Prof: Rosala Soto Liceo n 1

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Prof: R. Soto

Dada una sucesin naaaaa .......,.........,,, 4321 , la suma de los n primeros trminos usando

la notacin suma o notacin sigma ( ) se escribe :

nn

n

k

k aaaaaaa

143211

..........

La expresin

n

k

ka1

significa la sumatoria de los ak desde k=1 hasta k=n, la idea es

reemplazar k por los enteros de 1,2,3,4,..,n y sumar las expresiones resultantes. Ejemplos:

Calcula las sumas:

6

1

2

k

k b)

6

4

1

j j c)

9

3i

i d)

6

1

4i

Solucin:

Modulo de Sumatoria

Nombre:.4Matemtico: .

1. Repasa la operatoria de

sucesiones 2. Repasa las

demostraciones hechas en clase

Antes de

comenzar esta

unidad te

propongo lo

siguiente...

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a) 916543216

1

2222222 k

k

b) 60

37

6

1

5

1

4

116

4

j j

c) 4298765439

3

i

i

d) 2444444446

1

i

Expresa las sumas usando la notacin signa(Se busca el trmino general de la serie)

1)

n

k

kn1

...321

2)

9

1

33333 9...321k

k

3)

15

1 116

15...

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

k k

k

4) )2()1(8765436

1

kk

k

5)

61

3

61............543k

k

No hay una sola manera de escribir una suma con la notacin signa. Tambin podramos escribir esta suma de otra forma .

59

1

261............543k

k

Propiedades de las sumatorias

1) Sumatoria de una constante. Si c es una constante, entonces

cncn

k

1

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Ejemplo: 3006506...66666

50

50

1

vecesk

2) Sumatoria de una constante por los trminos de una sucesin.

Si c es una constante, entonces

n

k

k

n

k

k acac11

Ejemplo:

170345)171052(5)1(5)1(54

1

24

1

2 kk

kk

3) Sumatoria de la suma o resta de dos o ms sucesiones

Las propiedades de las sumas son consecuencias de las propiedades de los nmeros

reales. Sean nn bbbbbyaaaaa .....,.........,,.......,.........,,, 4,3214321 sucesiones para todo

entero positivo n se cumplen las siguientes propiedades.

a)

n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba111

)(

b)

n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba111

)(

Ejemplo:

4026)6...21(3)6...21(23)23(

2191

2226

1

6

1

6

1

26

1

2

kkkk

kkkk

5

1

5

1

25

1

25

1 4

1)(

4

1

4

)1(

kkkk

kkkkkk

2

3570

4

1)1555(

4

1)5...21()25...41(

4

1

4) La sumatoria de una cierta cantidad de nmeros naturales considerados a partir de uno dado m, equivale a la sumatoria de los n primeros naturales menos los primeros ( m -1) naturales. Es decir:

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Pgina 4

Ejemplo

a) 33055385)25...41()100...941(10

6

5

1

210

1

22 k kk

kkk

b) 18228210)7654321()20.....4321(7

1

20

1

20

8

iii

iii

5) Propiedad Telescpica

11

1

1

1

)(

nn

k

ii

n

i

aaaaa

Ejemplo

a) 108

25

108

227

54

1

4

1

450

1

31

1

4

1

3

150

1

i ii

b) )2(121)12(1)1(1)1( 222222

1

2 nnnnnnniin

i

Algunas sumas importantes y de uso frecuente son

Sumatoria de los n primeros nmeros naturales.

2

)1(

1

nnk

n

k

Ejemplo: La suma de los primeros 100 nmeros naturales es :

100......654321 50502

)1100(100100

1

k

k

Sumatoria de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales

6

)12)(1(

1

2

nnnk

n

k

1

11

m

k

n

k

n

mk

kkk

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Ejemplo: 1406

)114)(17(77654321

7

1

22222222

i

i

Sumatoria de los cubos de los n primeros nmeros naturales.

2

1

3

2

)1(

nnk

n

k

Ejemplo: 1296362

)18(887654321 2

28

1

333333333

k

k

Aplicando estas propiedades en los ejercicios anteriores se tiene:

1) 262

)16(63

6

)112)(16(623)23(

6

1

6

1

6

1

26

1

2

kkkk

kkkk

4012639112213137

2)

5

1

5

1

25

1

25

1 4

1)(

4

1

4

)1(

kkkk

kkkkkk

2

3570

4

11555

4

1

2

)15(5

6

)110)(15(5

4

1

Gua de ejercicios

I) Escriba la suma mediante la notacin signa

1) 150......654321

2) 51432 50..............321 3) 20...........8642 4) 1910.........533211 5) 44...........11852 6) 43.....................741

7)

1000999

1..............

43

1

32

1

21

1

8) 100ln100

1..............

5ln5

1

4ln4

1

3ln3

1

2ln2

1

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II) Calcule la suma

1) 4

1

k 2)

5

1

2

k

k

3)

3

1

1

k k 4)

100

1

)1(j

j

5)

8

1

)1(1i

i 6)

5

1

12k

k

7)

9

1

)32(i

i 8)

12

5

2j

j

9) )1(20

7

jjj

10)

12

6 3

1

2

1

k kk

11)

8

1

23

k

k )( 12)

6

12)1(k k

k

13)

10

1 1

1

k k

k 14)

4

1 12

)1(

kk

k

15)

10

1

3

5

)1(7

k

k 16)

20

11

2 )2)(2(k

kk

17)

10

1

3

1

3

i ii 18) )435(

20

12

23

kkkk

III) Demuestre :

a) 2

)1(

1

nnk

n

k

b)

n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba111

)(

c)1)1(

1

1

n

n

kk

n

k

Es hora de Aplicar lo aprendido