modos y criterios de falla

7/25/2019 Modos y Criterios de Falla

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Mecnica Estructural Escuela de Posgrado PUCPCAPTULO 4: Modos y Criterios de Falla

Profesor: Jos Acero Martnez 157

CRITERIOS ALTERNATIVOS DE FLUENCIA

Existen muchos otros materiales de uso en ingeniera cuyo comportamiento es distintodel de los metales dctiles, por lo que el criterio de fluencia o mejor dicho, criterio defalla, debe ser adecuado a los mismos. Entre estos materiales estn los suelos, roca,

concreto, etc. La caracterstica del comportamiento de estos materiales es que surespuesta no lineal es frgil por lo general, a no ser que exista una presin deconfinamiento relativamente alta (compresin del tipo hidrosttico).

Criterio de Mohr-Coulomb

El comportamiento en fluencia de muchos materiales cohesivos como roca y concreto

depende del esfuerzo hidrosttico, en el sentido de que un incremento en el esfuerzo decompresin hidrosttico incrementa la capacidad de estos materiales a resistir lafluencia. Adems, estos materiales pueden tener diferentes esfuerzos de fluencia entraccin y en compresin. El criterio de Mohr-Coulomb es una generalizacin del

criterio de Tresca que toma en cuenta la influencia del esfuerzo hidrosttico.

La funcin de fluencia se escribe en trminos de los esfuerzos y de dos propiedades delmaterial: la cohesin c y el ngulo de friccin interna .

Para esfuerzos principales ordenados 1> 2> 3, la funcin de fluencia del criterio deMohr-Coulomb es:

f = 1- 3+ (1+ 3) sen - 2 c cos (4.27)

Si los 3 esfuerzos principales no se presentan ordenados, la funcin de fluencia sevuelve:

f = mx [i- j+ (i+ j) sen ] - 2 c cos (4.28)ij

En el caso de traccin uniaxial hasta la fluencia, 1= ft, 2= 3= 0, de la ecuacin(4.27) se obtiene que el esfuerzo de fluencia en traccin es:

ft= (2 c cos ) / (1 + sen ) (4.29)

Similarmente, en el caso de un estado uniaxial en compresin, 1= 2= 0, 3= fc, sepuede obtener el esfuerzo de fluencia en compresin:

fc= (2 c cos ) / (1 - sen ) (4.30)

De las ecuaciones (4.29) y (4.30) se puede resolver para c y en funcin de fty fc:

ft

fcftc

2 (4.31)

fc

ft

arctan2

2 (4.32)


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Si el material en estudio es concreto por ejemplo, y los parmetros de resistencia fcyft son conocidos, las ecuacin (4.31) y (4.32) se pueden emplear para encontrar las

propiedades c y que se emplean en la funcin de fluencia. Los parmetros deresistencia fcy ft, se obtienen de ensayos de traccin y compresin del material, loscuales pueden ser representados en el crculo de Mohr (figura 4.17), tambin se puede

hacer un ensayo en torsin y graficar su crculo de Mohr. La envolvente de estoscirculos de Mohr es denominada por algunos autores curva intrinseca

Figura 4.17. Teora de fluencia de Mohr

La superficie de falla de este criterio tiene la forma ms o menos de una pirmidehexagonal irregular, cuya geometra depende de los valores de c y de . El eje de la

pirmide es el eje hidrosttico (1 = 2 = 3). La superficie de fluencia de Mohr-Coulomb se muestra en la figura 4.18

Figura 4.18. Superficie de fluencia de Mohr- Coulomb


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Para el caso de material sin friccin, = 0, el criterio de Mohr-Coulomb se reduce alcriterio de Tresca, en donde c = f(el esfuerzo de fluencia en corte puro).

Notar que si tenemos los ensayos experimentales de varios estados de esfuerzo (porejemplo traccin pura, compresin pura y corte puro), podemos trazar los circulos deMohr y la curva intrnseca, y la superficie de fluencia en funcin de los esfuerzos

principales tendr la forma de la figura 4.19

Figura 4.19. Superficie de fluencia de Mohr

Sin embargo, si los nicos datos disponibles son fcy ft, se puede trazar tangentes alos crculos de Mohr, obteniendo una superficie de fluencia simplificada como semuestra en la figura 4.20.

Figura 4.20. Superficie de fluencia de Mohr simplificada

En sntesis en el criterio de Mohr, lo ms simple es aproximar la envolvente lmite(curva intrnseca) con la tangente a los crculos de traccin y compresin. Esto noexcluye la posibilidad que se pueda mejorar la envolvente con ms resultados deensayos, y reflejar as de manera ms completa el comportamiento del material.

Determinemos ahora expresiones para el esfuerzo equivalente e y el factor de

seguridad, suponiendo que la envolvente es una recta, en la figura 4.21 se observa que laenvolvente es la recta tangente a los crculos lmites en traccin y compresin (puntos D


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y F). El crculo de Mohr para un estado de esfuerzos cualquiera se traza igualmente,representado por sus esfuerzos principales mximo y mnimo 1 y 3. Si todas lascomponentes de ese estado de esfuerzos se aumentan n veces (siendo n el factor deseguridad), entonces el crculo se volver uno lmite. Los esfuerzos 1y 3pasarn aser los valores 1* y 3* :

1* = n 1 y 3* = n 3 (**)

Este crculo lmite (aumentado) de Mohr es tangente a la envolvente lmite en el puntoC. Al mismo tiempo, como todo ha crecido proporcionalmente, ser tambin tangente ala continuacin de la lnea OA en el punto B. Del punto C trazamos la recta horizontalCEG y planteamos la proporcin:

GC

FG

EC

DE

Figura 4.21. Crculos de Mohr, para la obtencin del factor de seguridad

Como los segmentos DE y FG constituyen las diferencias de los radios de los crculosen cuestin, obtendremos:

2

**

2

31

ft

DE 2

**

2

31

fcFG

Tambin:

22

**

31 ftEC

22

** 31

fcGC

Reemplazando en la proporcin se obtiene: **31

fc

ft

ft

Teniendo en cuenta las expresiones (**) se puede despejar finalmente el factor deseguridad n:

31

fc

ft

ftnFS

(4.33)

En el caso de un estado uniaxial en traccin,e

ftFS


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De la condicin de equivalencia, los factores de seguridad de estos dos estados deesfuerzos son iguales y por lo tanto:

31

fc

ft

e

En el caso de materiales frgiles, la relacinfc

ft

se sustituye porrc

rt

En el caso particular de un material que tiene iguales esfuerzos de fluencia en traccinque en compresin, entonces este criterio coincide con el criterio de Tresca o criterio delmximo esfuerzo cortante.

Ejemplo 4.3. En una pieza de porcelana, cuyos esfuerzos de fluencia a traccin y a

compresin simples son respectivamente:

2/30

cmkgft

y

2/120

cmkgfc

.Dichapieza se encuentra en un estado de esfuerzo siguiente: x= -18 kg/cm

2, y= 0 kg/cm2,

xy= -12 MPa. Se pide calcular el coeficiente de seguridad, aplicando:

a) La teora de Mohrb) El criterio de Trescac) El criterio de Rankined) El criterio de Von Mises

Primero determinaremos los esfuerzos principales:

Centro del Crculo de Mohr: C = med= (x+ y) = (-18) = -9 kg/cm2

Radio del Crculo de Mohr: R = mx =22)12()2/18( = 15 kg/cm2

Esfuerzos Principales:

1= C + R = -9 + 15 = 6 kg/cm2,

3= C - R = -9 - 15 = -24 kg/cm2, adems 2=0

a) Aplicando la teora de Mohr:

5.2

)24(120

306

30

31

fc

ft

ftFS

b) Aplicando el criterio de Tresca:

1246

30

31

ftFS


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c) Aplicando el criterio de la tensin principal mxima o de Rankine:

56

30

1

ftFS

d) Aplicando el criterio de la energa de distorsin de Von Mises:

09.1

5.27

30

302462

1

30

2

1 222213

2

32

2

21

ftFS

Los resultados obtenidos nos indican que segn el criterio de Von Mises el material dela pieza de porcelana, estara en rgimen elstico, pero cercano al rgimen plstico. Elcriterio de Tresca nos indica que el material se encontrara en el lmite delcomportamiento elstico y estaran comenzando deformaciones plsticas. Por elcontrario, la aplicacin de los criterios de Mohr y de Rankine nos dice que el material

esta en rgimen elstico y lejano de que comiencen las deformaciones plsticas;doblemente lejano segn el segundo criterio respecto del primero.

No debe extraar esta variedad en los coeficientes de seguridad obtenidos, ya que laporcelana es un material frgil al que no son aplicables los criterios de Tresca y de VonMises, que explican bien, como sabemos, el compartimiento de los materiales dctiles

pero no el comportamiento de los materiales frgiles.

Criterio de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager es una generalizacin del criterio de Von Mises, queincluye el efecto de los esfuerzos hidrostticos. La funcin de fluencia se puede escribirde la forma:

KJIf 21

(4.34)

Donde y K dependen de la cohesin c y del ngulo de friccin interna . La superficiede falla de este criterio, visto desde el espacio cuyos ejes son los esfuerzos principales,tiene la forma de un cono circular recto. El tamao del cono puede ajustarse para quecoincida con la pirmide de Mohr-Coulomb (figura 4.22).

Para ciertos coeficientes y K, el criterio de Drucker-Prager es un lmite exterior parala superficie de fluencia de Mohr-Coulomb. En ese caso, los valores de y K secalculan con:

)3(3

2

sen

sen

)3(3

cos6

sen

cK

(4.35)

Para el caso de material sin friccin, = 0, el criterio de Mohr-Coulomb se reduce alcriterio de Von Mises.


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Figura 4.22. Superficie de fluencia de Drucker-Prager

Criterio de Hill para materiales Ortotrpicos

Todos los criterios mencionados anteriormente estn limitados a materiales isotrpicos.El comportamiento en fluencia de materiales anisotrpicos depende de la direccin delos esfuerzos respecto a los ejes del material. Por lo tanto, el criterio de fluencia paraestos materiales anisotrpicos debe tomar en cuenta las diferentes propiedades delmaterial. Para materiales ortotrpicos existe el criterio propuesto por Hill (1950), conresultados efectivos. Este criterio es una generalizacin del criterio de Von Mises. La

funcin de fluencia tiene la siguiente forma:

f = F (22- 33)2+ G (33- 11)

2+ H (11- 22)2+

+ L (232+ 32

2) + M (132+ 31

2) + N (122+ 21

2) -1 (4.37)

Los subndices 1, 2, 3 son las direcciones del material y los coeficientes F, G, H, L, M yN se obtienen de ensayos de carga uniaxiales. Si los tres esfuerzos de fluenciacorrespondientes a las tres direcciones 1, 2, y 3 se denominan fX, fY, y fZ,respectivamente, y los esfuerzos de fluencia en corte se denominan S 12, S13, S23,entonces los coeficientes en la ec. (4.37) se pueden escribir como:

2F = 1/ fZ2+ 1/ fY

2- 1/fX2 (4.38a)

2G =1/ fZ2+ 1/ fX

2- 1/ fY2 (4.38b)

2H = 1/fX2+ 1/ fY

2- 1/ fZ2 (4.38c)

2 L = 1/S232 (4.38d)

2 M = 1/S132 (4.38e)

2 N = 1/S122 (4.38f)


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Se asume en el criterio de Hill que los esfuerzos de fluencia fX, fY, fZ son losmismos en traccin y en compresin, y que la fluencia es independiente de los esfuerzoshidrostticos.

Para un material isotrpico, los coeficientes de la funcin de fluencia se reducen a:

6F = 6G = 6H = L = M = N (4.39)

Y la funcin de fluencia de la ecuacin (4.37) se reduce a la funcin de fluencia de VonMises.

Dado que el criterio de Hill se refiere a un sistema coordenado especfico, que son lasdirecciones principales del material, no se puede cambiar los ejes de referencia sincambiar la funcin misma.

La figura 4.23, muestra las superficies de fluencia de los criterios hasta el momento

estudiados

Figura 4.23. Superficie de fluencia de criterios estudiados para estados de esfuerzoplano

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