modulo_de_razones y proporciones6
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INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
DECANATURA DE CIENCIAS JEFATURA DE CIENCIAS BÁSICAS
NIVELATORIO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS
Guía 6
Razones Proporciones y
Porcentajes.
COMPETENCIA Utilizar adecuadamente las reglas de proporcionalidad en las aplicaciones a problemas del mundo real. INDICADORES DE LOGRO Interpreta, plantea y resuelve situaciones problema relacionadas con proporciones.
RAZONES Y PROPORCIONES.
Una razón es la comparación de dos números por medio de un cociente. Se expresa como:
0con b,b
a aquí, a se llama antecedente y b , consecuente.
Ejemplo: Carlos compra una docena de naranjas y observa que hay 4 malas.
La razón que se obtiene es 12
4, simplificando la razón, queda:
3
1
y se interpreta como: una
naranja de cada tres esta mala.
Una proporción es la equivalencia entre dos o más razones. 0y ,,con fdb,f
e
d
c
b
a
En la proporción 0,con db,d
c
b
a, y da son los extremos y y cb son los medios.
En la proporción 0,con db,d
c
b
a, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios. Es decir: bcad,d
c
b
a si sóloy si
Ejemplo: Roberto compró 3.5 m. de tela y pagó por ella $ 28000. Si necesita 2 m. de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar?
2
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se
tiene: x
m2
28000$
m5.3 x3.5m)28000$m(2 Los 2m de tela cuestan $ 32000
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes entre la
suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones, es decir:
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
En una proporción, el cuarto proporcional es uno cualquiera de los términos de una
proporción, ejemplo: 3.383
)23(5)23(53
23
5
3 xxx
x ó
3.383
)23(5)23(53
3
23
5 xxx
x ó
5.102
)7(32)7(3
7
23 xxx
x
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio
proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los
extremos, es decir; 321212.)3(43
4 2 xxxxx
x
En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos
desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido
por el término desigual, es decir; 7
4
7
)2(2
7
2
2 x
x
Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales
cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda
multiplicada o dividida por el mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde más y a menos corresponde menos
Ejemplo: Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.
Si una docena de naranjas cuesta $1000, 2 docenas costarán $2000 y ½ docena costará
$500.
Es decir: A más docenas de naranjas más pesos. A menos docenas de naranjas menos
pesos.
También son magnitudes directamente proporcionales: el espacio recorrido por un móvil y el
tiempo empleado, el volumen de un cuerpo y su peso, la longitud de los lados de un polígono
y su área.
3
Dentro de las aplicaciones de la proporcionalidad directa, tenemos la regla de tres simple, los
repartos directamente proporcionales y los porcentajes.
La regla de tres simple y directa consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a
magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas
magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.
Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales.
Jaime recorre en su automóvil 360 km en 2 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 3
horas?
h 3 km
h2 km 360
x
D
3
2360
x km. 540
2
)3(360x
Los repartos directamente proporcionales, consisten en que dadas unas magnitudes de un
mismo tipo y una magnitud total, hay que calcular la perte correspondiente a cada una de las
magnitudes dadas. ...3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
b
a
bbbb
aaaa
...
...
321
321
.
b
aba n
n
Ejemplo Un abuelo reparte $450.000 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad;
proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Definimos zyx ,, a las cantidades que le corresponde a cada uno.
El reparto proporcional es 16128
zyx
Por la propiedad de las razones iguales 36
450000
16128
zyx
16128
zyx
Cada nieto recibirá
200000$36
)16(450000
36
450000
16
150000$36
)12(450000
36
450000
12
100000$36
)8(450000
36
450000
8
zz
yy
xx
SITUACIONES DE APLICACIÓN
4
1. Cuál es el precio de 340 Kg de café a 178 dólares 85 kilos A. $145 B. $268 C. $712 D. $44.5
2. Sabiendo que 162 litros de vino
cuestan 324 dólares,¿cuál es el valor de 285 litros de la misma calidad?. A. $144.2 B. $420 C. $285 D. $570
3. Para hacer una obra, 28 obreros
han empleado 45 días. ¿Cuántos días emplearán para hacer otra obra semejante a la anterior 15 obreros? A. 84 B. 45 C. 63 D.110
4. Una cuadrilla de obreros emplea 14
días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado una hora menos al día, ¿En cuántos días habrán terminado la obra? A. 12.25 B. 16 C. 18 D.11.5
5. Ganando $3.15 en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido $945? A. 300 m B. 645 m C. 315 m D. 945 m
6. A la velocidad de 30 Km por hora,
un automóvil emplea 418 horas en ir
de una ciudad a otra. ¿Cuánto
tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple? A. 24,7 B. 51/2 C. 11/4 D. 15/4
7. Dos piezas de paño de la misma
calidad cuestan, una $450 y otra $300. si la primera tiene 15M más que la segunda, ¿Cuál es la longitud de cada pieza? A. 45m y 30m B. 55m y 5 m C. 25m y 10m D. 30m y 15m
8. Una fuente da 120 decalitros de
agua en 10 minutos. ¿Cuántos
litros más dará en 12112
minutos? A. 250
B. 350 C. 1.200
D.145
9. Una guarnición de 1.300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días mas, ¿cuántos hombres habrá que rebajar de la guarnición? A. 1.200
B. 100 C. 1.400 D.1.250
10. Un ganadero compra 1.140 reses
con la condición de recibir 13 por cada 12 que compre. ¿Cuántas reses debe recibir? A.1.235 B.1.400 C.1.350 D.1.150
11. Al vender cierto número de
caballos por $4.500 gano $6 en
5
cada $100. ¿Cuánto me costaron los caballos? A.4.230 B.3.450 C.1.350 D.4.350
12. Al vender cierto número de
caballos por $960 pierdo $8 en cada $100. ¿Cuánto me costaron los caballos? A. $1.130 B. $1.036.80 C. $1.450 D. $2.450
13. Dos números están en razon de 5 a 3. Si el mayor es 655, ¿Cuál es el menor? A. 325 B. 225 C. 393 D. 232
14. Dos números están en relación de
19 a 17. Si el menor es 289 ¿Cuál es el mayor? A. 289 B. 323 C. 232 D. 982
PORCENTAJES.
Se llama tanto por ciento de un número, a una o varias de las cien partes iguales en que se
puede dividir dicho número, es decir, un o varios centésimos de un número. El signo de
tanto por ciento es “%”.
Así: El 4% de 80, o 4/100 de 80, equivale a cuatro centésimas partes de 80, es decir, que
80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.
Ejemplo. El precio de un ordenador es de 1200000 sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si
el IVA es del 16%?
x
2000001
116 001
x
116
1200000
100 .1392000
100
)116(1200000x
100
)%100( cos cos
incrementoinicialtofinalto
15. El 75%. ¿Qué fracción representa?
A. 1/4 B. 1/5 C. 3/25 D. 3/4
16. ¿Cuál es la quinta parte de los 5/6 de los 3/4 del doble de la tercera parte del 30% de 200?
A. 20 B. 10 C. 5 D. 25
6
17. Luís ganó el 35% al cobrar una deuda de $18400. ¿Cuánto ganó? A. $3540 B. $5784 C. $6440 D. $9721
18. Al pagar una factura de $6890 me
han descontado el 3.75% ¿Qué rebaja he obtenido? A. $720.3 B. $840.5 C. $258.375 D. $572.7
19. En una finca se han plantado
18900 cafetos, habiéndose perdido el 16%. ¿Cuántos quedaron? A. 15876 B. 10734 C. 8964 D. 13521
20. Un hato contiene 25560 reses,
debido a una epidemia murió el 15%. ¿Cuántas reses quedaron? A. 18324 B. 11700 C. 21726 D. 20831
21. Al pagar una factura de $7894 me
dieron el descuento de un 5.16%. ¿Cuánto tuve que pagar?
A. $3541 B. $6936.7 C. $3936.93 D. $7486.7
22. Compré 90 libros, vendí el 60%.
¿Cuántos me quedan? A. 36 B. 45 C. 15 D. 16
23. Un objeto fue vendido por $9000, habiendo obtenido un 26% de beneficio. ¿Cuál es el precio total del objeto?
A. 10023 B. 8511.7 C. 7142.8 D. 9598.5
24. Una deuda de $850 se reduce a 816. ¿Qué porcentaje se ha descontado?
A. 96% B. 4% C. 18% D. 25%
25. ¿Qué número aumentado en su
32% equivale a 792? A. 800 B. 250 C. 600 D. 850
26. ¿Qué número disminuido en su
38% equivale a 372? A. 1200 B. 900 C. 500 D. 600
27. Vendiendo un libro por $1.12 se
pierde el 30% del costo. ¿Cuánto costó el libro?
A. $1.20 B. $1.60 C. $3.20 D. $2.50
28. ¿A cómo hay que vender lo que ha
costado $2.38 para ganar el 15% de la venta?
A. $2.20 B. $3.40 C. $2.80 D. $3.6
7
Dentro de las aplicaciones de la proporcionalidad inversa, tenemos la regla de tres simples
inversas y los repartos inversamente proporcionales.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Hay una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:
A más corresponde menos y a menos corresponde más .
Ejemplo: la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más t iempo .
Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si
doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120
km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.
La regla de tres simple inversa consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a
magnitudes inversamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas
magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.
xa
aaI
2
1 x
a
a
a
1
2 2
1
a
aax
Ejemplo: Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.
¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más
en llenar el depósito.
hl/min 7
h14l/min 81
x
I
x
14
18
7 h36
7
)14(18x
Ejemplo: Para construir un muro, 3 obreros requieren 12 horas, ¿cuánto tardarán en
construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
h obreros 6
h12 obreros 3
x
I
x
12
3
6 h6
6
)3(12x
8
Los repartos inversamente proporcionales, consisten en que dadas unas magnitudes de un
mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las
inversas de las magnitudes.
Ejemplo: Carlos, Héctor y David ayudan al mantenimiento familiar entregando diariamente
$5900. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente
proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?
Para resolver el problema tomamos los inversos de las edades 32
1,
24
1,
20
1
y lo llevamos a
común denominador 480
15,
480
20,
480
24
y realizamos el reparto directamente proporcional a los
numeradores: 24, 20 y 15. 59
5900
152024152024
zyxdhc
59
5900
24
c
2400
59
)24(5900c
; Carlos aporta $2400
59
5900
20
h
2000
59
)20(5900h ; Héctor aporta $2000 y
59
5900
15
d
1500
59
)15(5900d ; David aporta $1500
La regla de tres compuesta se usa cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo
que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la
desconocida. Una regla de tres compuesta tiene varias reglas de tres simples aplicadas
sucesivamente.
Entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa,
por lo que podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta directa
xcba
dcba DDD
222
111
x
d
c
c
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1
111
222
cba
dcbax
Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de
agua por valor de 20 € (euros). Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas
durante los mismos días.
A más grifos, más euros Directa .
A más horas, más euros Directa .
x
DD
1215
20109
)12(15
)10(920
x €40
90
)180(20x
Regla de tres compuesta inversa
9
xcba
dcba III
222
111
x
d
c
c
b
b
a
a
1
2
1
2
1
2
222
111
cba
dcbax
Ejemplo: 5 obreros, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto
tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
A menos obreros, más d ías Inversa .
A más horas, menos días Inversa .
días horas 7obreros 4
días 2horas 6obreros 5
x
II
xx
2
30
282
6
7.
5
4
14.2
28
)30(2x
Regla de tres compuesta mixta
1.
xcba
dcba DID
222
111
x
d
c
c
b
b
a
a
1
1
1
2
2
1
121
212
cba
dcbax
Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de
30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50
m de muro que faltan?
A más obreros, menos días Inversa .
A más horas, menos días Inversa .
A más metros, más días Directa .
m50horas 8 días obreros 10
m30horas 6días 9obreros 8 D
x
II
x
9
50
30.
6
8.
8
10
9x
29. Ocho hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m de largo, 4m de ancho y 2
m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?
A. 5 días B. 5/4 días C. 50 días D. 80 días
30. Una calle de 50 metros de largo y 8 metros de ancho se halla pavimentada con
20.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle
del doble de largo y cuyo ancho es los ¾ del ancho interior?
A. 45.000
B. 19.200
C. 3.750
10
D. 30.000
31. Diez hombres, trabajando en la construcción de un puente, hacen 3/5 de la obra en 8
días. Si se retiran 8 hombres, ¿Cuánto tiempo emplearan los restantes para terminar
la obra?
A. 16
B. 3226
C. 60
D. 315
32. Dos hombres han cobrado 350 bolivares por un trabajo realizado por los dos. El
primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 bolívares.
¿Cuántos días a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo?
A. 19 días B. 40 días C. 45 días D. 35 días
33. Dos gallinas ponen dos huevos en dos días; 10 gallinas. ¿Cuántos huevos ponen 10
días?
A. 2 huevos B. 10 huevos C. 100 huevos D. 50 huevos
34. Se emplean 14 hombres en hacer 45 m de una obra, trabajando durante 20 días.
¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 16 m de la misma obra,
habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior?
A. 20
B. 3138
C. 45
D. 3242
35. 15 hombres han sembrado en 20 días un terreno de 50 km de largo por 15 km de
ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran sembrado el mismo terreno 6 hombres menos?
A. 33 B. 32
C. 3133
D. 31
36. Un parqueadero de 300 m de largo y 160 m de ancho se halla pavimentado con
35.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle
del doble de largo y cuyo ancho es la mitad del ancho anterior?
A. 35.000 B. 2.500
11
C. 32.140 D. 8.430
37. 12 hombres han sembrado en 15 días un terreno de 30 km de largo por 15 km de
ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran sembrado otro terreno de 22 km de largo por 11
km. De ancho 4 hombres menos?
A. 14.5 B. 9 C. 12.1 D. 8.3
38. Pedro tenía $80. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto. ¿Cuánto le
queda?
A. 52 B. 53.4 C. 54.4 D. 52.3
39. De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14%. ¿Cuántas
hectáreas quedan?
A. 25 B. 30 C. 35 D. 41.2
40. Se incendia una casa que estaba asegurada por el 86% de su valor y se cobran
$4300 por el seguro. ¿Cuál era el valor de la casa?
A. 5.500 B. 6.000 C. 5.000 D. 3.500
41. Una piscina se gasta 3340m de agua para llenarla en un tiempo de 3 horas, utilizando
4 mangueras. ¿Cuántas mangueras se necesitan para llenar la mitad de la piscina
con 2 horas?
A. 3 B. 18 C. 16 D. 9
42. 8 hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen 5/8 de la obra en 12
días. Si se añaden 3 hombres más. ¿Cuánto tiempo empleará la nueva cantidad de
hombres para terminar la obra?
A. 5.2 B. 3 ½ C. 7.7 D. 8.4
12
43. Un hombre dispuso de $600 invirtiendo el 30% en libros, el 12% en paseos, el 18%
en ropa, el 15% en limosnas y el resto lo dividió en partes iguales entre los parientes.
¿Cuánto recibió cada uno de éstos?
A. $150 B. $100 C. $300 D. $50
44. ¿Qué porcentaje del costo se gana cuando se vende en $8 lo que ha costado $6?
A. 15% B. 27% C. 35% D. 18 ½%
45. ¿Qué % de la venta se gana cuando se vende en $8 lo que ha costado $6?
A. 30% B. 25% C. 50% D. 70%
46. Un comerciante compra artículos con un descuento del 25% sobre el precio de lista y
lo vende en un 25% más que el precio de lista. ¿Cuál es su % de ganancia sobre el
costo?
A. 3% B. 45% C. 3 2/3% D. 50%
47. No quise vender una casa cuando me ofrecían por ella $3840, por lo cual hubiera
ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750. ¿Qué
porcentaje del costo gané al hacer la venta?
A. 38% B. 10% C. 15% D. 25%