módulo 2, identidades

MATEMÁTICAS 10° / P á g i n a | 1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS En el mundo de la economía, la biología, la física y el cálculo, las funciones trigonométricas son necesarias para rescribir una expresión matemática complicada de manera sencilla. Esto se logra a través de expresiones trigonométricas que al hacer sus respectivas transformaciones se constituyen en identidades trigonométricas. Teniendo en cuenta que como cualquier otra rama de las matemáticas, la trigonometría no es el fruto de la inteligencia de un solo hombre, ni siquiera de una sola civilización, actualmente reconocemos que las identidades trigonométricas se remontan a la época de la civilización griega, desde el inicio de la trigonometría. Los primeros trabajos de los que se tienen referencia son de Hiparco, Mendao y Ptolomeo. Hacia el siglo II antes de Cristo Hiparco trabajó algunos tipos de identidades similares a la identidad pitagórica Sen²θ + Cos² θ = 1. Ptolomeo, en su magnífica y más importante obra sobre trigonometría de la antigüedad, llamada Almagesto, que en árabe significa el más grande, se destaca, entre otro, el teorema de Ptolomeno dl cual hay un caso especial que conduce a las identidades de suma y resta de los ángulos par el seno y el coseno y la fórmula equivalente a la identidad de seno de la mitad de un ángulo. Tiempo después en el siglo XVI, el francés Francois Viché obtuvo en forma algebraica varias de las identidades trigonométricas conocidas hoy. En el siglo XVIII, Leonhard Euler relacionó las funciones trigonométricas con los números complejos asociando a cada número complejo una expresión trigonométrica denominada forma polar.


IGUALDADES E IDENTIDADES. DIFERENCIAS Y SEMEJANZAS. Recordemos que una igualdad es el enunciado en que dos cantidades o expresiones son iguales. Cuando en la igualdad existe una o más variables se denomina ecuación y para hallar su solución, se puede realizar operaciones simultáneas a cada lado de la igualdad. Una igualdad que siempre se cumple, se llama identidad. Así pues la igualdad a + b = b + a, se satisface para todos los elementos de un universo, es una característica que corresponde a las igualdades que se llaman identidades. Veamos algunos ejemplos que muestran con claridad identidades algebraicas. Ejemplo 1:

(a + b)² = a² + ab + as + b²) (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ejemplo 2:

(a – b)² = a² - 2ab + b² Ejemplo 3:

a² - b² = (a + b) (a – b) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son identidades? (Reemplaza la variable por cualquier número)

* (3x – 2)² = 9x² - 12x + 4 * (2x – 3)² =4x² + 9

* (x² - 4) = (x – 2) (x + 4)

Hay dos tipos de igualdades: una se llaman ecuaciones, las cuales se satisfacen con ciertos valores de la incógnita. Y otras son las identidades, expresiones que se satisfacen con todo valor de la incógnita.


Las identidades en las que se establecen relaciones entre las funciones trigonométricas se denominan identidades trigonométricas.

Un ejemplo de identidad trigonométrica es Tan x = xCos

x Sen porque

se satisface para todo valor x. La igualdad 3 Sen x = Sen 3x se satisface para infinitos valores de x. Por ejemplo para x = 0; x = π, x = 4π, x = - 4π. Sin embargo no es una identidad trigonométrica porque existen valores de x para

los cuales la igualdad no se cumple, por ejemplo para x = 4

π.

Compara las graficas de las dos funciones usando DERIVE.

3 Sen(x) = Sen(3x)

3 Sen(4

π) = Sen(

4

3π)

3 . 2

1 =

2

1

2

3 ≠

2

1

Para demostrar identidades no se realizan operaciones simultáneas a cada lado de la igualdad, como si fueran ecuaciones, se debe verificar que las expresiones relacionadas mediante la igualdad son equivalentes, transformando un miembro de la igualdad por medio de las identidades conocidas, hasta llegar a encontrar una expresión equivalente y conocida del otro miembro de la igualdad.


IDENTIDADES FUNDAMENTALES Algunas identidades trigonométricas se determinan a partir de relaciones básicas, las cuales son empleadas para transformar algunas expresiones en otras expresiones equivalentes, que facilitan las operaciones, por lo que se denomina identidades trigonométricas fundamentales. Son ellas las identidades de cociente, recíprocas, pitagóricas y las par e impar. Veamos: 1. Identidades de cociente Estas identidades se deducen a partir de las definiciones mediante razones trigonométricas:

Sen θ = r

y � Sen θ = y

Cos θ = r

x � Cos θ = x

entonces, tg θ = θθ Cos

Sen , ctg θ =

θθ

Sen

Cos

2. Identidades recíprocas o inversas Por definición tenemos:

Sen θ = r

y y Csc α =

y

r si y ≠ 0 (ver figura 1)

Por consiguiente si Sen θ ≠ 0 entonces:

Sen θ = θ Csc

1 y Csc θ =

θSen

1 por lo tanto Sen θ . Csc θ = 1

Las identidades trigonométricas fundamentales son empleadas para transformar algunas expresiones en otras expresiones equivalentes que facilitan las operaciones.


Figura 1

Figura 2

Así pues, si Cos θ ≠ 0, entonces

Cos θ = θ Sec

1 y Sec θ

θ Cos

1, por lo tanto Cos θ . Sec θ = 1

y si tg θ ≠ 0, obtendremos que:

tg θ = θ Ctg

1 y Ctg θ =

θ tg

1, por consiguiente tg θ . Ctg θ = 1

3. Identidades Pitagóricas

Como su nombre lo indica estas identidades se deducen de la aplicación del Teorema de Pitágoras con un ángulo θ en posición normal inscrito en una circunferencia unitaria. Del triángulo rectángulo OAB, Figura 1, tenemos por Pitágoras que x² + y² = r²; por definición tenemos que Sen θ = y, y Cos θ = x; por lo tanto:

Sen² θ + Cos² θ = 1 para todo θ Así pues, Sen² θ = 1 – Cos² θ y Cos² θ = 1 – Sen² θ a En la figura 2, observamos geométricamente que al aplicar el teorema el Pitágoras en el triángulo OCD tenemos: OD² ² ² += CDOC . donde OC corresponde a la línea trigonométrica que representa Sec θ, CD corresponde a la línea trigonométrica que representa tg θ y OD = 1.

Así pues, Sec² θ = tg² θ + 1 esta identidad se satisface para todo θ ≠ 2

π

(2k + 1), k ∈ ZZ, porque las funciones secante y tangente no están definidas para los múltiplos impares de 90º.

Identidades fundamentales Pitagóricas Recíprocas Por cociente

Sen² θ + Cos² θ = 1 Sen θ = θ Csc

1 tg θ =

θθ Cos

Sen

Sec² θ = t² θ + 1 Cos θ = θSen

1 Ctg θ =

θθ

Sen

osC

Csc² θ = Ctg² θ + 1 tg θ = θ Ctg

1


Figura 3

Demostremos la anterior identidad partiendo de la identidad pitagórica fundamental:

Sen² θ + Cos² θ = 1

Si Cos θ ≠ 0, podemos dividir a ambos lados entre Cos² θ y obtenemos:

θ=

θθ+

θθ

Cos²

1

Cos²

Cos²

Cos²

Sen²

Simplificando θ

=+θθ

Cos²

11

Cos²

Sen²

Luego tg² θ + 1 = Sec² θ Observemos a partir de la figura 3, que geométricamente para el ángulo θ, OF = Csc θ y EF = Ctg θ, y al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo OEF obtenemos:

OF² = EF² + OE²

Como OE² = 1, luego Csc² θ = Ctg² θ + 1 esta identidad se cumple para todo θ ≠ kπ, k ∈ ZZ, porque las funciones cosecante y cotangente no están definidas por los múltiplos de 180º. A partir de la identidad pitagórica fundamental demuestra la identidad Csc² θ = Ctg² θ + 1

CUADRO DE RESUMEN DE LAS OCHO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

1. Sen x Csc x = 1 ↔ Csx x = 1/Sen x ↔ Sen x = 1/Csc x, x ≠ kπ, k ∈ ZZ, 2. Cos x Sec x = 1 ↔ Sex x = 1/Cos x ↔ Cos x = 1/Sec x, x ≠ π/2, k ∈ ZZ, 3. tg x Ctg x = 1 ↔ Ctg x = 1/tg x ↔ tg x = 1/Ctg x, x ≠ π/2 4. tg x = Sen x/Cos x, x ≠ π/2 + kπ 5. Ctg x = Cos x/Sen x, x ≠ π/2 6. Sen² x + Cos² x = 1 ↔ Sen² x = 1 – Cos² x ↔ Cos² x = 1 – Sen² x 7. 1+tg²x = Sec²x ↔ tg²x = Sec²x–1 ↔ Sec²x–tg²x = 1, x≠π/2+kπ, k ∈ ZZ, 8. 1+Ctg²x = Csc²x ↔ Ctg²x = Csc²x–1 ↔ Csc²x–Ctg²x = 1,x≠kπ, k ∈ ZZ,


Aplicar las identidades pitagóricas y simplificar las siguientes expresiones: 1) (1 – Cos α) (1 + Cos α) 2) (Sen θ + Cos θ)² + (Sen θ - Cos θ)²

3) ββββ Ctg² Sec²

Csc² ²tg

Escribir la expresión dada en términos del seno o del coseno: 4) Ctg² θ Sec θ en términos de Cos θ

5) r tg²

r Sen³ en términos de Sen r

6) β

ββ Csc²

Ctg² - Sec² en términos de Cos β

Verificar o comprobar la identidad:

7) αα+

αα

Cos

Sen

Csc

Sec = 2 tg α

8) tg β Cot β - Cos² β = Sen² β 9) (Sec θ + tg θ) (Sec θ - tg θ) = 1 10) Sec α (Ctg α + tg α) = Sec α 11) (1 ≠ tg² β) (1 – Sen²β) = 1

12) Sen x - 1

xCos

xCos

Sen x - 1 + = 2 Sec x

13) (Csc y – 1) (Csc y + 1) = Ctg² y

14) 1 Sec tg

1 Sec tg

+α−α−α+α

= tg α + Sec α

15) tg² x Cos² x + Ctg² x Sen² = 1 16) Sen α + Cos α Ctg α = Csc α 17) (Sec µ - tg µ) (Csc µ + 1) = Ctg µ


18) β−

β Sen1

Cos = Sec β + tg β

19) Sec 4θ - tg 4θ = θ

θ+ ²Cos

²Sen1

20) β−

β+β−β

Ctg1

Sen

tg1

Cos = Sen β + Cos β

Demuestre que la ecuación no es una identidad. (Recomendación: halla un número del dominio de x o α para el que la ecuación sea falsa).

21) Cos x = x²Sen1− 22) (Sen α + Cos α)² - Sen² α + Cos² α 23) Cos f(x) = - Cos x 24) Sen (x + π) = Sen x

25) α+α Cos² ²Sen = Sen α + Cos α


T.13 COMPROBACIÓN DE IDENTIDADES Para la comprobación o verificación de las identidades trigonométricas no existe un método único, pero podemos recomendar algunos pasos que puedes tomar según sea el caso: 1. Dominar con precisión las ocho identidades fundamentales. 2. Escoger el lado de la identidad que se encuentra expresada de forma

más complicada, para transformarlo a la forma más sencilla del otro, empleando las identidades fundamentales.

3. Reescribir sumas o diferencias de cocientes como un solo cociente. 4. Para algunos ejercicios es conveniente reescribir un miembro de la

identidad en términos de solo senos y/o cosenos. 5. No olvidar el objetivo, es decir, la expresión a la que se quiere

llegar. 6. Es importante recordar no tratar las identidades como si fueran

ecuaciones, pues no se puede aplicar propiedad uniforme, es decir, sumar a ambos lados de la igualdad y obtener un enunciado verdadero pues el enunciado original es el que se está tratando de verificar.

Ejemplo 1: Verificar que α=αα

²tg ²Cos

Cos² - 1

Solución: 1

Separar la diferencia α=αα−

α²tg

Cos²

Cos²

Cos²

1

Simplificar 2

Cos

1

α - 1 = tg² α

Por identidad fundamental recíproca Sec² α - 1 = tg² α Por identidad pitagórica tg² α = tg² α

¿Donde está el error?

• 1 + Sen² θ = Cos² α

• βθ Cos² - Cos² = Cos θ - Cos β

• β

=

βα

Cos²

A Cos

Cos

Cos2


Ejemplo 2:

Demostrar que θ+

θ+θ Cos1

tgSen = tg θ y verificar la identidad para

4

π.

Dejar en función de seno: θ+

θθ+θ

Cos 1 Cos

SenSen

= tg θ

Sumar fracciones: θ+

θθ+θθ

Cos 1 Cos

Sen Cos Sen

= tg θ

Factorizar θ+

θ+θθ

Cos 1 Cos

)1 (Cos Sen

= tg θ

Por propiedad fundamental de las proporciones

1) (Cos Cos

1) (Cos Sen

+θθ+θθ

= tg θ

Simplificando θθ Cos

Sen = tg θ

Por lo cual tg θ = tg θ Ejemplo 3:

Expresar la expresión α−α

²Sen

1 Sec²en términos de Cos α y simplificar.

Solución:

α

α=α−α

Sen²

²tg

²Sen

1 Sec²

= α

αα

²Sen

Cos

Sen 2

α

= αα

α Sen²

1

Cos²

Sen²

así; α

=α−α

Cos²

1

Sen²

1 Sen²


Ejemplo 4:

Comprobar la identidad α

α++α+

α Sen

Cos 1

Cos 1

Sen = 2 Csc α

Sumar las fracciones )(Sen ) Cos1(

)² Cos (1 Sen²

αα+α++α

= 2 Csc α

Resolver el cuadrado de la suma )(Sen ) Cos1(

Cos² Cos 2 1 Sen²

αα+α+α++α

= 2 Csc α

Por asociación )(Sen ) Cos1(

Cos 21 ) Cos² (Sen²

αα+α++α+α

= 2 Csc α

Luego )(Sen ) Cos (1

Cos 22

αα+α+

= 2 Csc α

Factorizar )(Sen ) Cos (1

) Cos (1 2

αα+α+

= 2 Csc α

Por lo tanto α Sen

2 = 2 Csc α

Así se verifica que 2 Csc α = 2 Csc α Ejemplo 5:

Demostrar que θ+

θ+θ Cos1

tg Sen = tg θ y verificar la identidad para

4

π.

Solución:

Por identidad fundamental θ+

θθ+θ

Cos 1 Cos

SenSen

= tg θ

Sumar de fracciones: θ+

θθ+θθ

Cos 1 Cos

Sen Cos Sen

= tg θ


Factorizar Sen θ θ+

θ+θθ

Cos 1 Cos

)1 (Cos Sen

= tg θ

Aplicar teorema fundamental de las proporciones

1) (Cos Cos

1) (Cos Sen

+θθ+θθ

= tg θ

Simplificar: tg θ = tg θ

Verificar que se cumple la identidad para θ = 4

π.

4

tg

4Cos1

4tg

4Sen π=π+

π+π

1

2

41

12

2

=+

+

1 = 1


Ejemplo 6: Existen identidades que para su comprobación es necesario transformar cada lado de la ecuación en la misma expresión.

Comprobar la identidad (tg β - Sec β)² = β+β−

Sen1

Sen1

Transformar primero el lado izquierdo:

(tg β - Secβ)² = β+β−

Sen1

Sen1

Solucionar el cuadrado de la diferencia

tg² β - 2 tg β · Sec β + Sec² β = β+β−

Sen1

Sen1

Reemplazar por identidades fundamentales

β+β−=

β+

β

ββ−

ββ

Sen1

Sen1

Cos

1

Cos

1

Cos

Sen2

Cos

Sen22

Por expresiones equivalentes

β+β−=

β+

ββ−

ββ

Sen1

Sen1

²Cos

1

Cos²

Sen 2

²Cos

²Sen

Sumar fracciones β+β−=

β+ββ

Sen1

Sen1

²Cos

1 Sen 2 - Sen²

Al analizar la expresión encontrada en el miembro izquierdo no podemos llegar a la expresión del miembro derecho, entonces se trabaja con el derecho hasta llegar a la expresión de la izquierda, entonces:

β+β−=

β+ββ

Sen1

Sen1

²Cos

1 Sen 2 - Sen² ·

β−β−

Sen1

Sen1

β−β+β−=

β+ββ

²Sen1

²SenSen 21

²Cos

1 Sen 2 - Sen²

β+β−β=

β+ββ

²Cos

1 Sen 2²Sen

²Cos

1 Sen 2 - Sen²

Así pues, como todos los pasos son reversibles, la ecuación es una identidad.

aplicar conjugada del denominador

producto de fracciones establecer diferencia de cuadrados

reemplazar identidad pitagórica


T. 11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS Comprobemos si la siguiente expresión es verdadera.

Sen 30º + Sen 60º = Sen 90º

Reemplacemos sus valores: 2

3

2

1 + = 1

Suma de fracciones 2

31+ = 1

Cociente 2

7.2 = 1

Desigualdad � 1.35 ≠ 1 Entonces concluimos que la expresión inicial es falsa y que:

Sen α + Sen β ≠ Sen (α + β)

Por lo cual deduciremos geométricamente las fórmulas de las identidades trigonométricas para la suma y la diferencia. Veamos:

1. Identidades de suma y diferencia de ángulos para senos

Dados los ángulos α y β en posición normal F un punto en el lado final de α + β y H un punto en el lado final de α. _____ _____ _____ _____

Observemos en la figura 1, FG ⊥ OI y FH ⊥ OH; por lo tanto < HFG es congruente con < HOI. ___ ____ ____ ____

Además tenemos que JG = HI y JH = GI Así, decimos que:

Sen (α + β) = FO

IH

FO

JF

FO

GJ

FO

JF

FO

GJJF

FO

GF +=+=+=

= FO

HO

HO

IH

FO

HF

FO

JF

FO

HO

FO

IH

HF

HF

FO

GF •+•=•+•

= Cos α Sen β + Sen α Cos β = Sen α Cos β + Cos α · Sen β

entonces: Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β. Figura 1


La identidad para el seno de la diferencia de ángulos se puede deducir a partir de la identidad para la sumas así:: como la función senos es impar, entonces, Sen (-α) = - Sen α y como la función coseno es par, luego tenemos que Cos (-α) = Cos α. Por consiguiente Sen (α - β) = Sen [α + (-β) ] = Sen α Cos (-β) + Cos α Sen (-β) = Sen α Cos β + Cos α (- Sen β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β

Concluimos que: Sen (α - β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β

Ejemplo 1:

Encontrar el valor exacto de Sen

π12

5 expresando el ángulo como la

suma de otros dos ángulos.

Solución:

Sen

π+π=

π+π=π46

Sen 12

3

12

2Sen

12

5

Aplicar la fórmula de suma de seno

= Sen 4

Sen 6

Cos4

Cos 6

ππ+ππ

Reemplazar valores = 2

2

2

3

2

2

2

1 •+•

Efectuar productos = 4

6

4

2 +

Efectuar suma de fracciones = 4

62 +

Respuesta = )62(4

1 +

Ejemplo 2: Encontrar el valor exacto de Sen 150º expresando el ángulo como la diferencia de otros dos. Solución: Sen 150º = Sen (180º - 30º) = Sen 180º Cos 30º - Cos 180º · Sen 30º

= 0 . 2

1).1(

2

3 −−

= 2

1


2. Identidades de suma y diferencia de ángulos para cosenos: con base en la figura 1 podemos afirmar que:

Cos (α + β) = FO

HJ

FO

IO

FO

IG

FO

IO

FO

IGIO

FO

GO −=−=−=

= FO

HF

HF

HJ

FO

HO

HO

IO

HF

HF

FO

HJ

HO

HO

FO

IO •−•=•−•

= Cos α Sen β - Sen α • Sen β Es decir: Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β. A partir de la identidad de suma de ángulos para coseno deduciremos la diferencia de coseno: Cos (α - β) = Cos [α + (-β)] = Cos α Cos (-β) - Sen α Sen (-β)

Como Cos (-β) = Cos β y, y, Sen (-β) = – Senβ, entonces: Cos (α - β) = Cos α Cos β - Sen α (-Sen β) Finalmente: Cos (α - β) = Cos α Cos β Sen α Sen β Ejemplo 3: Encontrar el valor exacto de Cos 135º expresándolo como la suma de otros dos ángulos. Solución: Cos 135º = Cos (90º + 45º) = Cos 90º Cos 45º - Sen 90º · Sen 45º

= 0 . 2

2 - 0

2

2.1

2

2 =−

Respuesta Cos 135º = 2

2−

Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β Sen (α - β) = Sen α Cos β - Cos α Sen β Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β Cos (α - β) = Cos α Cos β + Sen α Sen β


Ejemplo 4: Hallar el valor exacto de Cos 15º expresando 15º = 60º - 45º. Solución: Cos 15º = Cos (60º - 45º) = Cos 60º Cos 45º + Sen 60º Sen 45º

= 2

1

2

2

2

3

2

2 +

= 4

62 +

Respuesta Cos (60º - 45º) = )62(4

1 +


3. Identidades de suma y diferencia de ángulos para tangentes: con

base en la identidad tg θθθθ = θθ Cos

Sen y las identidades de suma de

ángulos para Sen y Cos obtendremos la fórmula para tg (αααα + ββββ).

tg (α + β) = )( Cos

)(Sen

β+αβ+α

= βαβαβα+βα

Sen Sen - Cos Cos

Sen Cos Cos Sen

=

βαβα

βαβαβα+βα

Cos Cos

Cos CosSen Sen - Cos Cos

Sen Cos Cos Sen

Dividir por 1 = βαβα Cos Cos

Cos Cos

=

βαβα−βα

βαβα+βα

Cos Cos

Sen Sen Cos Cos Cos Cos

Sen Cos Cos Sen

=

βαβα−

βαβα

βαβα+

βαβα

Cos Cos

Sen Sen

Cos Cos

Cos CosSen Cos

Sen Cos

Cos Cos

Cos Sen

=

βαβα−

ββ+

αα

Cos Cos

Sen Sen 1

Sen

Sen

Cos

Sen

Reemplazar por identidad fundamental

βαβα

. tg-1

β tg α tg)(

tgtg

+=+

Así pues para deducir la fórmula de la diferencia de ángulos para la tangente partiremos de la fórmula para la suma tg (α + β), veamos:

tg (α - β) = tg (α + (- β)) = )(- tg· tg- 1

)(- tg tg

βαβ+α

, luego,

Aplicar propiedad fundamental de las proporciones.

Separar adición y sustracción de fracciones y simplificar.

Identidad de suma de ángulos para tangente.


βαβαβα tg· tg 1

tg tg)( tg

+−=−

Ejemplo 5:

Verificar la identidad tg ( α - 4

π) =

1 tg

1 - tg

+αα

Solución: Reemplazar por identidad de una diferencia para tangente:

tg ( α - 4

π) =

4 tg tg1

4 tgtg

πα+

πα

Como tg 4

π = 1, entonces tg ( α -

4

π) =

1 tg1

1 - tg

•α+α

así pues, tg ( α - 4

π) =

1 tg

1 - tg

+αα

Ejemplo 6: Verificar que tg (π + θ) = tg θ Solución:

tg (π + θ) = θπ−θ+π tg tg1

tg tg

tg (π + θ) = θ−θ+θ tg 01

tg

así, tg (π + θ) = tg θ

¡IMPORTANTE! Solo se puede aplicar las fórmulas de suma y diferencia de ángulos para la tangente, en ángulos α y β para los que la tg α y tg β están definidos, es decir, para todos los ángulos excepto los

múltiplos de 4

π.


T. 13 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DOBLES Y ÁNGULOS MEDIOS 1. Identidades para ángulos dobles Con base en las identidades de la suma de ángulos para seno y coseno, Sen (α + β) y Cos (α + β), hagamos α = β = θ. Por consiguiente Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β Sen (θ + θ) = Sen θ Cos θ + Cos θ Sen θ Sen 2θ = 2 Sen θ Cos θ (1)

Altura Cos (α + β) = Cos α Cos β - Sen α Sen β Cos (θ + θ) = Cos θ Cos θ - Sen θ Cos θ Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ (2)

Con base en la identidad pitagórica Sen² θ + Cos² θ = 1, podemos escribir otras fórmulas para Cos 2θ, veamos: Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ = Cos 2θ = (1 – Cos² θ) – Sen² θ Cos 2θ = 1 – 2 Sen² θ (3) Además, Cos 2θ = Cos² θ - Sen² θ = Cos 2θ = Cos² θ - (1 – Cos² θ) = Cos 2θ = 2 Cos² θ - 1 (4) Para hallar la identidad que expresa tg 2θ en términos de tg θ tomamos la fórmula de la tangente de la suma:

tg (α + β) = βαβ+α tg tg-1

tg tg si hacemos α = β = θ

tenemos:

tg (θ + θ) θθθ+θ tg tg- 1

tg tg


por lo tanto:

θ

θ=θ

tg²- 1

tg22 tg (5)

Es importante tener en cuenta otras fórmulas de ángulos dobles que se derivan de las identidades (3) y (4). Así pues, despejando Sen² θ de la fórmula (3) tenemos: Cos 2θ = 1 – 2 Sen² θ 2 Sen² θ = 1 – Cos 2θ

entonces, 2

2 Cos - 1 ²Sen

θ=θ (6)

De igual manera despejando Cos² θ de la fórmula (4) tenemos: Cos 2θ = 2 Cos² θ - 1 2 Cos² θ = 1 + Cos 2θ

entonces, 2

2 Cos - 1 ²Cos

θ=θ (7)

Con estas últimas identidades (6) y (7) sirven para expresar una fórmula de tg² θ así:

tg² θ =

2

2 Cos 12

2 Cos - 1

Cos²

Sen²

/θ+

/θ

=θθ

luego, θ+θ=θ

2 Cos 1

2 Cos - 1 ²tg (8)

¡IMPORTANTE! La identidad de tg 2θ = θ

θ tg²- 1

tg2, no es válida para los θ

4

1π +

4

1kπ, donde k es un

entero, pues para estos casos el denominador sería cero, tampoco es válida para θ 2

πkπ , porque tg θ es

indeterminado para estos valores.


Ejemplo 1:

Si Sen β = 5

4 halla los valores exactos de A) Sen 2β y b) Cos 2β.

Solución: Se sustituye en las fórmulas de ángulo doble: a) Sen 2β = 2 Sen β Cos β

= 2

5

3,

5

4

= 25

24

b) Cos 2β = Cos² β - Sen² β

= =

−

22

5

4

5

3

= 25

16

25

9 −

= 25

7−

Ejemplo 2: Determinar una identidad para tg 4β en términos de tg β. Solución: Con base en la identidad de la tangente de una medida doble con θ = 2β tendríamos:

tg 2 (β) = β

β2 tg²- 1

2 tg2

al lado izquierdo aplicamos la identidad de la tg con argumento doble con θ = β, así pues:

tg 4β =

ββ−

ββ

tg²- 1

tg21

2 tg²- 1

2 tg22


=

)² tg²- (1

tg²4 - )² tg²- (1 tg²- 1

tg4

βββ

ββ

=

ββ−β+β

β

βββ

)² tg²- (1

tg²4 tg tg²2 - (1 )² tg²- (1

tg²- 1

tg4 )² tg²- (1

4

= β+β

ββ tg tg²6 - 1

) tg²- (1 tg44

β

Ejemplo 3: Hallar una identidad para Sen 3θ en términos de Sen θ. Solución: Sen 3θ = Sen (2θ + θ)

= Sen 2θ Cos θ + Cos 2θ Sen θ

= (2 Sen θ Cos θ) Cos θ + (1 – 2 Sen² θ) Sen θ

= 2 Sen θ Cos² θ + Sen θ - 2 Sen³ θ

= 2 Sen θ (1 – Sen² θ) + Sen θ - 2 Sen³ θ

= 2 Sen θ - 2 Sen³ θ + Sen θ - 2 Sen³ θ

= 3 Sen θ - 4 Sen³ θ


2. Identidades para ángulos medios Aplicando las identidades 6, 7 y 8 podemos demostrar las fórmulas de

ángulos medios. Siendo θ = 2

α tenemos:

Sen² θ = 2

2 Cos - 1 θ

entonces, Sen² 2

α =

2

Cos - 1 α

luego: 2

Cos1

2Sen

α−=α +

− (9)

Así mismo, Cos² θ = 2

2 Cos 1 θ+

entonces, Cos² 2

α =

2

Cos 1 α+

luego: 2

Cos1

2Sen

α+=α +

− (10)

De igual forma,

tg² θ = θ+θ−

2 Cos1

2 Cos 1

entonces, tg² 2

α =

α+α− Cos1

Cos 1

luego: α+α−=α +

− Cos1

Cos1

2tg (11)


Ejemplo:

Comprobar que 2 Csc α = tg 2

α + Ctg

2

α

Solución: Se trabajará el lado derecho de la identidad, entonces:

tg 2

α + Ctg

2

α =

2

Cos12

Cos1

2

Cos12

Cos1

2Sen

2Cos

2Cos

2Sen

α−

α+

+α+

α−

=α

α

+α

α

= α−α+

α+α++α−α−Cos1Cos1

Cos1Cos1Cos1Cos1

= α

α++α−=α−

α++α−²Sen

Cos1Cos1

²Cos1

²Cos1²Cos1

= α Sen

2 = 2 Csc α, Por consiguiente

tg 2

α + Ctg

2

α = 2 Csc α

Sen 2

α = +

2

Cos1 α− Cos

2

α = +

2

Cos1 α+ tg

2

α = +

α+α−

Cos1

Cos1


Expresar cada ángulo como la suma o la diferencia y hallar el valor de la expresión:

1) Cos 12

7π 4) tg 75º 7) Sen

2) Cos 255º 5) tg 12

7π− 8) Sen 375º

3) Cos 12

9π− 6) tg 12

11π 9) Sen 435º

Obtener los valores exactos:

10) Cos 50º Cos 275º + Sen 50º Sen 275º 13) 100º tg110º tg- 1

110º tg- 65º tg

11) Cos 250º Cos 70º + Sen 250º Sen 70º 14) Cos 125º Cos 25º - Sen 125º Sen 64º

12) 55º tg125º tg- 1

55º tg 125º tg + 15) Sen 85º Sen 25º + Cos 85º Cos 25º

Emplear las identidades de suma y diferencia para comprobar la fórmula de reducción:

16) Cos (2π - α) = Cos α 19) Cos

β+π2

1 = - Sen β

17) tg (2π - α) = - tg α 20) Cos (π + β) = - Cos β

18) tg

−π x2

3 21) Cos

β−π2

3 = - Sen β

Compruebe las identidades: 22) Cos (α + β) + Cos ((α - β) = 2 Cos α Cos β

23) βα

β+α Cos Sen

)( Sen= 1 + Ctg α tg β

24) Sen (α + β) + Sen ((α - β) = 2 Sen α Cos β

25) βα

β−α Cos Sen

)( osC= Ctg α + tg β


Escriba el valor exacto de las siguientes expresiones usando la información dada con respecto al ángulo α: 26) Sen α = 3 Sen α > 0 27) tg α = -3, Sen α < 0 28) Ctg θ = -2, Sec α < 0

29) Cos α = - 5 , Cos α < 0

30) Sen α = 5

3 0 < α <

2

π

Verifica si las siguientes identidades son verdaderas, si no lo son explica el error:

31) Sec 2β = β−

β ²Sec2

Sec²

32) Sen α + Sen α = 2 Sen 2α Cosα

33) Cos 2

θ- Cos

2

3θ = 2 Sen θ Sen

2

θ

34) Ctg 2 α = 2

1(Ctg α - tg α)

35) (4 Sen β Cos β) (1 – 2 Sen² β) = Sen ≠ β

módulo 2, identidades

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