de tiempo (∆t) contB = 3.0 s.

Pregunta 1.3 ¿Qué puede concluir al observar losvalores de las tres últimas columnas de la tabla an-terior?


tA(s) tB(s) ∆t (s) v̄(m/s) θ(o)

2.980000 3.0 0.020000 6.060000 80.500002.990000 3.0 0.010000 6.070000 80.520002.995000 3.0 0.005000 6.078000 80.530002.998000 3.0 0.002000 6.081000 80.534002.999000 3.0 0.001000 6.082000 80.536002.999500 3.0 0.000500 6.082300 80.536902.999800 3.0 0.000200 6.082600 80.537402.999900 3.0 0.000100 6.082700 80.537502.999990 3.0 0.000010 6.082750 80.537662.999995 3.0 0.000005 6.082758 80.53767

Ejercicio 1.17 Para una partícula, el vector posi-ción en función del tiempo está dado por r(t) =

(2t2 − 1)i − (t3 + 2)j , donde r está dado en m y t ens. a) Si la partícula pasa por el punto A en el instantetA y por el punto B en el instante tB , halle el vectorvelocidad media en sus componentes rectangulares.b) Obtenga la magnitud y dirección de la velocidadmedia, cuando la partícula se mueve durante los in-tervalos de tiempo mostrados en la tercera columnade la tabla del ejemplo 1.12.

1.8.5. Vector velocidad instantánea endos dimensiones (v)

La velocidad instantánea, es la velocidad deuna partícula en un instante dado cualquiera.O también, es la velocidad, respecto a determinadosistema de referencia, que puede variar bien sea por-que cambia sólo su magnitud ó sólo su dirección ósimultáneamente, cambian tanto su magnitud comosu dirección.

Para el movimiento de una partícula, repre-sentado en la figura 1.30, ¿cómo se puede deter-minar su velocidad en el punto A?

Al considerar las posiciones intermedias de lapartícula en t,

2, t,,2, t,,,

2 , determinadas por los vec-tores posición r,

2, r,,2, r,,,

2 , se observa que los vecto-res desplazamiento ∆r,, ∆r,,, ∆r,,,, cambian tantoen magnitud como en dirección, o sea que la ve-locidad media varía tanto en magnitud como endirección al tener en cuenta los puntos entre Ay B.

x

y

O i

j

A

B

v

B '

B ''Dr''

Dr'

Drr

A

rB

Figura 1.30: Vector velocidad instantánea.

Igualmente, los intervalos de tiempo corres-pondientes ∆t = t2 − t1, ∆t, = t,

2 − t1, ∆t,, =t,,2 − t1, ∆t,,, = t,,,

2 − t1, cada vez se hacen máspequeños.

Si se continúa este proceso haciendo que B seaproxime al punto A, el vector desplazamientose hace cada vez más pequeño hasta que tien-de a un valor y a una dirección límite, que co-rresponde a la de la tangente a la trayectoria dela partícula en el punto A. Este valor límite de∆r/∆t se conoce como velocidad instantánea en elpunto A, o sea, la velocidad de la partícula en elinstante de tiempo tA .

Si ∆r es el desplazamiento finito en un peque-ño intervalo de tiempo finito ∆t, a partir de untiempo to, la velocidad en un tiempo posteriort, es el valor al que tiende ∆r/∆t cuando tanto∆r como ∆t, tienden a cero, es decir,

v = lı́m∆t→0

∆r∆t

. (1.21)

La ecuación (1.22) no es más que la definiciónde derivada, esto es

v =drdt

. (1.22)

De la ecuación (1.23), se concluye que la veloci-dad instantánea es tangente a la trayectoria se-guida por la partícula, ya que el desplazamientoinfinitesimal dr es tangente a la trayectoria. Lamagnitud de la velocidad se llama rapidez y esigual a

v = |v| =∣∣∣∣drdt

∣∣∣∣ .

Como r = xi + yj, se tiene que en componentes


rectangulares

v =drdt

=dxdt

i +dydt

j

= vxi + vyj.

Si en la figura 1.31, se conocen las componentesrectangulares, se tiene que su magnitud y direc-ción están dadas por

v =√

v2x + v2

y y θ = tan−1 vy

vx.

De acuerdo con la definición del vector velocidad ins-tantánea, se tiene que sus dimensiones y unidadesson las mismas del vector velocidad media.

En adelante, siempre que se hable de veloci-dad, se hace referencia a la velocidad instantá-nea.

x

y

O i

j

r( )t

q

vy

vx

v

Figura 1.31: Componentes rectangulares del vectorvelocidad.

Partiendo de la definición del vector veloci-dad, es posible conocer el vector posición deuna partícula si se conoce la forma como varíael vector velocidad con el tiempo.

Teniendo en cuenta que en el instante detiempo to la partícula se encuentra en la posi-ción ro, mediante la ecuación (1.23) se encuentraque que la posición de la partícula en el instantet está dada por

r = ro +

t∫to

v(t)dt. (1.23)

Lo que se ha hecho es, partiendo de la forma di-ferencial de la ecuación (1.23), obtener la forma

integral dada por la ecuación (1.24). Mientras nose conozca la forma como varía el vector veloci-dad (v(t)) con el tiempo, no es posible resolverla integral de la ecuación (1.24).

Ejemplo 1.13 El vector posición de una partí-cula que se mueve en el plano xy, está dado porr(t) = (t − 3)i − (t2 − 15)j, donde r está dado en m yt en s. Determine la velocidad de la partícula, en elinstante t = 3 s.Solucióna) Empleando la ecuación (1.23) se tiene que la ve-locidad en cualquier instante de tiempo t está dadapor

v = i − 2tj.

Reemplazando t = 3 s en la expresión para v, se tie-ne que el vector velocidad en componentes rectan-gulares está dado por

v = (1 m · s−1)i − (6 m · s−1)j. (1)

Así que su magnitud y dirección están dadas respec-tivamente por

v = 6.08 m · s−1 y θ = 80.54o,

es decir

v = 6.083 m.s-1

80.54o

Ejercicio 1.18 El vector posición de una partículaque se mueve en el plano xy, está dado por r(t) =

(2t2 − 1)i − (t3 + 2)j donde r está dado en m y t en s.Determine la velocidad de la partícula, en el instantet = 3 s . Compare el resultado con lo obtenido en elejercicio 1.17.

1.9. Momento lineal o cantidad demovimiento en dos dimen-siones (p)

En esta sección, de nuevo se hace referencia alas cantidades dinámicas masa y momento linealque son el punto de partida de la mayoría de losconceptos que se tratarán en adelante.

Como se sabe, la física dispone de una can-tidad escalar que es característica o propia decada cuerpo como es su masa. Recuerde que nose hace una definición operacional de la masa,

1.9. MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (P) 19

sino que en su lugar se emplea el concepto in-tuitivo que de ella se tiene, esto es, lo que marcauna balanza cuando un cuerpo se coloca sobreella.

Igualmente, se debe tener presente que la ma-sa de un cuerpo es una cantidad fundamentalcuya dimensión es M y que de acuerdo con estadimensión, las unidades respectivas son: el ki-logramo (kg) en el sistema de unidades SI, y elgramo (g) en el sistema gaussiano de unidades.

En el caso de dos dimensiones, la primeracantidad dinámica a definir, es el vector momen-to lineal o vector cantidad de movimiento, de granimportancia en la física pues permite obtenermás información que el vector velocidad.

O

p

m

y

x

Figura 1.32: Momento lineal de una partícula.

Una partícula de masa m que posee una velo-cidad v respecto a determinado observador, tie-ne, respecto a dicho observador, un momentolineal dado por

p ≡ mv. (1.24)

De acuerdo con la definición dada por la ecua-ción (1.25), se tiene que el momento lineal esuna cantidad vectorial que apunta en la mismadirección del vector velocidad, como se ilustraen la figura 1.32.

Además, como la velocidad depende del sis-tema de referencia, entonces el momento linealtambién depende del sistema de referencia.Igualmente, como la velocidad es tangente a latrayectoria descrita por la partícula, el momen-to lineal también es tangente a la trayectoriaque la partícula describe.

Dimensiones y unidades del vector momentolineal

En el caso de movimiento en dos dimensiones,el vector momento lineal tiene iguales dimen-siones que en el caso de movimiento en una di-mensiones, ya que la definición es la misma. Esdecir, se tiene que sus dimensiones son iguales ala dimensión de masa por la dimensión de velo-cidad, o sea [p] = [m][v] = MLT−1 . Por lo tanto,igual que para movimiento en una dimensión,las unidades en los respectivos sistemas estándadas por: kg · m · s−1 en el sistema SI de unida-des, g · cm · s−1 en el sistema gaussiano de uni-dades y como se verá posteriormente lb · s en elsistema inglés de unidades.

Ejemplo 1.14 Si el vector momento linealde una partícula de masa 600 g, está dado porp = 0.6i − 1.2tj, donde p se da en kgms−1 y t en s,halle el vector posición de la partícula en el instantede tiempo t, sabiendo que partió de una posición enla cual ro = −(3.0 m)i + (15 m)j cuando to = 0.SoluciónUtilizando la definición del vector momento lineal,se encuentra que en componentes rectangulares elvector velocidad está dado por

v = i − 2tj (1).

Al reemplazar los vectores ro y v en la ecuación(1.24), se encuentra que al integrar, evaluar y sim-plificar, el vector posición de partícula está dado por

r = (t − 3)i − (t2 − 15)j,

que es el mismo vector posición considerado en elejemplo 1.1. De este resultado, se puede concluir quesi se conoce el vector posición de una partícula, enfunción del tiempo, es posible conocer el vector mo-mento lineal y si se conoce el vector momento lineal,en función del tiempo, se puede conocer el vectorposición de la partícula (recuerde que la integraciónes la operación inversa de la derivación).

Ejercicio 1.19 Si el momento lineal de una partí-cula con masa 400g está dado por p = 1.6ti − 1.2t2j,donde p se da en kgms−1 y t en s, halle el vectorposición de la partícula en el instante de tiempo t,sabiendo que partió de una posición en la cual enro = −(1.00 m)i − (2.00 m)j en to = 0. Compare suresultado con el vector posición dado en el ejercicio1.17.


1.9.1. Conservación del momento linealen dos dimensiones

Como se indicó antes, aunque solo se consi-deran dos casos particulares, el principio deconservación del vector momento lineal tienevalidez general, sin importar el número departículas que intervienen en un sistema. Esteprincipio es de gran utilidad en la física, tantodesde un punto de vista teórico como experi-mental. En los dos casos que se consideran acontinuación, se recurre a los resultados quemuestra el experimento, cuando este se lleva acabo.

1. En el primer experimento se considera lasituación en la que a una partícula, de masa my con movimiento en el plano, se le impide in-teractuar con cualquier otra, como se ilustra enla figura 1.33. Al no interactuar la partícula conninguna otra, el resultado que se obtiene es quesu estado de movimiento no es alterado, esto es,su velocidad permanecerá constante, o lo quees igual, su momento lineal debe permanecerconstante. Lo anterior se puede expresar mate-máticamente en la forma

p = mv = Constante o sea ∆p = 0

v

m

Figura 1.33: Conservación del momento lineal deuna partícula aislada.

2. En el segundo experimento, como se indi-ca en la figura 1.34, se aíslan, del resto del uni-verso, dos partículas con masas constantes m1 ym2 y que se mueven en un plano. Decir que seaíslan del resto del universo, equivale a afirmarque sólo se permiten sus interacciones mutuas.A un sistema como este se le llama sistema aisla-do.

Una vez que se le permite a las partículas in-teractuar entre sí, se encuentra que sus momen-

v1

m1

v2

m2

t

t>t'm

1

m2

v1'

v2'

Figura 1.34: Momento lineal de dos partículas ais-ladas.

tos lineales individuales cambian al transcurrirel tiempo. Adicionalmente, el momento linealtotal del sistema formado por las dos partícu-las, en cualquier instante, está dado por la sumade los momentos lineales de las partículas. Deacuerdo con lo anterior, en el instante t el mo-mento lineal del sistema aislado, está dado por

P = p1 + p2

= m1v1 + m2v2, (1.25)

y en el instante posterior t′ por

P′ = p′1 + p′

2

= m1v′1 + m2v′

2. (1.26)

El experimento muestra, que independiente-mente de los valores de t y t′, el momento linealtotal del sistema aislado permanece constante, osea,

P = P′ (1.27)

Como la ecuación (1.28) es válida independien-temente del número de partículas que confor-man el sistema, se enuncia el principio de con-servación del momento lineal, en la forma: Elmomento lineal total de un sistema aislado de partí-culas, permanece constante.

De este modo, el momento lineal ganado(perdido) por una partícula, es perdido (gana-do) por el resto del sistema.

1.10. CONCEPTO DE ENERGÍA CINÉTICA EK 21

Para la situación que interesa en este momen-to, se tiene que el momento lineal ganado (o per-dido) por una de las partículas, es perdido (oganado) por la otra partícula. Así, al reempla-zar las ecuaciones (1.26) y (1.27) en la ecuación(1.28) se tiene

p1 + p2 = p′1 + p′

2

= Constante,

o lo que es igual

∆p1 = −∆p2, (1.28)

de donde, el momento lineal que gana una par-tícula es igual y de sentido opuesto al momentolineal que pierde la otra.

El resultado anterior tiene validez general ypermite afirmar que el momento lineal de unapartícula cambia cuando interactúa con otra uotras partículas. En conclusión, toda interacciónentre partículas genera cambios en sus momentos li-neales individuales.

A menudo ocurren situaciones en las que semanifiesta claramente la conservación del vec-tor momento lineal en dos dimensiones. Unejemplo, de conservación del vector momentolineal en dos dimensiones, se presenta cuandouna moto choca contra un camión. Es evidenteque el camión prácticamente no cambia su tra-yectoria, en cambio la moto generalmente ter-mina en un lugar relativamente alejado de don-de ocurrió el choque.

1.9.2. Concepto del vector impulso (I)

El impulso es una cantidad física que se defi-ne en función del momento lineal, en la forma

∆p = p − po,≡ I, (1.29)

donde la ecuación (1.30) lo define como elcambio en el vector momento lineal. De acuer-do con esta definición, las dimensiones y uni-dades de impulso son las mismas de momentolineal. De este modo, por definición, el impulsono depende explícitamente de la masa m ni de

la velocidad inicial vo de la partícula, ya que só-lo importa el cambio en el momento lineal de lapartícula.

El impulso es una cantidad física que adquie-re importancia cuando se presenta un gran cam-bio en el momento lineal de una partícula perodurante un pequeño intervalo de tiempo. Porejemplo, cuando el bate le da a una pelota debéisbol o cuando se le pega con el palo a unapelota de golf.

1.10. Concepto de energía cinéticaEk

Otra cantidad física de importancia en la físi-ca es la energía cinética de una partícula. Estacantidad es un escalar, que se puede expresaren función de la magnitud del vector velocidado de la magnitud del vector momento lineal.

Como se vio anteriormente, el momento li-neal de una partícula en movimiento cambiacon el tiempo mientras esta interactúa con otrapartícula. Se supone que el momento lineal dela partícula sufre un cambio dp durante un in-tervalo de tiempo dt en el cual la partícula se hadesplazado un dr.

Derivando respecto al tiempo, a ambos ladosde la ecuación (1.25), se tiene

dpdt

= mdvdt

. (1.30)

Multiplicando escalarmente, a ambos lados dela ecuación (1.31), por el desplazamiento dr, esposible obtener la igualdad

1m

p · dp = mv · dv. (1.31)

Como se muestra en la figura 1.35, se consideraque la partícula se mueve desde una posición Adonde la rapidez es vA y la magnitud del mo-mento lineal pA, hasta una posición B donde larapidez es vB y la magnitud de su momento li-neal pB. Mediante la ecuación (1.32) y luego deintegrar y evaluar, se llega a

p2B

2 m− p2

A2 m

=12

mv2B − 1

2mv2

A

∆(p2

2 m) = ∆(

12

mv2). (1.32)


x

y

O

BA

m

m

vA

vB

pA

pB

Figura 1.35: Movimiento de m entre A y B

La ecuación (1.33) muestra que el cambio enla cantidad ∆( p2

2 m ) es igual al cambio en la can-tidad ∆( 1

2 mv2), mostrando con ello que ambasexpresiones se refieren a la misma cantidad fí-sica conocida como energía cinética, es decir, laenergía cinética se define matemáticamente por

Ek ≡ p2

2 m≡ 1

2mv2. (1.33)

Como lo muestra la ecuación (1.34) la energíacinética es una cantidad escalar ya que dependebien sea de la magnitud del vector momento li-neal o de la rapidez de la partícula, es decir, esindependiente de la dirección en que se muevela partícula. O sea, la definición de energía ciné-tica no tiene en cuenta el hecho que el sistemade referencia sea unidimensional o bidimensio-nal.

Como la energía cinética es una cantidad físi-ca que depende, bien sea de la magnitud de lavelocidad ó de la magnitud del momento lineal,entonces depende del sistema de referencia yaque la velocidad, igual que el momento lineal,depende de él. Por otro lado, al ser la energíacinética una función de la rapidez o de la mag-nitud del momento lineal, es una energía quese le asocia a los cuerpos como consecuencia desu movimiento. Un cuerpo en reposo respecto adeterminado observador, no tiene energía ciné-tica respecto al sistema de referencia asociado,aunque puede ser diferente de cero respecto aotros observadores, es decir, la energía cinéticaes una cantidad relativa.

En el caso particular de un movimiento rec-tilíneo uniforme, esto es, cuando una partículase mueve con velocidad constante, el cambio enla energía cinética es nulo, es decir, ∆Ek = 0,

lo que indica que la energía cinética permane-ce constante durante su movimiento. Esta situa-ción se ilustra en la figura 1.36

x

O

v = Constante

Figura 1.36: Cuerpo con movimiento rectilíneo uni-forme.

Dimensiones y unidades de energía cinéticaDe acuerdo con las ecuaciones (1.33) y (1.34),las dimensiones de energía cinética son ML2T−2

por lo que su unidad en el sistema internacionalde unidades es el kg · m2 · s−2, unidad conocidacomo Joule, en el sistema gaussiano de unida-des es el g · cm2 · s−2 unidad conocida como er-gio y en el sistema inglés de unidades lb · p. Esdecir

1kg · m2 · s−2 ≡ 1J(Joule)

1g · cm2 · s−2 ≡ 1 ergio

En mecánica cuántica y particularmente físi-ca nuclear, se encuentra que las unidades defi-nidas anteriormente para trabajo y energía sonmuy grandes, por ello, a nivel microscópico seutiliza otra unidad más pequeña de energía lla-mada electronvoltio (eV) y cuya relación con launidad SI es

1 eV ≡ 1 .602 × 10−19 J.

Un múltiplo de esta unidad bastante utilizadoes el MeV, cuya relación es 1 MeV ≡ 106 eV.

1.11. Colisiones

Se habla de una colisión, cuando ocurre una in-teracción entre dos o más partículas, en un in-tervalo corto de tiempo, en una región limitadadel espacio y donde las interacciones entre loscuerpos son muy intensas. Esta definición indi-ca que las partículas interactuantes forman unsistema aislado.

1.11. COLISIONES 23

En toda colisión, la interacción entre las par-tículas altera su movimiento, ya que general-mente se presenta un intercambio de momen-to lineal y de energía. Lo anterior, no significanecesariamente que las partículas hayan estadoen contacto físico. En general, se quiere indicarque ha ocurrido una interacción cuando las par-tículas estaban próximas como se muestra en laregión encerrada de la figura 1.37 para el casode dos partículas. Cuando se presenta contac-to físico entre las partículas, se acostumbra de-nominar la colisión como un choque, esto ocurrepor ejemplo entre dos bolas de billar o entre dosautos.

En muchos casos, los cuerpos antes de unchoque son diferentes a los cuerpos después delchoque. En una reacción química, por ejemplo,el átomo A choca con la molécula BC, aparecien-do luego del choque la molécula AB y el áto-mo C, esto es A + BC ↔ AB + C. En el casode un disparo, antes de la colisión se tiene uncuerpo formado por el arma y el proyectil y lue-go del disparo se tienen dos cuerpos, el arma yel proyectil. En el enganche de vagones de untren, antes del choque se tienen dos cuerpos, ca-da uno de los vagones, y luego del choque setiene un cuerpo formado por los dos vagonesenganchados.

Se dice que ocurre una dispersión, cuando enun choque o colisión los cuerpos iniciales sonlos mismos cuerpos finales.

Región decolisión

m1

m1'

m2

m2'

v1

v2v2'

v1'

Figura 1.37: Colisión entre dos partículas.

Como un resultado del experimento y sabien-do que en un choque se tiene un sistema aislado,puesto que únicamente actúan fuerzas internasque afectan el estado de cada cuerpo, se pue-de afirmar, el momento lineal total de un sistema esigual antes y después de una colisión. Matemática-

mente y para el caso de dos partículas se tiene

p1 + p2 = p,1 + p,

2, (1.34)

donde p1 y p2 son los momentos lineales decada una de las partículas antes de la colisión,p,

1 y p,2 los momentos lineales de cada una de

las partículas después de la colisión.Comúnmente, la ecuación (1.35) se escribe en

la forma

m1v1 + m2v2 = m,1v,

1 + m,2v,

2 ,

siendo m1, m2 las masas de las partículas antesde la colisión y m,

1, m,2 las masas después de la

colisión.En general, uno de los objetivos al analizar

una colisión es poder relacionar las velocidadesde las partículas antes y después que esta ocu-rra. Para el caso de una colisión en dos dimen-siones y entre dos partículas, si se conocen lasvelocidades antes de la colisión se tienen cua-tro incógnitas, correspondientes a las compo-nentes de las velocidades de cada partícula enlas dos dimensiones; pero como la conservacióndel momento lineal sólo proporciona dos ecua-ciones, una en cada dirección, es necesario obte-ner más información y para ello se recurre a laconservación de la energía.

Como en una colisión el sistema de cuerposinteractuantes conforman un sistema aislado,significa que no intervienen fuerzas externas alsistema. Por ello, la energía mecánica macroscó-pica del sistema se conserva y en este caso soloaparece en forma de energía cinética.

Para considerar la conservación de la energía,se define el factor de colisión Q en la forma

Q ≡ E′k − Ek,

donde Ek y E,k son, respectivamente, las ener-

gías cinéticas totales del sistema antes y des-pués de la colisión.

Para el caso de dos partículas que colisionan,el factor de colisión adquiere la forma

Q = ( 12 m,

1v,21 + 1

2 m,2v,2

2 )

−( 12 m1v2

1 +12 m2v2

2). (1.35)

Dependiendo del valor en el factor de colisión,puede ocurrir


i) Que la colisión sea elástica, significa queQ = 0, por lo que en este caso no hay cam-bio en la energía cinética del sistema, o sea,E

′k = Ek. De acuerdo con lo anterior, en toda

colisión elástica se conserva tanto la energía ci-nética total del sistema, como el momento linealtotal del sistema.

ii) Que la colisión sea inelástica, quiere decirque Q ̸= 0 y en esta situación, la energíacinética aumenta si Q > 0 o disminuye siQ < 0 . En el primer caso, las partículasal colisionar desprenden parte de su ener-gía interna, como ocurre en una explosión,y en el segundo caso absorben parte de laenergía mecánica intercambiada en la coli-sión, como ocurre en un choque plástico deautos. En este caso es válido afirmar en unacolisión inelástica no se conserva la energía ci-nética total del sistema, pero sí se conserva elmomento lineal total del sistema.

De las dos definiciones anteriores se concluyeque en toda colisión se conserva el momento li-neal total del sistema.

Si después del choque sólo aparece una par-tícula, se dice que se tiene una colisión comple-tamente inelástica o plástica. Debe quedar claroque toda colisión completamente inelástica esuna colisión inelástica, pero una colisión inelás-tica no tiene que ser una colisión completamen-te inelástica.

El parámetro de impacto b, es una cantidad quepermite saber si una colisión ocurre en una odos dimensiones. Este parámetro está dado porla distancia de separación b entre la línea de mo-vimiento de la partícula incidente y la línea pa-ralela que pasa por la otra partícula, como semuestra en la figura 1.38.

De este modo, el parámetro de impacto es ladistancia por la cual una colisión deja de serfrontal. Una colisión frontal, o en una dimen-sión, corresponde a b = 0 y valores mayores quecero para b, indican que la colisión es oblicua, oen dos dimensiones.

Ejemplo 1.15 Como se muestra en la figura 1.39,un auto de masa m1 y que se mueve con velocidadv1 hacia la derecha, choca frontalmente con otro au-to de masa m2 que se encuentra en reposo sobre la

bm

1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

j

b

Figura 1.38: Parámetro de impacto.

misma vía. Analice la colisión de los autos si esta esa) completamente inelástica, b) elástica. c) Sabiendoque m1 = 300 g, m2 = 700 g y v1 = 10 m · s−1, hallelos valores de las cantidades obtenidas en los nume-rales anteriores.

v1

v2= 0

2

m2m

1

Figura 1.39: Autos que chocan, moviéndose en elmismo sentido.

SoluciónComo en toda colisión, el momento lineal total delsistema formado por los dos autos se conserva en elchoque. De este modo, la ecuación (1.35) adquiere laforma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2, (1)

donde se ha tomado como positivo el sentido de mo-vimiento para el auto de masa m1, inmediatamenteantes del choque.

Por otro lado, por la conservación de la energía, laecuación (1.36) para el factor de colisión, se transfor-ma en

Q =(

12 m1v,

12 + 1

2 m2v,2

2)− 1

2 m1v21. (2)

a) Cuando la colisión es completamente inelástica,después del choque aparece sólo una partícula demasa m1 + m2 con velocidad v,

1 = v,2 = V.

Así, mediante la ecuación (1) se encuentra que lavelocidad final del sistema tiene la forma

V =m1

m1 + m2v1. (3)

Por consiguiente, independientemente de la relaciónentre las masas m1 y m2, después de la colisión plás-tica, la velocidad del sistema es menor y apunta enel mismo sentido que la velocidad con la cual incideel auto de masa m1.

1.11. COLISIONES 25

Igualmente, para el factor de colisión, la ecuación(2) permite llegar a

Q = − m1m2

2(m1 + m2)v2

1. (4)

En esta colisión los autos se deforman, o sea que par-te de la energía cinética del sistema se transforma enenergía interna ya que Q < 0, sin tener en cuentacual auto tiene masa mayor. En síntesis la colisión esinelástica.

b) Si la colisión es elástica, la energía cinética totaldel sistema se conserva en el choque, por lo que elfactor de colisión es nulo y las ecuaciones (1) y (2) sepueden escribir, respectivamente, en la forma

m1(v,1 − v1) = −m2v,

2, (5)

m1(v,1 − v1)(v

,1 + v1) = −m2v,

22. (6)

Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) se obtiene

v,1 + v1 = v,

2. (7)

Finalmente, por medio de las ecuaciones (5) y (7) yluego de simplificar, se encuentra que las velocida-des de los autos después del choque están dadas por

v,1 =

m1 − m2

m1 + m2v1

v,2 =

2m1

m1 + m2v1. (8)

En esta colisión, la velocidad del bloque m2 tiene elmismo sentido que la velocidad de incidencia de m1.En cambio, el sentido de movimiento de m1 despuésde la colisión, depende de la relación entre las ma-sas de los bloques, esto es, si m1 > m2 el bloque demasa m1 se mueve en el mismo sentido que m2; sim1 < m2 el bloque de masa m1 rebota en el choquemoviéndose en sentido opuesto a m2, y si m1 = m2el bloque de masa m1 queda en reposo después de lacolisión.

c) Reemplazando valores, con m1 = 0.3 kg, m2 =0.7 kg, se tiene- Para la colisión completamente inelástica, por lasecuaciones (3) y (4), se encuentra

V = 3.0 m · s−1,Q = −10.5 J.

- Para la colisión elástica, la ecuación (8) lleva a losvalores

v,1 = −4.0ms−1,

v,2 = 6.0ms−1.

El signo menos en la velocidad de m1, significa queeste bloque rebota en el choque por cumplirse la re-lación m1 < m2.

Ejercicio 1.20 Como se muestra en la figura 1.40,un auto de masa m1 y con velocidad v1 hacia la de-recha, choca frontalmente con un segundo auto demasa m2 que inicialmente se mueve hacia la izquier-da con velocidad v2 = −v1. Analice la colisión delos autos si esta es a) completamente inelástica, b)elástica. c) Sabiendo que m1 = 300 g, m2 = 700 g yv1 = 10 m · s−1, halle los valores de las cantidadesobtenidas en los numerales anteriores.

v1 v

2

2

m2m

1

Figura 1.40: Autos que chocan, moviéndose en sen-tidos opuestos.

Ejemplo 1.16 El cuerpo de la figura 1.41 de ma-sa m1 y velocidad v1, tiene una colisión oblicua conel cuerpo de masa m2 inicialmente en reposo. a) De-termine la magnitud de la velocidad de los bloquesinmediatamente después del choque, si las masasdespués de la colisión se mueven en las direccio-nes mostradas. b) Resolver para m1 = 0.2kg, m2 =0.3kg, v1 = 15.0ms−1, φ1 = 30o y φ2 = 40o. ¿Es lacolisión elástica o inelástica?

j2

m1

m2

m1

m2

v1

v1'

v2= 0

v2'

x

y

j1

Figura 1.41: Colisión oblicua.

Solucióna) Como el momento lineal total de las dos partículasse conserva en la colisión, la ecuación (1.35) adquierela forma

m1v1 = m1v,1 + m2v,

2.

Descomponiendo las velocidades en sus componen-tes rectangulares, se obtiene para las direcciones x yy, respectivamente, las expresiones

m1v1 = m1v,1cosφ1 + m2v,

2cosφ2, (1)

0 = −m1v,1senφ1 + m2v,

2senφ2. (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene

v,1 =

senφ2

sen(φ1 + φ2)v1,

v,2 =

m1

m2

senφ1

sen(φ1 + φ2)v1.


De estos resultados se tiene que para valores fijos deφ1 y φ2, la velocidad de m1 después del choque esindependiente de la masa de los cuerpos, mientrasque para m2 la velocidad sí depende de la relaciónentre las masas de los cuerpos.

b) Reemplazando valores se encuentra que lamagnitud de las velocidades son

v,1 = 10.3ms−1,

v,2 = 5.3ms−1.

Al calcular el factor de colisión, se encuentra que lacolisión es inelástica ya que Q = −7.7J. De este mo-do, parte de la energía mecánica se transforma enenergía interna de las partículas.

1.12. ENUNCIADOS

1.1 Un auto que se mueve en línea recta haciala izquierda, pasa por las ciudades consecutivasA, B y C, regresando luego a la ciudad B. Enun diagrama que incluya el sistema de referen-cia, muestre el vector desplazamiento del autoy expréselo matemáticamente en función de surespectiva componente.

1.2 Un auto está 16 m al Este de la señal de PA-RE en el instante de tiempo ti , y 37 m al Oestede la señal al tiempo tf. Si la señal es el origende coordenadas y el eje x apunta hacia el este,determine: (a) xi , (b) xf, (c) ri, (d) rf y (e) ∆r.

1.3 Un ciclista se movió en línea recta duran-te cierto intervalo de tiempo y de tal forma queel vector desplazamiento tiene el mismo senti-do del vector unitario i. ¿De lo anterior es posi-ble concluir que el ciclista sólo se desplazó en elmismo sentido del vector unitario i? Explique.

1.4 Las gráficas de la figura 1.42 muestran lavariación de la posición x en función del tiem-po t, para un atleta que se mueve en línea recta.Describa el movimiento del atleta y llévelo a ca-bo con la punta de su lápiz.

1.5 La gráfica de la figura 1.43 muestra la for-ma como cambia la posición de una hormiga enfunción del tiempo, cuando se mueve a lo lar-go de una trayectoria rectilínea. (a) Para t = 5s,

x

t

x

t

x

t

Figura 1.42: Gráficas de posición en función deltiempo.

trace el vector desplazamiento en la gráfica yexpréselo vectorialmente. (b) Obtenga la gráfi-ca de la forma como varía la velocidad de lahormiga en función del tiempo. (c) Utilizando lagráfica anterior, encuentre la magnitud del des-plazamiento durante el movimiento y comparesu resultado con el hallado en el numeral (a).

x (cm)

t (s)

10

-10

20

-20

1 2 3 4 5

Figura 1.43: Movimiento de una hormiga

1.6 En la gráfica 1.44 se indica el cambio enla componente de la velocidad en función deltiempo (t), para un auto que se mueve sobre unaautopista recta. Obtenga la gráfica de la posi-ción en función del tiempo para el auto, supo-niendo que pasó por el origen en t = 0.

v (m s )-1

t (s)

30

60

1 2 3 4 5-30

-60

Figura 1.44: Componente de la velocidad en funcióndel tiempo.

1.12. ENUNCIADOS 27

1.7 La ecuación cinemática de posición, parauna bicicleta que se mueve sobre el eje x, estádada por la expresión x(t) = −14t + 74 , dondex se da en m y t en s. (a) ¿Cuál es la posicióninicial de la bicicleta? (b) ¿Cuál es el momentolineal de la bicicleta, en función del tiempo, siesta tiene una masa de 10.5 kg? De acuerdo conel resultado, ¿qué movimiento tiene la bicicle-ta? ¿Por qué? (c) Haga un diagrama que ilustrela situación, teniendo en cuenta las respuestasde los numerales anteriores. (d) Haga una grá-fica de la posición de la bicicleta en función deltiempo, desde t = 0 s a t = 6 s. ¿Qué informa-ción puede obtener de esta gráfica? Calcule elvalor numérico respectivo. (e) Haga una gráfi-ca de la velocidad de la bicicleta en función deltiempo, desde t = 0 s a t = 6 s. ¿Qué informa-ción puede obtener de esta gráfica? Calcule elvalor numérico respectivo.

1.8 Un auto A se mueve hacia la derecha poruna pista recta y con una rapidez 80 km · h−1. Elconductor del auto A observa otro auto B quese encuentra 50 m delante de él sobre un carrilparalelo. Suponga que el auto B se mueve en elmismo sentido que el auto A con una velocidadde magnitud 60 km · h−1. (a) Halle la posiciónen la cual un auto pasa frente al otro. (b) En-cuentre el momento lineal de cada auto si cadauno tiene una masa de 103kg. Resuelva la mis-ma situación para el caso en el cual un auto semueve hacia el otro.

1.9 ¿Será posible encontrar una situación físi-ca, de un cuerpo en movimiento, en la que elmomento lineal no sea paralelo a la velocidad?Explique.

1.10 Un niño tira un pequeño juguete para quesu perro, de masa 8 kg, lo recoja. El perro em-prende la carrera en busca del juguete, que seencuentra a 9 m del punto de lanzamiento, y lotrae de vuelta. El viaje le toma 4.3 s. (a) ¿Cuáles el desplazamiento del perro? (b) ¿Cuál es ladistancia total que recorrió el perro? (c) ¿Cuál esel momento lineal del perro antes y después dehaber recogido el juguete? (d) ¿Cuál es el cam-bio en el momento lineal del perro en el procesode recoger el juguete?

1.11 La magnitud del momento lineal de unauto con movimiento rectilíneo, varía con lamagnitud de la velocidad en la forma mostradaen la figura 1.45. ¿Cuál es el significado físico dela pendiente de la recta? Halle el valor numéricocorrespondiente.

16v ( 10 m s )x

-1

p

( 10 kg m s )x4 -1

1 3 5 7

48

112

80

Figura 1.45: Magnitud del momento lineal en fun-ción del tiempo.

1.12 Un camión y su carga, con una masa de2 × 104 kg, se mueve en línea recta con una ra-pidez de 1 km · h−1. ¿Con qué rapidez tendráque correr usted para adquirir la misma magni-tud de la cantidad de movimiento del camión?Utilice su propia masa. Exprese su resultado enkm · h−1 y en m · s−1. ¿Será posible que ustedalcance esta rapidez? Explique.

1.13 Una bala de 30 g tiene una velocidad ho-rizontal de magnitud 100 m · s−1. ¿Con qué ra-pidez tendrá que correr usted para alcanzar lamagnitud de la cantidad de movimiento de labala? Utilice su propia masa. Exprese su resul-tado en km · h−1 y en m · s−1. ¿Será posible queusted alcance esta rapidez? Explique.

1.14 La partícula α es un núcleo de helio conuna masa de 6.88 × 10−27kg, la cual es emiti-da en una desintegración radiactiva del 238

92 U.Una partícula α tiene una rapidez de 1.4 ×107m · s−1. Esta es una rapidez pequeña compa-rada con la de la luz (3 × 108m · s−1). (a) ¿Cuáles la magnitud de la cantidad de movimientode la partícula α? (b) ¿Cuál es la magnitud dela velocidad de una masa de 1 g con la mismamagnitud de la cantidad de movimiento de lapartícula α? (c) ¿Cuánto tiempo demora la masa


de 1 g en recorrer 1 m con esta rapidez? Expresesu resultado en años.

1.15 ¿Con qué rapidez debe correr usted paraalcanzar la misma magnitud de la cantidad demovimiento que un auto de 103kg de masa quese desplaza a 1 km · h−1? ¿Será posible que us-ted alcance esta rapidez? Explique.

1.16 La figura 1.46 muestra la forma como va-ría la posición x de una partícula en funcióndel tiempo t, mientras esta se mueve en línearecta. La masa de la partícula es 400 g. (a) ¿Elmomento lineal de la partícula es cero en algúninstante? Explique. (b) ¿Es constante el momen-to lineal de la partícula? Explique. (c) ¿Cuál esel momento lineal de la partícula en el instan-te t = 0 s (d) ¿Cuál es su momento lineal en elinstante t = 3 s (e) ¿En qué instante la partículapasa por el origen? ¿Cuál es su momento linealen ese instante?

x (m)

t (s)

1

-1

2

-2

1 2 3 4 5

Figura 1.46: Posición en función del tiempo.

1.17 Un auto de masa 1.2 × 103kg se despla-za con una velocidad horizontal de magnitud100 km · h−1 en dirección Suroeste. El sistemade coordenadas se toma de tal forma que el ejex apunta hacia el Este y el eje y hacia el Nor-te. (a) ¿Cuál es el momento lineal del auto? (b)¿Cuáles son las componentes rectangulares dela cantidad de movimiento?

1.18 Una granada, en reposo, explota en dosfragmentos. Si un fragmento sale disparado enla dirección oeste, ¿en que dirección se mueve elotro fragmento? ¿Por qué?

1.19 Un auto de 103kg que se desplaza haciala izquierda sobre una pista recta, choca contra

un camión estacionado de 4 × 103kg. Inmedia-tamente después de la colisión, el auto quedaen reposo, mientras que el camión se desplazacon una rapidez de 2 m · s−1. (a) Halle la velo-cidad del auto inmediatamente antes de la coli-sión. (b) En el choque, ¿se conserva el momentolineal del auto? Explique.

1.20 Una bola de masa 4 kg y velocidad1.2 m · s−1, choca frontalmente con otra bola demasa 5 kg moviéndose a 0.6 m · s−1 en el mis-mo sentido. Si la velocidad de la bola de 4 kgdespués del choque es 0.54 m · s−1, encuentre elcambio en el momento lineal de cada bola. ¿Quépuede concluir de los resultados obtenidos?

1.21 Repita la situación anterior, suponiendoque la bola de 5 kg se mueve con cierta veloci-dad en sentido opuesto antes del choque y conuna velocidad de 1.13 m · s−1 luego del choque.

1.22 En los dos enunciados anteriores, supon-ga que las bolas quedan pegadas en el choque.(a) Encuentre la velocidad de las bolas inmedia-tamente después del choque. (b) Halle el cam-bio en el momento lineal de cada bola en el cho-que. ¿Qué puede concluir de los resultados ob-tenidos?

1.23 Un bloque se lanza sobre una superficiehorizontal, de tal manera que este se mueve enlínea recta. ¿Se conserva el momento lineal delbloque? Explique.

1.24 Un ciclista y su bicicleta, de masa 102kg,se mueven en el plano xy de tal manera que lasecuaciones cinemáticas de posición están dadaspor x = −30t − 6 y y = 60t − 9, donde x, yse dan en m y t en s. (a) Obtenga la ecuaciónde la trayectoria seguida por el sistema ciclista-bicicleta. (b) Exprese el vector momento linealdel sistema en sus componentes rectangulares,cuando t = 15 s. Halle la magnitud y direccióndel momento lineal del sistema en t = 15 s. (c)Encuentre la energía cinética del sistema en t =15 s.

1.25 La energía cinética de un auto varía conel cuadrado de su rapidez en la forma mostrada

1.12. ENUNCIADOS 29

en la figura 1.47. ¿Cuál es el significado físico dela pendiente de la recta? Halle el valor numéricorespectivo.

v2( 10 m s )

2 2 -2x

Ek

( 10 J)x3

2 4 6 8 91

5

20

45

Figura 1.47: Energía cinética en función de la rapi-dez al cuadrado.

1.26 La velocidad de un bloque de 2 kg esv1 = (3i − 3j)m · s−1 en el instante t = 3 s.Posteriormente, cuando t = 6 s, la velocidad esv2 = (8i + 4j)m · s−1. (a) Halle el cambio en lavelocidad del bloque. (b) Calcule el cambio enel momento lineal del bloque. (c)Encuentre elcambio en la energía cinética del bloque. (d) ¿Elbloque interactúa con otro cuerpo mientras estáen movimiento? Explique.

1.27 Dos deslizadores de masas m1 y m2 semueven, respectivamente, con velocidades v1 yv2 sobre un riel de aire y en sentidos opues-tos. Los deslizadores chocan elásticamente. (a)Halle la velocidad de los deslizadores despuésdel choque. (b) Analice el resultado en los si-guientes casos particulares: (i) m1 = m2, (ii)m2 = 2m1, (iii) v2 = 0 y m1 = m2, (iv) v2 = 0y m2 = 2m1. En cada caso, ilustre gráficamentela situación luego del choque. Para cada una delas situaciones consideradas en el numeral (b),halle (c) el cambio en el momento lineal de cadadeslizador y (d) el cambio en la energía cinéticade cada deslizador.

1.28 Dos autos de igual masa m se mueven so-bre el mismo carril y en el mismo sentido, convelocidades v1 y v2. Luego del choque los autosquedan pegados. (a) ¿Bajo qué condición cho-can los autos? Explique. (b) Halle la velocidadde los autos inmediatamente después del cho-que. (c) Determine si la colisión es elástica o ine-lástica.

1.29 Una bola de billar que se mueve horizon-talmente hacia la derecha, choca con otra bolaque se encuentra en reposo. Luego de la coli-sión, ¿cuál situación de las mostradas en la fi-gura 1.48 es la correcta? Explique su respuesta.

(i) (ii)

(iii) (iv)

Figura 1.48: Choque entre bolas de billar.

1.30 Un auto de masa m se mueve en el sen-tido Norte-Sur con una velocidad de magnitud40 km · h−1, mientras que otro auto de masa 2mse mueve en el sentido Oeste-Este con una ve-locidad de magnitud 30 km · h−1. Los dos au-tos chocan en el cruce entre las dos avenidassobre las cuales se mueven, de tal forma quequedan enganchados moviéndose en cierta di-rección. (a) Haga un diagrama ilustrativo de lasituación planteada, tanto inmediatamente an-tes como inmediatamente después del choque.(b) Obtenga, en componentes rectangulares, lavelocidad de los autos inmediatamente despuésdel choque. (c) Encuentre el factor de colisión.¿Parte de esta energía cómo aparece luego de lacolisión? (d) ¿Qué nombre recibe esta colisión?Explique.

1.31 Una bola de billar de masa m1 se muevehorizontalmente hacia la derecha con una velo-cidad v1, cuando choca elásticamente con otrabola de masa m2, inicialmente en reposo. Lue-go de la colisión, las velocidades de las bolasforman entre sí un ángulo de 90o. (a) Haga undiagrama ilustrativo donde se muestre la situa-ción tanto inmediatamente antes como inme-diatamente después del choque. (b) Encuentrela relación entre las masas de las bolas de billar.

1.32 Con el fin de probar la resistencia delos materiales que conforman su estructura, a


dos autos de igual masa se les permite cho-car, desplazándose en sentidos opuestos conmovimiento rectilíneo uniforme. Suponga quelos autos adquieren velocidades constantes de60 m · s−1 y 80 m · s−1 cuando la separación en-tre ellos es 100 m, y que luego del choque que-dan enganchados. (a) Halle la posición dondechocan los autos. (b) Encuentre la velocidad delos autos inmediatamente después del choque.(c) Si luego del choque los autos se desplazancon movimiento rectilíneo uniforme, determinesu posición a los 5 s de este haber ocurrido.

1.33 La ecuación cinemática de posición, paraun móvil de masa 50 kg, está dada por la expre-sión x = 15 − 30t, donde x se da en m y t ens. (a) ¿Qué dimensiones y a qué cantidad físicacorresponde cada uno de los valores numéricosque aparecen en la ecuación anterior? (b) Hagaun diagrama ilustrativo donde se muestre el sis-tema de referencia respecto al cual se mueve elcuerpo, la posición inicial del cuerpo y el sen-tido de movimiento sobre su trayectoria. ¿Quémovimiento tiene el cuerpo? ¿Por qué? (c) Ha-lle, en función del tiempo, la velocidad, el mo-mento lineal y la energía cinética del cuerpo.¿Qué puede concluir de sus resultados? ¿Porqué? (d) ¿En algún instante el móvil pasa porel origen de coordenadas? Explique. (e) ¿En al-gún instante el móvil cambia su sentido de mo-vimiento? Explique. (f) Obtenga las gráficas deposición y velocidad para el móvil , en el inter-valo de tiempo 0 ≤ t ≤ 10 s. ¿Qué informaciónfísica se puede obtener de las gráficas anterio-res? ¿Cuáles son los valores numéricos respecti-vos?

1.34 Las ecuaciones cinemáticas de posición,para dos móviles con masas m1 = 60 kg y m2 =80 kg, y que se mueven sobre el mismo carril deuna pista recta, están dadas por las expresionesx1 = −20 + 39t y x2 = 18 − 37t, con x1, x2 en my t en s. (a) Haga un diagrama ilustrativo don-de se muestre el sistema de referencia respectoal cual se mueven los cuerpos, la posición inicialde cada cuerpo y el sentido de movimiento so-bre la trayectoria. ¿Qué movimiento tiene cadacuerpo? ¿Por qué? (b) Halle el instante y la posi-ción donde se encuentran los cuerpos. (c) Si los

móviles chocan elásticamente, encuentre la ve-locidad de cada uno de ellos luego del choque.De acuerdo con estos resultados, ¿qué le ocurrea cada cuerpo en el choque? Explique. (d) Plan-tee las ecuaciones cinemáticas de posición quesatisfacen el movimiento de cada cuerpo des-pués del choque. (e) Obtenga la posición de ca-da auto y su separación, 6 s después de ocurridoel choque.

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31

Índice alfabético

cantidadfundamental, 19

choqueplástico, 24

colisión, 22–26elástica, 24en dos dimensiones, 23frontal, 24inelástica, 24oblicua, 24

componentes rectangularesdel vector desplazamiento, 14del vector posición, 14del vector velocidad, 18del vector velocidad media, 15

conceptode choque, 23de colisión, 22de dispersión, 23de energía cinética, 21–22de masa, 11, 19de movimiento, 2de partícula, 3–4del vector impulso, 21

conservaciónde la energía, 23

definiciónde energía cinética, 22de momento lineal, 11de rapidez, 7, 17de velocidad instantánea, 7, 17de velocidad media, 5del factor de colisión, 23del vector desplazamiento, 14del vector impulso, 21del vector momento lineal, 19

dimensiónde masa, 11, 19

dimensionesde energía cinética, 22de impulso, 21de velocidad, 5de velocidad instantánea, 7, 18del momento lineal, 11del vector momento lineal, 19del vector velocidad media, 15

direcciónde la velocidad instantánea, 7, 17de la velocidad media, 5, 16de un vector, 14del vector momento lineal, 11, 19del vector posición, 14

distanciarecorrida, 9

ecuaciónde la trayectoria, 14

ecuación cinemáticade posición, 8de posición en el MRU, 9

efectodel aire, 3

electronvoltio (eV), 22energía

interna, 24, 25ergio, 22estado

de reposo o de movimiento, 3

fuerzaexterna, 23

gráficade posición en el MRU, 9

32

ÍNDICE ALFABÉTICO 33

de velocidad en el MRU, 9

interacción, 20–23entre partículas, 13

Joule, 22

magnitudde la velocidad media, 16de un vector, 14del vector posición, 14del vector velocidad media, 5

modelode partícula, 3

momentolineal total, 12

movimientode traslación, 4en un plano, 13–18rectilíneo uniforme, 9–11

parámetrode impacto, 24

posiciónde un cuerpo, 2

principio de conservacióndel momento lineal, 12–13del vector momento lineal, 20–21del vector momento lineal total, 20, 23

sistemaaislado, 12, 20, 23de coordenadas unidimensional, 2de referencia, 1–3de referencia bidimensional, 13de referencia inercial, 3de referencia unidimensional, 4moto-auto, 21

trayectoriarectilínea, 4

unidadde masa, 11, 19

unidadesde energía cinética, 22de impulso, 21de velocidad, 5de velocidad instantánea, 7, 18del momento lineal, 11

del vector momento lineal, 19del vector velocidad media, 16

vectordesplazamiento, 4–5, 14–15momento lineal, 11–12, 18, 19momento lineal total, 20posición, 4, 9, 13–14velocidad, 5, 9, 15–18velocidad instantánea, 6–9, 17–18velocidad media, 5–6, 15–17

velocidadconstante, 8media cero, 5

momento lineal, energia cinetica y su...

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