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MODULO: MÉTODOS CUANTITATIVOS

CURSO: 2011‐2012

MS-5 Múltiples causas de salida Página 1 de 22

TEMA 5: Tablas con múltiples causas de salida: Invalidez.

Muerte e invalidez. Grados de invalidez. Orden y efectivos. Probabilidades dependientes e independientes. Modelo práctico de invalidez. Modelo racional de invalidez. Tablas con múltiples causas de salida: Invalidez.

Entre las otras causas de salida de un individuo de su grupo aparte del fallecimiento, la invalidez es posiblemente la de mayor importancia por las consideraciones sociales que conlleva. Las tablas de invalidez presentan los resultados de probabilizar la mortalidad y la invalidez de forma independiente y dependiente. Además deben considerar los distintos grados de invalidez y su carácter de invalidez permanente o no. Lo fundamental en este aspecto es la posibilidad o no de reactivación del individuo que ha sufrido la invalidación .Lo que implicaría, o no, la reincorporación al grupo del que salió.

Grados de invalidez.

El régimen general de la Seguridad Social en España distingue tres grados de incapacidad dependiendo de cómo puede verse afectada la capacidad laboral de un trabajador como consecuencia de una enfermedad o accidente:

1. Incapacidad Laboral Transitoria (ILT):Supone un duración de la invalidez no superior a 18 meses.

2. Invalidez Provisional: Cuando se superen los 18 meses pero no los 6 años

3. Invalidez permanente: Cuando transcurridos 6 años no ha habido recuperación o cuando las características del accedente o enfermedad determinan que no la va a haber. La incapacidad permanente puede ser a su vez:

a. Incapacidad permanente parcial para la profesión habitual: Se entiende por la tal la que, sin alcanzar el grado de total ocasiona al trabajador una disminución de su rendimiento no inferior al 33% de las tareas asociadas a la misma aunque no le impide realizar las tareas fundamentales.

b. Incapacidad permanente total para la profesión habitual: Aquella que inhabilita al trabajador para la realización de todas la tareas de dicha profesión, o al menos de todas las fundamentales; aunque, eventualmente, pueda dedicarse a otra profesión diferente.

c. Incapacidad permanente absoluta: Aquella que inhabilita totalmente al trabajador para el desarrollo de cualquier profesión.

d. Gran invalidez: Aquella en la que el trabajador, a causa de pérdidas anatómicas o funcionales necesita ayuda de otra persona para realizar las actividades esenciales de la vida desplazarse, vestirse o alimentarse.


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Orden y efectivo

Llamaremos Orden al grupo de personas de una determinada edad (la misma para todas ellas), en el que no se producen nuevas entradas y cuya evolución en el tiempo puede depender de una sola (Orden simple) o varias causas de salida (Orden compuesto).

Llamaremos Efectivo al grupo de personas de una determinada edad (la misma para todas ellas) en el que sí pueden producirse nuevas entradas y cuya evolución en el tiempo vendrá dada por la incorporación de nuevos individuos por quizá diferentes causas pero sólo por una causa de salida ( Efectivo simple) o por varias causas de salida ( Efectivo compuesto).

Probabilidades dependientes e independientes

Supongamos que tenemos un colectivo del que puede haber hasta K causas de salidas excluyentes y exhaustivas. Llamaremos a al conjunto de estas K causas de salida. Llamaremos a estas causas como I,II,III,…,K-sima ; o bien utilizando alguna letra relacionada con la propia causa ─ las más habituales serán la d para el caso de defunción , la i para el caso de incapacidad, la w para el caso de la jubilación.

La formalización de una causa de salida se llevará a cabo por la introducción de superíndice con la letra correspondiente a la causa.

Así supuesto que la probabilidad de salida del grupo depende sólo de la edad, teniendo en cuenta el conjunto a de las causas de salida formalizaríamos la probabilidad temporal ( en n años) de eliminación (salida) de un individuo de x años de edad por cualquier causa de a como:

xan q

Que será el complementario de la probabilidad de permanencia:

xanx

an qp 1

Nótese como aquí el par << eliminación/ permanencia >> juega un papel idéntico al del par <<muerte/supervivencia>> en el estudio de las tablas de vida (1 sola causa de salida). Por lo tanto podemos hablar de probabilidad temporales o diferidas de eliminación o permanencia, función de permanencia, tanto instantáneo de eliminación, etc.

A partir de la probabilidad anual de eliminación por cualquier causa podemos obtener la función de permanencia para el grupo como:

)1(1 xa

xa

xa qll

y a partir de ahí, elaborar la tabla de permanencia para el grupo.

Introducida la notación y esta consideración de analogía con la teoría biométrica ya conocida pasemos a definir la probabilidad dependiente de eliminación como la probabilidad de salida de un individuo de un determinado colectivo por una causa concreta, pero teniendo en cuenta que podría verse afectado por el resto de causas de salida consideradas en el estudio.


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Hablaremos, por tanto, de la probabilidad de salir del colectivo por la causa I (invalidez, por ejemplo) sabiendo que también existe la causa II (defunción, por ejemplo).Si una persona se invalida la probabilidad de muerte se ve modificada, presumiblemente al alza.

Definiremos, por otro lado, la probabilidad independiente o pura de eliminación por una determinada causa cuando no se considere la existencia de otras, o considerando que las otras no se ven afectadas por este hecho).

Antes se ha definido la probabilidad (temporal) de eliminación por cualquier causa. Obviamente la eliminación por cualquier causa es la unión de las eliminaciones por cada una de las causas posibles y como todas las causas posibles son excluyentes (y exhaustivas, también). La probabilidad de la unión será la suma de las probabilidades:

K

k

kx

anx

an qq

1

No debemos perder de vista que la probabilidad de cada una de estas causas considera la existencia de las otras, y por lo tanto se trata de las probabilidades dependientes.

Veamos la relación entre probabilidades dependientes e independientes.

Para aproximarnos a la relación entre probabilidades dependientes e independientes, supongamos, el caso particular y simplificado de que existen sólo dos causas de salida independientes.

Suponemos, primero, la existencia de dos órdenes simples, lxI y lx

II, con dos causas de eliminación diferentes e independientes. Podemos definir la probabilidad de que una persona del colectivo lx

I salga de ese orden por la causa I, entre las edades x y x+1 como:

Ix

Ix

Ix

Ix

Ix

Ix

IxI

x l

l

l

ll

l

dq 11 1

E igualmente para el colectivo lxII:

IIx

IIx

IIx

IIx

IIx

IIx

IIxII

x l

l

l

ll

l

dq 11 1

Ahora supongamos un orden compuesto lxI,II; siendo a ={I, II} las dos causas de salida

analizadas. La probabilidad de que una persona del orden permanezca en el mismo durante un periodo puede obtenerse considerando la no eliminación por ninguna de las dos causas:

)1)(1(,

,1 II

xIxIII

x

IIIx

xa qq

l

lp

Llamemos la atención sobre el hecho de que estamos calculando la probabilidad de permanencia a partir de las probabilidades puras o independientes.


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Podríamos, no obstante, definir la probabilidad de eliminación relativa a la causa I teniendo en cuenta la existencia de la causa II, es decir la probabilidad dependiente de eliminación por la causa I como:

IIIx

IIIxI

xIx

a

l

dqq

,

)(

*

E igualmente para la segunda causa, II la probabilidad dependiente sería:

IIIx

IIIxII

xIIx

a

l

dqq

,

)(

*

Siendo dxI(II) el número de personas que han salido a la edad x por la causa I, aunque

podrían haberlo hecho por la causa II; e igualmente dxII(I) el número de personas que han salido

a la edad x por la causa II aunque podrían haberlo hecho por la I.

Obviamente, al cabo de un periodo el número de permanentes será los permanentes del periodo anterior menos los eliminados por una u otra causa:

)()(,,1

IIIx

IIIx

IIIx

IIIx ddll

Si en esta expresión dividimos por los permanentes del periodo anterior tendremos la probabilidad de que una persona permanezca en el colectivo ( no se ve afectado por ninguna de las causas:

IIx

IxIII

x

IIIx

IIIx

IIIx

IIIx

IIIx

IIIx

IIIx

xa qq

l

d

l

d

l

l

l

lp **1

,

)(

,

)(

,

,

,

,1

Comparando esta expresión con la que teníamos anteriormente en función de las probabilidades independientes tendremos una primera relación entre probabilidades independientes y dependientes:

IIx

Ix

IIx

IxIII

x

IIIx

xa qqqq

l

lp **1)1)(1(

,

,1

Probabilidades dependientes en función de las probabilidades independientes

Se trata de establecer una serie de expresiones que permitan calcular las probabilidades dependientes de eliminación, *qx

I y *qxII, en función de las dependientes, qx

I y qxII. Supongamos,

como hipótesis de partida que cada una de las causas de salida afecta a la mitad del colectivo no afectado por la otra.

Esta hipótesis y la relación que se deriva puede visualizarse mejor a través de esta representación geométrica (Chuard,1981: Mathematiques Actuarielles des Caisses de Pensions, Institut de Sciences Actuarielles de l’Université de Lausanne.)


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Cada una de las áreas del dibujo puede interpretarse como:

P: probabilidad de que el individuo no se vea afectado por ninguna de las dos causas de salida: probabilidad de permanencia el área (coincidente con la probabilidad) P es:

)1)(1( IIx

Ix qqP

SI: probabilidad de que el individuo salga del colectivo por la causa I, pero no por la II:

)1( IIx

IxI qqS

SII: probabilidad de que el individuo salga del colectivo por la causa II, pero no por la I:

)1( Ix

IIxII qqS

Finalmente en el rectángulo superior derecho tenderemos la probabilidad de que el individuo salga del colectivo por cualquiera de las dos causas consideradas ya que son los casos en los que se dan las dos circunstancias. En función de la hipótesis de partida las causas I y II se repartirán a partes iguales los casos de forma que :

2

IIx

Ix

III

qqSS

La probabilidad independiente de eliminación por la causa I ( en función de la interpretación gráfica anterior) es

IIIIIx SSSq

De manera que:


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IxII

IIx

Ix

IIx

IxI

xIIIxII qSSqq

qqqSqSS *)

2

11(

2

=

La suma de SI +SI′ es la probabilidad de salida por la causa I descontando aquellos casos en los que aun dándose la causa I ( junto con la II) la causa que efectivamente produce la eliminación es la II es decir se trata de la probabilidad dependiente de eliminación por la causa I y tendremos la relación:

)2

11(* II

xIx

Ix qqq

Como es lógico podemos emplear ahora el mismo argumento para la causa II y obtendríamos una relación semejante:

)2

11(* I

xIIx

IIx qqq

Probabilidades independientes en función de las dependientes

Nos planteamos, ahora, la obtención de una relación que nos exprese las probabilidades independientes en función de las dependientes. Esta situación es mucho más frecuente en la práctica ya que la información disponible a priori será la proveniente del cálculo de las frecuencias relativas de los individuos afectados por una causa de salida (sabiendo que pueden verse afectados por otra) y el total de individuos integrantes del orden compuesto.

El cálculo de la probabilidad de eliminación por una determinada causa podrá realizarse teniendo en cuenta el número de personas que salen por esa causa dividido por la población inicial corregida por (disminuida en) la mitad de las salidas producidas por la otra causa. Esto es:

)(21,

)(

)(21,

)(

IIIx

IIIx

IIIxII

xIIIx

IIIx

IIIxI

x dl

dq

dl

dq

Dividiendo numerador y denominador por lxI,II , obtendremos las relaciones:

Ix

IIxII

xIIx

IxI

x q

qq

q

qq

*1

*

*1

*

21

21

Esta relación puede generalizarse para múltiples causas ( más de dos) de salida ,de forma que la probabilidad independiente por una determinada causa,k, de salida teniendo en cuenta la existencia de a causas de salida puede calcularse por :

)(1 21 k

xa

xa

kx

akx qq

qq

Modelo práctico de invalidez

El llamado modelo práctico de invalidez establece las siguientes hipótesis de partida:


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1. No se considera la posibilidad del retorno a la actividad

2. Se considera que ,para cualquier edad, bajo la contingencia de invalidez todo superviviente es activo o inválido.

3. Se considera que la contingencia de invalidación puede darse a cualquier edad.

El esquema de arriba muestra las contingencias posibles consideradas por las hipótesis de modelo y cómo se puede salir de la situación de actividad a la invalidez, de la de actividad a la de fallecimiento y de la de invalidez a la de fallecimiento con sus respectivas probabilidades.

El siguiente otro esquema muestra posibles cómo pueden afectar estos supuestos del modelo a la evolución del colectivo inicialmente considerado.

El colectivo inicial al llegar a la edad x cabe clasificarlo entre inválidos y activos a la edad x

ix

axx hll

De la situación de activos (verde en el gráfico) a la edad x, los individuos lxa pueden pasar a

formar parte de tres colectivos distintos a la edad x+1:


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1. Pueden fallecer durante el periodo considerado, manteniéndose activos hasta tal eventualidad: dx

a= dxaa será el número de individuos a los que les ocurrirá esto ( (la

transición gris en el gráfico, representa el fallecimiento; la zona gris superior : esta eventualidad –fallecimiento en activo)

2. Pueden invalidarse durante el periodo, constituyendo el conjunto de Bx individuos. Los individuos invalidados durante el periodo puede fallecer o no constituyendo los subcolectivos :

a. Activos que, tras invalidarse en el periodo, acaban falleciendo ( naranja-gris); suponen una cantidad dx

ai de individuos

b. Activos que, tras invalidarse en el periodo, se mantienen con vida ( naranja-blanco) . Constituirán un conjunto de lx+1

ai individuos que pasarán a engrosar la cohorte de inactivos en el periodo siguiente.

3. Pueden seguir siendo activos al final del periodo (verde) constituyendo la cohorte de activos permanente en el periodo siguiente (lx+1

aa= lx+1a)

Por lo tanto, tendremos que :

ax

aix

aix

ax

aaxx

ax

ax llddlBdl 111

Por otro lado la cohorte de inválidos a la edad x ,compuesta de hxi individuos, podrá

transitar a dos posibles situaciones finales en el transcurso del periodo:

1. Podrán continuar vivos e inválidos al final del periodo ( naranja) que integrarán un total de hx+1

ii

2. Podrán fallecer antes de llegar a la edad x+1 ( gris inferior) constituyendo un colectivo de gx

i individuos.

Y a partir de estas expresiones podemos obtener una serie de relaciones casi inmediatas fáciles de identificar en el gráfico:

1. colectivo de supervivientes activos a la edad x+1 es igual al colectivo de supervivientes activos de edad x, menos aquellos individuos que fallecen a lo largo del periodo menos aquellos que se invalidan:

xax

ax

ax Bdll 1

2. Al considerar la contingencia de invalidación hemos de considerar aquellos individuos activos a la edad x que se invalidan durante el periodo y se mantienen con vida a la edad x+1 junto con aquellos que se invalidan durante el periodo y más tarde fallecen antes de cumplir la edad de x+1:

aix

aix

ax

ax

ax dldll 11

3. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad x+1 que ya lo eran a la edad x estará formado por los inválidos de edad x+1 menos aquellos de ellos que ha fallecido: (se mantiene en naranja)


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ix

ix

iix ghh 1

4. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad de x+1 ,que no lo eran a edad x, y, por lo tanto estaban activos, estará formado por las personas invalidadas menos aquellas de éstas que hayan fallecido: ( los que pasan a ser naranja-a-cuadros-sobre-blanco que son todos los invalidados ,naranjas-a-cuadros, menos aquellos de ellos que fallecen, naranjas a cuadros sobre gris.)

aixx

aix dBl 1

5. El colectivo de supervivientes inválidos a la edad x+1 son los que ya lo eran y aún siguen siéndolo porque no han muerto( los que siguen siendo naranja) más los que eran activos a la edad x y se han invalidado durante el periodo , pero no han fallecido (naranjas-a-cuadros-sobre-blanco)

aix

iix

ix lhh 111

6. El número de fallecidos entre las edades x y x+1 es la suma de los activos fallecidos más los que tras haberse invalidado han fallecido después, más los que ya eran inválidos a la edad x y han fallecido antes de cumplir x+1. (Grises: grises de arriba, grises de abajo y grises a cuadros)

aix

ix

axx dgdd

7. La función de supervivencia o supervivientes para la edad x+1 estará formada por el colectivo de los activos a esa edad más los inválidos a esa edad

ix

axx hll 111

8. En definitiva la cohorte de la edad x+1 puede verse como la de x menos las defunciones acaecidas:

xxx dll 1

Generación de probabilidades dependientes e independientes en el modelo práctico de invalidez

Por un lado pueden considerarse las siguientes probabilidades independientes:

La probabilidad de fallecimiento de un activo a la edad x : qxa

La probabilidad de invalidación de un activo a la edad x : ix

La probabilidad de fallecimiento de un inválido de edad x como inválido: qxi

De forma que las probabilidades independientes de supervivencia serán :

La probabilidad de supervivencia de un activo de edad x:

ax

ax qp 1


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La probabilidad de supervivencia de un inválido de edad x:

ix

ix qp 1

Y en función de estas probabilidades podemos expresar la función cohorte de activos a la edad x+1 como:

)1)(1(1 xax

ax

ax iqll

Para la determinación de las probabilidades dependientes hemos de analizar cuál es la situación en el momento inicial x del individuo considerado , teniendo en cuanta su pertenencia a cada uno de los dos posibles subcolectivos ( inválidos o activos)

1. El individuo está activo a la edad x

En el transcurso del periodo puede encontrarse en diferentes situaciones excluyentes entre sí:

Puede seguir formando parte del colectivo de individuos activos : lx+1a (o lx+1

aa)

Puede fallecer durante el periodo sin haber perdido su condición de activo: dxa (o dx

aa)

Puede invalidarse durante el periodo: Bx

Veamos cómo serían las probabilidades de cada una de estos sucesos:

Partiendo de la función cohorte de activos para x+1:

xax

ax

ax Bdll 1

Y dividiendo por la función cohorte de activos para x ,obtendremos la probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x como activo :

ax

xax

ax

ax

xax

ax

ax

ax

ax

axaa

x l

B

l

d

l

B

l

d

l

l

l

lp 1* 1

De esta forma tenemos que :

La probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x sin perder la condición de activo será:

ax

axaa

x l

dq *

La probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x será:

ax

xx l

Bi *


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Y la probabilidad dependiente de supervivencia de una activo de edad x como activo quedará:

xaax

aax iqp **1*

Respecto a la invalidación, podemos analizar dos situaciones posibles ya que el activo puede invalidarse y continuar vivo al final del periodo lx+1

ai o, puede invalidarse y luego fallecer antes de cumplir la edad x+1, dx

ai.

aix

aixx dlB 1

En consecuencia, la expresión de la probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x, vendrá dada por:

aix

aixa

x

aix

ax

aix

ax

xx qp

l

d

l

l

l

Bi *** 1

Vemos pues que la probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x es la suma de la probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x que se invalida a lo largo del periodo más la probabilidad de fallecimiento de un activo de edad x que se ha invalidado antes de fallecer.

Llegados aquí, podemos definir la probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x como la probabilidad (dependiente) de que llegue vivo a la edad x+1 tanto en la condición de activo como en la de inválido. Es decir:

aix

aax

ax ppp ***

Por otro lado, la probabilidad (dependiente) de fallecimiento de un activo de edad x será la probabilidad ( dependiente) de fallecimiento a esa edad tanto en la condición de activo como si se invalida con anterioridad. Es decir:

aix

aax

ax qqq ***

Y, obviamente, un activo de edad x, o bien sobrevivirá o bien fallecerá, por lo que:

ax

ax qp **1

Las principales relaciones obtenidas, son , en resumen:

1**.3

***.2

***.1

ax

ax

aix

aixx

xaax

aax

qp

qpi

iqp

2. El individuo está inválido en x


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Ahora consideramos un individuo inválido a la edad x ( perteneciente al colectivo de hx

i ). Pueden encontrase al final del periodo en dos situaciones diferentes:

Puede continuar formando parte del colectivo de individuos inválidos pero ahora de edad x+1,

Puede fallecer antes de cumplir la edad de x+1.

(No hay otra posibilidad porque el modelo práctico excluye la posibilidad de recuperación )

Partiendo de la función cohorte de inválidos de edad x+1:

ix

ix

iix ghh 1

Dividiendo por hxi obtendremos la probabilidad (dependiente) de superviviencia de un

inválido de edad x:

iix

ix

iix

iixi

x h

g

h

hp 1* 1

Que nos proporciona, también la probabilidad (dependiente) de fallecimiento de un individuo invalido:

ix

ixii

x

ixi

x qph

gq *1**

Retomando la expresión de la función de supervivencia de más arriba definida como:

)**1(*1 xaax

ax

aax

ax

ax iqlpll

Y utilizando la relación ya conocida entre probabilidades independientes y dependientes:

xaaxx

ax iqiq **1)1()1(

Obtendremos:

)1(*

)1(*

21

21

axxx

xax

aax

qii

iqq

3. Transición entre estados: activo en x e invalido en x+1

Supongamos para estudiar la transición entre activo e invalido a lo largo del periodo las siguientes dos hipótesis:

1) La contingencia de invalidación sigue una distribución uniforme a lo largo del periodo x,x+1


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2) Las personas que se invalidan a lo largo del periodo están sometidas a la misma probabilidad de fallecimiento que las que se encontraban invalidas al comienzo del periodo.

La función cohorte para los individuos activos en x que al llegar a x+1 están vivos e inválidos vendrá dada por :

ixx

aix pBl

21

211

La uniformidad de la distribución temporal de la invalidación (hipótesis 1) equivale a considerar que todas las invalidaciones se producen justo a la mitad del periodo y que el riesgo de fallecer actúa sólo durante la segunda mitad, de forma que consideramos la probabilidad de supervivencia medio año de un inválido de edad x+½ años.

Igualmente, la probabilidad de fallecimiento para un individuo inválido sería:

ix

ix

pq21

21

21

21 1

Las dos hipótesis conjuntamente, junto con el hecho de que sólo existe una posible causa de salida del colectivo de inválidos (el fallecimiento), nos permite considerarlo como un orden simple al que podemos suponer generado en la mitad del año) y cuya probabilidad de supervivencia hasta el siguiente año ( medio año más) será:

ix

ixi

x h

hp

21

21

21

1

Relación en la que si aproximamos el tamaño del colectivo de inválidos en la mitad del periodo como el promedio entre sus extremos:

)(2

11

21

ix

ix

ix

hhh

Obtenemos que la probabilidad temporal de supervivencia será:

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ixi

x

q

q

p

p

ph

hp

hh

h

h

hp

2

11

1

)1(2

1)1(

2

1)(

2

11

11

21

21

21

Y la probabilidad temporal de fallecimiento quedará:

ix

ix

ix

ix

ix

ix

ixi

xix

q

q

q

qq

q

qpq

2

11

2

1

2

11

12

11

2

11

111

21

21

21

21

Y las defunciones:


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ix

ix

xixx

aix

q

qBqBd

2

11

2

1

21

21

Teniendo en cuenta el cálculo de Bx a partir de las probabilidades independientes:

)2

11(* a

xxaxx

axx qililB

Con lo que podemos reescribir la función cohorte de un individuo activo a la edad x que llega invalido a la edad x+1 como:

ix

ixa

xxax

aix

q

qqill

2

11

1)

2

11(1

Igualmente la función de fallecimiento para un activo de edad x que se invalida en el periodo será:

ix

ix

axx

ax

ix

ix

xax

ix

ix

xi

xxaix

q

qqil

q

qil

q

qBqBd

2

11

2

1

)2

11(

2

11

2

1

*

2

11

2

1

2

1

2

1

Y ,por último se puede expresar la función cohorte de un inválido en función de las probabilidades independientes como:

1111

2

11

1)

2

11()1(

x

ixa

xax

ix

ix

aix

iix

ix

q

qqlqhlhh

Modelo racional de invalidez

La diferencia esencial con el modelo práctico de invalidez es la posibilidad de recuperación de los inválidos. Esto es :La posibilidad de que las personas que eran inválidas en x lleguen activas ( tras su recuperación) a x+1. La probabilidad de tal circunstancia la haremos sólo depender de la edad aunque, de hecho, podría depender de otros factores, pero aquí no lo consideraremos. La situación esquemática es como el grafo:


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En este modelo los colectivos de activos e inválido la edad x pueden sufrir una mayor variedad de contingencias que en el modelo anterior ya que además de activos que se mantienen así, activos que se invalidan y sobreviven, activos que fallecen activos, activos que se invalidan y luego fallecen, inválidos que continúan así, e inválidos que mueren inválidos; ahora hay que añadir inválidos que se rehabilitan o se reactivan y llegan vivos y activos a x+1 e inválidos que se rehabilitan y luego fallecen como activos. Todas estas situaciones pueden visualizarse en el esquema siguiente:

En este modelo generalizaremos los colectivos de supervivientes y fallecidos ya sean activos o inválidos utilizando la siguiente notación:


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: generalizará los supervivientes englobando l y h.

: generalizará los fallecidos englobando d y g

El colectivo de activos xa, es ahora un efectivo compuesto; efectivo ya que tiene una

causa de entrada ( la reactivación o recuperación) y compuesto porque tiene dos causas de salida (fallecimiento e invalidación). A los activos a la edad x les podrán ocurrir las siguientes contingencias en la transición de la edad x a la x+1:

xaa de ellos fallecerán antes de cumplir los x+1 años conservando hasta entonces su

condición de activos.( Transición en gris de la parte superior del gráfico)

x+1aa de ellos cumplirán la edad de x+1 sin perder su condición de activos (Transición

en verde en el gráfico)

Bx de ellos se invalidarán en el transcurso del año. Dentro de estos podemos distinguir:

x+1ai :Los que tras invalidarse llegarán vivos a la edad x+1 (Transición en

cuadros- verdes-sobre- naranja en el gráfico).

xai :los que siendo activos a la edad x se invalidan entre los x y los x+1 años

pero fallecen antes de llegar a cumplir los x+1 ( Transición en cuadros naranjas-con ribete-verde sobre fondo gris )

( Recordemos el esquema cromático: verde ,activo; naranja, invalido; gris , fallecido):

aix

aix

aax

aaxx

aax

aax

ax B 111

Por su parte el colectivo de los inválidos, xi, es, también, un efectivo compuesto, tiene

una causa de entrada : la invalidación y dos causas de salida: La rehabilitación y el fallecimiento.

De forma que los inválidos a la edad x podrán convertirse durante la transición de x a x+1 en los siguiente colectivos: x

ii: Colectivo de personas que estando inicialmente inválidas a la edad x fallecen antes de cumplir la edad x+1 sin perder su condición de invalidez.(Transición en gris, en la parte inferior del gráfico)

x+1ii: Colectivo de personas que estando invalidas a la edad x se mantienen en tal

condición y vivas hasta los x+1 años.( transición en naranja, en el gráfico)

Tx: Colectivo de personas que estando inválidas a la edad x se reactivan o rehabilitan a lo largo del periodo anual. Se pueden distinguir :

x+1ia: Colectivo de los que siendo inválidos a la edad x se reactivan durante el

periodo y se mantienen vivos al cumplir la edad x+1 (Transición en cuadros naranjas sobre fondo verde, en el gráfico)

x+1ia: Colectivo de los que siendo inválidos a los x años, se reactivan durante el

periodo y finalmente mueren antes de cumplir los x+1 años con la condición de activos.

Tendremos, por lo tanto:


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iax

iax

iix

iixx

iix

iix

ix T 111

Una vez analizadas las distintas situaciones posibles, veamos cuáles son las principales relaciones que se observan:

1. ix

ax xl

El colectivo total de supervivientes de edad x es la suma de los activos de edad x y los inválidos de edad x.

2. iax

aax

ax 111

El total de activos de edad x+1 son los activos en x que siguen vivos en tal condición al cumplir los x+1 más los inválidos en x que se rehabilitan durante el periodo anual y se mantienen con vida y activos al cumplir x+1

3. xaax a

xaax B 1

El colectivo de activos en x que sobreviven hasta x+1 sin perder tal condición son los activos a las edad x menos los que fallecen como activos durante el año menos que los se invalidan ( Que a su vez pueden sobrevivir como inválidos o no)

4. iaxx ia

x T 1

El colectivo de inválidos a la edad x que sobreviven como activos a la edad x+1 son los que se han rehabilitado durante el periodo menos aquellos que tras rehabilitarse han fallecido.

5. aix

iix

ix 111

Los supervivientes inválidos a la edad x+1 son los inválidos de edad x que han sobrevivido como tales más los activos de edad x que se han invalidado y que han sobrevivido como inválidos hasta la edad x+1

6. xiix

ix

iix T 1

Los inválidos de edad x que sobreviven como tales hasta la edad x+1 son los inválidos de edad x que había menos los inválidos de edad x que han fallecido como tales menos los inválidos de edad x que se han rehabilitado durante el periodo

7. aixx ai

x B 1

Los activos de edad x que han sobrevivido como inválidos a la edad x+1 serán los activos que se hayan invalidado durante el periodo menos aquellos activos invalidados durante el periodo que hayan fallecido.

8. iax

iix ai

xaaxxd


CURSO: 2011‐2012


El total de fallecido es la suma de los activos de x años que han fallecido como tales más los que lo han hecho tras invalidarse más los inactivos de x años que han fallecido como tales más los que lo han hecho tras rehabilitarse.

9. ix a

xxl 111

El total de superviviente a la edad x+1 es el total de supervivientes activos a esa edad más el total de superviviente inválidos a esa edad

Y ,por último, en definitiva , podemos generar el colectivo” total” de personas vivas de edad x+1, lx+1, como el colectivo de personas de edad x menos la totalidad de las salidas del colectivo “total” de vivos :

xxx dll 1

Generación de probabilidades dependientes e indepenidentes dentro del modelo racional de inválidez

En el modelo racional de invalidez podemos generar las siguiente probabilidades independientes:

Probabilidad de fallecimiento de un activo de edad x: Qxa

Probabilidad de invalidación de un activo de edad x: Ixa

Probabilidad de fallecimiento de un inválido de edad x: Qxi

Probabilidad de rehabilitación de un inválido de edad x: Rxi

Las probabilidades independientes de supervivencia vendrán dada por los respectivos valores complementarios:

La probabilidad de supervivencia de un activo será: Pxa=1− Qx

a

La probabilidad de supervivencia de un inválido: Pxi=1− Qx

i.

Y con la definición de estas probabilidades expresaremos la función cohorte de un activo y de un inválido como:

)1)(1(

)1)(1(

1

1

xix

ix

iix

xax

ax

aax

RQ

IQ

En cuanto las probabilidades dependientes tendremos:

1. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x sin perder su condición de actividad.


CURSO: 2011‐2012


ax

aaxaa

xQ

*

2. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un inválido de edad x sin perder su condición de actividad.

ix

iixii

xQ

*

3. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un inválido de edad x que se rehabilita y fallece como activo:

ix

iaxia

xQ

*

4. Probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x que se invalida y muere como inválido:

ax

aixai

xQ

*

5. Probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x como activo:

ax

aaxaa

xP

1*

6. Probabilidad dependiente de supervivencia de un inválido de edad x como inválido:

ix

iixii

xP

1*

7. Probabilidad dependiente de supervivencia de un inválido de edad x que se ha rehabilitado

ix

iaxia

xP

1*

8. Probabilidad dependiente de supervivencia de un activo que se ha invalidado:

ax

aixai

xP

1*

9. Probabilidad dependiente de invalidación de un activo de edad x:


CURSO: 2011‐2012


aix

aixa

x

xx QP

BI ***

10. Probabilidad dependiente de rehabilitación de un inválido de edad x:

iax

iaxi

x

xx QP

TR ***

Llegados a este punto podemos definir la probabilidad dependiente de supervivencia de un activo de edad x como la probabilidad de que un activo de edad x llegue vivo a la edad x+1, tanto en condición de actividad como en la de invalidez:

aix

aax

ax PPP ***

Y, asimismo, podremos calcular la probabilidad dependiente de fallecimiento de un activo de edad x como la probabilidad de que fallezca antes de cumplir x+1 años, tanto en la condición de actividad como de invalidez:

aix

aax

ax QQQ ***

Al admitir la rehabilitación, podremos calcular la probabilidad de supervivencia para un individuo de edad x según su expresión:

iax

iix

ix PPP ***

Y análogamente la probabilidad dependiente de fallecimiento para un inválido será:

iax

iix

ix QQQ ***

Las principales relaciones del modelo son, por lo tanto:

1**.5

1**.4

***.3

***.2

1***.1

ix

ix

ax

ax

iax

iaxx

aix

aixx

xaax

aax

QP

QP

QPR

QPI

IQP

A partir de las probabilidades dependientes podemos calcular la función cohorte para los activos y para los inválidos como:

)**1(

)**1(

1

1

xiix

ix

iix

xaax

ax

aax

RQ

IQ

Y por lo tanto la siguiente relación entre probabilidades dependientes e independientes:


CURSO: 2011‐2012


xiixx

ix

xaaxx

ax

RQRQ

IQIQ

**1)1)(1(

**1)1)(1(

Y a partir de ellas la ya conocida relación de las probabilidades dependientes en función de las independientes:

)2

11(*

)2

11(*

)2

11(*

)2

11(*

ixxx

xix

iix

axxx

xax

aax

QRR

RQQ

QII

IQQ

Si consideramos ahora que las contingencias de invalidación y de rehabitilización siguen una distribución uniforme en el intervalo [x,x+1]; suponiendo, por lo tanto que todas las rehabilitaciones e invalidaciones se producen a mitad de año, tendremos que:

1. El número de personas que siendo activas a la edad x se invalidan y fallecen antes de cumplir x+1 será el número de personas que se invalidan por la probabilidad temporal de fallecimiento ( en medio año) de una persona invalida de edad x + ½:

i

xxaix QB

21

21

2. El número de personas inválidas a la edad x que se rehabilitan y fallecen antes de cumplir x+1 años será el producto de del número de personas que se rahabilitan por la probabilidad temporal de fallecimiento ( en medio año) de una persona activa de edad x + ½:

a

xxiax QT

21

21

3. La función de supervivencia del colectivo de activos de edad x que se invalidan y llegan inválidos a x+1 será el producto de los que se invalidan por la probabilidad temporal de supervivencia ( medio año) de un persona inválida de edad x + ½

ixx

aix PB

21

211

4. La función de supervivencia del colectivo de inválidos de edad x que se rehabilitan y llegan activos a x+1 será el producto de los que se rehabilitan por la probabilidad temporal de supervivencia ( medio año) de los activos de edad x + ½

axx

iax PB

21

211


CURSO: 2011‐2012


Al igual que ocurría en el modelo práctico y, dado que entre x+1/2 y x+1 también trabajamos con un orden simple de inválidos ( o con un orden simple de activos), podremos utilizar las siguientes relaciones:

)(2

1

)(2

1

1

1

21

21

ax

ax

ax

ix

ix

ix

De forma que las probabilidades temporales podrían expresarse como:

ax

axa

xix

ixi

x

ax

ax

ax

ix

ix

ix

Q

QP

Q

QP

Q

QQ

Q

QQ

2

11

1

2

11

1

2

11

2

1

2

11

2

1

21

21

21

21

21

21

21

21

Quedando, finalmente:

ax

axi

xxix

iax

ax

ax

ixx

ix

iax

ix

ixa

xxax

aix

ix

ix

axx

ax

aix

Q

QQR

Q

QQR

Q

QQI

Q

QQI

2

11

1)

2

11(

2

11

2

1

)2

11(

2

11

1)

2

11(

2

11

2

1

)2

11(

1

modulo: mÉtodos cuantitativos de... · ms-5 múltiples causas de salida página 3 de 22...

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