2.1 Tanque con reacción biológica

Se considera un reactor CSTR con una reacción biológica en la que interactúan un sustrato

y una cantidad inicial de biomasa entre sí. El tipo de cinética de la población está descrita por el

modelo de Monod (2.1).

max

s

Sr

k S

(2.1)

Donde

F

Se

S

B

V

Bi

Si

Flujo de entrada

Cuncentración del sustrato de alimentación

Concentración del sustrato

Concentración de la biomasa

Volumen del reactor

Concentración de la biomasa inicial

Concentración del sustrato inicial

El balance del sustrato y la biomasa está dado por (2.2)

max

max

e

s

s

dS S BD S S

dt k S S

dB SDB B

dt k S

(2.2)

Donde el coeficiente de dilución D se define como D=F/V. α y β son constantes que conforman el

parámetro que representa el rendimiento de la reacción Y, de tal forma que Y = α + βS.

Sustituyendo D y Y en (2.2), los balances quedan expresados en (2.3)

( , )

( , )

e

dS Bf S B D S S r

dt Y

dBg S B DB rB

dt

(2.3)

, eF S

, ,F S B, ,B S Vi i

Tabla 1. Parámetros para el modelo del biorreactor

Coeficiente valor

D 0.2

max 0.3

sk 1.75

0.01

iS 15

0.03

Si se varía la concentración de biomasa inicial desde 0.1 a 4, y la concentración de sustrato inicial de

0 a 25, haciendo un barrido de las soluciones se obtiene un comportamiento oscilatorio como en la

figura 1

Figura 1. Barrido de las condiciones iniciales con los parámetros constantes de la tabla 1

En la figura 1 se observa que el plano de fases tiene una geometría del tipo ciclo límite estable o

cerrado para éstas condiciones. Es decir, las trayectorias están confinadas a una región orbital

cerrada sin contener puntos fijos. Este tipo de geometría en planos de fase sólo se pueden presentar

en sistemas no lineales.

Linealización

Se hizo la linealización usando la serie de Taylor para obtener un polinomio que se aproxime al

sistema no lineal en una región dada. Para ello, se determinaron las derivadas parciales del sistema

(Jacobiana de (2.2)) asociando a dS/dt=f(S,B) y dB/dt=g(S,B).

f f

S BJ

g g

S B

(2.4)

,, ,

,, ,

( , )

( , )

o o

o o o o

o o

o o o o

o oB SB S B S

o oB SB S B S

dS f ff B S S S B B

dt S B

dB g gg B S S S B B

dt S B

(2.5)

(2.5) es una linealización del sistema no lineal (2.3), donde So y Bo son los puntos del estado

estacionario para la concentración del sustrato contra el tiempo y la concentración de la biomasa

contra tiempo respectivamente.

Para So y Bo, se obtienen sus valores de forma visual a través de la figura 1. Se dice que el estado

estacionario de un sistema que se comporta como una onda en tránsito cuando el tiempo tiende a

infinito, será cuando su amplitud se mantenga constante.

La amplitud de S en el estado estacionario es de 4.265 y de B en las mismas condiciones es de 0.741,

(aproximado para ambos casos).

2

22

max

2

( )s

s

s

s

B k SfD

S Y k S

f r

B Y

Bkg

S k S

gD r

B

(2.6)

Al sustituir (2.3) y (2.6) en (2.5), se obtiene el polinomio lineal que se aproxima a (2.2) en los puntos

So y Bo, los cuales toman los valores de las amplitudes del estado estacionario.

Caso de estudio

El caso de estudio consiste en la comparación del sistema no lineal (2.3) con su respectiva

linealización, utilizando los parámetros de la tabla 1 y con valores iniciales de 2 para la concentración

inicial de biomasa y 5 para la concentración inicial de sustrato en el reactor. Se hace la suposición

en todo momento que la temperatura ni otros factores físicos y químicos afectan al sistema ya que

se supone son parámetros constantes.

En la figura 2 se observa cómo sería el comportamiento del sustrato y la biomasa para valores

iniciales constantes. El punto de inicio del ciclo límite se encuentra dentro de él, lo cual indica que

tanto el sustrato como la biomasa aumentarán y en seguida comenzarán a comportarse de forma

oscilatoria, semejante al de una onda.

Figura 2. Simulación de (2.3) para concentración de sustrato inicial de 5 y de biomasa de 2

Al sobreponer la simulación del modelo linealizado con las mismas condiciones dadas para el

sistema no lineal, se observa que no se posee una aproximación de ajuste aceptable (figura 3),

debido que a éstas condiciones el sistema no lineal se comporta con geometría de ciclo límite en el

plano de fases. Es sabido que, fenómenos no lineales tales como equilibrios múltiples, ciclos límite,

bifurcaciones, corrimiento de frecuencias y caos, no se pueden describir mediante dinámica de

modelos lineales (Seron & Braslavky, 2000).

Figura 3. Comparación del sistema no lineal con su linealización utilizando las mismas condiciones iniciales

Tabla 2. Eigenvalores para la linealización de la figura 3, el signo negativo indica que se trata de un foco estable (Torres Henao, 2013)

λ1 λ2 -0.0084 + 0.1270i -0.0084 - 0.1270i

Una de las mejores aproximaciones que se pueden obtener son las que se toman con valores

iniciales de concentración de biomasa y sustrato iguales a las amplitudes del estado estacionario,

obteniéndose así, los resultados mostrados por la figura 4. Aun así, el valor de ajuste que tiene la

linealización sigue siendo inadecuado. No es posible tener un ajuste aceptable de la linealización

debido a que su geometría es de foco estable en éstas condiciones.

Figura 4. comparación con valores iniciales iguales a la amplitud de los estados estacionarios del sistema no lineal.

El sistema no lineal posee un alto nivel de incertidumbre, por lo tanto, la linealización no presenta

un ajuste adecuado al sistema no lineal en éste caso de estudio. Sin embargo, cuando la

concentración de sustrato de alimentación es una cantidad tal que no lleve a el sistema a una

geometría de ciclo límite cerrado, el modelo de la linealización permite dar un buen ajuste de

aproximación. Por ejemplo, si en la corriente, la concentración de sustrato de alimentación es de

9.5, el sistema tiende a comportarse con una geometría de foco estable, siendo los puntos, (aquí se

puede hablar de puntos debido a que se va reduciendo la amplitud a lo largo del tiempo, tendiendo

a ser dS/dt=0 y dB/dt=0), de estado estacionario 3.5 y 0.7 para las concentraciones del sustrato y la

biomasa respectivamente, (figura 5).

Figura 5. comparación de la linalización con valor de ajuste aceptable. El ciclo límite se vuelve foco estable

Tabla 3. Eigenvalores para la figura 5 de la linealización

λ1 λ2 -0.0006 + 0.1512i -0.0006 - 0.1512i

De la figura 5 se puede deducir que, si se tiene un comportamiento oscilatorio de la concentración

del sustrato y la biomasa en la salida, al reducir la concentración del sustrato en la alimentación o

aumentando el flujo de entrada, es posible hallar un estado estacionario oscilatorio en el que la

amplitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Referencias Seron, M. M., & Braslavky, J. H. (2000). Sistemas no lineales (2 ed.). NJ: Prentice Hall.

Torres Henao, J. A. (2013). Sistemas dinámicos planos (Doctoral dissertation). Medellín, Colombia:

Facultad de Ciencias, Escuela de Matemáticas.

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Simulink model

Extras

Figura 6. Scheme control in cascade for simple bioreactor model