MODELOS BVAR ESPECIFICACIOacuteN ESTIMACIOacuteN E INFERENCIA

Autor Enrique M Quilis(1)

P T No 802

Marzo 2002

Instituto Nacional de Estadiacutestica Paseo de la Castellana 183 28046ndashMadrid emquilisinees (1) Agradezco las discusiones mantenidas con Carolina Arias Rafael Frutos y Francisco Melis sobre modelizacioacuten multivariante de series temporales asiacute como la minuciosa revisioacuten de Juan Boacutegalo Las opiniones expresadas corresponden al autor y no reflejan necesariamente las del INE

NB Las opiniones expresadas en este trabajo son de la exclusiva responsabilidad del autor pudiendo no coincidir con las del Instituto de Estudios Fiscales

Desde el antildeo 1998 la coleccioacuten de Papeles de Trabajo del Instituto de Estudios Fiscales estaacute disponible en versioacuten electroacutenica en la direccioacuten gthttpwwwminhacesiefprincipalhtm

Edita Instituto de Estudios Fiscales

NIPO 111-02-004-2

ISSN 1578-0252

Depoacutesito Legal M-23772-2001

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IacuteNDICE

I INTRODUCCIOacuteN

2 A MODO DE PRESENTACIOacuteN REGRESIOacuteN CRESTA Y ESTIMAshyCIOacuteN MIXTA

21 Regresioacuten cresta

22 Estimacioacuten mixta

3 ESTRUCTURA VAR BAacuteSICA ESPECIFICACIOacuteN

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACIOacuteN

5 EXTENSIOacuteN AL CASO ESTACIONAL

6 CALIBRADO

7 MODELOS BVAR Y VARMA

8 INFERENCIA

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

APEacuteNDICE A RECURSOS EN INTERNET

REFERENCIAS

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RESUMEN

En este trabajo se analiza en primer lugar la especificacioacuten bayesiana de los vectores de autorregresiones (BVAR) tomando como punto de partida los moshydelos VAR no restringidos y las teacutecnicas de estimacioacuten contraiacuteda A continuashycioacuten se detalla su estimacioacuten como un caso especial del meacutetodo de estimacioacuten mixta de Theil El texto toma como hilo conductor la especificacioacuten a priori proshypuesta por Litterman asiacute como su extensioacuten al caso estacional elaborada por Rashyynauld y Simonato Esta uacuteltima abre interesantes perspectivas para el uso de estos modelos en el anaacutelisis de la coyuntura econoacutemica El trabajo tambieacuten exashymina la determinacioacuten de los hiperparaacutemetros que controlan la especificacioacuten a priori (calibrado) junto con la relacioacuten existente entre los modelos BVAR y los VARMA Finalmente se expone el uso inferencial de los modelos BVAR para el anaacutelisis de cointegracioacuten

Palabras clave Modelos BVAR VAR y VARMA anaacutelisis bayesiano estacioshynalidad cointegracioacuten

Coacutedigos JEL C110 C320 C500

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1 INTRODUCCIOacuteN

El anaacutelisis macroeconoacutemico cuantitativo desde la II Guerra Mundial ha estado estrechamente vinculado con los modelos economeacutetricos multiecuacionales El desarrollo de estos modelos durante las tres deacutecadas siguientes fue extraordinashyrio tanto por su extensioacuten teoacuterica como por su tamantildeo De esta manera llegashyron a existir modelos de cientos e incluso miles de ecuaciones que proporcionaban predicciones anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y simulaciones sobre casi cualquier aspecto de una economiacutea con una base anual o trimestral

Estos grandes sistemas multiecuacionales han caiacutedo en desuso como herrashymientas de investigacioacuten cientiacutefica de forma casi completa Gordon (1993) Su virtual desaparicioacuten se debe a la concurrencia de tres procesos En primer lugar a la demoledora criacutetica que los economistas asociados a la Nueva Macroeconoshymiacutea Claacutesica realizaron respecto a la forma de identificar estos modelos y a su uso como herramientas de evaluacioacuten cuantitativa de poliacuteticas econoacutemicas (Lushycas 1976 Prescott 1977 Lucas y Sargent 1979) En segundo lugar a la extenshysioacuten de la metodologiacutea Box-Jenkins de anaacutelisis univariante de series temporales que al posibilitar la prediccioacuten econoacutemica de forma sencilla eficaz y relativashymente precisa disminuyoacute el valor de los modelos economeacutetricos en este aacutembishyto Finalmente los desarrollos en el campo del anaacutelisis de series muacuteltiples y en especial la popularizacioacuten de los modelos autorregresivos vectoriales (VAR) como herramientas de anaacutelisis y previsioacuten han completado la labor de acoso y derribo efectuada por los otros dos fenoacutemenos

El uacuteltimo desarrollo ha dado lugar a un enfoque economeacutetrico denominado ldquoMacroeconomiacutea Empiacutericardquo Dicho enfoque considera que hay que separar tashyjantemente la incertidumbre ligada al proceso de especificacioacuten estadiacutestica de la que estaacute asociada a la inferencia sustentada por la Teoriacutea Econoacutemica Para ello se propone utilizar como punto de partida modelos en forma reducida que inshycorporan muy pocas restricciones a priori y cuya configuracioacuten estaacute dictada por consideraciones puramente estadiacutesticas Estos modelos poco controvertidos permiten un anaacutelisis estructural guiado por la Teoriacutea Econoacutemica que siacute es discushytible El trabajo de Sims (1980) constituye el punto de partida de esta corriente de anaacutelisis cuya difusioacuten ha sido extraordinaria

En este trabajo se examinan las propiedades de los modelos VAR asiacute como la mejora de los mismos mediante la incorporacioacuten de informacioacuten extramuestral extensioacuten que se conoce como modelos VAR bayesianos (BVAR) Los modelos BVAR fueron desarrollados inicialmente en la Universidad de Minnesota y en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis resultado de una afortunada comshybinacioacuten de estudios teoacutericos y necesidades praacutecticas estas uacuteltimas vinculadas con la realizacioacuten de predicciones y de anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas alternatishy

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vas1 Naturalmente razones de espacio y de presentacioacuten del material aconseshyjan centrar el estudio en los BVAR como formas reducidas uacutetiles para la predicshycioacuten y el control y dejar para otro trabajo su conversioacuten en forma estructural y su empleo como herramienta de anaacutelisis cuantitativo de poliacuteticas econoacutemicas

La estructura del trabajo es la siguiente En la segunda seccioacuten se presentan dos teacutecnicas economeacutetricas (la regresioacuten cresta y la estimacioacuten mixta) que sirven de base para una adecuada comprensioacuten de la aportacioacuten bayesiana al enfoque VAR baacutesico A continuacioacuten se examinan las propiedades principales de los moshydelos VAR asiacute como los criterios para la determinacioacuten de su orden El cuarto apartado expone las restricciones bayesianas junto con los procedimientos de estimacioacuten La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series estacionales se discute en la seccioacuten quinta y en la sexta coacutemo determinar los hiperparaacutemetros que controlan la informacioacuten extramuestral incorporada proceso que se conoce como calibrado En el seacuteptimo apartado se expone la relacioacuten entre los modelos BVAR y los VARMA (vectores de autorregresiones y medias moacuteviles) y en el octavo coacutemo realizar determinados ejercicios inferenciales (anaacutelisis de cointeshygracioacuten) mediante estos modelos La novena seccioacuten expone las principales conshyclusiones y futuras liacuteneas de desarrollo Finalmente algunos recursos disponibles en Internet son mencionados en un apeacutendice

2 A MODO DE PRESENTACION REGRESION CRESTA Y ESTIMACION MIXTA

Incluso en sistemas de dimensioacuten moderada la estimacioacuten de modelos VAR estaacute afectada por una auteacutentica lsquomaldicioacuten de la dimensionalidadrsquo de forma que sus paraacutemetros estaacuten estimados de manera poco precisa sus predicciones son de baja calidad y en general la inferencia basada en dichos modelos es cuestioshynable

La solucioacuten empleada en los modelos BVAR (la incorporacioacuten de informacioacuten a priori acerca de los paraacutemetros del modelo) es una aplicacioacuten especial y basshytante sofisticada de dos meacutetodos de estimacioacuten desarrollados a principios de los antildeos setenta la regresioacuten cresta (ridge regression) y la estimacioacuten mixta Ambos meacutetodos estaacuten orientados a la mejora de la calidad de la estimacioacuten por miacutenimos cuadrados ordinarios (MCO) de los paraacutemetros del modelo lineal general

De forma simplificada la regresioacuten cresta trata de incrementar la precisioacuten de los estimadores mientras que la estimacioacuten mixta permite la inclusioacuten de inshyformacioacuten a priori de naturaleza inexacta en el proceso de estimacioacuten Ambos

1 En Velde (1990) y Clement (2000) se describe el entorno de trabajo que dio lugar entre otras cosas a los modelos BVAR

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bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

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nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

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bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

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El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

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estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

2

2

2

IacuteNDICE

I INTRODUCCIOacuteN

2 A MODO DE PRESENTACIOacuteN REGRESIOacuteN CRESTA Y ESTIMAshyCIOacuteN MIXTA

21 Regresioacuten cresta

22 Estimacioacuten mixta

3 ESTRUCTURA VAR BAacuteSICA ESPECIFICACIOacuteN

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACIOacuteN

5 EXTENSIOacuteN AL CASO ESTACIONAL

6 CALIBRADO

7 MODELOS BVAR Y VARMA

8 INFERENCIA

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

APEacuteNDICE A RECURSOS EN INTERNET

REFERENCIAS

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RESUMEN

En este trabajo se analiza en primer lugar la especificacioacuten bayesiana de los vectores de autorregresiones (BVAR) tomando como punto de partida los moshydelos VAR no restringidos y las teacutecnicas de estimacioacuten contraiacuteda A continuashycioacuten se detalla su estimacioacuten como un caso especial del meacutetodo de estimacioacuten mixta de Theil El texto toma como hilo conductor la especificacioacuten a priori proshypuesta por Litterman asiacute como su extensioacuten al caso estacional elaborada por Rashyynauld y Simonato Esta uacuteltima abre interesantes perspectivas para el uso de estos modelos en el anaacutelisis de la coyuntura econoacutemica El trabajo tambieacuten exashymina la determinacioacuten de los hiperparaacutemetros que controlan la especificacioacuten a priori (calibrado) junto con la relacioacuten existente entre los modelos BVAR y los VARMA Finalmente se expone el uso inferencial de los modelos BVAR para el anaacutelisis de cointegracioacuten

Palabras clave Modelos BVAR VAR y VARMA anaacutelisis bayesiano estacioshynalidad cointegracioacuten

Coacutedigos JEL C110 C320 C500

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1 INTRODUCCIOacuteN

El anaacutelisis macroeconoacutemico cuantitativo desde la II Guerra Mundial ha estado estrechamente vinculado con los modelos economeacutetricos multiecuacionales El desarrollo de estos modelos durante las tres deacutecadas siguientes fue extraordinashyrio tanto por su extensioacuten teoacuterica como por su tamantildeo De esta manera llegashyron a existir modelos de cientos e incluso miles de ecuaciones que proporcionaban predicciones anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y simulaciones sobre casi cualquier aspecto de una economiacutea con una base anual o trimestral

Estos grandes sistemas multiecuacionales han caiacutedo en desuso como herrashymientas de investigacioacuten cientiacutefica de forma casi completa Gordon (1993) Su virtual desaparicioacuten se debe a la concurrencia de tres procesos En primer lugar a la demoledora criacutetica que los economistas asociados a la Nueva Macroeconoshymiacutea Claacutesica realizaron respecto a la forma de identificar estos modelos y a su uso como herramientas de evaluacioacuten cuantitativa de poliacuteticas econoacutemicas (Lushycas 1976 Prescott 1977 Lucas y Sargent 1979) En segundo lugar a la extenshysioacuten de la metodologiacutea Box-Jenkins de anaacutelisis univariante de series temporales que al posibilitar la prediccioacuten econoacutemica de forma sencilla eficaz y relativashymente precisa disminuyoacute el valor de los modelos economeacutetricos en este aacutembishyto Finalmente los desarrollos en el campo del anaacutelisis de series muacuteltiples y en especial la popularizacioacuten de los modelos autorregresivos vectoriales (VAR) como herramientas de anaacutelisis y previsioacuten han completado la labor de acoso y derribo efectuada por los otros dos fenoacutemenos

El uacuteltimo desarrollo ha dado lugar a un enfoque economeacutetrico denominado ldquoMacroeconomiacutea Empiacutericardquo Dicho enfoque considera que hay que separar tashyjantemente la incertidumbre ligada al proceso de especificacioacuten estadiacutestica de la que estaacute asociada a la inferencia sustentada por la Teoriacutea Econoacutemica Para ello se propone utilizar como punto de partida modelos en forma reducida que inshycorporan muy pocas restricciones a priori y cuya configuracioacuten estaacute dictada por consideraciones puramente estadiacutesticas Estos modelos poco controvertidos permiten un anaacutelisis estructural guiado por la Teoriacutea Econoacutemica que siacute es discushytible El trabajo de Sims (1980) constituye el punto de partida de esta corriente de anaacutelisis cuya difusioacuten ha sido extraordinaria

En este trabajo se examinan las propiedades de los modelos VAR asiacute como la mejora de los mismos mediante la incorporacioacuten de informacioacuten extramuestral extensioacuten que se conoce como modelos VAR bayesianos (BVAR) Los modelos BVAR fueron desarrollados inicialmente en la Universidad de Minnesota y en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis resultado de una afortunada comshybinacioacuten de estudios teoacutericos y necesidades praacutecticas estas uacuteltimas vinculadas con la realizacioacuten de predicciones y de anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas alternatishy

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2

vas1 Naturalmente razones de espacio y de presentacioacuten del material aconseshyjan centrar el estudio en los BVAR como formas reducidas uacutetiles para la predicshycioacuten y el control y dejar para otro trabajo su conversioacuten en forma estructural y su empleo como herramienta de anaacutelisis cuantitativo de poliacuteticas econoacutemicas

La estructura del trabajo es la siguiente En la segunda seccioacuten se presentan dos teacutecnicas economeacutetricas (la regresioacuten cresta y la estimacioacuten mixta) que sirven de base para una adecuada comprensioacuten de la aportacioacuten bayesiana al enfoque VAR baacutesico A continuacioacuten se examinan las propiedades principales de los moshydelos VAR asiacute como los criterios para la determinacioacuten de su orden El cuarto apartado expone las restricciones bayesianas junto con los procedimientos de estimacioacuten La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series estacionales se discute en la seccioacuten quinta y en la sexta coacutemo determinar los hiperparaacutemetros que controlan la informacioacuten extramuestral incorporada proceso que se conoce como calibrado En el seacuteptimo apartado se expone la relacioacuten entre los modelos BVAR y los VARMA (vectores de autorregresiones y medias moacuteviles) y en el octavo coacutemo realizar determinados ejercicios inferenciales (anaacutelisis de cointeshygracioacuten) mediante estos modelos La novena seccioacuten expone las principales conshyclusiones y futuras liacuteneas de desarrollo Finalmente algunos recursos disponibles en Internet son mencionados en un apeacutendice

2 A MODO DE PRESENTACION REGRESION CRESTA Y ESTIMACION MIXTA

Incluso en sistemas de dimensioacuten moderada la estimacioacuten de modelos VAR estaacute afectada por una auteacutentica lsquomaldicioacuten de la dimensionalidadrsquo de forma que sus paraacutemetros estaacuten estimados de manera poco precisa sus predicciones son de baja calidad y en general la inferencia basada en dichos modelos es cuestioshynable

La solucioacuten empleada en los modelos BVAR (la incorporacioacuten de informacioacuten a priori acerca de los paraacutemetros del modelo) es una aplicacioacuten especial y basshytante sofisticada de dos meacutetodos de estimacioacuten desarrollados a principios de los antildeos setenta la regresioacuten cresta (ridge regression) y la estimacioacuten mixta Ambos meacutetodos estaacuten orientados a la mejora de la calidad de la estimacioacuten por miacutenimos cuadrados ordinarios (MCO) de los paraacutemetros del modelo lineal general

De forma simplificada la regresioacuten cresta trata de incrementar la precisioacuten de los estimadores mientras que la estimacioacuten mixta permite la inclusioacuten de inshyformacioacuten a priori de naturaleza inexacta en el proceso de estimacioacuten Ambos

1 En Velde (1990) y Clement (2000) se describe el entorno de trabajo que dio lugar entre otras cosas a los modelos BVAR

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bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

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nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

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bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

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lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

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El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

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estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

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micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

RESUMEN

En este trabajo se analiza en primer lugar la especificacioacuten bayesiana de los vectores de autorregresiones (BVAR) tomando como punto de partida los moshydelos VAR no restringidos y las teacutecnicas de estimacioacuten contraiacuteda A continuashycioacuten se detalla su estimacioacuten como un caso especial del meacutetodo de estimacioacuten mixta de Theil El texto toma como hilo conductor la especificacioacuten a priori proshypuesta por Litterman asiacute como su extensioacuten al caso estacional elaborada por Rashyynauld y Simonato Esta uacuteltima abre interesantes perspectivas para el uso de estos modelos en el anaacutelisis de la coyuntura econoacutemica El trabajo tambieacuten exashymina la determinacioacuten de los hiperparaacutemetros que controlan la especificacioacuten a priori (calibrado) junto con la relacioacuten existente entre los modelos BVAR y los VARMA Finalmente se expone el uso inferencial de los modelos BVAR para el anaacutelisis de cointegracioacuten

Palabras clave Modelos BVAR VAR y VARMA anaacutelisis bayesiano estacioshynalidad cointegracioacuten

Coacutedigos JEL C110 C320 C500

mdash 5 mdash

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1 INTRODUCCIOacuteN

El anaacutelisis macroeconoacutemico cuantitativo desde la II Guerra Mundial ha estado estrechamente vinculado con los modelos economeacutetricos multiecuacionales El desarrollo de estos modelos durante las tres deacutecadas siguientes fue extraordinashyrio tanto por su extensioacuten teoacuterica como por su tamantildeo De esta manera llegashyron a existir modelos de cientos e incluso miles de ecuaciones que proporcionaban predicciones anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y simulaciones sobre casi cualquier aspecto de una economiacutea con una base anual o trimestral

Estos grandes sistemas multiecuacionales han caiacutedo en desuso como herrashymientas de investigacioacuten cientiacutefica de forma casi completa Gordon (1993) Su virtual desaparicioacuten se debe a la concurrencia de tres procesos En primer lugar a la demoledora criacutetica que los economistas asociados a la Nueva Macroeconoshymiacutea Claacutesica realizaron respecto a la forma de identificar estos modelos y a su uso como herramientas de evaluacioacuten cuantitativa de poliacuteticas econoacutemicas (Lushycas 1976 Prescott 1977 Lucas y Sargent 1979) En segundo lugar a la extenshysioacuten de la metodologiacutea Box-Jenkins de anaacutelisis univariante de series temporales que al posibilitar la prediccioacuten econoacutemica de forma sencilla eficaz y relativashymente precisa disminuyoacute el valor de los modelos economeacutetricos en este aacutembishyto Finalmente los desarrollos en el campo del anaacutelisis de series muacuteltiples y en especial la popularizacioacuten de los modelos autorregresivos vectoriales (VAR) como herramientas de anaacutelisis y previsioacuten han completado la labor de acoso y derribo efectuada por los otros dos fenoacutemenos

El uacuteltimo desarrollo ha dado lugar a un enfoque economeacutetrico denominado ldquoMacroeconomiacutea Empiacutericardquo Dicho enfoque considera que hay que separar tashyjantemente la incertidumbre ligada al proceso de especificacioacuten estadiacutestica de la que estaacute asociada a la inferencia sustentada por la Teoriacutea Econoacutemica Para ello se propone utilizar como punto de partida modelos en forma reducida que inshycorporan muy pocas restricciones a priori y cuya configuracioacuten estaacute dictada por consideraciones puramente estadiacutesticas Estos modelos poco controvertidos permiten un anaacutelisis estructural guiado por la Teoriacutea Econoacutemica que siacute es discushytible El trabajo de Sims (1980) constituye el punto de partida de esta corriente de anaacutelisis cuya difusioacuten ha sido extraordinaria

En este trabajo se examinan las propiedades de los modelos VAR asiacute como la mejora de los mismos mediante la incorporacioacuten de informacioacuten extramuestral extensioacuten que se conoce como modelos VAR bayesianos (BVAR) Los modelos BVAR fueron desarrollados inicialmente en la Universidad de Minnesota y en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis resultado de una afortunada comshybinacioacuten de estudios teoacutericos y necesidades praacutecticas estas uacuteltimas vinculadas con la realizacioacuten de predicciones y de anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas alternatishy

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2

vas1 Naturalmente razones de espacio y de presentacioacuten del material aconseshyjan centrar el estudio en los BVAR como formas reducidas uacutetiles para la predicshycioacuten y el control y dejar para otro trabajo su conversioacuten en forma estructural y su empleo como herramienta de anaacutelisis cuantitativo de poliacuteticas econoacutemicas

La estructura del trabajo es la siguiente En la segunda seccioacuten se presentan dos teacutecnicas economeacutetricas (la regresioacuten cresta y la estimacioacuten mixta) que sirven de base para una adecuada comprensioacuten de la aportacioacuten bayesiana al enfoque VAR baacutesico A continuacioacuten se examinan las propiedades principales de los moshydelos VAR asiacute como los criterios para la determinacioacuten de su orden El cuarto apartado expone las restricciones bayesianas junto con los procedimientos de estimacioacuten La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series estacionales se discute en la seccioacuten quinta y en la sexta coacutemo determinar los hiperparaacutemetros que controlan la informacioacuten extramuestral incorporada proceso que se conoce como calibrado En el seacuteptimo apartado se expone la relacioacuten entre los modelos BVAR y los VARMA (vectores de autorregresiones y medias moacuteviles) y en el octavo coacutemo realizar determinados ejercicios inferenciales (anaacutelisis de cointeshygracioacuten) mediante estos modelos La novena seccioacuten expone las principales conshyclusiones y futuras liacuteneas de desarrollo Finalmente algunos recursos disponibles en Internet son mencionados en un apeacutendice

2 A MODO DE PRESENTACION REGRESION CRESTA Y ESTIMACION MIXTA

Incluso en sistemas de dimensioacuten moderada la estimacioacuten de modelos VAR estaacute afectada por una auteacutentica lsquomaldicioacuten de la dimensionalidadrsquo de forma que sus paraacutemetros estaacuten estimados de manera poco precisa sus predicciones son de baja calidad y en general la inferencia basada en dichos modelos es cuestioshynable

La solucioacuten empleada en los modelos BVAR (la incorporacioacuten de informacioacuten a priori acerca de los paraacutemetros del modelo) es una aplicacioacuten especial y basshytante sofisticada de dos meacutetodos de estimacioacuten desarrollados a principios de los antildeos setenta la regresioacuten cresta (ridge regression) y la estimacioacuten mixta Ambos meacutetodos estaacuten orientados a la mejora de la calidad de la estimacioacuten por miacutenimos cuadrados ordinarios (MCO) de los paraacutemetros del modelo lineal general

De forma simplificada la regresioacuten cresta trata de incrementar la precisioacuten de los estimadores mientras que la estimacioacuten mixta permite la inclusioacuten de inshyformacioacuten a priori de naturaleza inexacta en el proceso de estimacioacuten Ambos

1 En Velde (1990) y Clement (2000) se describe el entorno de trabajo que dio lugar entre otras cosas a los modelos BVAR

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bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

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nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

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bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

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lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

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El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

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estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

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micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

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1 INTRODUCCIOacuteN

El anaacutelisis macroeconoacutemico cuantitativo desde la II Guerra Mundial ha estado estrechamente vinculado con los modelos economeacutetricos multiecuacionales El desarrollo de estos modelos durante las tres deacutecadas siguientes fue extraordinashyrio tanto por su extensioacuten teoacuterica como por su tamantildeo De esta manera llegashyron a existir modelos de cientos e incluso miles de ecuaciones que proporcionaban predicciones anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y simulaciones sobre casi cualquier aspecto de una economiacutea con una base anual o trimestral

Estos grandes sistemas multiecuacionales han caiacutedo en desuso como herrashymientas de investigacioacuten cientiacutefica de forma casi completa Gordon (1993) Su virtual desaparicioacuten se debe a la concurrencia de tres procesos En primer lugar a la demoledora criacutetica que los economistas asociados a la Nueva Macroeconoshymiacutea Claacutesica realizaron respecto a la forma de identificar estos modelos y a su uso como herramientas de evaluacioacuten cuantitativa de poliacuteticas econoacutemicas (Lushycas 1976 Prescott 1977 Lucas y Sargent 1979) En segundo lugar a la extenshysioacuten de la metodologiacutea Box-Jenkins de anaacutelisis univariante de series temporales que al posibilitar la prediccioacuten econoacutemica de forma sencilla eficaz y relativashymente precisa disminuyoacute el valor de los modelos economeacutetricos en este aacutembishyto Finalmente los desarrollos en el campo del anaacutelisis de series muacuteltiples y en especial la popularizacioacuten de los modelos autorregresivos vectoriales (VAR) como herramientas de anaacutelisis y previsioacuten han completado la labor de acoso y derribo efectuada por los otros dos fenoacutemenos

El uacuteltimo desarrollo ha dado lugar a un enfoque economeacutetrico denominado ldquoMacroeconomiacutea Empiacutericardquo Dicho enfoque considera que hay que separar tashyjantemente la incertidumbre ligada al proceso de especificacioacuten estadiacutestica de la que estaacute asociada a la inferencia sustentada por la Teoriacutea Econoacutemica Para ello se propone utilizar como punto de partida modelos en forma reducida que inshycorporan muy pocas restricciones a priori y cuya configuracioacuten estaacute dictada por consideraciones puramente estadiacutesticas Estos modelos poco controvertidos permiten un anaacutelisis estructural guiado por la Teoriacutea Econoacutemica que siacute es discushytible El trabajo de Sims (1980) constituye el punto de partida de esta corriente de anaacutelisis cuya difusioacuten ha sido extraordinaria

En este trabajo se examinan las propiedades de los modelos VAR asiacute como la mejora de los mismos mediante la incorporacioacuten de informacioacuten extramuestral extensioacuten que se conoce como modelos VAR bayesianos (BVAR) Los modelos BVAR fueron desarrollados inicialmente en la Universidad de Minnesota y en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis resultado de una afortunada comshybinacioacuten de estudios teoacutericos y necesidades praacutecticas estas uacuteltimas vinculadas con la realizacioacuten de predicciones y de anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas alternatishy

mdash 7 mdash

2

vas1 Naturalmente razones de espacio y de presentacioacuten del material aconseshyjan centrar el estudio en los BVAR como formas reducidas uacutetiles para la predicshycioacuten y el control y dejar para otro trabajo su conversioacuten en forma estructural y su empleo como herramienta de anaacutelisis cuantitativo de poliacuteticas econoacutemicas

La estructura del trabajo es la siguiente En la segunda seccioacuten se presentan dos teacutecnicas economeacutetricas (la regresioacuten cresta y la estimacioacuten mixta) que sirven de base para una adecuada comprensioacuten de la aportacioacuten bayesiana al enfoque VAR baacutesico A continuacioacuten se examinan las propiedades principales de los moshydelos VAR asiacute como los criterios para la determinacioacuten de su orden El cuarto apartado expone las restricciones bayesianas junto con los procedimientos de estimacioacuten La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series estacionales se discute en la seccioacuten quinta y en la sexta coacutemo determinar los hiperparaacutemetros que controlan la informacioacuten extramuestral incorporada proceso que se conoce como calibrado En el seacuteptimo apartado se expone la relacioacuten entre los modelos BVAR y los VARMA (vectores de autorregresiones y medias moacuteviles) y en el octavo coacutemo realizar determinados ejercicios inferenciales (anaacutelisis de cointeshygracioacuten) mediante estos modelos La novena seccioacuten expone las principales conshyclusiones y futuras liacuteneas de desarrollo Finalmente algunos recursos disponibles en Internet son mencionados en un apeacutendice

2 A MODO DE PRESENTACION REGRESION CRESTA Y ESTIMACION MIXTA

Incluso en sistemas de dimensioacuten moderada la estimacioacuten de modelos VAR estaacute afectada por una auteacutentica lsquomaldicioacuten de la dimensionalidadrsquo de forma que sus paraacutemetros estaacuten estimados de manera poco precisa sus predicciones son de baja calidad y en general la inferencia basada en dichos modelos es cuestioshynable

La solucioacuten empleada en los modelos BVAR (la incorporacioacuten de informacioacuten a priori acerca de los paraacutemetros del modelo) es una aplicacioacuten especial y basshytante sofisticada de dos meacutetodos de estimacioacuten desarrollados a principios de los antildeos setenta la regresioacuten cresta (ridge regression) y la estimacioacuten mixta Ambos meacutetodos estaacuten orientados a la mejora de la calidad de la estimacioacuten por miacutenimos cuadrados ordinarios (MCO) de los paraacutemetros del modelo lineal general

De forma simplificada la regresioacuten cresta trata de incrementar la precisioacuten de los estimadores mientras que la estimacioacuten mixta permite la inclusioacuten de inshyformacioacuten a priori de naturaleza inexacta en el proceso de estimacioacuten Ambos

1 En Velde (1990) y Clement (2000) se describe el entorno de trabajo que dio lugar entre otras cosas a los modelos BVAR

mdash 8 mdash

bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

mdash 9 mdash

nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

mdash 10 mdash

bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

2

vas1 Naturalmente razones de espacio y de presentacioacuten del material aconseshyjan centrar el estudio en los BVAR como formas reducidas uacutetiles para la predicshycioacuten y el control y dejar para otro trabajo su conversioacuten en forma estructural y su empleo como herramienta de anaacutelisis cuantitativo de poliacuteticas econoacutemicas

La estructura del trabajo es la siguiente En la segunda seccioacuten se presentan dos teacutecnicas economeacutetricas (la regresioacuten cresta y la estimacioacuten mixta) que sirven de base para una adecuada comprensioacuten de la aportacioacuten bayesiana al enfoque VAR baacutesico A continuacioacuten se examinan las propiedades principales de los moshydelos VAR asiacute como los criterios para la determinacioacuten de su orden El cuarto apartado expone las restricciones bayesianas junto con los procedimientos de estimacioacuten La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series estacionales se discute en la seccioacuten quinta y en la sexta coacutemo determinar los hiperparaacutemetros que controlan la informacioacuten extramuestral incorporada proceso que se conoce como calibrado En el seacuteptimo apartado se expone la relacioacuten entre los modelos BVAR y los VARMA (vectores de autorregresiones y medias moacuteviles) y en el octavo coacutemo realizar determinados ejercicios inferenciales (anaacutelisis de cointeshygracioacuten) mediante estos modelos La novena seccioacuten expone las principales conshyclusiones y futuras liacuteneas de desarrollo Finalmente algunos recursos disponibles en Internet son mencionados en un apeacutendice

2 A MODO DE PRESENTACION REGRESION CRESTA Y ESTIMACION MIXTA

Incluso en sistemas de dimensioacuten moderada la estimacioacuten de modelos VAR estaacute afectada por una auteacutentica lsquomaldicioacuten de la dimensionalidadrsquo de forma que sus paraacutemetros estaacuten estimados de manera poco precisa sus predicciones son de baja calidad y en general la inferencia basada en dichos modelos es cuestioshynable

La solucioacuten empleada en los modelos BVAR (la incorporacioacuten de informacioacuten a priori acerca de los paraacutemetros del modelo) es una aplicacioacuten especial y basshytante sofisticada de dos meacutetodos de estimacioacuten desarrollados a principios de los antildeos setenta la regresioacuten cresta (ridge regression) y la estimacioacuten mixta Ambos meacutetodos estaacuten orientados a la mejora de la calidad de la estimacioacuten por miacutenimos cuadrados ordinarios (MCO) de los paraacutemetros del modelo lineal general

De forma simplificada la regresioacuten cresta trata de incrementar la precisioacuten de los estimadores mientras que la estimacioacuten mixta permite la inclusioacuten de inshyformacioacuten a priori de naturaleza inexacta en el proceso de estimacioacuten Ambos

1 En Velde (1990) y Clement (2000) se describe el entorno de trabajo que dio lugar entre otras cosas a los modelos BVAR

mdash 8 mdash

bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

mdash 9 mdash

nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

mdash 10 mdash

bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

bull bull bull

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meacutetodos admiten de manera bastante directa una interpretacioacuten bayesiana y deben ser considerados como manifestaciones diferentes de un mismo proceshydimiento de constriccioacuten de la estimacioacuten MCO

Desde la perspectiva de los BVAR la regresioacuten cresta equivale a la motivashycioacuten (coacutemo mejorar el rendimiento estadiacutestico de los estimadores MCO en un contexto VAR) y la estimacioacuten mixta refleja la instrumentacioacuten concreta (la inshycorporacioacuten expliacutecita y multidimensional de la informacioacuten a priori que conduce a dicha mejora) A continuacioacuten se presenta de forma sucinta ambas teacutecnicas En Hoerl y Kennard (1970) Judge et al (1980) y Pentildea (1987) se encuentra una exshyposicioacuten de la regresioacuten cresta y en Theil (1970) y Judge et al (1980) se analiza en detalle la estimacioacuten mixta

21 Regresioacuten cresta

Sea el modelo lineal general

Y = Xβ +U [21]

donde Y es un vector de n observaciones sobre la variable de respuesta X es la matriz de disentildeo de dimensioacuten nxk β es un vector de k paraacutemetros y U es un vector de perturbaciones aleatorias Se asume que el modelo [21] verifica las siguientes condiciones ideales (Schmidt 1976)

X es de rango completo no existen regresores omitidos β es un vector de paraacutemetros constantes aunque desconocidos

bull las perturbaciones son de media nula homocedaacutesticas y de varianza escashylar ( ) = 0 y ( ) prime = σ2IE U E UU n

El estimador miacutenimo cuadraacutetico ordinario (MCO) de β es minus1β = (X X) (X Y) [22]

Si los regresores son altamente colineales la matriz XrsquoX estaraacute mal condicioshynada generando autovalores miacutenimos virtualmente nulos En consecuencia los estimadores MCO expresados en [22] se caracterizaraacuten por sus elevadas vashyrianzas por la correlacioacuten entre sus componentes (lo que conduce a la dificultad para establecer el impacto de efectos individuales) y frecuentemente por la falta de plausibilidad de los mismos en el sentido de ser demasiado grandes o de aparecer con el signo ldquoincorrectordquo

Una de las soluciones al problema de la multicolinealidad consiste en emplear una clase de estimadores menos sensibles a la elevada correlacioacuten entre los regreshysores Este tipo de meacutetodos se denominan lsquoestimadores contraiacutedosrsquo ya que tratan de reducir el tamantildeo del estimador de β Posiblemente el procedimiento maacutes coshy

mdash 9 mdash

nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

mdash 10 mdash

bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

nocido es el de los estimadores cresta (ridge) Como se examinaraacute maacutes adelante todos estos meacutetodos tratan de corregir las consecuencias adversas de la falta de identificacioacuten de la matriz de disentildeo X introduciendo informacioacuten adicional bajo la forma de restricciones que se imponen al proceso de estimacioacuten

Los estimadores cresta pueden derivarse como la solucioacuten de un programa de miacutenimos cuadrados condicionados representando la restriccioacuten un liacutemite superior al tamantildeo de la suma de cuadrados de β Formalmente

MIN S(β) = (Y minus Xβ) (Y minus Xβ) sa ββ le C2 [23] β

El operador lagrangiano asociado al programa [23] es

(βλ) = (Y minus Xβ)(Y minus Xβ) + λ(ββ minusC2 ) [24]

Las condiciones de primer orden y la solucioacuten correspondiente son

part(bull ) partβ = 0 β(λ) = (X X + λIk )minus1(X Y)

rArr [25] 2part(bull ) partλ = 0 β(λ) β(λ) = C

Resolviendo λ en funcioacuten de C se obtiene el estimador cresta minus1β(λ(C)) = (X X + λ(C)Ik ) (X Y) [26]

La eleccioacuten de λ depende del tamantildeo C de la hiperesfera si C = infin la restricshycioacuten no seraacute vinculante (λ = 0) por lo que el estimador cresta [26] coincide con el MCO [22] Por el contrario si C = 0 la restriccioacuten equivale a eliminar la funcioacuten objetivo en el operador lagrangiano ( = ) con lo que β λ C ) = 0λ infin ˆ( ( )

En consecuencia el estimador cresta depende de la seleccioacuten a priori de un hiperparaacutemetro C que determina el tamantildeo (en moacutedulo) de los estimadores de β Esto conduce de forma natural a una interpretacioacuten bayesiana En efecto desde esta perspectiva la restriccioacuten incorporada en el programa [23] refleja un determinado prior acerca de los paraacutemetros β en particular sobre su tamantildeo Concretamente esta informacioacuten de naturaleza extramuestral implica que los valores pequentildeos de β (en moacutedulo) son maacutes verosiacutemiles que los grandes La confianza que el analista deposita en esta creencia es cuantificada a traveacutes del paraacutemetro λ Asiacute si λ rarr infin el analista confiacutea de forma plena en las restricciones ignorando por lo tanto la informacioacuten muestral y obteniendo β(λ(C)) = 0 Por el contrario si λ rarr 0 el analista desconfiacutea del prior y se guiaraacute soacutelo por la inforshymacioacuten muestral vinculada en este caso con el estimador MCO

Naturalmente la eleccioacuten adecuada del hiperparaacutemetro λ es criacutetica para una aplicacioacuten satisfactoria de la estimacioacuten cresta No existe un criterio infalible o automaacutetico para realizar esta seleccioacuten Hoerl y Kennard (1970) recomiendan basar la seleccioacuten de λ en los siguientes criterios

mdash 10 mdash

bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

bull

bull bull

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que genere estimadores estables en el sentido de que pequentildeos cambios en λ no den lugar a abruptas variaciones en los valores estimados

que los valores absolutos sean de un tamantildeo razonable que el signo sea el correcto y

bull que el error cuadraacutetico medio no esteacute inflado Este uacuteltimo punto es bastante importante porque como se deduce de [26] y

de las condiciones ideales asumidas el estimador cresta es sesgado de manera que su ventaja frente al MCO ha de sustentarse en una varianza significativashymente inferior y a ser posible tambieacuten en un sesgo contenido

22 Estimacioacuten mixta

Los estimadores cresta equivalen a restringir a priori el tamantildeo del estimador de β de manera ldquoanoacutenimardquo ya que no se tratan de forma individual los elemenshytos de dicho vector El meacutetodo de estimacioacuten mixta tambieacuten considera que β ha de estar con mayor verosimilitud en una determinada regioacuten del espacio para-meacutetrico pero considerando sus componentes de forma diferenciada y sopesanshydo probabiliacutesticamente esta informacioacuten a priori

Se asumen las mismas hipoacutetesis ideales expuestas al comienzo de esta secshycioacuten y adicionalmente que el vector de paraacutemetros β satisface un conjunto de restricciones lineales de forma inexacta La incertidumbre acerca de dichas resshytricciones se representa mediante la inclusioacuten de un vector de perturbaciones w a las m restricciones de la forma r = Rβ

r = Rβ + w [27]

A su vez se considera que el vector w obedece a una distribucioacuten normal de la forma

w ~ N(0Q) [28]

El modelo completo que surge de la combinacioacuten de [21] y de [27] es

Y X U [29] = β + r R w

La matriz de varianzas y covarianzas del modelo ampliado [29] no es escalar 2 σ In 0

[210]0 Q

lo que requiere que la estimacioacuten de β se haga por miacutenimos cuadrados generalishyzados

minus1minus1 minus1 2 2 σ I 0 X σ I 0 Yˆ n nβ = [X R] [X R] [211] 0 Q R 0 Q r

mdash 11 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

lo que conduce a minus2 minus1 minus1 minus2 minus1β = (σ X X + R Q R) (σ X Y + R Q r) [212]

La interpretacioacuten de [212] es inmediata si el analista considera que las resshytricciones son fiables haraacute que la matriz de varianzas y covarianzas Q sea redushycida por lo que el estimador de β estaraacute determinado principalmente por las restricciones r = Rβ Por el contrario si la confianza depositada en las restricshyciones es baja Q seraacute elevada y el estimador mixto de β seraacute muy similar al MCO es decir praacutecticamente como si la informacioacuten extramuestral no hubiera sido considerada

Como se examinaraacute maacutes adelante las expresiones [26] y [212] constituyen la base del proceso de estimacioacuten de los modelos BVAR

3 ESTRUCTURA VAR BASICA ESPECIFICACION

En esta seccioacuten se exponen las principales caracteriacutesticas de los modelos VAR con el objeto de analizar su estructura y disentildear procedimientos de espeshycificacioacuten empiacuterica Referencias adicionales se encuentran en Tiao et al (1979) Sargent (1979) Sims (1980) Tiao y Box (1981) Liu (1986) Luumltkepohl (1991) Reinsel (1993) Espasa y Cancelo (1993) y Enders (1995) entre otros

prime Sea Zt = (z1z2zk )t un vector de observaciones efectuadas sobre k variashybles en el periacuteodo t con t = 1n Se considera que Zt evoluciona seguacuten un moshydelo vectorial autorregresivo (VAR) de orden p si puede ser expresado de la siguiente forma

Zt = micro + Φ1Zt minus1 + Φ 2Zt minus 2 + + ΦpZt minus p + Ut [31]

donde micro es un vector de k constantes y Φh es una matriz de dimensioacuten kxk El teacutermino Ut representa una secuencia vectorial de perturbaciones estocaacutesticas de esperanza nula serialmente incorrelacionadas y con matriz de varianzas y covarianzas constante Se asume que la funcioacuten de distribucioacuten de probabilidashydes que genera a Ut es normal multivariante

Ut kx1 ~ N(0 Σ) [32]

En general se admite que Σ no es una matriz diagonal es decir que existen interacciones contemporaacuteneas entre las k innovaciones

Seguacuten esta representacioacuten cada variable zit en un VAR es generada a partir de la suma algebraica de tres elementos

bull valores desfasados de la propia variable (dinaacutemica propia)

mdash 12 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

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sump

φhii zi t minush h=1

bull valores desfasados de las restantes variables (dinaacutemica cruzada) k p

sumsumφhi jz j t minush j=1 h=1 jne i

bull una innovacioacuten especiacutefica posiblemente correlacionada de forma conshytemporaacutenea con las de las demaacutes variables (innovacioacuten)

uit

Los modelos VAR son estructuras muy generales y dependiendo de la natushyraleza de las matrices Φh y Σ aparecen diversos casos particulares La siguiente tabla ilustra estas posibilidades

Tabla 1

CASOS PARTICULARES DE UN VAR (ΦDESIGNA A TODAS LAS MATRICES Φh )

Completa Σ

Diagonal

Completa VAR general VAR sin interacciones contemporaacuteneas

Φ Triangular Sistema de funciones

de transferencia Funciones de transferencia

independientes

Diagonal Ecuaciones de regresioacuten dinaacutemicas aparentemente

no relacionadas

Modelos AR(p) independientes

Con el fin de apreciar mejor la dinaacutemica asociada a un modelo VAR se va a considerar su expresioacuten maacutes sencilla micro = 0 micro = 0 y micro = 0

z1 φ11 φ12 z1 u1 = + [33] z φ φ z u 2 t 21 22 2 tminus1 2 t

Resolviendo [33] de forma iterada a partir de unas condiciones iniciales Zm se obtiene

tminusm tminusm hZt = Φ Zm + sumΦ Utminush [34]

h=0

mdash 13 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

mdash 14 mdash

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

mdash 16 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

El primer sumando de [34] representa la dependencia de Zt con respecto a las condiciones iniciales y el segundo la acumulacioacuten dinaacutemica de los shocks reshycibidos desde el periacuteodo inicial m Este segundo elemento equivale a una media moacutevil vectorial (VMA) de orden infinito cuyas matrices estaacuten sujetas a la restricshycioacuten no lineal

Θh = Φh [35]

La mejor forma de examinar [34] consiste en sustituir Φ por su representashycioacuten en forma canoacutenica de Jordan

Pminus1Φ = PΛ [36]

donde Λ es la matriz de autovalores de Φ teniendo en cuenta su posible multishyplicidad y P es una matriz cuyas columnas son los autovectores asociados Susshytituyendo [36] en [34]

tminusm tminusm minus1 h minus1Zt = PΛ P Zm + sumPΛ P Ut h [37]minus

h=0

En consecuencia seguacuten se desprende de [37] tanto la dependencia como la dinaacutemica de Zt estaacuten determinadas por la estructura de autovalores de Φ Asiacute por ejemplo si son mayores en moacutedulo que uno se apreciaraacute una dependencia ilimitada en el tiempo con respecto al estado inicial Zm asiacute como una pauta exshyplosiva de respuesta a los impulsos Ut que han incidido sobre el sistema Comshybinando los moacutedulos de los autovalores con su caraacutecter real o complejo se aprecian las muacuteltiples posibilidades que ofrecen los modelos VAR

Tabla 2 DINAacuteMICA DE UN VAR(1) BIVARIANTE

(λλλλ DESIGNA A TODOS LOS AUTOVALORES λλλλH)

λ |λ|lt1 1

λ Complejo

Real Estable

Monoacutetono Estable

Oscilatorio

Explosivo Monoacutetono Explosivo Oscilatorio

Asimismo los modelos VAR permiten el tratamiento de interacciones dinaacutemicas muy diversas como se expone a continuacioacuten Si se premultiplica el modelo VAR(1) expresado en [33] por P-1 se obtiene su representacioacuten factorial desacoplada

F = ΛF + Vt tminus1 t

[38] Zt = PFt

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

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estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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Especialmente interesante es el caso de dos autovalores reales y distintos

f1 λ1 0 f1 v1 = + [39] f 0 λ f v 2 t 2 2 tminus1 2 t

Los factores subyacentes evolucionan seguacuten procesos AR(1) desacoplados dando lugar a alguna de las situaciones contempladas en la siguiente tabla

Tabla 3

ESTRUCTURA FACTORIAL DESACOPLADA

VAR(1) BIVARIANTE

λ1

|λ1|lt1 1

λ2

1

|λ2|lt1 Estacionariedad

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad Cointegracioacuten

No estacionariedad No cointegracioacuten

El anaacutelisis anterior puede ser faacutecilmente extendido al caso general p gt 1 meshydiante la representacioacuten de un modelo VAR(p) en el espacio de los estados Para ello se define una ecuacioacuten dinaacutemica (llamada lsquode transicioacutenrsquo) que sintetiza la evolucioacuten del sistema Su expresioacuten es

Zt Φ Φ 3 Φ Φ Zt minus1 U 1 2 p minus1 p t Zt minus1 I 0 3 0 0 Zt minus 2 0 = + [310] 3 3 3 3 3 3 3 3 Zt minus p +1 0 0 0 I 0 Z t minusp 0

Definiendo apropiadamente las matrices y vectores de [310] se tiene

Yt = ΓYt minus1 + Et [311]

En la ecuacioacuten anterior Yt representa el vector de estado que puede ser deshyfinido como la proyeccioacuten de miacutenima dimensioacuten del vector de futuro Z+ = Z h = 1infin en el de pasado Zminus = Z h = 0infin necesaria para preshyt+h tminush

decir el primero en funcioacuten del segundo La representacioacuten en el espacio de los estados se completa mediante una ecuacioacuten estaacutetica (llamada lsquode medidarsquo) que recoge la dependencia del vector observado respecto al de estado

Z = HY = [I 0 3 0] Y [312]t t t

De esta manera un modelo VAR(p) de dimensioacuten k ha sido expresado como un VAR(1) de dimensioacuten kxp pudiendo aplicarse el anaacutelisis de autovalores antes expuesto Asimismo debe sentildealarse que la representacioacuten en el espacio de los

mdash 15 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

estados es especialmente uacutetil para la estimacioacuten de esta clase de modelos meshydiante el filtro de Kalman (Harvey 1989) para el caacutelculo de las funciones de imshypulso-respuesta y para la prediccioacuten entre otras muchas aplicaciones

Hasta este momento se ha asumido que el orden p del modelo es un paraacuteshymetro conocido Sin embargo en la mayoriacutea de las aplicaciones praacutecticas eacuteste ha de ser determinado a traveacutes de la propia informacioacuten muestral Esta tarea de especificacioacuten puede ser realizada mediante la identificacioacuten de pautas en deshyterminados estadiacutesticos muestrales utilizando contrastes de hipoacutetesis o a traveacutes de criterios de informacioacuten veacutease Choi (1992) para una exposicioacuten completa de todos ellos A continuacioacuten se comentan los dos uacuteltimos ya que son los maacutes utishylizados en las aplicaciones de los modelos VAR

Los contrastes de hipoacutetesis giran en torno al uso secuencial del estadiacutestico de la razoacuten de verosimilitudes

| U(m)U(m)|real (m) = minus(n minus 05 minus km) ln( ) [313]| U(m minus 1)U(m minus 1) |

Dicho contraste compara el ajuste muestral de un VAR(m) frente al de un VAR(m-1) y permite decidir si la hipoacutetesis nula Φm = 0no es rechazada por la

muestra Bajo dicha hipoacutetesis el estadiacutestico real se distribuye como una χ2 con k2

grados de libertad El principal problema de este contraste radica en el deterioro de los niveles

de significacioacuten cuando es utilizado de manera secuencial por lo que los criteshyrios de informacioacuten han ido ganando difusioacuten como herramienta de especificashycioacuten de los VAR Los maacutes conocidos son el de Akaike llamado AIC (Akaike Information Criterion) y el de Schwarz denominado BIC (Bayesian Information Criterion) veacutease Choi (1992) o Tsay (2000) para una derivacioacuten analiacutetica de los mismos Sus expresiones respectivas son

2AIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln (| ˆmk2 + [314]

n y

BIC(m) = U(m) |)U(m)ˆln(| ˆmkln(n) 2 + [315]

n

La ventaja del BIC frente al AIC radica en su consistencia bajo la hipoacutetesis de que existe un verdadero proceso generador de los datos No obstante su rendishymiento en muestras finitas no es necesariamente superior al AIC veacutease Luumltkepohl (1991) y Deniau et al (1992) para una discusioacuten detallada de estos criterios

Por uacuteltimo debe sentildealarse que la aplicacioacuten de consideraciones bayesianas en un modelo VAR suelen ir acompantildeadas de una eleccioacuten relativamente geneshyrosa del orden p especialmente si las series poseen estructura estacional Como sentildeala Todd (1988)

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

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Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

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micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

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10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

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La teoriacutea estadiacutestica bayesiana sugiere una aproximacioacuten diferente inshycluir tantos viacutenculos ndashpor lo tanto coeficientesndash como el ordenador pueda manejar y entonces usar el discernimiento humano para superar el proshyblema de la falta de grados de libertad mediante la especificacioacuten de un conjunto de hipoacutetesis a priori que suplementen los datos

4 RESTRICCIONES BAYESIANAS ESTIMACION

Los modelos VAR son representaciones poco parsimoniosas de la estructura dinaacutemica de un vector de series temporales de forma que incluso en sistemas de dimensioacuten moderada el nuacutemero de paraacutemetros que han de ser estimados es muy elevado agotando eventualmente los grados de libertad de los estimadoshyres Este hecho acompantildeado por la elevada correlacioacuten que suelen presentar los regresores de un VAR da lugar a dos consecuencias funestas multicolinealishydad y sobreajuste La primera genera estimaciones imprecisas e inestables coshymo ya se ha comentado al exponer la regresioacuten cresta De esta manera el uso de los VAR como herramienta de anaacutelisis estructural mediante por ejemplo las funciones de respuesta a los impulsos es cuestionable Los efectos del sobreashyjuste son maacutes sutiles2 pero igualmente adversos El agotamiento de los grados de libertad lleva a una situacioacuten en la que cada punto estaacute ldquoexplicadordquo por un paraacutemetro como miacutenimo de manera que el modelo es incapaz de discriminar adecuadamente los elementos sistemaacuteticos y los puramente accidentales que subyacen en las observaciones Asiacute el proceso predictivo seraacute erroacuteneo con freshycuencia y las previsiones se revisaraacuten frecuente y ampliamente con la consishyguiente peacuterdida de confianza en las mismas

Con el fin de resolver estos problemas se han propuesto diversas soluciones en liacutenea con los meacutetodos de regresioacuten cresta y de estimacioacuten mixta presentados en la segunda seccioacuten Asiacute Litterman (1984a 1984b 1986) Doan et al (1984) y Todd (1984 1988) proponen imponer una serie de restricciones de naturaleza probabiliacutestica orientadas a mejorar la calidad de la estimacioacuten y de las prediccioshynes Estas restricciones susceptibles de una interpretacioacuten bayesiana no reflejan principios derivados de la teoriacutea econoacutemica (usualmente controvertidos) sino consideraciones instrumentales ateoacutericas asociadas con nociones de tipo pushyramente estadiacutestico Debido al origen geograacutefico de este enfoque este tipo de informacioacuten extramuestral se denomina lsquoprior de Minnesotarsquo

A continuacioacuten se expone dicho prior para lo que resulta conveniente modishyficar la notacioacuten empleada en la seccioacuten anterior La ecuacioacuten i-eacutesima de un moshydelo VAR(p) es

2 De hecho el ajuste muestral suele ser en estos casos muy bueno

mdash 17 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

mdash 18 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

micro i φi11 4

( φik1 Z i = in p Z 1(1) 3 Zk(1) 33minus Z1(p) 3 Z k(p) ) = x U + Ui βi + i [41] 4

φi1p 4 φ ikp

siendo ( ) el vector de (n-p) observaciones de la serie j retardada h periacuteodos Zj h

Noacutetese que el vector de regresores x es el mismo en todas las ecuaciones por lo que la consideracioacuten simultaacutenea de las k ecuaciones que integran el VAR da lugar a la siguiente expresioacuten

Z = (I otimes x)β +U = Xβ +U [42] k

siendo otimes el producto tensorial de Kronecker y estando x y β definidos como

x = (inminusp Z1(1) 3 Zk(1) 33 Z1(p) 3 Zk(p) ) y

β = (β1 β2 3 βk )

Naturalmente el vector β estaacute relacionado con las matrices Φ seguacuten

β = vec (Φ ) con Φ = ( micro Φ1 3 Φp ) [43]

En consecuencia la matriz de varianzas y covarianzas de U es

Σ = Σ otimes I con Σ = σ i j = 1k [44] U nminusp iacutej

El modelo [42] tiene un aspecto similar al del modelo lineal general presenshytado en la segunda seccioacuten con las debidas consideraciones respecto a la dishymensioacuten y estructura de los regresores

La especificacioacuten bayesiana de un modelo VAR considera que los paraacutemetros que forman el vector β son variables aleatorias caracterizadas por una distribushycioacuten de probabilidad normal multivariante

β ~ N(β Vβ ) [45]

En particular los principios baacutesicos que articulan al prior de Minnesota son

bull bull bull bull

la dinaacutemica propia es maacutes importante que la cruzada la influencia disminuye a medida que aumenta la distancia temporal las series individuales no son estacionarias y no existe cointegracioacuten

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

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La especificacioacuten del vector de medias β toma como punto de referencia que todas las variables del sistema evolucionan de acuerdo con un paseo aleatoshyrio con deriva

zit = micro i + zitminus1 + uit forall i [46]

Una expresioacuten alternativa de [46] es

(1minus B)zit = micro i + uit forall i [47]

En consecuencia se asume que todas las series poseen una tendencia mixta con un componente estocaacutestico asociado a la raiacutez unitaria en la frecuencia cero (1-B) y con otro determinista vinculado con el teacutermino constante microi Obseacutervese que al existir k raiacuteces unitarias en la representacioacuten a priori del VAR la posibilishydad de cointegracioacuten entre la series no es expliacutecitamente considerada Teniendo en cuenta todos los paraacutemetros involucrados se tiene

micro i = 0 forall i

β = [48] 1 i = j h = 1 φi jh = 0 en los demaacutes casos

Expresando [48] en forma matricial

Ik h = 1Φh = [49]

0 h gt 1

Asiacute en el caso k=2 y p=2 se tiene

z1 0 1 0 z1 0 0 z1 u1 = + + + [410] z 0 0 1 z 0 0 z u 2 t 2 tminus1 2 tminus2 2 t

De esta manera el vector de medias seraacute β = (0 1 0 0 0 0 0 1 0 0) [ 411]

La matriz de varianzas y covarianzas de β se asume diagonal y estaacute gobernashyda por un vector de hiperparaacutemetros π que describe de forma parsimoniosa las propiedades de dicha matriz

v(micro ) = infin forall i

i

diagonal(Vβ ) = [412] 2v(φijh ) = (π1 Fij gh (σii σ jj )) forall i j forall h

En primer lugar se asume un prior difuso para las constantes del modelo de manera que su estimacioacuten estaraacute determinada exclusivamente por la informacioacuten muestral En segundo lugar los restantes paraacutemetros del sistema son considerashy

mdash 19 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

dos como variables aleatorias independientes entre siacute (de ahiacute el caraacutecter diagonal de Vβ ) cuyas varianzas estaacuten controladas por un reducido vector de hiperparaacutemeshy

tros que actuacutea sobre tres dimensiones esenciales de un modelo VAR dinaacutemica propia de primer orden ( ) y dinaacutemica cruzada (Fij )π dinaacutemica general ( )1 gh

El hiperparaacutemetro π1 con 0 le π1 lt infin mide el grado de confianza que el analista tiene en el prior sobre la media Asiacute si π1 rarr 0 consideraraacute que el pashyraacutemetro asociado al primer retardo propio es muy proacuteximo a la unidad y por el contrario si π1 rarr infin adoptaraacute un prior difuso sobre dicho paraacutemetro danshydo como resultado que su determinacioacuten se haga soacutelo en funcioacuten de la inforshymacioacuten muestral Asimismo este hiperparaacutemetro refleja la incertidumbre global que el analista tiene sobre la proximidad del modelo al prior expresado en [48] esto es π1 tambieacuten cuantifica el grado de incertidumbre global si π1 rarr 0 el sistema se considera muy similar a k paseos aleatorios con deriva posiblemente correlacionados de forma contemporaacutenea y si π1 rarr infin seraacute afiacuten a un modelo VAR no restringido

La matriz F especifica desde un punto de vista extramuestral la interaccioacuten dinaacutemica entre las series del modelo En el caso del prior de Minnesota se asushyme una estructura simeacutetrica de la forma

1 i = jFi j = [413]

ne j π2 i

Asiacute el hipeparaacutemetro π2 con 0 le π2 lt infin cuantifica el grado de asociacioacuten temporal entre las variables del sistema si π2 rarr 0 el sistema careceraacute de inteshyraccioacuten dinaacutemica entre las k variables que lo integran Por el contrario si π2 rarr infin no se asumiraacute hipoacutetesis alguna acerca de estas interacciones dejando que sea la informacioacuten muestral la que determine su naturaleza Naturalmente este esquema se puede generalizar tanto como se desee de manera que se pueshyden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc Esta generalizacioacuten implica una menor simplicidad en el modelo al aumentar el nuacutemero de hiperparaacutemeshytros

La funcioacuten gh mide el grado de reduccioacuten de la varianza en funcioacuten del retarshydo Puede ser representada utilizando un esquema de decaimiento geomeacutetrico o armoacutenico

minusπ3 h 0 le π3 lt infin

gh = [414] hπ 0 le π le 1 3 3

Adicionalmente se verifica gh = 1 si h = 1 El graacutefico siguiente ilustra ambas funciones

mdash 20 mdash

Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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Graacutefico 41

DECAIMIENTO TEMPORAL DEL PRIOR gh

Armoacutenico Geomeacutetrico 10

08

06

04

02

00 00

02

04

06

08

10

12 24 36 12 24 36 Retardo Retardo

PI_3 = 01 PI_3 = 01 PI_3 = 09 PI_3 = 09

20

15

10

05

00

-05

-10

20

15

10

05

00

-05

-10 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Retardo PI_1 = 09 Retardo PI_1 = 02

PI_2 = 09 PI_2 = 05 PI_3 = 01 PI_3 = 09

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En ambos casos a medida que h aumenta la varianza se aproxima a cero y por lo tanto maacutes cerca se encuentra el modelo del prior asociado a β Anaacuteloshygamente en el caso armoacutenico (geomeacutetrico) si π3 rarr infin (π3 rarr 0) la varianza del paraacutemetro correspondiente se estrecha en torno a cero

Finalmente el teacutermino σii σ jj refleja un factor de escala que hay que tener

en cuenta si las variables que forman el modelo estaacuten expresadas en distintas unidades de medida Estas varianzas se pueden determinar bien a traveacutes de k estimaciones AR univariantes o de una estimacioacuten VAR no restringida

La interaccioacuten completa de todos los elementos del prior tanto en lo que se refiere a la media como a la varianza se muestra en el siguiente graacutefico

Graacutefico 42

PRIOR DE MINNESOTA DECAIMIENTO ARMOacuteNICO

VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

mdash 21 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

mdash 22 mdash

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

mdash 23 mdash

micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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Instituto de Estudios Fiscales

los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

En resumen se tiene un conjunto de restricciones estocaacutesticas que se aplican al vector de coeficientes β de la forma

r = Rβ + w [415]

estando r determinado por β ndashecuacioacuten [48]ndash R es una matriz identidad de dimensioacuten k(kp + 1) y w es una perturbacioacuten de media nula y matriz de varianzas y covarianzas determinada por Vβ ndashecuacioacuten [412]ndash Aplicando el meacutetodo de

estimacioacuten mixta expuesto en la segunda seccioacuten se obtiene el estimador de β minus1 minus1 minus1 minus1 minus1 β = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) ((xotimesΣ )Z + Vβ β ) [416]

La correspondiente matriz de varianzas y covarianzas de β es minus1 minus1 minus1Vβ = (((x x) otimes Σ ) + Vβ ) [417]

Estas dos ecuaciones describen la distribucioacuten a posteriori de β en un conshytexto gaussiano con un prior normal multivariante La interpretacioacuten es ideacutentica a la expuesta al tratar la estimacioacuten mixta de forma que el estimador es una media ponderada del estimador MCO y del prior dependiendo las ponderacioshynes de las respectivas matrices de varianzas y covarianzas

Debe resaltarse que el estimador [416] es vaacutelido tanto en el caso en que se imponen restricciones simeacutetricas como en el que no lo son En el primero sishyguiendo el aacutelgebra SURE (Seemingly Unrelated Regression Equations) equivale a la estimacioacuten MCO ecuacioacuten por ecuacioacuten y en el segundo se trata de una estishymacioacuten sisteacutemica simultaacutenea veacutease Judge et al (1980)

Con el transcurso del tiempo se han desarrollado especificaciones alternatishyvas de la estructura de informacioacuten extramuestral Asiacute Ingram y Whiteman (1992) proponen acomodar dicha estructura a la que genera un modelo real del ciclo econoacutemico y Sims y Zha (1996) presentan una especificacioacuten disentildeada para tener en cuenta la presencia de relaciones de cointegracioacuten Veacutease tambieacuten Zha (1998) y Robertson y Tallman (1999) para aplicaciones de esta uacuteltima propuesta

5 EXTENSION AL CASO ESTACIONAL

La aplicacioacuten de los modelos BVAR a series con estacionalidad se puede reashylizar de tres formas diferentes

bull bull bull

efectuando un ajuste estacional preliminar incorporando variables ficticias estacionales o generalizando la distribucioacuten a priori de los paraacutemetros para tener en cuenta la presencia de estacionalidad

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El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

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micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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Instituto de Estudios Fiscales

El primer procedimiento es bastante habitual en el anaacutelisis aplicado debido a su sencillez a la disponibilidad de procedimientos bastante fiables de extraccioacuten de sentildeales y a que es consistente con gran parte del anaacutelisis econoacutemico cuantishytativo centrado en el uso de sentildeales carentes de estacionalidad tales como las series desestacionalizadas o las de ciclo-tendencia No obstante esta praacutectica puede tener efectos adversos sobre la especificacioacuten dinaacutemica (Wallis 1974 Sims 1974) y estaacute sujeta a serios problemas de estimacioacuten vinculados con la falta de invertibilidad que inducen los filtros desestacionalizadores (Maravall 1993 Harvey y Scott 1994)

El uso de variables ficticias de tipo estacional trata de controlar de forma exshypliacutecita el efecto que la estacionalidad tiene sobre el nivel de la serie Este proceshydimiento no incurre en los problemas antes comentados pero asume que el componente estacional de las series objeto de anaacutelisis evoluciona de manera determinista hipoacutetesis por lo general demasiado estricta

Por uacuteltimo la posibilidad maacutes coherente consiste en extender el marco bayeshysiano expuesto en la seccioacuten anterior para acomodar la presencia del fenoacutemeno estacional En esta direccioacuten se encuadran las propuestas de Ballabriga (1989) Canova (1992) y Raynauld y Simonato (1993) A continuacioacuten se expone el enshyfoque de estos uacuteltimos autores

Sea Zt un vector de observaciones efectuadas sobre k variables en el periacuteoshydo t cuya evolucioacuten estaacute gobernada por un proceso VAR(p) siendo p un muacuteltishyplo del nuacutemero s de observaciones por periacuteodo anual p = τs

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ 2Ztminus2 + + ΦpZtminusp + Ut [51]

Naturalmente en el marco estacional p puede adoptar un valor elevado con los consiguientes problemas de sobreajuste multicolinealidad y agotamiento de los grados de libertad ya comentados En consecuencia la inclusioacuten de restricshyciones en [51] es praacutecticamente obligatoria incluso en sistemas de dimensioacuten reducida k=2 o 3

La propuesta de Raynauld y Simonato consiste en generalizar el prior de Minnesota de manera que el modelo subyacente sea un paseo aleatorio estacioshynal con deriva

s(1minus B)(1minus B )zit = micro i + uit forall i [52]

Las matrices del modelo VAR(p) implicadas por [52] son

Ik h = 1s Φh = minus Ik h = s + 1 [53] 0 h ne 1s s + 1

En consecuencia la media del prior sobre los paraacutemetros del modelo VAR(p) viene dada por

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micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

mdash 24 mdash

Instituto de Estudios Fiscales

1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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Instituto de Estudios Fiscales

bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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micro i = 0 forall i

1 i = j h = 1sβ = [54]

φijh = minus 1 i = j h = s + 1 0 i ne j h ne 1ss + 1

La matriz de varianzas y covarianzas del prior tambieacuten se modifica para tener en cuenta la estructura estacional Asiacute estos autores proponen incluir dos nueshyvas funciones dependientes a su vez de dos hiperparaacutemetros La primera actuacutea como un factor que resalta los paraacutemetros estacionales

hminusπ4 h = 1s minus 1 minusπ (h minus (s minus 1)) 4 h = s2s minus 1

st = [55] h minusπ (h minus (2s minus 1)) 4 h = 2s3s minus 1 etc

Esta funcioacuten tiene un aspecto de dientes de sierra sobresaliendo soacutelo los reshytardos estacionales

Graacutefico 51 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sth con s=12

00

02

04

06

08

10

12 24 36 Retardo

PI_4 = 01 PI_4 = 09

El hiperparaacutemetro π4 (0 le π4 lt infin) controla el ritmo de decaimiento fuera de los retardos estacionales de manera que cuanto mayor es maacutes raacutepidamente tiende a centildeirse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Con el fin de limitar la interaccioacuten de esta funcioacuten con el resto de los elementos que definen el prior sobre las varianzas se introduce la segunda funcioacuten

d minus1sdh = π5 h [56]

donde

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1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

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PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

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04

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00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

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12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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Instituto de Estudios Fiscales

bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

mdash 30 mdash

Instituto de Estudios Fiscales

los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

Instituto de Estudios Fiscales

1 h = 1s minus 1 2 h = s + 12s minus 1

dh = [57] 3 h = 2s + 13s minus 1

etc

El hiperparaacutemetro π5 (0 le π5 le 1) controla el ritmo de decaimiento entre los retardos estacionales de manera que cuanto menor es maacutes deprisa tiende a ajustarse la varianza del paraacutemetro correspondiente hacia cero Esta funcioacuten tieshyne un aspecto escalonado manteniendo constante el grado de reduccioacuten de la varianza dentro de cada tramo anual

Graacutefico 52 PRIOR ESTACIONAL PARCIAL sdh con s=12

00

02

04

06

08

10

PI_5=01 PI_5=09

12 24 36 Retardo

La interaccioacuten entre ambas funciones da como resultado consideraciones extramuestrales muy diferentes con respecto a la pauta estacional de las series del modelo como se aprecia en el graacutefico siguiente

Graacutefico 53

PRIOR ESTACIONAL COMPLETO con s=12

mdash 25 mdash

10

08

06

04

02

00

10

08

06

04

02

00 12 24 36 12 24 36

Retardo Retardo

PI_4=01 PI_5=09 PI_4=01 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=01 PI_4=09 PI_5=09

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

mdash 26 mdash

Instituto de Estudios Fiscales

complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

mdash 28 mdash

Instituto de Estudios Fiscales

bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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Instituto de Estudios Fiscales

los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

mdash 31 mdash

Combinando estas dos funciones adicionales con las que ya se consideraron para el caso no estacional se tiene la siguiente especificacioacuten completa de las varianzas del prior sobre los paraacutemetros del modelo

v(micro ) = infin forall i i

diagonal(Vβ ) = [58] 2v(φ ) = (π F st sd (σ σ )) forall i j forall h ijh 1 ij h h ii jj

donde los restantes elementos tienen el mismo significado que en el caso no estacional Anaacutelogamente la estimacioacuten se realiza de la misma forma que en el caso no estacional mediante el procedimiento de estimacioacuten mixta aplicaacutendose las mismas consideraciones expuestas en la seccioacuten anterior

En el graacutefico siguiente se aprecia el prior completo en media y varianza como funcioacuten del retardo del modelo

Graacutefico 54

PRIOR ESTACIONAL DE RAYNAULD-SIMONATO DECAIMIENTO REGULAR

ARMOacuteNICO VALOR MEDIO plusmnplusmnplusmnplusmn DESVIACIOacuteN TIacutePICA

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

-2

-1

0

1

2

12 24 36Retardo

PI_1 = 09 PI_2 = 09 PI_3 = 01 PI_1 = 02 PI_2 = 05 PI_3 = 09 PI_4 = 01 PI_5 = 09 PI_4 = 09 PI_5 = 01

6 CALIBRADO

La estimacioacuten del modelo BVAR requiere la determinacioacuten preliminar del vector de m hiperparaacutemetros π Este proceso puede realizarse mediante consishyderaciones exclusivamente a priori o bien basarse en la optimizacioacuten de una deshyterminada funcioacuten objetivo F β π ) Naturalmente ambas opciones son( ( )

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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Instituto de Estudios Fiscales

bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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Instituto de Estudios Fiscales

los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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complementarias ya que tanto las caracteriacutesticas estadiacutesticas de los datos como los elementos teoacutericos pueden condicionar la seleccioacuten particular de π

Si el vector π es de dimensioacuten reducida es posible realizar una mallado comshy( ( )F β π )pleto de dicho vector y evaluar en todos los puntos El valor de π que la

haga maacutexima determinaraacute los hiperparaacutemetros Naturalmente con valores modeshyrados o elevados de m este procedimiento no es razonable ni conveniente por lo que se han propuesto distintos meacutetodos de calibrado Asiacute Todd (1988) examina el procedimiento de buacutesqueda axial consistente en aplicar el siguiente algoritmo

1 Calibrado inicial π0 = (πi0 i = 1m) 2 Fijados todos los elementos de π menos uno (πj ) variar soacutelo eacuteste y evashy

luar la funcioacuten objetivo en un rango prefijado (πj0 minus α jπj0 + α j ) con inshy

crementos dados ∆π 3 Se selecciona el valor de π que maximiza F( ( ) πj1j β π ) 4 Fijado πj se selecciona el siguiente hiperparaacutemetro πj +1 y se repiten los

pasos 2 y 3 hasta satisfacer un criterio de convergencia predeterminado Si las curvas iso-F(bull ) son relativamente ortogonales en el espacio π el proceshy

dimiento de buacutesqueda axial proporcionaraacute buenos resultados de forma raacutepida Por el contrario si dichas curvas son eliacutepticas o adoptan formas irregulares el procedimiento podraacute verse atrapado en un oacuteptimo local o su convergencia ser muy lenta Con el fin de asegurar la globalidad del maacuteximo se recomienda reshypetir varias veces el algoritmo variando el calibrado inicial π0

Por otra parte Sims (1986b) propone el uso de un suavizado bayesiano conshysistente en

1 Evaluacioacuten de F β π )( ( ) en una malla reducida (50 puntos pe) pero que cubra una regioacuten amplia del espacio de comportamiento de π

2 Generacioacuten de una malla detallada mediante interpolacioacuten 3 Buacutesqueda refinada del oacuteptimo mediante el procedimiento de ascenso raacuteshy

pido (hill climbing) La eleccioacuten de la meacutetrica ( ( ) depende del objetivo del modelo y de las F β π )

caracteriacutesticas de los datos Desde un punto de vista teoacuterico la funcioacuten de veroshysimilitud es un candidato muy atractivo

(β | Z) = minus(kn 2)ln(2 Π) minus (1 2)ln | Σ otimes I | minus minus1

n [61] minus (1 2)(Z minus (Ik otimes x)β)(Σ otimes In)(Z minus (Ik otimes x)β)

Otras posibilidades giran en torno al rendimiento predictivo extramuestral del modelo determinante de la matriz de varianzas y covarianzas de los errores de prediccioacuten H pasos adelante error cuadraacutetico medio de los errores de preshydiccioacuten con horizonte H estadiacutestico U de Theil etc

mdash 27 mdash

Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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Un adecuado calibrado es especialmente importante para determinadas aplicaciones de los BVAR como por ejemplo el anaacutelisis de cointegracioacuten (Alshyvarez y Ballabriga 1994) o la deteccioacuten de las estructuras de rango reducido que conducen a los llamados lsquomodelos iacutendicersquo o VAR de rango reducido (Reinsel 1983)

Por uacuteltimo un enfoque que puede combinar el tratamiento bayesiano de los paraacutemetros con la especificacioacuten empiacuterica de los VAR consiste en la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) de mashynera que se estiman paraacutemetros e hiperparaacutemetros mediante un mismo proceshydimiento iterativo veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

7 MODELOS BVAR Y VARMA

Los modelos VARMA constituyen una forma alternativa de restringir la tenshydencia sobreparametrizadora de los VAR En lugar de imponer restricciones bashyyesianas mediante un vector de hiperparaacutemetros sobre la estructura VAR los modelos VARMA expanden el espacio de medida incorporando las innovaciones de periacuteodos anteriores

Zt = micro + Φ1Ztminus1 + Φ2Ztminus2 + + ΦpZtminusp +Ut minus Θ1Utminus1 minus Θ2Utminus2 minus minus ΘqUtminusq [71]

La inclusioacuten de los teacuterminos VMA equivale funcionalmente a la imposicioacuten de una serie de restricciones no lineales sobre una representacioacuten VAR(p) Para ilustrar esta equivalencia se considera el caso p = q = 1 con micro = 0

Zt = ΦZtminus1 +Ut minus ΘUtminus1 [72]

Asumiendo invertibilidad la representacioacuten VAR ( )infin puede ser truncada para un p suficientemente elevado

Zt = Π1Ztminus1 + Π 2Ztminus2 + + ΠpZtminusp +Ut [73]

Las matrices Πh satisfacen la siguiente relacioacuten

Π h = Θh (Φ minus Θ) h = 1p [74]

De manera aproximada se puede establecer una equivalencia funcional entre los elementos de la matriz Θ y el vector π de hiperparaacutemetros de un BVAR

bull la incertidumbre global ( )π1 estaacute representada de forma conjunta en la matriz Θ sobre todo al realizar la operacioacuten (Φ minus Θ)

bull los elementos situados fuera de la diagonal principal de Θ condicionan la dinaacutemica cruzada teniendo un papel similar al de la matriz F De esta mashynera se pueden considerar bloques de variables asimetriacuteas etc

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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Instituto de Estudios Fiscales

los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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bull los elementos diagonales Θii restringen de forma individualizada la dinaacuteshymica propia de cada variable de manera que su funcioacuten es anaacuteloga a la del hiperparaacutemetro π3 de un esquema de decaimiento geomeacutetrico

De esta manera se aprecia coacutemo un modelo VARMA(11) equivale a un VAR de elevado orden sujeto a restricciones no lineales En consecuencia los eleshymentos que componen Θ actuacutean a modo de hiperparaacutemetros si bien su detershyminacioacuten numeacuterica se realiza al mismo tiempo que los paraacutemetros contenidos en Φ mediante la maximizacioacuten de la funcioacuten de verosimilitud exacta (Hillmer y Tiao 1979) y no como en el caso BVAR de forma separada a traveacutes del proceshyso de calibrado No obstante si un modelo BVAR es calibrado atendiendo tamshybieacuten a criterios de maacutexima verosimilitud la semejanza con un VARMA deberaacute ser elevada al menos en lo que concierne a sus propiedades sisteacutemicas

8 INFERENCIA

Los modelos BVAR son utilizados para diversas aplicaciones de tipo inferenshycial tales como la prediccioacuten condicionada e incondicionada (Litterman y Supel 1983 Litterman 1986) el anaacutelisis de mecanismos de propagacioacuten mediante las funciones de respuesta al impulso (Sims 1980 1986a Runkle 1987 Blanchard y Quah 1989 y Blanchard 1989) la identificacioacuten de relaciones de causalidad en el sentido de Granger (Luumltkepohl 1991) o el disentildeo de sistemas de control oacutepshytimo (Litterman 1982 1987)

Asimismo los modelos BVAR pueden ser empleados para detectar y estimar relaciones de cointegracioacuten En este sentido el enfoque maacutes difundido es el propuesto por Johansen (1988 1991) En esta seccioacuten se comenta brevemente un enfoque alternativo el anaacutelisis canoacutenico de Box y Tiao (1977) que puede ser interesante debido a su sencillez Veacutease Bewley et al (1994) Bewley y Yang (1995) y Gonzalo (1994) para un estudio de sus propiedades mediante simulashyciones de Monte Carlo

El anaacutelisis canoacutenico propuesto por Box y Tiao (1977) permite estimar k vashyriables Wt kx1 a partir de una transformacioacuten lineal de las k series observashydas Zt

Wt = MZ t [81]

Las filas de la matriz M que define a los componentes canoacutenicos son los auto-vectores asociados a los autovalores ordenados (de mayor a menor) de la sishyguiente matriz

minus1 minus1Q = ΓZ (0) ΓZe (0) = I minus ΓZ (0) Σ [82]

mdash 29 mdash

donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

APENDICE A RECURSOS EN INTERNET

El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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donde Γ ( ) ( ) y Σ son respectivamente las matrices de varianzas y cova-Z 0 ΓZe 0

rianzas de Zt del predictor oacuteptimo de Zt+1 basado en un modelo BVAR y de las innovaciones Ut de dicho modelo

La matriz Q es el anaacutelogo multivariante del coeficiente de determinacioacuten R2

del anaacutelisis de regresioacuten En consecuencia sus autovalores (1 ge λ1 ge2 ge λk ge 0) miden el grado de predecibilidad de las variables Wt que se forman a partir de sus autovectores cuanto mayor es λ i maacutes exacta resulta la prediccioacuten de w m ( )Zt = λit i i

Box y Tiao demuestran que si el sistema posee r raiacuteces unitarias entonces Q tambieacuten En consecuencia existen k-r combinaciones lineales de Zt que son estacionarias y que definen por tanto relaciones de cointegracioacuten (Pentildea 1990) De esta manera el anaacutelisis canoacutenico permite identificar y estimar relaciones de cointegracioacuten basadas en una modelizacioacuten expliacutecita y parsimoniosa de los datos De esta forma si existen r autovalores unitarios en Q y k-r que no lo son se tienen r componentes Wt no estacionarios que dan cuenta de la falta de estashycionariedad de las k series originales y k-r componentes que siacute son estacionashyrios y que reflejan relaciones de cointegracioacuten

Con el fin de obtener una distribucioacuten en el muestreo de los estadiacutesticos deshyrivados del anaacutelisis canoacutenico y poder asiacute cuantificar la incertidumbre asociado al mismo se puede realizar un remuestreo de tipo bootstrap consistente en

1 Muestrear mediante un esquema aleatorio simple con reposicioacuten los reshysiduos multivariantes

2 Calcular la correspondiente matriz Σ de varianzas y covarianzas Γ ( )3 Manteniendo fija Z 0 evaluar Q y los correspondientes autovalores y

autovectores 4 Volver al paso 1 hasta alcanzar un nuacutemero prefijado de simulaciones De esta forma se obtiene una distribucioacuten bootstrap del vector de autovaloshy

res λ de la que pueden derivarse valores medios desviaciones tiacutepicas e intervashylos de confianza sustentaacutendose de manera maacutes soacutelida el anaacutelisis de cointegracioacuten

9 CONCLUSIONES Y EXTENSIONES

Los modelos VAR se han convertido en la referencia baacutesica en lo que con-cierne al anaacutelisis cuantitativo de series temporales muacuteltiples Algunas de sus cashyracteriacutesticas menos deseables han sido corregidas mediante la incorporacioacuten de restricciones bayesianas dando lugar a los modelos BVAR Esta clase de modeshy

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

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El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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los se utilizan con profusioacuten para la prediccioacuten y el control y convenientemente identificados para el anaacutelisis de poliacuteticas econoacutemicas y la cuantificacioacuten de los esquemas de impulso y propagacioacuten que rigen en un determinado sistema ecoshynoacutemico Como muestra de una literatura muy extensa veacutease Litterman y Weiss (1985) Todd (1990) y Sims (1993 1998)

Las ideas baacutesicas subyacentes a la metodologiacutea BVAR son muy generales y han sido aplicadas en contextos muy diferentes de los inicialmente contemplashydos por sus creadores Como ejemplo significativo Black y Litterman las han trasladado al aacutembito de la seleccioacuten oacuteptima de carteras de activos siendo una de las herramientas baacutesicas en numerosos bancos de inversioacuten como por ejemplo Goldman amp Sachs Veacutease Black y Litterman (1992) Bevan y Winkelmann (1998) y He y Litterman (1999)

A continuacioacuten se comentan algunas posibles extensiones de estos modelos En primer lugar los modelos BVAR pueden ser utilizados para realizar un anaacutelishysis multivariante completo de las observaciones anoacutemalas siguiendo la proshypuesta de Tsay et al (1998) De esta manera ademaacutes de localizar en el tiempo la presencia y tipo de tales observaciones se podraacute examinar la interaccioacuten dishynaacutemica que generan en las series analizadas

Una segunda liacutenea de desarrollo consiste en la incorporacioacuten de estructuras simplificadoras derivadas del anaacutelisis de cointegracioacuten o del anaacutelisis factorial dishynaacutemico (Pentildea y Box 1987) Los modelos vectoriales de correccioacuten de error (VECM) se encuadran en esta liacutenea (Johansen 1995) asiacute como los meacutetodos de factorizacioacuten propuestos por Tjostheim y Paulsen (1982)

Por uacuteltimo la plena aplicacioacuten de los procedimientos de simulacioacuten de tipo Monte Carlo sobre cadenas de Markov (Gibbs sampler) permitiraacuten una aplicashycioacuten muy general de los principios de estimacioacuten bayesiana caracteriacutesticos de los modelos aquiacute analizados veacutease Li y Tsay (1998) y LeSage (1999)

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El programa por excelencia para la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR es el RATS (Regression Analysis of Time Series) desarrollado inicialmente por Doan y Litterman en el Banco de la Reserva Federal de Minneapolis Acerca del misshymo puede consultarse su paacutegina en Internet en la direccioacuten httpwwwestimacom

El profesor de la Universidad de Toledo (Ohio USA) James LeSage dispone en su paacutegina de Internet de una extensa e interesante libreriacutea de programas Mashytlab para estimar modelos BVAR Dicha libreriacutea incluye funciones muy sofisticashydas como por ejemplo las que permiten la aplicacioacuten del meacutetodo de Monte

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Carlo sobre cadenas de Markov para estimar los BVAR La direccioacuten es httpjpleconutoledoedufacultylesage Asimismo la paacutegina del profesor de la Universidad de Princeton (New Jersey USA) Christopher Sims contiene artiacutecushylos y programas uacutetiles httpwwwprincetonedu~sims

Los modelos VAR y VARMA pueden ser estimados y analizados mediante el paquete SCA (Scientific Computing Associates) desarrollado por Liu y Hudak con la colaboracioacuten de Tiao Bell etc Consuacuteltense sus especificaciones en httpwwwscausacom

La paacutegina del servicio de estudios del Banco de la Reserva Federal de Minshyneapolis contiene una excelente y completa compilacioacuten de algunos de los trashybajos que dieron origen a los modelos BVAR httpwwwminneapolisfedorg En el Banco de la Reserva Federal de Atlanta tambieacuten se ofrecen diversos artiacuteshyculos relacionados con los modelos BVAR httpwwwfederal reserve bank atlantaorg

Sobre el modelo de seleccioacuten de cartera de Black-Litterman puede consulshytarse la paacutegina del profesor de la Fuqua School of Business - Duke University (North Carolina USA) Campbell Harvey httpwwwcampbellharveyfuquadukeedu

Finalmente el autor estaacute desarrollando una libreriacutea de programas Matlab pashyra la estimacioacuten y anaacutelisis de modelos BVAR estacionales que puede ser solicitashyda a la direccioacuten de correo electroacutenico emquilisinees

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mdash 37 mdash

NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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ENDERS W (1995) Applied econometric time series John Wiley and Sons New York Estados Unidos de Ameacuterica

ESPASA A y CANCELO JR (1993) Meacutetodos cuantitativos para el anaacutelisis de la coshyyuntura econoacutemica Alianza Editorial Madrid Espantildea

GONZALO J (1994) Five alternative methods for estimating long-run equilishybrium relationships Journal of Econometrics vol 60 pp 203-33

GORDON RJ (1993) Introduction continuity and change in theory behavior and methodology en Gordon RJ (Ed) The american business cycle NBER Studies in Business Cycles vol 25 The University of Chicago Press Chicago Estados Unidos de Ameacuterica

HARVEY AC (1989) Forecasting structural time series and the Kalman filter Cambridge University Press Cambridge Reino Unido

HARVEY AC y SCOTT A (1994) Seasonality in dynamic regression models Economic Journal vol 104 pp 1324-1345

HE G y LITTERMAN RB (1999) The intuition behind Black-Litterman model portfolios Goldman Sachs Fixed Income Research Working Paper

HILLMER SC y TIAO GC (1979) Likelihood function of stationary multiple autoregressive moving average models Journal of the American Statistical Association vol 74 n 367 pp 652-660

HOERL AE y KENNARD RW (1970) Ridge regression biased estimation for non-orthogonal problems Technometrics vol 42 no 1 pp 80-87

INGRAM BF y WHITEMAN CH (1994) Supplanting the Minnesota prior Foshyrecasting macroeconomic time series using real business cycle model priors Journal of Monetary Economics vol 34 pp 497-510

JOHANSEN S (1988) Statistical analysis of cointegrating vectors Journal of Economic Dynamics and Control no 12 pp 231-254

ndash (1991) Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in gaussian vector autoregressive models Econometrica vol 59 no 6 p

r autp 155

to oregr1-1580

ndash (1995) Likelihood-based inference in cointegrated vec essive moshydels Oxford University Press Oxford Reino Unido

JUDGE GC GRIFFITHS WE CARTER HILL R y LEE TC (1980) The theory and practice of econometrics John Wiley and Sons New York Estados Unidos de Ameacuterica

LESAGE JP (1999) Applied econometrics using MATLAB University of Tole-do (Ohio) Department of Economics Documento Interno

LI H y TSAY RS (1998) A unified approach to identifying multivariate time series models Journal of the American Statistical Association vol 93 no 442 paacuteginas 770-782

LITTERMAN RB (1982) Optimal control of the money supply Federal Resershyve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 6 no 3 pp 2-14

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LITTERMAN RB (1984a) Specifying vector autoregressions for macroeconoshymic forecasting Federal Reserve Bank of Minneapolis Staff Report no 92

ndash (1984b) Forecasting and policy analysis with bayesian vector autoregression models Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 paacuteginas 30-41

ndash (1986) Forecasting with bayesian vector autoregressions - five years of exshyperience Journal of Business and Economic Statistics vol 4 no 1 pp 25-38

ndash (1987) The limits of counter-cyclical monetary policy an analysis based on optimal control theory and vector autoregressions Annales dEconomie et de Statistique no 67 pp 125-160

LITTERMAN RB y SUPEL TH M (1983) Using VAR to measure the uncershytainty in Minnesotas revenue forecasts Federal Reserve Bank of Minneaposhylis Quarterly Review vol 7 pp 10-22

LITTERMAN RB y WEISS L (1985) Money real interest rates and output a reinshyterpretation of postwar US data Econometrica vol 53 n o 1 pp 129-156

LIU LM (1986) Multivariate time series analysis using vector ARMA models SCA Monograph

LUCAS RE (1976) Econometric policy evaluation a critique en Brunner K y Meltzer AH (Eds) The Phillips curve and labor markets Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy vol 1 pp 19-46

LUCAS RE y SARGENT TJ (1979) After keynesian macroeconomics Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 3 no 2 pp 1-16

LUumlTKEPOHL H (1991) Introduction to multiple time series analysis Springer Verlag Berliacuten Alemania

MARAVALL A (1993) Stochastic linear trends Models and estimators Journal of Econometrics no 56 pp 5-37

PENtildeA D (1987) Estadiacutestica Modelos y meacutetodos Vol 2 Modelos lineales y series temporales Alianza Editorial Madrid Espantildea

ndash (1990) Cointegracioacuten y reduccioacuten de dimensionalidad en series temporales multivariantes Cuadernos Econoacutemicos de ICE no 44 pp 109-126

PENtildeA D y BOX GEP (1987) Identifying a simplifying structure in time series Journal of the American Statistical Association vol 82 no 399 pp 836-842

PRESCOTT EC (1977) Should control theory be used for economic stabilization en Brunner K y Meltzer A (Eds) Optimal policies control theory and technology exports Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy vol 7

RAYNAULD J y SIMONATO JG (1993) Seasonal BVAR models Journal of Ecoshynometrics vol 55 pp 203-229

REINSEL GC (1983) Some results on multivariate autoregressive index moshydels Biometrika vol 70 no 1 pp 145-156

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REINSEL G (1993) Elements of multivariate time series analysis Springer Verlag New York Estados Unidos de Ameacuterica

ROBERTSON JC y TALLMAN EW (1999) Vector autoregressions forecasting and reality Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter paacuteginas 4-18

RUNKLE D (1987) Vector autoregressions and reality Journal of Business and Economic Statistics vol 5 no 4 pp 437-442

SARGENT THJ (1979) Estimating vector autoregressions using methods not based on explicit economic theories Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 3 no 3 pp 8-15

SCHMIDT P (1976) Econometrics Marcel Dekker New York Estados Unidos de Ameacuterica

SIMS CHA (1974) Seasonality in regression Journal of the American Statistical Association vol 69 no 347 pp 618-626

ndash (1980) Macroeconomics and reality Econometrica vol 48 no 1 pp 1-48 ndash (1986a) Are forecasting models usable for policy analysis Federal Reserve

Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 10 no 1 pp 2-15 ndash (1986b) BAYESMTH A program for multivariate Bayesian interpolation

University of Minnesota Center for Economic Research Discussion Paper nuacutemero 234

ndash (1993) A nine-variable probabilistic macroeconomic forecasting model en Stock JH y Watson MW (Eds) Business cycles indicators and forecasting NBER Studies in Business Cycles vol 28 Univ of Chicago Press Chicago Estados Unidos de Ameacuterica

ndash (1998) The role of interest rate policy in the generation and propagation of business cycles what has changes since the 30rsquos en Fuhrer JC y Schuh S (Eds) Beyond shocks what causes business cycles Federal Reserve Bank of Boston Conference Series no 42

SIMS CHA y ZHA T (1996) Bayesian methods for dynamic multivariate moshydels Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper no 96-13

THEIL H (1971) Principles of econometrics John Wiley and Sons New York Estados Unidos de Ameacuterica

TIAO GC y BOX GEP (1981) Modelling multiple time series with applications Journal of the American Statistical Association vol 76 no 376 pp 802-816

TIAO GC BOX GEP GRUPE MR HUDAK GB BELL WR y CHANG I (1979) The Wisconsin Multiple Time Series program (WMTS) A preliminary guide Department of Statistics University of Wisconsin Documento Interno

TJOSTHEIM D y PAULSEN J (1982) Empirical identification of multiple time series Journal of Time Series Analysis vol 3 no 4 pp 265-282

mdash 36 mdash

TODD RM (1984) Improving economic forecasting with bayesian vector aushytoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 pp 18-29

ndash (1988 ) Implementing bayesian vector autoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Working Paper no 384

ndash (1990) Vector autoregression evidence on monetarism another look at the robustness debate Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review volumen 14 no 2 pp 1-20

TSAY RS (2000) Notes on univariate time series analysis University of Chishygago Graduate School of Business Documento Interno

TSAY RS PENtildeA D y PANKRATZ AE (1998) Outliers in multiple time seshyries University of Chicago Graduate School of Business Technical Report

VELDE I (1990) Minneapolis Fedrsquos Research Department spanning economic theory and policy Federal Reserve Bank of Minneapolis The Region vol 4 no 2

WALLIS KF (1974) Seasonal adjustment and relations between variables Journal of the American Statistical Association vol 69 no 345 pp 18-31

ZHA T (1998) A dynamic multivariate model for use in formulating policy Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter pp 16-29

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NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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LITTERMAN RB (1984a) Specifying vector autoregressions for macroeconoshymic forecasting Federal Reserve Bank of Minneapolis Staff Report no 92

ndash (1984b) Forecasting and policy analysis with bayesian vector autoregression models Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 paacuteginas 30-41

ndash (1986) Forecasting with bayesian vector autoregressions - five years of exshyperience Journal of Business and Economic Statistics vol 4 no 1 pp 25-38

ndash (1987) The limits of counter-cyclical monetary policy an analysis based on optimal control theory and vector autoregressions Annales dEconomie et de Statistique no 67 pp 125-160

LITTERMAN RB y SUPEL TH M (1983) Using VAR to measure the uncershytainty in Minnesotas revenue forecasts Federal Reserve Bank of Minneaposhylis Quarterly Review vol 7 pp 10-22

LITTERMAN RB y WEISS L (1985) Money real interest rates and output a reinshyterpretation of postwar US data Econometrica vol 53 n o 1 pp 129-156

LIU LM (1986) Multivariate time series analysis using vector ARMA models SCA Monograph

LUCAS RE (1976) Econometric policy evaluation a critique en Brunner K y Meltzer AH (Eds) The Phillips curve and labor markets Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy vol 1 pp 19-46

LUCAS RE y SARGENT TJ (1979) After keynesian macroeconomics Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 3 no 2 pp 1-16

LUumlTKEPOHL H (1991) Introduction to multiple time series analysis Springer Verlag Berliacuten Alemania

MARAVALL A (1993) Stochastic linear trends Models and estimators Journal of Econometrics no 56 pp 5-37

PENtildeA D (1987) Estadiacutestica Modelos y meacutetodos Vol 2 Modelos lineales y series temporales Alianza Editorial Madrid Espantildea

ndash (1990) Cointegracioacuten y reduccioacuten de dimensionalidad en series temporales multivariantes Cuadernos Econoacutemicos de ICE no 44 pp 109-126

PENtildeA D y BOX GEP (1987) Identifying a simplifying structure in time series Journal of the American Statistical Association vol 82 no 399 pp 836-842

PRESCOTT EC (1977) Should control theory be used for economic stabilization en Brunner K y Meltzer A (Eds) Optimal policies control theory and technology exports Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy vol 7

RAYNAULD J y SIMONATO JG (1993) Seasonal BVAR models Journal of Ecoshynometrics vol 55 pp 203-229

REINSEL GC (1983) Some results on multivariate autoregressive index moshydels Biometrika vol 70 no 1 pp 145-156

mdash 35 mdash

REINSEL G (1993) Elements of multivariate time series analysis Springer Verlag New York Estados Unidos de Ameacuterica

ROBERTSON JC y TALLMAN EW (1999) Vector autoregressions forecasting and reality Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter paacuteginas 4-18

RUNKLE D (1987) Vector autoregressions and reality Journal of Business and Economic Statistics vol 5 no 4 pp 437-442

SARGENT THJ (1979) Estimating vector autoregressions using methods not based on explicit economic theories Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 3 no 3 pp 8-15

SCHMIDT P (1976) Econometrics Marcel Dekker New York Estados Unidos de Ameacuterica

SIMS CHA (1974) Seasonality in regression Journal of the American Statistical Association vol 69 no 347 pp 618-626

ndash (1980) Macroeconomics and reality Econometrica vol 48 no 1 pp 1-48 ndash (1986a) Are forecasting models usable for policy analysis Federal Reserve

Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 10 no 1 pp 2-15 ndash (1986b) BAYESMTH A program for multivariate Bayesian interpolation

University of Minnesota Center for Economic Research Discussion Paper nuacutemero 234

ndash (1993) A nine-variable probabilistic macroeconomic forecasting model en Stock JH y Watson MW (Eds) Business cycles indicators and forecasting NBER Studies in Business Cycles vol 28 Univ of Chicago Press Chicago Estados Unidos de Ameacuterica

ndash (1998) The role of interest rate policy in the generation and propagation of business cycles what has changes since the 30rsquos en Fuhrer JC y Schuh S (Eds) Beyond shocks what causes business cycles Federal Reserve Bank of Boston Conference Series no 42

SIMS CHA y ZHA T (1996) Bayesian methods for dynamic multivariate moshydels Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper no 96-13

THEIL H (1971) Principles of econometrics John Wiley and Sons New York Estados Unidos de Ameacuterica

TIAO GC y BOX GEP (1981) Modelling multiple time series with applications Journal of the American Statistical Association vol 76 no 376 pp 802-816

TIAO GC BOX GEP GRUPE MR HUDAK GB BELL WR y CHANG I (1979) The Wisconsin Multiple Time Series program (WMTS) A preliminary guide Department of Statistics University of Wisconsin Documento Interno

TJOSTHEIM D y PAULSEN J (1982) Empirical identification of multiple time series Journal of Time Series Analysis vol 3 no 4 pp 265-282

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TODD RM (1984) Improving economic forecasting with bayesian vector aushytoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 pp 18-29

ndash (1988 ) Implementing bayesian vector autoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Working Paper no 384

ndash (1990) Vector autoregression evidence on monetarism another look at the robustness debate Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review volumen 14 no 2 pp 1-20

TSAY RS (2000) Notes on univariate time series analysis University of Chishygago Graduate School of Business Documento Interno

TSAY RS PENtildeA D y PANKRATZ AE (1998) Outliers in multiple time seshyries University of Chicago Graduate School of Business Technical Report

VELDE I (1990) Minneapolis Fedrsquos Research Department spanning economic theory and policy Federal Reserve Bank of Minneapolis The Region vol 4 no 2

WALLIS KF (1974) Seasonal adjustment and relations between variables Journal of the American Statistical Association vol 69 no 345 pp 18-31

ZHA T (1998) A dynamic multivariate model for use in formulating policy Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter pp 16-29

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NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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REINSEL G (1993) Elements of multivariate time series analysis Springer Verlag New York Estados Unidos de Ameacuterica

ROBERTSON JC y TALLMAN EW (1999) Vector autoregressions forecasting and reality Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter paacuteginas 4-18

RUNKLE D (1987) Vector autoregressions and reality Journal of Business and Economic Statistics vol 5 no 4 pp 437-442

SARGENT THJ (1979) Estimating vector autoregressions using methods not based on explicit economic theories Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 3 no 3 pp 8-15

SCHMIDT P (1976) Econometrics Marcel Dekker New York Estados Unidos de Ameacuterica

SIMS CHA (1974) Seasonality in regression Journal of the American Statistical Association vol 69 no 347 pp 618-626

ndash (1980) Macroeconomics and reality Econometrica vol 48 no 1 pp 1-48 ndash (1986a) Are forecasting models usable for policy analysis Federal Reserve

Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 10 no 1 pp 2-15 ndash (1986b) BAYESMTH A program for multivariate Bayesian interpolation

University of Minnesota Center for Economic Research Discussion Paper nuacutemero 234

ndash (1993) A nine-variable probabilistic macroeconomic forecasting model en Stock JH y Watson MW (Eds) Business cycles indicators and forecasting NBER Studies in Business Cycles vol 28 Univ of Chicago Press Chicago Estados Unidos de Ameacuterica

ndash (1998) The role of interest rate policy in the generation and propagation of business cycles what has changes since the 30rsquos en Fuhrer JC y Schuh S (Eds) Beyond shocks what causes business cycles Federal Reserve Bank of Boston Conference Series no 42

SIMS CHA y ZHA T (1996) Bayesian methods for dynamic multivariate moshydels Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper no 96-13

THEIL H (1971) Principles of econometrics John Wiley and Sons New York Estados Unidos de Ameacuterica

TIAO GC y BOX GEP (1981) Modelling multiple time series with applications Journal of the American Statistical Association vol 76 no 376 pp 802-816

TIAO GC BOX GEP GRUPE MR HUDAK GB BELL WR y CHANG I (1979) The Wisconsin Multiple Time Series program (WMTS) A preliminary guide Department of Statistics University of Wisconsin Documento Interno

TJOSTHEIM D y PAULSEN J (1982) Empirical identification of multiple time series Journal of Time Series Analysis vol 3 no 4 pp 265-282

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TODD RM (1984) Improving economic forecasting with bayesian vector aushytoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 pp 18-29

ndash (1988 ) Implementing bayesian vector autoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Working Paper no 384

ndash (1990) Vector autoregression evidence on monetarism another look at the robustness debate Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review volumen 14 no 2 pp 1-20

TSAY RS (2000) Notes on univariate time series analysis University of Chishygago Graduate School of Business Documento Interno

TSAY RS PENtildeA D y PANKRATZ AE (1998) Outliers in multiple time seshyries University of Chicago Graduate School of Business Technical Report

VELDE I (1990) Minneapolis Fedrsquos Research Department spanning economic theory and policy Federal Reserve Bank of Minneapolis The Region vol 4 no 2

WALLIS KF (1974) Seasonal adjustment and relations between variables Journal of the American Statistical Association vol 69 no 345 pp 18-31

ZHA T (1998) A dynamic multivariate model for use in formulating policy Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter pp 16-29

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NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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TODD RM (1984) Improving economic forecasting with bayesian vector aushytoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review vol 8 no 4 pp 18-29

ndash (1988 ) Implementing bayesian vector autoregressions Federal Reserve Bank of Minneapolis Working Paper no 384

ndash (1990) Vector autoregression evidence on monetarism another look at the robustness debate Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review volumen 14 no 2 pp 1-20

TSAY RS (2000) Notes on univariate time series analysis University of Chishygago Graduate School of Business Documento Interno

TSAY RS PENtildeA D y PANKRATZ AE (1998) Outliers in multiple time seshyries University of Chicago Graduate School of Business Technical Report

VELDE I (1990) Minneapolis Fedrsquos Research Department spanning economic theory and policy Federal Reserve Bank of Minneapolis The Region vol 4 no 2

WALLIS KF (1974) Seasonal adjustment and relations between variables Journal of the American Statistical Association vol 69 no 345 pp 18-31

ZHA T (1998) A dynamic multivariate model for use in formulating policy Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review first quarter pp 16-29

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NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

mdash 39 mdash

PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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NORMAS DE PUBLICACIOacuteN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta coleccioacuten de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehiacuteculo de expresioacuten a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economiacutea Puacuteblica Las normas para la presentacioacuten y seleccioacuten de originales son las siguientes

1 Todos los originales que se presenten estaraacuten sometidos a evaluacioacuten y podraacuten ser directamente aceptados para su publicacioacuten aceptados sujetos a revisioacuten o rechazados

2 Los trabajos deberaacuten enviarse por duplicado a la Subdireccioacuten de Estudios Tributarios Instituto de Estudios Fiscales Avda Cardenal Herrera Oria 378 28035 Madrid

3 La extensioacuten maacutexima de texto escrito incluidos apeacutendices y referencias bibliograacutefiacutecas seraacute de 7000 palabras

4 Los originales deberaacuten presentarse mecanografiados a doble espacio En la primera paacutegina deberaacute aparecer el tiacutetulo del trabajo el nombre del autor(es) y la institucioacuten a la que pertenece asiacute como su direccioacuten postal y electroacutenica Ademaacutes en la primera paacutegina apareceraacute tambieacuten un abstract de no maacutes de 125 palabras los coacutedigos JEL y las palabras clave

5 Los epiacutegrafes iraacuten numerados secuencialmente siguiendo la numeracioacuten araacutebiga Las notas al texto iraacuten numeradas correlativamente y apareceraacuten al pie de la correspondiente paacutegina Las foacutermulas matemaacuteticas se numeraraacuten secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas La bibliografiacutea apareceraacute al final del trabajo bajo la inscripcioacuten ldquoReferenciasrdquo por orden alfabeacutetico de autores y en cada una ajustaacutendose al siguiente orden autor(es) antildeo de publicacioacuten (distinguiendo a b c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y antildeo) tiacutetulo del artiacuteculo o libro tiacutetulo de la revista en cursiva nuacutemero de la revista y paacuteginas

6 En caso de que aparezcan tablas y graacuteficos eacutestos podraacuten incorporarse directamente al texto o alternativamente presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo antes de la bibliografiacutea

7 En cualquier caso se deberaacute adjuntar un disquete con el trabajo en formato word Siempre que el documento presente tablas yo graacuteficos eacutestos deberaacuten aparecer en ficheros independientes Asimismo en caso de que los graacuteficos procedan de tablas creadas en excel estas deberaacuten incorporarse en el disquete debidamente identificadas

Junto al original del Papel de Trabajo se entregaraacute tambieacuten un resumen de un maacuteximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de poliacutetica econoacutemica que se deriven de la investigacioacuten realizada

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas The rules govershyning submission and selection of papers are the following

1 The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication accepted with subjections for revision or rejected

2 The papers shall be sent in duplicate to Subdireccioacuten General de Estudios Tribushytarios (The Deputy Direction of Tax Studies) Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies) Avenida del Cardenal Herrera Oria nordm 378 Madrid 28035

3 The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words

4 The originals should be double spaced The first page of the manuscript should contain the following information (1) the title (2) the name and the institutional affishyliation of the author(s) (3) an abstract of no more than 125 words (4) JEL codes and keywords (5) the postal and e-mail address of the corresponding author

5 Sections will be numbered in sequence with arabic numerals Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page Matheshymatical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence Biblioshygraphical references will appear at the end of the paper under the heading ldquoReferencesrdquo in alphabetical order of authors Each reference will have to include in this order the following terms of references author(s) publishing date (with an a b or c in case there are several references to the same author(s) and year) title of the article or book name of the journal in italics number of the issue and pages

6 If tables and graphs are necessary they may be included directly in the text or alshyternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper before the bibliography

7 In any case a floppy disk will be enclosed in Word format Whenever the docushyment provides tables andor graphs they must be contained in separate files Furshythermore if graphs are drawn from tables within the Excell package these must be included in the floppy disk and duly identified

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the reshysearch is also requested

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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2001

101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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UacuteLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2000

100 Creacutedito fiscal a la inversioacuten en el impuesto de sociedades y neutralidad impositiva Maacutes evidencia para un viejo debate Autor Desiderio Romero Jordaacuten Paacuteginas 40

200 Estudio del consumo familiar de bienes y servicios puacuteblicos a partir de la encuesta de presupuestos familiares Autores Ernesto Carrilllo y Manuel Tamayo Paacuteginas 40

300 Evidencia empiacuterica de la convergencia real Autores Lorenzo Escot y Miguel Aacutengel Galindo Paacuteginas 58

Nueva Eacutepoca

400 The effects of human capital depreciation on experience-earnings profiles Evidence salaried spanish men Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo y J F Sanz Paacuteginas 24

500 Las ayudas fiscales a la adquisicioacuten de inmuebles residenciales en la nueva Ley del IRPF Un anaacutelisis comparado a traveacutes del concepto de coste de uso Autor Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 44

600 Las medidas fiscales de estiacutemulo del ahorro contenidas en el Real Decreto-Ley 32000 anaacutelisis de sus efectos a traveacutes del tipo marginal efectivo Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez Paacuteramo y Nuria Badenes Pla Paacuteginas 28

700 Anaacutelisis de las ganancias de bienestar asociadas a los efectos de la Reforma del IRPF sobre la oferta laboral de la familia espantildeola Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Santiago Aacutelvarez Garciacutea Paacuteginas 32

800 Un marco para la discusioacuten de los efectos de la poliacutetica impositiva sobre los precios y el stock de vivienda Autor Miguel-Aacutengel Loacutepez Garciacutea Paacuteginas 36

900 Descomposicioacuten de los efectos redistributivos de la Reforma del IRPF Autores Jorge Onrubia Fernaacutendez y Mariacutea del Carmen Rodado Ruiz Paacuteginas 24

1000 Aspectos teoacutericos de la convergencia real integracioacuten y poliacutetica fiscal Autores Lorenzo Escot y Miguel-Aacutengel Galindo Paacuteginas 28

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101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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101 Notas sobre desagregacioacuten temporal de series econoacutemicas Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 38

201 Estimacioacuten y comparacioacuten de tasas de rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Autores M Arrazola J de Hevia M Risuentildeo JF Sanz Paacuteginas 28

301 Doble imposicioacuten ldquoefecto clientelardquo y aversioacuten al riesgo Autores Antonio Bustos Gisbert y Francisco Pedraja Chaparro Paacuteginas 34

401 Non-Institutional Federalism in Spain Autor Joan Rosselloacute Villalonga Paacuteginas 32

501 Estimating utilisation of Health care A groupe data regression approach Autor Mabel Amaya Amaya Paacuteginas 30

601 Shapley inequality descomposition by factor components Autores Mercedes Sastre y Alain Trannoy Paacuteginas 40

701 An empirical analysis of the demand for physician services across the European Union Autores Sergi Jimeacutenez Martiacuten Joseacute M Labeaga y Maite Martiacutenez-Granado Paacuteginas 40

801 Demand childbirth and the costs of babies evidence from spanish panel data Autores Joseacute Mordf Labeaga Ian Preston y Juan A Sanchis-Llopis Paacuteginas 56

901 Imposicioacuten marginal efectiva sobre el factor trabajo Breve nota metodoloacutegica y comparacioacuten internacional Autores Desiderio Romero Jordaacuten y Joseacute Feacutelix Sanz Sanz Paacuteginas 40

1001 A non-parametric decomposition of redistribution into vertical and horizontal components Autores Irene Perrote Juan Gabriel Rodriacuteguez y Rafael Salas Paacuteginas 28

1101 Efectos sobre la renta disponible y el bienestar de la deduccioacuten por rentas ganadas en el IRPF Autora Nuria Badenes Plaacute Paacuteginas 28

1201 Seguros sanitarios y gasto puacuteblico en Espantildea Un modelo de microsimulacioacuten para las poliacuteticas de gastos fiscales en sanidad Autora Aacutengel Loacutepez Nicolaacutes Paacuteginas 40

1301 A complete parametrical class of redistribution and progressivity measures Autores Isabel Rabadaacuten y Rafael Salas Paacuteginas 20

1401 La medicioacuten de la desigualdad econoacutemica Autor Rafael Salas Paacuteginas 40

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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1501 Crecimiento econoacutemico y dinaacutemica de distribucioacuten de la renta en las regiones de la UE un anaacutelisis no parameacutetrico Autores Juliaacuten Ramajo Hernaacutendez y Mariacutea del Mar Salinas Jimeacutenez Paacuteginas 32

1601 La descentralizacioacuten territorial de las prestaciones asistenciales efectos sobre la igualdad Autores Luis Ayala Cantildeoacuten Rosa Martiacutenez Loacutepez y Jesus Ruiz-Huerta Paacuteginas 48

1701 Redistribution and labour supply Autores Jorge Onrubia Rafael Salas y Joseacute Feacutelix Sanz Paacuteginas 24

1801 Medicioacuten de la eficiencia teacutecnica en la economiacutea espantildeola El papel de las infraestructuras productivas Autoras Ma Jesuacutes Delgado Rodriacuteguez e Inmaculada Aacutelvarez Ayuso Paacuteginas 32

1901 Inversioacuten puacuteblica eficiente e impuestos distorsionantes en un contexto de equilibrio general Autores Joseacute Manuel Gonzaacutelez-Paacuteramo y Diego Martiacutenez Loacutepez Paacuteginas 28

2001 La incidencia distributiva del gasto puacuteblico social Anaacutelisis general y tratamiento especiacutefico de la incidencia distributiva entre grupos sociales y entre grupos de edad Autor Jorge Calero Martiacutenez Paacuteginas 36

2101 Crisis cambiarias Teoriacutea y evidencia Autor Oacutescar Bajo Rubio Paacuteginas 32

2201 Distributive impact and evaluation of devolution proposals in Japanese local public finance Autores Kazuyuki Nakamura Minoru Kunizaki and Masanori Tahira Paacuteginas 36

2301 El funcionamiento de los sistemas de garantiacutea en el modelo de financiacioacuten autonoacutemica Autor Alfonso Utrilla de la Hoz Paacuteginas 48

2401 Rendimiento de la educacioacuten en Espantildea Nueva evidencia de las diferencias entre Hombres y Mujeres Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 36

2501 Fecundidad y beneficios fiscales y sociales por descendientes Autora Anabel Zaacuterate Marco Paacuteginas 52

2601 Estimacioacuten de precios sombra a partir del anaacutelisis Input-Output Aplicacioacuten a la econoshymiacutea espantildeola AutoraGuadalupe Souto Nieves Paacuteginas 56

2701 Anaacutelisis empiacuterico de la depreciacioacuten del capital humano para el caso de las Mujeres y los Hombres en Espantildea Autores M Arrazola y J de Hevia Paacuteginas 28

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

2002

102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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2801 Equivalence scales in tax and transfer policies Autores Luis Ayala Rosa Martiacutenez y Jesuacutes Ruiz-Huerta Paacuteginas 44

2901 Un modelo de crecimiento con restricciones de demanda el gasto puacuteblico como amortiguador del desequilibrio externo Autora Beleacuten Fernaacutendez Castro Paacuteginas 44

3001 A bi-stochastic nonparametric estimator Autores Juan G Rodriacuteguez and Rafael Salas Paacuteginas 24

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102 Las cestas autonoacutemicas Autores Alejandro Esteller Jorge Navas y Pilar Sorribas Paacuteginas 72

202 Evolucioacuten del endeudamiento autonoacutemico entre 1985 y 1997 la incidencia de los Escenarios de Consolidacioacuten Presupuestaria y de los liacutemites de la LOFCA Autores Julio Loacutepez Laborda y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 60

302 Optimal Pricing and Grant Policies for Museums Autores Juan Prieto Rodriacuteguez y Viacutector Fernaacutendez Blanco Paacuteginas 28

402 El mercado financiero y el racionamiento del endeudamiento autonoacutemico Autores Nuria Alcalde Fradejas y Jaime Valleacutes Gimeacutenez Paacuteginas 36

502 Experimentos secuenciales en la gestioacuten de los recursos comunes Autores Lluis Bru Susana Cabrera C Monica Capra y Rosario Gomez Paacuteginas 32

602 La eficiencia de la universidad medida a traveacutes de la funcioacuten de distancia Un anaacutelisis de las relaciones entre la docencia y la investigacioacuten Autores Alfredo Moreno Saacuteez y David Trillo del Pozo Paacuteginas 40

702 Movilidad social y desigualdad econoacutemica Autores Juan Prieto-Rodriacuteguez Rafael Salas y Santiago Aacutelvarez-Garciacutea Paacuteginas 32

802 Modelos BVAR especificacioacuten estimacioacuten e inferencia Autor Enrique M Quilis Paacuteginas 44

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