MOMENTO DE UNA FUERZA• En mecánica newtoniana, se denomina momento de una

fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza aplicada en un punto P con

respecto de un punto O viene dado por el producto vectorial del vector de posición OP por el vector fuerza F; esto es

El momento es un vector perpendicular al plano de r y F. La magnitud del momento esta dado por

El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.

Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO

El momento de la fuerza respecto a O es

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO

CUALQUIERA

COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO

Ejemplo• Determine el momento ejercido por el peso de 30 lbf con

respecto a los puntos (a) E y (b) S

Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para que produzca el mismo momento respecto a O

Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es

La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha

in. 12lb 100

in. 1260cosin.24

O

O

M

d

FdM

in lb 1200 OM

SOLUCIÓN

Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente

SOLUCIÓN

in. 8.20

in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

F

F

FdM

d

O

lb 7.57F

Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces

SOLUCIÓN

in. 42

in. lb 1200

in. 42in. lb 1200

F

F

FdMO

lb 50F

Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo

SOLUCIÓN

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200

lb 240in. lb 1200

OB

d

d

FdMO

in. 10OB

Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y

por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C

El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial

SOLUCIÓN

SOLUCIÓNFrM ACA

jirrr ACAC

m 08.0m 3.0

kji

kji

r

rFF

DC

DC

N 128N 69N 120

m 5.0

m 32.0m 0.24m 3.0N 200

N 200

12896120

08.003.0

kji

M A

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE CUALQUIERA

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE CUALQUIERA

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE CUALQUIERA

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN

PUNTO CUALQUIERA• El momento de una fuerza

alrededor de un eje cualquiera es

• El resultado es independiente del punto B

/

/

ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B

A B A B

M M r F

r r r

Ejemplo• Se aplica una tensión T de

intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.

Ejemplo• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento

alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB

PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon

Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:

CUPLA O PAR DE FUERZASLa cupla o par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas F y –F que tiene la misma magnitud, líneas de acción paralelas pero de sentidos opuestos.• El momento de la cupla es,

El vector momento de la cupla es un vector independiente del origen o es decir es un vector libre perpendicular al plano que contiene la fuerzas

DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR

• La cupla es un vector libre perpendicular al plano de la cupla y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha

CUPLA O PAR DE FUERZAS• Dos cuplas tendrán igual momento si:

a)

b) Las dos cuplas se encuentran ubicadas en planos paralelos

c) La dos cuplas tienen el mismo sentido o la misma tendencia a causar rotación y la misma dirección

Ejemplo de cupla• Determine el momento de la cupla mostrada en la

figura y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

Ejemplo de cuplaDos fuerzas paralelas de sentidos opuestos son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la figura. Determine el momento de la cupla y la distancia perpendicular entre las dos fuerzas

EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARESDos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden transformarse el uno en el otro mediante una o varias de las operaciones siguientes:

a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma partícula por su resultante;

b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes yc) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la misma

partícula d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestase) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte

SISTEMAS FUERZA CUPLACualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento de F respecto de B

No hay cambio en el efecto externo

Cupla

EjemploRemplace la fuerza de 350 N por una fuerza y una cupla en el punto B- Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

soluciónSe trazan dos fuerzas en B como se ve en la figura . La expresión vectorial de F es

El momento C será

EjemploRemplace la fuerza de 600 N mostrada en la figura por una fuerza y una par en el punto A. Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas

Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el cable ejerce en C por un sistema fuerza-par equivalente : (a) en A , (b) en B

Ejemplo• Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A de un

miembro estructural. Sustituirla por: (a) un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un sistema equivalente compuesto por una fuerza vertical en B y una segunda fuerza en D

Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas verticales en C y D equivalentes al par hallado en la parte (a)

SISTEMAS FUERZA CUPLA

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Seleccionar un punto para encontrar el

momento

Remplazar las fuerzas por una

fuerza y un par en el punto O

Sumar las fuerza y cuplas

vectorialmente para encontrar la

resultarte y el momento resultante

EjemploReducir el sistema de fuerzas y momentos a una fuerza un par actuando en A