modelo simplificado para la evaluación del daño en muros...

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS Modelo Simplificado para la Evaluación del Daño en Muros Estructurales Bajos de Concreto Armado Sujetos a Cargas Laterales Tesis presentada en cumplimiento parcial de los requisitos para la obtención del título de Doctor en Ciencias Aplicadas Candidato: Ingº Edward D. Thomson B. Tutor: Prof. Julio Flórez López Mérida, Venezuela Junio de 2003

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA DOCTORADO EN CIENCIAS APLICADAS

Modelo Simplificado para la Evaluación del Daño en

Muros Estructurales Bajos de Concreto Armado

Sujetos a Cargas Laterales

Tesis presentada en cumplimiento parcial de los requisitos para la obtención del título de

Doctor en Ciencias Aplicadas

Candidato: Ingº Edward D. Thomson B.

Tutor: Prof. Julio Flórez López

Mérida, Venezuela

Junio de 2003

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AGRADECIMIENTOS

Al profesor Julio Flórez López por haberme estimulado y ofrecido su guía

continuamente en el transcurso del desarrollo de este trabajo.

Los profesores Pether Inglessis, Mónica Puglisi y Ricardo Picón por su ayuda

prestada y su apoyo permanente.

A mi esposa e hijos quienes tuvieron paciencia conmigo.

A los técnicos del Laboratorio de Materiales y Ensayos, Eli Saúl, Oneide, Rafael,

por su valiosa colaboración en la construcción de los especimenes y en el posterior

ensayo de ellos.

En general, a todos los que de una forma u otra contribuyeron a la culminación de

este trabajo.

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CONTENIDO

1. Introducción________________________________________________ 11

1.1 ANTECEDENTES ______________________________________________ 14

1.2 OBJETIVOS ___________________________________________________ 14

2. REVISION BIBLIOGRAFICA_________________________________ 15

2.1 Mecanismos de resistencia al corte. ________________________________ 15

2.2 Estado actual del conocimiento en relación a la predicción de la resistencia

de muros estructurales a cargas laterales monotónicas.___________________________ 18

2.3 Estado del arte en el análisis no-lineal de muros estructurales sometidos a

cargas horizontales de carácter histerético._____________________________________ 22

3. Programa experimental _______________________________________ 25

3.1 Introducción ___________________________________________________ 25

3.2 Definición geométrica de los muros y sus características resistentes _____ 25

3.3 Descripción del sistema de cargas__________________________________ 27

3.4 Descripción del sistema de adquisición de datos ______________________ 28

3.5 Resultados experimentales________________________________________ 28

4. Modelo de daño por corte para acciones monotónicas ______________ 40

4.1 Introducción ___________________________________________________ 40

4.2 Desplazamientos generalizados ____________________________________ 41

4.3 Deformaciones generalizadas y esfuerzos generalizados de un miembro __ 41

4.4 Fuerzas internas generalizadas ____________________________________ 42

4.5 Fuerzas externas________________________________________________ 43

4.6 Ecuaciones de compatibilidad _____________________________________ 43

4.7 Ecuaciones de equilibrio _________________________________________ 45

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4.8 Ley de comportamiento para el caso elástico_________________________ 46

4.9 Ley de comportamiento para modelos elasto-plásticos degradables ______ 47

4.10 Función de fluencia de un miembro dañado _________________________ 52

4.11 Identificación de la función de resistencia al agrietamiento_____________ 52

4.12 Cálculo de los parámetros del modelo ______________________________ 54

4.13 Significado físico de la variable de daño por corte ____________________ 57

5. Modelo de daño por corte para acciones histeréticas________________ 63

5.1 Ley de estado para un miembro sometido a cargas histeréticas _________ 63

5.2 Ley de evolución del daño ________________________________________ 65

5.3 Ley de evolución del daño con fatiga de bajo ciclaje___________________ 66

5.4 Ley de evolución de las deformaciones permanentes para el caso histerético

69

6. Implementación numérica del modelo histerético en ABAQUS _______ 76

6.1 Introducción ___________________________________________________ 76

6.2 Resolución numérica de una estructura de muros con daño por corte ____ 77

6.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN ABAQUS. ________________ 86

7. Simulaciones numéricas ______________________________________ 96

7.1 Introducción ___________________________________________________ 96

7.2 Ensayo del muro MC-04 _________________________________________ 96

7.3 Simulación de un muro ensayado por Paulay ________________________ 98

7.4 Simulación de un muro de tres niveles ensayado por Vulcano _________ 102

8. Conclusiones ______________________________________________ 106

9. RECOMENDACIONES _____________________________________ 108

10. REFERENCIAS ___________________________________________ 109

11. APÉNDICE A _____________________________________________ 113

11.1 Procedimiento para el cálculo de los parámetros del modelo __________ 113

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11.2 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-01 ___________ 115

11.3 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-02 ___________ 116

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Tipos de muros estructurales ____________________________________ 12

Figura 1.2 Definición de variables geométricas ______________________________ 13

Figura 2.1 Falla por tracción diagonal ______________________________________ 16

Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal ________________________________ 16

Figura 2.3 Falla por compresión diagonal ___________________________________ 17

Figura 2.4 Aplastamiento generalizado del concreto___________________________ 17

Figura 2.5 Falla por deslizamiento_________________________________________ 18

Figura 3.1 Vista del sistema de carga el los muros ____________________________ 27

Figura 3.2 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-01 ___________ 28

Figura 3.3 Ensayo del Muro MC-01 _______________________________________ 29

Figura 3.4 Estado del muro MC-01 al fin del ensayo __________________________ 29

Figura 3.5 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-02 ___________ 30

Figura 3.6 Ensayo del muro MC-02 _______________________________________ 30

Figura 3.7 Estado del muro MC-02 al final del ensayo _________________________ 31

Figura 3.8 Preparación del muro MC-03 ____________________________________ 32

Figura 3.9 Historia de desplazamientos para el muro MC-04 ____________________ 32

Figura 3.10 Ensayo del muro MC-04 ______________________________________ 33

Figura 3.11 Estado del muro MC-04 al final del ensayo ________________________ 33

Figura 3.12 Historia de desplazamientos para muros MC-05, MC-06 y MC-07 _____ 34

Figura 3.13 Ensayo del muro MC-05 ______________________________________ 35

Figura 3.14 Ensayo del muro MC-06 ______________________________________ 35

Figura 3.15 Ensayo del muro MC-07 ______________________________________ 35

Figura 3.16 Estado del muro MC-05 al final del ensayo ________________________ 36

Figura 3.17 Estado del muro MC-06 al final del ensayo ________________________ 36

Figura 3.18 Estado del muro MC-07 al final del ensayo ________________________ 37

Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del ensayo ___________ 38

Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC-06 ______________________________ 38

Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC-07 __________________ 39

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Figura 4.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i” ________________________ 41

Figura 4.2 Deformaciones generalizadas____________________________________ 42

Figura 4.3 Esfuerzos generalizados ________________________________________ 42

Figura 4.4 Fuerzas internas de un miembro__________________________________ 42

Figura 4.5 Fuerzas externas ______________________________________________ 43

Figura 4.6 Desplazamientos diferenciales del nodo “i”_________________________ 44

Figura 4.7 Ensayo del muro MC-01 _______________________________________ 53

Figura 4.8 Función de resistencia al agrietamiento ____________________________ 54

Figura 4.9 Simulación del ensayo del muro MC-01 ___________________________ 55

Figura 4.10 Simulación del ensayo del muro MC-02 __________________________ 56

Figura 4.11 Muro MC-01 ∆=4 mm ds = 0,16 ______________________________ 57

Figura 4.12 Muro MC-01 ∆=6 mm ds = 0,31 ______________________________ 58

Figura 4.13 Muro MC-01 ∆=8 mm ds = 0,47 ______________________________ 58

Figura 4.14 Muro MC-01 ∆=10 mm ds = 0,59 _____________________________ 59

Figura 4.15 Muro MC-02 ∆=6 mm ds = 0,17 ______________________________ 59

Figura 4.16 Muro MC-02 ∆=8 mm ds = 0,27 ______________________________ 60

Figura 4.17 Muro MC-02 ∆=10 mm ds = 0,36 _____________________________ 60

Figura 4.18 Muro MC-02 ∆=14 mm ds = 0,51 _____________________________ 61

Figura 4.19 Muro MC-02 ∆=16 mm ds = 0,57 _____________________________ 61

Figura 4.20 Muro MC-02 ∆=18 mm ds = 0,63 _____________________________ 62

Figura 4.21 MC-02 ∆=20 mm ds = 0,67 __________________________________ 62

Figura 5.1 Significado físico de las variables de daño__________________________ 64

Figura 5.2 Superposición de ensayos MC-05, MC-06 y MC-07 __________________ 70

Figura 5.3 Fricción de Coulomb __________________________________________ 71

Figura 5.4 Interacción entre funciones de fluencia ____________________________ 75

Figura 5.5 Efecto del parámetro γ sobre los lazos histeréticos ___________________ 75

Figura 6.1 Flujograma general____________________________________________ 87

Figura 6.2 Flujograma UEL______________________________________________ 87

Figura 6.3 Flujograma SUPERDEG _______________________________________ 89

Figura 6.4 Flujograma DEFTOT __________________________________________ 90

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Figura 6.5 Flujograma DEG _____________________________________________ 92

Figura 6.6 Flujograma RESIDUAL________________________________________ 93

Figura 6.7 Flujograma RESIDU __________________________________________ 94

Figura 6.8 Flujograma CAL_JACOB ______________________________________ 95

Figura 7.1 Ensayo del muro MC-04 _______________________________________ 97

Figura 7.2 Simulación del ensayo del muro MC-04 ___________________________ 98

Figura 7.3 Espécimen Wall 1 de Paulay ____________________________________ 99

Figura 7.4 Ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay __________________________ 101

Figura 7.5 Simulación del ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay ______________ 101

Figura 7.6 Sección transversal Specimen 6 de Vulcano _______________________ 103

Figura 7.7 Proyección vertical del Specimen 6 de Vulcano ____________________ 103

Figura 7.8 Ensayo del Specimen 6 de Vulcano ______________________________ 104

Figura 7.9 Simulación del Specimen 6 de Vulcano___________________________ 105

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LISTA DE TABLAS

Tabla 3.1 Dimensiones de los muros _______________________________________ 26

Tabla 3.2 Características del refuerzo en muros ______________________________ 27

Tabla 4.1 Características resistentes de los muros MC-01 y MC-02_______________ 57

Tabla 4.2 Parámetros del modelo para los muros MC-01 y MC-02 _______________ 57

Tabla 7.1 Características resistentes del muro MC-04 _________________________ 96

Tabla 7.2 Parámetros del modelo para el muro MC-04_________________________ 97

Tabla 7.3 Características de los especimenes de Paulay _______________________ 100

Tabla 7.4 Características resistentes del muro Wall 1 de Paulay ________________ 100

Tabla 7.5 Parámetros del modelo para el muro Wall 1 de Paulay________________ 100

Tabla 7.6 Propiedades resistentes del Specimen 6 de Vulcano __________________ 103

Tabla 7.7 Parámetros del modelo para el Specimen 6 de Vulcano _______________ 104

Tabla 11.1 Características resistentes del muro MC-01 _______________________ 116

Tabla 11.2 Parámetros del modelo para el muro MC-01_______________________ 116

Tabla 11.3 Características resistentes del muro MC-02 _______________________ 117

Tabla 11.4 Parámetros del modelo para el muro MC-02_______________________ 117

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RESUMEN

En este trabajo se presenta el desarrollo de un nuevo modelo simplificado de daño

por corte que toma en cuenta la reducción de rigidez y resistencia debida al agrietamiento

diagonal y las deformaciones permanentes que ocurren debido a la fluencia del refuerzo y

al deslizamiento por corte a través de las grietas. El modelo está basado en los principios

de la mecánica de la fractura y la mecánica del daño en medios continuos.

En el capítulo 1 se introduce el tema de muros de cortante y sus modos de falla.

En el capítulo 2 se revisa la literatura disponible sobre el análisis no lineal de muros

de corte de concreto armado.

En el capítulo 3 se presenta el programa experimental desarrollado con el fin de

calibrar el modelo de daño propuesto.

En el capítulo 4 se desarrollan las expresiones del modelo para cargas monotónicas.

Se propone una función de fluencia y una función de daño basada en el criterio de

Griffith. Se explica la identificación de la función de resistencia al agrietamiento

necesaria para la aplicación del criterio de Griffith. Se presenta la simulación numérica

de dos muros ensayados bajo carga monotónica.

En el capítulo 5 se desarrollan las expresiones del modelo para cargas histeréticas.

Se generaliza la función de fluencia para incluir efectos de endurecimiento isótropo y se

agrega una función de deslizamiento por corte para tomar en cuenta el estrangulamiento

de los lazos histeréticos. Se supone comportamiento unilateral para generalizar la

función de daño para cargas histeréticas.

En el capítulo 6 se explica la implementación del modelo en un programa de

elementos finitos comercial (ABAQUS, 2001), como un elemento de usuario.

En el capítulo 7 se realizan varias simulaciones numéricas de ensayos

experimentales.

En el capítulo 8 se presentan las conclusiones y en el capítulo 9 las

recomendaciones.

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1. INTRODUCCIÓN

Los muros estructurales de concreto armado comprenden todos aquellos elementos

verticales de una estructura cuyas secciones transversales son de forma alargada, es decir,

su largo es mucho mayor que su espesor. En la Figura 1.1 se muestran diferentes tipos de

muros estructurales que se diferencian tanto por su sección transversal como por su forma

en elevación.

Los muros estructurales son muy usados para dar a las estructuras resistencia ante

cargas laterales provenientes de sismos, viento, etc. Tienen la ventaja de poseer una alta

rigidez y elevada resistencia a dichas cargas siempre que estén aplicadas dentro de su

plano.

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Alzado Sección Alzado Sección

concreto

huecos

hueco

Alzado Sección Alzado Sección

concreto

huecos

hueco

Figura 1.1 Tipos de muros estructurales

De acuerdo a su comportamiento, pueden clasificarse en:

Muros de corte: las deflexiones y la resistencia son controladas por esfuerzos

cortantes.

Muros de corte y flexión: las deflexiones y la resistencia son controladas por

esfuerzos de flexión.

Muros dúctiles: poseen buenas características de disipación de energía bajo cargas

reversibles.

Una característica importante de los muros estructurales es el cociente H/Lw (H:

altura del muro, Lw: largo del muro, ver Figura 1.2). Se ha determinado de manera

aproximada que para H/Lw>2 las deflexiones están dominadas por los efectos de flexión,

mientras que para H/Lw<1,5 las deflexiones están dominadas por los efectos de corte.

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Lw

H

tV

Lw

H

tV

Figura 1.2 Definición de variables geométricas

El presente trabajo se limita al estudio de muros estructurales de pequeña altura

(“low-rise shearwalls” o “squat shearwalls” en inglés) con H/Lw<1,5 , cuyo

comportamiento está dominado por corte. Debido a esto la ductilidad que se puede lograr

en estos muros es muy limitada. La razón es que los mecanismos de resistencia al corte

en elementos de concreto armado son muy frágiles y no permiten desarrollar una

ductilidad muy grande en comparación con los mecanismos de resistencia a flexión, que

por naturaleza son muy dúctiles.

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1.1 ANTECEDENTES

Desde el año 1991 se ha venido desarrollando en la Universidad de Los Andes un

modelo simplificado de daño para miembros de concreto armado (ver Referencias:

Flórez-López, J. 1993a , 1993b, 1995; Cipollina, A. 1992; Puglisi, M. 1994; Thomson,

E. 1996, Thomson, et al, 1998). A través del tiempo se ha ido refinando dicho modelo

hasta incluir en el estado actual varios efectos como: plasticidad y daño bajo cargas

monotónicas e histeréticas, daño por fatiga de bajo ciclaje, secciones asimétricas y el

efecto de la carga axial. Dicho modelo aunque bastante refinado requiere de mejoras, ya

que solamente es capaz de describir adecuadamente el comportamiento de algunos

miembros de concreto armado, en los cuales los esfuerzos producidos por flexión son los

que controlan el comportamiento no-lineal.

1.2 OBJETIVOS

En algunos miembros de concreto armado, principalmente en muros estructurales,

sucede que el comportamiento no-lineal es controlado por la magnitud de los esfuerzos

de corte antes que por los esfuerzos debidos a flexión. De allí que en el presente proyecto

se desarrolla un modelo capaz de modelar miembros dominados por corte, siguiendo los

lineamientos generales de la mecánica de la degradación.

Una vez desarrollado y refinado dicho modelo, se demuestra la posibilidad de

integrar este modelo con el desarrollado anteriormente para miembros dominados por

efectos de flexión.

Como culminación, se demuestra la aplicabilidad práctica de la utilización de estos

modelos para la evaluación de estructuras existentes bajo sismos reales, así como la

posibilidad de evaluar diseños de edificaciones nuevas con el fin de predecir su

comportamiento durante un sismo y poder mejorar el diseño de tal forma que el daño

durante un movimiento sísmico pueda ser controlado adecuadamente para evitar un

colapso catastrófico de la estructura.

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2. REVISION BIBLIOGRAFICA

2.1 Mecanismos de resistencia al corte.

Paulay, et.al. (1982) describen los mecanismos de resistencia a corte presentes en

muros de poca altura, los cuales se mencionan a continuación.

2.1.1 Fallas por tracción diagonal.

Cuando el refuerzo horizontal por corte es insuficiente, puede desarrollarse un

plano de falla diagonal como se muestra en la Figura 2.1. Este modo de falla está

controlado casi exclusivamente por la resistencia del refuerzo horizontal en el muro. Una

falla por tracción diagonal también puede desarrollarse a lo largo de un plano de falla

más inclinado (Figura 2.2). Si existe la posibilidad de transferencia de cortante por la

porción restante del muro, tal grieta diagonal no necesariamente conduce a la falla. La

prevención de la falla por tracción diagonal en muros estructurales resistentes a sismos

debe lograrse por medio del diseño de suficiente refuerzo horizontal capaz de transferir

un cortante sustancialmente mayor al que produce la fluencia del acero vertical por

flexión.

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Figura 2.1 Falla por tracción diagonal

Figura 2.2 Falla parcial por tracción diagonal

2.1.2 Fallas por compresión diagonal.

Cuando el esfuerzo cortante promedio en el muro es grande y existe adecuado

refuerzo horizontal, el concreto puede aplastarse bajo compresión diagonal como se

muestra en la Figura 2.3.

Cuando se aplica carga cíclica reversible de tal forma que dos conjuntos de

agrietamientos diagonales se han desarrollado (Figura 2.4), la falla por compresión

diagonal puede ocurrir a un nivel de cortante mucho menor. Las grietas diagonales que

se intersectan, y que se abren y cierran de manera cíclica con la carga, reducen

considerablemente la resistencia a compresión del concreto. A menudo el aplastamiento

del concreto se extiende rápidamente a lo largo del muro (Figura 2.4). La falla por

compresión diagonal resulta en una dramática e irrecuperable pérdida de resistencia. Por

lo tanto, la falla por compresión diagonal es muy indeseable en muros que deberían

responder de una manera dúctil. La limitación del máximo esfuerzo cortante que ocurre

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en el momento de alcanzarse la máxima resistencia a flexión permite verificar que una

falla por compresión diagonal no impida el desarrollo de un comportamiento dúctil.

Figura 2.3 Falla por compresión diagonal

Figura 2.4 Aplastamiento generalizado del concreto

2.1.3 Fallas por deslizamiento a lo largo de un plano horizontal.

Las fallas por tracción diagonal y por compresión diagonal pueden prevenirse

mediante la colocación de suficiente refuerzo horizontal y la limitación del esfuerzo

cortante nominal en el muro, como se ha descrito antes. Luego, se esperaría que las

deformaciones inelásticas requeridas para disipación de energía podrían desarrollarse

principalmente en la deformación post-fluencia del acero vertical por flexión. Sin

embargo, después de varios ciclos de carga reversible que produzcan fluencia apreciable

en el refuerzo vertical, puede ocurrir deslizamiento a lo largo de grietas de flexión que se

interconectan y forman un plano aproximadamente horizontal (Figura 2.5). Tales

desplazamientos son responsables de una reducción significativa de rigidez,

particularmente para valores pequeños de la carga horizontal, y consecuentemente, una

reducción de la disipación de energía.

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Figura 2.5 Falla por deslizamiento

2.2 Estado actual del conocimiento en relación a la predicción de

la resistencia de muros estructurales a cargas laterales

monotónicas.

La resistencia de muros estructurales a cargas laterales es función de diversos

parámetros. A continuación se transcriben las ecuaciones que describen la resistencia

lateral de estos muros en función del tipo de falla que se pueda producir.

2.2.1 Resistencia lateral asociada a la resistencia a flexión (Vnf).

La resistencia a flexión de un muro se puede determinar aplicando la teoría

convencional de columnas de concreto armado, con las hipótesis comúnmente aceptadas.

Como es bien sabido, esta resistencia es principalmente función de la cuantía de refuerzo

vertical en el muro. Para el caso particular de muros con refuerzo vertical uniforme,

Cárdenas, et al (1973) propusieron la siguiente ecuación:

0,5 1 1nn s y w

s y w

N cM A f LA f L

⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ecuación 2.1

donde,

: es el área total de acero de refuerzo vertical en el muro: es el esfuerzo de fluencia del refuerzo vertical

: longitud del muro (ver Fig. 1.2): carga axial que actúa simultáneamente en la

s

y

w

n

Af

LN secciónc : profundidad del eje neutro en la sección

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Esta ecuación se obtiene al aplicar la teoría convencional de concreto armado para

columnas, introduciendo algunas simplificaciones. De esta manera se obtiene una buena

aproximación a la resistencia a flexión para columnas sometidas a cargas axiales menores

a la balanceada, que es usada extensamente por diseñadores en la actualidad.

La profundidad del eje neutro “c” puede calcularse con:

12 0,85w

cL

ω αω β

+=

+ Ecuación 2.2

donde,

'.n

w c

NL t f

α = Ecuación 2.3

'.ys

w c

fAt L f

ω = Ecuación 2.4

' 2

'1 ' 2c

0,85 280f1,05- 0,65 280

1400

c

c

si f kg cm

si f kg cmβ

⎧ ≤⎪= ⎨

≥ >⎪⎩

concreto del compresión la a aresistenci :f

muro del espesor :t´c

Una vez determinada la resistencia a flexión, la resistencia a cargas laterales se

obtiene por simple equilibrio:

HMV n

nf = Ecuación 2.5

donde, H es la altura del muro o distancia desde el punto de aplicación de la carga

hasta la base del muro.

Se usa acá la notación Vnf para distinguir este valor de la resistencia del muro a

corte propiamente dicho que se denota Vn.

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2.2.2 Resistencia al corte propiamente dicha (Vn).

La resistencia a cortante en muros se debe tanto al concreto (Vc) como al refuerzo

de acero (Vs), siendo el total:

scn VVV += Ecuación 2.6

Para calcular la resistencia del concreto (Vc), deben considerarse dos casos: el

agrietamiento diagonal por corte (“web shear cracking”), y el agrietamiento diagonal por

efectos de flexión (“flexural shear cracking”).

2.2.2.1 Agrietamiento diagonal por corte.

Este agrietamiento comienza en la parte media del muro debido a los esfuerzos

principales de tracción producidos por la carga lateral. La ecuación semi-empírica

deducida usando el círculo de Mohr para calcular los esfuerzos principales en el muro es

la misma que se publica en la Norma ACI 318 (1999) con el número 11-31 y que se

transcribe a continuación para unidades del sistema métrico:

´0,88 .4.

nc c

w

N dV f t dL

= + Ecuación 2.7

donde,

0,8. wd L=

El resto de las variables han sido definidas antes en el texto.

2.2.2.2 Agrietamiento diagonal por flexión.

El agrietamiento diagonal por flexión se refiere a grietas que inicialmente son

debidas a flexión (aparecen en dirección horizontal), pero que luego se inclinan hacia la

dirección diagonal. La expresión deducida considerando la formación de una grieta por

flexión a una altura de Lw/2 por encima de la base del muro, y ajustando con respecto a

resultados experimentales es la que se muestra en la Norma ACI 318 (1999) con el

número 11.32 y que se transcribe a continuación para unidades del sistema métrico:

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21

´

´

0,33 . 0,210,16 . 1

2

nc

wc c

u

u w

N df t dLV f t d M

V L

+= +

− Ecuación 2.8

2.2.2.3 Resistencia al corte provista por el refuerzo horizontal.

Después de la formación de las grietas inclinadas, se puede deducir la expresión que

permite calcular la fuerza cortante capaz de ser resistida por los estribos, que es la

fórmula 11-33 de la Norma ACI (1999):

2

yvs s

dfAV = Ecuación 2.9

donde,

Av: área total de refuerzo horizontal dentro de una distancia s2

s2: separación del refuerzo horizontal

2.2.2.4 Ecuación de Barda (Vnb)

Barda, et al (1977) proponen la siguiente ecuación basada en ensayos realizados

sobre muros bajos con elementos de borde.

' 'nbV 2,12 0,66 .

4.n

c c yw w

NHf f f d tL L t

ρ⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Ecuación 2.10

donde,

'

: ( )

1,59h v

y c

cuantía geométrica de refuerzo el menor entre y

f f

ρ ρ ρ

ρ ≤

2.2.3 Resistencia al agrietamiento por flexión.

La resistencia al agrietamiento por flexión no determina la falla de un muro, sin

embargo, es un valor que es conveniente conocerlo, especialmente a nivel experimental,

cuando se desea describir el comportamiento de un muro desde carga cero hasta la falla.

Es relativamente fácil de determinar aplicando la teoría de la elasticidad. Incluyendo el

efecto de la carga axial se obtiene la siguiente expresión:

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22

2´ .2

. 6.w

cr cw

t LNV ft L H

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ Ecuación 2.11

2.3 Estado del arte en el análisis no-lineal de muros estructurales

sometidos a cargas horizontales de carácter histerético.

Existen en la literatura muchos modelos matemáticos que permiten simular el

comportamiento no-lineal de elementos de concreto de manera adecuada. Estos modelos

pueden clasificarse en tres grandes grupos: a) Modelos de plasticidad concentrada; b)

Modelos de plasticidad distribuida; c) Modelos multicapa.

Los modelos de plasticidad concentrada son mas sencillos y fáciles de implementar,

por cuanto consideran concentrados todos los efectos de no linealidad de los materiales

(plasticidad, agrietamiento, deslizamiento, etc) en resortes o articulaciones de longitud

cero, cuyo comportamiento es descrito mediante reglas mas o menos complicadas,

dependiendo del modelo. Algunos de los modelos más comúnmente usados han sido

descritos por Mahin y Bertero (1975), Bazant y Bhat (1977), Ma, et al (1976) y

Reinhorn, et al (1992). La dificultad inherente a estos modelos está en la determinación

de los parámetros de calibración, los cuales requieren de muchos resultados

experimentales. Aún actualmente, no se conoce bien el efecto de las diferentes variables

de diseño (cuantía del refuerzo, esbeltez del miembro, refuerzo transversal por corte y por

confinamiento, etc), sobre dichos parámetros. En resumen, estos modelos funcionan muy

bien en la simulación de resultados experimentales, pero en análisis reales, cuando no se

pueden ensayar los miembros involucrados, no hay mucha confianza en la escogencia de

los parámetros en cuestión.

Los modelos de plasticidad distribuida son algo mas complicados que los

anteriores, ya que toman en cuenta la distribución de los efectos inelásticos a lo largo de

una longitud finita como es descrito por Kunnath, et al (1990). Son menos populares que

los anteriores porque, además de tener las mismas desventajas de los modelos de

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23

plasticidad concentrada tienen una incertidumbre adicional que es la determinación de la

longitud de la zona en que se distribuyen los efectos inelásticos.

Los modelos multicapa, basados principalmente en el método de elementos finitos,

usan una alta discretización de cada miembro para lograr representar detalladamente cada

material, incluso cada barra de refuerzo. Adicionalmente, el comportamiento de cada

material es representado por leyes constitutivas que generalmente son bien conocidas.

De esta manera, cualquier configuración del concreto y del refuerzo puede ser

representada. Los resultados obtenidos por modelos de este tipo son en general muy

buenos. Sin embargo, aún en el momento actual, con el gran avance en la capacidad de

los sistemas de computación, el costo computacional para resolver estructuras de tamaño

regular a base de estos modelos, es prohibitivo.

Vulcano (1992) clasifica los modelos usados para predecir el comportamiento no

lineal de muros estructurales en dos grandes grupos: a) modelos detallados, derivados de

la mecánica de los sólidos y basados en una interpretación detallada del comportamiento

local (enfoque microscópico); b) modelos basados en una idealización simplificada, que

son capaces de predecir un comportamiento global específico con precisión razonable

(enfoque macroscópico).

El mismo autor analiza algunos modelos macroscópicos que han sido propuestos y

compara los resultados analíticos con los experimentales para evaluar la efectividad y

confiabilidad de los modelos seleccionados. Los modelos analizados son: el modelo de

viga equivalente, el modelo de armadura equivalente y algunas variantes de modelos de

múltiples elementos verticales. Se concluye que los modelos de muros basados en el

enfoque macroscópico son más efectivos que los modelos de elementos finitos

microscópicos, para el análisis no lineal de estructuras de múltiples niveles. Los modelos

de viga equivalente y armadura equivalente presentan muchas limitaciones. En particular

el modelo de viga equivalente no puede representar las variaciones del eje neutro de la

sección, lo cual da origen a errores en la descripción de la interacción del muro con el

resto de los miembros de la estructura. Por su parte, la implementación del modelo de

armadura equivalente tiene muchas dificultades para definir las propiedades de los

elementos de la armadura, especialmente bajo cargas cíclicas. Este autor considera que

los modelos de múltiples elementos verticales resultan ser los mejores para el propósito

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24

mencionado arriba, especialmente en lo que se refiere a tomar en cuenta la variación de la

posición del eje neutro. Según demuestra, un modelo multi-componente predice de

manera precisa la respuesta a flexión, aún usando el mínimo número de elementos

verticales (n=4), con la ventaja de un costo computacional mínimo. Sin embargo, la

precisión de la predicción depende de la correcta escogencia del valor de un parámetro

que depende de la esperada distribución de la curvatura a lo largo del miembro. Se indica

que la incertidumbre en la determinación de este parámetro puede eliminarse al aumentar

el número de elementos verticales, pero a un mayor costo computacional. Además, bajo

esfuerzos cortantes de gran magnitud la interacción de la respuesta a corte y la respuesta

a flexión introduce un elemento adicional de incertidumbre en el modelo que hace difícil

una buena predicción de la respuesta.

Colotti (1993) y Ghobarah (1999) reportan modelos multi-componente similares al

propuesto por Vulcano (1992) incluyendo algunos refinamientos que permiten aproximar

mejor el comportamiento real, sin embargo tienen el mismo problema que todos los

modelos de este tipo, es decir, un alto costo computacional, tanto en la preparación de los

datos de entrada como en el análisis propiamente dicho.

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25

3. PROGRAMA EXPERIMENTAL

3.1 Introducción

El programa experimental fue diseñado para cumplirse en tres etapas. En la

primera etapa se ensayaron dos muros MC-01 y MC-02 bajo cargas monotónicas, con el

fin de permitir la calibración del modelo de daño que se propone en el Capítulo 4. En la

segunda etapa se ensayaron dos muros MC-03 y MC-04 bajo cargas histeréticas con el fin

de validar el modelo de daño que se propone en el Capítulo 5 para cargas histeréticas. En

la tercera etapa se ensayaron tres muros MC-05, MC-06 y MC-07 bajo cargas histeréticas

con el fin de estudiar el efecto de las condiciones de adherencia en las barras horizontales

sobre el efecto de estrangulamiento “pinching” observado en los resultados

experimentales.

Todos los ensayos mencionados arriba se llevaron a cabo en el Laboratorio de

Materiales y Ensayos, de la Facultad de Ingeniería en la Universidad de Los Andes,

Mérida, Venezuela.

3.2 Definición geométrica de los muros y sus características

resistentes

Los muros fueron construidos con dos geometrías básicas: Tipo I y Tipo II. Los

valores de las variables geométricas definidas en la Figura 1.2 se muestran en la Tabla

3.1.

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26

Tabla 3.1 Dimensiones de los muros

Geometría tipo Lw (mm) H (mm) t (mm)Tipo I 585 700 100Tipo II 830 700 100

Los muros MC-01, MC-04, MC-05, MC-06 y MC-07 fueron construidos con la

geometría Tipo I, mientras que los muros MC-02 y MC-03 fueron construidos con la

geometría Tipo II.

Las características del refuerzo para cada muro están dadas en la Tabla 3.2. Las

variables indicadas en la tabla corresponden a: ρv : cuantía de refuerzo vertical en el

muro distribuido uniformemente; ρh : cuantía de refuerzo horizontal en el muro

distribuido uniformemente; As : área de acero vertical adicional en cada extremo del

muro. La resistencia a compresión del concreto a los 28 días en todos los muros fue de

aproximadamente 370 kg/cm2 . La resistencia nominal a la fluencia del refuerzo (fy) fue

de 5000 kg/cm2 en el refuerzo vertical y horizontal uniformemente distribuido (alambres

de 5 mm de diámetro nominal) y de 4200 kg/cm2 en el acero vertical adicional (cabillas

de ½” de diámetro nominal). Todos los muros se diseñaron para que su resistencia a

cortante resultara menor que su resistencia a flexión, siendo esta condición una necesidad

para el desarrollo del modelo de daño por corte como se explica en el capítulo siguiente.

Obviamente, el diseño de un muro dúctil requiere que el modo de falla esté dominado por

flexión ya que este tipo de falla es mas dúctil y fácil de controlar que la falla dominada

por corte, sin embargo, en el presente trabajo la intención no fue de evaluar diseños de

muros dúctiles, sino la de desarrollar un modelo capaz de poder modelar muros que

pudieran fallar por corte antes que por flexión, o que por lo menos su falla estuviera

dominada por efectos de corte.

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27

Tabla 3.2 Características del refuerzo en muros

Muro ρv ρh As (cm2)MC-01 0,0033 0,0026 2,54MC-02 0,0028 0,0026 2,54MC-03 0,0028 0,0026 2,54MC-04 0,0033 0,0026 2,54MC-05 0,0033 0,0026* 3,81MC-06 0,0033 0,0026** 3,81MC-07 0,0033 0,0026*** 3,81

Notas: * barras rectas sin doblar alrededor del acero vertical (mínima adherencia)

** estribos con tuercas soldadas para mejorar adherencia (máxima adherencia

*** estribos dobles, cada estribo abarcando cuatro barras verticales (adherencia med

3.3 Descripción del sistema de cargas

En la Figura 3.1 se muestra una foto del sistema usado para aplicar una carga

horizontal al tope del muro, con el fin de simular el tipo de carga que es impuesto por un

sismo a una estructura conformada por muros estructurales. El sistema consiste en un

marco de carga rígido, un actuador hidráulico de 25.000 kg de capacidad, controlado

electrónicamente a través de un software especializado y una viga de soporte en la base a

la cual se fija el espécimen.

Figura 3.1 Vista del sistema de carga el los muros

Todos los ensayos se realizaron bajo la modalidad de control de desplazamientos,

en la cual la magnitud del desplazamiento se impone en forma de rampa con una

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28

velocidad constante. La velocidad de imposición del desplazamiento usada en todos los

ensayos fue de 0,01 mm/seg, por lo cual se consideran estos ensayos como cuasi-

estáticos.

3.4 Descripción del sistema de adquisición de datos

El sistema de adquisición de datos forma parte integral del sistema de cargas y

permitió el registro de la fuerza aplicada en el tope del muro y el desplazamiento

horizontal correspondiente. El registro de estas dos variables se realizó a una rata de dos

lecturas por segundo, mientras se aplicaba la carga o se descargaba.

Adicionalmente, se registró mediante una cámara digital, el estado de agrietamiento

del muro, a intervalos regulares durante el ensayo.

3.5 Resultados experimentales

3.5.1 Muro MC-01

Este muro fue ensayado bajo cargas monotónicas con descargas repetidas a

diferentes desplazamientos hasta llegar a la falla. En la Figura 3.2 se muestra la historia

de desplazamientos impuestos al muro y en la Figura 3.3 se muestra la historia de carga

vs desplazamiento obtenida en el ensayo.

V=0V=0

V=0V=0

V=0

∆= 2 mm∆= 4 mm

∆= 6 mm∆= 8 mm

∆= 10 mm∆= 12 mm

tiempo

V=0V=0

V=0V=0

V=0

∆= 2 mm∆= 4 mm

∆= 6 mm∆= 8 mm

∆= 10 mm∆= 12 mm

tiempo

Figura 3.2 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-01

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29

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12 14

Desplazamiento horizontal en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Figura 3.3 Ensayo del Muro MC-01

En la Figura 3.4 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.

Como puede observarse, la falla del muro se produjo por agrietamiento debido a tracción

diagonal, lo cual es evidencia de la predominancia de los efectos de corte sobre los

efectos de flexión en concordancia con las hipótesis planteadas en el diseño.

Figura 3.4 Estado del muro MC-01 al fin del ensayo

3.5.2 Muro MC-02

Este muro también fue ensayado bajo cargas monotónicas con descargas repetidas a

diferentes desplazamientos hasta llegar a la falla. En la Figura 3.5 se muestra la historia

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30

de desplazamientos impuestos al muro y en la Figura 3.6 se muestra la historia de carga

vs desplazamiento obtenida en el ensayo.

V=0V=0

V=0V=0

V=0

∆∆=

2 m

m

∆= 4

mm

∆= 6

mm

∆= 8

mm

∆= 1

0 m

m

∆= 1

2 m

m

tiempo

∆= 1

4 m

m

∆= 1

6 m

m

∆= 1

8 m

m

∆= 2

0 m

m

∆= 2

2 m

m

V=0V=0

V=0V=0

V=0

V=0V=0

V=0V=0

V=0

∆∆=

2 m

m

∆= 4

mm

∆= 6

mm

∆= 8

mm

∆= 1

0 m

m

∆= 1

2 m

m

tiempo

∆= 1

4 m

m

∆= 1

6 m

m

∆= 1

8 m

m

∆= 2

0 m

m

∆= 2

2 m

m

V=0V=0

V=0V=0

V=0

Figura 3.5 Historia de desplazamientos impuestos para el muro MC-02

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 5 10 15 20 25

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Figura 3.6 Ensayo del muro MC-02

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31

En la Figura 3.7 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.

Otra vez, puede observarse que la falla del muro se produjo por agrietamiento debido a

tracción diagonal, lo cual es evidencia de la predominancia de los efectos de corte sobre

los efectos de flexión en concordancia con las hipótesis planteadas en el diseño.

Figura 3.7 Estado del muro MC-02 al final del ensayo

3.5.3 Muro MC-03

La modalidad propuesta para el ensayo de este muro fue bajo cargas histeréticas.

Adicionalmente, se realizó un cambio en el dispositivo usado para sujetar el espécimen.

Como puede observarse en la Figura 3.8, se colocaron un par de tirantes verticales que

permitieran introducir una componente vertical de fuerza en ambos extremos del muro.

Desafortunadamente, bajo la acción de estos tirantes, la resistencia lateral del muro se

incrementó por encima de la capacidad del actuador hidráulico, por lo cual el ensayo del

espécimen fue un fracaso. Por esta razón no se incluye en los resultados.

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32

Figura 3.8 Preparación del muro MC-03

3.5.4 Muro MC-04

Este muro se ensayó bajo cargas histeréticas siguiendo una historia de

desplazamientos impuestos como se muestra en la Figura 3.9. La respuesta del muro bajo

esta historia de cargas se muestra en la Figura 3.10.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 100 200 300 400 500 600

tiempo

∆ (mm)

P=0

Figura 3.9 Historia de desplazamientos para el muro MC-04

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33

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (k

g)

Figura 3.10 Ensayo del muro MC-04

En la Figura 3.11 se observa el estado de agrietamiento del muro al final del ensayo.

Figura 3.11 Estado del muro MC-04 al final del ensayo

3.5.5 Muros MC-05, MC-06 y MC-07

Estos muros fueron ensayados todos bajo cargas histeréticas con la misma historia

de desplazamientos como se muestra en la Figura 3.12. En la Figura 3.13, Figura 3.14, y

Figura 3.15, se muestran las respuestas de cada uno de estos muros a la historia de cargas

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dada. Puede observarse que la condición de adherencia en el refuerzo horizontal no tiene

efecto aparente sobre el estrechamiento de los lazos histeréticos (“pinching”), aunque sí

tiene efecto sobre el máximo desplazamiento alcanzado antes de la falla.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 100 200 300 400tiempo

∆ (mm)

P=0

Figura 3.12 Historia de desplazamientos para muros MC-05, MC-06 y MC-07

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za e

n el

tope

(Kg)

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35

Figura 3.13 Ensayo del muro MC-05

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za e

n el

tope

(Kg)

Figura 3.14 Ensayo del muro MC-06

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za e

n el

tope

(Kg)

Figura 3.15 Ensayo del muro MC-07

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36

En la Figura 3.16, Figura 3.17, y Figura 3.18, se muestra el estado final de

agrietamiento de cada uno de estos muros.

Figura 3.16 Estado del muro MC-05 al final del ensayo

Figura 3.17 Estado del muro MC-06 al final del ensayo

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37

Figura 3.18 Estado del muro MC-07 al final del ensayo

Las causas que produjeron diferencias en el máximo desplazamiento alcanzado por

los muros MC-05, MC-06 y MC-07 se analizan a continuación, basadas en la observación

de la condición del refuerzo horizontal al final del ensayo, luego de demolerse el concreto

del muro.

El muro MC-05 alcanzó el máximo desplazamiento horizontal antes de la falla, ya

que a pesar de que las barras horizontales no estaban ancladas alrededor del acero

vertical, sin embargo la adherencia entre las cabillas y el concreto fue buena,

alcanzándose la falla por adherencia sólo en las etapas posteriores del ensayo. La falla

definitiva se produjo por deslizamiento de las cabillas horizontales, ya que luego de

demoler el muro se verificó que no hubo fractura en estas barras como puede observarse

en la Figura 3.19.

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38

Figura 3.19 Condición del refuerzo del muro MC-05 al final del ensayo

El muro MC-06 no alcanzó igual desplazamiento máximo debido a la fractura

prematura del refuerzo horizontal en la zona adyacente a las tuercas que se le soldaron a

este refuerzo. Evidentemente, la presencia de las tuercas obligó a una concentración de la

fluencia del refuerzo en esas secciones, lo cual, después de los ciclos iniciales de carga,

provocó el debilitamiento y posterior fractura de dicho refuerzo. En la Figura 3.20 se

demuestra lo señalado en el texto.

TuercaTuerca

Barra fracturada

TuercaTuerca

Barra fracturada

Figura 3.20 Barra fracturada en el muro MC-06

En forma similar, el muro MC-07 no alcanzó el mismo desplazamiento máximo que

el muro MC-05, debido a que la longitud de cada uno de los estribos era la mitad de la

longitud horizontal del muro. Esto implica que la longitud a lo largo de la cual puede

fluir cada barra es mucho menor. Como resultado, estas barras se fracturaron para un

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desplazamiento menor del muro. En la Figura 3.21 puede observarse la fractura en el

refuerzo horizontal al final del ensayo.

Figura 3.21 Refuerzo horizontal fracturado en el muro MC-07

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40

4. MODELO DE DAÑO POR CORTE PARA

ACCIONES MONOTÓNICAS

4.1 Introducción

Consideremos una estructura (ver Figura 4.1), formada por “m” miembros

deformables conectados entre sí por “n” nodos, sometida a un sistema de cargas

cualquiera. Las variables a considerar en el análisis son: los desplazamientos

generalizados de los nodos, los esfuerzos generalizados de los miembros y las fuerzas

externas aplicadas.

El problema puede considerarse en dos partes: el problema global y el problema

local. En el problema global se resuelve el sistema de ecuaciones de equilibrio de los

nodos para obtener los desplazamientos nodales de la estructura, mientras que en el

problema local se calculan las fuerzas internas y la contribución de cada miembro a los

desplazamientos de la estructura.

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41

i jU1

U2

U3

posición original

posición deformada

i jU1

U2

U3

posición original

posición deformada

Figura 4.1 Desplazamientos generalizados del nodo “i”

4.2 Desplazamientos generalizados

Los desplazamientos generalizados del nodo “i” se representan mediante el vector:

{ } { }321ti U,U,UU = donde U1 es el desplazamiento horizontal del nodo “i”, U2 es el

desplazamiento horizontal del mismo nodo y U3 es la rotación del nodo “i” con respecto a

la posición inicial como se muestra en la Figura 4.1. Los desplazamientos nodales de

toda la estructura se agrupan en el vector: { } { } { } { }( )tn

tj

ti

t U,...,U,UX = . Luego, los

desplazamientos de cualquier miembro “b” que une los nodos “i” y “j” vienen definidos

por el vector: { } { } { }( )tj

ti

tb U,Uq = .

4.3 Deformaciones generalizadas y esfuerzos generalizados de un

miembro

Dado un miembro “b” de una estructura, las deformaciones generalizadas del

miembro se denotan por: { } { }δφφφ ,, jit = , donde: ji y φφ representan las rotaciones de

los extremos “i” y “j” respecto de la cuerda “ij” del miembro respectivamente y δ

representa la deformación axial del miembro, según se muestra en la Figura 4.2.

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42

Lo

Lo+δ

i j

iφ jφ

Lo

Lo+δ

i j

iφ jφ

Figura 4.2 Deformaciones generalizadas

Los esfuerzos generalizados del miembro se denotan por: { } ( )N,M,MM jit = ,

donde: Mi y Mj son los momentos flectores en los extremos “i” y “j” del miembro

respectivamente, y N es la fuerza axial, como se muestra en la Figura 4.3.

Mi

Mj

NMi

Mj

N

Figura 4.3 Esfuerzos generalizados

4.4 Fuerzas internas generalizadas

Las fuerzas internas generalizadas que actúan sobre el miembro en la configuración

deformada, están contenidas en el vector: { } ( )654321t Q,Q,Q,Q,Q,QQ = como se muestra

en la Figura 4.4. Cada una de las fuerzas corresponde a un desplazamiento nodal posible.

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Figura 4.4 Fuerzas internas de un miembro

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43

4.5 Fuerzas externas

Las fuerzas externas se consideran aplicadas en los nodos de la estructura y se

representan por el vector: { } ( )n3321t P,...,P,P,PP = . Se incluyen aquí las cargas aplicadas

a la estructura y las reacciones en los apoyos (ver Figura 4.5).

P1

P2

P3

P3n-2

P3n-1

P3n

P1

P2

P3

P3n-2

P3n-1

P3n

Figura 4.5 Fuerzas externas

La solución al problema planteado como es la determinación de los

desplazamientos generalizados de la estructura bajo un sistema de cargas cualquiera,

requiere del planteamiento de ecuaciones de compatibilidad, ecuaciones de equilibrio y

leyes de comportamiento, los cuales se enuncian a continuación.

4.6 Ecuaciones de compatibilidad

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones generalizadas con

los desplazamientos generalizados para cada miembro () mediante relaciones

geométricas. En la Figura 4.6 se muestran las figuras en base a las cuales se determinan

las ecuaciones de compatibilidad.

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44

dq1

α dφi

dφj

dq2

α

dφi

dφj

dφi = dq3

dq1

α dφi

dφj

dq2

α

dφi

dφj

dφi = dq3

Figura 4.6 Desplazamientos diferenciales del nodo “i”

Al dar el desplazamiento diferencial dqi en el nodo “i”, se pueden determinar las

relaciones que existen entre este desplazamiento y las deformaciones φi, φj y δ. Dichas

relaciones son:

( )

( )

( )qcosdqdL

qsendqd

Lqsendqd

1

1j

1i

αδ

αφ

αφ

−=

=

=

Ecuación 4.1

De manera análoga se obtienen las relaciones para el resto de los desplazamientos

del nodo “i” y del nodo “j”. En resumen, las relaciones de compatibilidad pueden

expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

{ } ( )[ ]{ }dqqBd =φ Ecuación 4.2

donde ( )[ ]qB se conoce con el nombre de “Matriz de transformación” y queda

conformada de la siguiente manera para el caso general de grandes desplazamientos:

( )[ ]

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−−

=

0qsenqcos0qsenqcos

1qL

qcosqL

qsen0qL

qcosqL

qsen

0qL

qcosqL

qsen1qL

qcosqL

qsen

qB

αααα

αααα

αααα

Ecuación 4.3

Para el caso particular de pequeños desplazamientos, ( )[ ] [ ]oBqB ≅ , siendo [ ]oB la

matriz de transformación en la configuración inicial del miembro, por lo que la ecuación

de compatibilidad queda:

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45

{ } [ ]{ }qBo=φ Ecuación 4.4

donde,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

−−

=

0sencos0sencos

1L

cosL

sen0L

cosL

sen

0L

cosL

sen1L

cosL

sen

Boooo

oooo

o

αααα

αααα

αααα

Ecuación 4.5

4.7 Ecuaciones de equilibrio

Se deben plantear ecuaciones de equilibrio para cada nodo de la estructura y para

cada miembro. En las primeras, las fuerzas externas aplicadas deben ser iguales a la

suma de las fuerzas internas, que en el caso estático pueden expresarse en forma matricial

de la siguiente manera:

{ } { }∑=

=−m

1bb 0QP Ecuación 4.6

En el caso dinámico, deben tomarse en cuenta las fuerzas inerciales, quedando

expresada la ecuación matricial:

{ } [ ] ( ){ } ( ) 0tPtqmQ b

m

1b

m

1bb =−+∑ ∑

= =&& Ecuación 4.7

El segundo conjunto de ecuaciones de equilibrio relaciona las fuerzas internas

necesarias para equilibrar los esfuerzos generalizados. De forma matricial, y para el caso

de pequeños desplazamientos, estas ecuaciones son:

{ } [ ] { }MBQ to= Ecuación 4.8

Es relativamente fácil demostrar que la matriz [ ]toB es la traspuesta de la misma

matriz de transformación definida anteriormente para las ecuaciones de compatibilidad.

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46

4.8 Ley de comportamiento para el caso elástico

Esta ley describe la relación entre los esfuerzos y las deformaciones generalizadas

de un miembro de la estructura, y toma en cuenta las características propias del material

que compone la estructura. La expresión típica de esta ley se muestra en la siguiente

ecuación matricial:

{ } [ ]{ }MFo=φ Ecuación 4.9

donde [ ]oF es la matriz de flexibilidad del miembro en coordenadas locales y que

puede definirse de la siguiente manera incluyendo los efectos de las deformaciones de

cortante:

[ ] [ ] [ ] [ ]so

fo

aoo FFFF ++= Ecuación 4.10

Las matrices [ ] [ ] [ ]so

fo

ao Fy F ,F representan la flexibilidad debida a fuerzas axiales,

efectos de flexión y efectos de corte, respectivamente. Estas matrices tienen las

siguientes expresiones de acuerdo a ():

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47

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

EAL00

000

000

F ao Ecuación 4.11

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

000

0EI3L

EI6L

0EI6L

EI3L

F fo Ecuación 4.12

1 1 0

1 1 0

0 0 0

v v

so

v v

GA L GA L

FGA L GA L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 4.13

donde E es el módulo de elasticidad del material, A es el área de la sección

transversal, Av es el área de corte, usualmente el área de la sección transversal dividido

por 1,2 para secciones rectangulares, I es el momento de inercia de la sección transversal,

G es el módulo de elasticidad a cortante y L es la longitud del miembro. Puede notarse

que para valores grandes de L, la componente debida al cortante se reduce mientras que

la componente debida a flexión aumenta. Este es el caso de miembros esbeltos en los que

las deformaciones por cortante pueden despreciarse.

4.9 Ley de comportamiento para modelos elasto-plásticos

degradables

En los modelos que incluyen efectos inelásticos, la relación entre esfuerzos

generalizados y deformaciones generalizadas no es lineal. En estos casos la ley de

comportamiento queda plenamente definida por la ley de estado y las leyes de evolución

de las variables internas incluidas en el modelo. En el caso de miembros que sufren daño

por efectos de flexión, se usa típicamente un modelo de disipación concentrada (Flórez

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48

López, 1993b), en el cual cada miembro se representa mediante un ensamblaje de un

miembro elástico y dos rótulas inelásticas en los extremos, en las cuales se consideran

concentrados todos los efectos inelásticos. En el caso presente se usará un modelo

similar, con la diferencia de que sólo se considerará la posibilidad de daños por efectos de

cortante distribuidos de manera uniforme en el miembro. Esto equivale a suponer que el

miembro no sufre daño ni deformaciones permanentes debidos a efectos de flexión, lo

cual es una simplificación de lo que ocurre en miembros reales, pero necesaria para el

desarrollo inicial del modelo.

En la Mecánica de la Degradación para medios continuos se usa el concepto de

variable de daño para medir la intensidad de microfisuras y microgrietas en un miembro.

Esta variable puede tomar valores en el intervalo [0,1]. El valor cero corresponde a un

material intacto y el valor uno a un material completamente dañado. La ley de estado

para materiales degradables según esta teoría se expresa de la siguiente manera:

( ) ( )1 . . pd Eσ ε ε= − − Ecuación 4.14

donde σ es el esfuerzo nominal, “d” es la variable de daño, E es el módulo de

elasticidad inicial y ε la deformación unitaria. Siguiendo este mismo concepto por

analogía con el modelo desarrollado para flexión por Flórez López (1993b), se introduce

una variable de daño para efectos de cortante (ds) de tal forma que la flexibilidad a

cortante de un miembro dañado puede expresarse de la siguiente manera:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 01 11 1 01 1

0 0 0

v s v s

ss

v s v s

GA L d GA L d

F dGA L d GA L d

⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 4.15

De igual manera que en la Mecánica de la Degradación, esta variable de daño puede

tomar valores en el intervalo [0,1]. Un valor de cero implica un miembro no dañado que

tiene una flexibilidad dada por la ecuación 3.10, mientras que un valor de uno caracteriza

un miembro totalmente dañado con flexibilidad a cortante infinita. Se supone que el

daño evoluciona continuamente desde cero hasta uno en función de las cargas aplicadas

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49

al miembro y siguiendo la ley de evolución del daño descrita posteriormente.

Físicamente, la variable de daño mide el grado de agrietamiento del miembro, es decir, ds

igual a cero indica que no hay agrietamiento, y ds igual a uno representa un miembro tan

agrietado que no posee rigidez por cortante.

Entonces, la matriz de flexibilidad de un miembro degradable queda expresada de la

siguiente manera:

( )[ ] [ ] [ ] ( )[ ]ssf

oa

os dFFFdF ++= Ecuación 4.16

Sustituyendo y sumando los términos de las matrices queda:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 03 1 6 1

1 1 06 1 3 1

0 0

v s v s

sv s v s

L LEI GA L d EI GA L dL LF dEI GA L d EI GA L d

LEA

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥= − + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 4.17

Luego, al invertir la matriz de flexibilidades se obtiene la matriz de rigideces del

miembro, la cual es:

( )[ ] ( )[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡== −

333231

232221

1312111

ss

SSSSSSSSS

dFdS Ecuación 4.18

donde,

( )( )( )( )

2

11 22 2

2

12 21 2

13 23 31 32 33

1 34 *1 12

1 62 *1 12

0 ; S

v s

v s

v s

v s

GA L d EIEIS SL GA L d EI

GA L d EIEIS SL GA L d EI

EAS S S SL

⎧ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦⎪ = =⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦

⎪⎡ ⎤− −⎪⎪ ⎣ ⎦= =⎨⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦

⎪⎪ = = = = =⎪⎪⎩

Ecuación 4.19

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50

Puede notarse que si el coeficiente de cortante ( )2 1v sGA L d− es mucho mayor que

EI, los elementos de la matriz de rigideces tienden a los bien conocidos términos: LEI4

y LEI2 .

Las expresiones para las matrices de flexibilidad y de rigidez en coordenadas

globales (de orden 6x6) pueden obtenerse de las ecuaciones 3.17 a 3.19 aplicando los

métodos convencionales.

La ecuación 3.10 muestra que las deformaciones de un miembro pueden separarse

en tres componentes. La primera componente está relacionada con las fuerzas axiales y

no genera rotaciones en el miembro, solo alargamientos o acortamientos de la cuerda. La

segunda componente está relacionada con los efectos de flexión y la última componente

es debida a efectos de cortante. Cuando las acciones sobre el miembro exceden algún

valor crítico, se producen deformaciones plásticas o permanentes en el miembro. Como

se ha mencionado anteriormente, se supone (en principio) que no ocurren deformaciones

permanentes en la dirección axial ni rotaciones plásticas por flexión. En otras palabras,

solo ocurren deformaciones plásticas debidas a los efectos de corte. Físicamente eso

significa que no ocurre fluencia del refuerzo longitudinal.

Sin embargo, pueden ocurrir deformaciones plásticas debidas a fluencia del

refuerzo transversal. Estas rotaciones plásticas están relacionadas con los efectos de

corte y se tomarán en cuenta en el modelo que se está proponiendo. Una particularidad

de las rotaciones relacionadas con el cortante es que tienen el mismo valor y signo en

ambos extremos. Por lo tanto, la ley de estado para un miembro con deformaciones por

corte, daño y rotaciones plásticas será:

{ } ( ) { }psF d Mφ φ− = ⎡ ⎤⎣ ⎦ Ecuación 4.20

donde el vector de deformaciones plásticas { }pφ tiene la siguiente forma general:

{ } ( ), ,0p p ps sφ φ φ= Ecuación 4.21

Al introducir las variables internas sd y psφ , se hacen necesarias ecuaciones

adicionales para definir el problema, las cuales son conocidas como “Leyes de

Evolución” de las variables internas, cuya definición se describe en la sección que sigue.

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51

4.9.1 Ley de evolución del daño

La energía de deformación complementaria (W*) de un miembro “dañado” es:

{ } ( )[ ]{ }MdFM21W s

t* = Ecuación 4.22

Por lo tanto, de acuerdo a la Mecánica del Daño, la tasa de disipación de energía del

miembro se define como:

s

*

s dWG

∂∂

−= Ecuación 4.23

Sustituyendo las expresiones de M y F(ds) en la ecuación 3.23, la expresión para la

energía complementaria queda:

( ) ( )

( )

* 2 21 12 3 1

16 1

i jv s

i jv s

LW M MEI GA L d

LM MEI GA L d

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

Ecuación 4.24

entonces, según la ecuación 3.23,

( )( ) ( )

( )( )

2 22 2

2

2

1 1 12 1 1

12 1

s i j i jv s v s

i js

v s

G M M M MGA L d GA L d

M MG

GA L d

= + +− −

+=

Ecuación 4.25

Sabiendo que ( )i jV M M L= + es la fuerza cortante en el miembro (en ausencia

de cargas aplicadas al miembro transversales a su eje), puede escribirse:

( )

2

212 1s

v s

V LGGA d

=−

Ecuación 4.26

El criterio de Griffith, que es la base de la Mecánica de la Fractura, establece que

solo puede haber propagación de una grieta si la tasa de disipación de energía es igual a

la resistencia al agrietamiento del miembro, es decir:

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52

( )sss dRG silo so0d =>& Ecuación 4.27

donde R(ds) es la resistencia al agrietamiento del miembro, que es una función del

estado de daño del miembro. Como sucede en la Mecánica de la Fractura, la función de

resistencia al agrietamiento debe ser identificada con la ayuda de resultados

experimentales, lo cual se describe en una sección posterior.

Puede notarse que el daño en el miembro depende (como se ha supuesto al inicio)

de la magnitud de la fuerza cortante. Por ejemplo, un miembro sujeto a flexión pura

( )0mm ji ≠−= no desarrollaría daños por cortante, ya que la tasa de disipación de

energía sería cero.

4.10 Función de fluencia de un miembro dañado

La función de fluencia fs que permite el cálculo de la rotación plástica por cortante p

sφ de un miembro puede derivarse de los mismos principios generales descritos por

Flórez López (1993b). La única diferencia es que en este caso la función de fluencia

depende de la fuerza cortante V:

( )1p

y s s ys

Vf c Vd

φ= − −−

Ecuación 4.28

donde cs y Vy son propiedades dependientes del miembro. La evolución de la

rotación plástica ocurre solo si la función de fluencia se iguala a cero:

0 0ps ysolo si fφ > =& Ecuación 4.29

4.11 Identificación de la función de resistencia al agrietamiento

Para realizar la identificación de la función de resistencia al agrietamiento se realiza

el ensayo de un muro sometido a cargas y descargas repetidas en las cuales se incrementa

sucesivamente el desplazamiento máximo con respecto al ciclo anterior. El muro en

cuestión se diseñó de tal forma que la resistencia a flexión resultara mayor que la

resistencia a fuerza cortante, con el fin de obligar la falla por esta causa. De esta manera

se pretende cumplir con la hipótesis asumida en la propuesta del modelo, donde se

supone que el daño por flexión es despreciable.

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53

Dentro del programa experimental se realizó el ensayo de un muro bajo las

condiciones mencionadas arriba. El espécimen correspondiente se denominó: muro MC-

01. En la Figura 4.7 se muestra la gráfica de la fuerza horizontal aplicada en el tope del

muro con respecto al desplazamiento horizontal resultante en el ensayo.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12 14

Desplazamiento horizontal en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Figura 4.7 Ensayo del muro MC-01

De la Ec. 3.17 puede observarse que la pendiente de cada descarga elástica en el

ensayo tiene la expresión:

( )

11

3 1v s

Z HEI GA H d

=+

Ecuación 4.30

De donde, si Z se calcula del experimento, puede determinarse el valor de la

variable de daño (ds) para cada descarga:

1 11 13

sv

d HGA HZ EI

⎛ ⎞⎜ ⎟

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Ecuación 4.31

De esta manera se puede conocer el daño calculado en cada etapa del experimento.

A la vez puede calcularse el valor de la tasa de disipación de energía (variable

termodinámica asociada al daño, Gs) de la Ec. 3.26 para cada descarga. En la Figura 4.8

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54

se muestra una gráfica de ds vs Gs para este ensayo. Esto nos permite proponer una

ecuación para la resistencia al agrietamiento similar a la propuesta por Cipollina (1992)

para vigas con daño por flexión:

( ) ( )( )

ln 11

ss crs s

s

dR d G q

d−

= +−

Ecuación 4.32

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

Tasa de disipación de energía, Gs (Kg.cm)

Varia

ble

de d

año

(ds)

EnsayoGs=R(ds)

Figura 4.8 Función de resistencia al agrietamiento

4.12 Cálculo de los parámetros del modelo

Los parámetros del modelo (Vy, cs, Gcrs y qs) podrían irse “adivinando” hasta

obtener el mejor ajuste con los resultados experimentales. Sin embargo, es mejor aplicar

un procedimiento analítico basado en el conocimiento de características del muro que

pueden calcularse usando la teoría convencional de concreto armado. Este procedimiento

consiste en el planteamiento y la solución de un sistema de ecuaciones no lineales que se

describe a continuación.

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55

0

0

0

cr sp

p

u

p pu u

Para V V d

Para V V

Para V V dV

Para V V

φ

φ φ

= → =

= → =

= → =

= → =

Ecuación 4.33

donde,

Vcr : fuerza cortante para la cual se produce la primera grieta diagonal en el muro

Vp : fuerza cortante para la cual comienza a fluir el refuerzo horizontal en el muro

Vu : fuerza cortante máxima que soporta el muro p

uφ : rotación plástica última que soporta el muro

En el Apéndice A se describe la solución de este sistema de ecuaciones para el caso

particular de los dos muros ensayados monotónicamente (MC-01 y MC-02). En la Figura

4.9 se muestra la simulación del ensayo del muro MC-01 con los parámetros calculados

de acuerdo al procedimiento descrito arriba. Adicionalmente se muestra en la Figura

4.10 una simulación similar para el muro MC-02.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 2 4 6 8 10 12 14Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za e

n el

tope

(Kg)

EnsayoSimulación

Figura 4.9 Simulación del ensayo del muro MC-01

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56

0,0

5000,0

10000,0

15000,0

20000,0

25000,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za e

n el

tope

(Kg)

EnsayoSimulación

Figura 4.10 Simulación del ensayo del muro MC-02

En la Tabla 4.1 y la Tabla 4.2 están mostrados los valores de las características

resistentes de los muros y los parámetros calculados, los cuales fueron usados en las dos

simulaciones anteriores. Adicionalmente, es necesario acotar que para el cálculo de la

rigidez inicial de los muros se usaron las características de la sección gruesa de concreto

y el módulo de elasticidad del concreto, sin embargo, fue necesario aplicar un factor de

corrección para obtener una pendiente inicial de la curva carga-desplazamiento igual a la

del ensayo. Este factor fue de 0,10 para el muro MC-01 y 0,07 para el muro MC-02. La

diferencia entre la rigidez inicial calculada con las características de la sección gruesa y la

rigidez observada en el ensayo puede ser debida a varios factores. Un factor podría ser el

hecho de que el muro se agrieta por flexión a un nivel de carga muy bajo que es muy

difícil de registrar con el equipo disponible, esto implica que la sección resistente en

realidad es mucho menor que la sección gruesa e interviene adicionalmente el refuerzo.

Otro factor es la flexibilidad del marco de ensayo, que implica que la deformación total

registrada en el tope del muro tiene una componente debida a las deformaciones del

marco de ensayo y los aparejos usados para sujetar el espécimen.

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57

Tabla 4.1 Características resistentes de los muros MC-01 y MC-02

Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-01 1000 2000 14585 0,004MC-02 1000 5000 23700 0,01

( )pu radφ

Tabla 4.2 Parámetros del modelo para los muros MC-01 y MC-02

Muro Vy (Kg) cs (Kg.mm) Gcrs (Kg.mm) qs (Kg.mm)MC-01 2011 9396000 58 -33445MC-02 5081 5931000 64 -98192

4.13 Significado físico de la variable de daño por corte

En esta sección se muestran una serie de fotos que muestran el estado de

agrietamiento del muro con el valor correspondiente de la variable de daño ds calculada

según el modelo propuesto.

De la Figura 4.11 a la Figura 4.14 se muestra la secuencia correspondiente al muro

MC-01.

ds = 0,16ds = 0,16

Figura 4.11 Muro MC-01 ∆=4 mm ds = 0,16

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58

ds = 0,31ds = 0,31

Figura 4.12 Muro MC-01 ∆=6 mm ds = 0,31

ds = 0,47ds = 0,47

Figura 4.13 Muro MC-01 ∆=8 mm ds = 0,47

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59

ds = 0,59ds = 0,59

Figura 4.14 Muro MC-01 ∆=10 mm ds = 0,59

Puede observarse que una vez que se forman las grietas diagonales principales,

éstas sólo crecen ligeramente antes de producirse la falla (en las fotos compare las grietas

marcadas con los números 3, 4 , y 5 que corresponden a los desplazamientos horizontales

6, 8 y 10 mm).

De la Figura 4.15 a la Figura 4.20 se muestra la secuencia correspondiente al muro

MC-02.

ds = 0,17ds = 0,17

Figura 4.15 Muro MC-02 ∆=6 mm ds = 0,17

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60

ds = 0,27ds = 0,27

Figura 4.16 Muro MC-02 ∆=8 mm ds = 0,27

ds = 0,36ds = 0,36

Figura 4.17 Muro MC-02 ∆=10 mm ds = 0,36

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61

ds = 0,51ds = 0,51

Figura 4.18 Muro MC-02 ∆=14 mm ds = 0,51

ds = 0,57ds = 0,57

Figura 4.19 Muro MC-02 ∆=16 mm ds = 0,57

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62

ds = 0,63ds = 0,63

Figura 4.20 Muro MC-02 ∆=18 mm ds = 0,63

ds = 0,67ds = 0,67

Figura 4.21 MC-02 ∆=20 mm ds = 0,67

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63

5. MODELO DE DAÑO POR CORTE PARA

ACCIONES HISTERÉTICAS

5.1 Ley de estado para un miembro sometido a cargas

histeréticas

La energía de deformación complementaria de un miembro dañado sometido a

cargas histeréticas, puede expresarse como:

{ } ( ) ( ){ }* 12 s sW M M F d M F d M+ −

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 5.1

donde, M+ = la parte positiva de M, y M

− = la parte negativa de M, esto es,

0

0

0

0

M M si M y

M de lo contrario

M M si M y

M de lo contrario

+

+

= >

=

= <

=

Ecuación 5.2

Ahora existen dos variables de daño, sd + y sd − , que permiten caracterizar el estado

del agrietamiento por corte bajo acciones positivas y negativas, respectivamente. En la

Figura 5.1 se muestra el significado físico que tienen estas dos variables.

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64

V (+)

sd +

V (-)

sd −

V (+)

sd +

V (-)

sd −

Figura 5.1 Significado físico de las variables de daño

El uso de dos variables de daño independientes permite describir un

comportamiento “unilateral”. El concepto de “unilateralidad” en la mecánica del daño en

medios continuos se asocia a la suposición de que el daño producido bajo acciones

positivas no tiene efecto sobre el comportamiento bajo acciones negativas y viceversa.

Esta idealización debe considerarse como una idealización del comportamiento real y no

como el resultado de observaciones experimentales.

Las matrices de flexibilidad tienen la misma forma básica de la ecuación 4.17,

sustituyendo la variable ds por: sd + y sd − , quedando definidas como:

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 03 61 1

1 1 06 31 1

0 0

v s v s

sv s v s

L LEI EIGA L d GA L d

L LF dEI EIGA L d GA L d

LEA

+ +

++ +

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 5.3

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 03 61 1

1 1 06 31 1

0 0

v s v s

sv s v s

L LEI EIGA L d GA L d

L LF dEI EIGA L d GA L d

LEA

− −

−− −

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = − + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 5.4

Ahora, la ley de estado para miembros con daño por corte bajo cargas reversibles y

tomando en cuenta la posibilidad de deformaciones permanentes, queda definida de la

siguiente manera:

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65

{ } ( ) ( )p s sF d M F d Mφ φ + −+ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 5.5

De nuevo, la introducción de variables internas requiere de ecuaciones adicionales

que permitan describir el comportamiento de ellas.

5.2 Ley de evolución del daño

Se sigue usando el criterio de Griffith para definir la ley de evolución del daño, solo

que ahora existe una expresión para el daño positivo y otra para el daño negativo, como

se indica a continuación.

( )( )

0

0

s s s

s s s

d solo si G R d

d solo si G R d

+ + +

− − −

> >

> >

&

& Ecuación 5.6 a y b

Donde sG+ y sG− se obtienen en forma similar a la ecuación 4.23, es decir,

* *

s ss s

W WG y Gd d

+ −+ −

∂ ∂= − = −

∂ ∂ Ecuación 5.7

Sustituyendo los diferentes términos involucrados y desarrollando las derivadas, se

obtienen las expresiones siguientes.

( )2

22 (1 )i j i j i j

sv s

M M M M M MG

GA L d+ + −+ − ++

+

+ + +=

− Ecuación 5.8

( )2

22 (1 )i j i j i j

sv s

M M M M M MG

GA L d− + −− − +−

+ + +=

− Ecuación 5.9

En este caso puede notarse que la tasa de disipación de energía no depende

exclusivamente del corte, a diferencia del caso monotónico. Sin embargo, si el miembro

no está cargado transversalmente en su longitud (cargas aplicadas solo en los extremos

como es el caso general de muros estructurales), los momentos Mi y Mj tienen el mismo

signo y por lo tanto los términos i jM M+ −

y i jM M− +

desaparecen y quedan

expresiones similares a la ecuación 4.26, y se verifica que la tasa de disipación de energía

depende exclusivamente del corte, como se muestra en las ecuaciones 5.10 y 5.11.

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66

2

22 (1 )sv s

V LGGA d

++=

− Ecuación 5.10

2

22 (1 )sv s

V LGGA d

−−=

− Ecuación 5.11

Se usa la misma función de resistencia al agrietamiento que se usó para acciones

monotónicas, donde las variables y parámetros tienen los mismos significados. Las

expresiones particulares para daño positivo y daño negativo resultan:

( ) ( )( )

ln 1

1s

s crs ss

dR d G q

d

++

+

−= +

− Ecuación 5.12

( ) ( )( )

ln 1

1s

s crs ss

dR d G q

d

−−

−= +

− Ecuación 5.13

Nótese que se está suponiendo la simetría del muro, ya que los parámetros Gcrs y qs

son los mismos para daño positivo y daño negativo. El modelo puede generalizarse si se

desea para muros asimétricos, definiendo parámetros diferentes para acciones positivas y

negativas. La determinación de estos parámetros se realiza de la misma forma que para

el caso monotónico.

Los efectos de fatiga de bajo ciclaje no pueden ser representados por el modelo

propuesto aquí, sin embargo, estos efectos pueden ser incluidos de manera relativamente

sencilla, según Puglisi y Flórez López (1994).

5.3 Ley de evolución del daño con fatiga de bajo ciclaje

Los efectos de fatiga de bajo ciclaje no pueden ser representados por el modelo

descrito en la sección anterior, sin embargo, estos efectos pueden ser incluidos de manera

relativamente sencilla, en forma similar a como lo hicieron Puglisi y Flórez López (1994)

y Thomson, et al (1998).

Las características que tiene el modelo con fatiga de bajo ciclaje son:

• No se introducen nuevas variables internas.

• Se sigue relacionando la evolución del daño con la tasa de disipación de

energía.

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67

• Bajo cargas monotónicas se obtiene la misma respuesta que en el modelo

anterior.

• Se supone que no hay evolución del daño durante las descargas elásticas.

• El incremento del daño es posible durante las fases de carga aun cuando el

valor de la tasa de disipación de energía es menor que la resistencia al

agrietamiento. Esto es, la evolución del daño por efectos de fatiga es

posible.

• Solo se necesita un parámetro adicional.

• Se incluye el criterio de Griffith como un caso particular.

En base a las características indicadas, se propone una ley de evolución del daño

adaptada para muros con daño por corte. Para cargas positivas resulta:

( )

0

ss crs s s

s

s

Gsi G G entonces d GRR

d

de lo contrario d

λ

λ

++ + +

+

+

≥ =∂∂

=

& &

&

Ecuación 5.14

Y, para cargas negativas:

( )

0

ss crs s s

s

s

Gsi G G entonces d GRR

d

de lo contrario d

λ

λ

−− − −

≥ =∂∂

=

& &

&

Ecuación 5.15

Donde, , , crs s sR G G y G+ − han sido definidos anteriormente y los puntos sobre las

variables de daño y sobre la tasa de disipación de energía, representan las derivadas

respecto del tiempo. La constante λ es el nuevo parámetro introducido por la ley de

fatiga y puede tomar valores entre 0 y +∞.

Durante una carga monotónica, las ecuaciones 5.14 y 5.15, y la ley de Griffith dan

la misma evolución del daño, independientemente del parámetro λ , como se muestra a

continuación:

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68

( ) 11

0,

, ; 01 1

s

ss

Para d de acuerdo al criterio de Griffith

GRR G o de manera similarλ

λ

λλ λ

+

++++

>

= = ∀ ≥+ +

&

Ecuación 5.16

Para el caso negativo sucede lo mismo. Puede notarse que al derivar la ecuación

5.16 con respecto al tiempo se obtiene la ecuación 5.14.

Bajo cargas histeréticas, la ley de fatiga (ecuaciones 5.14 y 5.15) y el criterio de

Griffith dan resultados diferentes, ya que, de acuerdo a la ecuación 5.14, puede haber

evolución del daño aun cuando la tasa de disipación de energía es menor que la

resistencia al agrietamiento, R. Las ecuaciones 5.14 y 5.15 caracterizan una evolución

del daño que siempre es positiva o nula ( )0, 0s sd d+ −≥ ≥& & , ya que

0 0 0s sR y R d y R d+ −> ∂ ∂ > ∂ ∂ > .

También puede notarse que la ley de fatiga se hace nuevamente igual al criterio de

Griffith cuando λ tiende a infinito, ya que para valores de la tasa de disipación de

energía (Gs) menores que la resistencia al agrietamiento (R), la relación ( )sG R λ tiende a

cero cuando λ tiende a infinito. En este caso, la evolución del daño solamente es posible

cuando la tasa de disipación de energía es igual a R. Por lo tanto, en ese caso particular,

la evolución del daño dada por la ley de fatiga iguala los valores de daño predichos por el

criterio de Griffith en cualquier caso, aun bajo cargas histeréticas.

De hecho, la constante λ puede considerarse como un “freno de fatiga”. El

máximo efecto de fatiga se consigue cuando λ = 0 y no existe efecto de fatiga alguno,

solo daño frágil, cuando λ = ∞ . En simulaciones realizadas por Puglisi y Flórez López

(1994) y Thomson, et al (1998), se encontró que para valores de 30λ = o mas, los

efectos de fatiga son despreciables.

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69

5.4 Ley de evolución de las deformaciones permanentes para el

caso histerético

La ley de evolución es similar a la del caso monotónico, solo que se incluye la

posibilidad de endurecimiento cinemático además del endurecimiento isotrópico.

Adicionalmente, deben definirse dos funciones de fluencia, una para acciones positivas y

otra para acciones negativas. La ley de evolución se define en la ecuación 5.17 y las

funciones de fluencia en la ecuación 5.18.

0 0ps ysolo si fφ > =& Ecuación 5.17

( )( )

( )

( )

. . 0 1 1

1

1

ps s

s s

ys

ys

Vsi cd d

Ventonces f X Rd

Vde lo contrario f X Rd

α φ+ −

+

⎡ ⎤⎢ ⎥− ≥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − −−

= − + −−

Ecuación 5.18

donde X es un término de endurecimiento cinemático y R es un término de

endurecimiento isótropo, que se definen en las ecuaciones 5.19 y 5.20.

. . ps sX cα φ= Ecuación 5.19

( )1 . .s s yR c p Vα= − − Ecuación 5.20

La variable ps es la rotación plástica por corte máxima acumulada durante toda la

historia de carga. El parámetro α es una constante que toma valores entre cero y uno.

Este parámetro puede interpretarse como el porcentaje de endurecimiento plástico que

corresponde a endurecimiento cinemático. En las simulaciones llevadas a cabo dentro

del marco de esta tesis, se usó un valor constante de α = 0,60 , lo cual resultó adecuado

para el tipo de muros considerados.

Adicionalmente, la observación de los resultados experimentales muestra

estrangulamiento de los lazos histeréticos (efecto “pinching”). De acuerdo a Picón, et al

(2002) y Picón, et al (2003), en el caso de vigas anchas, este fenómeno observado en los

lazos histeréticos se debe al deslizamiento del refuerzo por falla de adherencia. Por esta

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70

razón, se realizaron los ensayos MC-05, MC-06 y MC-07 para determinar si el

estrangulamiento de los lazos histeréticos podía atribuirse al deslizamiento de las barras

de refuerzo horizontal con respecto al concreto circundante en el caso de muros.

La observación de la respuesta de estos muros presentada en el capítulo 3 (Figura

3.13 a Figura 3.15), permite llegar a la conclusión de que la condición de adherencia en el

refuerzo no afecta el grado de estrangulamiento de los lazos histeréticos. En la Figura 5.2

se muestra una superposición de los tres ensayos, en la cual se verifica la conclusión

anterior.

-20000,0

-15000,0

-10000,0

-5000,0

0,0

5000,0

10000,0

15000,0

20000,0

-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Adherencia mejorada

Adherencia normal

Adherencia reducida

Figura 5.2 Superposición de ensayos MC-05, MC-06 y MC-07

Luego, revisando la literatura disponible, se encontró que Paulay, et al (1982)

observaron el mismo fenómeno en muros ensayados por ellos. En ese caso, la causa del

estrangulamiento fue evidente: el deslizamiento por corte a lo largo de una grieta

horizontal en la base del muro, al vencerse la resistencia a la fricción entre las caras de la

grieta. Esta conclusión, aunada a la observación detenida de los muros MC-05, MC-06 y

MC-07 en el transcurso de los ensayos, nos permite postular que la causa principal del

estrangulamiento de los lazos histeréticos en los muros ensayados dentro del marco de

este trabajo, es el deslizamiento por corte a lo largo de las grietas diagonales presentes en

el muro. Cuando comienzan a cerrarse las grietas, al invertirse el signo de la carga,

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71

empieza a actuar la fricción entre las caras de las grietas. Este fenómeno es descrito

adecuadamente por el modelo propuesto, aunque su naturaleza es diferente al fenómeno

de deslizamiento por falla de adherencia para el cual fue propuesto originalmente el

modelo por Picón, et al (2002) y Picón, et al (2003). En el caso de los muros ensayados,

no hubo agrietamiento importante por flexión en la base del muro y no se produjo

deslizamiento a lo largo de ese plano.

5.4.1 Modelado del estrangulamiento en muros de corte

5.4.1.1 Fricción de Coulomb en interfases

Considere una interfase entre dos medios continuos como se muestra en la Figura

5.3(a), siendo σ y τ el esfuerzo normal y el esfuerzo cortante, respectivamente, en la

interfase. Si la superficie se caracteriza por un criterio de fricción de Coulomb, el

desplazamiento relativo “h” entre los dos bloques obedece la siguiente ley:

s

s

0 if ( ) 00 if ( ) 0

hh

⎧ > τ − τ σ =⎪⎨

= τ − τ σ <⎪⎩

&

& Ecuación 5.21

στ

τ

σZona de no-deslizamiento

hτ = τs(σ)

στ

τ

σZona de no-deslizamiento

hτ = τs(σ)

Figura 5.3 Fricción de Coulomb

Donde el término sτ es la resistencia al deslizamiento que depende del esfuerzo

normal. El dominio de no-deslizamiento, suponiendo una resistencia arbitraria se

representa en la Figura 5.3(b). Puede notarse que el deslizamiento ocurre cuando el

esfuerzo cortante alcanza la resistencia al deslizamiento. Este último no es constante,

sino que depende del esfuerzo normal. Para valores más altos del esfuerzo normal de

compresión, se incrementa la resistencia al deslizamiento. Una presentación general de

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72

comportamiento de interfases puede encontrarse en textos de plasticidad, como por

ejemplo: Salençon (1983).

5.4.1.2 Función de deslizamiento de una grieta de cortante

El proceso de deslizamiento que ocurre a lo largo de una grieta por cortante puede

explicarse en términos de plasticidad por fricción de Coulomb. Considere una grieta por

cortante en un muro estructural que se ha formado bajo carga positiva. A medida que se

reduce la carga hasta cero, la grieta permanece abierta. Luego, al aplicarse la carga en el

sentido negativo, la fricción a lo largo de la grieta es pequeña, pero a medida que la grieta

comienza a cerrarse, la fricción aumenta gradualmente, lo cual puede visualizarse como

un incremento gradual del esfuerzo normal y consecuencialmente en la resistencia al

deslizamiento.

Adicionalmente, si ha ocurrido fluencia del refuerzo horizontal al abrirse la grieta,

es evidente que para cerrarse nuevamente, el refuerzo debe fluir en compresión. Por lo

tanto, existe una interacción entre dos fenómenos: deslizamiento a lo largo de la grieta y

fluencia del refuerzo. Ambos fenómenos generan rotaciones plásticas en el muro.

Para modelar el deslizamiento a lo largo de grietas por cortante, se usa nuevamente

la hipótesis de disipación concentrada. Esto es, se supone que las rotaciones plásticas

generadas por deslizamiento a lo largo de las grietas por cortante pueden concentrarse en

la variable interna: psφ .

Se puede usar una generalización del concepto de plasticidad por fricción de

Coulomb para describir el comportamiento de un muro inelástico con deslizamiento.

Con esta finalidad, se introduce una función de deslizamiento:

s sf V k= − Ecuación 5.22

La ecuación 5.22 se puede interpretar como sigue: existirán incrementos en la

rotación plástica debido a deslizamiento a lo largo de las grietas de cortante, sólo si la

fuerza cortante alcanza el valor crítico ks. En el caso de plasticidad por fricción de

Coulomb, se acepta que el valor crítico de deslizamiento depende del esfuerzo normal en

la interfase. Para deslizamiento a lo largo de grietas por cortante se supondrá que el valor

crítico ks corresponde a una función de endurecimiento. La determinación analítica de la

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73

función de endurecimiento es un problema sumamente complejo, en vista de lo cual se

propone una expresión fenomenológica:

( ). ..pssigno V

s ok V e γ φ= Ecuación 5.23

Se ha escogido una función exponencial de la rotación plástica para obtener las

curvas típicas “estranguladas” cuando existe deslizamiento en el muro. El parámetro Vo

se llamará “resistencia al deslizamiento”, y es un concepto similar a la resistencia a la

fluencia en plasticidad, es decir, Vo es la fuerza cortante que produce deslizamiento

cuando aún no han ocurrido rotaciones plásticas. El cálculo del parámetro γ se discute en

la siguiente sección.

5.4.1.3 Función de deslizamiento por corte con daño

Para modelar deslizamiento por corte junto con daño debido al agrietamiento, se

propone una función de deslizamiento similar a la propuesta por Picón, et al (2002) y

Picón, et al (2003), quienes modelaron este fenómeno introduciendo una función de

fluencia por deslizamiento, adicional a la función de fluencia original. Haciendo la

analogía, para el caso de muros, se propone una función de fluencia por deslizamiento

que tiene la siguiente forma.

( )( )

( )( )

( )( )

. .

. .

. . 0 1 1

.1

.1

ps

ps

ps s

s s

signo Vs o

s

signo Vs o

s

Vsi cd d

Ventonces f V ed

Vde lo contrario f V ed

γ φ

γ φ

α φ+ −

+

⎡ ⎤⎢ ⎥− ≥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −−

= −−

Ecuación 5.24

En la ecuación 5.24, γ es un parámetro que debe calcularse resolviendo las

siguientes ecuaciones.

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74

( )

( )

0

0

y s s s

y s s s

cuando f f entonces G R d para acciones positivas

o

cuando f f entonces G R d para acciones negativas

+ +

− −

= = =

= = =

Ecuación 5.25

Como resultado de la aplicación de estas ecuaciones se puede deducir la siguiente

expresión para acciones positivas:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2ln

12 2 1

1 1 1

v s

os

v s ss y s s s

GA R dLVd

GA d R dd V d c p

L

γ

α

+

+

+ ++ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=

−− − − − −

Ecuación 5.26

Y, para acciones negativas:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

2

2ln

12 2 1

1 1 1

v s

os

v s ss y s s s

GA R dLVd

GA d R dd V d c p

L

γ

α

− −− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=

−− − − − −

Ecuación 5.27

El efecto del parámetro γ sobre las curvas histeréticas puede verse en la Figura 5.5.

Ahora existen dos funciones de fluencia que interactúan, la primera debida a la

fluencia del refuerzo, propiamente dicha, y la segunda debida a deslizamiento por corte.

La función que controlará la evolución de las deformaciones permanentes será aquella

cuyo valor sea máximo en el instante dado. En la Figura 5.4 se muestran las formas de

estas funciones de fluencia y su interacción.

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75

Rotación plástica

Fuer

za c

orta

nte

V0

Vyfy = 0

fs = 0

Rotación plástica

Fuer

za c

orta

nte

V0

Vyfy = 0

fs = 0

Figura 5.4 Interacción entre funciones de fluencia

Rotación plástica

Fuer

za c

orta

nte

fy = 0γ

fs = 0

d

Rotación plástica

Fuer

za c

orta

nte

fy = 0γ

fs = 0

d

Figura 5.5 Efecto del parámetro γ sobre los lazos histeréticos

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76

6. IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA DEL

MODELO HISTERÉTICO EN ABAQUS

6.1 Introducción

El modelo propuesto en el capítulo anterior, se implementa como un elemento finito

nuevo en un programa comercial de elementos finitos llamado ABAQUS (2001). La

implementación del modelo puede ser utilizada en cualquier otro programa comercial,

siempre y cuando éste permita realizar un análisis no lineal. La implementación actual del

modelo permite el análisis de estructuras aporticadas bajo acciones histeréticas de tipo

estático y/o dinámico para calcular la respuesta de la estructura.

Para realizar el análisis de la estructura, el problema se divide en dos partes, un

problema global y otro problema local. El primero se resuelve mediante el programa

comercial de elementos finitos utilizado (en este caso ABAQUS, 2001) y determina los

desplazamientos nodales de la estructura. El segundo es resuelto por la subrutina

SUPERDEG, desarrollada por Ramirez, A. (1995), modificada por Flórez López y

Marante en un trabajo mas reciente aún no publicado, y en este trabajo se adecúa para

modelar el daño por corte en muros, tomando pequeños o grandes desplazamientos.

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77

6.2 Resolución numérica de una estructura de muros con daño

por corte

El modelo histerético de daño por corte, es utilizado para el análisis estático de

estructuras de muros elasto-plásticos degradables de concreto armado. La resolución

numérica de este análisis se plantea de tal manera que a partir de los datos del problema

se determinan los desplazamientos, deformaciones y esfuerzos generalizados, variables y

fuerzas internas. En el problema global se resuelve numéricamente el sistema de

ecuaciones de equilibrio de los nodos, para obtener los desplazamientos generalizados de

la estructura. En el problema local se determinan las fuerzas internas, el aporte de cada

miembro a la rigidez de la estructura con el jacobiano local, y el aporte de cada miembro

a la masa de la estructura con el jacobiano inercial, en función de los desplazamientos

nodales del miembro.

6.2.1 Datos del problema

Geometría de la estructura (coordenadas de los nodos y restricciones de los apoyos).

Características de los miembros de la estructura: masa, parámetros del modelo y

ceros numéricos.

Historia de carga y/o desplazamientos aplicados en los nodos en un intervalo de

tiempo.

6.2.2 Variables que son incógnitas del problema

Desplazamientos, velocidades y aceleraciones:

{ } ( )

{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }

1 2 3, ,

, , ,

,

t

i

t t t t

i j n

t t t

i j

U U U U

X U U U

q U U

=

=

=

L Ecuación 6.1

Deformaciones en los miembros:

{ } { }, ,ti jφ φ φ δ= Ecuación 6.2

Esfuerzos internos en los miembros:

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78

{ } { }, ,ti jM M M N= Ecuación 6.3

Variables internas: daños y plasticidad

{ } { }{ } { }

,

, ,0

ts s

tp p ps s

D d d

φ φ φ

+ −=

= Ecuación 6.4

Fuerzas Internas:

{ } { }1 2 3 4 5 6, , , , ,tQ Q Q Q Q Q Q= Ecuación 6.5

6.2.3 Ecuaciones a verificar:

Ecuaciones de compatibilidad:

{ } [ ]{ }( )d B q dqφ = Grandes desplazamientos Ecuación 6.6

{ } [ ]{ }Bo qφ = Pequeños desplazamientos Ecuación 6.7

Ecuaciones de equilibrio de la estructura y del miembro:

{ } [ ]{ } { }..

1 1

( ) ( ) 0m m

b b b

Q m q t P t= =

+ − =∑ ∑ Caso dinámico Ecuación 6.8

{ } [ ] { }( ) tQ B q M= Grandes desplazamientos Ecuación 6.9

{ } [ ] { }tQ Bo M= Pequeños desplazamientos Ecuación 6.10

Ley de comportamiento:

Ley de estado:

{ } ( ) ( )p s sF d M F d Mφ φ + −+ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.11

Leyes de evolución de la plasticidad y de los daños, las cuales están representadas

en las ecuaciones 5.14, 5.6a y 5.6b respectivamente.

Condiciones de admisibilidad termodinámicas, para verificar si las variables

internas (plasticidad y daños) están activas o no. Estas condiciones están representadas

en las ecuaciones.

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79

Al considerar el comportamiento del material no lineal es necesario utilizar un

método de resolución paso a paso. En estos métodos, se discretiza el intervalo de tiempo

para el cual se analiza la estructura en pequeños pasos, y se calculan las incógnitas

suponiendo que el comportamiento de la estructura es lineal en cada paso.

El problema se fundamenta en la resolución numérica de un sistema de ecuaciones

no lineales para cada paso y puede dividirse en un problema global y “m” problemas

locales, siendo “m” el número total de miembros de la estructura.

6.2.4 Solución del problema global

La solución del problema global consiste en la resolución numérica del sistema de

ecuaciones de equilibrio de los nodos para obtener los desplazamientos de la estructura

{ }X . La ecuación de equilibrio puede escribirse de la forma siguiente:

( ){ } { } [ ] ( ){ } { }1 1

0m m

r rbb

b b

L X Q m q X P= =

= + − =∑ ∑ && Ecuación 6.12

Por ser el comportamiento no lineal, el problema debe ser resuelto por un método

iterativo, por ejemplo el método de Newton, donde cada iteración “a” consiste en resolver

el siguiente problema lineal:

( ){ } ( ){ } { } { }( )111

0s ss s

s

LL X L X X XX

∂∂ −−

⎡ ⎤≅ + − =⎢ ⎥

⎣ ⎦ Ecuación 6.13

donde

[ ]11 1 1

m

bbs s s

L Q qmX X X

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂=− − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ &&

Ecuación 6.14

Es el Jacobiano del problema global. El primer término, 1s

QX

∂∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

es el Jacobiano

local en coordenadas globales y [ ]1

bs

qmX

∂∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

&& es el Jacobiano inercial. El vector

{ }1sX − contiene los desplazamientos generalizados de la estructura calculados en la

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80

iteración precedente. Los términos para determinar el Jacobiano del problema global son

calculados en el problema local y transferidos al global para el análisis de la estructura.

6.2.5 Solución del problema local

La solución del problema local implica el cálculo numérico de las fuerzas internas,

el jacobiano local y el jacobiano inercial en función de los desplazamientos de los

miembros, a través de la subrutina llamada (SUPERDEG). El algoritmo de esta subrutina

se basa en determinar estas variables para cada iteración de la siguiente manera:

6.2.5.1 Cálculo de los esfuerzos generalizados y las variables internas en

el paso

Las deformaciones generalizadas pueden calcularse a partir de los desplazamientos

generalizados empleando las ecuaciones de compatibilidad (en pequeños o grandes

desplazamientos). Esto no representa ninguna dificultad particular puesto que se trata de

una aplicación directa de las ecuaciones 6.6 y 6.7.

La determinación de los esfuerzos generalizados, en función de las deformaciones,

se realiza a través de la ley de comportamiento, y consiste en resolver un sistema de

ecuaciones donde las únicas incógnitas son los esfuerzos generalizados { }M y las

variables internas { } { },p Dφ . Esta Ley de Comportamiento formada por la Ley de

Estado (ecuación 6.11) y las Leyes de Evolución (ecuaciones 5.14, 5.6a y 5.6b)

conforman un sistema de ecuaciones, el cual se representa como:

{ }( ){ }( ){ }

, , 0

, , 0k

k k

R M ARV

V M A

φ

φ

⎧ ⎫=⎪ ⎪= ⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭

Ecuación 6.15

Donde { } 0R = es la ley de estado presentada en la ecuación 6.11 en función de los

esfuerzos (M), las deformaciones (φ) y las variables internas del modelo { } { }1 kA AL ,

siendo { } { } { } { } { } { }1 2 3, ,ps s sA A d A dφ + −= = = .

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81

Las ecuaciones { } { }10, , 0

kV V= =L , representan las leyes de evolución

asociadas a cada variable interna. Estas leyes de evolución pueden expresarse de una

manera única como se muestra:

( ), ,i i i k ii

i i

h M A si A esta activaV

A si A no esta activaφ⎧

⎨∆⎩

Ecuación 6.16

Donde hi representa la función inelástica (de fluencia o de daño) correspondiente a

la variable interna Ai , y ∆Ai es el incremento de la variable interna en el paso

considerado.

El sistema de ecuaciones antes mencionado { } 0RV = , es posible resolverlo

aplicando el método de Newton, sin embargo surge el inconveniente de no conocer cuáles

son las variables internas activas durante el paso en cuestión. Para superar esto, se

emplea un algoritmo llamado “Predictor-Corrector-Verificador” que consiste en

determinar los esfuerzos generalizados y las variables internas en tres etapas:

Primera Etapa: predicción elástica.

En este primer paso se determinan los esfuerzos generalizados suponiendo que no

hay incrementos en ninguna variable interna (Ak=0). Los esfuerzos generalizados son

calculados por medio de la Ley de Estado (ecuación 6.11) en el paso considerado. Esta

predicción puede verificarse calculando las funciones inelásticas con los esfuerzos

generalizados encontrados:

( ), ,i i i i kh h M Aφ= Ecuación 6.17

Ahora, existen dos posibilidades: una, que todas las funciones inelásticas sean

negativas o nulas, esto significa que la predicción es correcta, no hay incrementos de

ninguna variable interna durante el paso y los esfuerzos generalizados calculados en la

predicción son correctos. En este caso terminaría el cálculo de los esfuerzos al final del

paso. La segunda posibilidad surge cuando una o varias funciones inelásticas son

positivas. Esto significa que la predicción no es correcta y que hay cambio en al menos

una de las variables internas durante el paso. En este caso hace falta pasar a la segunda

etapa.

Segunda Etapa: corrección inelástica.

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82

Esta corrección consiste en recalcular los esfuerzos generalizados y las variables

internas al final del paso, sabiendo que existen cambios en al menos una variable interna

del modelo. Se supondrán activas aquellas variables cuya función inelástica “hi” ha dado

un valor positivo durante la predicción elástica, y las restantes se supondrán pasivas. Esta

etapa puede ahora ser resuelta por el método de Newton, obteniéndose los esfuerzos

generalizados y los valores de las variables internas al final del paso. Se debe verificar si

las variables internas supuestas activas lo son, y esto se hace en la tercera etapa.

Tercera Etapa: Verificación.

En esta etapa se verifican las suposiciones referentes a las variables internas activas

y pasivas en el incremento, que permitieron la corrección inelástica. Esta verificación se

hace en dos pasos:

En el primero, se calculan las funciones inelásticas de las variables internas que

fueron supuestas pasivas en la corrección con los nuevos valores obtenidos para las

variables internas al final del paso. Si alguna de estas funciones es positiva, entonces la

variable interna que corresponde a esta función no es pasiva durante el incremento, las

hipótesis realizadas para la corrección son erróneas y debe por lo tanto realizarse una

nueva corrección inelástica.

En el segundo paso, se calculan los términos de disipación de las desigualdades

termodinámicas asociadas a las variables internas que fueron supuestas activas durante la

corrección. Al proceder paso a paso, estas desigualdades se traducen como:

( )( )( )

1

1

0

0

r ri i i

p pi i i r i r

d d d

M X φ φ

∆ = − ≥

− − ≥ Ecuación 6.18

Si alguna de estas desigualdades no se cumple, entonces la variable interna asociada

a la desigualdad en cuestión no es válida, las hipótesis en la etapa de corrección no son

correctas y debe realizarse otra corrección.

En el caso de que todas las desigualdades se cumplan para las variables supuestas

activas, y las funciones inelásticas sean negativas o cero para las variables supuestas

pasivas en la etapa de corrección, entonces los valores obtenidos de los esfuerzos

generalizados y de las variables internas son correctos. Al concluir las tres etapas quedan

definidas cuáles variables internas están activas y cuáles no en el paso que se está

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83

analizando y al mismo tiempo se obtienen los esfuerzos generalizados en cada miembro

de la estructura.

6.2.5.2 Determinación de las fuerzas internas.

Las fuerzas internas se calculan a partir de los esfuerzos generalizados

empleando las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones 6.9 y 6.10) del miembro. Como en

las deformaciones generalizadas, este cálculo consiste en la aplicación directa de dichas

ecuaciones.

6.2.5.3 Cálculo del Jacobiano local en coordenadas globales.

El jacobiano local en coordenadas globales se puede determinar en dos procesos:

Primero: determinación del Jacobiano local en coordenadas locales.

El jacobiano local en coordenadas locales se define como la derivada de los

esfuerzos con respecto a las deformaciones Mφ

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦

. El cálculo de dicha matriz se hace a

partir de las deformaciones y esfuerzos generalizados calculados previamente. A partir

de la ecuación 6.15, la cual define la Ley de Estado y las Leyes de Evolución de las

variables internas como función de las deformaciones generalizadas, y derivándola

parcialmente con respecto a las deformaciones se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones matriciales:

k

k

k

k

AR M R RM A

AV M V VM A

∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ φ

∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ φ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ecuación 6.19

La expresión constituye un sistema de ecuaciones matriciales con dos incógnitas:

las matrices M∂∂φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

y kA∂∂φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. La primera matriz es el Jacobiano Local en Coordenadas

Locales, el cual se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones matriciales propuesto.

Segundo: determinación del Jacobiano local en coordenadas globales.

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84

El cálculo del Jacobiano local en coordenadas globales Qq

∂∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, se obtiene derivando

la ecuación de equilibrio del miembro con respecto a los desplazamientos del miembro:

[ ] [ ] [ ]( )( )

ttB qQ MM B q

q q q∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Ecuación 6.20

El primer término de la expresión del jacobiano local en coordenadas globales se

anula en el caso de pequeños desplazamientos. En el caso de grandes desplazamientos, al

derivar, y después de simplificar algunos términos se obtiene:

[ ] { } [ ]2

( ) tB q NM Jq L

∂∂

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ Ecuación 6.21

Donde,

[ ]

2 2

2 2

2 2

2 2

0 00 0

0 0 0 0 0 00 00 0

0 0 0 0 0 0

Sen Sen Cos Sen Sen CosSen Cos Cos Sen Cos Cos

JSen Sen Cos Sen Sen Cos

Sen Cos Cos Sen Cos Cos

α α α α α αα α α α α α

α α α α α αα α α α α α

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L : es la longitud del miembro.

N : es la carga axial del miembro en el paso que se está analizando.

α : es la inclinación del miembro con respecto a los ejes de referencia.

El segundo término podemos expresarlo en función del jacobiano local en

coordenadas locales de la siguiente manera:

[ ]( )M M M B qq q

∂ ∂ ∂φ ∂∂ ∂φ ∂ ∂φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.22

Por lo tanto,

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[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )t tM MB q B q B qq

∂ ∂∂ ∂ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ecuación 6.23

Quedando definido el jacobiano local en coordenadas globales de la siguiente

manera:

[ ] [ ] [ ]2 ( ) ( )tQ N MJ B q B qq L

∂ ∂∂ ∂φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ Ecuación 6.24

6.2.5.4 Cálculo del Jacobiano inercial en coordenadas globales

Al considerar el análisis dinámico, y tomar la ecuación de equilibrio de las fuerzas

del miembro, podemos definir el término de las fuerzas inerciales como:

[ ]{ } { }Im q Q=&& Ecuación 6.25

Al derivar las fuerzas inerciales con respecto a los desplazamientos del miembro, se

obtiene:

[ ] [ ]Ib b

b

Q m qq mq q q

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&&&& Ecuación 6.26

Las derivadas de las aceleraciones y velocidades con respecto a los desplazamientos

generalizados dependen del algoritmo empleado. En el caso del Método de Newton

utilizado previamente estas derivadas se definen como:

[ ] ( ) [ ]2

11 1 1q qX t X t

ϑ∂ ∂∂ β ∂ β

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

&& & Ecuación 6.27

Donde [ ]1 es la matriz unitaria de orden seis, ∆t es el incremento de tiempo

utilizado en el paso que se está analizando, β y ϑ son parámetros de integración para

obtener exactitud y estabilidad en la integración numérica.

Se puede expresar en forma definitiva el Jacobiano local en coordenadas globales,

considerando las fuerzas internas, las inerciales y las fuerzas de amortiguación de la

estructura:

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86

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

2

2

( ) ( )

1 1 1 1

tL N MJ B X B XX L

m Ct t

∂ ∂∂ ∂ φ

ϑβ β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

+ +∆ ∆

Ecuación 6.28

6.3 IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO EN ABAQUS.

6.3.1 Solución del problema global

La solución del problema global es realizada por el programa ABAQUS (2001). La

inclusión del elemento de usuario se realiza mediante una subrutina llamada UEL. Esta

subrutina es llamada cada vez que ABAQUS necesita información sobre el elemento. En

ella debe estar definida la contribución de cada elemento a la rigidez y a la masa de la

estructura. ABAQUS al llamar a UEL, suministra las variables de los nodos que

correspondan al elemento en el paso actual del análisis, como los desplazamientos, las

velocidades y las aceleraciones. Existe un intercambio de datos controlados que

dependen del tipo de elemento y de su contribución a la estructura como el vector

residual, el jacobiano local en coordenadas globales y otras variables asociadas al

elemento. Esto sirve para que ABAQUS determine los nuevos desplazamientos nodales

de la estructura para el siguiente paso (ver Figura 6.1).

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87

Programa comercial de elementos finitos

ABAQUS

UELUEL

ABAQUSABAQUS

desplazamientos generalizados { }q

Resolución problema local

Fuerzas residuales, Jacobiano

{ }

,p

QQ q

Dφ∂ ∂

Programa comercial de elementos finitos

ABAQUS

UELUEL

ABAQUSABAQUS

desplazamientos generalizados { }q

Resolución problema local

Fuerzas residuales, Jacobiano

{ }

,p

QQ q

Dφ∂ ∂

Figura 6.1 Flujograma general

Este intercambio frecuente de datos entre ABAQUS y SUPERDEG a través de

UEL amerita dos subrutinas, una que interpreta las variables de ABAQUS para que

puedan ser leídas por SUPERDEG y la otra que hace la interpretación inversa. Esta

primera subrutina se llama TRAD_ABAQUS_DEG, y la otra TRAD_DEG_ABAQUS

como se muestra en la Figura 6.2. Esto se hace con el propósito de permitir que

SUPERDEG pueda acoplarse de manera relativamente fácil a cualquier programa

comercial de elementos finitos no lineal, ya que las únicas subrutinas que habría que

modificar serían estas dos.

Traducción ABAQUS-SUPERDEG

Traducción ABAQUS-SUPERDEG

SUPERDEGSUPERDEG

Traducción SUPERDEG-ABAQUS

Traducción SUPERDEG-ABAQUS

UELUEL

Traducción ABAQUS-SUPERDEG

Traducción ABAQUS-SUPERDEG

SUPERDEGSUPERDEG

Traducción SUPERDEG-ABAQUS

Traducción SUPERDEG-ABAQUS

UELUEL

Figura 6.2 Flujograma UEL

La solución del problema global de la estructura (echa por ABAQUS, 2001),

integra el problema dinámico mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

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88

( ) ( ){ } { } [ ] ( ){ }( ) ( ){ } { } ( ){ }

1

1 0

tt t t t

tt t t t

Q Q m q

P P L

α α

α α

+ ∆ + ∆

+ ∆ + ∆

+ − + −

+ + + + =

&& Ecuación 6.29

Este sistema de ecuaciones es a su vez resuelto por el método iterativo de Newton.

6.3.2 Solución del problema local

El problema local se resuelve mediante la implementación del elemento de usuario

a través de la subrutina SUPERDEG, programada en el lenguaje FORTRAN 77.

SUPERDEG consiste básicamente en cuatro subrutinas (ver Figura 6.3), las cuales se

describirán brevemente con ayuda de flujogramas. Estas subrutinas son:

• Cálculo de las deformaciones (DEFTOT)

• Cálculo de los esfuerzos y variables internas (DEG)

• Cálculo de las fuerzas internas y las fuerzas residuales (RESIDU)

• Cálculo del jacobiano local e inercial (CAL_JACOB)

Estas subrutinas son aplicación directa de la resolución de sistemas de ecuaciones

extensos, excepto la subrutina DEG. En ella se resuelve la ley de comportamiento y es

un poco más complicada.

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89

• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico

• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico

SUPERDEGSUPERDEG

DeformacionesDEFTOT

DeformacionesDEFTOT

DEGDEG

Fuerzas residualesRESIDU

Fuerzas residualesRESIDU

Jacobiano localCAL_JACOB

Jacobiano localCAL_JACOB

{ } { } { }, ,pM Dφ

• Análisis estático• Análisis dinámico

{ }Q

Qq

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦

• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico

• Pequeños desplazamientos• Grandes desplazamientos• Análisis estático• Análisis dinámico

SUPERDEGSUPERDEG

DeformacionesDEFTOT

DeformacionesDEFTOT

DEGDEG

Fuerzas residualesRESIDU

Fuerzas residualesRESIDU

Jacobiano localCAL_JACOB

Jacobiano localCAL_JACOB

{ } { } { }, ,pM Dφ

• Análisis estático• Análisis dinámico

{ }Q

Qq

⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Figura 6.3 Flujograma SUPERDEG

6.3.2.1 Cálculo de las deformaciones (DEFTOT)

En esta subrutina se obtienen las deformaciones totales de cada elemento aplicando

las leyes de compatibilidad, considerando desplazamientos grandes o pequeños como se

muestra en la Figura 6.4.

6.3.2.2 Cálculo de los esfuerzos y de las variables internas (DEG)

La subrutina DEG resuelve el sistema formado por las ecuaciones que componen la

Ley de Comportamiento. En la Figura 6.5 se muestra el flujograma general de esta

subrutina. El sistema de ecuaciones es resuelto por el método de Newton, aplicando el

algoritmo Predictor-Corrector-Verificador mencionado anteriormente. De esta manera se

obtienen los esfuerzos generalizados y variables internas actualizadas.

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90

DEFTOTDEFTOT

Pequeñosdesplazamientos

Pequeñosdesplazamientos

Matriz de transformaciónMatriz de transformación[ ]oB

{ } [ ]{ }oB qφ =

{ }( )( )

( )

3

6

oi

j o

o

q q

q q

L q L

θ θφφ φ θ θ

δ

⎧ ⎫+ −⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = + −⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

SiNo

DEFTOTDEFTOT

Pequeñosdesplazamientos

Pequeñosdesplazamientos

Matriz de transformaciónMatriz de transformación[ ]oB

{ } [ ]{ }oB qφ =

{ }( )( )

( )

3

6

oi

j o

o

q q

q q

L q L

θ θφφ φ θ θ

δ

⎧ ⎫+ −⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = + −⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

SiNo

Figura 6.4 Flujograma DEFTOT

Este método de resolución del sistema de ecuaciones genera la construcción de un

nuevo Jacobiano, definido en este trabajo como HIPERMATRIZ. Esta hipermatriz se

genera al derivar parcialmente el vector { }RV con respecto a los esfuerzos generalizados

{ }M , a las deformaciones plásticas { }pφ , y al daño { }D , quedando expresada de la

siguiente manera:

, ,

p

p

p

R R RM DRVHIPERMATRIZ

M D f f fM D

∂ ∂ ∂∂ ∂φ ∂∂

∂ ∂φ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂φ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎢ ⎥→ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Ecuación 6.30

Cada una de las sub-matrices están conformadas por expresiones extensas y

numerosas, como por ejemplo:

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91

1 1 1

2 2 2

3 3 3

i j

i j

i j

R R RM M N

R R RRM M M N

R R RM M N

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ecuación 6.31

Donde el vector { }R es:

1 11 12 11 12

2 21 22 21 22

3 33

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

pi s s i s j s i s j

pi s s i s j s i s j

R F d M F d M F d M F d MR F d M F d M F d M F d MR F N

φ φφ φ

δ

+ + + + − − − −

+ + + + − − − −

⎧ ⎫− − − − −⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ = − − − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Ecuación 6.32

Realizando el mismo procedimiento con el vector { }V , de las variables internas, se

logran obtener los términos restantes de las otras sub-matrices.

Luego de hacer varias iteraciones en el problema local y lograr la convergencia, se

calculan las fuerzas termodinámicas asociadas a las variables internas. En un proceso

previo llamado RESIDUAL han quedado definidas cuáles de las variables internas están

activas o no.

En el proceso RESIDUAL (ver Figura 6.6), se actualiza el vector { }RV verificando

si algunas de las variables internas se encuentran activas o no. Esta decisión se toma al

chequear las funciones de fluencia y de daño. Si alguna de ellas es mayor que cero, la

variable interna asociada a dicha función se encuentra activa. Al definir cuáles de las

variables están activas y cuales pasivas, se procede a ensamblar el vector { }RV .

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92

DEGDEG

Residual inicial(Predicción elástica)

Residual inicial(Predicción elástica)

Contador: ite=ite+1Contador: ite=ite+1

ite > max_iteite > max_ite

HipermatrizHipermatriz

Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton

Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton

Actualización de esfuerzos yVariables internas

Actualización de esfuerzos yVariables internas

ResidualResidual

ConvergenciaConvergencia

Fuerzas termodinámicasasociadas

Fuerzas termodinámicasasociadas

No hay convergenciadel problema local

No hay convergenciadel problema local

Si

No

Si

No

, ,pRV

M D∂

∂ ∂φ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( ) { } p

MRV X RV X donde XX

⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ∆ = − =⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎪ ⎪

⎩ ⎭

{ }( )

( )( )

1

2

0

0

p

R ley de estado

RV V

V D

φ

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ∇ =⎨ ⎬⎪ ⎪∇ =⎩ ⎭

{ }RV

DEGDEG

Residual inicial(Predicción elástica)

Residual inicial(Predicción elástica)

Contador: ite=ite+1Contador: ite=ite+1

ite > max_iteite > max_ite

HipermatrizHipermatriz

Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton

Solución sistema de ecuacionesMétodo de Newton

Actualización de esfuerzos yVariables internas

Actualización de esfuerzos yVariables internas

ResidualResidual

ConvergenciaConvergencia

Fuerzas termodinámicasasociadas

Fuerzas termodinámicasasociadas

No hay convergenciadel problema local

No hay convergenciadel problema local

Si

No

Si

No

, ,pRV

M D∂

∂ ∂φ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( ) { } p

MRV X RV X donde XX

⎧ ⎫∂ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ∆ = − =⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎪ ⎪

⎩ ⎭

{ }( )

( )( )

1

2

0

0

p

R ley de estado

RV V

V D

φ

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ∇ =⎨ ⎬⎪ ⎪∇ =⎩ ⎭

{ }RV

Figura 6.5 Flujograma DEG

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93

RESIDUALRESIDUAL

Cálculo de R(Ley de estado)

Cálculo de R(Ley de estado)

Pequeñasdeformaciones

Pequeñasdeformaciones

Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna

Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna

VerificaciónVerificación

ActivasActivas

EnsamblajeEnsamblaje

SiNo

{ } { } ( ) { }( ) { }

ps

s

R F d M

F d M

φ φ ++

−−

⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦

{ } { } ( ) { }( ) { }

,

,

ps

s

R F d N M

F d N M

φ φ ++

−−

⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦

i oV α α= −i iV V=

SiNo

{ }R

RVV

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

RESIDUALRESIDUAL

Cálculo de R(Ley de estado)

Cálculo de R(Ley de estado)

Pequeñasdeformaciones

Pequeñasdeformaciones

Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna

Cálculo de las funciones inelásticas para cada variable interna

VerificaciónVerificación

ActivasActivas

EnsamblajeEnsamblaje

SiNo

{ } { } ( ) { }( ) { }

ps

s

R F d M

F d M

φ φ ++

−−

⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦

{ } { } ( ) { }( ) { }

,

,

ps

s

R F d N M

F d N M

φ φ ++

−−

⎡ ⎤= − − ⎣ ⎦⎡ ⎤− ⎣ ⎦

i oV α α= −i iV V=

SiNo

{ }R

RVV

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

Figura 6.6 Flujograma RESIDUAL

6.3.2.3 Cálculo de las Fuerzas Internas y de las Fuerzas Residuales

El cálculo de las fuerzas internas consiste en la resolución de la ecuación de

equilibrio del miembro. En el caso dinámico es necesario calcular las fuerzas inerciales

y sumarlas a las fuerzas internas para obtener la contribución del elemento a las fuerzas

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94

nodales de la estructura. Para grandes desplazamientos, la matriz de transformación está

dada en términos de los desplazamientos (ver Figura 6.7).

RESIDUFuerzas residuales

RESIDUFuerzas residuales

Pequeñasdeformaciones

Pequeñasdeformaciones

Fuerzas internasFuerzas internas

DinámicoDinámico

Masa consistenteAceleración

Masa consistenteAceleración

Fuerzas inercialesFuerzas inerciales

Fuerzas residuales(internas + residuales)

Fuerzas residuales(internas + residuales)

( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t

oB

{ } ( ) { }tQ B q M= ⎡ ⎤⎣ ⎦

SiNo

SiNo

RESIDUFuerzas residuales

RESIDUFuerzas residuales

Pequeñasdeformaciones

Pequeñasdeformaciones

Fuerzas internasFuerzas internas

DinámicoDinámico

Masa consistenteAceleración

Masa consistenteAceleración

Fuerzas inercialesFuerzas inerciales

Fuerzas residuales(internas + residuales)

Fuerzas residuales(internas + residuales)

( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t

oB

{ } ( ) { }tQ B q M= ⎡ ⎤⎣ ⎦

SiNo

SiNo

Figura 6.7 Flujograma RESIDU

6.3.2.4 Calculo del Jacobiano Local e Inercial en Coordenadas Globales

El jacobiano local en coordenadas globales se determina a partir del jacobiano local

en coordenadas locales, M∂∂φ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, el cual es obtenido de un sistema de ecuaciones

matriciales expresado anteriormente en la ecuación 6.19. De esta manera podemos

determinar el jacobiano local en coordenadas globales por medio de la ecuación 6.24 para

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95

grandes desplazamientos, o para pequeños desplazamientos. El jacobiano inercial solo

aparece si el análisis es dinámico, y es determinado por la ecuación 6.28.

CAL_JACOBCálculo del Jacobiano

CAL_JACOBCálculo del Jacobiano

Cálculo MatrizTangente

Cálculo MatrizTangente

Pequeñosdesplazamientos

Pequeñosdesplazamientos

( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t

oB

Grandesdesplazamientos

Grandesdesplazamientos

DinámicoDinámico

SiNo

[ ] [ ]tQ MB Bq

∂ ∂∂ ∂φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] [ ]tBQ Q M

q q q∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Q Q jacobiano inercialq q

∂ ∂∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

SiNo

SiNo

CAL_JACOBCálculo del Jacobiano

CAL_JACOBCálculo del Jacobiano

Cálculo MatrizTangente

Cálculo MatrizTangente

Pequeñosdesplazamientos

Pequeñosdesplazamientos

( ) tB q⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]t

oB

Grandesdesplazamientos

Grandesdesplazamientos

DinámicoDinámico

SiNo

[ ] [ ]tQ MB Bq

∂ ∂∂ ∂φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ] [ ]tBQ Q M

q q q∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Q Q jacobiano inercialq q

∂ ∂∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

SiNo

SiNo

Figura 6.8 Flujograma CAL_JACOB

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96

7. SIMULACIONES NUMÉRICAS

7.1 Introducción

En este capítulo se usa la implementación numérica del modelo de daño por corte

en ABAQUS para llevar a cabo la simulación numérica de varios ensayos experimentales

que se describen a continuación. La versión del modelo de daño implementado, no

incluye los efectos de fatiga de bajo ciclaje en esta primera etapa de desarrollo. Sin

embargo, ya se ha explicado la manera de incluir estos efectos en el modelo de daño en la

sección 5.3.

7.2 Ensayo del muro MC-04

Las características de este muro están descritas en el capítulo 3. Los valores de los

parámetros del modelo usados para la simulación se calcularon de la manera explicada en

el capítulo 4. En la Tabla 7.1 se presentan los valores de las características resistentes del

muro y en la Tabla 7.2 los parámetros del modelo usados en la simulación. En la Figura

7.1 se muestra la respuesta del muro ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.2 se

muestran los resultados de la simulación.

Tabla 7.1 Características resistentes del muro MC-04

Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-04 1000 2000 14585 0,004

( )pu radφ

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97

Tabla 7.2 Parámetros del modelo para el muro MC-04

Muro Vy (Kg) cs (Kg.mm) Gcrs (Kg.mm) qs (Kg.mm) Vo (Kg) αMC-04 2011 9396000 58 -33445 5000 0,50

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Figura 7.1 Ensayo del muro MC-04

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98

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20,00 -15,00 -10,00 -5,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (K

g)

Figura 7.2 Simulación del ensayo del muro MC-04

7.3 Simulación de un muro ensayado por Paulay

Paulay, et al (1982), ensayaron cuatro especimenes de muros bajos de concreto

armado. De estos cuatro muros, se escogió el espécimen denominado Wall 1 para

realizar una simulación del ensayo correspondiente. Este espécimen muestra una

configuración convencional de refuerzo que cae dentro de los alcances e hipótesis

planteados en el modelo propuesto. El espécimen Wall 2 posee refuerzo en dirección

diagonal, lo cual no está tomado en cuenta en el modelo propuesto, y los especimenes

Wall 3 y Wall 4 fueron construidos con alas en los extremos del muro. Aunque es

factible que el modelo sea capaz de modelar el comportamiento de muros con alas, el

comportamiento de este tipo de muros no está cubierto dentro de los alcances propuestos

en este trabajo. La aplicabilidad del modelo propuesto para modelar muros con alas

podría ser estudiada en desarrollos posteriores del presente modelo.

Las características del espécimen Wall 1 se muestran en Figura 7.3 y las

propiedades del refuerzo y del concreto en la Tabla 7.3. En la Tabla 7.4 se presentan los

valores de las características resistentes del muro y en la Tabla 7.5 los parámetros del

modelo usados en la simulación. En la Figura 7.4 se muestra la respuesta del muro

ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.5 se muestran los resultados de la simulación.

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99

Adicionalmente, es de hacer notar que fue necesaria la aplicación de un factor de 0,33 a

las características de la sección gruesa de concreto, para obtener una rigidez inicial

acorde con la observada en el experimento. Este factor reduce tanto los productos EI, AE

como el producto GAv.

Figura 7.3 Espécimen Wall 1 de Paulay

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100

Tabla 7.3 Características de los especimenes de Paulay

Tabla 7.4 Características resistentes del muro Wall 1 de Paulay

Muro Vcr (kN) Vp (kN) Vu (kN)Wall 1 147 196 820 0,003

( )pu radφ

Tabla 7.5 Parámetros del modelo para el muro Wall 1 de Paulay

Muro Vy (kN) cs (kN.mm) Gcrs (kN.mm) qs (kN.mm) Vo (kN) αWall 1 198 670540 21 -1739 250 0,60

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101

-1000,0

-800,0

-600,0

-400,0

-200,0

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (k

N)

Figura 7.4 Ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay

-1000,0

-800,0

-600,0

-400,0

-200,0

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1000,0

-20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (k

N)

Figura 7.5 Simulación del ensayo del espécimen Wall 1 de Paulay

Como puede verse de la comparación del ensayo con la simulación, el modelo

propuesto no es capaz de representar los efectos de fatiga de bajo ciclaje que están

presentes en el ensayo, cuando se aplican dos ciclos consecutivos de carga a un mismo

nivel de desplazamiento. Sin embargo, el comportamiento general, las deformaciones

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102

permanentes, el estrangulamiento por deslizamiento en las grietas, están descritos

adecuadamente por el modelo. Es interesante notar también que en este muro el

deslizamiento por corte se produjo principalmente en una grieta horizontal en la base del

muro. A pesar de que el modelo fue desarrollado para tomar en cuenta el deslizamiento

por corte en grietas diagonales, es capaz de simular también el tipo de deslizamiento que

se produce en este muro.

7.4 Simulación de un muro de tres niveles ensayado por Vulcano

Vulcano y Bertero (1987) ensayaron varios muros de tres niveles de los cuales se

escogió el que se identifica como Specimen 6 para realizar una simulación de su

comportamiento bajo cargas de tipo sísmico. En la Figura 7.6 se muestra una sección del

muro con su respectivo refuerzo. El refuerzo es el mismo para todos los niveles. En la

Figura 7.7 se muestra una vista en proyección vertical del muro. En la Tabla 7.6 se

presentan los valores de las características resistentes del muro y en la Tabla 7.7 los

parámetros del modelo usados en la simulación. En la Figura 7.8 se muestra la respuesta

del muro ensayado en el laboratorio, y en la Figura 7.9 se muestran los resultados de la

simulación. Adicionalmente, es de hacer notar que fue necesaria la aplicación de un

factor de 0,07 a las características de la sección gruesa de concreto, para obtener una

rigidez inicial acorde con la observada en el experimento. Este factor reduce tanto los

productos EI, AE como el producto GAv.

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103

Figura 7.6 Sección transversal Specimen 6 de Vulcano

Figura 7.7 Proyección vertical del Specimen 6 de Vulcano

Tabla 7.6 Propiedades resistentes del Specimen 6 de Vulcano

Muro Vcr (kN) Vp (kN) Vu (kN)Specimen 6 - Nivel 1, 2 y 3 2 706 824 0,015

( )pu radφ

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104

Tabla 7.7 Parámetros del modelo para el Specimen 6 de Vulcano

Muro Vy (kN) cs (kN.mm) Gcrs (kN.mm) qs (kN.mm) Vo (kN) αSpecimen 6 -

Nivel 1 1059 78705 0,01 -6478 100000 0,60

Specimen 6 - Nivel 2 y 3 1059 78705 0,01 -5013 100000 0,60

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-50,0 -30,0 -10,0 10,0 30,0 50,0

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (k

N)

Figura 7.8 Ensayo del Specimen 6 de Vulcano

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105

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

-50 -30 -10 10 30 50

Desplazamiento en el tope (mm)

Fuer

za h

oriz

onta

l en

el to

pe (k

N)

Figura 7.9 Simulación del Specimen 6 de Vulcano

Puede observarse en la Figura 7.8 que el efecto de deslizamiento por corte

(estrangulamiento de los lazos histeréticos) es despreciable en este ensayo. Esto se debe

a que, a pesar de los muros son bajos considerando la altura de entrepiso, la esbeltez

general del muro es mucho mayor, resultando para el comportamiento general de la

estructura una dominación del efecto de flexión sobre el de corte. Con todo, se

demuestra en la Figura 7.9 que el modelo propuesto también es capaz de representar el

comportamiento de este tipo de estructuras.

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106

8. CONCLUSIONES

Se ha desarrollado un modelo simplificado de daño por corte para el análisis de

elementos tipo muro de corte sujetos a cargas laterales que pueden ser monotónicas o

histeréticas. El modelo está basado en las nociones y métodos de la mecánica de la

fractura y la mecánica del daño para medios continuos.

El modelo permite, al menos de manera cualitativa, representar los siguientes

efectos:

a. La degradación de resistencia y rigidez debida principalmente al

agrietamiento diagonal por corte.

b. Deformaciones permanentes debidas a fluencia del refuerzo horizontal en el

muro.

c. Deslizamiento por corte a lo largo de las grietas que produce

estrangulamiento de los lazos histeréticos (“pinching”).

d. Comportamiento unilateral.

El modelo es relativamente simple y la mayoría de los parámetros requeridos están

relacionados con la resistencia del muro y su geometría a través de variables que pueden

calcularse usando la teoría convencional del concreto armado.

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107

El modelo programado para ABAQUS no incluye efectos de fatiga de bajo ciclaje,

pero éstos podrían incluirse sin mayor complicación, de la forma que se explica en el

texto.

El modelo puede incluirse en la librería de elementos de cualquier programa de

análisis por elementos finitos que tenga capacidad para realizar análisis no-lineal.

Se propone que el efecto de estrangulamiento que se observa en los lazos

histeréticos de los muros ensayados, es debido al deslizamiento por corte a lo largo de las

grietas diagonales.

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108

9. RECOMENDACIONES

El modelo propuesto fue desarrollado para muros en los que el efecto predominante

es la fuerza cortante, por lo que corresponde solo al inicio del estudio de los efectos de

daño por corte en esta Universidad, por lo cual hay varias áreas donde pueden realizarse

desarrollos posteriores, como son:

a. Inclusión de efectos de fatiga de bajo ciclaje.

b. Inclusión de efectos combinados de daño por corte y flexión. Esto permitiría

realizar análisis de estructuras compuestas por muros y pórticos, además de

poder analizar muros en los cuales la fuerza cortante no es el efecto

predominante..

c. Determinar la correlación entre el parámetro de deslizamiento por corte (Vo) y

características geométricas (relación H/Lw) o características mecánicas (cuantías

de refuerzo).

Adicionalmente, una vez perfeccionado el modelo se requiere de un estudio de

daños admisibles que permita formar criterios de aceptación o rechazo en la evaluación

de estructuras existentes o en la evaluación de nuevos diseños. Esto, a su vez permitiría

el desarrollo de recomendaciones que pudieran ser incluidas en códigos de diseño para

mejorar los criterios usados actualmente en el diseño sismorresistente.

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109

10. REFERENCIAS

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113

11. APÉNDICE A

11.1 Procedimiento para el cálculo de los parámetros del modelo

A continuación se presentan las ecuaciones y el procedimiento seguido para

calcular los parámetros del modelo de corte (Vy, cs, Gcrs y qs) a partir de las características

resistentes del muro que son: Vcr , Vp , Vu y puφ , definidos en el capítulo 4.

El sistema de ecuaciones no lineal que debe resolverse para calcular los parámetros

del modelo fue presentado en el capítulo 4 (ecuación 4.33). A continuación se muestra la

expresión detallada de dichas ecuaciones y el procedimiento seguido para su solución.

0cr sPara V V d= → = Ecuación 11.1

Al sustituir estos valores en la función de daño, puede despejarse el valor de Gcrs,

quedando:

2.2. .

cr wcrs

v

V LGG A

= Ecuación 11.2

A continuación se analiza la tercera ecuación del sistema:

0uPara V V dV= → = Ecuación 11.3

De la función de daño igualada a cero, con ds = du se despeja 2V , siendo du el valor

de la variable de daño cuando V es máximo:

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114

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

22

22

.1 1 . . 1 .ln 1 02 .

.1 1 . . 1 .ln 12 .

2. . 1 . . 1 .ln 1

wu crs s u u

v

wu crs s u u

v

vu crs s u u

w

V L d G q d dG A

V L d G q d dG A

G AV d G q d dL

− − − − − =

= − + − −

⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦

Ecuación 11.4

Luego, derivando e igualando a cero:

( ) ( )2. 1 . . ln 1 1 0u crs s ud G q d− − − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦ Ecuación 11.5

Donde existen dos incógnitas: qs y du . Al sustituir la condición: para V = Vu , ds =

du:

( ) ( ) ( )2

2.1 1 . . 1 .ln 1 02 .

u wu crs s u u

v

V L d G q d dG A

− − − − − = Ecuación 11.6

Se obtiene otra ecuación con las mismas dos incógnitas que permite resolver el

valor de estos dos parámetros. Como el sistema formado por estas dos ecuaciones es no

lineal, no es posible una solución explícita. Sin embargo, es muy fácil programar una

hoja de cálculo en la cual se itera sobre la variable du, calculando qs de la ecuación 11.5 y

sustituyendo ambos valores en la ecuación 11.6 hasta verificar que ésta se anule.

Ahora, de la segunda ecuación:

0ppPara V V φ= → = Ecuación 11.7

Al sustituir estos valores en la función de daño, considerando que ds = dp , donde dp

corresponde al valor de la variable de daño cuando comienza a fluir el refuerzo, queda:

( ) ( ) ( )2

2.1 1 . . 1 .ln 1 02 .

p wp crs s p p

v

V Ld G q d d

G A− − − − − = Ecuación 11.8

Donde la única incógnita es dp. Desafortunadamente, no es posible despejar la

incógnita, sin embargo, es posible resolver la ecuación en forma similar al sistema

planteado arriba. Es decir, iterando sobre dp hasta que la ecuación 11.8 se anule. Esto es

fácil de programar en una hola de cálculo.

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115

Luego, al sustituir la ecuación 11.7 en la función de fluencia con ds = dp , se puede

calcular Vy :

01

1

py

p

py

p

VV

d

VV

d

− =−

=−

Ecuación 11.9

De la cuarta ecuación:

p pu uPara V V φ φ= → = Ecuación 11.10

Al sustituir estos valores en la función de fluencia, puede despejarse el valor de cs :

. 01

11

pus u y

u

us yp

u u

V c Vd

Vc Vd

φ

φ

− − =−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

Ecuación 11.11

11.2 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-01

Datos:

'2

58,5 c700 c

100 c

370

0,1025

w

c

L mH mt m

kgfcm

factor

==

=

=

=

El factor mencionado arriba es el que permite obtener una rigidez inicial calculada

en base a las características de la sección gruesa, igual a la rigidez inicial del espécimen

en el ensayo.

Cálculos:

( )

2

2

15100 370 290454

290454 1210232* 1 0, 2

ckgE E

cmkgG

cm

= = =

= =+

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116

2

34

9 2

6

58,5*10 487,5 1,210*58,5 166835

12* 4,967 10 .* 6,047 10

v

g

v

A cm

I I cm

factor EI x kg cmfactor GA x kg

= =

= = =

=

=

Los valores usados para las características resistentes del muro no fueron calculados

usando la teoría convencional del concreto armado, sino que fueron tomados

directamente de los resultados experimentales y se muestran en la Tabla 11.1.

Tabla 11.1 Características resistentes del muro MC-01

Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-01 1000 2000 14585 0,004

( )pu radφ

Siguiendo el procedimiento descrito arriba, se procedió al cálculo de los parámetros

del modelo. Los valores que resultaron están resumidos en la Tabla 11.2.

Tabla 11.2 Parámetros del modelo para el muro MC-01

Gcrs (kg.cm) du qs (kg.cm) Ec.11.6 dp Ec.11.8 Vy (kg) cs (kg)5,8 0,632 -3344,5 0 0,005 0 2011 9,396E+06

11.3 Cálculo de los parámetros del modelo para el muro MC-02

Datos:

'2

83,0 c700 c

100 c

370

0,065

w

c

L mH mt m

kgfcm

factor

==

=

=

=

El factor mencionado arriba es el que permite obtener una rigidez inicial calculada

en base a las características de la sección gruesa, igual a la rigidez inicial del espécimen

en el ensayo.

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117

Cálculos:

( )

2

2

15100 370 290454

290454 1210232* 1 0, 2

ckgE E

cmkgG

cm

= = =

= =+

2

34

9 2

6

83,0*10 691,7 1,210*83,0 476489

12* 8,996 10 .* 5,441 10

v

g

v

A cm

I I cm

factor EI x kg cmfactor GA x kg

= =

= = =

=

=

Los valores usados para las características resistentes del muro no fueron calculados

usando la teoría convencional del concreto armado, sino que fueron tomados

directamente de los resultados experimentales y se muestran en la Tabla 11.3.

Tabla 11.3 Características resistentes del muro MC-02

Muro Vcr (Kg) Vp (Kg) Vu (Kg)MC-02 1000 5000 23700 0,01

( )pu radφ

Siguiendo el procedimiento descrito arriba, se procedió al cálculo de los parámetros

del modelo. Los valores que resultaron están resumidos en la Tabla 11.4.

Tabla 11.4 Parámetros del modelo para el muro MC-02

Gcrs (kg.cm) du qs (kg.cm) Ec.11.6 dp Ec.11.8 Vy (kg) cs (kg)6,4 0,632 -9819,2 0 0,016 0 5081 5,931E+06