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MODELOS DE
ASIGNACIÓN
A TRANSPORTE PRIVADO
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Distribución
Generación y
Atracción
Partición Modal
AsignaciónAsignación
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CONTENIDO PRESENTACÍÓN
ASIGNACIÓN
• Concepto de Asignación.
• Equilibrio Óptimo de Usuarios.
• Equilibrio Óptimo del Sistema.
• Calibración Parámetros de Asignación.
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Una vez definidos los viajes O-D dentro del sistema analizado para un
determinado período (Distribución) y los modos utilizados (Partición
Modal), la etapa de Asignación determina las rutas empleadas en la
realización de sus viajes.
ASIGNACIÓN
Se consideran dos grupos de modelos de Asignación:
• Asignación Transporte Privado (vehículos sobre una red vial)
• Asignación Transporte Público (pasajeros sobre una red de servicios)
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Se consideran básicamente dos enfoques:
° Sin Congestión:
• Asignación a Rutas Mínimas
• Asignación Estocástica
° Con Congestión:
• Asignación de Equilibrio Determinístico (Implementado en ESTRAUS)
• Asignación de Equilibrio Estocástico
ASIGNACIÓN TRANSPORTE PRIVADO
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Equilibrio en Redes
Objetivos: Estimar el patrón de flujos o equilibrio de corto plazo
con A y T constantes.
Método: Predecir el comportamiento de usuarios en elección de
ruta.
Supuesto: Decisiones racionales.
Minimizar costos individuales.
Información sobre alternativas y costos de viaje por
experiencias repetidas.
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Fenómeno de Congestión
Costo generalizado de Transporte:
Tiempo de viaje (OD) + Tarifa
Tiempo de viaje: depende del flujo (congestión)
)()()()(
00
xtx
tXxtxtx
xxt
XXX
t
aa
aamg
c
aa
a
a
Tiempo MedioTiempo Total T Congestión >0
Capacidad
Tiempo flujo libre
at
c
aX
ot
)(xta)(xtmg
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Equilibrio del Usuario
Definición: El usuario está en equilibrio cuando todas las rutas alternativas tienen un
mayor costo generalizado (tiempo de viaje).
Equilibrio de Wardrop (1952)
El equilibrio de una red en múltiples rutas es aquella situación en que ningún usuario
puede disminuir su propio tiempo de viaje a través de un cambio unilateral de ruta.
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Equilibrio de Wardrop
Situaciones posibles en equilibrio
0,0 2121 xxtt
En el equilibrio las rutas ocupadas tienen igual tiempo de viaje, las demás tienen un
tiempo de viaje mayor.
ODqxx 21
ODqxxtt 2121 0
02121 xqxtt OD
i)
ii)
iii)
ODq
)(2 xt
)(1 xt
O D
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Equilibrio Usuario: Solución Gráfica
Caso: Un par OD y dos rutas
Ruta 1: Alto tiempo de viaje a flujo libre y tiempo de viaje muy sensible al flujo
(Una Cuesta).
Ruta 2: Menor tiempo de viaje a flujo libre y tiempos de viaje menos sensible al
flujo (Un Tunel).
Ejemplos: Caminos ripio/pavimentos, una/dos pistas, horizontal/pendiente,
recta/curva.
1ot
2ot
)(1 1xt )(2 2xt
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**
2
*
1 ttt
01t
02t
)( 11 xt
)( 22 xt )(xtOD
*
1x *
2xx
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**
2
*
1 ttt
01t
02t
)( 11 xt
)( 22 xt )(xtOD
ODD
*
1x *
2x ODq x
Equilibrio
(qOD, t*)
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Equilibrio Usuario: Solución Gráfica
Caso demanda inelástica
1t
01t
)(2 xt )(1 xt2t
02t
1x 2xODx
1t
01t
)(2 xt
02t
2t
)(1 xt
ODxx 1
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Ejemplo red simple: equilibrio usuario
Si usuario de ruta 1 cambia a 2: t1=49; t2=50,5
Si usuario de ruta 2 cambia a 1: t1=51; t2=49,5
¡No conviene cambiarse!
AB
11 10 xt
22 5,040 xt
60
Tiempo en minutos y flujos en autos/min.
60 = x1 + x2 (1)
Si x1 > 0 y x2 > 0
t1 = t2 = tAB (2)
10 + x1 = 40 + 0,5 x2
x1 = 30 + 0,5 x2
20*
2 x
40*
1 x
50* t
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Ejemplo red simple: óptimo sistema
El OS NO ES EQUILIBRIO
Diferencia OS-EU: fenómeno de congestión (externalidad). Usuarios no perciben tiempo total
(social), sino el propio (privado).
AB
EU
4050 11 xt
2050 22 xt
60
Tiempo total =3.000 min.
OS 3040 11 xt
3055 22 xt Tiempo total =2.850 min.
A B
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Asignación de Equilibrio Determinístico:
i) Supuestos:
• Usuarios homogéneos y racionales
• Información perfecta
• El tiempo (costo) de viaje en un arco dependerá de su flujo:
EQUILIBRIO DETERMINÍSTICO
aaaa F,fcc a
k
aaa
k
a tF,fsc
asignable flujo:fa Fijo flujo:Fa
Clase) (Una Clases) (Múltiples
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ii) Equilibrio de Usuarios:
a. Principios de Equilibrio
EQUILIBRIO DETERMINÍSTICO (cont.)
• Knight: se obtendrá un equilibrio de usuario cuando para cada par
O-D, los costos de operación de todas las rutas alternativas de la
red para dicho par sean iguales.
• Wardrop: en el equilibrio, ningún usuario puede reducir
unilateralmente sus tiempos (costos) de viaje mediante un cambio
de ruta.
• Smith: Los usuarios de la red sólo cambiarán de ruta si el costo total
de operación sobre ella, calculado a base de los costos observados
antes del cambio, disminuye.
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Ejemplo
EQUILIBRIO DE USUARIOS
O D
Ca
Cb
TOD TOD
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EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
aC bC
*C *C
Fff ba **
*
bf*
af
Se cumple Knight, Wardrop y Smith.
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aC bC
*C *C
Ffa *
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
Se cumple Wardrop y Smith; Knight no
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b. Condiciones de Equilibrio (una clase de usuarios):
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
0
0
pw
*
w
pw
*
w
p
h/PpC
h/PpC
C
Donde Cw* es el costo observado en el equilibrio del par w, Cp es el
costo de la ruta p del par w y hp es el flujo de la ruta p.
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c. Formulación Matemática: (funciones de costo separables)
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
Pp
Aa
W w
Z af
0
:..
0
p
a
Pp
pap
w
Pp
p
a
f
a
h
fh
Thas
dxxcmin
w
a
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d. Unicidad de la Solución:
• Monótonas Crecientes Estrictas en el Flujo:
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
0
a
a
f
c0
2
2
a
a
f
c
Esto asegura la unicidad de la solución en términos de flujos en
arcos del problema de Asignación planteado
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• Forma Funcional BPR:
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
an
a
aaaaaa
k
Fftft 10
ata arco el en viaje de tiempo:
ata arco el en libre flujo a viaje de tiempo:0
(veq) arco el en asignable flujo a:fa
(veq) arco del capacidad aka :
anaa arco del ncalibració de parámetros:,
(veq) arco el en fijo flujo a:Fa
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• Parámetro X_SLOPE ():
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
aC
afak
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La forma lineal que se observa cuando el flujo supera la capacidad
representa el comportamiento de los vehículos en las colas de los
arcos sobrecargados, asumiendo que las colas aumentan
linealmente durante el período de simulación (arcos saturados).
Además, se mitigan problemas de convergencia.
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
aaa
a
aaaaa
aaa
n
a
aaaa
aa
kFfk
kFft
kFfk
Fft
ft
a
1
1
0
0
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e. Asignación Multiclase: asigna simultáneamente diferentes clases
de usuarios (distintos niveles socioeconómicos).
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
0
0
k
pw
*k
w
k
pw
*k
w
k
p
h/PpC
h/PpC
C
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Existen tantas funciones de costo en cada arco como clases
de usuario:
• Tarificación Vial.
• Peajes.
• Concesiones Viales.
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
a
k
aa
k
a tfsc
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Formulación Matemática Asignación Multiclase:
EQUILIBRIO DE USUARIOS (cont.)
Pp
Aa
W w
Aa
W w
Z af
0
:..
0
p
a
k
k
a
w
k
k
w
k
a
Pp
k
pap
k
w
Pp
k
p
a k
k
aa
k
a
f
a
h
ff
TT
fh
Thas
ftdxxsmin
w
a
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iii) Asignación de Equilibrio Óptimo del Sistema: Minimiza los
costos totales de operación sobre la red vial, captando las
externalidades por congestión.
EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA
*
aC
aC
af
mg
aC
me
aC
aC
af*
af
aC~
aD
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Formulación Matemática Asignación Óptimo Sistema:
EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)
Pph
Aafh
WwTh:.a.s
ffcZmin
p
a
Pp
pap
w
Pp
p
a
a
aaf
w
a
0
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Ejemplo
EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)
O D
Ca = 150 + fa2
TOD = 10
Cb = 50 + 2fb2
TOD = 10
Cmga = 150 +3 fa2
Cmgb = 50 + 6fb2
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Equilibrio Usuarios:
EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)
fa = 2,7 fb = 7,3
Ca = 157,2 Cb = 157,2
CTOTAL = Ca* fa +Cb* fb = 1.572
Equilibrio Óptimo: fa* = 4,7 fb
* = 5,3
Ca* = 172,3 Cb
* = 105,7
CTOTAL * = Ca
** fa
* +Cb*
* fb* = 1.372
D SOCIAL = 200
Cmga* = 217 Cmgb
* = 217
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EQUILIBRIO ÓPTIMO SISTEMA (cont.)
bC aC
f*f
*
bC
*
aC
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vii) Calibración Redes Transporte Privado:
CALIBRACIÓN DE REDES
• Medición en terreno de variables ta0 y ka.
an
a
aaaaa
k
ftft 10
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CALIBRACIÓN DE REDES (cont.)
ix:.a.s
xf~
fmin
i
a
aaxi
0
20
(veq) arco el en observado flujo a:fa
0
(veq) arco el en modelado flujo a:f~
a
La solución de este problema de optimización se encuentra con el
algoritmo de Hooke y Jeeves.
ncalibració de parámetros:xi
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Método del Gradiente (Frank-Wolfe):
ALGORITMO DE SOLUCIÓN
1) Partiendo de una solución inicial que cumpla las restricciones del
problema, se determina la dirección factible en que la función
objetivo disminuye su valor más rápidamente.
2) Una vez determinada la dirección de máximo descenso factible, se
determina cuánto se debe descender en dicha dirección para
finalmente encontrar una nueva solución.
Este proceso se repite hasta que dos soluciones sucesivas sean
suficientemente similares de acuerdo a algún criterio de
convergencia (proceso iterativo).
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Método del Gradiente (Frank-Wolfe):
ALGORITMO DE SOLUCIÓN (cont.)
a) Encontrar solución inicial factible
b) Resolver aproximación lineal de función objetivo evaluada en
solución inicial factible (obtener solución auxiliar).
0f
:.a.s
yfZmin
0
c) Avance desde solución inicial en dirección de máximo descenso:
0001 fyff
0y
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ALGORITMO DE SOLUCIÓN (cont.)
d) Minimización unidimensional.
e) Encontrar nueva solución y analizar convergencia.
f) Si convergió, finalizar, sino, volver al paso (b).
1
0
1
:.a.s
ZfZmin
01 ff
*
0001 fyff *