Moisés GrilloIng. Industrial

Derivadas Parciales

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Derivadas Parciales de Orden Superior

2 3 23 5z x y x y

36 10xz xy xy

2 2 29 5yz x y x

3

2

6 10

18 10xx

xy

z y y

z xy x

2

2

18 10

18yx

yy

z xy x

z x y

Notación

x

zz

x

y

zz

y

2

2

2

xx

xy

zz

x

zz

y x

2

2

2

yx

yy

zz

x y

zz

y

Derivadas Parciales de Orden Superior

2 3 23 5z x y x y

36 10xz xy xy

2 2 29 5yz x y x

3

2

6 10

18 10xx

xy

z y y

z xy x

2

2

18 10

18yx

yy

z xy x

z x y

Derivadas Parciales de Orden Superior

2 3 23 5z x y x y

36 10z

xy xyx

2 2 29 5z

x y xy

23

2

22

6 10

18 10

zy y

x

zxy x

y x

22

22

2

18 10

18

zxy x

x y

zx y

y

Ejercicios

2 3 7 4

9 5 2

3 2 7

1

2

2

3

3

4

z x y x y

z xy x y

z x y x y

Encuentre todas las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones:

Respuestas

3 5 43 6 4

2 6 3

2 6 32 2 7 3

2 7 2

3 29 4 2

8 4

8 48 5

7 5

4 424 7

12 28

12 286 4

12 12

803 20

27 40

27 402

1

8

2

7 8216

xxx

xy

yxy

yy

xxx

xy

yxy

yy

z y x yz xy x y

z xy x y

z xy x yz x y x y

z x y x y

z x yz y x y

z y x y

z y x yz xy x y

z xy x

72 7

2 6

2 63 2 6

2 5

6 23 2

3 14

3 147

2

3

4

xxx

xy

yxy

yy

z xy yz x y xy

z x xy

z x xyz x x y

z x y

Derivadas Parciales Implícitas2 3 2 3 27 3 5x z x y y z 2 3 2 3 27 3 5 0x z x y y z

2 3 2 3 27 3 5F x z x y y z 3

2 2 2

2 2 3

14 6

3 15

21 10

x

y

z

F xz xy

F x y z

F x z y z

Derivadas Parciales Implícitas2 3 2 3 27 3 5x z x y y z 2 3 2 3 27 3 5 0x z x y y z

2 3 2 3 27 3 5F x z x y y z 3

2 2 2

2 2 3

14 6

3 15

21 10

x

y

z

F xz xy

F x y z

F x z y z

xx

z

Fz

F

xz 314 6xz xy

2 2 321 10x z y z

yy

z

Fz

F

yz 2 2 23 15x y z2 2 321 10x z y z

Ejercicios

3 2 5 4

3 9 5 2

2 5 3 2 7

2 5 6

3

1

3 4

2

2

3

xz y z x y

y z xy x y

x z x y x y

Encuentre las derivadas zx =? zy =?

Respuestas

4 4

3

2 2 5 3

3

9 4 2

3

2 8 5

3

5 2 7

2 4

3 2 6

2 4

2 30

2 10

15 24

2 10

3 20

3

9 27 8

3

4 3

1

2

10

7

10

2

3

x

y

x

y

x

y

z x yz

x y z

y z x yz

x y z

y x yz

y

y z xy x yz

y

xz x y xyz

x z

x x yz

x z

Regla de la Cadena

3 5

4 3

7 2 3

2 5

2

z x xy y

x t v

y t v

221 2z

x yx

221 2z

x yy

2x

t

5x

v

34y

tt

26y

vv

z

t

z x z y

x t y t

z

t

2 2 321 2 2 21 2 4x y x y t

Regla de la Cadena

3 5

4 3

7 2 3

2 5

2

z x xy y

x t v

y t v

221 2z

x yx

221 2z

x yy

2x

t

5x

v

34y

tt

26y

vv

z

v

z x z y

x v y v

z

v

2 2 221 2 5 21 2 6x y x y v

Ejercicios

3 25 2 7

7

?

3

1

?

z x xy y

x v t

y t v

z z

t v

2

3

7 5

7 2

5 3

2

?

?

z v u

v x xy

u y

z z

x y

xy

Respuestas

2

2

15 2 2 14 3

15 2 7 2 14 1

1z

x y t x ytz

x y x yv

2

7 14 2 5 3

7 2 5 3 3

2 z

x y yxz

x y xy

Diferenciales

3 5 2 75 2z x y x y

2 5 715 4z

x y xyx

3 4 2 625 14

zx y x y

y

z z

dz dx dyx y

2 5 7 3 4 2 615 4 25 14 dz x y xy dx x y x y dy

Ejercicios

5 9 3 4

3 3

6 7

8 6

6 5

1

2

3

z x y x y

z x y xy

z y x

Ejercicios

4 9 2 4 5 8 3 3

2 3 3 2

6 5

40 18 72 24

1

1

2 8 5 6 15

3 7 6

dz x y x y dx x y x y dy

dz x y y dx x xy dy

dz x dx y dy

Diferenciales Exactos

2 2 33 2 x y dx x y dy2 23M x y26yM x y

32N x y26xN x y

y xM NDiferencial Exacto

Ejercicios

2

3 2

2 3 3

6 10

4 3 6

6 4

1

2

3

x dx y dy

x y dx xy dy

x y dx x y dy

Diferencial Exacto

Diferencial Exacto

Diferencial Inexacto

Cálculo de la Primitiva

2 2 33 2 x y dx x y dy

2 23x y dx 2 23y x dx 3

233

xy f y 3 2x y f y

32 x y dy 32 x y dy 2

322

yx g x 3 2x y g x

3 2z x y c

Cálculo de la Primitiva

2 33 4 x dx y dy

23x dx 33

3

xf y 3x f y

34 y dy 44

4

yg x 4y g x

3 4z x y c

Ejercicios

2 3 3 2

3 2

2

6 6

4 3 6

6 1

1

2

03

x y dx x y dy

x y dx xy dy

x dx y dy

Respuestas

3 3

4 2

3 2

1 2

3

2 5

2

3

z x y

z x xy

z x y

Gradiente

2 32z xy x y

2 26z

y x yx

32 2

zxy x

y

z ;z z

x y

z 2 2 36 ; 2 2y x y xy x

Ejercicios

2 3 2

3 2 3

2 5 7

5 4 4

6 3 6

6

3 2

7 5

5

1

2

3

5 4

4

2

z x y x y

z x y x y

z xy x y

z x y xy

z x y x y

2 2 2 3

2 3 3 2 2

2 4 7 5 6

4 4 4 5 3 3

5 3 5 6 2 6

2 18 ; 12

9 4 ;3 6

7 25 ;14

1

2

3

4

5

35

25 ;20 4

12 24 ;6 4

z xy x y x x y

z x y xy x x y

z y x y xy x y

z x y y x y xy

z x y x y x y x

Respuestas

Vector UnitarioSea el vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)Hallar su vector unitario

final inicialP P v

2,1 1,3 v

2 1 ,1 3 v

2 1 , 1 3 v

3 , 2 v

223 2 v

9 4 v

13v3 2

,13 13

vu

Ejercicios

1. Sea el vector que inicia en (2,-1) y termina en (-3,2) Hallar su vector unitario

2. Sea el vector que inicia en (-3,-2) y termina en (4,3) Hallar su vector unitario

3. Sea el vector que inicia en (-3,5) y termina en (3,-1) Hallar su vector unitario

4. Sea el vector que inicia en (1,1) y termina en (-3,-2) Hallar su vector unitario

5. Sea el vector que inicia en (-3,1) y termina en (1,2) Hallar su vector unitario

Respuestas

5 3 ,

34 34

7 5 ,

74 7

1

2

3

4

5

4

6 6 ,

72 72

4 3 ,

5 5

4 1 ,

17 17

v

v

v

v

v

u

u

u

u

u

Derivada Direccional

Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)

2 32z x y xy

final inicialP P v

2,1 1,3 v

2 1 ,1 3 v

2 1 , 1 3 v

3 , 2 v

223 2 v

9 4 v

13v3 2

,13 13

vu

Derivada Direccional

Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)

2 32z x y xy

34z

xy yx

2 22 3

zx xy

y

z ;z z

x y

z 3 2 24 ; 2 3xy y x xy

Derivada Direccional

Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,3) y termina en (2,1)

2 32z x y xy

z 3 2 24 ; 2 3xy y x xy

3 2 ;

13 13

vu

3 2 23 24 2 3

13 13D z xy y x xy u

Ejercicios

Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (2,-3) y termina en (-2,-5)

3 23z x y xy

Hallar la derivada direccional de:En la dirección del vector que inicia en (-1,-2) y termina en (-2,4)

2 53 7z xy x y 2 2 34 23 3 6

20 20D z x y y x xy u

2 4 51 63 35 6 7

37 37D z y x y xy x u