Universidad Nacional del Santa

Facultad de Ingeniería

Ingeniería de Sistemas e Informática

INVESTIGACION DE OPERACIONES I

Docente :

Dr. Juan Pablo Sánchez Chávez

Nombres :

Blas Reyes Emerson Michael

Código :

0201314003

Ciclo: VI

Septiembre, Chimbote

2015

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

PROBLEMA 01

La empresa Dynamix fabrica tres estilos diferentes de mesas. A, B y C. Cada

modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las

piezas, su montaje y el correspondiente proceso de pintura. La empresa puede

vender todas las unidades que fabrica. Es más, el modelo B también se puede

vender sin pintar. Los datos técnico-económicos se muestran a continuación.

Formule el modelo de programación lineal para maximizar la contribución total

mensual.

SOLUCION:

DEFINICION DE VARIABLES DE DECISION:

X1= Cantidad de mesas de tipo A pintada X2= Cantidad de mesas de tipo B pintada X3= Cantidad de mesas de tipo B sin pintar X4= Cantidad de mesas de tipo C pintada

FUNCION OBJETIVO:

Max : Zo = 35X1 + 40X2 + 20X3 +50X4

SUJETO A:

1X1 + 2X2 + 2X3 +3X4 <=200 Requerimiento como máximo de tiempo de corte (horas)

2X1 + 4X2 + 4X3 +7X4 <= 300 Requerimiento como máximo de tiempo de montaje (horas)

4X1 + 4X2 + 0X3 +5X4 <= 240 Requerimiento como máximo de tiempo de pintura (horas)

X1,X2 ,X3 ,X4 >= 0 Restricción de no negatividad

PROBLEMA 02

David, Diana y Lidia son los únicos socios y empleados de una compañía que

produce relojes. David y Diana pueden trabajar un máximo de 40 horas por

semana (cada uno de ellos), mientras que Lidia solo puede trabajar hasta 22 horas

semanales.

La empresa hace dos tipos de relojes: relojes de pie y relojes de pared. Para hacer

un reloj. David (ingeniero mecánico) ensambla las partes interna y Diana

(ebanista) produce las cajas de madera elaboradas a mano. Lidia es responsable

de recibir pedidos y enviar los relojes. El tiempo que se requiere para cada tarea

se muestra en la siguiente tabla.

Cada reloj de pie construido y enviado deja una ganancia de S/. 300 nuevos soles,

mientras que cada reloj de pared proporciona una ganancia de S/. 200 nuevos

soles. Los tres socios desean determinar cuántos relojes de cada tipo deben

TAREA RELOJ DE PIE RELOJ DE PAREDMontar mecanismo 6 horas 4 horasTallar la cubierta de madera

8 horas 4 horas

Envío 3 horas 3 horas

producir por semana para maximizar la ganancia total. Formule el modelo de

programación lineal.

SOLUCION:

DEFINICION DE VARIABLES DE DECISION:

X1 = NUMERO DE RELOJES DE PIE CONSTRUIDOS.

X2 = NUMERO DE RELOJES DE PARED CONSTRUIDOS.

FUNCIÓN OBJETIVO:

Maximizar: Z0=300∗X 1+200∗X2

SUJETO A:

6∗X 1+4∗X 2≤40 (David solo puede trabajar 40 horas semanales)

8∗X 1+4∗X2≤40 (Diana solo puede trabajar 40 horas semanales)

3∗X 1+3∗X 2≤22 (Lidia solo puede trabajar 22 horas semanales)

X 1 , X 2≥0

PROBLEMA 03

Los profesores del departamento de informática y computación, identificado como.

PROF1, PROF2, PROF3, PROF4, son capaces de enseñar cualquiera de los 4

diferentes cursos, sin embargo debido a ciertos factores experimentales y

funciones de investigación y proyección social, la cantidad semanal promedio de

preparación de clases necesario para enseñar los cursos no es constante.

Al jefe de departamento le gustaría asignar a cada profesor uno y sólo uno de los

cursos para minimizar el tiempo total de preparación de clase para todos los 4

cursos, para aprovechar la mayor cantidad de tiempo en otras funciones

académicas.

La siguiente tabla muestra el tiempo en horas de preparación necesario de cada

profesor por cada curso. Formule el modelo de programación lineal, para cumplir

con el objetivo del jefe de departamento.

TIEMPO DE PREPARACION PARA LOS 4 PROFESORES 4 CURSOS

CURSO 1 CURSO 2 CURSO 3 CURSO 4

Prof. 1 0.5 4.5 3.5 3

Prof. 2 4.5 3.5 2.5 3.25

Prof. 3 2.0 3.0 4.5 2.75

Prof. 4 2.25 3.75 2.75 3.5

SOLUCIÓN:

Nota: como i = j, entonces ningún profesor i deja de ser asignado a un curso j, por lo tanto todas las restricciones serán de igualdad.

DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN:

X11: asignación del Prof. 1 al curso 1

X12: asignación del Prof. 1 al curso 2

X13: asignación del Prof. 1 al curso 3

X14: asignación del Prof. 1 al curso 4

X21: asignación del Prof. 2 al curso 1

X22: asignación del Prof. 2 al curso 2

X23: asignación del Prof. 2 al curso 3

X24: asignación del Prof. 2 al curso 4

X31: asignación del Prof. 3 al curso 1

X32: asignación del Prof. 3 al curso 2

X33: asignación del Prof. 3 al curso 3

X34: asignación del Prof. 3 al curso 4

X41: asignación del Prof. 4 al curso 1

X42: asignación del Prof. 4 al curso 2

X43: asignación del Prof. 4 al curso 3

X44: asignación del Prof. 4 al curso 4

FORMULACIÓN DEL MODELO:

Min. Z0= 0.5X11 + 4.5X12 + 3.5X13 + 3X14 + 4.5X21+ 3.5X22 + 2.5X23 + 3.25X24 +

2.0X31 + 3.0X32 + 4.5X33 + 2.75X34 + 2.25X41 + 3.75X42 + 2.75X43 + 3.5X44

SUJETO A:

Se tiene un conjunto de restricciones de i a j es decir de Prof. a curso

X11 + X12 + X13 + X14 =1

X21+ X22 + X23 + X24 =1

X31+ X32 + X33 + X34 =1

X41+ X42 + X43 + X44 =1

Se tiene un conjunto de restricciones de j a i es decir de curso j sea asignada al Prof. i

X11 + X21 + X31 + X41 =1

X12+ X22 + X32 + X42 =1

X13+ X23 + X33 + X43 =1

X14+ X24 + X34 + X44 =1

X11 ; X21 ; X31 ; X41 ; X12; X22 ; X32 ; X42 ; X13; X23 ; X33 ; X43 ; X14; X24 ; X34 ; X44 ≥0

PROBLEMA 04

Una Compañía dispone de S/. 5 000 000 para distribuirlos el próximo año entre

sus tres sucursales. Debido a compromisos de estabilidad del nivel de empleados

y por razones de inversión mínima, la CIA ha establecido un nivel mínimo de

fondos para cada sucursal, estos fondos mínimos son de S/. 350 000, 580 000 y

890 000 respectivamente. Debido a la naturaleza de su inversión, la sucursal 2 no

puede utilizar en inversión más de S/. 1 850 000, sin una expansión de capital

grande. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir (Administrar) distintos

proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una

tasa de ganancia (como un % de la inversión). En el siguiente cuadro se dan los

datos respectivos para cada proyecto. Confeccionar el modelo de programación

lineal que determine en su solución la cantidad que cada sucursal debe invertir en

sus respectivos proyectos para obtener la máxima rentabilidad.

SOLUCION:

DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Sea: X ij = Cantidad que invierte sucursal i (i=1,2,3) en el proyecto j (j=1,2,…,8)

FUNCION OBJETIVO:

Se expresa como la maximización de los retornos de inversión.

Max. Z0 = 0.06 X11 + 0.07 X12 + 0.08 X13 + 0.06 X24 + 0.09 X25 + 0.10 X26 +

0.11 X37 + 0.07 X38

SUJETO A:

Cantidad Disponible

(X11 + X12 + X13) + ( X24 + X25 + X26) + X37 + X38 ≤ 5 000 000

Fondos mínimos a nivel a invertir en cada sucursal

X11 + X12 + X13 ≥ 350 000 -------> Sucursal 1

X24 + X25 + X26 ≥ 580 000 -------> Sucursal 2

X37 + X38 ≥ 890 000 -------> Sucursal 3

Fondos máximos a invertir la sucursal 2

X24 + X25 + X26 ≥ 1 850 000

SUCURSAL PROYECTO TASA DE GANANCIALIMITE SUPERIOR DE LA

INVERSION (S/.)

1

1 6% 700 000

2 7% 580 000

3 8% 990 000

2

4 6% 810 000

5 9% 1200 000

6 10% 470 000

37 11% 720 000

8 7% 420 000

Limites superiores de inversión por proyecto en cada sucursal

X11 ≤ 700 000

X12 ≤ 580 000

X13≤ 990 000

X24≤ 810 000

X25≤ 1 200 000

X26 ≤ 470 000

X37 ≤ 720 000

X38 ≤ 420 000

X ij ≥ 0 i=1, 2, 3

J=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

PROBLEMA 05

Una fábrica de automóviles puede fabricar 3 piezas de carrocería o importarlas

sean las piezas P1, P2, P3. Si las piezas son fabricadas en el país pueden

producirse cada una en 4 máquinas herramientas, denominadas M1, M2, M3, M4.

La siguiente tabla de las unidades de tiempo en horas requeridas en cada

máquina por pieza fabricada.

La demanda anual de cada una de las piezas es de 20200 unidades; no se

dispone más de 9000 horas anuales disponibles en cada una de las maquinas. El

costo de producción y de importación de cada pieza está dada en la siguiente

tabla.

PIEZACosto de

producción del país por pieza

Costo de importación por

pieza

P1 US $ A US $ 2.20

P2 US $ B US $ 1.15

P3 US $ C US $ 4.10

El gerente general desea que el número de piezas fabricadas en el país sea

mayor que el número de piezas importadas, además desea que el costo total de

importación no exceda el 45% del costo total de producción en el país, bajo estas

condiciones ¿cuántas piezas anuales debes fabricarse en el país, cuantas

importarse tal que el costo de producción e importación se minimice, cumpliendo

todas las restricciones?. Confeccionar el modelo de programación lineal.

SOLUCIÓN:

FÁBRICA DE AUTOMÓVILES:

- Fabrica Xi piezas - Importa Yi piezas

FUNCION OBJETIVO:

Min Z0 = A X1 + B X2 + C X3 + 2.2 Y1 + 1.15 Y2 + 4.10 Y3

SUJETO A:

Condición de tiempo:

0.20 X1 + 0.25 X2 + 0.19 X3 ≤ 90000.30 X1 + 0.95 X2 + 0.20 X3 ≤ 90000.45 X1 + 0.22 X2 + 0.18 X3 ≤ 90000.15 X1 + 0.21 X2 + 0.28 X3 ≤ 9000

Condición de demanda:

X1 + Y1 ≤ 20200X2 + Y2 ≤ 20200X3 + Y3 ≤ 20200

Condición gerencia

X1 ≥ Y1 X2 ≥ Y2 X3 ≥ Y3

2.20 Y1 + 1.15 Y2 + 4.10 Y3 ≤ 0.45 (A X1 + B X2 + C X3)

X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3 ≥ 0