modelos dinÁmicos, moelos no lineales, … · la ecuación ( 3 ) es la demanda de capita l a corto...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA

E C O N O M E T R I A I

M. Sc. Eco. LUIS A. ROSALES GARCÍA

CASTILLA, OCTUBRE DEL 2009.

CAPITULO I

MODELOS DINÁMICOS

1. INTRODUCCIÓN

1.1. JUSTIFICACIÓN

La necesidad de incluir la dinámica temporal en los modelos es:

Existencia de desfases en la disponibilidad de información que hacen que las•decisiones se tomen en base a datos del pasado.

Las decisiones se toman tras un proceso de evaluación que genera un desfase entre la•información evaluada y la acción final.

Determinados procesos complejos necesitan de un periodo de ejecución que,•nuevamente desfasa la acción final de la información valorada.

Existencia de medidas o acciones que tienen efecto en más de un periodo.•

La consideración explícita de la evolución pasada como una expectativa de los valores•presentes.

Existencia de procesos progresivos de ajuste hasta niveles deseados u óptimos.•

Sabemos que las variables económicas tienen bastante inercia, lo que hace que unavariable dependa de su propio pasado, además de otras causas. Así por ejemplo: para tratarde explicar el comportamiento de la inflación , tendría sentido introducir como variablesexplicativas, junto con la tasa de crecimiento monetario , retardo de la propia tasa deinflación:

Es importante observar que la existencia de una relación dinámica entre variables, asícomo su mayor o menor persistencia (número de retardos precisos para representarla),dependen crucialmente de cual sea la frecuencia de observación de los datos que se empleanen la estimación. Por ejemplo, si una variable influye sobre otra no sólocontemporáneamente, sino también durante los dos meses siguientes, entonces la relaciónsería dinámica si el investigador utiliza datos mensuales, pero resultará estática si utilizasedatos anuales.

2

Y X X Yt t t t t= + + +− −β β β ε1 2 1 3 1

Y Xt t t= +β ε1

Y Yt t t= +−β ε3 1 β β1 2 0= =

∆ ∆Y Xt t t= +−β ε1 1

1.2. TIPOS DE MODELOS

Una tipología de modelos uniecuacionales dinámicos (Basado en Hendry, Pagan ySargan, 1984)), el modelo ADL(1,1) es:

donde es exógena débil en relación a los parámetros de interés , y elZt ( )β β β1 2 3, y

error es: .( )ε σ εt N~ ,0 2

Aún cuando todos los modelos tienen una varianza del error, el modelo anterior es

denominado modelo de "tres parámetros". Pese a que es una ecuación muy simple, el modeloADL(1,1) incluye representaciones esquemáticas de nueve distintos tipos de modelosdinámicos como casos especiales. La tabla siguiente presenta estos 9 tipos.

Tipo de modelo Ecuación Restricciones enADL(1,1)

1º Regresión estática β β2 3 0= =

2º Serie de tiempounivariante

3ºEn diferencias / tasade crecimiento

β β β3 2 11= = −;

3

Tipo de modelo Ecuación Restricciones enADL(1,1)

Y Xt t t= +−β ε2 1 β β1 3 0= =

Y X Xt t t t= + +−β β ε1 2 1 β3 0=

Y X Yt t t t= + +−β β ε1 3 1 β2 0=

Y X u u ut t t t t t= + = +−β β ε1 3 1 β β β2 1 3= −

( )( )∆Y X X Yt t t t t= + − − +− −β β ε1 3 1 11 βi∑ = 1

Y X Yt t t t= + +− −β β ε2 1 3 1 β1 0=

4º Indicadoradelantado (leadingindicator)

5º Retardosdistribuidos(distributed lags)

6º Ajuste parcial

7º Common factor(errorautocorrelacionado)

8º Mecanismo deCorrección del Error

9º Forma reducida(dead start)

Los nueve modelos describen muy diferentes estilos de retardos y respuestas de largoplazo de y desde x, tiene diferentes ventajas y desventajas como descripciones decomportamientos de series de tiempo, están diversamente afectados por varios problemas demala especificación, y finalmente, conducen a diferentes estrategias de modelización yestimación.

Los modelos 1º a 4º son claramente modelos de un parámetro, mientras 5º a 9º son dedos parámetros. Con los supuestos planteados, todos menos el modelos 7º son estimables porMínimos Cuadrados Ordinarios (mientras 7º requiere un procedimiento iterativo por mínimoscuadrados). Cada modelo puede ser interpretado como un modelo "por derecho propio", otambién como una derivación (o una aproximación) del modelo ADL(1,1).

La generalización de cada "tipo" en términos de un número mayor de lags y/o variosregresores naturalmente aproximan los casos entre sí. En el cuadro se plantean los modelosmás simples para resaltar sus diferencias y sus propiedades específicas.

De todas maneras, las restricciones necesarias para obtener los distintos casos (aúnsuponiendo modelos con mayor número de lags y/u otros regresores) en general son difícilesde justificar. Aún cuando pueden, en ocasiones, existir argumentos teóricos relevantes paraexplicar una forma específica, es siempre preferible testear el modelo seleccionado versus laforma general no restringida (el ADL(1,1)), lo que contribuye a evitar errores deespecificación importantes.

4

1.3. CLASIFICACIÓN

1.3.1. MODELOS INGENUOS DE EXPECTATIVAS

Los modelos más antiguos de expectativas empleaban valores pasados de las variablesrelevantes, o bien sencillas extrapolaciones de los mismos, como medición de las variablesesperadas.

Consideremos el modelo:

A menos que se especifique de otra manera, las expectativas se forman con base en losperiodos anteriores de tiempo. Por lo tanto, el modelo sume:

es decir, la compañía cree que la utilidades del próximo periodo serán iguales a las de éste.

Un modelo sencillo de extrapolación indicaría que los beneficios del siguiente periodose elevarán en una cantidad igual a la del último incremento. Es decir,

Otro modelo de extrapolación sería indicar que las utilidades se elevarán en unporcentaje igual al del último aumento. Esto da:

En todos los casos se sustituye en el modelo la utilidad esperada por su fórmula deformación de expectativas, quedando:

como la formación de expectativas se deriva del exterior y son ajenas al modelo económico,estas expectativas se consideran exógenas. Por lo tanto, el modelo se estima por mínimoscuadrados ordinarios.

5

ttt eXY ++= *10 βα

)( *11

*1

*−−− −=− tttt XXXX λ

∑∞

=−−−=

01

* )1(i

iti

t XX λλ

Es necesario modificar de manera adecuada la formación de expectativas, cuando secuenta con datos trimestrales o mensuales; porque existen fluctuaciones estacionales. Porejemplo, las ventas de diciembre de este año serían comparables con las del mismo mes delaño pasado, debido a la temporada navideña. La formación de expectativas quedaría:

obsérvese que se comparan meses o trimestres correspondientes y que se toma comoparámetro el último aumento porcentual.

No se recomiendan estos modelos, sin embargo, su uso es frecuente como puntos dereferencia para juzgar los datos de cualquier encuesta sobre expectativas.

1.3.2. MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÁMICOS

Los planteamientos teóricos que conducen a una especificación dinámica son:

Modelo de EXPECTATIVAS ADAPTABLES. Cagan (1956).

Modelo de AJUSTE PARCIAL Nerlove (1956).

Modelo de EXPECTATIVAS RACIONALES. Munth (1960, 1961).

Aº Modelo de Expectativas Adaptativas

El nivel de la variable endógena depende de un valor no observado deYtexpectativas de la exógena , así:Xt

*

Las expectativas se revisan o actualizan en función de las desviacionesobservadas en el pasado, así:

Resolviendo la anterior ecuación diferencial se obtiene:

Sustituyendo el valor de la expectativa en la 1ª ecuación:

6

ti

iti

t eXY +−+= ∑∞

=−−

0110 )1( λλβα

11110 )1()1( −−− −−+−++= ttttt eeYXY λλλβλα

Transformado la expresión anterior, queda:

EJEMPLO:

P. Cagan propuso un modelo analítico en el que la demanda de saldosmonetarios reales se hacía depender del valor esperado de la tasa de inflación futura:

El mecanismo de expectativas adaptativas, utilizado por Cagan (así como M.Friedman en su Teoría de Consumo), es:

que postula que los agentes modifican la expectativa a partir de las expectativas delperiodo anterior y considerando el error de predicción cometido.

Si las expectativas de inflación son estáticas y no se⇒hacen depender del error de predicción que se haya cometido.

Si las expectativas de inflación son totalmente⇒adaptativas, ya que se adapta como valor esperado de la inflaciónfutura el valor que la tasa de inflación ha tomado en este período.Se ignora la información que condujo a formar las expectativaspasadas.

Si en el mecanismo de expectativas se colocan todas las variables de expectativaen el primer miembro, nos queda:

Si se incorporan las expectativas adaptativas al modelo, se tiene el siguienteprocedimiento:

1º Se retarda el modelo un periodo, así:

( )π λ π λπt t t+ − − =1 1* *

7

ttt eXY ++= 10* βα

)( 1*

1 −− −=− tttt YYYY γ

)( 1101 −− −++=− ttttt YeXYY βαγ

2º Se multiplica el modelo retardo por ( 1 - ), nos da:

3º Restamos el modelo menos el modelo retardado, dando:

4º Simplificando y reemplazando por la formación de expectativas, nos queda elmodelo transformado siguiente:

Dado que el modelo transformado involucra una regresión de sobre

, esto se conoce como modelo autorregresivo.

Bº Modelo de Ajuste Parcial de Nerlove

Las variables exógenas determinan el valor óptimo o deseado de la variableXtendógena. . Por ejemplo:Yt

*

Sólo se alcanza una parte del valor óptimo en cada periodo, matemáticamente:

Sustituyendo la primera expresión en la segunda:

Despejando el valor corriente de la endógena:

8

tttt eYXY γγγβγα +−++= −110 )1(

K Y ut t t* ( )= + +β β1 2 1

K K K Kt t t t− = − < <− −1 1 0 1 2δ δ( ) ( )*

K K K

KK K

t t t

tt t

= + −

=− −

−

−

δ δδ

δ

*

*

( )( )

11

1

1

K Y K ut t t t= + + − +−δβ δβ δ δ1 2 11 3( ) ( )

EJEMPLO:

Supongamos que el nivel de capital deseado en la economía, , es una funciónKt*

del nivel de producto :Yt

Si un investigador quisiera proceder a estimar cómo varía el stock de capitaldeseado u óptimo, según la economía transcurre a través de una época de recesión ode expansión, tendría el grave problema de no disponer de observaciones de .Kt

*

Añadimos al modelo anterior una ecuación que describe el mecanismo por el queel stock de capital se ajusta a su nivel deseado. Supongamos:

postula que el stock de capital observado varía de un período a otro en una proporciónde su distancia con respecto al stock deseado.

Si En cada período el stock de capital es igual a su valor deseado.δ = 1 ⇒(Economía donde el stock de capital no está sujeto aimportantes costes de ajuste).

El stock de capital no cambia.δ = 0 ⇒

La ecuación ( 2 ) se puede rescribir:

donde el stock de capital es una combinación lineal convexa del valor deseado y desu valor previo.

Al reemplazar ( 1 ) en ( 2 ) tenemos:

Una vez estimado el modelo, el parámetro se obtiene del coeficiente de ,δ Kt−1

mientras que se obtendría dividiendo el coeficiente de por el valor de yβ2 Yt δ β1

a partir del término independiente estimado.

9

ttt eXY ++= *10 βα

)( 1*

−= ttt XEX θ

...**...** 22112211 ++++++= −−−− tttttt bbXaXaX εεε

ttttttt ebbXaXaY ++++++++= −−−− ...)**...**(* 2211221110 εεεβα

Y Y ut t t= + <−β β1 1 1( )

~ ( )β

ββMCO

t t

T

t

Tt t t

t

t t

T

t

T

TY Y

Y

Y u YY

Y u

Y= =

+= +

−

−

− −

−

−

−

∑

∑

∑

∑∑

12

12

2

1 1

12

12

12

2

2

La ecuación ( 3 ) es la demanda de capital a corto plazo y la ecuación ( 1 ) es lademanda de capital a largo plazo.

Cº Modelo de Expectativas Racionales de Munth

El nivel de la variable endógena depende de las expectativas racionalesYtformadas sobre el valor de la exógena , así:Xt

*

Las expectativas racionales se forman con toda la información disponible hastael periodo anterior:

La esperanza condicional viene representada por un proceso ARMA:

El modelo inicial se convierte en un modelo dinámico:

2. VARIABLE ENDÓGENA REZAGADA

Si aparecen valores retardados de la variable endógena, dejaría de cumplirse uno de lossupuestos bajo los que desarrollamos las teorías de estimación e inferencia del modeloeconométrico, pues algunas de las variables explicativas serían variables aleatorias (ya queYtlo es).

El modelo:

donde u es un proceso de ruido blanco y el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es:

10

E Y u Y E Y Y E uS S t

T

S t

T

S( / ) ( / ) ( )− − − −∑ ∑= =1 12

21 1

2

20

Y utst s

s= −

=

∞

∑ β0

Y Y uu ut t t

t t t

= + <= +

−

−

β βρ ε

1

1

1

Var e er ada E X u sVar Exogena E X u s

t S t

t S t

.Pr det min ( )

. ( )⇒ = ≥⇒ = ∀

−

−

0 00

el estimador será insesgado si y sólo si se cumple: .EY u

Y

t t

T

t

T

−

−

∑

∑

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=1

2

12

2

0

Si la distribución de u fuera independiente de para todo par (t,s), entonces se tendríaYspara s = 2, ..., T

entonces, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios sería insesgado.

Sin embargo, (1) muestra que las distribuciones de y no son independientes,Yt uspuesto que si el valor absoluto de es inferior a la unidad, entonces:β

como depende de y de valores retardados de ; por lo tanto, el estimador de mínimosYt ut utcuadrados del modelo (1) será, en general, sesgado.

El problema se complica sustancialmente cuando aparecen valores retardados de lavariable endógena como variables explicativas y, además el término de error tieneautocorrelación:

la variable explicativa está correlacionada con , y a su vez, está correlacionada con ;Yt−1 ut−1 utentonces una de las variables explicativas del modelo está correlacionada con el término deerror, por lo que ya no se tiene . No podemos garantizar la consistencia delE Y ut t( )− =1 0estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Por lo tanto, el estimador mínimo cuadrado de los coeficientes del modelo para que seaconsistente es que se tenga para todo y para todas las variablesE X ut S t( )− = 0 s ≥ 0explicativas del modelo se tiene:

11

Y Y X ut t t t= + + + <−β β β β1 2 1 3 2 1 1( )

′ =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

− −

∑ ∑

∑ ∑

∑

X X

T Y X

Y Y X

X

t

T

t

T

t

T

t t

T

t

T

1 12 2

12

21

2

2

2

~ ( ) ( )β βMCO X X X u= + ′ ′−1 2

p pX XT

X uT

pX XT

pX uTMCOlim ~ lim lim limβ β β= +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −1 1

2.1. EL TÉRMINO DE ERROR NO TIENE AUTOCORRELACIÓN

El modelo especificado es:

cuyas variables explicativas y término de error satisfacen las siguientes propiedades:

1º No existe autocorrelación, es decir: .E u E uu IT u T( ) , ( )= ′ =0 2σ

2º es determinista, es decir: .Xt E X u tt t( ) ,= ∀0

3º aunque es estocástica, si , depende de , , ...,E Y ut t( )− =1 0 Yt−1 β 2 1< Yt−1 ut−1 ut−2

pero no de , y si este proceso es un ruido blanco, entonces se tiene el resultadoutcitado.

4º matriz simétrica, definida positiva, donde:p X XT XXlim ′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

= Σ

Esta condición se satisface bajo el supuesto , siempre que existan las varianzasβ2 1<y covarianzas de las variables explicativas e .Xt Yt−1

Sabemos que:

aplicando probabilidad límite nos da:

12

1 Si , entonces seE u E uu I E X u y pX XTu T i XX( ) , ( ) , ( ) lim= ′ = ′ =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = < ∞0 02σ Σ

tiene que : .pX uT Klim

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 0

2 Si , entonces se tieneE u E uu I E X u y pX XTu T i XX( ) , ( ) , ( ) lim= ′ = ′ =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = < ∞0 02σ Σ

que: ′⎯ →⎯

X uT

NDu XX( , )0 2σ Σ

p MCO XX Klim ~β β β= + =−Σ 1 0

( ~ )β βMCO

X XT

X uT

− =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

TX XT

X uTMCO( ~ )β β− =

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

( ) ( ) ( )( )T N NMCOD

XX u XX u XX( ~ ) , ,β β σ σ− ⎯ →⎯⎯ =− −

Σ Σ Σ1 2 2 1

0 0

( )~ ,β βσ

MCOD u

XXNT

⎯ →⎯⎯⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−2

1Σ

según el teorema de Mann-Wald1 nos queda:

por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es consistente.

A veces no se está interesado en la distribución de un estimador, sino en la de unafunción del mismo. De la ecuación (2) deducimos:

multiplicando por la raíz de T nos da:

aplicando el teorema de Mann-Wald2 tenemos:

Esta distribución sólo es rigurosamente válida según tienda el tamaño muestral a infinito.

En la práctica, se realiza la aproximación siguiente:

1º Pasando y a la derecha, entonces:T β

en muestras grandes.

2º Para muestras suficientemente grande, el límite de es ; entonces, laΣ XX′X XT

matriz puede sustituirse por .Σ XX′X XT

13

( ) ( )Var X XMCO u~β σ= ′ −2 1

GCP SYS GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

Por lo tanto, la matriz de covarianzas se aproxima a:

En cuanto el término de error esté libre de autocorrelación, está justificado el uso demínimos cuadrados en un modelo que incluye retardos de la variable endógena. Puede utilizarsela matriz de covarianzas habitual de dicho estimador, quien tiene además una distribuciónnormal en muestras grandes, por lo que los resultados de inferencia estadística sonaproximadamente válidas.

Lo anterior es válido con independencia del número de retardos de la variable endógenaque aparecen como variables explicativas.

EJEMPLO 1:

Se tiene información trimestral para el periodo 1959 - 1996 de las variablessiguientes:

GCP Gasto de consumo personal.IPD Ingreso personal disponible.SYS Sueldos y salarios.R Tasa de interés activa promedio

especificamos la función consumo siguiente:

se estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C -9.587087 2.659345 -3.605055 0.0004 SYS 0.173464 0.020306 8.542600 0.0000 GCP(-1) 0.891955 0.014170 62.94613 0.0000 ==========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999934 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.97949 Akaike info criteri 7.824331 Sum squared resid 20808.68 Schwarz criterion 7.885085 Log likelihood -576.0005 F-statistic 1108462. Durbin-Watson stat 1.992817 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================

14

$..

.ρ = − = − =12

11 99281692505

20 00359153747518

DW

( )h =−

= <0 00359153747518148

1 148 0 0002007925183780 0443569947499 1645.

.. .

( )QBP = = <148 0 001 0 000184 3842. . .

para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemosverificar autocorrelación:

h de Durbin:

.H Ausencia de autocorrelacion orden0 1: º

se estima el rho:

se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente:

Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula

Box Pierce:

.H Ausencia de autocorrelacion orden m0:

se obtiene del Eviews:

Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 0.001 0.001 0.0002 0.989 .|* | .|* | 2 0.083 0.083 1.0538 0.590 ============================================================== m = 1

se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente:


15

( )QBP = + = <148 0 001 0 083 1025685 5992 2. . . .

LM = <0 000186 384. .

LM = <1071686 599. .

m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ===================================================== F-statistic 0.000181 Probability 0.989287 Obs*R-squared 0.000186 Probability 0.989120 =====================================================

se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente:


m = 2


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ===================================================== F-statistic 0.521517 Probability 0.594744 Obs*R-squared 1.071686 Probability 0.585176 =====================================================


Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.

Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es eladecuado.

16

GCP SYS R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

$..

.ρ = − = − =12

11 9974120053

20 00129399735245

DW

( )h =−

= <0 00129399735245148

1 148 0 000571070246960 0164527854599 1645.

.. .

EJEMPLO 2:

Especificamos la función consumo siguiente:


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C -8.224413 2.632759 -3.123876 0.0022 SYS 0.256588 0.034484 7.440758 0.0000 R -1.823686 0.619578 -2.943434 0.0038 GCP(-1) 0.834550 0.023897 34.92267 0.0000 =========================================================R-squared 0.999938 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999937 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.67493 Akaike info criteri 7.779419 Sum squared resid 19627.77 Schwarz criterion 7.860425 Log likelihood -571.6770 F-statistic 778035.5 Durbin-Watson stat 1.997412 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================

para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:

h de Durbin:


se estima el rho:



17

( )QBP = − = <148 0 002 0 000793 3842. . .

( )( )QBP = − + = <148 0 002 0 088 1142607 5992 2. . . .

Box Pierce:



Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 -0.002 -0.002 0.0008 0.977 .|* | .|* | 2 0.088 0.088 1.1739 0.556 ==============================================================

m = 1



m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1


Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ========================================================= F-statistic 0.000834 Probability 0.977003 Obs*R-squared 0.000863 Probability 0.976564 =========================================================

18

LM = <0 000863 384. .

LM = <1241676 599. .

Y Y X ut t t t= + + + <−β β β β1 2 1 3 2 1 1( )

u ut t t= +−ρ ε1

Y Y ut t t= +−β 2 1



m = 2




Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula.

Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es el adecuado.

2.2. EL TÉRMINO DE ERROR TIENE AUTOCORRELACIÓN

El modelo especificado es:

y sigue un patrón de autocorrelación de primer orden, es decir:

donde es ruido blanco.ε t

La existencia de autocorrelación en el término de error hace que la propiedad del casoanterior no se satisfaga. . Por ejemplo: Asumamos en (1) que ,( )( )E Y ut t− ≠1 0 β β1 3 0= =entonces el modelo queda:

tenemos:

19

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

E Y u E Y u u E Y u E u u

E Y u E Y u E u u

E Y u E Y u E u E u

E Y u E Y u

E Y u E Y u

E Y

t t t t t t t t t

t t t t t t

t t t t t t t

t t t t u

t t t t t u

− − − − −

− − − −

− − − −

− −

− − −

= + = +

= + +

= + +

− =

− + =

1 2 2 1 2 2 1

1 2 2 1 1

1 2 2 12

1

1 2 22

1 2 2 12

β β

β ρ ε

β ρ ε

β ρσ

β ρ ε ρσ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

t t t t t t u

t t t t u

t t u

t tu

u E Y u E Y

E Y u E Y u

E Y u

E Y u

− − − −

− −

−

−

− − =

− =

− =

=−

1 2 2 1 2 22

1 2 12

2 12

1

2

2

1

1

ρβ β ε ρσ

ρβ ρσ

ρβ ρσ

ρσρβ

( )p

pY u

T

pY

T

MCO

t t

T

t

Tlim ~

lim

lim

β β2 2

12

12

2

= +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

−

∑

∑

como depende de a través del modelo, pero y están relacionados con laYt−1 ut−1 ut−1 utestructura autoregresiva del término de error. En consecuencia y están correlacionados;Yt−1 utpor lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados es sesgado.

Sabemos que:

y si los momentos muestrales convergen en probabilidad a sus análogos poblacionales, elnumerador y el denominador son diferentes de cero; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados no es consistente. Es decir, el sesgo no desaparece al aumentar el tamaño muestral.

El procedimiento para obtener estimaciones consistentes de un modelo de este tipo seconoce como estimador de variables instrumentales.

Una variable instrumental es una variable que satisface tres condiciones:Zt

1º No está incluida en el modelo como variable explicativa.

20

( )~βVI Z X Z Y= ′ ′−1

[ ] [ ]X Y X Z X Xt t t t= =− −1 11 1

~~~

βββ

1

2

3

12 2

12

1 12

12

21

2

2

2

1

2

12

2

1⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

− − − −

−

−

−

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑VI

t

T

t

T

t

T

t t

T

t t

T

t

T

t t

T

t

T

t

T

t t

T

t t

T

T Y X

X X Y X X

X X Y X

Y

X Y

X Y

2º Está incorrelacionada con el término de error .( )( )E Z ut t = 03º Está correlacionada con la variable para la cual hace de instrumento.

En cuanto a la correlación que debe existir entre una variable instrumental y la variableexplicativa para la que se utiliza, como instrumento, cabe observar lo siguiente:

1º Es importante que dicha correlación exista, porque la variable instrumental sustituyeparcialmente a la variable endógena rezagada en la estimación del modeloeconométrico.

2º Dicha correlación no puede ser muy importante, sino también existiría una correlaciónapreciable entre la variable instrumental y el término de error (esto motivó la necesidadde la variable instrumental).

El primer retardo de la variable exógena satisface estas tres condiciones,( )Xt−1

también podría utilizarse el segundo retardo como variable instrumental; la diferencia( )Xt−2

es que la relación entre esta variable y se hace más indirecta.Yt−1

En general, en el vector X tan sólo habrá unas variables que no satisfagan la condición, y son estas variables las que necesitan de variables instrumentales. Es decir, los( )E Xu = 0

vectores X y Z tendrán en común aquellas variables que están incorrelacionadas con el términode error. El estimador de variables instrumentales viene dado:

donde Z denota la matriz T x K de observaciones muestrales de las variables que componen elvector Z y suponemos que es invertible. Para el ejemplo:′Z X

el estimador de variables instrumentales es:

la matriz dista de ser simétrica.′Z X

El estimador de variables instrumentales del modelo, en general, es sesgado porque lavariable aparece en la matriz ; pero el estimador es consistente bajo las condicionesYt−1 ′Z Xde la proposición siguiente:

21

( )E Z u t

pZ XT

pZ ZT

t K

ZX ZZ

′ = ∀

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

0

lim , lim

( )p pZ XT

Z uT

pZ XT

pZ uTVIlim ~ lim lim limβ β β= +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = +

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −1 1

( )p VI ZX Klim ~β β β= + ∑ =−1 0

( )E Z u t

pZ XT

simetrica definida positiva

pZ ZT

no gular

t K

ZX

ZZ

′ = ∀

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∑

0

lim ,

lim sin

( )pZ uT

yZ uT

NK K u ZZlim ,′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

′≈ ∑0 0 2σ

Sea Z una matriz T x K de observaciones de las variables , quizáZ Z ZK1 2, ,...,aleatorias. Sea la fila t de Z y supongamos que se tiene:′Zt

ambas matrices son singulares y finitas, entonces tenemos:

reemplazando por los supuestos nos da:

la consistencia de proviene de la ausencia de correlación entre instrumentos y término de~βVIerror, con independencia de que éste tenga o no autocorrelación.

En ausencia de autocorrelación, podemos caracterizar la distribución asintótica de ~βVIde la forma siguiente:

Dado el modelo , donde es el vector de variables explicativas, queY X ut t t= ′ +β Xtpuede incluir algunos retardos de la variable endógena, y , el término de error es un ruidoutblanco, sea X la matriz T x K de observaciones de las variables , y supongamosZ Z ZK1 2, ,...,que:

el teorema de Mann - Wald asegura que bajo los tres supuestos mencionados se tiene:

y como:

22

( )TZ XT

Z uTVI

~β β− =′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

T N

T N

NT

VI ZX K u ZZ

VI K u ZX ZZ ZX

VIu

ZX ZZ ZX

~ ,

~ ,~ ,

β β σ

β β σ

β βσ

− ≈ ∑ ∑

− ≈ ∑ ∑ ∑′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

≈ ∑ ∑ ∑′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

− −

− −

1 2

2 1 1

21 1

0

0

( ) ( ) ( )[ ]VarTVIu

ZX ZZ ZX~β

σ= ∑ ∑ ∑

′− −

21 1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]VarT

Z XT

Z ZT

Z XT

Z X Z Z Z XVIu

u~β

σσ=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ′ ′ ′

′− −− −

2 1 12 1 1

( ) ( )~~ ~

σβ β

uVI VIY X Y XT K

2 =−

′−

−

converge en distribución a:

Por lo tanto, este resultado justifica que en muestras grandes se utilice como matriz decovarianzas del estimador de variables instrumentales:

y se utiliza las matrices de momentos muestrales , para aproximar sus límites′Z XT

′Z ZT

respectivos de ; reemplazando nos da:∑ ∑ZX ZZ,

El parámetro se estimaría dividiendo la suma residual por el número de grados deσ u2

libertad ( T-K ). Los residuos deben calcularse utilizando las variables originales del modelo,es decir:

Este resultado no puede generalizarse fácilmente al caso en que el término de errortiene autocorrelación, por lo que suele utilizarse la matriz de covarianza anterior incluso en talcaso, aun a sabiendas que no es sino una aproximación.

Se ha presentado el estimador de variables instrumentales como si se dispusiese de unnúmero de instrumentos igual al número de variables explicativas, entonces no existe diferencia

23

entre instrumentos y variables instrumentales.

Generalmente, se dispondrá de un número mayor de instrumentos que de variablesinstrumentales, situación que se denomina " sobreidentificación"; por lo tanto, habría muchasformas de construir las variables instrumentales que precisamos para obtener consistencia.

La matriz de covarianzas del estimador de variables instrumentales depende de losvalores de éstas, por lo que el modo en que los instrumentos se “combinan” para generarvariables instrumentales influye sobre la eficiencia de un estimador de variables instrumentalesrespecto a otro estimador de su misma clase.

Consideremos el modelo siguiente:

en el que las variables , supuestos deterministas, están incorrelacionados conel término de error, y son instrumentos válidos. Pero sólo necesitamos una variable instrumentalpara , y se trataría de buscar cuál de todas las posibles minimiza la varianza del estimadorresultante. Además cualquier combinación lineal de losinstrumentos es asimismo un instrumento válido.

Una posibilidad consiste en generar la variable instrumental que presente mayorcorrelación con , entonces estimamos una regresión auxiliar de esta variable sobre los tresYt−1

instrumentos de que disponemos, para obtener la variable generada , que será una~Yt−1

combinación lineal de , y y, como tal, una variable instrumental válida.X t1 1− X t2 1− X t3 1−

La utilización del vector genera el denominado estimador de( )′ = −Z Y X X Xt t t t t~ , , ,1 1 2 3

mínimos cuadrados en dos etapas .( )~βMC E2

El estimador de mínimos cuadrados bietápicos es el estimador lineal de variablesinstrumentales eficiente, en el sentido de tener mínima matriz de covarianza entre losestimadores que utilizan como variables instrumentales combinaciones lineales de losinstrumentos disponibles.

La aplicación del método de mínimos cuadrados bietápicos requiere los siguientespasos:

1º Estimar una regresión auxiliar de sobre los tres instrumentos de que

disponemos, para obtener la variable predicha , que será una combinación lineal~Yt−1

de y, como tal, es una variable instrumental válida.

2º Se sustituye en el modelo original por y se estima el modelo transformado~Yt−1

24

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

$.

.ρ = − = − =12

117096162998

20145191850101

DW

( )h =−

= >0145191850101148

1 148 0 0006172052005891852993577 1645.

.. .

por mínimos cuadrados ordinarios.

EJEMPLO 3: Especificamos la función consumo siguiente:


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000 =========================================================R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888850 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================


h de Durbin:


se estima el rho:


Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula

25

( )QBP = = <148 0145 3106615 3842. . .

( )QBP = + = >148 0145 0168 7 285250 5992 2. . . .

Box Pierce:



Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|* | .|* | 1 0.145 0.145 3.1700 0.075 .|* | .|* | 2 0.168 0.150 7.4631 0.024 ==============================================================

m = 1



m = 2



Breusch-Godfrey:


m = 1



26

LM = <3208674 384. .

LM = >6 741162 599. .

( )~~~~

...

αααα

VI Z X Z Y=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= ′ ′ =−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−0

1

2

1

41916030 2985470 686558

( ) ( )~~ ~

.σβ β

uVI VIY X Y X

2

148 31654665=

−′

−−

=



m = 2




Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.

Concluimos que mínimos cuadrados ordinarios no es el método de estimaciónadecuado y debemos aplicar el método de variables instrumentales de la siguiente forma:

Primero creamos los grupos y a continuación se convierten en matrices, tenemos losgrupos siguientes:

G1 = [ 1 IPD GCP(-1) ] X ≡

G2 = [ GCP ] Y≡

G3 = [ 1 IPD IPD(-1) ] Z≡

Obtenemos el estimador de los coeficientes de variables instrumentales, así:

a continuación se calcula el estimador de la varianza de la perturbación, de la siguientemanera:

27

( ) ( ) ( )( )Var Z X Z Z Z XVI u~ ~

. . .. . .

. . .β σ= ′ ′ ′ =

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− −2 1 1

6861411 0 093411 01011530 093411 0 002198 0 002403

0101153 0 002403 0 002628

( )t

ttt VARVI

i

i

~

~

~

~

~α

α

α

α

α

α=

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

0

1

2

-1.60019686721 6.36810211651 13.3934789812

GCP IPD R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

ahora se estima la varianza de los estimadores de variable intsrumental, así:

con esta información podemos calcular el t estadístico para cada estimador de variableinstrumental, de la forma siguiente:

EJEMPLO 4:



Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 2.046243 2.649849 0.772211 0.4413 IPD 0.214902 0.032202 6.673643 0.0000 R -0.495999 0.517889 -0.957733 0.3398 GCP(-1) 0.778189 0.035086 22.17975 0.0000 =========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00548 Akaike info criteri 7.835259 Sum squared resid 20754.96 Schwarz criterion 7.916265 Log likelihood -575.8092 F-statistic 735778.3 Durbin-Watson stat 1.679188 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================


28

$..

.ρ = − = − =12

11 67918769606

20160406151972

DW

( )h =−

= >0160406151972148

1 148 0 00123099578102215786848852 1645.

.. .

( )QBP = = <148 016 37888 3842. . .

( )( )QBP = + = >148 016 018 8591901 5992 2. . . .

h de Durbin:


se estima el rho:



Box Pierce:



Correlogram of Residuals===========================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148=========================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob =========================================================== .|* | .|* | 1 0.160 0.160 3.8730 0.049 .|* | .|* | 2 0.180 0.158 8.8008 0.012 =========================================================== m = 1



m = 2



29

LM = >4 341279 384. .

LM = >9 252508 599. .

Breusch-Godfrey:.H Ausencia de autocorrelacion orden m0:

m = 1





m = 2





La estimación de mínimos cuadrados ordinarios presenta autocorrelación y el modelotiene dos variables exógenas, entonces el método adecuado es mínimos cuadrados en dosetapas.

En el Eviews escribimos el comando siguiente:

TSLS GCP C IPD R GCP(-1) @ C IPD IPD(-1) R R(-1)


30

Y X X X ut t t S t S t= + + + + +− −β β β β1 2 2 3 2 1 2...

Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) R R(-1) ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 1.645073 2.834786 0.580316 0.5626 IPD 0.194944 0.059191 3.293451 0.0012 R -0.269375 0.765920 -0.351701 0.7256 GCP(-1) 0.799938 0.064501 12.40185 0.0000 =========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.02149 Sum squared resid 20810.34 F-statistic 733707.8 Durbin-Watson stat 1.711471 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================

3. VARIABLE EXÓGENA REZAGADA

Si el modelo es del tipo:

no se incumplen las hipótesis básicas del modelo lineal general, porque las distintas variablesexplicativas del modelo de regresión son todas deterministas.

En este modelo aparecen tan sólo dos posibles dificultades:

1º Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionadosentre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable.Cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será laXtpresencia de alto grado de multicolinealidad.

2º Cuando la estructura de retardos es de orden infinito, entonces es imposible estimardirectamente el modelo, porque no tendríamos observaciones suficientes para ello.Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con unnúmero reducido de variables explicativas.

En la formación de expectativas, otros modelos utilizan el total de la historia,asignando pesos específicos que decrecen a los valores anteriores, a medida que se retrocedehacia el pasado distante. Estos se conocen como modelos de expectativas de rezagosdistribuidos.

31

YXkIXXk ')'()(ˆ 1−+=β

)1/(0

+=∑=

− rXZr

iitt ∑∑

==−=

r

ii

r

iitit pXpZ

00

∑=

−=r

iitt XZ

0

rrt LLLLW ωωωωω +++++= ...3

32

210

ttt eXLWY += )(*α

π γ πt i t ii

K

+ −=

= ∑10

*

Las posibles soluciones al problema de estimación en presencia de variables exógenasretardadas son los siguientes:

1º Utilizar estimadores adecuados en el caso de multicolinealidad severa(ESTIMADORES CRESTA).

2º Elaborar una única variable transformada, por ejemplo:

3º Estimar con distribuciones de retardos.

3.1. RETARDOS FINITOS

Consideremos el siguiente modelo de Demanda de saldos reales:

el mecanismo de expectativas adaptativas es:

también se puede expresar de la siguiente forma:

Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignan aestos valores pasados.

El modelo de rezago distribuido finito se obtiene sustituyendo la ecuación de ajustede expectativas en el modelo original, el resultado es el siguiente:

32

MP

u u ut

ti t i

i o

K

t i t ii o

K

t i t ii o

K

t= + + = + + = + +−=

−=

−=

∑ ∑ ∑β β γ π β β γ π β β π1 2 1 2 1*

∑=

−+=r

i

iLirLW0

)1()(

2/)1()1()(1

0

rsconLirLiLWr

si

is

i

i =−+++= ∑∑=

−

=

∑=

++++=r

i

iqq LiiiLW

0

2210 )...()( γγγγ

),0()...()(0

22210∑

=

≈+++++=r

ii

ii

qq NconLiiiLW υσυυγγγγ

multiplicando y simplificando se obtiene:

en términos de sumatoria sería:

Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionadosentre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable; porlo tanto, cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será lapresencia de alto grado de multicolinealidad.

Existen planteamientos alternativos de distribuciones de retardos finitos, por ejemplo:

1º Aritmética:

2º V Invertida:

3º Almon:

4º Shiller:

33

jkn

conLBALW kji

q

kkjkkjk .

12)cossen()(

0 +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++= ∑

=

πθθθβ

5º Armónicas:

Consideraremos a Almon que generalizó para el caso en que sigue un polinomiode grado r en i. Esto se conoce como rezago de Almon o polinomial. Se denota como PDL(K, r), donde PDL significa una distribución polinomial de rezagos, K es la longitud derezagos y r es el grado del polinomio. Por ejemplo, si r = 2, escribimos:

Sustituyendo el PDL en el modelo transformado, se obtiene:

definiendo:

reemplazando en el modelo anterior, nos queda:

se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene los estimados de , luego

a partir del polinomio se calcula los valores de .

Al reducir el número de parámetros a estimar, se simplifica el modelo original ydisminuye el riesgo de alto grado de multicolinealidad en el modelo auxiliar, aunque al seréste más restrictivo, cabe la posibilidad que el modelo resultante auxiliar no esté bienespecificado, lo que originaría sesgos en las estimaciones de sus parámetros.

Aunque todos los desarrollos se han realizado considerando una sola variable exógena Xtcon varios retardos, los polinomios anteriores se pueden aplicar a estructuras más complejasde retardos distribuidos en distintas variables exógenas y en la endógena.

Los rezagos polinomiales suponen tres tipos de problema:

1º Problemas de distribuciones de cola prolongada.- es difícil captar distribuciones deretardo de colas prolongadas, como la que se observa en el gráfico.

34

GCP IPD ut i t ii

m

t= + +−=∑α β

0

Para resolver este problema puede utilizarse un polinomio por tramos, o bienun polinomio para la inicial y un rezago de Koyck o geométrico para la últimaparte.

2º Problema en la elección de la longitud del retardo K.- Schmidt y Waud sugierenescoger K con base en la máxima: Frost efectuó una simulación experimentalutilizando este criterio y descubrió un importante sesgo hacia arriba en la longitud delrezago. Por lo tanto, para corregir el sesgo Frost sugiere utilizar relaciones F mayoresque 1, es decir, F = 2.

3º Problemas para escoger r, el grado del polinomio.- Si se especifica en forma correctala longitud K del rezago, entonces lo que se hace es iniciar con un polinomio de gradolo suficientemente alto (cuarto o quinto grado) e ir hacia atrás (forma secuencial) hastarechazar la hipótesis nula (no significancia).

EJEMPLO 5:


primero se elige el retardo óptimo, estimando por mínimos cuadrados ordinarios la funciónconsumo con cero retardos, un retardo, dos retardos y así sucesivamente; finalmenteelegimos la mejor estimación. mediante los criterios de información.

En el Eviews se escribe los comandos siguientes:

LS GCP C IPD

LS GCP C IPD IPD(-1)

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2)

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3)

35

LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3) IPD(-4)

.............................................................

De las estimaciones de Eviews construimos el siguiente cuadro:

================================================

M T AKAIKE SCHWARZ R 2

================================================ 0.000000 148.0000 0.999459 9.916938 9.957441 1.000000 148.0000 0.999550 9.739763 9.800517 2.000000 147.0000 0.999595 9.640053 9.721425 3.000000 146.0000 0.999625 9.568611 9.670790 4.000000 145.0000 0.999656 9.489712 9.612887 5.000000 144.0000 0.999687 9.399949 9.544315 6.000000 143.0000 0.999712 9.323912 9.489665 7.000000 142.0000 0.999728 9.270235 9.457576

8.000000 141.0000 0.999739 9.236198 9.445330 9.000000 140.0000 0.999744 9.221678 9.452807 10.00000 139.0000 0.999755 9.185458 9.438794 11.00000 138.0000 0.999768 9.136352 9.412107 12.00000 137.0000 0.999772 9.122193 9.420585 13.00000 136.0000 0.999779 9.097349 9.418598 14.00000 135.0000 0.999786 9.072103 9.416432 15.00000 134.0000 0.999789 9.063944 9.431580 16.00000 133.0000 0.9998067 8.978877 9.370052 17.00000 132.0000 0.9998066 8.984089 9.399037 18.00000 131.0000 0.999804 9.003127 9.442089 19.00000 130.0000 0.999801 9.023694 9.486911 20.00000 129.0000 0.999797 9.045514 9.533234 ===============================================

elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado, el menor Akaike y el menor Schwarz.

Se aplica el polinomio de retardos distribuidos y se estima por mínimos cuadradosordinarios, empezamos el proceso utilizando un polinomio de grado alto (sexto grado); y severifica si el coeficiente correspondiente a este grado es significativo.

Si no lo es, entonces disminuimos un grado el polinomio y se vuelve a verificar lasignificancia.

Si lo es, entonces esa es la estimación adecuada.

El comando para estimar es:LS GCP C PDL(IPD, 16, 6)

el eviews nos muestra el resultado siguiente:

36

( )t tPDLβ 07

1832573 19791240 95 125= < =. .. ,

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -6.339855 3.600894 -1.760634 0.0807 PDL01 -0.012270 0.030316 -0.404748 0.6864 PDL02 -0.005282 0.013266 -0.398128 0.6912 PDL03 0.009811 0.009862 0.994854 0.3217 PDL04 0.000367 0.000950 0.386271 0.7000 PDL05 -0.000659 0.000472 -1.396955 0.1649 PDL06 -9.23E-06 1.30E-05 -0.709186 0.4795 PDL07 9.78E-06 5.33E-06 1.832573 0.0692 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 07 0:β =

Por lo tanto, no es significativo.

Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cinco del polinomio.

El comando para estimar es:LS GCP C PDL(IPD, 16, 5)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -6.050610 3.630943 -1.666402 0.0981 PDL01 0.034509 0.016505 2.090798 0.0386 PDL02 -0.008626 0.013262 -0.650385 0.5166 PDL03 -0.007747 0.002358 -3.286186 0.0013 PDL04 0.000644 0.000946 0.680622 0.4974 PDL05 0.000202 4.09E-05 4.943113 0.0000 PDL06 -1.32E-05 1.30E-05 -1.016531 0.3113 ==================================================

37

( )t tPDLβ 06

1016531 197897060 95 126= − < =. .. ,

Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 06 0:β =


Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cuarto del polinomio.

El comando para estimar es:

LS GCP C PDL(IPD, 16, 4)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ========================================================= C -5.808098 3.623573 -1.602865 0.1114 PDL01 0.035690 0.016467 2.167386 0.0321 PDL02 0.003547 0.005701 0.622171 0.5349 PDL03 -0.007954 0.002349 -3.386001 0.0009 PDL04 -0.000308 0.000135 -2.278716 0.0244 PDL05 0.000206 4.08E-05 5.052374 0.0000 =========================================================R-squared 0.999819 Mean dependent var 2025.369 Adjusted R-squared 0.999812 S.D. dependent var 1456.228 S.E. of regression 19.97692 Akaike info criterion 8.871096 Sum squared resid 50682.82 Schwarz criterion 9.001487 Log likelihood -583.9279 F-statistic 140257.9 Durbin-Watson stat 0.484322 Prob(F-statistic) 0.000000 ========================================================= Lag Distribution of IPD i Coefficie Std. Error T-Statistic ============================================================ . *| 0 0.49948 0.04026 12.4056 . * | 1 0.22122 0.01176 18.8102 . * | 2 0.06149 0.01836 3.34862 *. | 3 -0.01368 0.02152 -0.63571 *. | 4 -0.03333 0.01861 -1.79085

38

( )t tPDLβ 05

5052374 197881953470 95 127= < =. .. ,

GCP IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t

t

= − + ++ − −− + ++ + +− + −− +

−

− − −

− − −

− − −

− − −

−

5808098244 0 4994778688 0 2212198230 06149146821 0 01368081228 0 03332815580 02153941711 0 00253887094 0 024702497440 03568957339 0 03118053171 0 011798127250 01689256324 0 04438414106 0 05522688560 02902875434 0

1

2 3 4

5 6 7

8 9 10

11 12 13

14

. . .. . .. . .. . .. . .. .05954461717 0 240769915315 16IPD IPDt t− −+ .

GCP R IPD ut t i t ii

m

t= + + +−=∑α α β0 1

0

*. | 5 -0.02154 0.01451 -1.48436 * | 6 0.00254 0.01370 0.18539 * | 7 0.02470 0.01553 1.59095 .* | 8 0.03569 0.01647 2.16739 .* | 9 0.03118 0.01536 2.03015 * | 10 0.01180 0.01400 0.84292 *. | 11 -0.01689 0.01589 -1.06299 *. | 12 -0.04438 0.02046 -2.16924 * . | 13 -0.05523 0.02297 -2.40470 *. | 14 -0.02903 0.01876 -1.54705 .* | 15 0.05954 0.01324 4.49886 . * | 16 0.24077 0.04599 5.23524 ============================================================ Sum of Lags 0.97433 0.00304 320.727 ============================================================

Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 05 0:β =

Por lo tanto, es significativo.

La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente:

EJEMPLO 6:


se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior.

39

Determinamos el retardo óptimo:

================================================

M T AKAIKE SCHWARZ R 2

================================================ 0.000000 148.0000 0.999708 9.307039 9.367793 1.000000 148.0000 0.999729 9.240432 9.321438 2.000000 147.0000 0.999726 9.256498 9.358214 3.000000 146.0000 0.999724 9.270765 9.393379 4.000000 145.0000 0.999724 9.275053 9.418758 5.000000 144.0000 0.999730 9.258455 9.423444 6.000000 143.0000 0.999735 9.245726 9.432199 7.000000 142.0000 0.999739 9.236356 9.444513 8.000000 141.0000 0.999744 9.225159 9.455204 9.000000 140.0000 0.999746 9.222191 9.474332 10.00000 139.0000 0.999755 9.192085 9.466532 11.00000 138.0000 0.999767 9.147645 9.444613 12.00000 137.0000 0.999771 9.135508 9.455214

13.00000 136.0000 0.999777 9.111658 9.454324 14.00000 135.0000 0.999784 9.086885 9.452734 15.00000 134.0000 0.999787 9.078252 9.467514 16.00000 133.0000 0.9998052 8.993054 9.405961 17.00000 132.0000 0.9998051 8.998324 9.435112 18.00000 131.0000 0.999802 9.017919 9.478829 19.00000 130.0000 0.999799 9.038893 9.524168 20.00000 129.0000 0.999795 9.060936 9.570825 ===============================================

elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado y el menor Akaike; si se considerará el criterio Schwarz el óptimo sería 1.

Elección del grado de polinomio óptimo:

El comando para estimar es:

LS GCP C R PDL(IPD, 16, 6)


Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.162016 5.836322 -1.398486 0.1645 R 0.499054 1.255326 0.397550 0.6916

40

( )t tPDLβ 05

1804222 197928011660 95 124= < =. .. ,

( )t tPDLβ 06

0 970754 1979124109420 95 125= − < =. .. ,

PDL01 -0.010006 0.030947 -0.323329 0.7470 PDL02 -0.005299 0.013311 -0.398116 0.6912 PDL03 0.009571 0.009914 0.965390 0.3362 PDL04 0.000355 0.000954 0.372635 0.7101 PDL05 -0.000650 0.000474 -1.371854 0.1726 PDL06 -8.85E-06 1.31E-05 -0.676314 0.5001 PDL07 9.67E-06 5.36E-06 1.804222 0.0736 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 07 0:β =

Por lo tanto, el coeficiente del grado sexto del polinomio no es significativo,entonces estimamos el modelo considerando un polinomio de quinto grado y los resultadosdel Eviews son:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.290242 5.888299 -1.407918 0.1616 R 0.612332 1.265014 0.484052 0.6292 PDL01 0.036662 0.017143 2.138648 0.0344 PDL02 -0.008603 0.013303 -0.646677 0.5190 PDL03 -0.007808 0.002368 -3.297102 0.0013 PDL04 0.000626 0.000950 0.659165 0.5110 PDL05 0.000202 4.11E-05 4.912057 0.0000 PDL06 -1.27E-05 1.30E-05 -0.970754 0.3335 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 06 0:β =


El coeficiente del grado quinto del polinomio no es significativo, entonces estimamosel modelo considerando un polinomio de cuarto grado y los resultados del Eviews son:

41

( )t tPDLβ 05

501515 1978970601990 95 126= < =. .. ,

GCP R IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD IPD IPDIPD

t t t

t t t

t t t

t t t

t t t

t

= − + ++ + −− − ++ + ++ − −− −

− − −

− − −

− − −

− − −

−

8 423678855 0 7121166325 0 48741923420 214724703 0 05901103723 0 013431585550 03139067077 0 01873140654 0 0056033362770 02759300405 0 03813936043 0 033066486290 01312077977 0 01602904374 0 043791951610 05465459393 0 0281813035

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13

. . .. . .. . .. . .. . .. . 8 0 06098590386

0 2431273314 15

16

IPD IPDIPD

t t

t

− −

−

++

..

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.423679 5.885348 -1.431297 0.1548 R 0.712117 1.260543 0.564929 0.5731 PDL01 0.038139 0.017071 2.234169 0.0272 PDL02 0.003023 0.005791 0.521900 0.6027 PDL03 -0.008015 0.002358 -3.399155 0.0009 PDL04 -0.000286 0.000141 -2.024389 0.0450 PDL05 0.000205 4.09E-05 5.015150 0.0000 ==================================================

Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente:

H PDL0 05 0:β =

Por lo tanto, es significativo.

La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente:

3.2. RETARDOS INFINITOS

Consideremos el modelo de Demanda de saldos reales:

el mecanismo de expectativas adaptativas es:

42

π γ πt i t ii

+ −=

∞

= ∑10

*

LLW

λλ

−−=

11)(

positivoyenterorconL

LW r

r

)1()1()(

λλ

−−=

nymdodepolinomiosLVyLUconLVLULW gra)()(

)()()( =

en forma de sumatoria se expresa:

cuando el número de retardos es infinito es imposible estimar directamente el modelo,porque no tendríamos observaciones suficientes para ello.

Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignana estos valores pasados.

Los modelos de rezago distribuido recibieron mayor atención en la década de 1950,cuando Koyck, Cagan y Nerlove sugirieron utilizar una distribución infinita de rezagos, conpesos específicos que se reducen en forma geométrica.

Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un númeroreducido de variables.

Algunos planteamientos alternativos de distribuciones de retardos infinitos son:

1º Geométrica:

2º Pascal:

3º Racional:

4º Gamma:

43

∑∞

=

− −Γ

=0

1 )exp()(

1)(i

is Liis

LW

0exp)(0 1

<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∑ ∑∞

= =m

i

m

k

kk pconipLW

5º Exponencial:

Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:

entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener

. Así,

Al sustituir esta expresión en el modelo original, nos da:

esto abarca una serie infinita y los valores infinitos anteriores de no se observan , espreciso resolver este problema de alguna forma. Lo que se hace es dividir la serie en dospartes : el pasado observado y el no observado. Las series infinitas se escriben:

La primera parte se observa y se denota por medio de , la segunda parte puedeescribirse:

sustituyendo en el modelo, queda:

44

MP

Z ut

tt

tt= + + +β β γλ1 2 1

( )u N It u T≈ 0 2,σ

ln , , , , ln lnLMP

ZT T M

PZt

tt u

u

t

tt

t

t

T

1 1 22

2 1 21

2

22

21

2β β γ λ π σ

σβ β γλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − − − − − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑

( )

( )

~~

~

ββγ

λ λλ

λ

λ λλ

λ

1

2

11

12

11

12 2

2

1

1

11

1

11

11

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

= =

−

=

=

=

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

T Z

Z Z

Y

Z Y

Y

tt

T T

tt

Tt

tt

T

T

tt

T

t tt

T

tt

t

T

en realidad el parámetro c no interesa, dependen de .

Aplicaremos el método de estimación de máxima verosimilitud al modelo:

suponemos:

El logaritmo de la función de verosimilitud es:

se maximiza la función de verosimilitud con respecto a es equivalente aβ β γ λ1 2, , yminimizar la suma residual. Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud coincide conel estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Como el parámetro debe tomar valores en el intervalo (-1,1), entonces es posibleλhacer una partición de dicho intervalo, por ejemplo: -1, -0.9, ..., 0, 0.1, 0.2, ..., 1 y estimarel modelo por mínimos cuadrados ordinarios bajo cada uno de estos valores de ,λobteniendose:

45

( )

( )I

T ZZ

t

Z ZZ

t Z

Zt

u

u

tt

T Tt t

t

T

tt

Tt

tt

Tt t

tt

T

Tt t−

=

−

=

= =

−

=

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

+

∑ ∑

∑ ∑ ∑1

1

2

2

2

11

21 1

1

12

11

12

1 11

12 2

2 21 1

11

0

0

11

~~

~~

~

ββγλ

σ

σ

λ λλ β

∂∂λ λ γ

λ β∂∂λ λ γ

λ λλ

β∂∂λ λ γ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−

=

−

∑

∑

λ

β∂∂λ λ γ

σ

t

t

T

t t

t

T

u

Zt

T

1

21 1

2

1

2

1

0

0

2

En general, no tiene mucho sentido suponer que los coeficientes del modeloβ ioriginal alternan en signo, por lo que se supone inferior a la unidad en valor absoluto,λpero positivo; entonces, es el intervalo (0,1) el que se particiona.

Tras estimar el modelo suponiendo los diferentes valores de , se escoge aquelλvalor de que generó una suma residual menor o un coeficiente de determinación más alto.λLas estimaciones de y son las que se obtuvieron con dicho valor de .β1 β2 λ

Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse unasubdivisión de un intervalo alrededor del valor de inicialmente estimado, y repetir elλproceso.

La matriz de covarianzas apropiada es la inversa de la matriz de información, puesel estimador que se ha obtenido es, en realidad, el de máxima verosimilitud.

Para ello, habría que obtener la matriz de segundas derivadas de la función deverosimilitud con respecto al vector de parámetros , puesto que ahora se( )β β γ λ σ1 2

2, , , , u

estiman todos simultáneamente. Dicha matriz de covarianzas es:

algunas observaciones:

1º La varianza del estimador es igual a , y es independiente de .~σu2 2 2σ u

T~ , ~ , ~ ~β β γ λ1 2 y

2º La submatriz superior de orden 3 x 3 coincide con la matriz que se utilizó paraobtener el estimador de mínimos cuadrados ordinarios.

Para la estimación del modelo transformado se sigue el procedimiento siguiente:

1º Para cada valor de en el rango ( 0 , 1 ) se construyen las variables:

46

( )GCP IPD ut i t ii

t= + +−=

∞

∑α β0

1

( ) ( )GCP IPD uti

t ii

t= + − +−=

∞

∑α λ λ1 20

es decir:

y así sucesivamente; y .

2º Estimamos el modelo transformado por el método de mínimos cuadrados ordinariosy obtenemos la suma de cuadrados residual.

3º Se escoge el valor de para el que la suma residual es mínimo y obtenemos losvalores correspondientes de como los estimados de mínimos cuadradosque se desean.

4º Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse unasubdivisión de un intervalo alrededor del valor de inicialmente estimado, y repetirel proceso anterior.

Obsérvese que, dado que son funciones no lineales de , la estimación delmodelo transformado involucra el método de mínimos cuadrados no lineales. Sin embargo,para un valor dado de , tenemos un modelo lineal de mínimos cuadrados. Así, utilizamosun procedimiento de búsqueda sobre . En la práctica, se elige en intervalos de 0.1 enel primer paso y de 0.01 en el segundo.

EJEMPLO 7:


Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:

entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener

. Así,

47

( ) ( )λ αλ λ λ λGCP IPD uti

t ii

t−+

− −=

∞

−= + − +∑11

10

11 3

( ) ( )GCP IPD GCP u ut t t t t= + − + + −− −α λ λ λ1 1 1

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α λ λ* *1

Y X u Y Z u= + = + +β α δ1 1

( ) ( ) ( )[ ] ( )~ ~ ~ ~ ~ ~β β β β β β χMCO VI VI MCO MCO VI rVar Var−′

− − ≈−1

2

rezagamos un periodo el modelo y multiplicamos por :λ

restando (3) de (2):

o

el resultado es el modelo del ejemplo 3 y el proceso de estimación ya se conoce.

4. CONTRASTE DE EXOGENEIDAD DE HAUSMAN Y WU

Es aconsejable cuestionarse acerca de las propiedades de exogeneidad de las variablesexplicativas, pues, de no satisfacerse, obtendríamos estimadores inconsistentes.

Hausman (1978) y Wu (1973) sugieren escribir el modelo a estimar, distinguiendoentre las r variables explicativas que pueden estar coorrelacionadas con el término deY1

error de aquellas K-r variables cuya ortogonalidad a no se cuestiona:Z1 ut

y supongamos que se dispone de una lista de instrumentos para , en caso de que seY1

necesitasen.

El contraste consiste en:

1º Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios.

2º Estimar el modelo por el método de variables instrumentales o mínimos cuadradosen dos etapas.

3º La hipótesis que se plantea es:: Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas.H0

4º El estadístico es:

Un valor elevado del estadístico rebatirá tal supuesto y mostraría la necesidad deutilizar un procedimiento de estimación de variables instrumentales.

48

GCP IPD GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

EJEMPLO 8:


se quiere verificar si la variable se puede tratar como exógena. Siguiendo elGCPt−1procedimiento, primero se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios:

Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================

C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000

============================================================R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888849 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

A continuación se estima el modelo por el método de variables instrumentales omínimos cuadrados en dos etapas:

Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) ============================================================

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================

C -4.191603 2.619429 -1.600197 0.1117 IPD 0.298547 0.046882 6.368102 0.0000 GCP(-1) 0.686558 0.051261 13.39348 0.0000

============================================================R-squared 0.999925 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999924 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.86338 Sum squared resid 23992.65 F-statistic 960998.7 Durbin-Watson stat 1.358172 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

49

( ) ( ) ( )[ ] ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ . .β β β β β β χMCO VI VI MCO MCO VIVar Var−′

− − = > =−1

126 61844563805 384

Y X X Y Y Yt t t q t t p t p t= + + + + + + + + +− − − −δ β β β α α α ε0 1 1 1 1 2 2..... .....

( ) ( )A L Y B L Xt t t= + +δ ε

( )( )( ) ( )Y

A LB LA L

XA Lt tt= + +δ ε

( )Y D L X ut t t= + +γ

La hipótesis que se plantea es:: Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas.H0


5. INTERPRETACIÓN DE LOS MODELOS DINÁMICOS

Un modelo dinámico más general, representado por:

aplicando el operador de retardos se tendrá:

dividimos por A(L) el modelo y se obtiene:

se puede expresar:

Un modelo es estable cuando cumple alguna de las dos condiciones siguientes:

1º Ante una variación puntual en el valor de una variable explicativa, la variabledependiente retorna a su valor de equilibrio.

2º Ante una variación permanente en el valor de una variable explicativa, la variabledependiente evoluciona hacia un nuevo valor de equilibrio.

Se demuestra que para que un modelo dinámico sea estable las raíces del polinomioA(L) deben ser en valor absoluto mayores que la unidad.

Esta condición de estabilidad nos asegura que la suma de los coeficientes delpolinomio D(L) es finita, es decir, la serie es convergente. Por tanto el impacto sobre lavariable endógena es finito, pasado un tiempo se retorna al equilibrio o bien, se tiende haciaun nuevo equilibrio.

MULTIPLICADORES Y RETARDOS

Estos conceptos son importantes al analizar el efecto que, sobre la variable explicada,

50

m YXt

t0 0= =∂

∂β

m YXjt

t jj= ≠

−

∂∂

β

m YXjt

t jj= =

−

∂∂

δ

m mT jj

==

∞

∑0

R Mj j

j

jj

. .= =

∞

=

∞

∑

∑

δ

δ

1

1

tiene una variación unitaria de la variable explicativa.

1º Multiplicador de Impacto o Contemporáneo: representa el cambio que se( )m0

produce en la variable endógena ante una variación unitaria de la exógena en( )Ytel período actual .( )Xt

2º Multiplicador de Retardo j: cuantifica el efecto que sobre la variable( )jmendógena tiene una variación unitaria de la exógena en el período t-j .( )Yt ( )Xt j−

en este caso no coincide, porque existe una dependencia implícita de las variablesdependientes retardadas.

Considerando el polinomio D(L) se tendrá que:

3º Multiplicador Total: es la suma de todos los multiplicadores.( )mT

para que un modelo tenga sentido económico el multiplicador total debe ser finito.Esto ocurrirá siempre que el proceso sea estable y viceversa.

4º Retardo Medio: se define como la media ponderada, por el retardo, de todos loscoeficientes del polinomio D(L) es decir,

La idea del retardo medio es informarnos si el impacto, sobre la variableendógena de una variación de la exógena, está muy concentrado o diluido en el

51

GCP SYS GCP ut t t t= + + +−α α α0 1 2 1

( )

( ) ( ) ( )

GCP GCP SYS uGCP LGCP SYS u

L GCP SYS u

GCPL L

SYSuL

t t t t

t t t t

t t t

t tt

− = + +− = + +

− = + +

=−

+−

+−

−α α αα α α

α α ααα

αα α

2 1 0 1

2 0 1

2 0 1

0

2

1

2 2

1

1 1 1

GCP SYS R GCP ut t t t t= + + + +−α α α α0 1 2 3 1

tiempo.

5º Retardo Mediano: se define como el instante en que se alcanza el 50 % del impactototal que se produce en debido a una variación en .Yt Xt

EJEMPLO 1:

Se tenía la función consumo siguiente:

el modelo se puede transformar de la forma siguiente:

deducimos los multiplicadores, a saber:

M1MI = = 0.173464.α1

M1MD1 = = c(2)*c(3) = 0.154722.α α1 2

M1MD2 = = c(2)*c(3)^2 = 0.138005.α α1 2

2

..............

M1MLP = = c(2)/(1-c(3)) = 1.605471.α

α1

21−

Retardo Medio = = c(3)/(1-c(3)) = 8.2554.( )( )

( )( )

′−

′= −

−−

=−

BB

AA

11

11

01 11

2

2

2

2ααα

αα

EJEMPLO 2:

Teníamos la función consumo siguiente:

el modelo se puede transformar de la forma siguiente:

52

( )

( ) ( ) ( ) ( )

GCP GCP SYS R uGCP LGCP SYS R u

L GCP SYS R u

GCPL L

SYSLR

uL

t t t t t

t t t t t

t t t t

t t tt

− = + + +− = + + +

− = + + +

=−

+−

+−

+−

−α α α αα α α α

α α α ααα

αα

αα α

3 1 0 1 2

3 0 1 2

3 0 1 2

0

3

1

3

2

3 3

1

1 1 1 1

deducimos los multiplicadores, a saber:

M2MISYS = = 0.256588.α1

M2MD1SYS = = c(2)*c(4) = 0.214135.α α1 3

M2MD2SYS = = c(2)*c(4)^2 = 0.178707.α α1 3

2

..............

M2MLPSYS = = c(2)/(1-c(4)) = 1.550845.α

α1

31−

M2MIR = = -1.823686.α2

M1MD1 = = c(3)*c(4) = -1.521957.α α2 3

M1MD2 = = c(3)*c(4)^2 = -1.270149.α α2 3

2

..............

M1MLP = = c(3)/(1-c(4)) = -11.02256. α

α2

31−

Retardo Medio = = c(4)/(1-c(4)) = 5.0441.( )( )

( )( )

′−

′= −

−−

=−

BB

AA

11

11

01 12

3

3

3

3ααα

αα

modelos dinÁmicos, moelos no lineales, … · la ecuación ( 3 ) es la demanda de capita l a corto...

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