modulo_matematicas_financieras

8/7/2019 MODULO_MATEMATICAS_FINANCIERAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

MATEMATICAS

FINANCIERAS

ARTURO ROSERO GMEZ

BOGOTA COLOMBIA

2005


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COMIT DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal AfanadorRector

Roberto Salazar RamosVicerrector Acadmico

Sheifar Ballesteros Moreno

Vicerrector Administrativo y Financiero

Maribel Crdoba GuerreroSecretara General

Edgar Guillermo RodrguezDirector de Planeacin

La edicin de este mdulo estuvo a cargo de laFacultad de Ciencias Administrativas de la UNAD.

Decano: Roque Julio Rodrguez Parra

MODULOCURSO COMPONENTE DISCIPLINAR@Copy RigthUniversidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Isbn2005-10-30Centro Nacional de Medios


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CONTENIDO

Pg.

Presentacin 6

Introduccin 8

UNIDAD DIDACTICA UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO 10

Explorando conocimientos previos 11

Captulo Uno. Inters 12

1. Inters 13

1.1 Conceptos 13

1.1.1 Concepto de inters 13

1.1.2 Concepto de inters simple 14

1.1.3 Concepto de inters compuesto 25

1.2 Tasas de inters 34

1.2.1Tasa de inters nominal 34

1.2.2 Tasa de inters efectiva 351.2.3 Conversin de tasas 42

Ejercicios para profundizacin de las temticas 55

Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 59

2. Equivalencias con cuotas fijas 60

2.1 Cuotas fijas vencidas 60

2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijasvencidas

60

2.1.2 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotasfijas vencidas 61

2.2 Cuotas fijas anticipadas 62

2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijasanticipadas

62

2.2.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijasanticipadas

62


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2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijasvencidas con inters anticipado

63

Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 65

3. Equivalencias con cuotas variables 663.1. Gradientes 663.1.1 Gradiente Aritmtico 663.1.2 Gradiente Geomtrico 703.2. Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 713.2.1 Equivalencias entre un valor presente y un Gradiente

Aritmtico71

3.2.2 Gradiente Aritmtico Creciente 733.2.3 Gradiente Aritmtico Decreciente 753.2.4 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente

Geomtrico77

3.3 Amortizaciones 793.3.1Tablas de amortizacin 793.3.2 Perpetuidades 91Ejercicios para profundizacin de las temticas 93UNIDAD DIDACTICA DOSEVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

95

Actividades de exploracin de conocimientos previos 96

Capitulo Uno. Clases de evaluaciones y criterios de decisin 97

1. Clases o tipos de evaluaciones 98

1.1 Evaluacin de proyectos sociales 98

1.1.1 Caractersticas 98

1.1.2 Relacin Beneficio/Costo 99

1.1.3 Costo Capitalizado 99

1.2 Criterios para evaluar proyectos de inversin 104

1.2.1Tasa de descuento 1041.2.2 Costo promedio Ponderado de Capital-WACC 105

1.2.3 Valor Presente Neto VPN 106

1.2.4 Relacin Valor Presente de los de los ingresos/ egresos 107

1.2.5 Tasa interna de Retorno TIR 107

1.2.6 Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE 110


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Capitulo Dos.Anlisis de Riesgos en los proyectos de inversin

113

2.1 Sistemas de Anlisis 1142.1.1 Distribucin Beta 2 113

2.1.2 Distribucin Beta 121

Captulo Tres. Alternativas Mutuamente Excluyentes y noExcluyentes

127

3.1 Alternativas Mutuamente Excluyentes 128

3.1.1 Comparacin de alternativas 128

3.1.2 Tasa Verdadera 130

3.1.3 Tasa Ponderada 1343.1.4 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de descuento 137

3.1.5 Proyectos con vidas diferentes 140

Ejercicios para profundizacin de las temticas 142

3.2. Racionamiento de Capital 146

3.2.1 Modelo de Optimizacin 146

3.2.2 Planteamiento del Modelo 146

Ejercicios para la profundizacin de las temticas 154Apndice. Sistema de financiacin con UVR 155

Bibliografa y Cibergrafa 165


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PRESENTACION

La nueva Universidad Nacional Abierta y a Distancia- UNAD, recorri presurosatoda su historia; inici un proceso de reflexin que por principio se convirti enpermanente y con base en las realidades detectadas mediante el proceso deplanificacin estratgica, prospectiva y situacional, estructur un conjunto detransformaciones que la asoman al siglo XXI como la fuente dinamizadora deldesarrollo del pas y de la regin. Por eso y por sus innovaciones organizacionalesla UNAD de hoy es una organizacin inteligente, es decir, una organizacin queaprende.

Desde esta perspectiva, la nueva UNAD redefini su misin y su accionar cadavez es ms coherente con ella y mediante su pedagoga propia de la metodologa

de la educacin abierta y a distancia ofrecer oportunidades tangibles a loscolombianos mas vulnerables, para ingresar a la educacin superiorcontribuyendo efectivamente a la educacin para todos.

La implementacin de las tecnologas de la informacin y de la comunicacin,TICs, la ponen ms cerca del nuevo paradigma educativo mundial, de conformarredes interactivas con todas las comunidades y organizaciones nacionales einternacionales interesadas en gestar procesos de crecimiento individual ycolectivo. Y los cambios e innovaciones que viene adelantando la pondrn a lavanguardia, en el siglo XXI, de la Educacin Abierta y a Distancia.

La produccin de material didctico hace parte de los cambios estructurales quese vienen dando; es una de las actividades docentes; aqu es donde se tiene lagran oportunidad de actualizar y contextualizar las temticas de los cursosacadmicos; planear, disear y actualizar los currculos y operacionalizar elmodelo planteado desde el Proyecto Acadmico Pedaggico-PAP- por el cual seorienta la institucin. En consecuencia -como lo expone el PAP- el materialdidctico tiene como fin apoyar el trabajo acadmico del aprendiente, mediantela planificacin de los procesos de aprendizaje, acorde con las competencias eintencionalidades formativas propuestas en los cursos acadmicos que componenlos campos de formacin de un programa.

El mdulo que se presenta hace parte del material didctico correspondiente al

Curso Acadmico de Matemticas Financieras en el Ciclo Tecnolgico delPrograma de Administracin de Empresas. Es un rediseo al texto escrito por elDoctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tom esta decisincon base en el levantamiento del estado del arte del material que se veniatrabajando hasta enero de 2005, en consecuencia se determin que el texto delDoctor Rosillo adems de presentar las temticas correlacionadas con el currculodel programa acadmico, est planteado desde lo bsico hasta lo ms complejo,elemento esencial en el diseo de material didctico.


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El producto resultante de esta mediacin, tiene en cuenta los elementosestructurales del material didctico; por tanto est organizado de tal manera que,

conjuntamente con la Gua Didctica, sirva como soporte pedaggico al curso deMatemticas Financieras, el cual esta estructurado por el sistema de crditosacadmicos. Como material didctico, su intencionalidad es apoyar el trabajoacadmico de los aprendientes y el trabajo tutorial en funcin del aprendizaje y eldesarrollo cognitivo y metacognitivo de los aprendientes, en correlacin con lasintencionalidades formativas del curso.

En atencin a que el nuevo ordenamiento mundial est provocando nuevasdinmicas en la economa; que la cultura, la comunicacin y el mercado estn enun proceso de globalizacin acelerado y que las matemticas financierasevolucionan constantemente en la medida en que cambian los escenarios sobre

los cuales actan, sern bien venidas las sugerencias y los aportes deestudiantes, tutores y cualesquiera personas que quieran contribuir para elmejoramiento de este material, tanto en lo temtico como en lo pedaggico,didctico y metodolgico.


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INTRODUCCIN

El administrador de empresa puede desenvolverse profesionalmente en el niveloperativo de la organizacin aplicando las cuatro funciones principales de laadministracin: planeacin, organizacin, direccin y control; en el nivel mediocomo jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En lostres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan allogro de las metas corporativas.

La comprensin, interpretacin y aplicacin de los conceptos propios de lasmatemticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidadesen el manejo de las herramientas financieras que le permitirn en el ejercicioprofesional proponer con argumentos slidos alternativas de solucin a las

problemticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobreevaluacin de alternativas de inversin o de uso y aplicacin de recursosfinancieros.

Entre las posibilidades inmediatas de aplicacin de las diferentes herramientasfinancieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temticas queconforman el presente mdulo, se encuentran: el Proyecto de DesarrolloEmpresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolucin de problemasprcticos que se identifiquen en las actividades de proyeccin y apoyo a lacomunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es la mayor atractivodel estudio de esta rama del las matemticas aplicadas.

Adems de las competencias bsicas, se pretenden desarrollar otras complejas ytransversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir losconceptos y las herramientas financieras aplicables en el anlisis y evaluacin deproyectos de inversin y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma dedecisiones en su gestin como empresario, como responsable del rea financierade una organizacin o como miembro activo de su comunidad.

El presente mdulo conjuntamente con la gua didctica (protocolo acadmico ygua de actividades), conforman el material didctico que apoyar el trabajoacadmico del aprendiente en el estudio del curso y con el propsito particular depresentar la informacin en forma inteligible, est escrito en un lenguaje simple,

sin apartarse del lxico tcnico pertinente a las cuestiones financieras.

En atencin a que el curso, curricularmente responde a dos crdito acadmicos,coherentemente el mdulo se compone de dos unidades didcticas: 1. Costo deldinero en el tiempo; 2. Evaluacin de alternativas de inversin. La primera unidadla constituyen tres captulos, los cuales contienen las temticas relacionadas conel manejo del dinero, tratado como mercanca y de lo cual se encargansustancialmente las matemticas financieras; la segunda unidad integra otros trescaptulos que tratan los temas que permiten la toma de decisiones sobre la


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viabilidad o no de un proyecto y la eleccin de la alternativa ms conveniente yrentable para el uso de los fondos de las organizaciones.

La metodologa propuesta para lograr los objetivos esperados se orienta alautoaprendizaje, a travs de la lectura con propsito de las temticas, para lo cualse recomienda desarrollar la estrategia SQA dispuesta al inicio de cada unidad;resolver los ejercicios propuestos para la profundizacin de las temticas y laaplicacin inmediata en el PDE o en casos prcticos para la solucin deproblemas en la comunidad.

Como se anot anteriormente, este material viene acompaado de la guadidctica, la cual adems de la informacin sobre las caractersticas del cursoacadmico contiene la gua de actividades con los elementos metodolgicos de

evaluacin y seguimiento del proceso de aprendizaje del curso.


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UNIDAD UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

Justificacin

Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiar una serie de conceptos como:inters, inters simple, inters compuesto, tasas de inters; asimismo comprender elprincipio de equivalencia financiera y conocer la manera de realizar todas lasconversiones posibles entre las diferentes tasas de inters.

Objetivo General

A partir de su reconocimiento y aplicacin en casos prcticos, deducir las frmulasde inters simple e inters compuesto y establecer los parmetros para suaplicacin en las cuestiones financieras.

Objetivos especficos

Deducir las frmulas de inters simple e inters compuesto Encontrar una tasa de inters efectiva equivalente a una tasa de

Inters nominal dada o viceversa. Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos Establecer los parmetros que permitan la liquidacin de intereses sobre

saldos mnimos Encontrar los parmetros que permitan calcular las sumas presentes

equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal Determinar una expresin matemtica que calcule del valor de la primera cuota

para con base en el sistema de amortizacin se puedan calcular las restantes Elaborar tablas y grficas de amortizacin de amortizacin para sistemas de

amortizacin diferentes


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El desarrollo de esta actividad permite indagar los conocimientos que se tienesobre los contenidos a estudiar, de tal forma que facilita la recepcin de la nuevainformacin y genera mayor comprensin de las temticas.

Despus de inspeccionar ligeramente la unidad y sin adelantar la lectura contestarlas siguientes preguntas y registrarlas en la primera columna del cuadro 1. SQA.

Qu SE acerca de?

Inters; Inters simple; inters compuesto; tasas de inters; tasa de intersnominal; tasa de inters efectiva, crdito con cuotas fijas; crdito con cuotasvariables; amortizacin de crditos?

Una vez realizada la reflexin sobre los vacos encontrados al tratar de responderlos interrogantes anteriores, consignar en la columna dos del cuadro 1 SQA, loque se desea conocer sobre los temas tratados. As se resuelve la pregunta:

Qu Quiero Saber?

Despus de abordar la lectura de los contenidos; analizar los ejemplos; resolverlas actividades de profundizacin y de socializar las temticas con los demsestudiantes del curso, se debe completar el cuadro SQA registrando en latercera columna el conocimiento nuevo, construido mediante el estudio de launidad. El registro de los logros, responde la pregunta:

Qu Aprend?

Cuadro 1 SQA

QU S QU QUIERO SABER QU APREND

Saberes previos: Metas de aprendizaje: Logros: nuevo conocimiento

Qu se

sobre..?

ACTIVIDAD DE EXPLORACIN

DE CONOCIMIENTOS PREVIOS


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CAPITULO UNO

INTERS

Justificacin

Una vez el aprendiente haya terminado el estudio de este captulo estar encapacidad de comprender el concepto del valor del dinero respecto deltiempo y de manejar los diagramas de tiempo para analizar los problemasde ndole financiero y realizar los clculos para las operaciones financieras

Objetivo General

A partir del reconocimiento y profundizacin de las temticas el estudiantedebe deducir las frmulas de inters simple e inters compuesto yencontrar una tasa de inters efectiva equivalente a una tasa de Intersnominal dada o viceversa.


Establecer las diferencias precisas entre las diferentes clases de inters Interpretar los diagramas econmicos Calcular operaciones financieras con inters simple e inters compuesto Definir e interpretar el concepto de tasa de inters Calcular la tasa de inters efectiva a partir de la tasa nominal y viceversa Calcular el inters real en el ao


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los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales puedeninvertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para

satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones sellama INTERS.

Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos quetenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos soncomerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, perotienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera eimporta joyas de Panam y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece almercado perfumes importados de Francia.

Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancas, pero los

dos obtienen resultados diferentes. Doa Linda obtiene una ganancia de$300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo.Observemos que teniendo la misma inversin reciben beneficios diferentes,podemos definir entonces el INTERS como la utilidad que se tiene sobre unainversin en X tiempo, o sea:

Siendo el inters del comerciante en joyas = 300,000 / 10,000,000 = 3%mensual y el inters del comerciante en perfumes =500,000 / 10,000,000 = 5%mensual.

Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite$10,000,000 y se los solicite a don Armando, ste se los cedera solamente si lereconoce una tasa de inters igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al5% mensual; de aqu nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DEINTERS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista estdispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de inters igual o superior

a la que rinden sus inversiones.1.1.2 Concepto de Inters Simple

Siendo el inters la utilidad sobre la inversin, se puede tomar el ejemplo anterioren el cual el comerciante en joyas doa Linda Planta de Rico, gana mensualmente$300,000 con $10,000,000 invertidos; si continuamos su anlisis indefinidamente,es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:

UtilidadInters =

Inversin


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MES DINEROINVERTIDO

GANANCIA DINEROACUMULADO

123..N

$10,000,000$10,000,000$10,000,000

$10,000,000

$300,000$300,000$300,000

$300,000

$10,300,000$10,600,000$10,900,000

Si:

Utilidades = 3% x $10.000,000 = $300,000 en cada perodo, para este caso cadames.

Lo anterior se puede presentar simblicamente de la siguiente forma:

Dinero invertido = PTasa de Inters = i

MES DINERO INVERTIDO UTILIDADES

123.

.

n

PPP

P

PiPiPi

Pi

Lo anterior quiere decir que doa Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi)por perodo y si quiere saber cuntas utilidades ha generado su inversin desdeel momento en que la realiz, simplemente deber multiplicar las utilidades decada perodo por el nmero de ellos transcurridos a la fecha, desde el momentoen que realiz la inversin.

UtilidadInters =

Inversin

Utilidad = Inversin x Tasa de inters

Utilidad = Pi


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Generalizando a n los perodos, se tendran en este punto unas utilidadesacumuladas Pin y el total de dinero acumulado sera igual a la inversin inicial

ms las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre deMONTO o VALOR FUTURO y en trminos simblicos se representa de lasiguiente forma:

P = Valor de la inversin valor actualF = Valor futuron = Nmero de perodos% i = Tasa de inters

Ntese que en el ejemplo doa Linda Plata, no reinvirti las ganancias sinosiempre invirti la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hayreinversin de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERSSIMPLE.

Ejemplo 1

Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy

$4.000.000 a una tasa de inters simple del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser aos,semestres, meses, das. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperodo que est expresada la tasa de inters; en el ejemplo la tasa de intersest expresada en meses, por lo tanto los 5 aos se deben convertir a meses, osea 60 meses.

F = P + Pin

F = inversiones + Utilidades Acumuladas

F = p (1 + in)


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F = P (1 + in)

F= 4,000,000 (1 + 0.03 (60))

F= 11,200,000

Lo anterior quiere decir que don Juan Prez se gan $7,200,000 en los 5 aos yadicionalmente tiene el dinero que invirti o sea $4,000,000.

SUPUESTO: El inversionista no hace ningn retiro de dinero en el lapso de tiempoconsiderado.

Ejemplo 2

Armando Rico recibi hoy $3,450,000 del Banco de Bogot por una inversin querealiz hace tres semestres; si la tasa de inters es del 2% mensual, cuntodinero invirti don Armando?

Como se explic anteriormente, el punto de partida es realizar el grfico o flujode caja correspondiente; el problema quedara planteado as:

En razn a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en

meses, para que los elementos estn en la misma base.

i = 3% mensualF

60 mesesP = 4.000.000

0

P

i=2% mensual F = 3.450.000

18 meses = 3 Semestres


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Reemplazando en la ecuacin que relaciona estas variables se tiene:

F = P (1 + in)

F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversin y las utilidades

I = 2% mensual

N = 3 semestres = 18 meses

Entonces,

3,450,000 = P (1 + 2% (18))

3,450,000 = P (1 + 0.36)

P = 3,450,000 / (1.36)

P = $2,536,764.71

Este es el valor que invirti don Armando hace 18 meses.

Ejemplo 3

Patricia Fernndez recibi un prstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18meses; si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de interssimple del prstamo.

P = 3.000.000

18 meses

F = 3,850,0000


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Ntese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que se

est tomando como referente a Patricia Fernndez; al recibir el dinero delprstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crdito ella tiene un desembolso,por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente el prestamista, el grfico sera el siguiente:

Reemplazando los datos de la ecuacin se tiene:

F = P (1 + in)

3,850,000 = 3,000,000 (1 + i% (18))

3,850,000 /3,000,000= (1 + i18)

1.2833 1 = i18

i = 0.2833/18i = 0.015740

Expresndolo en trminos porcentuales se tiene,

I = 1,5740% mensual simple.

0

P = 3.000.000

F = 3.850.000

18 meses


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Ejemplo 4

Armando Mendoza recibi un prstamo de $7,000,000 de Beatriz PinznSolano, si cancel $10,500,000 y la tasa de inters fue del 2% mensualsimple, calcular, cul fue el plazo del prstamo?

Grfico para Armando Mendoza

Grfico para Beatriz Pinzn Solano

Reemplazando en la ecuacin se tiene:

F = P (1 + in)

10,500,000 = 7,000,000 (1 +(2%)n)

10,500,000/7,000,000 = 1 + 2%n; 2% = 0.02

1.5 1 = 0.02n

P = 7.000.000

i = 2% mensual

F = 10.500.0000

0

P = 7,000,000

i = 2% mensualF = 10.5000.000


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0.5 = 0.02n

0.5/0.02 = n

n = 25 meses

Ntese que la tasa de inters se expres en meses porque est dada en meses.

Ejemplo 5

Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la

siguiente forma: $3,000,000 dentro de 6 meses, $4,000,000 dentro de un ao y$5,000,000 en ao y medio.

Si la tasa de inters es del 10% semestral simple, determinar, cunto dinero leprest el Banco Santander a Sofa?Recordando que los perodos del plazo deben estar en el mismo perodo que latasa de inters, se tiene:

6 meses = un semestre

Un ao = dos semestres

Ao y medio = tres semestres

Grfico para el Banco Santander

0

P

3.000.000

1

4.000.000 5.000.000

3 Semestre2

i = 10% semestral


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Por lo tanto el valor del prstamo sera:

PT = P1 + P2 + P3

PT = 2,727,272.73 + 3,333,333.33 + 3,846,153.85

P T = $9,9060759.91

Ejemplo 6

Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo de un ao y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra

$1,000,000; dentro de tres meses, ahorrar $1,000,000; dentro de un semestre,ahorrar $1,500,000 y dentro de 10 meses, ahorrar $1,700,000.

Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que lepaga el Banco es del 1% mensual simple?

Grfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i = 1% mensual, 1% = 0.01

Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en elmismo perodo de tiempo que la tasa de inters.

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversin se trata de maneraindependiente por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversin #1 = F1



meses

1,700,0001,500,000

1,000,0001,000,000

F = ?


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25

Como conclusin final, podemos dejar despejadas cada una de las variables queintervienen en la ecuacin original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguiente

manera:

VALOR FUTURO

F = P ( 1 + i * n )

VALOR PRESENTE

F

P = ( 1 + i * n )

TASA DE INTERES

F- 1

P = i

n

NUMERO DE PERIODOS

F- 1

P = n

i


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1.1.3 Concepto de Inters Compuesto

En el caso de inters simple se consider que las ganancias eran iguales paratodos los perodos, puesto que la inversin permaneca constante. Cuando setrata de inters compuesto, las utilidades no son iguales para todos los perodospuesto que la inversin vara de un perodo a otro, en razn de que las utilidadesobtenidas en un perodo se reinvierten en el siguiente.

Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inici el captulo, donde lainversionista Linda Plata tena $10,000,000 disponibles; si doa Linda invierteestos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendra el

siguiente resultado:

MES DINEROINVERTIDO

GANANCIA DINEROACUMULADO

1

2

3

.

.

n

$10,000,000

$10,300,000

$10,609,000

10,000,000 * 0.03 = 300,000

10,300,000 * 0.03 = 309,000

10,609,000 * 0.03 = 318,270

10,000,000+300,000=10,300,000

10,300,000+309,000

= 10,609,00010,609,000+318,270

=10,927,270

Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma:

P = Inversin

% i = Tasa de Inters

Utilidad = Inversin X i = Pi

F = Valor futuro


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MES

DINERO

INVERTIDO GANANCIA DINERO ACUMULADO

1 P P (i) P + Pi = P(1 +i)

2P(1+i)

P(1+i) (i) P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2(i)P(1+i) +P(1+i) = P(1+i) (1+i) = P(1+i)

4 . . .

.

.

.

. . .

n P(1+i)n

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (interscompuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:

Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doa Linda, se puede plantear elsiguiente ejercicio:Cunto dinero acumular (valor futuro) doa Linda dentro de tres meses a unatasa de inters del 3% mensual, si invierte $10,000,000 inicialmente:F = P(1+i)n

F= $10,000,000 (1+0.03)3

F = $10,927,270

Valor que coincide con los $10,927,270 obtenidos en la primera tabla.

En conclusin, la gran diferencia del inters compuesto radica en la reinversin deutilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el caso

F = P (1+i)n


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de doa Linda con una inversin de $10,000,000 al 3% mensual, se obtienen lossiguientes resultados:

Inters simple: dinero acumulado al tercer mes $10,900,000

Inters compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10,927,270

Ejemplo 1

Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy$4.000.000 a una tasa de inters compuesto del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama deflujo de la siguiente manera:

Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsoscon una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser aos,semestres, meses, das. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismoperodo que est expresada la tasa de inters; en el ejemplo la tasa de intersest expresada en meses, por lo tanto los 5 aos se deben convertir a meses, osea 60 meses.

F = P (1 + i )n

F = 4,000,000 (1 + 0. 03)60 = 23,566,412.42Este mismo ejemplo con tasa de inters simple, obtuvo un valor futuro de

$11,200,000.

Ejemplo 2

Armando Rico recibi hoy $3, 450,000 del Banco de Bogot por una inversin querealiz hace tres semestres: si la tasa de inters es del 2% mensual compuesto,Cunto dinero invirti don Armando?

Como se explic anteriormente el punto de partida es realizar el grfico o flujo decaja correspondiente; el problema quedara planteado as:

i = 3% mensualF

60 meses

P = 4,000,000


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En razn de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en

meses, para que los dos elementos tengan la misma base:

Reemplazando en la ecuacin que relaciona estas variables se tiene:

F = P ( i + i) n

F = $ 3.450,000, porque en este valor se consolidan la inversin y las utilidadesi= 2%mensualn= 3 semestres = 18 meses

Entonces,

3,450.000 = P (1 + 0.02) 18

3,450,000 = P (1.42824624758)

P = 3.450.000/1.42824624758

P = $2,415,549.84

Este es el valor que invirti don Armando hace 18 meses.

Ejemplo 3

Patricia Fernndez recibi un prstamo de $3,000,000, que debe pagar en 18 meses;si al final del plazo debe cancelar $3,850,000, calcular la tasa de inters del prstamo.

P = 3,000.000

0

P

i = 2% mensualF = 3,450,000

18 meses = 3 semestres

0

18 meses


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Ntese que se dibujaron los $3,000,000 con una flecha hacia arriba, puesto que seest tomando como referente a Patricia Fernndez; al recibir el dinero del prstamotiene un ingreso y cuando ella cancela el crdito tiene un desembolso, por lo cual sedibuja con una flecha hacia abajo.

Si se toma como referente al prestamista el grfico sera el siguiente:

Reemplazando los datos de la ecuacin se tiene

F = P(1 +i ) n

3,850,000 = 3,000,000(1 + i)18

3,850,000/3,000,000 = (1 + i)18

18 1.283333 = 18 (1+ i)18

1.013955 = 1+ i

1.013955 -- 1 = i

0.013955 = i

En trminos porcentuales, i = 1.3955% mensual

Ejemplo 4

Armando Mendoza recibi un prstamo de $7,000,000 de Beatriz Pinzn Solano,si cancel $10,500,000 y la tasa de inters fue del 2% mensual compuesto,calcular, cul fue el plazo del prstamo?

F = 3,850,000

18 mesesP = 3,000,000

0


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Grfico para Armando Mendoza

Grfico para Beatriz Pinzn Solano

Reemplazando en la ecuacin se tiene:

F = P (1 + i ) n

2% = 0.02

10,500,000 = 7,000,000 (1 + 0.02) n

10,500,000 / 7,000,000 = (1 .02)n

1.5 =1.02n

Aplicando logaritmos en base 10 se tiene:

log 1.5 = n . log 1.02

0. 17609 125 = n (0.0086001 71 7)

P = 7,000,000

i = 2% mensual

F = 10,500,0000

P = 7,000,000

i = 2 % mensual

F = 10,500,000

0


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n =0.17609125 / 0.0086001717

n = 20.47 meses

Ntese que la respuesta se expres en meses porque la tasa de inters est dada enmeses.

Ejemplo 5

Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguienteforma: $ 3,000,000 dentro de 6 meses, $ 4,000,000 dentro de un ao y $ 5,000,000 en aoy medio. Si la tasa de inters es del 10% semestral compuesto, determinar, cuntodinero le prest el Banco Santander a Sofa?

Recordando que los perodos del plazo deben estar en el mismo perodo que la tasade inters, se tiene:

6 meses = un semestreun ao = dos semestres :ao y medio = tres semestres

Grfico para el Banco Santander

Grfico para Sofa Vergara

0 1 32

P

3,000,0005,000,000

i = 10% semestral

semestres

0 1 32

4,000,0003,000,000

i = 10% semestral

semestres

P5,000,000


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Del problema, se tiene una concepcin diferente a la tratada en los ejemplosanteriores en los cuales se tena un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Esteejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofa. La solucin deeste tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cadaingreso o desembolso en el futuro de manera independiente.

Cada pago que hace Sofa se considera dentro del total de la cuota una partecorrespondiente a intereses y otra un abono al prstamo. Para el Banco Santander,los intereses seran las utilidades y el abono al prstamo una devolucin de una partede la inversin. Este concepto es congruente con la definicin de valor futuro, como elconsolidado de la inversin ms las utilidades explicado al principio de este captulo:

en este caso las utilidades y la inversin se devolvern al Banco en tres pagos y no enuno.

F = P(1+i) n

P = F / (1+i) n

Analizando cada pago independientemente se tiene:

Pago 1 = P1

= 3,000,000 / (1+0.10)

1

= 2,727,272.73

Pago 2 = P2 =4,000,000 / (1+0.10)2 =3,305,785.12

Pago 3 = P3 =5,000,000 / (1+0.10)3 =3,756,574

Por lo tanto, el valor del prstamo sera:

P = P1 +P2 +P3

P = $ 9,789,631.86

Ejemplo 6

Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un ao y sepropone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra $1,000,000;dentro de tres meses, ahorrar $ 1,000,000; dentro de un semestre, ahorrar $ 1,500,000 ydentro de 10 meses, ahorrar $ 1,700,000.


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Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que le paga el

Banco es del 1% mensual compuesto?

Grfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversin se trata de manera independiente,por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversin # 1 = F1Ahorro o inversin # 2 = F2

Ahorro o inversin # 3 = F3

Ahorro o inversin # 4 = F4

La inversin o ahorro de $1,000,000 que se hace en el perodo # 1 dura exactamente en el

banco 12 meses, por lo tanto n = 12

F1 = P1 (1+ i)n

F1 = 1,000,000 (1+0.01)12 = $1,126,825.03

La inversin o ahorro de $1,000,000 que hace en el perodo 3 dura exactamente en

el banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9

F2 = P2 (1+ i)n

1,500,0001,000,000

meses

1,700,000

F =?

1,000,000


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1.2 TASAS DE INTERS

El concepto de tasa de inters, se aplica a la relacin entre el valor a pagar comointers y el capital recibido en prstamo por el cual se debe pagar ese inters enun tiempo determinado. Se expresa en trminos de porcentaje y su nomenclaturaes: i%.

1.2.1 Tasa de Inters Nominal

Es la tasa de inters que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras yque aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiendeque las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.

1.2.2 Tasa de Inters Efectiva

Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en lastransacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que serealizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.La mayora de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas delsistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalentea la tasa real, es decir, segn ellos el inters que realmente se cobra al cliente. Seresto cierto?

Con el ejemplo siguiente se deducir el concepto de tasa de inters efectiva; supngase;que doa Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sinohasta dentro de un ao, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de

Bogot y le plantea la situacin al seor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Subay antiguo compaero de la universidad. El le ofrece que le pagar por los $100 millonesuna tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarn trimestre vencido, doa Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capitalcolombiana, hace el siguiente clculo:


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Plazo:Un ao

Tasa de inters: 40% anual

Liquidacin de inters: Trimestre vencido

Inversin: $100 millonesNmero de liquidaciones por ao: 4Tasa trimestral o del perodo: 40% / 4 = 10%

TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESESi = 10%

SALDO FINAL

1 100.00 $10.00 $ 110.002 110 $11.00 $ 121.003 121 $12.10 $ 133.104 133.10 $13.31 $ 146.41

TOTAL $46.41

La inversionista recuerda que: tasa de inters se define como utilidad sobre la inversin; eneste caso las utilidades seran la suma de la columna inters que es de 46.41 en el ao,si la inversin fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un inters (%) orentabilidad de $46.41/100 = 46.41% en un ao.

Si el 40% de inters se hubiera liquidado solo al final del ao, doa Linda habraobtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el nmero deliquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 lasliquidaciones en el ao).

Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales sederivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un aopero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente,semestralmente, etc.


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TASA FORMA DE LIQUIDACIONES

40% Semestre vencido

40% Trimestre vencido

40% Bimestre vencido

40% Mes vencido

40% Da vencido

Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la

tasa del perodo. En este caso es semestral, o sea que la tasa peridica (semestral) seraigual a 40% dividido entre los dos semestres del ao, lo que equivale a un 20% semestral;si se considera el plazo de un ao se puede hacer el clculo que se realiz para el 40%anual trimestre vencido, es decir:

Plazo: Un aoTasa de inters: 40% anual

Liquidacin de inters: Semestre vencidoInversin: $100 millones

Nmero de liquidaciones 2Tasa trimestral o del perodo: 40% / 2 =20%

SEMESTRE SALDO INICIAL INTERESES SALDO FINAL

1 100 20 120

2 120 24 144

Total 44

Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de inters

Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20


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Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses

Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ;

El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre.

Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24

Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144

Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversin deutilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44%es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversin.

En relacin con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectosde la reinversin de las utilidades intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que sellama tasa de inters nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el interssimple y la tasa nominal y el inters compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, nose tiene en cuenta la reinversin mientras que en las dos ltimas s.

Con base en los ejemplos se obtiene una frmula para calcular la tasa efectiva, la cual seexpresa de la siguiente forma:

ie = Tasa de inters efectiva

ip = Tasa peridican = Nmero de liquidaciones de intereses en el plazo fijado

ie = (1+ i)n - 1

Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente:

1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, cul es la tasa efectiva anual?

Tasa peridica = ip

Tasa anual

ip= 0.40 / 4 = 0.10 = 10 % trimestral# de perodos en el ao


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40

ie = (1 + 0.10)4 - 1 = 0.4641 46.41 % efectivo anual

Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugarde calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral

ip = 0.40 / 4 = 0.10 10% semestral

n = Nmero de liquidaciones en el perodo = 2 en un semestreie = (1 + 0.10)2 - 1 = 0.21 = 21% efectiva semestral

2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual

ip = 0.40 / 2 = 0.20 20% semestraln = nmero de liquidaciones = 2ie= (1 + 0.20)2 - 1 = 0.44 44% efectiva anual

Con base en la siguiente informacin calcular la tasa efectiva anual:

TASA ANUAL FORMA DE LIQUIDACINDE INTERESES

NMERO DELIQUIDACIONES

POR AO

iPERIDICA

40% Semestre vencido 2 20% semestral

40% Trimestre vencido 4 10% trimestral

40% Bimestre vencido 6 6.67% bimestral

40% Mes vencido 12 3.33% mensual

40% Da vencido 360 0.11% diario

Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuacin se obtienen lasrestantes:

40% anual bimestre vencidoi bimestral = 0.40 / 6 = 6.67%Nmero de liquidaciones en un ao: 6ie anual = (1+0.0667)6 - 1 = 0.4732


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41

40% anual mes vencido

imensual = 0.40 / 12 = 0.0333 = 3.33%

Nmero de liquidaciones en un ao: 12ie anual = (1+0.0333)12 - 1 = 0.4816

40% anual da vencidoi diario = 0.40 / 360 = 0.001111 = 0.11 %Nmero de liquidaciones en un ao: 360ie anual = (1+0.001111)360 - 1 = 0.4914

De acuerdo con los clculos se obtuvieron las siguientes cifras:

TASA ANUALFORMA DE LIQUIDACIN

DE INTERESESNUMERO DE

LIQUIDACIONESPOR AO

TASAEFECTIVA

40% Semestre vencido 2 44.00%

40% Trimestre vencido 4 46.41%

40% Bimestre vencido 6 47.32%

40% Mes vencido 12 48.16%

40% Da vencido 360 49.14%

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el nmero deliquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros doscasos, supngase que el gerente seor Armando Bueno le ofrece a doa Linda que le

liquidar intereses 2 veces al da o sea cada 12 horas o tres veces al da o sea cada8 horas; veamos qu tasa efectiva anual se obtiene:

40% anual liquidando intereses cada 12 horas

ip = 0.40 / 720 = 0.0005555n = 360 x 2 = 720 perodosie anual = (1+0.0005555)720 - 1 = 0.491659


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42

Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horasip = 0.40 / 1080 = 0.00037037n = 360 x 3 = 1,080 periodos

ie anual = (1 +0.00037037)1080 - 1 = 0.491714

Como se observa, a medida que se aumenta el nmero de liquidaciones seincrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,

es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el grficosiguiente.

Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasasvencidas

0 2 4 6 8 10 12 14

NUMERO DE CAPITALIZACIONES

Con lo anterior se explica lo que en matemticas se conoce con el nombre de inters

continuo, que se expresa as:

ie = ei - 1

TASAS

EFECTIVAS

60.000%

50.000%

40.000%

30.000%

20.000%

10.000%

0.000%


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Que para el caso del 40% anual se obtiene:

Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el ao. Si se siguenaumentando el nmero de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La frmulaanterior se conoce con el nombre de inters continuo capitalizacin continua.

Con base en los clculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de

inters efectiva est ntimamente ligada con el inters compuesto, es decir,considera la reinversin de utilidades.

1.2.3 Conversin de tasas

El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un perodo a otro fcilmente;este concepto es de gran utilidad en Matemticas Financieras, por cuanto permitesolucionar situaciones recurrentes, donde los perodos de los flujos de caja(ingresos y desembolsos) no coinciden con los perodos de las tasas de inters.

Ejemplo 1

Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, calcular la tasa semestralequivalente?

Este ejercicio se puede resolver de varias formas:

Primera forma

i= 40% anual trimestre vencido

i peridica = i anual / # perodos en el ao

i peridica = i trimestral =0.40 / 4 =0.10

Con base en la tasa peridica se puede calcular la tasa efectiva anual

ie = tasa de inters efectiva anual

Donde n es el nmero de liquidaciones en el ao.

i e = e0.40 -1 = 2.7182810.40 -1

i e = 0.49182


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44

La tasa de inters est especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, loque quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al

ao se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:

i e= (1+0.10)4-1 = 0.4641

Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo decalcular la efectiva anual.

ie = ( 1 + ip )n - 1

0.4641 = ( 1 + i semestral ) 2 -- 1

n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 ao = 2 semestres)

1,4641 = ( 1+i semestral ) 2

2 1.4641= 2 (1+i semestral) 2

1.21 = 1 + i semestral

1.21 -1 = i semestral

0.21 = 21 %

Segunda forma

i = 40% anual trimestre vencidoi peridica = i trimestral =0.40/4 =0.10

Obsrvese que el perodo toma como referencia el que est estipulado en la liquidacin deintereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidacin siempreaparece adyacente a la tasa de inters anual.

Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuacin detasa efectiva.


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ie = (1+ip) n -1

i semestral = (1+ i trimestral ) 2 -1

i semestral =(1 + 0.10 )2- 1 = 0.21

Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma.

Ejemplo 2

Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:

a. La tasa semestral equivalente.

b. La tasa mensual equivalente.

a. Tasa Semestral

Primera forma

i = 30% anual bimestre vencido

Bimestre = cada 2 meses

i peridica = i bimestral = 0.30/6 =0.05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un ao.

ie= (1+ ip ) n -1

ie = (1 +0.05)6- 1 = 0.3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral

ie = (1+ ip) n -1

0.34 = ( 1+ i semestral )2-1

1.34 = (1+ i semestral)2

2 1.34 = 2 (1+ i semestral)2

1.157625 =1+ i semestral


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46

1.157625 -1 = i semestral

0.157625 = i semestral

15.7625% = i semestral

Segunda forma

i = 30% anual bimestre vencido

Bimestre = cada 2 meses

i peridica = i bimestral = 0.30/6 =0.05

ie= (1+ i peridica) n -1

i semestral =(1 + 0.05 )3- 1 = 0.157625 15.7625%

n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres.

b. Tasa mensual

Primera forma

i peridica = i bimestral = 0.30 / 6 =0.05

ie = (1+0.05)6- 1 = 0.3400

Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual

ie = 0.34

i = ( 1+ i peridica)n- 1

0.34 = (1 +i mes )12 - 1

n = 12 meses, porque un ao tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarn 12veces en el ao.

1.34 = (1 +i mes )12

12 1.34 = 12 (1 +i mes )12


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Obsrvese que la tasa est estipulada en diferente perodo que el plazo, la primera ensemestres y la segunda en aos; por lo anterior se debe efectuar la conversin:

correspondiente.

Primera forma

Se debe hallar la tasa de inters efectiva anual para que coincida con el perodo delplazo que est dado en aos, por lo tanto:

iea= (1+ i peridico) n -1

i peridica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12

iea= (1+0.12)2

-1=0.2544F =P(1+ i) n

F = 7,000,000 (1+0.2544)2

F = $11,014,635.52

Segunda forma

i = 24% anual semestre vencido

i peridica = i semestral = 0.24 / 2 = 0.12

Plazo = 2 aos = 4 semestres, por lo tanto el grfico puede expresarse de la siguientemanera:

i = 12% semestral

F =P(1+ i) n

F = 7,000,000(1+0.2544)2 = $11,014,635.52

0

1 2 3 4

P = 7,000,000

semestres

F = ?


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Tasas anticipadas

Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipottico; supngase quedoa Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Sugerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual ao anticipado.Veamos cmo sera el comportamiento con un grfico, doa Linda no necesita eldinero sino hasta dentro de un ao.

En el grfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismomomento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que soloinvirti $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente grfico:

$100 millones1 ao

$60 millones (Inversin)

En el grfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futurodentro de un ao por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia(ver captulo 1) se puede hallar el inters:

F= P (1 + i)n

F = $100.000.000.ooP = $60.000.000.ooN = 1 ao

100.000.000 = 60.000.000 ( 1 + i ) 1

100.000.000 / 60.000.000 = ( 1+ i )

1.6667 = 1+ i

$ 40 millones hoyInters anticipado

$ 100 millonesinversin

$ 100 millones devolucin dela inversin Un ao


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i = 1 .6667 - 1 = 0.6667 = 66.67% anual

Lo anterior quiere decir que para doa Linda Reina es equivalente el 40% anual aoanticipado el 66.67% anual ao vencido. Si se hace el anlisis utilizando la definicindada en el primer captulo, en el cual se dice que inters es igual a utilidad sobreinversin se obtiene lo siguiente

i = Utilidad / Inversin = 40 / (100-40)= 40 / 60 = 0.6667 66.67%

Si se expresa en trminos porcentuales se tiene:

i =0.40 / ( 1 - 0.40 ) = 0.40 / 0.60 = 0.6667 66.67% anual

De lo anterior podemos generalizar la siguiente frmula:

iai vencido = -----------------

(1- ia)donde:

iv = i vencidoia = inters anticipado

i vencido = 0.40 / (1-0.40) = 0.40 / 0.6 = 0.6667 = 66.67% anual

Con base en la conversin anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando sonanticipadas.

Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa nica de 40% anual pero condiferentes modalidades de liquidacin de intereses y calculemos las tasas efectivas anualescorrespondientes.

TASA ANUAL LIQUIDACIN DE INTERESES

40% Semestre anticipado

40% Trimestre anticipado

40% Bimestre anticipado

40% Mes anticipado

40% Da anticipado

40% Cada 12 horas anticipado


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(1) 40% anual semestre anticipado

i peridica = i semestral anticipada = 40% / 2 = 20% semestre anticipadoi semestre vencida = 0.20 / (1 - 0.20) = 0.20 / 0.80 = 0.25

i efectiva anual = (1+0.25)2 -1 = 0.5625

(2) 40% anual trimestre anticipadoi peridica = i trimestral anticipada = 40% / 4 = 10% trimestre anticipado

i trimestre vencido = 0.10 / (1 - 0.10) = 0.111111

i efectiva anual = (1+0.11111)4 -1 =0.524157

(3) 40% anual bimestre anticipado

i bimestral anticipado = 40% / 6 = 6.67%

i bimestral vencida = 0.0667 / ( 1 - 0.0667) = 0.07143

i efectiva anual = (1+0.07143)6 - 1 = 0.51282484

(4) 40% anual mes anticipado

i mes anticipado = 0.40 / 12 = 0.03333

i vencida = 0.033333 / (1 - 0.0333) = 0.03447919

i efectiva anual = (1+0.03447919)12 - 1 = 0.50196949

(5) 40% anual da anticipado

i da anticipado = 0.40 / 360 = 0.001111

i vencida = 0.001111 / ( 1 - 0.001111) = 0.00111235

i efectivo anual = (1 + 0.00111235)360 - 1 = 0.4921565

(6) 40% anual cada 12 horas anticipado

i cada 12 horas anticipado = 0.40 / 720 = 0.00055556

i vencida = 0.00055556 / (1 - 0.00055556) = 0.00055586

i efectiva anual = (1+0.00055556)720 - 1 = 0.49199053


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Los clculos anteriores se pueden resumir en la siguiente grfica:

Con base en los clculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerandodiferentes sistemas de liquidacin de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas,se puede obtener el siguiente resumen

TASAS VENCIDAS TASAS ANTICIPADASTasa nominal

# deliquidaciones

por aoT.E.A. Tasa nominal

#deliquidaciones

por aoT.E.A.

40% anual A. V. 1 40.00% 40% anual A. A. 1 66.67%

40% anual S.V. 2 44.00% 40% anual S.A. 2 56.25%

40% anual T.V. 4 46.41% 40% anual T.A. 4 52.42%

40% anual B.V. 6 47.32% 40% anual B.A. 6 51.28%

40% anual M.V. 12 48.16% 40% anual M.A. 12 50.20%

40% anual D.V. 360 49.14% 40% anual D.A. 360 49.22%

Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas amedida que aumenta el nmero de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anuallogrando como tasa mxima la capitalizacin continua ( ie= ei - 1). El comportamientode las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el nmero deliquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectivamxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidacin.


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En el grfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida yanticipada.

Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas

Tasas efectivas con tasa de inters anticipadas

Este tipo de conversin es similar al descrito en los temas anteriores, simplementeincluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas peridicas anticipadasen peridicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a laanticipada.

Ejemplo

Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual.

Primera forma

i = 20% anual trimestre anticipado

i = i =0.20 / 4 =0.05peridica trimestral anticipada


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i vencido = i anticipado / (1- i anticipado)

i trimestre vencido = I trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado )

i trimestre vencido = ( 0.05 / ( 1 - 0.05) = 0.05 / 0.95

i trimestre vencido = 0.052631578

i ea = (1 + i peridica) n- 1

i ea = (1 + 0.052631578)4- 1

i = 0.2277 o 22.77%

Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual


i ea = 0.2277 = ( 1+ imes)12-1

1.2277 = ( 1 + imes) 12

12 1..277 = 12 ( 1 + i mes )12

1.017244 = 1+ imes

1.017244 1 = imes 0.017244 = imes

imes = 1.7244%

Segunda forma

i = 20% anual trimestre anticipado

iperiodica = i trimestral anticipada = 0.20 / 4 = 0.05

i vencido = i anticipado / (1- i anticipado)

i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado)i trimestre vencido = 0.05 / (1 -0.05) = 0.05 / 0.95



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Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y enrazn a que el mes est contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede

considerar como efectiva.



0.052631578 = (1+ imes) 3- 1

1.052631578= (1+ imes) 3

3 1.052631578 = 3 (1+ imes) 3

1.017244 = 1+ i mes

0.017244 = i mes imes= 1.7244%


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EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIN DE LAS TEMTICAS

1. Sandra Muoz cancel hoy $7,560,000 al Banco de Bogot por un prstamoque le fue otorgado hace un ao. Calcular el dinero prestado a Sandra si:

a. La tasa de inters es del 3% mensual simpleb. La tasa de inters es del 3% mensual compuestoc. La tasa de inters es del 4% mensual simple

2. Lady Noriega recibi un prstamo del Banco Santander de $10,000,000; sicancel $13,500,000 en un solo pago, calcular el plazo del prstamo si:

a. La tasa de inters es del 2% mensual simple.

b. La tasa de inters es del 2% mensual compuestoc. La tasa de inters es del 2.5% mensual simple.

3. Pastor Bueno desea tener $20, 000,000 dentro de 2 aos para la cuota inicialde un vehculo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros:

Hoy, ahorra $1,000,000Dentro de 2 bimestres, 3,000,000Dentro de 8 meses, $5,000,000 ;Dentro de 1 ao, $2,000,000Dentro de ao y medio, $7,000,000

El Banco de Bogot le ha propuesto 3 planes:

Plan A: i = 1% mensual simplePlan B: i = 2% mensual compuestoPlan C: i = 2,5% bimestral simple

Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de inters deben estar expresados en elmismo perodo

a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 aos de cada uno de losplanes.

b. Cul es el mejor plan?

4. En los ejemplos 1 a 6 de inters simple y 1 a 6 de inters compuesto que sedesarrollaron anteriormente, comparar el ejemplo 1 de inters simple con el ejemplo 1de inters compuesto y as sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusionesrespectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.


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5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:

a. Tasa trimestralb. Tasa semestral

6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:

a. Tasa trimestral; b. Tasa semestralc. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral anticipada

7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y

sacar conclusiones:a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido

c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido

e. 25% anual da vencido f. 25% anual ao anticipado

g. 25% anual semestre anticipado h. 25% anual trimestreanticipado

i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado

8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular:

a. Tasa mensual

b. Tasa semestral

c. Tasa efectiva anual

d. Tasa trimestral

9. Cunto dinero tendr acumulado dentro de 5 aos Juan Prez si invierte hoy 5millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de inters del 20% anualsemestre anticipado.

10. Linda Plata recibi un prstamo de su amigo Armando Rico hace 2 aos y medio.Si Linda pag hoy a Armando $12,133,450 y la tasa pactada fue del 28% anualmes vencido, calcular el valor el prstamo.


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CAPTULO DOS

EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS

Justificacin

El sistema de cuotas constantes y peridicas, conocido mas generalmente comoanualidades, es el ms utilizado en el mbito financiero en el tratamiento de pagode cuotas o en operaciones de ahorro y su aplicacin se da en la necesidad deencontrar el valor de sumas futuras o presentes equivalentes a una serie decuotas fijas iguales vencidas o anticipadas.

Objetivo GeneralHallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagosuniformes ya sea en forma vencida o anticipada.


Establecer el valor futuro de una serie de pagos uniformes en forma vencida Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes de maneraanticipada Encontrar el calor presente de una serie de cuotas fijas vencidas liquidadas

con intereses anticipados


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2. EQUIVALENCIA CON CUOTAS FIJAS

Una de las formas ms utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prs-tamos a travs de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemticas Financieras se les llamaanualidades o rentas. La relacin que existe entre las cuotas fijas y un valorpresente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.

2.1. CUOTAS FIJAS VENCIDAS

2.1.1 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas

Cuotas fijas = A

Valor futuro = FN = Nmero de perodos

i% = Tasa de inters por perodo

Para poder ver la relacin que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un :futuro F, considere que el seor Armando Casasbuenas tiene excedentes deliquidez cada perodo y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n elsuficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogot. Estos ahorros seharn al final de cada perodo a una tasa de inters del i%. Grficamente elcomportamiento del problema sera el siguiente:

0 1 2 3 4 12

Con base en el grfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el

cual se hace el ahorro como un valor presente en relacin con el perodo n en elcual se retirar el dinero para comprar la finca que en este caso sera el valor futuro.Por ejemplo, el ahorro que se hace en el perodo n-1 que tiene un valor de $A s seconsidera que estar invertido solo un perodo, su valor futuro correspondiente serigual a A(1+i) (ver frmulas del captulo 1).

Si tomamos el ahorro de $A en el perodo n-2 su valor futuro ser A(1+i)2, para elperodo n-3 se obtendra A(1+i) 3, para el perodo n-4 se obtendra A(1+i) 4 y assucesivamente hasta llegar al perodo 1; donde el valor futuro del ahorro A seraA(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el perodo n, como coincide con el retiro del

Fn-1

n

n-2


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dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sera A(1+i) 0 o sea A porquetoda cantidad elevada a la cero es igual a uno.

Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada perodo seobtiene:

F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1) Ecuacin # 1

Si se multiplica esta ecuacin por (1+ i) y se le llama Ecuacin 2, se obtiene losiguiente:F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuacin # 2

Si restamos la ecuacin 2de la ecuacin 1 se obtiene:

F( 1+i )-F = A(1+ i)n- A , despejando se tiene

F + Fi-F = A(1+ i)n- A

F+Fi-F = A [(1+i)n -1]

Fi = A[(1+i)n -1]

F = A[((1+i)n -1) / i] Frmula 1

La anterior ecuacin es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida oanualidad.

2.1.2 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas

La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la frmulanmero 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la frmula base de lasMatemticas Financieras.

P(1+i)n = A[(1+i)n -1 / i ]

P = A[{ (1+i)n -1} / { i (1+i)n}] Frmula 2

De las frmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:A = F [{ i} /{ (1+i)n -1}] Frmula 3

A = P [{i (1+i)n } / { (1+i)n -1 }] Frmula 4


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2.2 CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS

2.2.1 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas

Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijasanticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el grfico que tomamos comoreferencia para calcular las equivalencias anteriores pero considerando que las cuotas serealizan anticipadamente o sea:

F

0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n

El paso inicial es calcular el valor futuro de cada uno de los ahorros A; ntese que en elperodo n no hay ahorro y s lo hay en el perodo cero. Esta es la diferencia que hay conrespecto al grfico de las cuotas vencidas, pues las cuotas fijas se considerananticipadamente o a principios de cada perodo, por lo tanto el valor futuro obtenido conbase en el diagrama anterior sera:

F = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n

Si a esta ecuacin la llamamos la ecuacin nmero 1 y la multiplicamos por (1+i)obtenemos la ecuacin nmero 2.

F (1+i) = A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n+1)

Si sacamos la diferencia entre las dos ecuaciones se obtiene:

F (1+i) - F = A(1+i) (n+1) --- A(1+i)

F + Fi-F = A [(1+i) (n+1) - (1+i)]

F = A[{(1+i)(n+1) - (1+i)} / i ] Frmula 5

2.2.2 Eequivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas

Con base en la equivalencia anterior entre un valor futuro y una cuota fija anticipada sepuede obtener la existente entre un valor presente y una cuota fija anticipada,simplemente reemplazando F por P(l+i) n

P( 1+ i)n = A[{(1+i)(n+1) - (1+i)}/ i]


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P = A[{ (1+i)(n+l) - (1+i) } / { i(1+i)n }] Frmula 6

De las frmulas 5 y 6 podemos obtener el valor de la anualidad en funcin del valorpresente o del valor futuro.

A = F[{ i } / {(1+i)(n+1) - (1+i) ] Frmula 7

A= P[{ i ( 1+i)n} / { (1+i)(n+1)-(1+i)} ] Frmula 8

Las anteriores equivalencias permiten pactar una serie de transacciones en el mundo real.

2.2.3 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidascon intereses anticipados

Este caso se presenta cuando en un crdito se pactan cuotas uniformes vencidaspero le cobran intereses anticipadamente, es decir en el momento de recibir elprstamo el beneficiario no recibe la totalidad sino la diferencia entre el valor delcrdito y los intereses correspondientes al primer perodo.

En este caso como el usuario pago los intereses anticipadamente, en la ltimacuota no se pagaran intereses, sino que la totalidad del valor pagado sera abonoa capital.

La equivalencia a usar en este caso sera:

A = P[ i / ((1-(1- i)n))] Frmula 9

A continuacin se tratan casos prcticos relacionados con las equivalenciasexpuestas anteriormente.

Ejemplo 1

Doa Linda Reina recibi un prstamo del Banco de Bogot por $10 millones para

cancelar en 12 cuotas mensuales iguales vencidas con una tasa del 3% mensual. Calcularel valor de las cuotas.

Grficamente se tendra la siguiente interpretacin del problema:


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10,000.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

Se debe utilizar la frmula 4

A = P[{ ( 1+) n / {(1+i) n -1}]

P = Valor presente, es en este caso, el valor del prstamo o sea $ 10.000.000

i = 3%

n = 12 meses

Tenemos las tres variables, por lo cual podemos calcular la cuota fija A

A = 10.000.000 [ {3%(1+3%)12} / { (1+3%) 12-1}]

Alternativamente se puede escribir de la siguiente forma reemplazando el 3% por 0.03

A=10.000.000[{0.03(1+0.03)12}/{(1+0.03)12-1}]

A= $1.004.620.85

A= ?I = 3%

Meses


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CAPTULO TRES

EQUIVALENCIAS CON CUOTAS VARIABLES

Justificacin

Una serie de pagos puede hacerse en forma uniforme en cuanto al tiempo, peroaumentar o disminuir en una cantidad constante denominada gradiente. Esto lo quese conoce como cuota variable, sistema utilizado alternativamente para el manejode los crditos en el sistema financiero. Con el estudio del captulo, el aprendienteestar en condiciones de establecer la correspondencia entre unaa serie de pagosvariables y un valor presente.

Objetivo General

Determinar la equivalencia entre una cuota variable y un valor presente


Establecer el valor de cada cuota en un sistema de cuotascon incremento previamente pactados

En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes determinar el valor de laprimera cuota.

Utilizar la hoja electrnica para el clculo de las cuotas variables


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3. EQUIVALENCIA CON CUOTAS VARIABLES

3.1. GRADIENTES

El sistema financiero colombiano adems de las cuotas fijas, utiliza mtodos alternos parasus crditos, las cuotas variables es uno de ellos, la filosofa de esta forma de pagoes realizar incrementos peridicos en los pagos de los usuarios. Desde este puntode vista se generan dos formas de aplicarlo; la primera de ellas es incrementos encantidades fijas, este sistema se conoce con el nombre de gradiente aritmtico;oincremento en las cuotas mediante un porcentaje fijo, lo que se conoce con el nombre degradiente geomtrico, veamos con unos ejemplos como opera cada uno de ellos.

3.1.1. Gradiente Aritmtico

Consideremos el caso de don Pastor Bueno, quin solicit un crdito de $15 millones alBanco Santander; para pagar en un plazo de 3 aos con pagos semestrales e incrementosde $ 100.000 a partir de la segunda cuota, si el inters es del 15% semestral, calcular elvalor de las cuotas que debe pagar don Pastor Bueno al Banco.

Grficamente el problema se expresa as:

$I 5.000.000

0 6 semestres

A+100.000

A+200.000

A+300.000

A+400.000

A+500.000

El problema se puede resolver utilizando la equivalencia, base de las matemticasfinancieras explicada en el captulo 1, o sea, F = P(l + i)N, que para el problemaplanteado sera de la siguiente manera:

1. Traer a valor presente cada una de las cuotas:

A


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A/(1+0.15)' + (A + $100.000) / (1+0.15)2 + (A + $200.000) / (1 + 0.15)3 +

(A + $300.000)/(1+0.15)4 + (A + $400.000)/(1+0.15)5 + (A+$500.000)/(1+0.15)6

2. Por el concepto de equivalencia igualar el valor del prstamo al valor presente de lascuotas, es decir:

$15.000.000. =A/(1+0.15)' + (A + $100.000)7 (1+0.15)2 + (A + $200.000)/

(1+0.15)3+(A + $300.000) /(1+0.15)4 + (A + $400.000) / (1+0.15)5 +

(A + $500.000) / (1 + 0.15)6

3. Hallar el valor de A

4. A = $3.753.834.56

Alternativamente se puede utilizar las frmulas de gradiente aritmtico que sederivan' de la frmula matriz para resolver el problema planteado; sin embargo elproblema se puede resolver fcilmente, utilizando del men principal de Excelherramientas de la I siguiente forma:

Hoja de Excel

A B C D E F G

1

2 0 -150000000 Valor

3 1 Colocarcualquier valor20 >

4 2 =B3+1 00000

5 3 =B4+1 00000 =VNA (0.15, B3:B8)+B2

4 =B5+1000007 5 =86+1000008 6 =B7+100000

El primer paso es colocar sobre la hoja de clculo los ingresos y desembolso dedinero que tiene la transaccin (Flujos de Caja). Si nos colocamos en la posicin de la


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entidad financiera, el desembolso lo hace cuando entrega el dinero al cliente, losingresos cuando recibe los pagos; en el ejemplo se consider que el prstamo era de

$15.000.000 como es desembolso para el Banco le colocamos signo negativo, losingresos de dinero que corresponde a los pagos del cliente no los conocemos solosabemos que se incrementan en $100.000, cada uno de ellos.

Para calcular el valor de los pagos que es nuestro objetivo, se coloca primero que todoen la columna A de las filas 2 a la 8 el encabezado semestre y luego, los perodosde los flujos de caja los cuales son en este caso de cero a seis (O a 6); en la ltimacolumna B con el encabezado flujos de caja se coloca en las filas 2 a la 8 los ingresos yegresos de la transaccin para la entidad financiera comenzando con el valor delprstamo que colocamos en la celda B2, en las celdas B3 a B8 se colocan los pagos quehace el cliente. Como stos se desconocen, en la celda B3 se registra cualquier valor,

pero con signo contrario al valor del prstamo y se formulan los siguientes; es decir, elpago 2 sera igual al pago 1, incrementado en $100.000 o sea = B3 +100.000 y elpago 3 como =B4 +100.000 y as sucesivamente, hasta llegar al pago 6 que seformulara como =B7 +100.000, como muestra la figura.

Una vez terminado de formular los ingresos y desembolsos de la transaccin de la itransaccin se coloca en cualquier otra celda para nuestro caso G5 el clculo delvalor presente neto (VNA), de los flujos de caja a la tasa dada (1% semestral), quequedan; de la siguiente forma:

= VNA (0.15, B3:B8) + B2

TASA DE INTERS

0.15 Corresponde al 15% de tasa de inters.

B3 :B8 Es el rango de los pagos que har el cliente, los cuales se traen a valor presente.:

B2 Valor del prstamo

Seguidamente, se busca en el men principal del Excel herramientas, y all seselecciona buscar objetivo y aparece el siguiente men:

En definir la celda se coloca G5, que corresponde al valor presente neto de latransaccin.

DEFINIR CELDA:

CON EL VALOR:

PARA CAMBIAR CELDA:


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Con el valor se coloca cero (0), partiendo del concepto de equivalencia de toda la

transaccin, es decir, que el valor presente de los pagos futuros debe ser igual al valor delprstamo a la tasa de inters dada, al calcular la diferencia este valor debe ser cero. Ennuestro ejemplo, los pagos futuros que vamos a calcular trados a valor presente a latasa de inters del 1 5% deben ser iguales a los $ 1 5 .000 .000 del prstamo, este conceptodebe cumplirse para cualquier transaccin, por lo tanto al sacar la diferencia entre elprstamo desembolsado hoy y el valor presente de los pagos futuros sta debe ser CERO.

Para cambiar la celda:se coloca la celda en la cual se coloc cualquier valoren nuestro caso es la B3 que tiene un valor de 20.

En resumen, buscar objetivo debi quedar definido de la siguiente manera:

Se registra "aceptar" y automticamente en las celdas que se formularon los pagosdebe aparecer el valor de cada uno de ellos y en la celda G5 que es el valor presenteneto, debe aparecer cero.

La hoja de Excel debe quedar finalmente con la siguiente presentacin:

A B C D E F G

1 Semestre Flujo de Caja

2 0 -15.000.000.003 1 3.753.834.564 2 3.853.834.56

5 3 3.953.834.56 0.006 4 4.053.834.567 5 4.153.834.568 6 4.253.834.56

9

DEFINIR CELDA: G5

CON EL VALOR: O

PARA CAMBIAR CELDA: B 3


70/166


71/166


72/166

La parte variable se presenta a partir del segundo perodo, cuando comienza elincremento g, en el tercer perodo es 2g, en el cuarto es 3g y as sucesivamente hasta

r. donde el incremento es (n-1)g. Todos estos valores representan el incrementoacumulado de la cuota, si se obtuvo el valor presente de la parte fija de la cuotavariable, tambin es posible calcular el valor presente del componente cambianteutilizando para su clculo la primera equivalencia, como se presenta a continuacin:

P1 = g / (1+i) 2

P2 = 2g / (1+i)3

P3 = 3g / (1+i)4

P4 = (n1)g / (1+i)n

P = P, + P2 + P3 + P4

P = g/(1 + i ) 2 + 2g / (1 + i) 3 + 3g / (1 +i )4+.................+(n-1)/(1+i) n

Factorizando se tiene lo siguiente:

P = g[ 1/(1 + i ) 2 + 2/(1 + i)3 + 3/(1 +i)4+...... ...... .....+(n-1)/(1 +i)"]

Llamando X a los trminos que se encuentran entre parntesis se tiene:

P = g(X)

X = 1/(1 + i ) 2 + 2/(1 + i ) 3 + 3/(1 + i)4 +....... ..+(n-1)/(1 + i ) n Ecuacin #1

Multiplicando la ecuacin anterior por (1 + i ) se tiene:

X(l + i ) =1/(1 + i )' +2/(1 + i )2 +3/(1 + i )3+....... .+(n-1) / (1 + i )n - 1 Ecuacin #2

Si se resta la Ecuacin #2 - Ecuacin #1 se tiene lo siguiente:

X-X(1+i) = 1/(1 + i )' +1/ (1 + i )2 +1/ (1 + i )2 +..... ........ .. .. -(n-1)/ (1 + i )n

X - X + Xi =Xi

Xi = 1/(1+ i)1 + 1/(1 +i )2 + 1/(i+ 1)3 +..... ........ .... -(n-1)/ (1 + i )n

El ltimo trmino de la ecuacin anterior se puede descomponer en:

-n / (1 + i )n +(1 + i )n


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Por lo tanto:

Xi = i/(1 + i)1 + i ( 1 + i ) 2 + 1/1+ i)3.. . ..+1/1 + i )n -n/(1 + i )n Ecuacin #3Todos los trminos del segundo miembro de la ecuacin a excepcin del ltimocorresponden a una serie uniforme de 1 :

1 /(1 + i )1 + 1/(1 + i ) 2 + 1/(1 + i)3 +... ...+1 /(1 + i )n serie uniforme de $1

entonces, esta serie es una anualidad cuyo factor sera:

[(1+i)n - 1] / [i(1+i)n]

Por lo tanto la Ecuacin #3 quedara expresada as:

Xi = [(1+i)n - 1] / [ i (1+i)n ]- n/(1+ i )Al comienzo de esta deduccin se determin que P = g(X)

Reemplazando el valor de X, se tiene el valor presente del gradiente aritmtico, definidode la siguiente forma:

P = (g / i) [ [ (1+i)n - 1] / (i (1+i)n ] - n / ( 1 + i )n] Frmula # 9

En el gradiente aritmtico se presentan dos situaciones, la primera es cuando la cuotavariable aumenta perodo a perodo en una cantidad fija y la segunda cuando esdecreciente, en ambos casos se emplea la misma frmula, pero el planteamiento delproblema se hace en forma diferente, como se explica a continuacin:

3.2.2 Gradiente aritmtico creciente

Si se recibe un prstamo de una entidad bancaria y ste debe ser cancelado en cuotasvariables, las cuales se incrementan en la misma cantidad en cada perodo hasta terminarel plazo, se tendra un caso de gradiente creciente; su ilustracin mediante unejemplo sera de la siguiente forma:

Linda Plata de Rico recibe un prstamo del Banco Santander por $5.000.000 el cual debeser cancelado en 3 aos en cuotas variables semestrales con una tasa de inters del 5%semestral, e incrementos de $250.000 en cada una de las cuotas; con base en lainformacin anterior determinar el valor de la primera cuota.

El punto de partida de este problema sera la elaboracin del grfico correspondiente:


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0 1 2 3 4 5 6

A

A +250.000

A +500.000

A+750.000

A+1.000.000

A+ 1.250.000

Como se haba explicado anteriormente las cuotas variables tienen un componentefijo que para el problema se llama "A"; la variable seria el gradiente de $250.000que es el incremento semestral del pago, por lo que el valor del prstamo seraigual al valor presente de la parte fija ms el valor presente del componentevariable.

P1 = Valor presente parte fija

P2 = Valor presente parte variable ,

Valor del prstamo = P1+ P2

Tasa de inters = i = 5% semestral; n = 6

P1 = P = A[((1+i)n - 1) /(i(1+i)n)] = A[((1+5%)6 - 1) / (5%(1+5%)6)]

P1 =A( 5.07569206721)

P2 = (g/i [[(1+i)n

1]/[i(1+i)

n

]-n/(1+i)"]

P2 = (250.000/5%) [[( 1+5%)6 - 1] /[5%(1+5%)6] - 6/ (1 + 5% )6]

P2 = $ 2.991.998,44

P, + P2 = $5.000.000

A( 5,07569206721) + 2.991.998,44 = 5.000.000

semestres


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Despejando A se tendra:

A( 5,07569206721) = 5.000.000-2.991.998.44

A( 5,07569206721 ) = 2.008.001,56

A= 2.008.001,56/5,07569206721

A =$395.611,38

El resultado anterior quiere decir que el valor de la primera cuota es de $ 395.611,38el de la segunda es este ltimo valor adicionado en $250.000 que es el gradiente, loque genera un valor de $ 645.611,38 y as sucesivamente hasta el perodo sexto

que es el plazo convenido; en la siguiente tabla se detalla la amortizacin delprstamo, con una tasa de inters del 5% semestral

SEMESTRE

SALDOINICIAL

INTERESES CUOTA ABONO ACAPITAL

SALDOFINAL

1 $5,000,000.00 $250,000.00 $395,611.38 $145,611.38 $4,854,388.62

2 $4,854,388.62 $242,719.43 $645,611.38 $402,891.95 $4,451,496.66

3 $4,451,496.66 $222,574.83 $895,611.38 $673,036.55 $3,778,460.11

4 $3,778,460.11 $188,923.01 $1,145,611.38 $956,688.38 $2,821,771.74

5 $2,821,771.74 $141,088.59 $1,395,611.38 $1,254,522.80 $1,567,248.94

6 $1,567,248.94 $78,362.45 $1,645,611.38 $1,567,248.94 $0.00

3.2.3 Gradiente aritmtico decreciente

En este caso el valor de la cuota variable disminuye una cantidad igual g conrespecto al periodo anterior.

Grficamente se expresara de la siguiente forma


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0 1 2 3 4 5 n

A-(n-1)gA-4g

A-3gA-2g

A-g

AEn este caso se toma la cuota de mayor valor y se considera como constante, y se calculasu valor presente; posteriormente se determina el valor presente del gradiente. Como se tom lade mayor valor como constante, se calcula la diferencia entre el valor presente de la parteconstante y la del gradiente o parte variable.Un ejemplo que ilustra el concepto anterior se detalla a continuacin: Juan Prez recibi unprstamo de $2.000.000 para pagar en 6 bimestres en cuotas variables, condisminuciones de $30.000 en el valor de cada cuota. Si la tasa de inters es del 2%bimestral, calcular el valor de la primera cuota.

El diagrama sera el siguiente:

0 1 2 3 4 5 n

A-150,00A-120,000

A-90,000

A-60,000A-30,000A

Primero, se calcula el valor presente de "A" o sea la parte constante.

P, = A[((1+ i)n - 1)/(i(1+i)")] = A[((1+0.02)6 - 1)/(0.02(1+0.02)6)]


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P1=A( 5.6014308)

Luego, se calcula el valor presente del gradiente

P2 = (g/i)[[(1+i)n - 1]/[i (1+i)n]-n/(1+i)n]

P2= (30.000/0.02) [[(1+0.02)6 - 1]/[0.02(1+0.02)6]-6/(1+0.02/]

P2 = $ 410,403.90

Finalmente, se calcula el valor de A

P1-P2= 2,000,000

A[5.6014308]-410,403.90 = 2,000,000

A[5.6014308] =2,410,403.90

A = $ 430,319.31

El valor de la segunda cuota sera 430,319.31 - 30,000 = 400,319.31 y assucesivamente hasta el perodo 6.

3.2.4Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente Geomtrico

La cuota variable que se incrementa un porcentaje fijo j respecto a la anterior, recibe el nombrede gradiente geomtrico y grficamente se expresara de la siguiente forma:

n perodos0 1 2 3 4

k

k(1+j)

k(1+j)2

k(1+j)3k(1+j)

k (1+0,04)4


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La equivalencia de estas cuotas variables que se incrementan un % j en cadaperodo, y un valor presente est dada por:

P = K[{(1+i)n-(1+j)n}/(i-j)(1+i)n] para i diferente de j , y

P= Kn/(1 +i ) pa ra i =j

Los conceptos anteriores se ilustran con un ejemplo: Pedro Rodrguez recibi un prstamode $5 millones del Banco de Bogot que debe pagar en 6 cuotas trimestrales conincrementos del 4% trimestral; si la tasa de inters es del 7% trimestral, hallar: a) el valorde la primera cuota y b) el valor de la primera cuota si i=3% y j = 3% trimestral.Grficamente el problema se planteara as: n perodos

P = K[{(1+i)n (1+j)n} / (i-j)(1+i)n ]

5,000,000 = K[{(1+0.07)6 - (1+0.04)6}/(0.07-0.03)(1+0.07)6]

5,000,000 = K[5.22881704586]

K = $956,239.23

Si i es igual a j; i = 3% trimestral; j = 3% trimestral

P = Kn/(1 +i )

k (1+0.04)

k (1+0.04)

k (1+0,04)

1 2 3 4 5 6 trimestres0

k (1+0,05)

Si i es diferente de j

5,000,000

k

k (1+0,04)


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5,000,000 =K6/(1.03)

[1.03(5,000,000)]/6 =

K = $858,333.33

3.3 AMORTIZACIN DE PRSTAMOS

La amortizacin de un prstamo indica perodo a perodo qu cantidad de la cuotaque se paga corresponde a los intereses del prstamo y qu cantidad es el abonoa capital. La suma de estos dos componentes es el valor de la cuota.

3.3.1 Tablas de amortizacin

El comportamiento de estas variables puede observarse mediante las tablas deamortizacin, herramienta que adicionalmente permite determinar en un momentodado el saldo del prstamo.

Con base en la informacin del ejemplo anterior, se elabora la tabla de amortizacin yse realiza el anlisis correspondiente.

La tabla est conformada por los siguientes elementos:

Perodo: para el ejercicio, es en meses.

Saldo inicial: para el perodo 1 es el valor del prstamo, o sea $10.000.000.Para perodos posteriores, el saldo inicial del perodo n ser el saldo final delperodo n-1

Intereses = Saldo inicial x tasa de inters; para el ejemplo los interesespara el -primer mes seran iguales a $10.000.000 x 3% o sea $300.000

Valor de la cuota fija A: es el calculado mediante la frmula, en estecaso $1.004.620.85

Abonos a capital = Cuota fija - Intereses; para el primer perodo (mes) delejemplo sera:

Abonos a capital = $1.004.620.85-$300.000 = $704.620.85

Saldo final = Saldo inicial - Abonos a capital. Siguiendo con el ejemplo se tendrapara el primer mes

Saldo final =10.000.000-704.620.85 = $9.295.379.15Resumiendo, los encabezados de la tabla de amortizacin seran:


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MESSALDO

INICIAL INTERESES

CUOTA

FIJA

ABONOS A

CAPITAL

SALDO

FINAL

A continuacin puede observarse la tabla de amortizacin correspondiente al ejemplo

MES SALDO INICIAL INTERESES

CUOTA

MENSUAL

ABONOS

CAPITAL SALDO FINAL1 $10,000,000.00 $300,000.00 $1,004,620.85 $704,620.85 $9,295,379.15

2 $ 9,295,379.15 $278,861.37 $1,004,620.85 $725,759.48 $8,569,619.66

3 $ 8,569,619.66 $257,088.59 $1,004,620.85 $747,532.26 $7,822,087.40

4 $ 7,822,087.40 $234,662.62 $1,004,620.85 $769,958.23 $7,052,129.17

5 $ 7,052,129.17 $211,563.88 $1,004,620.85 $793,056,98 $6,259,072.19

6 $ 6,259,072.19 $187,772.17 $1,004,620.85 $816,848.69 $5,442,223.50

7 $ 5,442,223.50 $163,266.70 $1,004,620.85 $841,354.15 $4,600,869.35

8 $ 4,600,869.35 $138,026.08 $1,004,620.85 $866,594.77 $3,734,274.57

9 $ 3,734,274.57 $112,028.24 $1,004,620.85 $892,592.62 $2,841,681.96

10 $ 2,841,681.96 $ 85,250.46 $1,004,620.85 $919,370.40 $1,922,311.

modulo_matematicas_financieras

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