UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICASDEPARTAMENTO DE FÍSICA

MODOS NORMALES DE LA MAGNETIZACIÓN

EN MULTICAPAS FERROMAGNÉTICAS

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN CIENCIAS,MENCIÓN FÍSICA

IGNACIO ALONSO ARMIJO MELLA

PROFESOR GUÍA:DR. RODRIGO ARIAS FEDERICI

MIEMBROS DE LA COMISIÓN:ÁLVARO NUÑEZ VÁSQUEZCARLOS GARCÍA GARCÍA

ESTE TRABAJO FUE FINANCIADO POR PROYECTO FONDECYT 1170781, CHILE, Y CENTRO PARAEL DESARROLLO DE LA NANOCIENCIA Y LA NANOTECNOLOGÍA CEDENNA FB0807 (CHILE).

SANTIAGO DE CHILE.

2019

Resumen

Se presenta un estudio sobre ondas de espín en arreglos de multicapas ferromagnéticas median-te un método nuevo. A diferencia de otras soluciones de este problema, este método puede aplicarse aconfiguraciones más generales, con campo magnético aplicado en forma oblicua al arreglo, en cualquierdirección de propagación y bajo diferentes condiciones de borde. El método está basado en los teoremasde Green-Extinción, y permite encontrar las frecuencias del sistema y la distribución espacial de los modoscon facilidad. Existe acople entre películas producto de interacciones dipolares, y en algunos casos, porinteracción de intercambio entre espines de películas contiguas, y además se considera pinning de espínsdebido a anistropía magnetica uniaxial en la superficie de las películas. Dado que se asume invarianzatranslacional en el plano del sistema, el método permite obtener las frecuencias propias como la solucióna un sistema lineal homogéneo de tamaño 6N ˆ 6N , si el sistema está compuesto por N películas. Seobtuvieron resultados numéricos para diferentes arreglos de películas, tanto en régimen magnetostático,como en dipolo-intercambio, los cuales fueron comparados con los encontrados en la bibliografía, se pre-sentaron resultados teóricos nuevos, correspondientes al caso con campo magnético aplicado en formaoblicua, y también se comparó con algunos resultados experimentales. Se mostró que cuando el sistemaes simétrico respecto de un plano central, las frecuencias son recíprocas bajo la inversión de la direcciónde propagación, mientras que la forma de los modos es no recíproca, algo que anteriormente se le atribuíasolo a los modos de Damon-Eshbach. El resolver sistemas de ondas de espín en arreglos de películasmagnetizadas en forma oblicua, podría permitir verificar experimentalmente los mecanismos que actuan enlas superficies, e interfaces de las películas del sistema

I

Abstract

A new method for the study of ferromagnetic spin wave modes in multilayered structures is presented.In contrast to other solution to this problem, this new method can be applied to more general configurations,like an obliquely applied magnetic field, for any direction of wave propagation, and for a variety of boundaryconditions. The method is based on the Green-Extinction theorems, and allows one to find the eigenfrequen-cies of the system, and the spatial distribution of the eigenmodes with ease. There is dipolar coupling, andfor some cases, exchange coupling, due to exchange interaction between adjacent layers, as well as surfacespin pinning due to uniaxial magnetic anisotropy. Numerical results where obtained for different structures,in the magnetostatic and dipole-exchange regimes, which are compared with results found in the literature,new results corresponding to the oblique applied magnetic field, and comparison with experimental data isshown. If the system is symmetric with respect to a central plane, the eigenfrequencies are reciprocal withrespect to the inversión of the propagation direction of the spin wave, but the shape of the modes is nonreciprocal, a characteristic that was only attributed to the Damon-Eshbach mode. Solving spin wave sys-tems in multilayered ferromagnetic structures magnetized obliquely, could allow to test experimentally themechanism acting on the surfaces and interfaces of the films in the array.

II

Tabla de contenido

Introducción 5

1. Modos dipolo-intercambio en una bicapa ferromagnética 71.1. Geometría, Magnetización de equilibrio y desviaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Ecuaciones magnetostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Ecuación de Landau Lifshitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Funciones auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Solución fuera de los films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Solución dentro de los films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Ecuaciones integrales, teorema de Green y teorema de la convolución . . . . . . . . . . . . . 111.5.1. Ecuaciones integrales fuera de las películas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2. Ecuaciones integrales dentro de las películas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Condiciones de borde de la magnetización 142.1. Condiciones de borde de intercambio generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Efectos de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Interacción de intercambio entre películas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2. Anisotropía superficial Uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3. Interacción de Dzyaloshinskii-Moriya interfacial (IDMI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Comentario sobre condiciones de borde y comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1. Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2. Aclaración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Solución al problema de una bi-capa, modos normales y caso magnetostático 203.1. Ecuaciones que resuelven el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Modos normales en todo el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Límite magnetostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1. Funciones auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Ecuaciones que resuelven el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3. Modos normales dentro de las películas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Generalización al caso de N films y aspectos numéricos del problema 254.1. Relación de dispersión en un arreglo de N-Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Comentarios sobre el problema numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. Resultados y discusión 295.1. Caso magnetostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2. Régimen Dipolo-Intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.1. Soluciones Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bibliografía 44

III

A. Simetría y reciprocidad de modos normales 47A.1. Régimen magnetostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.2. Régimen dipolo-intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47A.3. Simetría en sistemas recíprocos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV

Índice de figuras

1.1. Representación de un sistema compuesto por dos películas ferromagnéticas. . . . . . . . . . 8

2.1. Sistema donde ocurre IDMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1. Esquema de un sistema de N films ferromagnéticos, con dos tipos de materiales. . . . . . . 264.2. DetpP pfqq con Q fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Potencial magnetostático φpyq en un arreglo de dos películas ferromagnéticas. . . . . . . . . 28

5.1. Relación de dispersión en una bicapa de un mismo material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2. Potencial magnetostático de modos de superficie de un bilayer de materiales idénticos . . . . 305.3. Relación de dispersión en un bilayer compuesto por un film de hierro sobre un film de níquel. 315.4. Potenciales magnetostáticos de modos de superficie en un bilayer de hierro-niquel . . . . . . 315.5. Modos de bulto antes de un cruce, en un bilayer de hierro-níquel . . . . . . . . . . . . . . . . 325.6. Relaciones de dispersión en un arreglo simétrico de 5 películas, 3 de hierro y 2 de níquel . . 325.7. Potenciales magnetostáticos de algunos modos de superficie del arreglo de 5 films hierro-

níquel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.8. Potencial magnetostáticos de un modo de superficie en un arreglo de 5 films: (3)hierro-(2)níquel 335.9. Relaciones de dispersión en un bilayer de films idénticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.10.Modos dipolo-intercambio destacados de la figura anterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.11.Frecuencia en función del espesor L de todas las películas de un arreglo hierro-níquel de 5

films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.12.Frecuencia en función del parámetro de acople por interacción de intercambio A12 . . . . . . 365.13.Magnetización dinámica de los modos n “ 1 del caso oblicuo de un bilayer de hierro . . . . . 365.14.Magnetización dinámica de los modos n “ 4 para A12 “ 0 y n “ 4, 5 para A12 “ 5 ergcm . . . . 375.15.Relación de dispersión en sistemas compuestos por hierro y cobalto. . . . . . . . . . . . . . 375.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.17.Relación de dispersión en sistemas compuestos por permalloy y cobalto. . . . . . . . . . . . 385.18.Soluciones α del polinomio característico de grado 2 magnetostático . . . . . . . . . . . . . . 395.19.Soluciones αfe,ni asociadas a los casos magnetostáticos con films de hierro y níquel. . . . . . 395.20.Soluciones α del polinomio característico de grado 6, asociado al régimen dipolo-intercambio. 405.21.Soluciones αfe,ni del polinomio característico de grado 6 en el régimen dipolo-intercambio,

asociadas a casos con hierro y níquel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V

Introducción

En las últimas décadas, el problema de ondas de espín en películas ferromagnéticas, y antiferromag-néticas se ha vuelto de gran interés, producto de sus posibles aplicaciones a dispositivos para almacenarinformación [1–3] y elementos lógicos para procesarla [4–7], dado que presentan algunas ventajas por so-bre los dispositivos electrónicos y magnéticos existentes. Incluso se ha introducido un nuevo nombre parael área del estudio de las aplicaciones de ondas de espín, es decir Magnonics [8, 9], en contraposicióna Electronics. En este contexto, con respecto a propagación de ondas de espín se sabe que los arreglosde películas no-ferro/antiferro/ferromagnéticas dan pie a fenómenos que no están presentes en películasmagnéticas aisladas, y su estudio está motivado, por un lado, por la realización de nuevos dispositivosespintrónicos o para mejorar los disposivos ya conocidos [10, 11], por otro lado, porque el estudio de lasinteracciones presentes en la interfaz entre películas puede llevar a entender algunas interacciones físicasmás fundamentales, como la interacción de Dzialoshinskii-Moriya 1, el exchange bias y la interacción de in-tercambio y por último, por el descubrimiento de fenómenos interesantes, como la aparición de un gradientede temperatura en una muestra por la propagación de ondas de espín [12], que motivan la realización denuevos dispositivos y expanden el entendimiento de la naturaleza.

Experimentalmente, las ondas de espín pueden ser observadas mediante resonancias ferromagnéti-cas [13–15] o dispersión de luz de Brillouin2 [16–18], lo que ha permitido sondear los diferentes materialesdisponibles, y encontrar valores de constantes magnéticas. El estudio experimental de arreglos de pelícu-las magneticas, en conjunto con modelos teóricos, además de ayudar a comprender en forma cuantitativalas características magnéticas de los arreglos estudiados, podría permitir la fabricación de materiales conconstantes magnéticas “a la medida”, para desarrollar funciones específicas.

Este problema ha sido estudiado desde diferentes puntos de vista. Por un lado, se puede entenderun sistema de multilayers como una sola película [19], cuyos parámetros efectivos dependen de todos losmateriales que componen el arreglo, e ignorando los efectos que se producen en las interfaces; tambiénse pueden entender en forma discreta, como arreglos de planos de espín acoplados [20]; y, por último, sepuede entender cada film como un sistema homogéneo, los cuales se acoplan ferro o antiferromagnética-mente mediante condiciones de borde en las interfaces entre películas, siendo este último, el enfoque deeste trabajo.

Hasta el momento, todos los métodos para calcular la frecuencia de modos de ondas de espín sebasan en alguna aproximación, o asumen algún ansatz para la solución a las ecuaciones involucradas enel problema, como lo es el método de matriz de transferencia [21, 22], mientras que otros métodos másexactos, suelen ser más complicados en su formulación [23], involucrando funciones de Green o series infi-nitas, y están restringidos a geometrías particulares, es decir, campo magnético externo aplicado en formaperpendicular al arreglo, o paralelo a su superficie. Una revisión resumida se puede encontrar en [24]

Analíticamente, no es posible encontrar soluciones a las ecuaciones que gobiernan la dinámica de lamagnetización, debido a que esto involucra resolver ecuaciones de Maxwell acopladas con la ecuación deLandau-Lifshitz, sujetas a condiciones de borde que no están del todo entendidas. Además debe conside-rarse que algunas interacciones magnéticas y el valor de algunos parámetros que afectan la propagaciónde ondas de espín, son sensibles al tamaño del sistema, y la existencia de diferentes regímenes de propa-gación, que además depende del número de onda.

1DMI por sus siglas en ingles2FMR y BLS (Brillouin Light Scattering) por sus siglas en inglés

5

En el siguiente trabajo se presenta un método general para encontrar los modos normales de ondasde espín, bajo el modelo micromagnético continuo, en los regímenes magnetostático y dipolo-intercambio.El método utilizado corresponde a una extensión de resultados previos para una película ferromagnéticaaislada [25] al caso de N películas ferromagnéticas acopladas.

La principal novedad del trabajo es que permite encontrar los modos normales de ondas de espínen arreglos de películas ferromagnéticas para condiciones más generales que otros trabajos, con campomagnético externo aplicado en forma oblicua al plano formado por el arreglo, y diferentes condiciones deborde sobre la magnetización, permitiendo encontrar la relación de dispersión en multilayers de películasferromagnéticas.

El método hace uso del teorema de Green-Extinción, que permite escribir la solución del problemacomo una ecuación integral que involucra convoluciones, pero que gracias a la geometría y a la invarianzatraslacional en la superficie (considerada infinita), puede ser transformado a un sistema lineal de ecuacio-nes algebraicas locales en el espacio del vector de onda paralelo a la superficie. Entonces para un vector deondas dado se tiene un problema de valores propios algebraico, cuyo valor propio asociado es la frecuenciade la perturbación. El determinar las frecuencias de modos de onda de espín corresponde a resolver esteproblema homogéneo de valores propios, que involucra una matriz de 6N ˆ 6N , donde N es el número depelículas que forma el arreglo.

El documento se ordena como sigue. Primero, se presentan las ecuaciones que determinan el proble-ma en un bilayer ferromagnético; por un lado están las ecuaciones “reales” que corresponden a la físicadel problema y obedecen condiciones de borde, y por otro están las ecuaciones denominadas auxiliares,que en conjunto, permiten desarrollar el método de manera general. Segundo, se derivan las condicionesde borde generales asociadas a la magnetización, las que permiten llevar el método a un caso particularde estudio. Tercero, dadas las condiciones de borde de intercambio entre películas magnéticas, el métodoentrega un sistema lineal, el cual es sencillo de resolver en forma numérica. Se presentan además lasecuaciones que permiten encontrar la distribución de los modos normales en todo el espacio. Cuarto, seexplica como expandir el método al caso de N películas. Por último, se muestran los resultados obtenidosy se discuten, comparándolos con otros encontrados en la bibliografía y se concluye

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Capítulo 1

Modos dipolo-intercambio en unabicapa ferromagnética

A continuación se detalla la teoría utilizada para determinar los modos normales de ondas espín enun sistema formado por dos películas ferromagnéticas, dentro del modelo micromagnético continuo. Granparte de este cálculo repite resultados encontrados para una película aislada, que consiste en resolver unsistema de ecuaciones diferenciales acopladas, Landau Lifshitz para la dinámica de la magnetización, yecuaciones magnetostáticas para el campo magnético o potencial magnético, en diferentes regiones delespacio para luego acoplar estas soluciones mediante condiciones de borde apropiadas. En un caso condos películas acopladas, las condiciones de borde deben ser revisadas con un poco más de cuidado en lassuperficies contiguas de los films, pero el método es esencialmente el mismo.

El método consiste en aplicar el teorema de Green para escribir el problema de autovalores comoecuaciones integrales en los bordes de la muestra. Luego, gracias a la geometría del problema, es posibleconsiderar los films como planos e infinitos, por lo que se tiene invarianza traslacional en su superficie.Usando el teorema de la convolución y la invarianza traslacional se transforman estas ecuaciones integra-les en ecuaciones algebraicas locales, las cuales forman un sistema lineal homogéneo de 6N ˆ 6N , con Nel número de films involucrados, o 12ˆ 12 en este caso.

Originalmente el método hacía referencias a funciones de Green, cuyas transformadas de Fouriercumplen con ecuaciones que permiten comportamiento exponencial. En esta aplicación, se evita mencio-nar funciones de Green, para evitar la aparición de deltas de Dirac, y porque en un sentido práctico, solo seutilizaban las transformadas de fourier de dichas funciones. De esta manera, se hará referencia a "funcio-nes auxiliares"que son tales que cumplen con las mismas ecuaciones de movimiento que las cantidadesfísicas, y carecen de condiciones de borde, ya que no son necesarias, y sus transformadas también sonexponenciales.

A continuación se derivan las ecuaciones necesarias y se detalla el método utilizado para encontrarlos modos de ondas de espín en arreglos de películas ferromagnéticas en régimen dipolo-intercambio.

1.1. Geometría, Magnetización de equilibrio y desviaciones lineales

Se consideran dos películas ferromagnéticas dispuestas en forma paralela, considerando un espacio2`o entre ellas. Por razones que se explicarán más adelante, este espacio (o película no magnética) siempredebe existir. Las películas son llevadas a saturación magnética por un campo magnético externo constante~Ho, el cual puede estar inclinado respecto del plano formado por las películas, formando un ángulo θH .Esto produce que el ángulo de equilibrio de la magnetización en la película (j) sea θj ă θH . En equilibrio,la magnetización es paralela al campo magnético interno del material, por lo que es conveniente definir ladirección ζ para escribir ~Mj “ Mj ζ y ~H in

j “ Ho cospθHqz ` pHo sinpθHq ´ 4πMj sinpθjqqy “ Hj ζ, con Mj lamagnetización de saturación de la película (j)

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Figura 1.1: Representación de un sistema compuesto por dos películas ferromagnéticas. Se muestran losespesores de ambas películas,L1 y L2, el espacio 2` que las separa y las coordenadas 0, y1, y2, y3 queidentifican las posiciones de las superficies.

La relación entre los ángulos θH y θj está dada por

tanpθjq “Ho sinpθHq ´ 4πMj sinpθjq

Ho cospθHq(1.1)

El ángulo de equilibrio que alcanzan la magnetización de un film se considera constante en todo su espe-sor 1, e independiente de la dirección que alcance el otro, es decir, solo depende del material, y del campomagnético externo.

Los modos lineales de onda de espin son soluciones a la ecuación de Landau Lifshitz para la dinámicade la magnetización, acopladas con ecuaciones magnetostáticas para determinar los campos dipolaresasociados. A primer orden, la magnetización puede expandirse como:

~Mj “Mj ζj ` ~mj “Mj ζj `mjxx`mjυυj (1.2)

con |~mj | ! Mj , y px, υj , ζjq un nuevo sistema ortonormal adoptado en cada película para escribir lasecuaciones de manera conveniente, con ζj paralelo a la magnetización de equilibrio, determinado por:υj “ cospθjqy´sinpθjqz, ζj “ sinpθjqy`cospθjqz, es decir, la perturbación hace precesar los espíns alrededorde la configuración de equilibrio. Se buscan oscilaciones de frecuencia ω, y que tengan la forma ~m “

Rer~mωe´iωts. Para una frecuencia fija, puede existir más de un vector de onda plana ~Q “ qx` kz viajando

por el medio, por lo que puede hacerse la descomposición ~mω “ř

~Q ~mpQ,ωqei~Q¨~r.

1.2. Ecuaciones magnetostáticas

Las ondas de espín se entienden como una perturbación dinámica a la dirección de la magnetización,que a su vez tiene asociada una perturbación en el campo magnético en la región cercana a las películasy dentro de ellas, la cual cumple con las ecuaciones de Maxwell magnetostáticas o dipolares. Al no habermovimiento de carga asociado a la perturbación, estas ecuaciones son:

∇ ¨~bω “ 0 (1.3)

∇ˆ ~hω “ 0 (1.4)

con ~bω “ ~hω ` 4π~mω la inducción magnética dentro de un material ferromagnético y ~bω “ ~hω en un materialno magnético (o el vacío también). La ecuación (1.4), permite escribir ~hω “ ´∇φω, con φω el potencial

1Esto implica ignorar efectos de superficie que podrían aparecer producto de la interacción entre ambas películas o la geometríadel sistema, y que cambia la dirección de la magnetización de equilibrio cerca de los bordes.

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magnético escalar y ~hω el campo desmagnetizante. Reescribiendo las ecuaciones en función del potencialmagnético y reemplazando Mω

˘ “ 4πpmωx ˘ im

ωυjq se puede condensar la información anterior como:

∇2φω “ 0 Fuera de las películas (1.5)

´∇2φω `12 rpBx ´ iBυj

qMω` ` pBx ` iBυj

qMω´s “ 0 Dentro de la película (j) (1.6)

Las condiciones de borde para estas ecuaciones provienen de las ecuaciones de Maxwell, vale decir,continuidad de la componente normal de ~bω, y continuidad de la componente tangencial de ~hω o equivalen-temente continuidad de φω

´

1.3. Ecuación de Landau Lifshitz

La dinámica de la magnetización está descrita por la ecuación de Landau Lifshitz:

d ~M

dt“ ´|γ| ~Mp~rq ˆ ~Heffp~rq (1.7)

con ~Heff el campo magnético efectivo que actúa sobre la magnetización en la posición ~r y |γj | es la cons-tante giromagnética del material (no se ha incluido un torque asociado a disipación). Se evita agregar unsubíndice (j) al vector magnetización ~M , para entenderlo como un campo que existe en ciertas regionesdel espacio, las cuales se entienden como películas ferromagnéticas, que cumplen con la misma dinámica,y se diferencian por el valor específico de las constantes del material (región). Dependiendo de las consi-deraciones físicas y de los efectos que puedan considerarse en un material en particular, la expresión para~Heff puede variar. En este trabajo se tiene

~Heff “ ~Ho ` ~HD ` ~Hex (1.8)

con ~Ho el campo magnético externo aplicado, ~HD “ ´4πMj y ´ ∇φ el campo dipolar o desmagnetizan-te, que tiene origen en el momento magnético de los átomos del material; dentro de un film ´4πMj esconstante, y esta componente aparece para que el problema de equilibrio cumpla con las condiciones deborde magnéticas, mientras que ´∇φ es la perturbación al campo dipolar asociada a ondas de espín.~Hex “ pDjMjq∇2 ~M es el campo producido por interacción de intercambio entre espíns dentro del film ytiene esta forma en el límite micromagnético continuo, con Dj “ 2AjMj la ”dureza” del intercambio en elmaterial (j) y Aj es la çonstante"de intercambio en el material, y es una medida de la energía por unidad delongitud asociada a esta interacción. Siendo rigurosos, la expresión para ~Hex corresponde a una estructurade red cúbica simple, pero a pesar de que existen expresiónes para otros tipos de red cristalina, se utilizóesta por simpleza, ignorando cualquier otro efecto producido por la forma de la red, como la anisotropíamagnética de bulto. Las expresiones para los campos están resumidas en las ecuaciones (1.9)-(1.11)

~Ho “Ho cospθHqz `Ho sinpθHqy (1.9)~HD “´ 4πMj y ´∇φ (1.10)

~Hex “Dj

Mj∇2 ~M (1.11)

Al incluir la interacción de intercambio la ecuación de Landau Lifshitz también debe cumplir con condicionesde borde, las cuales fueron derivadas por Rado-Weertman, y serán discutidas más adelante.Al reemplazar las expresiones de los campos en (1.7) y aproximar a primer orden, se tiene:

iω ~mω “ζj ˆ |γj |pDj∇2 ~mω ´Mj∇φω ´Hj ~mωq en función de mx,υj (1.12)

ΩjMω˘ “˘ dj∇2Mω

˘ ¯ pBx ˘ iBυjqφω ¯ hjM

ω˘ en función de M˘ (1.13)

donde se definió Ωj “ ωp4πMjs|γj |q y hj “ | ~Hintj |p4πMjq el módulo del campo interno normalizado, los

cuales son adimensionales, y dj “ Djp4πMjsq “ p`jexq2, donde `jex es una longitud característica de la

interacción de intercambio en el material pjq, o largo de intercambio magnetostático.

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1.4. Funciones auxiliares

Como se mencionó anteriormente, el método original consistía en aplicar el teorema de Green-Extinciónsobre las funciones asociadas a las perturbaciones, haciendo referencia a las funciones de Green del siste-ma y sus ecuaciones correspondientes, lo que implicaba una fuente tipo delta de Dirac la cual era posicio-nada en las diferentes regiones. De esa manera, el método se volvía algo más extenso, ya que para poderaplicar los teoremas de Green-Extinción en las regiones dentro de un film o fuera de uno, había que evitarla singularidad.A continuación se presenta un resumen de las ecuaciones que permiten una aplicación más simplificadadel método explicado, dichas ecuaciones, y los campos que las satisfacen se llamarán “auxiliares”, que adiferencia de los campos asociados a ondas de spin, no deben cumplir condiciones de borde que determi-nen la forma de su solución. Esto, permite “elegir” las soluciones de las ecuaciones auxiliares como unabase completa para escribir la solución al problema real en términos de convoluciones entre las variablesfísicas y las funciones auxiliares.Las ecuaciones magnetostáticas para las funciones auxiliares son (notar que se evalúan para ´ω):

∇ ¨ ~β´ω “ 0 (1.14)

∇ˆ ~η´ω “ 0 (1.15)

con ~β´ω “ ~η´ω ` 4π~µ´ω dentro de los films y ~β´ω “ ~η´ω “ ´∇ψ´ω fuera de ellos. O, en resumen:

∇2ψ´ω “ 0 Fuera de las películas (1.16)

´∇2ψ´ω `12 rpBx ´ iBυj qM

´ω` ` pBx ` iBυj qM

´ω´ s “ 0 Dentro de la película (j) (1.17)

La ecuación de Landau-Lifshitz para las funciones auxiliares:

´iω~µ´ω “ζj ˆ |γj |pDj∇2~µ´ω ´Mj∇ψ´ω ´Hj~µ´ωq en función de µx,υj (1.18)

´ΩjM´ω˘ “˘ dj∇2M´ω

˘ ¯ pBx ˘ iBυjqψ´ω ¯ hjM

´ω˘ en función de M˘ (1.19)

de donde se entiende que ψ es la función auxiliar asociada a φ, ~β es la función auxiliar asociada a ~b, y M˘y µx,υj

son las funciones auxiliares asociadas a M˘ y mx,υj, respectivamente.

Las funciones auxiliares ψ y µx,υjestán evaluadas en ´ω y ´ ~Q (2), lo que será útil en la siguiente sección.

Las funciones auxiliares cumplen con las mismas ecuaciones que las cantidades físicas, más que derivarlas ecuaciones que cumplen, simplemente se mencionan. Estas ecuaciones, junto con las derivadas en lassecciones anteriores permiten armar el sistema de ecuaciones integrales en los bordes de las películas,lo cual será retomado en la siguiente sección. A continuación se procede a dar solución a las ecuacionesauxiliares, dentro y fuera de las películas ferromagnéticas.

Como fue mencionado anteriormente, no se necesita la solución en espacio de coordenadas de lasecuaciones auxiliares, si no que sus transformadas en el plano XZ. En espacio de Fourier se tiene:

Fuera de las películas:

pB2yy ´Q

2qψ´p~Q,ωq “ 0 (1.20)

Dentro del film (j):

´p´Q2 ` B2yyqψ

´p~Q,ωq `12 r´ipq ` ik sin θj ` cos θjByqM´p~Q,ωq

` ´ ipq ´ ik sin θj ´ cos θjByqM´p~Q,ωq´ s “ 0

(1.21)

´ΩjM´p~Q,ωq˘ “ ˘dj∇2M

´p~Q,ωq˘ ˘ ipq ¯ ik sin θj ¯ cos θjByqψ´p

~Q,ωq ¯ hjM´p~Q,ωq˘

(1.22)

A continuación se dará solución a las ecuaciones auxiliares.2esto da cuenta del signo que aparece en el lado izquierdo de (1.18) y (1.19)

10

1.4.1. Solución fuera de los films

La ecuación (1.20) tiene soluciones de la forma

ψ´p~Q,ωq “ F`e

Qy ` F´e´Qy (1.23)

se busca que la solución para ψ esté bien definida en todo el espacio, por lo que las constantes F˘ deberánser elegidas en cada región, cuidando que |ψ| ă 8 cuando y Ñ ˘8

1.4.2. Solución dentro de los films

Dentro de los films se buscan soluciones tipo onda plana a las ecuaciones de movimiento dentro delos films, por lo tanto, se intenta con una solución exponencial:

ψp~Q,ωqpyq “ Aje

´αjy (1.24)

Mp~Q,ωq˘ pyq “ Bj˘e

´αjy (1.25)

Reemplazando en las ecuaciones (1.22), se puede encontrar:

Bj˘ “ ´ibj˘Aj (1.26)

bj˘ “q ˘ αj cospθjq ¯ ik sinpθjqdjpα2

j ´Q2q ´ hj ˘ Ωj

(1.27)

y la siguiente ecuación, que determina los valores de los αj que sirven para resolver las ecuaciones demovimiento.

pα2j ´Q

2q “ rpαj cos θj ´ ik sin θjq2 ´ q2sdjpα

2j ´Q

2q ´ hj

rdjpα2j ´Q

2q ´ hjs2 ´ Ω2j

(1.28)

La ecuación (1.28) es de sexto orden en αj con coeficientes complejos. Al hacer el cambio de variablesα “ iχ, se obtiene una ecuación de sexto orden en χ con coeficientes reales, que por el teorema de la raizcompleja conjugada de álgebra, nos permite asegurar raices en forma de pares complejos conjugados.

La cantidad α es tal que solo depende de parámetros que involucran un tipo de material, es decir, nodepende del espesor de la película que se está estudiando, ni de las películas vecinas. El comportamientode esta cantidad permite predecir regiones de parámetros que admiten distintos tipos de soluciones deondas de espín en películas ferromagnéticas. En las ecuaciones (1.26) a (1.28) se le agregó el subíndice(j) a B˘, b˘ y a α para indicar a qué film corresponden, existen 6 αj ’s en cada film (j) con 6 conjuntosasociados de bj˘’s.

En el sistema de dos films acoplados, cada film tiene asociado un set de seis soluciones que corres-ponden a (1.24) y (1.25), evaluados en los seis α encontrados. Este conjunto de soluciones será utilizadomás adelante para completar el sistema lineal a resolver, lo que permite encontrar la relación de dispersiónde ondas de espín en un sistema de dos películas acopladas.

1.5. Ecuaciones integrales, teorema de Green y teorema de la con-volución

En las secciones anteriores se resolvió el problema de equilibrio en cada film y se derivaron las ecua-ciones que describen la dinámica del sistema en torno a este equilibrio, junto con ecuaciones auxiliares ysu solución.

A continuación se derivan las ecuaciones integrales que han sido mencionadas, y se aplica el teoremade la convolución para expresar estas ecuaciones en espacio de Fourier.

11

1.5.1. Ecuaciones integrales fuera de las películas

Fuera de las películas ferromagnéticas, se cumple (1.3) y (1.14), que al multiplicarlas por ψ´ω y φωrespectivamente, e integrar sobre un volumen Vout que comprenda alguna de las regiones fuera de laspelículas se tiene:

ż

Vout

pψ´ωp~r ´ ~r1q∇ ¨~bωp~rq ´ φωp~rq∇ ¨ ~β´ωp~r ´ ~r

1qqdv “ 0 (1.29)

luego, mediante el teorema de la divergencia se puede reemplazar esta integral de volumen por una integralde superficie que encierra Vout,

¿

S

pψ´ωp~r ´ ~r1q~bωp~rq ´ φωp~rq~β´ωp~r ´ ~r

1qq ¨ d~S “ 0 (1.30)

con ~S apuntando según la normal exterior a la superficie.Buscamos escribir ecuaciones integrales en los bordes de las muestras, por lo que se debe hacer tender elvolumen encerrado a infinito, de manera que se abarque toda la (o las) superficie(s) de los films adyacentesal integrar, y eliminar las cantidades que no lo estén mediante condiciones de borde apropiadas. De estamanera se pide que φω, ψ´ω Ñ 0 cuando ~r Ñ 8 y ~r R S, donde S es el conjunto de puntos que están enalguna de las superficies de las películas ferromagnéticas. De esta manera se obtiene la primera ecuaciónintegral:

ż

S

pψ´ωp~r ´ ~r1q~bωp~rq ´ φωp~rq~β´ωp~r ´ ~r

1qq ¨ d~S “ 0 (1.31)

donde se cambió la integral cerrada, por una integral que abarca toda la superficie del o de los films queestán en contacto con Vout. Es importante notar que, en el volumen entre las películas consideradas, sedeben tomar en cuenta dos superficies, que corresponden a diferentes películas, mientras que para losvolúmenes sobre y debajo del arreglo, solo se integra sobre una superficie.

La ecuación anterior corresponde a una convolución en las direcciones x y z, luego, por el teorema dela convolución esta ecuación puede escribirse como producto de transformadas de Fourier, evaluadas enlos bordes de la muestra:

pψpy ´ y1qbypyq ´ φpyqβy´y1pyqqˇ

ˇ

ˇ

bordes“ 0 (1.32)

donde se omitieron los superíndices ˘p ~Q, ωq, para relajar la notación. La coordenada y1 ha sido arrastradahasta este punto, una opción es simplemente olvidarse de y1, sacándolo de las ecuaciones, otra alternativaes elegir y1 en cada dominio de manera conveniente, para hacer que las soluciones se vuelvan indepen-dientes de esta coordenada, y las expresiones finales queden en función de, por ejemplo, el espesor de laspelículas o del espacio que las separa.

Al aplicar estas ecuaciones sobre la region entre films, reemplazando (1.23), se encuentra:ˆ

e´2`oQ ´11 ´e´2`oQ

˙ˆ

bypy2qbypy1q

˙

“ Q

ˆ

e´2`oQ ´1´1 e´2`oQ

˙ˆ

φpy2qφpy1q

˙

(1.33)

La matriz izquierda puede ser invertida para encontrar una expresión para bypy1,2q:ˆ

bypy2qbypy1q

˙

“ Q

ˆ

´ cothp2`oQq cschp2`oQq´ cschp2`oQq cothp2`oQq

˙ˆ

φpy2qφpy1q

˙

(1.34)

o equivalentemente:

bypy2q “Q

sinhp2Qloqφpy1q ´Q cothp2Qloqφpy2q (1.35)

bypy1q “Q cothp2Qloqφpy1q ´Q

sinhp2Qloqφpy2q (1.36)

12

Los casos en los bordes exteriores se pueden interpretar como el caso anterior, es decir, un volumenencerrado por dos films, haciendo tender la separación a infinito. de esa manera se encuentra:

bypy3q “ Qφpy3q (1.37)byp0q “ ´Qφp0q (1.38)

(1.39)

Notamos que al aplicar el método en las regiones exteriores a las películas, encontramos expresiones paralas inducciones magnéticas normales en función del potencial magnético escalar, expresiones que sonútiles al aplicar las condiciones de borde magnetostáticas. Además, es mediante las Ecns. (1.35,1.36) quese hacen efectivos los acoples magnetostáticos entre películas.

1.5.2. Ecuaciones integrales dentro de las películas

De manera análoga a la derivación de la (1.29), sigue siendo válida al interior una expresión similar:ż

Vin,j

pφωp~rq∇ ¨ ~β´ωp~r ´ ~r1q ´ ψ´ωp~r ´ ~r

1q∇ ¨~bωp~rqqdv “ 0 (1.40)

Esta vez, al integrar en una región dentro de una película magnética, la expresión para ~b y ~β agregan untérmino a la integral, sobre el cual no es directo aplicar el teorema de la divergencia:ż

Sj

pφωp~r´~r1q~β´ωp~rq´ψ´ωp~rq~bωp~r´~r1q ¨ d~S´ 4πż

Vin,j

p∇φωp~rq ¨ ~µ´ωp~r´~r1q´∇ψ´ωp~r´~r1q ¨ ~mωp~rqqdv “ 0

(1.41)Esto puede remediarse si se toma el producto cruz entre ~µ´ω con la ecuación (1.12) y de ~mω con (1.18).Así, luego de aplicar el teorema de la divergencia se obtiene:

ż

Sj

pφω~β´ω ´ ψ´ω~bω `4πDj

Mj

ÿ

ei

r~mωei

∇~µ´ωei´ ~µ´ωei

∇~mωeisq ¨ d~S “ 0 (1.42)

donde el índice ei de la sumatoria hace referencia a x y υj . Al igual que en el caso fuera de los films, primerolos teoremas deben ser aplicados sobre una región cerrada (finita), y se debe pedir que φω, ψ´ω, ~mω, ~µω Ñ 0cuando ~r Ñ 8 y ~r R Sj , donde Sj es el conjunto de puntos que están en las superficies de la película (j),así la región encerrada abarca todo el interior del film (j), la integral se puede considerar como infinita enel plano XZ, y la ecuación (1.42) es válida.

Luego, por teorema de convolución, esta ecuación puede transformarse en una ecuación algebraica,evaluada en los bordes de la película. Por ejemplo, los bordes del film 1, son y3 “ L1 ` L2 ` 2`o e y2 “L2 ` 2`o, y en ese caso, la ecuación sigue como:

φpy3qβypy3q ´ ψpy3qbypy3q ´ φpy2qβypy2q ` ψpy2qbypy2q

`d

2 rM´py3qByM`py3q `M`py3qByM´py3q ´M´py3qByM`py3q ´M`py3qByM´py3qs

´d

2 rM´py2qByM`py2q `M`py2qByM´py2q ´M´py2qByM`py2q ´M`py2qByM´py2qs “ 0

(1.43)

La ecuación (1.43) es el principal resultado de este método, corresponde a una ecuación algebraicaevaluada en los bordes de una película ferromagnética cuyas incógnitas son φ, by, M˘ y ByM˘ en los bor-des de cada película, por lo que en el caso de dos films se tiene un total de 24 incógnitas.

Anteriormente se vio que dentro de cada película, existen seis soluciones a las funciones auxiliares, loque nos entrega un sistema con doce ecuaciones y veinticuatro incógnitas, por lo que el sistema no puedeestar completamente determinado, así que es necesaria la aplicación de condiciones de borde para reducirel número de incógnitas. En la sección previa, gracias a la aplicación del método en las regiones exteriores,se encontraron relaciones entre las inducciones magnéticas normales by y los potenciales magnetostáticosφ, reduciendo en cuatro el número de incógnitas. Aun falta deshacerse de 8 incógnitas para poder resolverel sistema, esto puede lograrse si se proveen condiciones de borde para la magnetización. La derivacióny aplicación de estas condiciones de borde es un tema algo delicado, por lo que se dedica el siguientecapítulo para tratarlo.

13

Capítulo 2

Condiciones de borde de lamagnetización

En el régimen dipolo-intercambio, el campo magnético efectivo posee una contribución debido a lainteracción de intercambio dentro del material, esto convierte a la ecuación de Landau-Lifshitz en unaecuación a derivadas parciales, de segundo orden, lo que hace necesaria la aplicación de condiciones deborde para la magnetización.

Por otro lado, en el problema se consideró que la dirección de la magnetización de equilibrio en unfilm es homogénea en la coordenada del espesor (coordenada y en este caso). Esto no es en estricto rigorcierto, ya que pueden existir campos efectivos con origen en las superficies que actúan en sus vecindadesy pueden cambiar localmente la dirección de la magnetización de equilibrio. Esta última aproximación sepuede justificar si los campos efectivos provenientes de las superficies son débiles, por ejemplo en el casode presencia de energía de anisotropía superficial si AKs, que es una longitud, es mucho mayor que elespesor del film, entonces el efecto de la superficie es débil como para curvar la magnetización de equilibrio.

Aún así, por rigurosidad se debería considerar cómo estos efectos de superficie afectan la direcciónde equilibrio de la magnetización en los bordes y su ecuación de movimiento, pero esto complicaría másel problema, y no se abordará en esta tesis. Pero, en este capítulo se discutirá el efecto de estos campossuperficiales en las condiciones de borde de la magnetización. La presentación se estructura como sigue:primero se derivará lo que se conoce como “condiciones de borde de intercambio generales”, luego sedescribirán algunos efectos que producen cambios en estas condiciones de borde y se encontrarán lasexpresiones necesarias para incluirlas al problema, y finalmente se comentarán otras aplicaciones de estascondiciones de borde encontradas en la bibliografía.

2.1. Condiciones de borde de intercambio generales

La ecuación de Landau-Lifshitz puede ser reescrita como

´1|γ|

d ~M

dt´ ~Tvol ´ ~Tsurf “ ~M ˆ

D

Ms∇2 ~M (2.1)

o en otras palabras, se ha separado la contribución producida por la interacción de intercambio MˆD∇2 ~M

y los efectos de superficie ~Tsurf , del torque total. El lado derecho puede reescribirse comoD

MspxVx` yVy`

zVzq, donde Vx “ My∇2Mz ´ Mz∇2My “ ∇ ¨ pMy∇Mz ´ Mz∇Myq, las expresiones para Vy y Vz sonsimilares y pueden obtenerse haciendo permutaciones cíclicas de los índices x, y, z. Integrando sobre unvolumen V , y superficie S, en forma de caja que encierre la interfaz entre dos medios ferromagnéticosdiferentes, se puede aplicar el teorema de la divergencia en el lado derecho (en cada coordenada) y seobtiene:

ż

V

p´1|γ|

d ~M

dt´ Tvol ´ ~Tsurf qdv “

D

MspxIx ` yIy ` zIzq “

ż

S

D

Ms

~M ˆB ~M

BndS (2.2)

14

con Ix “ş

SVxdS “

ş

dSp ~M ˆ Bn ~Mqx, n la normal que apunta desde el medio 1, hacia el medio 2, y expre-siones similares para Iy,z.

Si se hace tender el volumen encerrado a cero, sin disminuir la porción de interfaz que se encierra, lasintegrales de volumen tenderán a cero, excepto la que contiene a ~Tsurf , la cual debido a su forma de deltade dirac evaluada en la superficie, pasa a ser integral de superficie evaluada en S. Esto resulta en:

´D

Ms1~M1 ˆ Bn ~M1 `

D

Ms2~M2 ˆ Bn ~M2 ` ~τsurf “ 0 (2.3)

donde se deja de lado la integral. Ms1,2 son las magnetizaciones de saturación de los medios 1 y 2, y~M1,2 son las magnetizaciones dinámicas en los medios 1 y 2. Al hacer tender M2 y Ms2 a cero, el medio

2 se “convierte” en vacío, y la normal n coincide con la normal exterior al medio 1. Como ahora solo setiene un medio, se eliminan los índices para escribir las condiciones de borde de intercambio generales ocondiciones de borde de Rado-Weertman:

´D

Ms

~M ˆ Bn ~M ` ~τsurf “ 0 (2.4)

2.2. Efectos de superficie

En esta sección se describen algunos efectos de superficie que pueden ser incluidos al problema.Entre los efectos de superficie que acoplan las películas están: la interacción de intercambio interfacial (III),y la interacción de Dzyaloshinskii-Moriya interfacial (IDMI). Por otro lado, también se incluyó anisotropíasuperficial, que afecta las condiciones de borde, pero no depende de la interacción con otras películas. Parapoder agregar los efectos de superficie, solo se necesita encontrar una expresión para el torque superficialque producen. En general es más común encontrar expresiones para la densidad de energía superficial dealgún fenómeno, que el torque que producen bajo determinadas condiciones, por lo que en esta lista secomenzará con expresiones para esa cantidad. De esta manera, es posible agregarlas a las condicionesde borde via [26]

~Tsurf,U “ ~M ˆ p´δU

δ ~Mq (2.5)

donde δU

δ ~Mcorresponde a la derivada funcional de Up ~Mq, respecto de ~M .

2.2.1. Interacción de intercambio entre películas

Cuando dos films están en contacto directo, o están lo suficientemente cerca1, ocurre interacción deintercambio en la interfaz entre ambas películas. A las escalas en que esta interacción es importante, eindependiente del material al que pertenezcan, podemos pensar que los espines cercanos a la interfazentre ambos materiales, interactúan según el modelo de Heisenberg:

H12 “ ´J12~S1 ¨ ~S2 (2.6)

con J12 la integral de intercambio, entre los spins 1 y 2. Esta expresión puede ser adaptada al modelomicromagnético continuo de la siguiente manera [27]:

Uex “ ´A12

Ms1Ms2~M1 ¨ ~M2 (2.7)

con A12 la densidad de energía superficial debido a la interacción de intercambio entre las películas 1y 2 Ambas expresiones producen alineamiento de los espíns/magnetizaciones involucradas y permiteninterpretar J12~S2 y A12

Ms1Ms2~M2 como el campo magnético que actúa sobre ~S1 y ~M1, y viceversa, gracias a

esto el torque que produce ~M2 sobre ~M1 está dado por

~Tex “A12

M1M2~M1 ˆ ~M2 (2.8)

1Desde algunos Angstroms, hasta varios nanómetros de distancia

15

que puede ser verificado por la ecuación (2.5), y corresponde a la expresión para el torque que produce uncampo magnético A12 ~M2 sobre el momento magnético ~M1.

Si los films están dispuestos como en la figura 1.1, y ~Tsurf “ ~Tex, se encuentra a primer orden, reem-plazando en la ecuación (2.4)

¨

˝

´D2Bnmυpy1qD2Bnmxpy1q

0

˛

‚“A12

M1M2

¨

˝

M2mυpy1q cosp∆pθqq ´M1mυpy2q cosp∆θq ´M1M2 sinp∆θqM1mxpy2q ´M2mxpy1q cosp∆θq

M1mxpy1q sinp∆θq

˛

‚ (2.9)

donde se proyectó ~M1 en el sistema coordenado que define ~M2 y con ∆θ “ θ2´θ1. A primera vista parecenhaber algunos inconvenientes con la ecuación (2.9), ya que existe un término que está igualado a cero, elcual es paralelo a ζ1, y existe un término de orden cero en la componente de x. Por otro lado, removiendoestos términos se encuentran ecuaciones equivalentes a las encontradas en la bibliografía [20, 27–32]. Ladiscusión de estos términos “extra” se postergará hasta el final del capítulo, y se escribirán las condicionesde borde sin ellos:

Bnmυpy1q “A12

D2M2mυpy2q cosp∆θq ´ A12

D2M1mυpy1q cosp∆θq (2.10)

Bnmxpy1q “A12

D2M2mxpy2q ´

A12

D2M1mxpy1q cosp∆θq (2.11)

o equivalentemente:

BnM˘py1q “ Λ22M˘py2q ´ Λ21M˘py1q cosp∆θq ¯ Λ22 sin2p∆θ2 qpM`py2q ´M´py2qq (2.12)

con Λij “ A12DiMj

. Análogamente, se proyecta ~M2 sobre ~M1 y se encuentra:

Bnmυpy2q “A12

D2M1mυpy1q cosp∆θq ´ A12

D2M2mυpy2q cosp∆θq (2.13)

Bnmxpy2q “A12

D2M1mxpy1q ´

A12

D2M2mxpy2q cosp∆θq (2.14)

o equivalentemente:

BnM˘py2q “ Λ21M˘py1q ´ Λ22M˘py2q cosp∆θq ¯ Λ21 sin2p∆θ2 qpM`py1q `M´py1qq (2.15)

Las ecuaciones (2.10) a (2.12) deben ser evaluadas considerando Bn “ By, mientras que de (2.13) a (2.15)se debe considerar Bn “ ´By,para respetar la normal exterior a los films, que es paralela o antiparalela ay.

2.2.2. Anisotropía superficial Uniaxial

En películas delgadas, se ha encontrado en experimentos que en los bordes los espíns tienden a estaralgo más constreñidos que hacia dentro del material. Para dar cuenta de esto se han probado distintos mo-delos de densidades superficiales de energía de anisotropía magnética, sugiriendo en algunos casos queexiste una contribución proveniente de la geometría de películas delgadas [33]. La evidencia encontradasugiere que la anisotropia superficial es de caracter uniaxial, con eje fácil en la normal al film, y eje difícilen el plano de la película [34], de modo que la energía en la superficie es:

Uanp ~Mq “ Ksjp1´p ~M ¨ nq2

M2s

q (2.16)

donde Ks es la densidad constante de energía superficial de anisotropía en el medio (j) y n corresponde ala normal exterior al film. Reemplazando en (2.5), se obtiene:

¨

˝

´Bnmυ

Bnmx

0

˛

‚“ 2 Ks

M2s

¨

˝

Msmυ sin2pθjq ´M2s sinpθjq cospθjq ´Msmυ cos2pθjq´Msmx sin2pθjq

Msmx sinpθjq cospθjq

˛

‚ (2.17)

16

Figura 2.1: Sistema donde ocurre IDMI.La dirección de asímetría en el sistema es y

En esta ecuación se ven términos extras, que son idénticos en forma a los encontrados en (2.9), se reiteraque esto se discutirá más adelante, y se vuelven a despreciar dichos términos. Así se obtiene

Bnmx “´ λj sin2pθjqmx (2.18)Bnmυ “λj cosp2θjqmυ , (2.19)

con λj “ 2Kpjqs Mpjqs . Equivalentemente,

BnM˘ “ ´λj sin2 θjM˘ ˘λj2 cos2pθjqpM` ´M´q (2.20)

2.2.3. Interacción de Dzyaloshinskii-Moriya interfacial (IDMI)

La interacción de intercambio no solo da origen al alineamiento de espíns cercanos, si no que también,cuando el acople espín-órbita es importante, se produce la interacción de Dzyaloshinskii-Moriya, la cual esantisimétrica entre ambos espíns, y favorece posiciones perpendiculares entre los espíns que interactúan.Para dos espíns, la energía es:

HDM “ ´ ~Dij ¨ p~Si ˆ ~Sjq (2.21)

con ~Dij el vector de Dzyaloshinskii-Moriya, que es perpendícular a ~rij , el vector que une las posiciones deSi,j , y es perpendicular a la dirección de asimetría entre ambos.Para que ocurra IDMI, se debe contar con un sistema compuesto por una película ferromagnética en

contacto con otra película no-magnética, como se muestra en la figura 2.1, donde debe entenderse comodirección de asimetría al eje y. Traduciendo (2.21) al límite micromagnético continuo [35]:

EDM “ ´DDMrpxˆ yq ¨ pmˆ Bxmq ` pz ˆ yq ¨ pmˆ Bzmqs (2.22)

con DDM la densidad de energía superficial de Dzyaloshinskii-Moriya. Aplicando (2.5), se obtiene

δEDM

δ ~M“ ´2DDM

M2s

rpBx ~M ˆ zq ´ pBz ~M ˆ xqs (2.23)

que puede ser reemplazado en (2.4) para obtener

Bnmx “´ 2 DDM

DjMjcospθjqBxmυ (2.24)

Bnmυ “´ 2 DDM

DjMjcospθjqBxmx (2.25)

Finalmente, ~m puede descomponerse en las contribuciones que realizan los distintos vectores de ondaplana ~Q “ qx` kz que oscilan con frecuencia ω, de donde se obtiene:

Bnmx “´ 2iq DDM

DjMjcospθjqmυ (2.26)

Bnmυ “2iq DDM

DjMjcospθjqmx (2.27)

Se observa similitud con otras aplicaciones de estas condiciones [36,37]

17

2.3. Comentario sobre condiciones de borde y comparación

Antes de aplicar las condiciones de borde al problema, se deben hacer algunas consideraciones sobreel sistema al cual se aplican. Esta parte del problema fue discutida en varios trabajos, y el debate se centraen establecer la expresión correcta para el caso de acople por interacción de intercambio en películas fe-rromagnéticas delgadas. A continuación se presenta una síntesis de la discusión sobre estas condicionesde borde, pensando en el entendimiento de un lector menos familiarizado con el tema, y finalmente, sejustifican los resultados obtenidos en esta aplicación.

2.3.1. Síntesis

En el límite continuo de este problema, las condiciones de borde más generales son las derivadas porRado y Weertman, o ecuación (2.4), que son consecuencia directa de considerar la interacción de intercam-bio entre espíns dentro de una película ferromagnética, debido a que se introducen segundas derivadasespaciales de la magnetización en la ecuación de Landau-Lifshitz. A pesar de haber sido derivadas parauna interfaz entre un material magnético y no magnético, es posible incluir acoples entre películas ferro-magnéticas, ya que solo basta con encontrar una expresión para el torque que se produce en la superficiede un film para agregarlo a las condiciones de borde.

El primer autor que deriva condiciones de borde para acoplar films ferromagnéticos es Hoffman etal. [38], tratando la interfaz como un sistema de planos de espín, acoplados con el modelo de Heisenberg.Estas ecuaciones son, en principio, ecuaciones de movimiento de los espíns en la interfaz entre dos ma-teriales, e incluyen segundas derivadas. Lo que en la bibliografía es conocido como condiciones de bordede Hoffmann, son las ecuaciones (2.10) y (2.13), cuando ∆θ “ 0. En su derivación, Hoffmann se basó enlas condiciones dadas por Rado-Weertman y una expresión para la densidad superficial de energía porinteracción de intercambio entre dos películas ferromagnéticas.

En trabajos siguientes, algunos autores notaron algunos problemas con la aplicación de estas ecua-ciones [39–41]. Al utilizar las condiciones de borde de Hoffmann al caso de dos films idénticos en contactodirecto, o dicho en otras palabras, tratar una película ferromagnética como dos, mediante una interfaz ficti-cia, en el caso de propagación normal a la interfaz aparece una onda reflejada. Físicamente no es posibleque una onda se refleje producto de una interfaz inexistente, ya que esto trae problemas con la conserva-ción de la energía en el sistema y con la continuidad de la magnetización dentro de un film, y por otro lado,porque la posición de esta interfaz es arbitraria. En este punto de la discusión existen dos ideas principa-les: una de ellas, es que la manera correcta de aplicar las condiciones de Hoffmann es considerando unespacio entre films del mismo orden que la constante de red de las dos películas; la otra, es que en el casode películas en contacto directo, se deben agregar términos a las condiciones de borde, de manera que enlas interfaces ficticias no se contradigan las ecuaciones de continuidad.

En oposición a estas ideas, Cochran et al [31] discuten a favor de las condiciones de borde de Hoff-mann, tal y como fueron derivadas, es decir, considerando segundas derivadas en las ecuaciones de losplanos acoplados. De esta manera, se encuentra que la amplitud de ondas reflejadas es aproximadamentecero 2, así, las ecuaciones de continuidad de energía y de la magnetización se cumplen hasta segundoorden. Siguiendo con esta discusión, Mills argumenta que las ecuaciones de conservación de energía de-ben cumplirse de manera exacta, y que por ser condiciones de borde de una ecuación de segundo orden,no pueden contener términos con segundas derivadas. Para cumplir con todos los requerimientos quepropone, Mills hace aproximaciones a primer orden en la constante de red, y agrega más términos a lascondiciones de borde.Actualmente, se retomó la discusión, y basado en los resultados de Barnas y Mills, se derivaron expresio-nes equivalentes para un sistema con una interfaz de espesor finito entre dos films [42].

2La amplitud es de orden tres en la constante de red, mientras que las ecuaciones están aproximadas a orden dos en esta cantidad.

18

2.3.2. Aclaración

Según lo explicado en la sección anterior, se piensa que la causa del problema es intentar aplicar con-diciones de borde que fueron pensadas para una interfaz entre un material magnético y uno no-magnético,al caso de una interfaz entre dos materiales magnéticos. Más aún, coincide que al considerar las condicio-nes de Hoffman para films separados por distancias pequeñas, el hacer expansiones de la magnetización,da como resultado ecuaciones equivalentes al caso en que dos films están en contacto directo, desde elpunto de vista macroscópico.

Si se quisiera aplicar el método descrito al caso de dos films en contacto directo, sería necesario aplicarcomo condicion de borde la ecuación (2.3), ya que de esta manera se desprecia el espacio interatómicoque separa los materiales. De esta manera, si se estudia el caso de films idénticos, y se impone continuidadde la magnetización, se obtiene:

~Tsurf “A12

M21~Mpy´q ˆ ~Mpy`q “ 0 (2.28)

Bn ~Mpy´q “ Bn ~Mpy`q (2.29)

donde y˘ representa las coordenadas inmediatamente sobre o bajo la interfaz. Si se estudian ondas quese propaguen perpendicular a la interfaz, se encuentra que no existe onda reflejada, recuperando los resul-tados de Barnas y Mills, sin agregar términos a la ecuación.

Por otro lado, al generalizar esto al caso de dos films diferentes, el estudio de las condiciones de bordede la magnetización se acopla con las condiciones de borde de la inducción magnética~b y el potencial mag-nético φ, así que por simpleza se optó por separar las películas por una distancia 2`o, lo que implica usarlas condiciones de borde (2.4), para la magnetización, y las ecuaciones (1.35) a (1.37) para la inducciónmagnética.

Anteriormente, en la derivación de las ecuaciones para los bordes producto de los diferentes efectosconsiderados, se despreciaron un par de términos. Uno de estos términos era proporcional a A12 para elcaso de interacción de intercambio, y a Ks para la anisotropía superficial. En ambos casos se piensa queese término corresponde al torque que debiese cambiar la dirección de la magnetización de equilibrio cercade los bordes de un film, y debe ser ignorado para poder considerar la magnetización como uniforme en elespesor, de modo que los efectos de superficie solo afectan a las perturbaciones de la magnetización encada film. El otro término, el cual aparece igualado a cero por estar en la coordenada ζj , permite determinarlas condiciones de borde en el caso de acople total, que corresponde a lo discutido en el párrafo anterior.Más aún, en el caso de interacción de intercambio entre películas, los términos sobrantes son proporcio-nales a sinp∆θq, por lo que podrían ser objetivamente despreciables si ∆θ „ 0. Eliminar estos términospermite, por una parte, encontrar expresiones similares a las encontradas en la bibliografía, pero para elcaso en que el campo magnético es aplicado en forma oblicua; y por otra, equilibrar las ecuaciones en losbordes, para el caso en que las direcciones de la magnetización son uniformes en las películas, lo cual esalgo artificial del modelo.

19

Capítulo 3

Solución al problema de una bi-capa,modos normales y caso magnetostático

En este capítulo se desarrolla la búsqueda de los autovalores del problema de ondas de espín en unsistema de dos films. Luego de aplicar todas las condiciones de borde al problema, y reemplazar las solu-ciones de las funciones auxiliares en (1.43), el problema está esencialmente planteado para ser resuelto.Aquí se usan los conjuntos de seis soluciones auxiliares por película. Estos permitirán escribir el sistemalineal a resolver, que tiene por solución, las frecuencias propias del sistema. En un sistema de dos pelícu-las, se obtiene un sistema de 12ˆ 12, el cual debe ser resuelto para cada conjunto de parámetros en formanumérica, barriendo una región del espacio de fase, en la cual se buscan los ceros del determinante de lamatriz asociada al sistema.

Luego, una vez conocidos los autovalores ω, para un ~Q fijo, se puede calcular la distribución de losmodos normales en el espesor de las películas y en todo el espacio.

Finalmente, una vez resuelto el problema y teniendo todas las ecuaciones escritas en régimen dipolo-intercambio, se puede reducir fácilmente el problema al caso magnetostático, por lo que se presentan lasprincipales ecuaciones haciendo tender dÑ 0, que corresponde al límite mencionado.

3.1. Ecuaciones que resuelven el problema

La solución al problema puede ser escrita en términos de un sistema homogéneo. Sea ~v el vector quetiene por componentes φ y M˘ evaluada en los bordes,

~v “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

φpy3q

M`py3q

M´py3qφpy2q

M`py2q

M´py2qφpy1q

M`py1q

M´py1qφp0qM`p0qM´p0q

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

(3.1)

Al evaluar las expresiones conocidas en (1.43), se puede encontrar

P~v “ 0 (3.2)

20

con P la matriz definida por los vectores fila P1k y P2k

P “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

P11P12P13P14P15P16P21P22P23P24P25P26

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

(3.3)

los cuales están dados por

P1k “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

pα1k ´Q´cos θ1

2 rb1` ´ b1´sqe´α1kL1

´α1kb1´d1e´α1kL1

´α1kb1`d1e´α1kL1

´pα1k `Q cothp2Q`oq ´ cos θ12 rb1` ´ b1´sq

b1´d1pα1k ` Λ11 cos ∆θqb1`d1pα1k ` Λ11 cos ∆θq

Qsinhp2Q`oq

´Λ12d1pb1´ cos2 ∆θ2 ` b1` sin2 ∆θ

2 q

´Λ12d1pb1´ sin2 ∆θ2 ` b1` cos2 ∆θ

2 q000

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

p1k1p1k2p1k3p1k4p1k5p1k6p1k7p1k8p1k9p1k10p1k11p1k12

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

(3.4)

P2k “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

000

Qsinhp2Q`oq

e´α2kL2

´Λ21d2pb2´ cos2 ∆θ2 ` b2` sin2 ∆θ

2 qe´α2kL2

´Λ21d2pb2´ sin2 ∆θ2 ` b2` cos2 ∆θ

2 qe´α2kL2

pα2k ´Q cothp2Q`oq ´ cos θ22 rb2` ´ b2´sqe

´α2kL2

b2´d2pα2k ` Λ22 cos ∆θqe´α2kL2

b2`d2pα2k ` Λ22 cos ∆θqe´α2kL2

´pα2k `Q´cos θ2

2 rb2` ´ b2´sq´α2kd2b2´´α2kd2b2`

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

p2k1p2k2p2k3p2k4p2k5p2k6p2k7p2k8p2k9p2k10p2k11p2k12

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

(3.5)

donde k hace referencia al índice de la raiz α de un film. Pjk son los coeficientes que aparecen de la ecua-ción (1.43), al ser evaluada en el film j.

Para satisfacer la ecuación (3.2), se debe cumplir que detpP q “ 0, que en otras palabras correspon-de a la relación de dispersión del sistema. Desarrollar el determinante de una matriz de 12 ˆ 12 es muyextenso, entonces para poder encontrar las frecuencias que anulan el determinante de P , este debe sercalculado en forma numérica, punto a punto, para luego encontrar los ceros de una función que es, engeneral, compleja. En otras palabras, el problema se reduce a encontrar los ceros de una función complejaen dos o más dimensiones.

21

3.2. Modos normales en todo el espacio

El método presentado permite encontrar la relación de dispersión, y en general, la relación entre doso más parámetros que afectan las ondas de espín en el sistema. Esto equivale a encontrar los autovaloresdel problema, cuyos autovectores corresponden a los campos evaluados en las superficies de los films.Mediante la aplicación del mismo método, pero cambiando los límites de los volúmenes sobre los que seintegra, es posible encontrar el potencial magnético y la magnetización en todo el espacio. Se reescribe(1.43), cambiando los límites del volumen, de manera que se encierra el intervalo ry2, ys, con y2 ă y ă y3,o en otras palabras

φpyqβypyq ´ ψpyqbypyq ´ φpy2qβypy2q ` ψpy2qbypy2q

`d

2 rM´pyqByM`pyq `M`pyqByM´pyq ´M´pyqByM`pyq ´M`pyqByM´pyqs

´d

2 rM´py2qByM`py2q `M`py2qByM´py2q ´M´py2qByM`py2q ´M`py2qByM´py2qs “ 0

(3.6)

Para escribir las ecuaciones en forma compacta, se define ~w, R1k, F1 y fk como

~w “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

φpyqbypyqM`pyqM´pyqByM`pyqByM´pyq

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

(3.7)

R1k “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

rα1k ´cos θ1

2 pb1` ´ b1´qse´α1ky

´e´α1ky

´α1kd1b1´e´α1ky

´α1kd1b1`e´α1ky

´d1b1´e´α1ky

´d1b1`e´α1ky

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

“

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

rk1rk2rk3rk4rk5rk6

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

T

(3.8)

f1k “9ÿ

j“4p1kjvj “ ´

3ÿ

j“1p1kjvj (3.9)

Reemplazando las expresiones conocidas, se puede escribir

R~w “ ~F1 “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

f11f12f13f14f15f16

˛

‹

‹

‹

‹

‹

‹

‚

(3.10)

donde R “ rij , con i, j “ 1, ..., 6. Nuevamente se arma un sistema lineal que depende de las seis solu-ciones α de un film. Las ecuaciones para calcular la distribución de los modos en el film 2 se obtienen demanera análoga. Estas ecuaciones son independientes del borde escogido, ya que R es idéntico en amboscasos, y

ř12j“1 p1kjvj “ 0, por lo que el valor de F1 también es independiente de la superficie que se elige.

La distribución de φpyq y bypyq fuera de los films se obtiene de la ecuación (1.32), cambiando la regióndonde se integra, de manera análoga al caso dentro de las películas. Para la zona entre films, se tomary1, ys con y1 ă y ă y2 y se reemplaza en (1.32) para obtener

A`r´φpyqQeQy ´ eQybypyq `Qφpy1qe

Qy1 `Q cothp2Q`oφpy1qeQy1 ´

Qφpy2qeQy1

sinhp2Q`os`

`A´rφpyqQe´Qy ´ bypyqe

´Qy ´ φpy1qQe´Qy `Q cothp2Q`oqφpy1qe

´Qy1 ´Qφpy2qe

´Qy1

sinhp2Q`os “ 0

(3.11)

22

Los términos en corchetes deben anularse, ya que A˘ son los coeficientes de dos soluciones l.i. del pro-blema magnetostático fuera de las películas. Luego se cuenta con un sistema de 2ˆ 2 para encontrar φpyqy bypyq, que puede escribirse como

ˆ

QeQpy´y1q eQpy´y1q

Qe´Qpy´y1q ´e´Qpy´y1q

˙ˆ

φpyqbypyq

˙

“Q

sinhp2Q`oq

ˆ

φpy1qrsinhp2Q`oq ` coshp2Q`oqs ´ φpy2qφpy1qrsinhp2Q`oq ´ coshp2Q`oqs ` φpy2q

˙

(3.12)

cuya matriz puede invertirse con facilidad.

En las regiones exteriores al arreglo, el potencial magnético decae exponencialmente („ e˘Qy), a me-dida que y se aleja de los bordes. Esto puede ser corroborado si la distancia entre los bordes consideradostiende a infinito, i.e. 2`o Ñ 8 (recordando que para esto, y1 o y2 deben tender a infinito también), así seobtiene:

φpyq “ φpy3qe´Qpy´y3q si y ą y3 (3.13)

bypyq “ Qφpy3qe´Qpy´y3q si y ą y3 (3.14)

φpyq “ φp0qeQy si y ă 0 (3.15)

bypyq “ ´Qφp0qeQy si y ă 0 (3.16)

3.3. Límite magnetostático

Si se ignoran los efectos producidos por la interacción de intercambio dentro de las películas, el campomagnético efectivo pierde el término proporcional a ∇2 ~M , esto afecta casi todas las ecuaciones del pro-blema, pero basta con tomar el límite d Ñ 0 para corregirlas, además, el remover este término quita lanecesidad de proveer condiciones de borde para ~m.

A continuación se presenta un resumen de las ecuaciones importantes para escribir el problema mag-netostático dentro de las películas ferromagnéticas, ya que el exterior de ellas siempre fue de naturalezamagnetostática.

3.3.1. Funciones auxiliares

Las ecuaciones para las funciones auxiliares se reducen a:

´p´Q2 ` B2yyqψ

´p~Q,ωq `12 r´ipq ` ik sin θj ` cos θjByqM´p~Q,ωq

` ´ ipq ´ ik sin θj ´ cos θjByqM´p~Q,ωq´ s “ 0

(3.17)

´ΩjM´p~Q,ωq˘ “˘ ipq ¯ ik sin θj ¯ cos θjByqψ´p

~Q,ωq ¯ hjM´p~Q,ωq˘ (3.18)

y sus soluciones tienen la misma forma exponencial que en el caso dipolo-intercambio, así la magnetizaciónM˘ “ B˘e

´αy queda determinada por

Bj˘ “ ´ibj˘Aj (3.19)

bj˘ “q ˘ αj cospθjq ¯ ik sinpθjq

´hj ˘ Ωj(3.20)

y α cumple con una ecuación de segundo grado:

pα2j ´Q

2q “ rpαj cospθjq ´ ik sin θjq2 ´ q2sp´hjq

h2j ´ Ω2

j

(3.21)

que tiene por solución :

αj˘ “ Qtihj cosϕ sin θj cos θj ˘

b

ph2j ` hj ´ Ω2

j qph2j ` hj sin2 ϕ cos2 θj ´ Ω2

j q

h2j ` hj cos2 θj ´ Ω2

j

u (3.22)

23

3.3.2. Ecuaciones que resuelven el sistema

El resultado de aplicar el método descrito al problema magnetostático, es idéntica a las ecuacionesque se obtienen fuera de las películas:

φpy3qβypy3q ´ ψpy3qbypy3q ´ φpy2qβypy2q ` ψpy2qbypy2q “ 0 (3.23)

y al reemplazar las condiciones de borde, y expresiones conocidas, el sistema lineal que se forma puedeser escrito de la siguiente forma

Pd“0~vd“0 “ 0 (3.24)

con

~vd“0 “

¨

˚

˚

˝

φpy3qφpy2qφpy1qφp0q

˛

‹

‹

‚

(3.25)

y

Pd“0 “

¨

˚

˚

˝

P1`P1´P2`P2´

˛

‹

‹

‚

(3.26)

donde se define

P1k “

¨

˚

˚

˝

pα1k ´Q´cos θ1

2 rb1` ´ b1´sqe´α1kL1

´pα1k `Q cothp2Q`oq ´ cos θ12 rb1` ´ b1´sq

Qsinhp2Q`oq

0

˛

‹

‹

‚

T

“

¨

˚

˚

˝

p1k1p1k2p1k3p1k4

˛

‹

‹

‚

T

(3.27)

P2k “

¨

˚

˚

˝

0Q

sinhp2Q`oqe´α2kL2

pα2k ´Q cothp2Q`oq ´ cos θ22 rb2` ´ b2´sqe

´α2kL2

´pα2k `Q´cos θ2

2 rb2` ´ b2´sq

˛

‹

‹

‚

T

“

¨

˚

˚

˝

p2k1p2k2p2k3p2k4

˛

‹

‹

‚

T

(3.28)

donde k “ ˘ hace referencia a las soluciones α˘ de las ecuaciones auxiliares.

Estas ecuaciones corresponden al sistema de dos películas ferromagnéticas en régimen magnetos-tático y la relación de dispersión se obtiene al imponer que detpPd“0q “ 0. Si bien es posible escribir lasolución de este sistema en forma analítica, se omite por su longitud, y la solución queda planteada hastael mismo punto que el caso dipolo-intercambio.

3.3.3. Modos normales dentro de las películas

Una vez más, la distribución espacial de los modos normales puede ser encontrada al cambiar uno delos límites de integración en el desarrollo del método, eligiendo un punto y dentro de la película. De estamanera la ecuación (3.23) se transforma en

φpyqβypyq ´ ψpyqbypyq ´ φpy2qβypy2q ` ψpy2qbypy2q “ 0 (3.29)

Este sistema puede escribirse

Rd“0

ˆ

φpyqbypyq

˙

“

ˆ

f1`f1´

˙

(3.30)

con

Rd“0 “

ˆ

rα1k ´cos θ1

2 pb1` ´ b1´qse´α1ky

´e´α1ky

˙T

“

ˆ

rk1rk2

˙T

(3.31)

una matriz de 2ˆ 2, y

f1k “3ÿ

j“2p1kjvj “ ´p1k1v1 (3.32)

el lado derecho del sistema lineal

24

Capítulo 4

Generalización al caso de N films yaspectos numéricos del problema

El método descrito permite escribir las ecuaciones que deben ser resueltas para encontrar la relaciónde dispersión de ondas de espín en sistemas de dos películas ferromagnéticas acopladas. A continuaciónse explicará como generalizar el método a sistemas de N películas ferromagnéticas acopladas, sin entraren muchos detalles que ya han sido explicados. Además se cubrirán algunos aspectos de interés para suimplementación numérica, para así poder intepretar y discutir los resultados obtenidos.

Una vez resuelto el problema de dos películas ferromagnéticas acopladas, extender la solución al casode N films no requiere tanto trabajo. El resultado del método son los sistemas lineales de ecuaciones quepermiten encontrar la relación de dispersión del sistema, y la forma de los modos normales en la coorde-nada normal a los films; las ecuaciones (1.43) y (3.6), respectivamente. En gran medida, la forma explícitade estas ecuaciones viene dada por los resultados obtenidos para un film aislado, es decir, las seis solu-ciones tipo onda plana asociadas a las ecuaciones auxiliares (1.17) y (1.19), y las condiciones de bordemagnetostáticas que provienen de aplicar el método en regiones fuera de las películas ferromagnéticas, yque dan cuenta del acople dipolar entre películas (ecuaciones (1.35) y (1.37)). Por otro lado, a través de lascondiciones de borde para magnetización se da cuenta de ciertos mecanismos físicos microscópicos queinfluyen en la propagación de ondas de espín en sistemas de este tipo, pero el considerarlas o no, tienepoca influencia en la manera de resolver todas las ecuaciones asociadas.

4.1. Relación de dispersión en un arreglo de N-Films

Sea un sistema de N películas ferromagnéticas acopladas. Para simplificar, se considera un arregloque solo contiene dos tipos de materiales, y estos se van alternando. Los bordes inferior y superior delfilm i-ésimo están en las coordenadas y´i e y`i , respectivamente. En la figura 4.1 se muestra un ejemplode arreglo, en que los films exteriores (índices i “ 1, . . . , N ), o tapas, son idénticos. Para tener tapas demateriales diferentes se debe tener un número par de películas en el arreglo, mientras que el ejemplomostrado está compuesto por un número impar de films.

25

Figura 4.1: Esquema de un sistema de N films ferromagnéticos, con dos tipos de materiales. Las coorde-nadas que indican las superficies inferior y superior del film i (contado desde abajo hacia arriba), son y´i ey`i , respectivamente

Como se mencionó anteriormente, no se entrará en mucho detalle respecto de las ecuaciones necesa-rias para armar el sistema a resolver. Las condiciones de borde para la inducción magnética no dependende ninguna cantidad inherente a los materiales, solo del vector de ondas ~Q y la distancia 2`o entre films, lacual puede ser diferente entre cada par de películas adyacentes. Por otro lado, las condiciones de bordepara la magnetización no dependen explícitamente de la distancia que separa las películas, pero puedeasumirse un modelo para la densidad de energía superficial para incluirla.

La ecuación (1.43) permite escribir un sistema de seis ecuaciones, asociadas a las seis raices α quesolucionan el sistema de ecuaciones auxiliares dentro de un material. Cada sistema de seis ecuacionestiene por incógnitas los campos φ y M˘ en los bordes del film en que son válidas, y los bordes adjacentes aél, que hacen un total de doce incógnitas para el sistema de seis ecuaciones que se obtienen por película,en el caso más general; seis incógnitas asociadas a la película en cuestión, tres incógnitas asociadas alfilm inferior y tres más asociadas al film superior. En las tapas del arreglo, las ecuaciones solo contemplannueve incógnitas: las seis asociadas a la misma película, más las tres asociadas al film adyacente. Al aco-plar todos los sistemas de ecuaciones para los N films, se obtiene un sistema de 6N ecuaciones, para 6Nincógnitas, similar a (3.2), donde la relación de dispersión se obtiene al imponer que el determinante de lamatriz asociada al sistema se anule.

Si se desea, se puede aplicar este método a un sistema periódico infinito. Para esto se debe imponeruna solución tipo Bloch a las ecuaciones del sistema. Al hacer esto, las únicas ecuaciones que cambianson las asociadas a las tapas de la celda unitaria de films que se está resolviendo, que son las que dancuenta de la periodicidad del sistema.

El cálculo de la forma de los modos normales en el caso de N películas es esencialmente el mismo,ya que debe ser realizado en base a las ecuaciones de un film en particular, por lo que no es necesariohacer más comentarios al respecto.

4.2. Comentarios sobre el problema numérico

La ecuación 1.43 corresponde al resultado final del método cuyas incógnitas son, en principio, ω, φ yM˘ evaluados en los bordes de las películas del arreglo. La ecuación detpP q “ 0, con P la matriz asociadaal sistema, determina la relación de dispersión ωp ~Qq de ondas de espín en películas ferromagnéticas y es

26

de caracter no lineal. El escribir en forma analítica, o analizar esta ecuación es prácticamente imposible,por lo que se debe resolver el problema en forma numérica1.Resumiendo el procedimiento, en un sistema de N -Films, de J materiales diferentes, primero se resuelveel problema de equilibrio, encontrándose los ángulos θj y los módulos de los campos internos en los filmsHj (j “ 1, ..., J), luego se deben encontrar las raices de J ecuaciones de sexto grado, para poder escribir lamatriz P6Nˆ6N asociada al sistema, y finalmente calcular su determinante. Los ceros de este determinantese buscan en una región bidimensional de parámetros, como por ejemplo, ω y Q “ | ~Q|, dada una direcciónde ~Q.

Al resolver las ecuaciones de sexto grado se debe tener cuidado al ordenar las soluciones. Las filasde la matriz P corresponden a la ecuación 1.43 evaluadas en las diferentes soluciones αj asociadas al filmj, y a medida que se recorre el espacio de fase, algunas de estas raíces pasan de ser reales a comple-jas y viceversa, lo que puede alterar el orden que tienen unas respecto de otras. Dicho de otra forma, lassoluciones αj se debiesen ordenar de manera tal, que al graficarlas en el espacio de fase, cada una delas seis soluciones sea continua y suave, de lo contrario, esto sería equivalente a cambiar algunas filas deP de lugar, lo que cambia el signo de su determinante. Esto tiene importancia, ya que el determinante esen general, una función compleja que crece exponencialmente, y que oscila rápidamente en el espacio defase, por lo que la búsqueda de los ceros se realiza mediante métodos numéricos-gráficos, identificándoloscomo cambios de signo de las partes real e imaginaria. Esto significa que si las raices αj se desordenan amedida que se recorre el espacio de fase, pueden aparecer cambios de signo artificiales que dificultan labúsqueda de los modos normales.

Típicamente, la relación de dispersión de ondas de espín en multipelículas son una especie de su-perposición de las relaciones de dispersión de las diferentes películas que lo componen. A medida que losdiferentes mecanismos de acople se vuelven más fuertes, las curvas de los espectros se comienzan a alejarunas con otras, mientras que para interacciones débiles se tienden acercar. Dado que la búsqueda de cerosse realiza buscando cambios de signo en el determinante de la matriz asociada al sistema, se debe utilizarun gran número de puntos en el espacio de fase para que los gráficos que se obtengan estén bien resueltos.

Los gráficos de la figura 4.2 muestran detpP q en un sistema de dos películas (hierro y níquel). Másque ahondar en los parámetros del sistema para construir la imagen, se muestra para entender el com-portamiento del determinante en los dos regimenes: magnetostático (4.2a) y dipolo-intercambio (4.2b). Seobserva que en ambos casos el determinante crece con la frecuencia, siendo en el caso dipolo-intercambio,un crecimiento exponencial. Además, y a pesar de que a simple vista se ve lo contrario, los ceros de la partereal no siempre calzan con los ceros de la parte imaginaria, probablemente por el error asociado al método,discutido anteriormente, y por errores numéricos. Para solucionar estos problemas, se desarrolló un algo-ritmo de búsqueda que involucra el módulo del determinante, para normalizarlo a valores más pequeños.

Lamentablemente, no fue posible desarrollar este algoritmo hasta automatizarlo, por lo que algunos delos gráficos presentados fueron construidos a mano, seleccionando los “verdaderos” ceros del determinan-te. En la figura 4.3 se muestra el potencial magnético en un “falso” cero del determinante, el cual se puedeidentificar porque φ es discontinuo en las interfases.

1Evidentemente, por la similitud y utilización de ecuaciones, el calcular la distribución de los modos normales también debe serrealizado en forma numérica.

27

42 44 46 48 50 52 54f (GHz)

-5

-4

-3

-2

-1

1

Q 3.80017Re[Det(P)]

Im[det(P)]

(a)

50 100 150 200 250 300f (GHz)

-1×1030

1×1030

2×1030

Q 12.1605Re[Det(P)]

Im[det(P)]

(b)

Figura 4.2: DetpP pfqq con Q fijo. El gráfico (a) corresponde a un caso magnetostático de hierro y níquel,las rectas verticales rojas y verdes indican el rango que permite modos de bulto en el hierro y níquel,respectivamente; el gráfico (b) corresponde al mismo caso, pero en régimen dipolo-intercambio. En amboscasos, el valor de Q se indica en la figura.

Q 15.× 105

cm2f 62.5 GHz

Figura 4.3: Potencial magnetostático φpyq en un arreglo de dos películas ferromagnéticas. Este modo co-rresponde a un falso cero de DetpP q, debido a la gran discontinuidad que existe en φ.

28

Capítulo 5

Resultados y discusión

En este capítulo se presentan los resultados del método descrito. Estos corresponden a gráficos querelacionan la frecuencia de ondas de espín, con otros parámetros importantes del problema, como el nú-mero de onda paralela al plano Q, espesor de películas o densidad superficial de energía por interacciónde intercambio.

Como se verá, el método descrito es capaz de reproducir resultados encontrados en la bibliografía,correspondientes a casos en que el campo magnético aplicado es paralelo o normal a las películas, con losque se verifica su funcionamiento, además de producir nuevos resultados, con campo magnético aplicadoen forma oblicua al arreglo de films.

A modo de complemento, se presentan también las soluciones de los polinomios característicos aso-ciados a las ecuaciones auxiliares, las cuales pueden ser interpretadas como el vector de ondas asociadoa la coordenada del espesor.

5.1. Caso magnetostático

La figura 5.1 muestra la relación de dispersión en un sistema compuesto por dos películas ferromag-néticas idénticas, bajo la acción de un campo magnético aplicado en forma oblicua (θH “ 0,454π). Entreω “ 2,8 y ω “ 3,77 se acumulan los modos extendidos o de bulto, mientras que los dos modos que estánpor sobre este rango corresponden a modos de “superficie”, que en este contexto se entienden como aque-llos en que por película, la amplitud se concentra en una cara de la película; mientras que considerandotodo el arreglo, son una clase diferente de modos de “bulto”. La región gris corresponde a muchos modosque están demasiado cerca como para ser resueltos. Se ve que la dispersión de frecuencias es simétricarespecto de la inversión de la dirección de propagación, y que existe una frecuencia ωc en que la velocidadde grupo pasa de negativa a positiva.

En las figuras 5.2 se muestran los potenciales magnetostáticos de los modos que están destacadosen la relación de dispersión. En ellas se observa que los modos aparecen reflejados, el modo de mayorfrecuencia está concentrado en el extremo contrario del arreglo; lo mismo para el modo de menor fre-cuencia. Los modos de mayor frecuencia son los que podrían ser considerados como modos de superficiedel arreglo, mientras que los de menor frecuencia pueden considerarse como modos de “bulto” del conjunto.

29

-10 -5 0 5 10

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

QL

ω ωM

Figura 5.1: Relación de dispersión en una bicapa de un mismo material, separada por 2`o “ 0,2L, con Lespesor de las películas. El campo magnético externo es Ho “ 6,4Ms aplicado en un ángulo θH “ 0,454π,de manera que el campo magnético interno Hi “ 1,04, forma un ángulo θM “ 0,154π con el plano. Lasondas se propagan en ϕ “ 0,3π y la frecuencia está normalizada por ωM “ |γ|Ms.

QL 5.ω

ωM

5.6

(a)

QL -5.ω

ωM

5.6

(b)

QL 5.ω

ωM

5.35

(c)

QL -5.ω

ωM

5.35

(d)

Figura 5.2: Potencial magnetostático de modos de superficie de un bilayer de materiales idénticos, corres-pondientes al caso de la figura anterior. En los dos gráficos de la izquierda, (a) y (c), la propagación essegún ϕ “ 0,3π, mientras que en los de la derecha, (b) y (d), ϕ “ 0,3π ` π.

Para estudiar qué ocurre con arreglos heterogéneos de películas, en las figuras 5.3 y 5.6 se muestranlas relaciones de dispersión de una bicapa de hierro-niquel y, un arreglo de cinco películas: tres películasde hierro intercaladas con dos de niquel. Contrastando, se observa que hay reciprocidad en frecuencia enel arreglo de cinco películas, mientras que en la bicapa no; además, el número de modos de superficie es

30

igual al número de películas de hierro involucradas.

Continuando con el contraste, en las figuras 5.4 y 5.7 se muestran los modos de superficie destaca-dos en los gráficos anteriores. En los gráficos 5.4b y 5.4a, la amplitud se concentra en la cara opuesta delfilm de hierro, distribuyendose sobre la película de níquel también, lo que podría explicar la diferencia defrecuencia. Por otro lado, en las figuras 5.7b y 5.7a se observa reflexión de los modos. Las figuras 5.7c y5.7d muestran estructuras compuestas por algunos modos de superficie acoplados con modos de bulto.

-30 -20 -10 0 10 20 30

44

46

48

50

52

54

56

Q105

cm

Freq

uenc

y(G

Hz)

Figura 5.3: Relación de dispersión en un bilayer compuesto por un film de hierro sobre un film de níquel.Para el hierro se consideró 4πMs “ 21kG, g “ 2,1, y Afe “ 2 ˆ 10´6erg cm´1, y para el níquel 4πMs “

6kG, g “ 2,2 y A “ 0,7 ˆ 10´6erg cm´1. La separación entre películas es 2`o “ 6Å, el espesor de cadapelícula es de 200Å, el campo magnético aplicado es Ho “ 15,9kG, en un ángulo θH “ 0,3π, por lo que loscampos magnéticos dentro del hierro y níquel son, Hfe “ 10,26kG y Hni “ 12,81kG, y forman un ánguloθfe “ 0,135π y θni “ 0,24π, respectivamente. Las ondas se propagan en un ángulo ϕ “ 0,35π, mientras quelos valores Q ă 0 indican propagación en ϕ “ 0,35π ` π. No hay reciprocidad de frecuencias al cambiar elsigno de Q

Q 10.× 105

cmf 55. GHz

(a)

Q -10.× 105

cmf 55.8 GHz

(b)

Figura 5.4: Potenciales magnetostáticos de modos de superficie en un bilayer de hierro-niquel, destacadosen el gráfico anterior. El modo que se propaga con Q ą 0 (a) es de frecuencia similar al modo Damon-Eshbach en un film aislado de hierro, mientras que para Q ă 0 (b), la frecuencia es mayor

Al interactuar, los modos normales de los films de hierro y níquel, se adecúan de manera tal que cuan-

31

do las curvas de dos modos se acercan a un cruce, en rangos de frecuencia en que ambos bultos admitenondas de espín, el de menor frecuencia tiende a ser de caracter más simétrico y el de mayor frecuenciaa ser más antisimétrico. Un ejemplo de esto está señalado en las relaciones de dispersión de la figura5.3 y para los potenciales magnetostáticos graficados en 5.5, cuyos gráficos están asociados a los puntosmarcasdos en las relaciones de dispersión de la figura 5.3.

Q 12.9× 105

cmf 47.5 GHz

(a)

Q 17.18× 105

cmf 47.2 GHz

(b)

Q 21.5× 105

cmf 47.1 GHz

(c)

Q 12.9× 105

cmf 46.4 GHz

(d)

Q 17.18× 105

cmf 46.8 GHz

(e)

Q 21.5× 105

cmf 46.9 GHz

(f)

Figura 5.5: Modos de bulto antes de un cruce, en un bilayer de hierro-níquel. Se muestran dos modosque se cruzan para diferentes valores de Q, destacados en la relación de dispersión 5.3. En general seobserva un caracter tipo antisimétrico en los modos de mayor frecuencia, y tipo simétrico en los de menorfrecuencia.

-30 -20 -10 0 10 20 30

44

46

48

50

52

54

56

Q105

cm

Freq

uenc

y(G

Hz)

Figura 5.6: Relaciones de dispersión en un arreglo simétrico de 5 películas, 3 de hierro y 2 de níquel,intercaladas y separadas por una distancia 6Å entre ellas. Los demás parámetros son idénticos que en elcaso del bilayer. En este caso se observa reciprocidad de frecuencias al invertir el signo de Q.

32

Q 5.× 105

cmf 55.5 GHz

(a)

Q -5.× 105

cmf 55.5 GHz

(b)

Q 5.× 105

cmf 53.5 GHz

(c)

Q 5.× 105

cmf 54.3 GHz

(d)

Figura 5.7: Potenciales magnetostáticos de algunos modos de superficie del arreglo de 5 films hierro-níquel.Los gráficos (a) y (b) corresponden a los modos de más alta frecuencia del arreglo, en ellos se observareflexión al cambiar Q de signo. Los gráficos (c) y (d) son un ejemplo de modos de superficie, y se observaque a medida que la frecuencia disminuye, comienzan a aparecer nodos.

La última figura del caso magnetostático corresponde a un modo de superficie de un arreglo de cincofilms, similar al estudiado en las figuras anteriores, pero el espesor de los films de niquel es Lni “ 0,1Lfe “20Å. Al estar más cerca entre ellos, la repulsión sobre los modos de superficie empuja a algunos más cercade la zona de modos de bulto, y como consecuencia, los modos de superficie muestran caracteristicas demodos de bulto.

Q 10.× 105

cmf 52.9 GHz

Figura 5.8: Potencial magnetostáticos de un modo de superficie en un arreglo de 5 films: (3)hierro-(2)níquel,separados por 6Å entre ellos. Este ejemplo es similar a los ya mostrados, todos los parámetros son comolos indicados para arreglos con hierro y níquel, pero el espesor de los films de níquel es Lni “ 0,1Lfe “ 20Å.Como el espesor de los films de níquel es menor, su frecuencia es menor que en el ejemplo con espesoresiguales, y su distribución no corresponde con un modo de superficie ordinario, pero su frecuencia esta porsobre las frecuencias permitidas para modos en el bulto de ambos materiales.

33

5.2. Régimen Dipolo-Intercambio

La figura 5.9 muestra la relación de dispersión en régimen dipolo intercambio de una doble películaferromagnética, acoplada solo por interacciones dipolares. El gráfico de la izquierda muestra los casos concampo magnético aplicado en el plano, para propagación paralela y perpendicular al campo magnético apli-cado, mientras que la figura derecha es un caso más general, con campo magnético h “ 6,4Ms aplicadoen θ “ 0,454π, de manera que el campo magnético interno de equilibrio sea cercano a Ms. Este gráficoes la versión dipolo-intercambio del gráfico magnetostático que se muestra en la figura 5.1 y se ve con-cordancia con las figuras 3 y 6 de la referencia [43], y a modo de comparación, se incluyen los modos desuperficie magnetostáticos para valores pequeños de Q, donde se observa buena concordancia. La figura5.10 muestra uno de los modos de superficie para dos valores de Q, los cuales aparecen destacados enla relación de dispersión. Se observa que φ se comporta como modo de superficie para valores pequeñosde Q, y que se transforma en un modo dominado por la interacción de intercambio a medida que Q crece;mientras que la magnetización parece seguir un comportamiento similar, pero el acople entre las películasparece ser más débil para esta cantidad, lo cual se espera al no considerar la interacción de intercambioentre películas vecinas.

-10 -5 0 5 100

2

4

6

8

10

12

14

QL

ω ωM

(a)

-10 -5 0 5 100

2

4

6

8

10

12

14

QL

ω ωM

(b)

Figura 5.9: Relaciones de dispersión en un bilayer de films idénticos. (a) arreglo magnetizado en el planocon Ho “Ms, la línea punteada y sólida son para propagación paralela y perpendicular al campo aplicado,respectivamente. (b) arreglo magnetizado en forma oblicua con Ho “ 6,4Ms; este caso corresponde a laversión dipolo-intercambio del gráfico de la figura 5.1, de la cual se grafican los modos de superficie paracomparar. En ambos casos (magnetostático y dipolo-intercambio) se cumple la relación 2A

MsL2 “ 0,1.

34

QL 0.7ω

ωM

5.63215

(a)

QL 5.60499ω

ωM

9.33147

(b)

QL 0.7ω

ωM

5.63215

(c)

QL 5.60499ω

ωM

9.33147

(d)

Figura 5.10: Modos dipolo-intercambio destacados de la figura anterior. (a) y (b) corresponden al potencialmagnético φ, mientras que (c) y (d) corresponden a la magnetización (mx en negro y mυ en naranjo). AQ pequeño, las interacciones dipolares dominan, y φ se comporta como modo de superficie. Cuando Qcrece, se entra en el régimen dipolo-intercambio, y φ adopta una forma similar a una onda estacionaria enel espesor, al igual que la magnetización.

En la figura 5.11 se muestra la relación entre frecuencia y espesor de un arreglo de cinco films, comoel descrito para la figura5.6. A medida que el espesor aumenta los modos dominados por la interacción deintercambio van disminuyendo su frecuencia al volverse más extendidos. El modo inferior es triplementedegenerado, y corresponde al modo fundamental del arreglo. Se ven similitudes con la figura 9 de la refe-rencia [44]

0 50 100 150 2000

100

200

300

400

500

600

LÅ

Freq

uenc

yG

Hz

Figura 5.11: Frecuencia en función del espesor L de todas las películas de un arreglo hierro-níquel de 5films, como el de las figuras anteriores. El campo aplicado es Ho “ 16,94kG, en un ángulo θH “ 0,49π,de manera que los campos dentro de los films de hierro y níquel son Hfe “ 0,84kG y Hni “ 10,95kG, yforman ángulos θfe “ 0,28π y θni “ 0,48π, respectivamente. Las magnetizaciones de saturación, constantede intercambio, y factor g son los mismos que en figuras anteriores, y Q “ 30 105

cm . El espesor de las películasvaría en el rango graficado, mientras que el espacio entre películas se mantiene constante, con valor 2`o “6Å

35

-1 0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

A12

erg

cm2

Freq

uenc

yG

Hz

(a)

-1 0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

A12

erg

cm2

Freq

uenc

yG

Hz

(b)

Figura 5.12: Frecuencia en función del parámetro de acople por interacción de intercambio entre filmsvecinos, fpA12q, en un bilayer de hierro, ambos de espesor L “ 400Å. (a) muestra un caso con campoexterno Ho “ 1kG, aplicado en el plano, y (b) muestra un caso oblicuo, con Ho “ 18,18 y θH “ 0,49π, por loque Hfe “ 0,96kG y θfe “ 0,31π. Q “ 1,73 105

cm en ambos casos.

En las figuras 5.12 se muestra la dependencia de la frecuencia sobre el parámetro de acople deinteracción de intercambio fpA12q, en una doble película de hierro, en los casos en que la magnetizaciónes paralela a la superficie (izquierda) y cuando el campo magnético externo h “ 18,2kG es aplicado enforma oblicua (θH “ ,491π), así, el campo magnético interno de equilibrio es cercano a 1kG como en otrosejemplos. Se ve buena concordancia con el gráfico de la figura 5 de la referencia [44] Además de los crucesexistentes entre algunos modos, y su desplazamiento en frecuencia producto de la inclinación y la direcciónde propagación, las caracteristicas generales de este gráfico se mantienen, es decir, los modos en quepredomina la interacción de intercambio, se bifurcan en una componente simétrica y otra antisimétrica,como se ve en los gráficos de la figura 5.13. También se observa que al aumentar el valor de A12, lamagnetización se vuelve más cercana a ser continua, esto se muestra mejor en los gráficos de la figura5.13

A12 0 erg

cm2f 9.1 GHz

(a)

A12 5 erg

cm2f 10.2 GHz

(b)

Figura 5.13: Magnetización dinámica de los modos n “ 1 del caso oblicuo del bilayer de hierro, mx en negroy mυ en naranja. A medida que A12 crece, la magnetización tiende a volverse más continua

36

A12 0 erg

cm2f 28.8 GHz

(a)

A12 5 erg

cm2f 28.8 GHz

(b)

A12 5 erg

cm2f 36. GHz

(c)

Figura 5.14: Magnetización dinámica de los modos n “ 4 para A12 “ 0 (a) y n “ 4, 5 para A12 “ 5 ergcm((b) y (c)), correspondientes al caso oblicuo del gráfico anterior, mx en negro y mυ en naranja. Cuando A12crece, la magnetización tiende a volverse más continua, además, el modo tipo antisimétrico es de mayorfrecuencia que el tipo simétrico.

En la figura 5.17 se muestran relaciones de dispersión en sistemas Fe-Co. La figura de la izquierda (a)corresponde a un trilayer, y la derecha a un multilayer de cinco capas. En ella se observa buena concordan-cia con la figura 6 de la referencia [17], y corresponde a una figura construida experimentalmente con BLS,pero existe una diferencia en las constantes Afe “ 2,7 ˆ 10´6ergcm y Aco “ 2,2 ˆ 10´6ergcm, respectode los que indica la referencia Aref

co “ 3.ˆ 10´6ergcm y Areffe “ 2.ˆ 10´6ergcm.

0. 1. 2. 2.510

20

30

40

Q105

cm

Freq

uenc

yG

Hz

(a)

0. 1. 2. 2.510

20

30

40

50

Q105

cm

Freq

uenc

yG

Hz

(b)

Figura 5.15: Relación de dispersión en sistemas compuestos por hierro y cobalto. (a) sistema de tres pe-lículas Fe-Co-Fe y (b) sistema de cinco películas Fe-Co-Fe-Co-Fe. Los parámetros son: Mfe “ 1580G,Mco “ 1450G,gfe “ 1,99, gco “ 2,1, Afe “ 2,7 ˆ 10´6ergcm, Aco “ 2,1 ˆ 10´6ergcm, Lfe “ 10nm,Lco “ 20nm, campo magnético aplicado en el plano Ho “ 500Oe, y propagación perpendicular (φ “ 0,5π).En las interfaces Fe-Co existe pinning ks « 0,4ergpcm2q y la interacción de intercambio entre películas esAex « 20ergpcm2q

La figura 5.16 muestra la relación de dispersión de un bilayer de permalloy cobalto, con ambos films deespesor L “ 10nm, magnetizados en el plano y en propagación perpendicular. Esta figura se correspondecon la figura (4.a) de la referencia [45], y en ella se observa una concordancia mas cualitativa que cuan-titativa. Hay que notar que en la referencia, no se proporcionan los valores de las constantes magnéticasde los materiales individuales, sino que mediante un fit, se encuentran constantes efectivas para el bilayer.En particular, se destaca que la magnetización efectiva del bilayer es de Ms “ 540emucm3, la cual esbastante inferior a los valores de Mpy « 800emucm3 y Mco « 1250emucm3 encontrados en la bibliografía.

37

30.

40.

60.

80.

90.

Freq

uenc

yG

Hz

//

0.5 1. 1.5 2. 2.512.

14.

16.

18.

Q105

cm

Freq

uenc

yG

Hz

Figura 5.16

Figura 5.17: Relación de dispersión en sistemas compuestos por permalloy y cobalto. Los parámetros delsistema son:magnetizaciones, Mco “ 1300emucm3, Mpy “ 800emucm3, constantes de exchange dentrode las películas, Aco “ 2,2ergcm, Apy “ 0,7ergcm, las constantes giromagnéticas γco “ 18,98GHzkOe,γpy “ 18,59GHzkOe. El campo magnético Ho “ 1000Oe es aplicado en el plano, y la propagación de lasondas es perpendicular (ϕ “ 0,5π). La constante de intercambio entre películas A12 “ 10ergscm2 y existeuna energía de anisotropía superficial, en todas las superficies ks “ 0,1ergcm.

5.2.1. Soluciones Auxiliares

En la figura 5.18 se graficaron ambas soluciones α del caso dipolar, como función de ω para un Q fijo,para un caso de dos películas ferromagnéticas idénticas acopladas. Esta figura se corresponde con la figura5.1 de la sección de resultados. Se comprueba en el rango de frecuencia en que están concentrados todoslos modos de bulto de un film, las soluciones αj son puramente imaginarias. En el gráfico de la izquierdase ve que la parte imaginaria de α1 pasa por una discontinuidad, mientras que Impα2q, en el gráfico de laderecha, pasa por un cero para el mismo valor de ω “ ωc. Se observa un cambio de signo en la velocidadde grupo de ondas magnetostáticas, producto del cambio de signo de α1,2 en ωc.

La figura 5.19 muestra las soluciones α para casos magnetostáticos de films de hierro y niquel acopla-dos, y se corresponde con las figuras 5.3 y 5.6. El comportamiento de α en ambos materiales es similar, laparte real se anula en el intervalo de frecuencias en que se acumulan los modos de bulto en cada material.El intervalo en que las frecuencias permitidas de ambos materiales se solapan, corresponde a una zona enque los modos están distribuidos en todo el arreglo, mientras que fuera de ella, si el material no acepta on-das de espín a esa frecuencia, el modo se vuelve de superficie, acoplado con el modo de bulto del materialque sí lo permite.

A modo de contraste, la figura 5.20 muestra las seis soluciones α del caso dipolo-intercambio, sepa-radas en sus partes reales (izquierda) e imaginaria (derecha), en el caso de dos películas ferromagnéticas

38

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5ω

ωM

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

R e(α1(ω))

ⅈm(α1(ω))

(a)

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5ω

ωM

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4 R e(α2(ω))

ⅈm(α2(ω))

(b)

Figura 5.18: Soluciones α del polinomio característico de grado 2 magnetostático, del bilayer de láminasidénticas de la figura 5.1

44 46 48 50 52f(GHz)

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5 R eα1

fe(f )

ⅈmα1fe(f )

(a)

44 46 48 50 52f(GHz)

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5 R eα2

fe(f )

ⅈmα2fe(f )

(b)

44 46 48 50 52f(GHz)

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5 R eα1

ni(f )

ⅈmα1ni(f )

(c)

44 46 48 50 52f(GHz)

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5

R eα2ni(f )

ⅈmα2ni(f )

(d)

Figura 5.19: Soluciones αfe,ni asociadas a los casos magnetostáticos con films de hierro ((a) y (b)) y níquel((c) y (d)). En ambos materiales, los modos tienen a concentrarse cerca de la frecuencia que indefine a α.

39

4 6 8 10 12 14ω

ωM

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5 R e(α1(ω))

R e(α2(ω))

R e(α3(ω))

R e(α4(ω))

R e(α5(ω))

R e(α6(ω))

(a)

4 6 8 10 12 14ω

ωM

-0.6-0.4-0.2

0.20.40.60.8 ⅈm(α1(ω))

ⅈm(α2(ω))

ⅈm(α3(ω))

ⅈm(α4(ω))

ⅈm(α5(ω))

ⅈm(α6(ω))

(b)

Figura 5.20: Soluciones α del polinomio característico de grado 6, asociado al régimen dipolo-intercambio.Estas soluciones corresponden al caso de bilayers idénticos (figura 5.9). Solo dos de las soluciones pre-sentan parte real nula en el intervalo de frecuencias permitidas.

20 40 60 80 100f (GHz)

-1.5-1.0-0.5

0.51.01.5 R e(α1(f ))

R e(α2(f ))R e(α3(f ))R e(α4(f ))R e(α5(f ))R e(α6(f ))

(a)

20 40 60 80 100f (GHz)

-0.6-0.4-0.2

0.20.40.6 ⅈm(α1(f ))

ⅈm(α2(f ))ⅈm(α3(f ))ⅈm(α4(f ))ⅈm(α5(f ))ⅈm(α6(f ))

(b)

20 40 60 80 100f (GHz)

-1.0-0.5

0.51.0

R e(α1(f ))R e(α2(f ))R e(α3(f ))R e(α4(f ))R e(α5(f ))R e(α6(f ))

(c)

20 40 60 80 100f (GHz)

-0.4-0.2

0.20.40.6 ⅈm(α1(f ))

ⅈm(α2(f ))ⅈm(α3(f ))ⅈm(α4(f ))ⅈm(α5(f ))ⅈm(α6(f ))

(d)

Figura 5.21: Soluciones αfe,ni del polinomio característico de grado 6 en el régimen dipolo-intercambio,asociadas a casos con hierro ((a)y (b)) y níquel ((c) y (d)). A pesar de ser materiales diferentes, en elrégimen dipolo-intercambio, las frecuencias permitidas en ambos materiales están en rangos similares.

idénticas; y está asociada a la figura 5.9b. En los gráficos se muestra que el intervalo que permite ondasde espín en el bulto, ahora es abierto, y se desplaza a medida que cambia Q. En él, dos de las solucionestienen parte real nula, mientras que sus parte imaginarias crecen en módulo; las demás soluciones son deevolución más lenta.

La figura 5.21 muestra las seis soluciones α en régimen dipolo-intercambio, para sistemas que conten-gan hierro y niquel. A diferencia del caso magnetostático, el comportamiento de las soluciones de ambosmateriales es casi idéntico, lo que explicaría porqué todos los modos dominados por interacción de inter-cambio forman los grupos que se ven en la figura 5.11.

5.3. Discusión

Comparando las imágenes del caso magnetostático, y sus soluciones α dadas por (3.21), se ve que elcomportamiento individual de cada película no se altera, es decir, el invervalo en que las soluciones α sonpuramente imaginarias, admite ondas de espín en el bulto, mientras que fuera de este, la perturbación seconcentra en alguno de los bordes. En regiones donde dos películas de diferentes materiales compartenmodos de bulto, la amplitud es mayor en el film al que “pertenece” el modo, o dicho de otra forma, la ampli-tud es más alta en el material que está oscilando más cerca de una frecuencia correspondiente a un modo

40

del film aislado.

De la ecuación (3.21) se entiende que la gran densidad de modos se concentra cerca de la frecuenciaΩfj “

b

h2j ` hj cos2 θjq, y que el número de nodos de los modos aumenta conforme |α| crece en módulo.

A pesar de que las curvas de dispersión se ven algo modificadas por las atracciones y repulsiones productode la interacción entre las dos películas, estas nunca modifican su comportamiento, es decir, el rango defrecuencia

b

h2j ` hj sin2 ϕ cos2 θj ă Ωfj ă

b

h2j ` hj aloja todos los modos de bulto del film, y no se ve

modificado por el acople con otras películas.

Se ve que los modos de superficie tienen ese caracter debido a que sus soluciones α son principal-mente reales, mientras que su parte imaginaria tiende a cero. Por otro lado, en el caso de cinco películasmostrado, en algunos films se ven oscilaciones tipo bulto fuera del rango que lo permite. Esto puede de-berse a que producto de la interacción con los otros modos de superficie, y a medida que disminuye lafrecuencia del modo resultante, este comienza a transformarse en un modo de bulto, lo que puede versereflejado en sus soluciones α, cuya parte imaginaria crece en módulo, mientras que la parte real se acercaa cero, lo que explica este comportamiento. Evidentemente, en el caso límite en que los tres films de hierrose vuelven uno, es decir, desaparecen los films de niquel y los espacios entre films, los dos modos desuperficie de menor frecuencia se transforman en modos de bulto. Esto se observa en la figura 5.8, que esun modo de superficie (por estar fuera del rango de modos de bulto) en un caso en que el espesor de losfilms de níquel es menor que el espesor de los films de hierro, y en general, la amplitud no se localiza enuna cara de las películas.

Observando todos los gráficos del caso magnetostático, se puede notar que los sistemas que son simé-tricos respecto del plano paralelo a la superficie de los films (XZ), muestran reciprocidad en las frecuencias,cuando se invierte la dirección de propagación de las ondas de espín, es decir, al cambiar ~Q Ñ ´ ~Q, omás rigurosamente, φÑ φ` π. Esto se puede verificar al cambiar el orden de las películas, en el caso delbilayer hierro-níquel. El gráfico mostrado en la figura 5.3, los cálculos fueron realizados pensando que elfilm de hierro está sobre el film de niquel; al realizar los mismos cálculos con el la película de níquel sobrela película de hierro, el gráfico aparece invertido. Cabe destacar que debido a esta característica, el modode superficie de mayor frecuencia en el bilayer de hierro-níquel es de frecuencia más alta que el modo desuperficie de un film o un multilayer de hierro puro (en esta configuración no aparecen modos de superficieen films de níquel).

El comportamiento de las raices α en el caso dipolo-intercambio es más regular, pero más difícil deinterpretar. En general se observa que solo dos de las seis soluciones tienen parte real nula en regionesdonde se admiten ondas de espín, mientras su correspondiente parte imaginaria crece en módulo. Lasdemás soluciones son de evolución más lenta, y de parte imaginaria cercana a cero.Para valores pequeños de Q, se observan modos de superficie en la misma región que en el caso magne-tostático, pero no es clara la influencia que tiene α en la aparición de estos modos, y su posterior transfor-mación a modos de bulto, para valores más grandes de Q.

Las figuras 5.11 y 5.12 corresponden a versiones con campo magnético aplicado en forma oblicua desistemas estudiados en la bibliografía, y cualitativamente, solo se observa que el modo fundamental delarreglo no existe para L ă 10, posiblemente debido a la diferencia que existe entre θFe y θNi. En casosoblicuos, con campos magnéticos externos más fuertes, la diferencia entre los ángulos θ1,2 es menor, y elmodo fundamental aparece para LÑ 0.

De las figuras 5.13 y 5.14 se observa como afecta el acople por interacción de intercambio a la formade los modos. Por una parte, en bifurcaciones vuelve a aparecer el comportamiento visto en el caso dipolar,que separa los modos en simetricos y antisimétricos, siendo los últimos los que quedan con frecuencia másalta. A medida que A12 crece, los modos parecen volverse continuos, pero se desconoce el valor exacto quereproduce el comportamiento de un film aislado. Según lo discutido en la sección de condiciones de borde,en este trabajo se implementaron de manera tal que siempre existe un pequeño espacio entre películas “encontacto”, por lo que no se espera encontrar el valor exacto de A12 que permite considerar dos películascomo completamente acopladas, ya que este valor depende también del valor de 2`o.

41

Al comparar con datos obtenidos experimentalmente (figura 5.17), los valores de algunas constantesdifieren de lo calculado en la referencia de origen. Es posible que esto se deba a los diferentes modelosutilizados, ya que la referencia obtuvo sus valores haciendo un fitteo a los datos experimentales. Otro fac-tor a considerar es que una de las constantes Afe está dentro del rango de error propuesto, y la otra Acopresenta diferentes valores en diferentes experimentos [46–48], siendo el valor propuesto en este trabajo,más cercano al valor encontrado por un experimento de FMR [47], Aco “ 2,1ˆ 10´6ergcm.

La comparación con los datos presentados en 5.16, presenta más similitudes cualitativas que cuanti-tativas. Se piensa que esto es debido a la falta de datos sobre sistema con el que se compara. Además esposible que debido a que el sistema busca minimizar su energía, las magnetizaciones de equilibrio estándesviadas de la dirección del campo magnético aplicado, lo que explicaría porqué el valor de la magne-tización de saturación del arreglo es bastante menor a la magnetización de saturación de las películasindividuales. Otro motivo para esta discrepancia es que no se conoce el valor, ni el tipo de la densidadsuperficial de energía de anisotropía en las interfaces, que tambien puede disminuir el valor de la magneti-zación efectiva de un film.

Es posible hacer la separación entre los casos estudiados en simétricos o no simétricos respecto deun plano central. Los sistemas que presentan esta simetría, muestran reciprocidad de frecuencias al invertirla dirección de propagación (QÑ ´Q o análogamente ϕÑ ϕ`π), mientras que la forma de los modos sonuna reflexión respecto del plano de simetría. Es posible mostrar esta característica desde las ecuacionesde movimiento del sistema, lo cual se deja para el apéndice.

Respecto de lo discutido en el capítulo sobre las condiciones de borde, no es posible asegurar quelas expresiones encontradas sean correctas, debido a que todos los resultados que fueron reproducidosde la bibliografía, corresponden a geometrías que naturalmente eliminan los términos que se ignoraron enel caso de campo magnético oblicuo. A pesar de esto, los resultados mostrados parecen mostrar compor-tamientos que concuerdan con los casos más sencillos, y con este método, es posible hacer un estudioexperimental para validar o refutar estos resultados.

Teniendo en cuenta los gráficos presentados, para aplicar este método al problema de ondas de espínen muiltipelículas, se debe considerar una gran cantidad de puntos en el espacio de fase para resolver bienlas curvas, a diferencia del problema de un film ferromagnético aislado, que en general presenta pocoscruces de curvas o zonas donde las curvas se concentren. Además, a medida que se aumenta el númerode películas, se debe considerar el tiempo de cálculo asociado, dado que la matriz a la cual se le calcula eldeterminante, es de tamaño 6N ˆ 6N . El número de operaciones necesarias para calcular el determinantede una matriz como esta es Opp6Nq3 (1), por lo que considerando que a más películas se deben utilizarmás puntos para resolver correctamente las curvas, el método se vuelve más caro computacionalmentebastante rápido. Aunque por otro lado, su aplicación permite resolver el problema en configuraciones queotros métodos no son capaces de abordar.

1Esto sin considerar que el encontrar las raices α asociadas a las funciones auxiliares, que obligan, además, a resolver un polinomiode grado seis.

42

Conclusiones

Se desarrolló un método para calcular de manera exacta las ecuaciones a resolver para encontrar losmodos normales, tipo dipolo-intercambio y magnetostáticos, de ondas de espín en arreglos de multicapasferromagnéticas, bajo la acción de un campo magnético externo que puede ser aplicado en forma oblicua,el cual consiste en una extensión simplificada de un método para una película ferromagnética aislada, basa-do en la aplicación de los teoremas Green-Extinción. Se mostró, además, que el método permite encontrarla relación entre dos parámetros cualquiera asociados al problema, lo que permite estudiar cómo afectanlos diferentes parámetros del problema a la frecuencia de ondas de espín del sistema. Cuando todos losparámetros asociados a un modo normal son conocidos, una variación del método permite encontrar ladistribución de este modo normal en todo el espacio.

Se mostró que el acople entre películas, aparte de ocurrir via la interacción dipolar, puede ocurrir viaotros mecanismos de corto alcance que operan en las superficies o interfases, y cuyo efecto queda refleja-do en las condiciones de borde del problema. Las condiciones de borde asociadas al potencial magnéticoson inherentes al problema, ya que siempre están presentes por su largo alcance, mientras que para lamagnetización, estas se agregan al considerar diferentes efectos que son considerados solo en la super-ficie, debido al corto alcance de algunos efectos cuánticos asociados al espín. A pesar de haber derivadoexpresiones que permiten dar cuenta de la IDMI, la anisotropía superficial y la interacción de intercambio,por simpleza, solo se resolvieron ecuaciones en sistemas que consideraban la interacción de intercambioentre películas y pinning por anisotropía superficial.

Se desarrollaron algoritmos numéricos que permitieron resolver sistemas de dos, cinco y N películasacopladas. En primer lugar se mostró que el método puede reproducir resultados teóricos encontrados en labibliografía, en geometrías más sencillas, cuando el campo magnético es aplicado paralelo, o perpendicularal plano que forman los films. Luego, se resolvieron sistemas más generales, en que el campo magnéticoes oblicuo al arreglo de películas, y se encontró que en sistemas asimétricos respecto del plano paraleloa la superficie de las películas, la relación de dispersión se vuelve no reciproca en frecuencia, respecto dela inversión en la dirección de propagación de una onda. Esta caracteristica no se observa en sistemassimétricos, ni en configuraciones con campo magnético no oblicuo.

Los resultados presentados están en buena concordancia con los resultados de otros trabajos teóricos,tanto cualitativa como cuantitativamente hablando. Los resultados que se comparan con datos experimen-tales, muestran algo de discrepancia en el valor de las constantes, esto fue justificado en base a otrosresultados experimentales. En general se observa buena concordancia cualitativa.

En sistemas magnetostáticos con mayor número de películas, se observó que los modos de superficiede frecuencia cercana a los modos de bulto, presentan algunas caracteristicas similares a estos últimos,producto del comportamiento del coeficiente α de las soluciones auxiliares del sistema que lo conforma, yse planteó que en el caso en que desaparecen las interfaces, todos los modos de superficie, excepto uno,se transforman en modos de volumen.

El método presentado permite estudiar sistemas de multipelículas bajo condiciones generales, confacilidad. También permite agregar diferentes condiciones de borde al problema, lo que puede ayudar aentender los diferentes mecanismos que acoplan las magnetizaciones de películas ferromagnéticas cerca-nas.

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46

Apéndice A

Simetría y reciprocidad de modosnormales

En esta sección interesa estudiar la existencia de reciprocidad de frecuencia en relaciones de disper-sión de sistemas de multicapas, cuando se cambia QÑ ´Q o equivalentemente ϕÑ ϕ` π

A.1. Régimen magnetostático

Sean α`1,2 las constantes de las soluciones auxiliares en un sistema magnetostático con Q ą 0. Alhacer el cambio de signo en Q, se tiene

ˆ

α`1α`2

˙

“ ´

ˆ

α´2α´1

˙

(A.1)

es decir, las nuevas constantes en el sistema con Q invertido, son el inverso de las constantes del sistemaoriginal.

En un film aislado con superficies en ˘l, las ecuaciones de extinción en forma algebraica tienen lasiguiente forma

0 “ e´αnlr2pαn ´Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´qsφplq ´ eαnlr2pαn `Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´sφp´lq (A.2)

donde n “ 1, 2 ybn˘ “ ´pq ˘ αn cospθq ¯ ik sinpθqqph¯ Ωq (A.3)

Al cambiar el signo de Q, los αs y bn˘ cambian de signo, y las ecuaciones de extinción toman la forma

0 “ ´eαnlr2pαn `Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´qsφplq ´ e´αnlr2pαn ´Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´sφp´lq (A.4)

es decir, si los modos son reflejados respecto del plano central del film, las frecuencias ω son idénticasen ambos casos. De esta manera, cuando se tienen dos o más películas, las ecuaciones sufren los mismoscambios explicados si el arreglo es simétrico. Si, por ejemplo, en un arreglo de dos films, ambos sonhechos de diferentes materiales, se pierde la simetría respecto del plano central, y las frecuencias no sonreciprocas, ni los modos son reflexiones del modo que se propaga en sentido contrario, como se ve en lasfiguras 5.3.

A.2. Régimen dipolo-intercambio

De la misma manera que en el caso magnetostático, en el régimen dipolo-intercambio, las constantesde las soluciones auxiliares cambian de signo al invertir Q. Si por simpleza se consideran condiciones deborde libres para la magnetización, las ecuaciones de extinción en un film aislado de bordes ˘l, toman lasiguiente forma:

47

0 “e´αnlr2pαn ´Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´qsφplq ´ eαnlr2pαn `Qq ´ cospθqpbn` ´ bn´sφp´lq`e´αnlr´αnbn´sM`plq ` e

´αnlr´αnbn`sM´plq`

eαnlrαnbn´sM`p´lq ` eαnlrαnbn`sM´p´lq

(A.5)

con M˘ “ ´idM˘, n “ 1, ..., 6 y

bn˘ “ ´pq ˘ αn cospθq ¯ ik sinpθqqpdrQ2 ´ α2nq ´ h˘ Ωq (A.6)

De esta manera, al cambiar el signo de Q, los α y b˘ cambian de signo, y las ecuaciones de extincióntienen la misma solución, si las soluciones en las superficies cambian de la siguiente forma:φp˘lq, M`p˘lq, M´p˘lq Ñ φp¯lq, ´M`p¯lq, ´M´p¯lq.

Si las condiciones anteriores se cumplen, las frecuencias de los modos son recíprocas bajo cambiosde signo del vector de onda, y la forma de los modos para φ es una reflexión simétrica, mientras que paraM˘ es una reflexión antisimétrica. En una pila de films, estas ecuaciones siguen siendo válidas solo si elarreglo es simétrico respecto de su plano central. Para demostrar esto último se sigue como a continuación:

A.3. Simetría en sistemas recíprocos en frecuencia

Como se ha mencionado anteriormente, la simetría responsable detras de la reciprocidad en frecuen-cia, es la existencia de un plano central, respecto del cual el arreglo de films es equivalente. Para probarlo,sean dos sistemas de films idénticos. En el primero se tiene un campo aplicado en alguna dirección θ, y sequiere estudiar una onda de frecuencia ω que se propaga en dirección paralela a la proyección del campomagnético en el plano formado por los films. El segundo sistema es equivalente al primero, pero mirado decabeza, de manera tal que el campo magnético se ve invertido, al igual que la dirección de propagación, demanera que se tiene un sistema “derecho” y uno “invertido”.

Las ecuaciones de Landau-Lifshitz en algún film (j) se ven (Bυ “ cospθjqBy ´ sinpθjqBzq:

iΩmυ “ d∇2mx ´1

4πBφ

Bx´ hjmx (A.7)

iΩmx “ ´d∇2mυ ´1

4π pcospθjqBφ

By´ sinpθjq

Bφ

Bzqq ´ hjmυ (A.8)

donde hj es el campo magnético interno en el film (j), normalizado por 4πMj . Las ecuaciones para elpotencial magnetostático son:

0 “ ∇2φ´ 4πpBmx

Bx`Bmυ

Bυq (A.9)

0 “ ∇2φ (A.10)

en la región magnética y no magnética respectivamente. Suponiendo que existe un modo mx,υ, φ con fre-cuencia ω que satisface estas ecuaciones y sus condiciones de borde. Estas ecuaciones son válidas en elsistema “derecho”.

En el sistema invertido se tienen los ejes pX,Y, Zq “ p´x,´y,´zq, que permiten escribir las ecuacio-nes anteriores de manera equivalente:

iΩM´υ “ d∇2mX ´1

4πBΦBX

´ hjmX (A.11)

iΩMX “ ´d∇2M´υ ´1

4π pcospθjqBΦBY

´ sinpθjqBΦBZqq ´ hjM´υ (A.12)

con las ecuaciones magnetostáticas asociadas:

0 “ ∇2Φ´ 4πpBMX

BX`BM´υ

Bp´υqq (A.13)

48

0 “ ∇2φ (A.14)

estas ecuaciones y condiciones de borde son resueltas por el mismo modo, ya que es el mismosistema, mirado de cabeza. Luego al volver al sistema coordenado “derecho”, se tiene:

iΩmυ “ d∇2mx `1

4πBφ

Bx´ himx (A.15)

iΩmx “ ´d∇2mυ ´1

4π pcospθjqBφ

By´ sinpθjq

Bφ

Bzq ` hjmυ (A.16)

0 “ ∇2φ` 4πpBmx

Bx`Bmυ

Bυq (A.17)

0 “ ∇2φ (A.18)

con todos los campos evaluados en ´~x “ p´x,´y,´zq. Entonces, si el modo φ, mx,υ es solucion delas ecuaciones originales con frecuencia ω, al comparar las ecuaciones ((A.7)-(A.10)) con las ecuaciones((A.15)-(A.18)) se concluye que φp´~xq, ´mx,υp´~xq también es solución del sistema original, con frecuenciaΩ. De manera que se prueba que la simetría responsable de la reciprocidad está dada por la existencia delplano central en el arreglo de películas

49