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MODELIZACIÓN PARAMÉTRICA DE LA DISTRIBUCIÓN PERSONAL DE LA RENTA

EN ESPAÑA. UNA APROXIMACIÓN A PARTIR DE LA DISTRIBUCIÓN BETA

GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE Autores: Mercedes Prieto Alaiz(a)

Carmelo García Pérez(b)

P. T. N.o 21/07

(a) Universidad de Valladolid (b) Universidad de Alcalá N.B.: Las opiniones expresadas en este trabajo son de la exclusiva responsabilidad de los autores, pudiendo no coincidir con las del Instituto de Estudios Fiscales. Desde el año 1998, la colección de Papeles de Trabajo del Instituto de Estudios Fiscales está disponible en versión electrónica, en la dirección: >http://www.minhac.es/ief/principal.htm.

Edita: Instituto de Estudios Fiscales N.I.P.O.: 602-07-012-X I.S.S.N.: 1578-0252 Depósito Legal: M-23772-2001

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN

2. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA LA DISTRIBUCIÓN PERSONAL 2. DE LA RENTA

3. LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA ESPECIE Y 3. SUS RELACIONES CON OTROS MODELOS.

4. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN

5. MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE

6. DATOS UTILIZADOS

7. RESULTADOS

8. CONCLUSIONES

ANEXOS

REFERENCIAS

SÍNTESIS. Principales implicaciones de política económica

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RESUMEN

El objetivo de este trabajo es estudiar la adecuación de distintos modelos pa-ramétricos para la descripción de la distribución personal de la renta en España. Para realizar este estudio, se toma como referencia y punto de partida la distri-bución beta generalizada de segunda especie que anida los principales modelos que tradicionalmente se han utilizado para describir la distribución personal de la renta en España. Tras un proceso de estimación y validación de las distintas funciones de distribución propuestas, se seleccionan los modelos más adecuados para el caso español, que resultan ser las distribuciones beta generalizada de se-gunda especie, Dagum y Singh-Maddala. Los ajustes se llevan a cabo con los datos pertenecientes a la Encuesta de Condiciones de Vida de los años 2004 y 2005.

JEL: C31, D31, D63. Palabras clave: Distribución personal de la renta, modelización paramétrica,

métodos de estimación.

Instituto de Estudios Fiscales

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1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es estudiar la adecuación de distintos modelos pa-ramétricos para la descripción de la distribución personal de la renta (DPR) en España. Con este fin, se utilizan los datos de renta más recientes para el caso español, pertenecientes a las dos olas disponibles de la Encuesta de Condiciones de Vida (ECV), correspondientes a los años 2004 y 2005. La elección de esta fuente permitirá en el futuro realizar un seguimiento continuado de la evolución de la DPR con las siguientes olas de la ECV. Las conclusiones de este estudio serán de interés para posteriores aplicaciones de la modelización en el ámbito del análisis económico de la DPR, que debe ser el objetivo último de esta herramienta.

La modelización paramétrica de la DPR permite la descripción de la distribu-ción empírica mediante un número escaso de parámetros, sin que ello suponga una pérdida de información importante. De este modo, se puede simplificar cualquier estudio que tenga como objetivo el análisis económico de los distintos aspectos distributivos. Así pues, la comparación entre dos distribuciones, a través del tiempo o del espacio, se puede realizar analizando la evolución de los paráme-tros estimados. Otro ejemplo de aplicación se localiza en el campo de la medición de la desigualdad y la pobreza: los índices de desigualdad y de pobreza, general-mente, se pueden expresar como una función de los parámetros, de tal forma que la estimación de aquéllos y el análisis de sus propiedades estadísticas se pue-den realizar de forma sencilla. De igual forma, se puede analizar el impacto de ciertas acciones del Estado sobre la DPR, estudiando la repercusión que tienen sobre el valor de las estimaciones de los parámetros de los modelos paramétri-cos, que, a su vez, pueden integrarse en modelos macroeconómicos generales.

Desde que Pareto, a finales del siglo XIX, propusiera y estimara la primera ley para la DPR, muchos han sido los modelos que se han empleado1. Algunos han sido formulados específicamente para la renta, otros han sido trasladados desde otros campos debido a que proporcionaban un buen ajuste.

Los trabajos más recientes sobre modelización paramétrica de la DPR tienen en la actualidad objetivos diversos, abandonando así la casi exclusiva sucesión de propuestas de nuevos modelos de las décadas de los 70 y los 80. Así pues, entre los nuevos trabajos, además de nuevas propuestas, podemos encontrar amplias y detalladas comparaciones de modelos (Bandourian, McDonald y Turley, 2002), aplicaciones de la modelización paramétrica a estudios macroeconómicos (Jäntti y Jenkins, 2001) o propuestas de modelos económicos que generan como resultado distribuciones paramétricas (Creedy et al., 1996; Parker, 1996; 1999). 1 Una relación exhaustiva de estos modelos puede verse en Callealta et al. (1996).

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Entre las propuestas recientes de nuevos modelos, Bordley et al. (1996) introducen la distribución de elasticidad cuadrática, aunque los mismos autores comprueban que el ajuste de esta distribución a los datos de un conjunto de países es peor que el de otras distribuciones anteriormente conocidas.

En un campo más interdisciplinar, también se desarrolla una línea de trabajos basados en distribuciones multivariantes y sus condicionadas. En esta línea, Arnold, Castillo y Sarabia (2007) proponen varias familias paramétricas a partir de la construcción de Rosenblatt. Este tipo de trabajos, con elevado rigor y complejidad matemática, contienen propuestas teóricas que, en el futuro, deberán incorporarse al estudio conjunto de distribuciones condicionadas de renta en diferentes momentos del tiempo, de diferentes tipos de ingresos, etc.. Esta es la idea que sugieren Arnold, Castillo y Sarabia (2007), que aplican su propuesta teórica a los datos del Panel de Hogares de la Unión Europea.

Las aplicaciones empíricas y los desarrollos y generalizaciones de familias de modelos siguen siendo también objeto de trabajos, como los más recientes de Dastrup, Hartshorn y McDonald (2007) y Jenkins (2007), basados ambos en la distribución beta generalizada de segunda especie (GBII). Este modelo es muy utilizado en la actualidad por su adecuada bondad del ajuste y porque incluye muchos otros modelos como casos anidados o límites (véanse, entre otros, Bordley et al. 1999. Brachmann et al. (1996), Butler y McDonald (1989), McDonald (1984) y McDonald y Xu (1995)).

Siguiendo esta línea, en este estudio se desarrollará un análisis a partir de la estimación de la distribución GBII y de los distintos modelos que anida, entre ellos la distribución de Dagum y la Singh-Maddala que según diferentes trabajos presentan los mejores ajustes al caso español (Callealta et al., 1996; Prieto y Pena, 2000; García et al. 2006).

No obstante, a pesar de lo atractiva que pueda resultar la modelización pa-ramétrica de la DPR, hay que ser conscientes de que la validez de todos los aná-lisis derivados a partir de ella dependerá, en última instancia, de si el modelo estimado describe bien la DPR. Para conseguir tal objetivo, en este trabajo, se llevará a cabo un riguroso proceso de especificación, estimación y validación de cada uno de los modelos que se consideran.

La estructura del trabajo es la siguiente. En primer lugar, se analizarán los as-pectos más relevantes de la modelización parámetrica de la DPR, estudiando las propiedades más sobresalientes que debe reunir un modelo de probabilidad de la DPR. A continuación, se presentarán las características de la distribución beta generalizada de segunda especie, en cuanto a su potencial de inclusión de mode-los. En los epígrafes 3 y 4 se describirán, respectivamente, el procedimiento de estimación utilizado y las medidas de bondad del ajuste. En la sección 5, se pre-sentarán los datos utilizados y algunas decisiones metodológicas en relación con el concepto de renta cuya distribución se modeliza. Finalmente, se presentan los resultados del estudio y las conclusiones del mismo.


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2. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA LA DISTRIBUCIÓN 2. PERSONAL DE LA RENTA

Supongamos que estamos analizando la renta de los individuos de una pobla-ción, N1 x,...,x , donde 0xi > es el valor de la renta del individuo i-ésimo. Cierta-mente, esta población de rentas es finita. Sin embargo, como el tamaño de la población es grande y como, generalmente, cada individuo tiene una renta dife-rente, podemos hacer un supuesto simplificador y caracterizar la distribución de la renta mediante una función de distribución o de densidad continuas. A la va-riable aleatoria que tiene esta función de distribución o de densidad, X, la de-nominamos renta personal.

El punto de partida de la modelización paramétrica de la distribución perso-nal de la renta (DPR) es un modelo de probabilidad que queda definido por una familia de funciones de distribución { }Θ∈θθ),;x(F , donde θ es un vector de pa-rámetros desconocidos de orden ( )pxl y pℜ⊂Θ es el espacio paramétrico, o por su correspondiente familia de funciones de densidad,{ }Θ∈θθ),;x(f .

El modelo de probabilidad se propone, a priori, con el objeto de describir la población de la que se obtiene el conjunto de datos disponibles y su elección está determinada por las características específicas del fenómeno que tratemos de analizar. En principio, cualquier familia de funciones de distribución podría servir para modelizar la DPR, por lo que parece necesario restringir este nume-roso conjunto a un subconjunto de funciones que posean una serie de propie-dades. Estas propiedades pueden estar basadas en la evidencia empírica de la renta (por ejemplo, la distribución empírica de la renta muestra asimetría positi-va que debería reproducir cualquier candidato para ser un modelo probabilístico de la renta); en características matemáticas deseables (por ejemplo, que sea dos veces diferenciable); o en propiedades económicas (por ejemplo, que se genere como resultado de un modelo económico de base). Autores, como Aitchinson y Brown (1957), Dagum (1977), Dagum (1990), Majunder y Chakravarty (1990) y Callealta et al. (1996) han propuesto diferentes listas de propiedades exigibles a un modelo de la DPR.

A continuación, presentamos cinco propiedades, aquéllas que, a nuestro jui-cio, definen mejor el comportamiento de la renta. El cumplimiento de estas propiedades no debe exigirse de forma excluyente, sino que son únicamente convenientes y orientadoras en la búsqueda de modelos adecuados; no obstan-te, como reseñamos a continuación, alguno de los modelos más utilizados no cumplen estas propiedades:

1. El modelo debería presentar asimetría a la derecha A lo largo del tiempo y del espacio, la característica más representativa que

muestra la distribución de la renta observada es la asimetría a la derecha. De

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hecho, este rasgo es tan determinante como para que aquellos modelos que lo presentan puedan ser utilizados como candidatos a modelos probabilísticos de la DPR y aquéllos que no sean rechazados. Además, Dagum (1990) considera con-veniente que el modelo tenga un pequeño número de momentos finitos para que su cola de la derecha sea pesada, es decir, para que la función de densidad converja hacia cero muy lentamente a medida que la variable tiende a infinito.

2. El modelo debería converger a la ley de Pareto para altos grupos de renta Pareto en 1896 propuso su conocida ley de la distribución de la renta, que se

puede escribir como,

o

o0

xx1);x(R

xxxx);x(F1);x(R

<=α

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α−=α

α−

(1)

donde )xX(p);x(R >=α es la función de supervivencia, ox es el valor de la ren-ta mínima y α es el parámetro de Pareto. Esta ley implica que la probabilidad de que un individuo tenga una renta superior a x tiende a decrecer exponencial-mente cuando la renta se incrementa. Pareto formuló su modelo para todo el rango de definición de la renta, sin embargo, empíricamente, se ha comprobado que la distribución de Pareto sólo se ajusta bien a la cola superior de la DPR. Este hecho motivó que Mandelbroth (1960) formulara la ley débil de Pareto, co-nociéndose (1) como la ley fuerte de Pareto. La ley débil de Pareto supone que:

constante)x,R(limx

=ε∞→

donde (..)ε es la elasticidad de la función de supervivencia. A diferencia de la ley fuerte, la ley débil de Pareto es aceptada universalmente, de tal forma que se la considera una propiedad deseable de cualquier modelo probabilístico para la DPR. No obstante, hay que señalar que alguno de los modelos que más amplia-mente se han utilizado, por ejemplo, la distribución lognormal o la gamma, no cumplen esta propiedad.

3. El modelo debería tener una fundamentación teórico-empírica Dagum (1990) considera que cualquier modelo para la DPR debería derivar-

se a partir de una serie de supuestos elementales que recogieran las caracterís-ticas de regularidad de la distribución de la renta observada, a lo largo del tiempo y del espacio. Sin embargo, existen muchas formas funcionales que han sido utilizadas para describir la DPR, simplemente, por el hecho de ser distribu-ciones asimétricas a la derecha, y no se deducen a partir de supuestos específi-cos sobre el comportamiento de la renta. Otras formas funcionales sí que han sido derivadas a partir de características propias de la renta, recogidas a través de un proceso estocástico (por ejemplo, la distribución lognormal o la familia de


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distribuciones de Champernowne), el planteamiento de una serie de ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la familia de distribuciones Dagum) o la modelización del equilibrio de un modelo económico de oferta y demanda (Creedy et al., 1996; Parker, 1996 y 1999). Que el modelo tenga una fundamentación econó-mica es, obviamente, una propiedad deseable, sobre todo, para dar una inter-pretación económica a los parámetros.

4. Dependencia del menor número de parámetros Como ya hemos indicado, el enfoque paramétrico de la modelización de la

distribución de la renta, considera que el modelo de probabilidad está perfec-tamente determinado, salvo el vector de parámetros desconocidos. Los mode-los con pocos parámetros son especialmente atractivos por su simplicidad, sin embargo, su comportamiento suele ser pobre al describir el rango completo de la renta (por ejemplo, Salem y Mount, 1974 señalan que la distribución lognor-mal y la gamma, distribuciones con dos parámetros, se ajustan mal a la cola su-perior). Metcalf (1972) mantiene que los modelos con tres y cuatro parámetros suelen ser los más apropiados. Este aspecto ha sido confirmado empíricamente con los trabajos de McDonald (1984), Dagum(1977) y Majunder y Chakravarty (1990), McDonald y Mantrala (1995), McDonald y Xu (1995) y Victoria-Feser (1995 y 2000), entre otros2. En cualquier caso, el requerimiento de parquedad se justifica por motivos de sencillez y, por tanto, si dos distribuciones se ajustan bien a los datos, siempre será preferida aquélla que tenga un menor número de parámetros.

5. Proporcionar un buen ajuste Es deseable que las diferencias entre la distribución observada y la estimada

sean lo más pequeñas posibles, ya que, si el modelo estimado reproduce bien el comportamiento de la datos, podremos inferir que describe bien el comporta-miento de la población. A nuestro juicio, ésta es una característica fundamental que debería poseer un modelo de probabilidad para la DPR. Así, si el modelo estimado no se ajusta bien a los datos, aunque cumpla todas las propiedades que hemos indicado anteriormente, éste resultaría inadecuado para describir la DPR. No obstante, existen ciertos aspectos relacionados con la bondad del ajuste que deben destacarse. Por un lado, conseguir buenos ajustes, generalmente, está ligado a una especificación correcta del modelo y a la elección de un método de estimación adecuado para dicha especificación. En este sentido hay que señalar que, normalmente, cuanto mayor es el número de parámetros de un modelo, mejor es el ajuste realizado. Por otro lado, dada la existencia de un gran varie-dad de medidas de bondad del ajuste es necesario usar una batería de las mis-mas con el ánimo de analizar la consistencia de los resultados. 2 Jonhson y Kotz (1970, p. 9) consideran, a este respecto, que tres parámetros suelen ser suficientes para modelizar el comportamiento de cualquier fenómeno.

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3. LA DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA DE SEGUNDA 3. ESPECIE Y SUS RELACIONES CON OTROS MODELOS

En el campo de la modelización univariante, la propuesta de generalización de distribuciones con mayor repercusión, por sus numerosas aplicaciones, es, a nuestro juicio, la de McDonald y Xu (1995), que introducen la distribución beta generalizada, cuya función de densidad anida una gran parte de distribuciones utilizadas para modelizar la DPR. La utilización de esta distribución pentapa-ramétrica, como modelo de partida, permite, a partir de la realización de con-trastes anidados, descartar sucesivamente distribuciones estimadas hasta obte-ner el modelo que mejor ajuste los datos con el menor número de parámetros posible.

En este trabajo, se parte de la distribución beta generalizada de segunda es-pecie (GBII), propuesta por McDonald (1984), que cuenta con un número más razonable de parámetros (4) y anida las distribuciones que producen los mejores ajustes a todo el rango de rentas para el caso español. Se eliminan así del análisis planteado por McDonald y Xu (1995) la distribución beta de primera especie, con pobres ajustes para el caso español y en general, y la distribución de Pareto, únicamente válida para la cola superior3. Este enfoque es el adoptado también por Brachmann, Stich y Trede (1996), tras comprobar el buen ajuste que pro-porciona la distribución Singh-Maddala y GBII y la complicación que supone aña-dir un quinto parámetro para llegar a la distribución beta generalizada. En el mismo sentido se pronuncia Jenkins (2007) y señala que la GBII es un modelo que proporciona una excelente descripción de la distribución de la renta, consiguién-dose un elevado nivel de bondad del ajuste con una relativa parsimonia.

La expresión de la función de densidad de la distribución beta generalizada de segunda especie es la siguiente:

( )0x,

)bx1)(q,p(Bb

xa)q,p,b,a;x(GBII

qpaap

1ap≥

−=

+

−

donde 0q,p,b,a > y )q,p(B es la función beta.

Las distribuciones triparamétricas Dagum (DAGUM) y Singh-Maddala (SM) corresponden a los casos de la distribución GBII siguientes: 3 Esta generalización no contempla los modelos II y III de Dagum que permiten, mediante la introducción de un nuevo parámetro, la posibilidad de modelizar una bolsa de rentas cero o negativas y una renta mínima, respectivamente. En la mayoría de los estudios empíricos (García, Callealta y Núñez, 2006; Prieto y Pena, 2000) se comprueba que la inclusión de este nuevo parámetro no mejora significativamente la bondad del ajuste, lo que indica la conveniencia del modelo de Dagum de tipo I. No obstante, se han realizado dichos ajustes para comprobar la adecuación de los modelos de Dagum tipos II y III a los datos de las dos olas de la ECV, obte-niéndose que ambos modelos no aportaban mejoras significativas sobre el modelo de tipo I.


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)1q,p,b,a;x(GBII)q,p,b,a;x(DAGUM == )q,1p,b,a;x(GBII)q,p,b,a;x(SM ==

El gráfico 1 muestra la riqueza de modelos relacionados con la distribución GBII, que incluye, además de los mencionados, los modelos triparamétricos beta de segunda especie y gamma generalizada, y los modelos de dos parámetros lognormal, gamma, Weibull y Fisk. Las expresiones de las funciones de densidad, distribución, índice de Gini, media y las funciones que determinan los estimado-res máximo verosímiles (funciones score) de todas las distribuciones considera-das en este análisis se presentan en el apéndice A.2.

Gráfico 1 DISTRIBUCIONES RELACIONADAS CON LA GBII

Siguiendo el esquema de la figura 1, en primer lugar, se estimarán los pará-

metros de las distintas distribuciones y, a continuación, se realizarán sucesiva-mente los contrastes anidados para seleccionar el mejor modelo, partiendo de aquéllos con mayor número de parámetros y comparando, mediante ratios de logaritmos de la función de verosimilitud, si son significativas las mejoras que introducen los modelos no restringidos sobre los anidados.

4. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN

Una vez fijado un modelo de probabilidad para la DPR, descrito por una fa-milia de funciones de distribución, { }p),;x(F ℜ⊂Θ∈θθ , o de densidad, { }p),;x(f ℜ⊂Θ∈θθ , y suponiendo que el conjunto de datos, ( )n1 x,...,x es una realización de un conjunto de observaciones independientes e igualmente distri-buidas (muestra aleatoria simple), ( )n1 X,...,X , de );x(f θ , el siguiente paso es es-timar el vector de parámetros desconocidos, ( )'p1 ,, θθ=θ K . Este problema se concreta en determinar una serie de funciones de la muestra, una para cada pa-

q�∞

q→∞

a→0 q→∞

Gamma Beta II S-M

Beta G II

Lognor Gamma Weibull

a=1 p=1q=1

q→∞

Dagum

Fisk

a=1 p=1q=1 p=1

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rámetro, ( ) ( )n1npn

1nn X,,XTT,,TT KK == , que evaluadas en una realización concreta

de la misma, nos proporcione un vector que pertenezca al espacio paramétrico. A nT le denominaremos estimador de θ .

La variedad de estimadores que se pueden definir es muy amplia, por tanto, es preciso fijar unos criterios para poder discernir entre ellos. Dado que las propiedades finitas de los estimadores de los parámetros de la DPR son difícil-mente conocidas, ya que son funciones no lineales de la muestra, nos centrare-mos en los procedimientos de estimación que proporcionan estimadores que son eficientes asintótica mente (véase Rao 1973, p. 351 y Ghosh ,1994, p. 4).

Entre este tipo de estimadores se encuentran los que proporciona el Método de máxima verosimilitud, que es el utilizado en este trabajo. Se ha aplicado el principio de máxima verosimilitud sobre los datos de rentas individuales ponde-radas por los pesos debidos al diseño muestral y al tamaño de cada hogar, según los ficheros correspondientes de la ECV. Así pues, la función de verosimilitud será una función de θ , proporcional a la función de densidad conjunta de la muestra aleatoria, evaluada en una realización concreta de la misma asignando a cada elemento de la muestra las correspondientes ponderaciones iw ,

( )∏=

θ=θ∝n

1i

win1n1

i);x(f);x,,x(f)x,,x(L KK

El valor del estimador máximo verosímil para unos determinados datos, MVT , es el supremo en θ de la función de verosimilitud,

( )( )∏=Θ∈θ

θ=n

1i

wiMV

i;xfsupargT

En la práctica, se suele obtener el supremo del logaritmo natural de la función de verosimilitud. Si el supremo se obtiene en un punto interior de Θ y el logarit-mo natural de la función de verosimilitud es diferenciable, el valor del estimador máximo verosímil es la solución en θ del siguiente sistema de p ecuaciones:

0)T;x(swn

1iMVii =∑

=

donde ( )( )MViMVi T;xfln)T;x(sθ∂∂

= . Bajo ciertas condiciones de regularidad (véase,

por ejemplo, Zacks 1981, p. 237) el estimador máximo verosímil es eficiente asintóticamente4. 4 Otros métodos de estimación para el caso de datos individuales son el método de los mo-mentos y el de mínimos cuadrados. El primero proporciona estimadores consistentes, pero no eficientes asintóticamente, salvo en el caso de que el modelo de probabilidad pertenezca a la familia exponencial (véase, por ejemplo, Rao 1973, p. 251 para una definición de los mis-


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En nuestro caso las estimaciones máximo verosímiles son la solución de un sistema de ecuaciones no lineales, que se ha resuelto aplicando el algoritmo de Newton-Raphson implementado en lenguaje C. Los valores iniciales de los pa-rámetros se han elegido a partir de las estimaciones por mínimos cuadrados no lineales o a través de una búsqueda reticular con una precisión de una décima.

Para la realización de los contrastes anidados, se ha utilizado el siguiente es-tadístico de razón de verosimilitudes:

[ ] 2rn

*LnLLnL2 χ⎯⎯⎯ →⎯−∞→

Donde LnL y *LnL son, respectivamente, los logaritmos neperianos de las funciones de verosimilitud de la muestra para el modelo sin restricciones y para el modelo anidado. Dicho estadístico se distribuye asintóticamente como una distribución 2

rχ donde los grados de libertad (r) son la diferencia entre el núme-ro de parámetros del modelo sin restricciones y el número de parámetros del modelo anidado.

Para las comparaciones entre modelos no anidados se han utilizado los esta-dísticos de bondad de ajuste que se presentan en la siguiente sección.

5. MEDIDAS DE BONDAD DEL AJUSTE

El proceso de modelización de la DPR tiene como objetivo fundamental que el modelo estimado describa lo mejor posible a la población objeto de estudio. Por tanto, es necesario fijar una serie de criterios con el fin de analizar el grado de consecución de tal objetivo. Diferenciamos dos tipos de criterios: criterios a priori y criterios a posteriori.

Los criterios a priori se emplean antes de la estimación del modelo con el ánimo de reducir el número de funciones de distribución candidatas a modelo probabilístico de la DPR. En la sección 2 expusimos una serie de propiedades generales que son recomendables para cualquier forma funcional que se ajustase a la DPR. Las cuatro primeras propiedades constituyen criterios a priori y hacen referencia a la asimetría a la derecha, al cumplimiento de la ley débil de Pareto, a la fundamentación económica y a la parquedad del modelo. El cumplimiento de estas propiedades por los modelos considerados en este trabajo puede verse en la tabla 1. mos y un análisis de sus propiedades). Por otra parte, los estimadores por mínimo cuadrados poseen buenas propiedades cuando el modelo de probabilidad es una normal y la E(X) es una función lineal de los parámetros (véase, por ejemplo, Zacks 1981, pp. 186-192, para su defi-nición y el análisis de sus propiedades). Dado que los supuestos que se exigen en ambos casos son poco oportunos para el caso de la DPR, no los hemos incluido en el presente trabajo.

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Tabla 1 CUMPLIMIENTO DE PROPIEDADES POR PARTE DE LOS

MODELOS CONSIDERADOS EN EL TRABAJO

Propiedades Distribuciones

Asimetría a la derecha

Ley débil de Pareto

Fundamentación económica

Número de parámetros

GBII Sí Sí Sí (Parker, 1999) 4

Dagum Sí Sí Sí (Dagum, 1977) 3

Singh-Maddala Sí Sí No 3

Beta II Sí Sí No 3

Gamma General. Sí Sí Sí (Creedy et al., 1996) 3

Fisk Sí Sí No 2

Gamma Sí No No 2

Lognormal Sí No Sí (Gibrat, 1931) 2

Weibull Sí Sí No 2

Los criterios a posteriori se aplican una vez estimado el modelo. A continua-

ción, analizaremos ciertos métodos gráficos, así como los estadísticos de bon-dad del ajuste que serán utilizados en el presente trabajo.

Una forma de analizar la bondad de los ajustes es mediante los conocidos gráficos de probabilidad (PP-plots) donde se representan los valores la función de distribución empírica frente a los valores de la función de distribución, estima-dos de acuerdo con un determinado modelo. Si los puntos se sitúan a lo largo de la línea recta que parte del origen y describe un ángulo de 45º, entonces nuestro modelo está bien especificado. En otro caso, la especificación no es la correcta. La presentación del gráfico general de probabilidad se dividirá en cua-tro partes correspondientes a cada 25 por 100 de la distribución, para poder observar con más detalle en qué percentiles de la distribución se localizan las mayores desviaciones con respecto al modelo teórico.

Otro tipo de criterios a posteriori, son los llamados contrastes de bondad del ajuste. La hipótesis nula de este tipo de contrastes es de la forma,

);x(F)x(F:Ho θ=

es decir, se trata de contrastar si la función de distribución de la variable aleato-ria X es igual a );x(F θ . La hipótesis nula puede ser simple, cuando está perfecta-mente especificada, es decir, cuando θ toma un valor concreto, por ejemplo,

0θ , o puede ser compuesta, en el resto de los casos. En la mayoría de las situa-ciones, la hipótesis nula suele ser compuesta.

Los contrastes que pueden realizarse son de dos tipos, dependiendo de la utilización de datos agrupados o sin agrupar. En nuestro caso disponemos de


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datos sin agrupar, que utilizaremos de forma individualizada para no perder nin-gún tipo de información. Por tanto, descartaremos los contrastes basados en la distribución chi-cuadrado, puesto que dichos contrastes pierden sus propieda-des y no están definidos para datos individuales. Tampoco sería coherente agru-par los datos sólo con el fin de realizar dichos contrastes, originando la pérdida de información inherente a la agrupación.

Así pues, nos centraremos en los contrastes basados en la función de distribu-ción empírica que se aplican a datos individuales con funciones de distribución continuas y se definen a partir de diferentes medidas de la distancia entre la fun-ción de distribución empírica y la hipotética.

Los estadísticos que sirven para realizar este tipo de contrastes serán utilizados únicamente como medidas descriptivas de la aproximación de las dos distribuciones, ya que, para la realización de los contrastes se requiere una función de distribución totalmente especificada, por lo que los parámetros no pueden ser sustituidos por estimaciones máximo verosímiles obtenidas con la misma muestra, sin alterarse las distribuciones asintóticas de dichos estadísticos. Así, en el caso de que la hipótesis nula sea simple, tanto la distribución finita como la asintótica de estos estadísticos es conocida y está tabulada (ver, por ejemplo, Stephens 1986). Sin embargo, en el caso de que la hipótesis nula sea compuesta, la distribución de los estadísticos de contraste es desconocida5. Stephens (1986) indica que esta distribución depende de la distribución que se asume bajo 0H , de los parámetros estimados, del método de estimación y del tamaño muestral. Por tanto, como Stephens (1986) y Gibbons y Chakrabarty (1992) advierten, los valores críticos obtenidos considerando que la hipótesis nula es simple, pueden llevar a obtener conclusiones falsas.

Así pues, los estadísticos de bondad de ajuste que se calcularán en este traba-jo se utilizarán, a efectos comparativos, como medidas descriptivas de la aproximación de las distribuciones teóricas y empíricas, sin realizar ningún tipo de inferencia que permita rechazar o aceptar modelos con un determinado nivel de significación.

Los estadísticos que se calcularán para cada ajuste serán los siguientes: • El estadístico de Kolmogorov-Smirnov:

( )θ−= ;xF)x(FsupD nx

• El estadístico de Cramer-von Mises:

( )∫∞

θθ−=0

2n

2 );x(dF);x(F)x(FnW

5 Una forma de aproximar la distribución de estos estadísticos es mediante técnicas boots-trap.

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• El estadístico de Anderson-Darling:

( ) ( )[ ]∫∞

− θθ−θθ−=0

12n

2 );x(dF);x(F1);x(F);x(F)x(FnA

Cada uno de estos estadísticos tiene sus particularidades, por ejemplo, el es-tadístico de Anderson-Darling pondera fuertemente las desviaciones existentes en las colas, mientras que el estadístico de Cramer-von Mises aplica una menor ponderación a este tipo de rentas. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov sólo se centra en la distancia máxima, ignorando las diferencias que se producen en el resto de la distribución.

Finalmente, también se utilizará, siguiendo a Branchmann et al. (1996), un estadístico que permite comparar la función de densidad teórica y una aproximación no paramétrica a la función de densidad empírica que definiría el histograma originado por la muestra. Pasamos, a continuación, a detallar el planteamiento subyacente a este estadístico.

Si disponemos de una muestra aleatoria simple de tamaño n, (X1,X2,...,Xn), obtenida de una población con función de densidad continua f(x), el estimador no parámetrico de la función de densidad propuesto por Parzen (1962) sería:

∑=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

n

1i

ih

XxKnh1)x(f̂

donde )u(K es una función Kernel tal que ∫ =1du)u(K y h>0 es la amplitud

(tamaño) de la ventana o parámetro de suavizado. Para que este estimador sea consistente debe cumplirse que 0h → y ∞→nh cuando ∞→n (Silverman, 1986).

Si queremos contrastar la hipótesis:

);x(f)x(f:Ho θ=

donde los parámetros pueden estar especificados o ser las estimaciones máximo verosímiles6, entonces, como estadístico de contraste podría utilizarse la si-guiente distancia cuadrática:

( ) dx)ˆ,x(f)x(f̂H2

0∫ θ−=

Sin entrar en los aspectos inferenciales sobre la distribución asintótica de este estadístico (Bickel y Rosenblatt, 1973), en este trabajo se utilizará H como me-dida descriptiva para comparar distribuciones, dado que proporciona una inter-pretación intuitiva asociada a la cuantificación de las distancias observadas entre el histograma y la función de densidad. 6 Bajo determinados supuestos adicionales (Bickel y Rosenblatt, 1973).


— 19 —

6. DATOS UTILIZADOS

Los datos de renta utilizados en este estudio proceden de la Encuesta de Condiciones de Vida (ECV), traducción castellana de la terminología “European Statistics on Income and Living Conditions” (EU-SILC). Esta fuente estadística de ámbito comunitario proporciona información sobre la distribución de ingresos en Europa y fue creada para que sirviera de ayuda en la formulación de políticas sociales y en el posterior seguimiento de sus efectos, con el valor añadido de permitir la comparabilidad entre los Estados miembros de la Unión Europea.

La ECV sustituye al Panel de Hogares de la Unión Europea que desempeñó la misma función entre 1994 y 2001. Desde el año 2004, se generan ficheros de microdatos, con una periodicidad anual, relativos a datos de rentas recogidos en el año anterior. En la actualidad se dispone de los datos correspondientes a 2003 y 2004, que serán los que utilizaremos en este trabajo.

Entre las diferentes opciones que permite la ECV, la variable objeto de estudio será la renta disponible por hogar, que incluye los ingresos totales del hogar después de sumar transferencias y deducir los impuestos y contribuciones a la seguridad social. Este tipo de rentas se han obtenido de los ficheros transversales de la encuesta.

La unidad de análisis es la persona. Por tanto, cada hogar recibe una ponderación proporcional al número de sus miembros y al peso que le asigna el diseño muestral. La escala de equivalencia utilizada es la OCDE modificada que asigna el valor 1 al primer adulto en el hogar, cada adulto adicional recibe una ponderación de 0,5 y cada niño menor de 14 años una ponderación de 0,3. Esta escala, de frecuente utilización en el ámbito europeo, facilita la comparación de los resultados con los de otros estudios.

7. RESULTADOS

Los resultados obtenidos en el proceso de estimación descrito en la sección 3 se presentan en las tablas 2 y 3. En dichas tablas, se recogen las estimaciones de cada parámetro acompañadas de su error estándar y del logaritmo neperiano de la función de verosimilitud (LnL), que es, además de una medida de la bondad del ajuste, la función objeto de optimización en la estimación de cada modelo. Según esta medida, el modelo GBII sería el más adecuado en los dos años analizados, seguido de la distribución de Dagum y la Singh-Maddala. Entre las distribuciones biparamétricas, la distribución Fisk es la que produce mejores resultados superando incluso a las distribuciones triparamétricas beta de segunda especie y gamma generalizada, que la siguen por este orden. Los peores ajustes se producen con las distribuciones gamma, Weibull y lognormal. Estos rasgos básicos de la ordenación permanecen inalterables en los dos años

— 20 —

analizados, lo que indica la estabilidad de la forma de la distribución personal de la renta en España entre 2003 y 2004.

Por otra parte, para relacionar la bondad del ajuste con la parsimonia de los modelos, se han realizado varios contrastes anidados para verificar si los modelos generales, con más parámetros, eran mejores que los restringidos. Los resultados de estos contrastes permiten concluir que las mejoras en la medida de bondad LnL son todas significativas, por lo que, tras realizar estas pruebas, la mejor distribución sigue siendo la GBII, que presenta una mejora significativa sobre las distribuciones Dagum y Singh-Maddala, las siguientes en la ordenación en cuanto a bondad de ajuste.

Tabla 2 RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN. AÑO 2003

GBII Dagum SM B2 GG Fisk Gamma LN Weibull

a 3,3742 (0,1895)

3,8580 (0,0549)

2,5385 (0,0292)

0,8331(0,0370)

3,0262(0,0210)

μ=0,0088 (0,0052)

1,7667(0,0114)

b (β) 1,3556 (0,0275)

1,3065 (0,01434)

1,4612 (0,0357)

6,0556(0,8685)

0,1942(0,0358)

1,0211(0,0049)

0,3757 (0,0046)

σ2 =0,3868 (0,0045)

1,3220(0,0065)

p 0,6761 (0,0493)

0,5736 (0,0149)

3,6807(0,0850)

4,3771(0,3650)

3,1231 (0,0348)

q 1,2453 (0,1126)

1,9683 (0,0829)

20,0091(2,3592)

LnL -34458224 -34468644 -34504880 -35021556 -35164944 -35011464 -35215112 -36847136 -36675032

n (hogares)

14545

14545

14545

14545

14545

14545

14545

14545

14545

n (personas)

41029

41029

41029

41029

41029

41029

41029

41029

41029

Tabla 3 RESULTADOS DE LA ESTIMACIÓN. AÑO 2004

GBII Dagum SM B2 GG Fisk Gamma LN Weibull

A 3,0865 (0,1847)

3,6673 (0,0555)

2,3816 (0,0290)

0,9039(0,0388)

2,8792(0,0212)

μ=0,0132 (0,0059)

1,6898(0,0116)

b (β) 1,4457 (0,0357)

1,3583 (0,0167)

1,5855 (0,0453)

6,3510(0,9347)

0,2209(0,0204)

1,0471(0,0056)

0,4285 (0,0055)

σ2 =0,4541 (0,0057)

1,3707(0,0075)

p 0,7028 (0,0549)

0,571526 (0,0157)

3,3312(0,0783)

3,4218(0,2709)

2,8475 (0,0336)

q 1,3488 (0,1336)

2,0959 (0,0975)

18,3332(2,2162)

LnL -40267004 -40288432 -40315176 -40917148 -41063588 -40914756 -41084832 -44078156 -42451024

n (hogares)

12867

12867

12867

12867

12867

12867

12867

12867

12867

n (personas)

37110

37110

37110

37110

37110

37110

37110

37110

37110


— 21 —

Las conclusiones obtenidas a partir de la medida LnL quedan, en general, re-frendadas por los resultados de las restantes medidas de bondad de ajuste pre-sentadas en las tablas 4 y 5. De acuerdo con estas tablas, las mejores distribuciones siguen siendo la GBII, Dagum y Singh-Maddala, aunque ésta última produce los mejores resultados para las medidas de bondad de ajuste Anderson-Darling, Kramer von-Mises y Kolmogorov-Smirnov en los dos años considera-dos. La distribución Fisk sigue siendo la mejor distribución biparamétrica super-ando a las triparaméticas beta de segunda especie y gamma generalizada. En la última posición se alternan la distribución logarítmico normal y la Weibull.

Tabla 4 MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE. AÑO 2003

LnL A2 CR KS H

GBII -34458224 14793 1799 0,0122 0,0548

Dagum -34468644 20997 2999 0,0127 0,0562

SM -34504880 9548 1040 0,0096 0,0595

B2 -35021556 85261 13593 0,0237 0,1199

GG -35164944 98408 14889 0,0276 0,1225

Fisk -35011464 66268 11251 0,0232 0,1055

Gamma -35215112 106081 15944 0,0294 0,1163

LN -36675032 411543 80534 0,0468 0,2868

Weibull -36675032 553122 87915 0,0559 0,2969

Tabla 5 MEDIDAS DE BONDAD DE AJUSTE. AÑO 2004

LnL A2 CR KS H

GBII -40267004 23325 3222 0,0163 0,0597

Dagum -40288432 27249 4167 0,0167 0,0569

SM -40315176 17639 2100 0,0146 0,0667

B2 -40917148 77986 11258 0,0274 0,1156

GG -41063588 92849 13609 0,0291 0,1121

Fisk -40914756 21816 3088 0,0201 0,0864

Gamma -41084832 99491 15003 0,0291 0,1086

LN -44078156 386150 70423 0,0532 0,2516

Weibull -42451024 401263 64227 0,0583 0,1890

— 22 —

Las medias y los índices de Gini obtenidos con cada modelo (tabla 6) revelan también la adecuación de las distribuciones mencionadas hasta el momento. Todas las distribuciones subestiman el índice de Gini, pero la distribución Singh-Maddala produce los valores más aproximados al muestral, seguido por la GBII y la distribución de Dagum. La distribución Fisk, en este caso, no resulta adecuada para la medición de la desigualdad a partir del índice de Gini, mientras que la gamma biparamétrica produce valores más aproximados que la gamma genera-lizada y la beta de segunda especie. Los resultados obtenidos para la renta me-dia revelan la adecuación de algunos estimadores máximo verosímiles, como los de la distribución gamma, para la estimación de la media de la distribución. La distribución gamma generalizada también produce una buena estimación, mien-tras que las distribuciones lognormal y Fisk producen resultados muy alejados de la estimación muestral de la media.

Tabla 6 RENTAS MEDIAS E ÍNDICES DE GINI ESTIMADOS A PARTIR DE LOS MODELOS

2003 2004

Media Gini Media Gini

GBII 1,1721 0,3042 1,2184 0,3180

Dagum 1,1760 0,3059 1,2248 0,3210

SM 1,1707 0,3036 1,2168 0,3168

B2 1,1725 0,3103 1,2206 0,3248

GG 1,1730 0,3089 1,2200 0,3215

Fisk 1,2305 0,3304 1,2878 0,3473

Gamma 1,1732 0,3068 1,2201 0,3201

LN 1,2027 0,3399 1,2716 0,3663

Weibull 1,1767 0,3245 1,2235 0,3365

Muestral 1,1732 0,3031 1,2201 0,3152

Nota: Las unidades monetarias vienen expresadas en 10 miles de euros.

Para introducir más detalle en el análisis de la adecuación de los modelos, vamos a tratar a continuación la información que nos proporcionan los gráficos de probabilidad (PP-plots), que permiten detectar los percentiles de la distribu-ción empírica donde se producen las mayores o menores desviaciones respecto al modelo teórico. Dichos gráficos se presentan, como se ha señalado, en el apéndice A.1.

El rasgo más sobresaliente de las comparaciones entre gráficos es la estabilidad en los comportamientos de los ajustes en los años 2003 y 2004. En los dos años considerados, se obtienen las mismas conclusiones, que pasamos a presentar.


— 23 —

Para el caso de las distribuciones GBII, Dagum y Singh-Maddala, se observa una gran aproximación entre la función de distribución empírica y teórica. El tramo en el que se producen las mayores distancias entre funciones teóricas y empíricas es el primer 25% de la distribución, donde la desviación en forma curva de la función de distribución empírica es muy semejante en los tres mode-los. Este hecho revela la similitud del comportamiento de las tres funciones teó-ricas en la modelización de la cola inferior de la distribución, que es donde presentan las mayores desviaciones.

La distribución beta de segunda especie y gamma generalizada presentan mayores desviaciones entre la función teórica y la empírica a lo largo de todos los percentiles. Ambas distribuciones muestran el mismo patrón de comporta-miento por tramos en cuanto a estimaciones y sobreestimaciones de la función de distribución teórica.

La mejora de la distribución Fisk sobre las dos últimas distribuciones comen-tadas es patente cuando se observan los gráficos A.1.6 y A.1.15, sobre todo en el tramo del 25% inferior de la distribución, donde, en 2004, la distribución Fisk presenta incluso un mejor ajuste que las distribuciones GBII, Dagum y Singh-Maddala. Este buen comportamiento sugiere la adecuación de una mixtura compuesta por la distribución Fisk para el 25% de rentas más bajas y la distribu-ción GBII para el restante 75% de rentas, en el año 2004.

Las distribuciones logarítmico normal y Weibull presentan las mayores des-viaciones, manteniéndose su comportamiento en cada tramo de la distribución, en los dos años considerados.

Finalmente, en el campo de la aplicación de los ajustes realizados, destaca-mos el hecho de que todos los modelos recogen el incremento de la desigual-dad que ocurre entre los dos períodos analizados, 2003 y 2004, donde el índice de Gini muestral pasa de 0,3031 a 0,3152. De forma más aproximada a la varia-ción de los valores muestrales lo hacen los modelos GBII, Dagum y Singh-Maddala. Este hecho da pie al análisis de la evolución de los parámetros estima-dos, de acuerdo a la interpretación que tiene cada uno de ellos.

En el caso de la distribución GBII, Kleiber (1999) y Sarabia, Castillo y Slottje (2002) presentan resultados sobre la dominancia en sentido de la curva de Lorenz para la GBII y las distribuciones derivadas de esta última. Así, dadas dos distribu-ciones GBII, con parámetros ( )1111 q,p,b,a y ( )2222 q,p,b,a respectivamente, la primera distribución domina, en sentido de la curva de Lorenz, a la segunda, si

21 aa ≥ , 2211 papa ≥ y 2211 qaqa ≥ . La dominancia en sentido de la curva de Lo-renz de estas dos distribuciones implica que la primera distribución exhibe menor desigualdad7 que la segunda. Por tanto, los parámetros directamente relacionados 7 El tipo de desigualdad que muestra la curva de Lorenz es invariante ante cambios de escala y cumple el principio de transferencias.

— 24 —

con la desigualdad son qp,a y , siendo b un parámetro de escala8. En nuestro caso, entre los dos años considerados, la disminución de a junto con un ligero aumento del parámetro p y q, que no compensa la reducción del parámetro a, provoca que la distribución de la renta del año 2003 domine en sentido de la curva de Lorenz a la de 2004, presentando la primera un menor nivel de desigualdad.

Dagum (1977), García, Callealta y Núñez (2006) y Gertel et al. (2002) pre-sentan interpretaciones del significado de los parámetros del modelo de Dagum. Los resultados de Kleiber (1996) también pueden ayudar a entender el significa-do de los parámetros del modelo Dagum. Este autor establece las condiciones necesarias y suficientes para la dominancia en sentido de la curva de Lorenz de dos distribuciones Dagum. Así dadas dos distribuciones Dagum, con parámetros ( )111 p,b,a y ( )222 p,b,a , la primera distribución domina, en sentido de la curva de Lorenz, a la segunda, si y solo si 21 aa ≥ y 2211 papa ≥ . La disminución de los pa-rámetros a y p entre 2003 y 2004 parece confirmar lo ya apuntado en el caso de la GBII, es decir, la distribución de la renta del año 2003 domina en sentido de la curva de Lorenz a la de 2004.

Finalmente, para la distribución Singh-Maddala, se presentan consideraciones sobre el significado de sus parámetros en Jäntti y Jenkins (2001), así como en Wilfling y Krämer (1993) donde se establecen las condiciones necesarias y sufi-cientes para la dominancia en sentido de la curva de Lorenz. Así, dadas dos dis-tribuciones Singh-Maddala, con parámetros ( )111 q,b,a y ( )222 q,b,a , la primera distribución domina en sentido de la curva de Lorenz a la segunda, si y solo si

21 aa ≥ y 2211 qaqa ≥ . En nuestro caso el movimiento de los dos parámetros no se produce en el mismo sentido: mientras que el parámetro a disminuye, el pa-rámetro q aumenta. Sin embargo, este ligero incremento no sirve para compen-sar la disminución del pararámetro a, que provoca que 2004200420032003 qaqa > , por lo que se vuelve a constatar un incremento de la desigualdad entre los años 2003 y 2004.

8. CONCLUSIONES

La modelización paramétrica de la DPR permite resumir la información de la DPR en un escaso número de parámetros y cuenta, por tanto, con numerosas aplicaciones al análisis económico del fenómeno distributivo.

La distribución GBII proporciona un adecuado ajuste a numerosos casos y anida como casos particulares los principales modelos que tradicionalmente se 8 La expresión del índice de Gini indica también que los parámetros que determinan el nivel de desigualdad son a, p y q.


— 25 —

ajustan mejor a los datos de la DPR en España. En este trabajo, se parte de la distribución GBII para seleccionar modelos mediante contrates anidados y comparaciones de los valores de los estadísticos de bondad de ajuste LnL, Anderson-Darling, Kramer-Von Mises, Kolmogorov-Smirnov y el estadístico H, construido para comparar la función de densidad y una estimación no paramétrica del histograma de frecuencias.

El proceso de estimación se realiza con los datos de rentas correspondientes a la ECV de los años 2003 y 2004. La escala de equivalencia utilizada es la OCDE modificada por sus posibilidades de comparación, al ser de uso frecuente, sobre todo en el ámbito europeo. El método de estimación utilizado ha sido el de máxima verosimilitud, aplicado a los datos convenientemente ponderados.

En el caso español, utilizando los datos más recientes de la ECV, se obtiene que la distribución GBII produce los mejores ajustes según la medida LnL y los contrastes anidados, aunque la distribuciones Dagum y Singh-Maddala, sobre todo esta última, presentan una notable capacidad para modelizar la DPR en España. Tres de los estadísticos de bondad de ajuste utilizados indican que la distribución Singh-Maddala es la más adecuada, por otra parte, también produce las mejores estimaciones del índice de Gini. Aún así, las diferencias entre los tres modelos, que se muestran claramente en los gráficos PP-plots, son pequeñas, y en todos ellos se detecta una especial dificultad para modelizar la cola inferior de la distribución empírica.

Entre las distribuciones biparamétricas, la distribución Fisk presenta los mejores ajustes, con un excelente comportamiento en el tramo correspondiente al 25% inferior de la distribución.

Todas las distribuciones recogen el aumento de la desigualdad indicado por la estimación muestral del índice de Gini, y las estimaciones de los parámetros varían, en este sentido, de acuerdo a la interpretación económica de los mismos obtenida en otros trabajos.

Los resultados obtenidos en este trabajo serán la base de futuros trabajos que deberán basarse en la interpretación económica de las variaciones de los parámetros, la introducción de los modelos paramétricos en modelos macroeconómicos, la influencia de la escala de equivalencia sobre el modelo seleccionado, etc.


— 27 —

APÉNDICES A.1. GRÁFICOS DE PROBABILIDAD (PP-PLOTS) PARA LOS AÑOS 2003 Y 2004

Figura A.1.1 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN GBII, 2003)

Fde

Fde.

GB

II

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

FdeFd

e.G

BII

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

GB

II

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

GB

II

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Figura A.1.2

GRÁFICO A DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN DAGUM, 2003)

Fde

Fde.

Dag

um

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Dag

um

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Dag

um

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Dag

um

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

— 28 —

Figura A.1.3 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN SINGH-MADDALA, 2003)

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Figura A.1.4 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN BETA II, 2003)

Fde

Fde.

Bet

a2

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Bet

a2

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Bet

a2

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Bet

a2

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


— 29 —

Figura A.1.5 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES

(DISTRIBUCIÓN GAMMA GENERALIZADA, 2003)

Fde

Fde.

GG

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

GG

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

GG

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

GG

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95

Figura A.1.6 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN FISK, 2003)

Fde

Fde.

Fisk

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Fisk

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Fisk

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Fisk

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

— 30 —

Figura A.1.7 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN GAMMA, 2003)

Fde

Fde.

Gam

a

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Gam

a

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Gam

a

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Gam

a

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


(DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, 2003)

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.10

0.20

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


— 31 —

Figura A.1.9 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN WEIBULL, 2003)

Fde

Fde.

Wei

bull

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.10

0.20

Fde

Fde.

Wei

bull

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Wei

bull

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Wei

bull

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


(DISTRIBUCIÓN GBII, 2004)

Fde

Fde.

GB

II

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

0.05

0.15

Fde

Fde.

GB

II

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

GB

II

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

GB

II

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.90

1.00

— 32 —

Figura A.1.11 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN DAGUM, 2004)

Fde

Fde.

Dag

um

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

0.05

0.15

Fde

Fde.

Dag

um

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Dag

um

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Dag

um

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.90

1.00

Figura A.1.12 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN SINGH-MADDALA, 2004)

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Sin

gh-M

adda

la

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.90

1.00


— 33 —

Figura A.1.13 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN BETA II, 2004)

Fde

Fde.

Bet

a2

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Bet

a2

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Bet

a2

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Bet

a2

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


(DISTRIBUCIÓN GAMMA GENERALIZADA, 2004)

Fde

Fde.

GG

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

GG

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

GG

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

GG

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95

— 34 —

Figura A.1.15 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN FISK, 2004)

Fde

Fde.

Fisk

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

0.05

0.15

Fde

Fde.

Fisk

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Fisk

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Fisk

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.80

0.90

1.00


(DISTRIBUCIÓN GAMMA, 2004)

Fde

Fde.

Gam

ma

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.05

0.15

0.25

Fde

Fde.

Gam

ma

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Gam

ma

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Gam

ma

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


— 35 —


(DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, 2004)

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.0

0.10

0.20

0.30

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Logn

orm

al

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95

Figura A.1.18 GRÁFICO DE PROBABILIDAD POR CUARTILES (DISTRIBUCIÓN WEIBULL, 2004)

Fde

Fde.

Wei

bull

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.10

0.20

Fde

Fde.

Wei

bull

0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.25

0.35

0.45

Fde

Fde.

Wei

bull

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

0.50

0.60

0.70

Fde

Fde.

Wei

bull

0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.75

0.85

0.95


— 37 —

A.2. MODELOS PARAMÉTRICOS PARA LA DISTRIBUCIÓN PERSONAL DE LA RENTA

Notación • X = renta • Función de distribución de la renta: F(x) • Función de densidad: f(x)

• ( ) ( )dxxfxXE0

kk ∫∞

=

• Función gamma: ( ) ∫∞

−α−=αΓ0

1u duue

• Función gamma incompleta: ( ) ∫ −α−=αΓx

0

1u duuex,

• Función beta: ( ) ( ))()()(duu1u,B

1

0

11β+αΓβΓαΓ

=−=βα ∫ −β−α

• Función digamma: )(ln)( αΓα∂∂

=αΨ

• Serie hipergeométrica generalizada:

( ) ( )( ) ( ) !i

xbb

aa

bb

x;aaF

i

0i iqi1

ipi1

q1

p1

qp ∑

∞

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

L

L

L

L donde ( ) ( ) ( )1ia1aaa i −++= L

1. Distribución beta generalizada de segunda especie • Función de densidad:

( )[ ] 0q,p,b,a,0x,

b/x1)q,p(Bb

ax)q,p,b,a;x(f qpaap

1ap>>

+=

+

−

• Función de distribución:

( )

( )( )a

az

0 qp

1p

b/x1b/xz,dt

t1t

)q,p(B1)q,p,b,a;x(F

+=

+= ∫ +

−

• Momentos:

( ) ( ) ( )( ) ( )qp

a/kqa/kpbXEk

kΓΓ

−Γ+Γ=

• Índice de Gini:

[ ]

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++++

−

++++

−+

−+=

1);qp(2,1a/1p;a/1p2,qp,1Fa/1p

1

1);qp(2,1p;a/1p2,qp,1Fp1

)a/1q,a/1p(B)q,p(pB)a/1q2,a/1p2(B2G

23

23

2

— 38 —

• Curva de Lorenz:

[ ]{ } [ ] }0x,)a/1q,a/1p,b,a;x(F),q,p,b,a;x(F{)u(L,u >−+=

F se refiere a la función de distribución de una beta generalizada de segunda especie • Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles:

( ) ( ) ( )( )a

a

1

bx1b

x

bxln)qp(b

xlnpa1)q,p,b,a;x(sa

fln+

+−+==∂∂

( ) ( )( )a

a

2

bx1b

x

bqpa

bap)q,p,b,a;x(sb

fln+

++

−==∂

∂

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−Ψ−+Ψ+==∂

∂ a3 b

x1ln)p()qp(bxlna)q,p,b,a;x(sp

fln

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−Ψ−+Ψ==∂

∂ a3 b

x1ln)q()qp()q,p,b,a;x(sqfln

2. Distribución Dagum • Función de densidad:

( )[ ] 0p,b,a0x,

b/x1b

apx)p,b,a;x(f 1paap

1ap>>

+=

+

−


pa

bx1)p,b,a;x(F

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

• Momentos:

( ) ( ) ( )( )p

a/k1a/kpbXEk

kΓ

−Γ+Γ=


1)a/1p()p2()a/1p2()p(G −

+ΓΓ+ΓΓ

=

• Curva de Lorenz

( )

( ) 1u0uz,dtt1

t)a/11,a/1p(B

1)u(L p/1z

0 1p

1a/1p≤≤=

+−+= ∫ +

−+

• Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles

( ) ( ) ( )( )a

a

1

bx1b

x

bxln)1p(b

xlnpa1)p,b,a;x(sa

fln+

+−+==∂∂


— 39 —

( ) ( )( )a

a

2

bx1b

x

b1pa

bap)p,b,a;x(sb

fln+

++

−==∂

∂

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+==∂

∂ a3 b

x1lnbxlnap/1)p,b,a;x(sp

fln

3. Distribución Singh-Maddala • Función de densidad:

( )[ ] 0q,b,a0x,

b/x1b

aqx)q,b,a;x(f 1qaa

1a>>

+=

+

−


qa

bx11)q,b,a;x(F

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

• Momentos:

( ) ( ) ( )( )q

a/kqa/k1bXEk

kΓ

−Γ+Γ=


)a/1q()q2()a/1q2()q(1G

−ΓΓ−ΓΓ

−=


( )

( ) 1u0u11z,dtt1

t)a/1q,a/11(B

1)u(L q/1z

0 1q

a/1≤≤−−=

+−+= ∫ +

• Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles:

( ) ( ) ( )( )a

a

1

bx1b

x

bxln)1q(b

xlna1)q,b,a;x(sa

fln+

+−+==∂∂

( ) ( )( )a

a

2

bx1b

x

b1qa

ba)q,b,a;x(sb

fln+

++

−==∂

∂

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==∂

∂ a3 b

x1lnq/1)q,b,a;x(sqfln

4. Beta de segunda especie • Función de densidad:

( )[ ]

0q,p,b,0x,b/x1)q,p(Bb

x)q,p,b;x(f qpp

1p>>

+=

+

−

— 40 —


( )

( )( )b/x1

b/xz,dtt1

t)q,p(B

1)q,p,b;x(Fz

0 qp

1p

+=

+= ∫ +

−

• Momentos:

( ) ( ) ( )( ) ( )qp

kqkpbXEk

kΓΓ

−Γ+Γ=


)q,p(pB

)1q2,p2(B2G 2−

=

• Curva de Lorenz: [ ]{ } [ ]{ }0x),1q,1p,b;x(F),q,p,b;x(F)u(L,u >−+=

F se refiere a la función de distribución de una beta 2 • Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles:

( ) ( )( )bx1b

x

bqp

bp)q,p,b;x(sb

fln1

+

++

−==∂

∂

( ) ( )( )bx1ln)p()qp(b

xln)q,p,b;x(spfln

2 +−Ψ−+Ψ+==∂∂

( )( )bx1ln)q()qp()q,p,b;x(sq

fln3 +−Ψ−+Ψ==∂

∂

5. Distribución Gama Generalizada • Función de densidad:

0p,,a,0x,)p(

eax)p,,a;x(f ap

ax1ap

>β>Γβ

=β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−−


( )az

0t1p /xz,dtet

)p(1)p,,a;x(F β=

Γ=β ∫ −−

• Momentos:

( ) ( )( )p

a/kpXEk

kΓ+Γβ

=


[ ]

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++

−

++

+=

+2/1;a/11p;a/1p2,1F

a/1p1

2/1;1p;a/1p2,1Fp1

)a/1p,p(B21G

12

12

a/1p2


— 41 —

• Curva de Lorenz

[ ]{ } [ ]{ }0x),a/1p,,a;x(F),p,,a;x(F)u(L,u >+ββ=

F se refiere a la función de distribución de una gama generalizada. • Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles:

a

1xxlnxlnp

a1)p,,a;x(sa

fln⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

+=β=∂∂

a

2xaap)p,,a;x(sfln ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

+β

−=β=β∂

∂

)p(xlna)q,p,b,a;x(spfln

3 Ψ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

==∂∂

6. Distribución Fisk • Función de densidad:

( )[ ] 0b,a0x,

b/x1b

ax)b,a;x(f 2aa

1a>>

+=

−


1a

bx11)b,a;x(F

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

• Momentos:

( ) ( ) ( )a/k1a/k1bXE kk −Γ+Γ=


a1G =


( )

1u0,dtt1

t)a/11,a/11(B

1)u(L1

0 2

a/1≤≤

+−+= ∫


( ) ( ) ( )( )a

a

1

bx1b

x

bxln2b

xlna1)q,b,a;x(sa

fln+

−+==∂∂

( )( )a

a

2

bx1b

x

ba2

ba)q,b,a;x(sb

fln+

+−

==∂∂

— 42 —

7. Distribución Gamma • Función de densidad:

0p,,0x,)p(

ex)p,;x(f p

x1p

>β>Γβ

=β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−−


( )β=Γ

=β ∫ −− /xz,dtet)p(

1)p,;x(Fz

0t1p

• Momentos:

( ) ( )( )p

kpXEk

kΓ

+Γβ=


( )( ) π+Γ

+Γ=

1p2

1pG


[ ]{ } [ ]{ }0x),1p,;x(F),p,;x(F)u(L,u >+ββ=

F se refiere a la función de distribución de una gama. • Funciones que determinan los estimadores máximo verosímiles:

21xp)p,;x(sflnβ

+β−

=β=β∂∂

)p(xln)p,;x(spfln

2 Ψ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

=β=∂∂

8. Distribución Log-normal

• Función de densidad:

( ) 0,0x,xln2

1exp2x

1),;x(f 2222

2 >σμ>⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

μ−σ

−πσ

=σμ


0x,xln)x(F >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

Φ=

donde ( ).Φ la función de distribución de una normal tipificada.

• Momentos:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ+μ= 22k k

21kexpXE


— 43 —


12

2G −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σΦ=


( )[ ] 1u0,u)u(L 21 ≤≤σ−ΦΦ= −


( )μ−σ

−=σμ=μ∂

∂ xln1),;x(sfln2

21

( )4

2

22

22 2xln

21),;x(sfln

σ

μ−+

σ

−=σμ=

σ∂∂

9. Distribución Weibull • Función de densidad:

0,a,0x,exa),a;x(f

ax1a

>β>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

=β⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−−


⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

β−−=β

xe1),a;x(F

• Momentos:

( ) ( )a/k1XE kk +Γβ=


a1

21G−

−= • Curva de Lorenz:

[ ]{ } ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+Γβ= 0x,x1ln,1a1),,a;x(F)u(L,u


a

1xxlnxln

a1),a;x(sa

fln⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

+=β=∂∂

a

2xaa),a;x(sfln⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ββ

+β−

=β=β∂∂

— 45 —

REFERENCIAS

AITCHINSON, J. y BROWN, J.A.C. (1957): The Lognormal Distribution. Cambridge University Press.

ARNOLD, B.C.; CASTILLO, E. y SARABIA, J.M. (2006): “Families of multivariate dis-tributions involving the Rosenblatt construction”, Journal of the American Sta-tistical Association, pp. 101:476, pp. 1652–1662.

BANDOURIAN, R.; MCDONALD, J.B. and TURLEY, R.S. (2003): “Income Distributions: An Inter-temporal Comparison over Countries”, Estadistica, 55, pp. 135-152.

BICKEL, P.J. y ROSEMBLATT, M. (1973): “On Some Global Measures of the Devia-tions of Density Function Estimates”, Annals of Statistics, 1, pp. 1071-1095.

BORDLEY, R.F.; MCDONALD, J.B. y MANTRALA, A. (1996): "Something New, Some-thing Old: Parametric Models for the Size Distribution of Income", Journal of Income Distribution, 6 (1), pp. 91-104.

BRACHMANN, K.; STICH, A. and TREDE, M. (1996): “Evaluating Parametric Income Distributions Models”, Allgemeines Statistisches Archiv, 80, pp. 285-298.

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SÍNTESIS

PRINCIPALES IMPLICACIONES DE POLÍTICA ECONÓMICA

La modelización paramétrica permite resumir la información de la DPR (distribu-ción personal de la renta) con un escaso número de parámetros y cuenta, por tanto, con numerosas aplicaciones al análisis económico del fenómeno distributivo. El objeti-vo de este trabajo es estudiar la adecuación de distintos modelos paramétricos para la descripción de la distribución personal de la renta en España.

Para realizar este estudio, se toma como referencia y punto de partida la distribu-ción beta generalizada de segunda especie que anida los principales modelos que tra-dicionalmente se han utilizado para describir la distribución personal de la renta en España. Tras un proceso de estimación y validación de las distintas funciones de distri-bución propuestas, se seleccionan los modelos más adecuados para el caso español.

El proceso de estimación se realiza con los datos de rentas correspondientes a la ECV de los años 2003 y 2004. La escala de equivalencia utilizada es la OCDE modifi-cada por sus posibilidades de comparación, al ser de uso frecuente, sobre todo en el ámbito europeo. El método de estimación utilizado ha sido el de máxima verosimili-tud, aplicado a los datos convenientemente ponderados.

En el caso español, utilizando los datos más recientes de la ECV, se obtiene que la distribución beta generalizada de segunda especie produce los mejores ajustes, aun-que la distribuciones Dagum y Singh-Maddala, sobre todo esta última, presentan tam-bién una notable capacidad para modelizar la DPR en España. Entre las distribuciones biparamétricas, la distribución Fisk alcanza los mejores ajustes.

Todas las distribuciones recogen el aumento de la desigualdad entre 2003 y 2004 indicado por la estimación muestral del índice de Gini, y las estimaciones de los pará-metros varían, en este sentido, de acuerdo a su interpretación económica.

Los resultados obtenidos en este trabajo serán la base de futuros trabajos sobre la interpretación económica de las variaciones de los parámetros, la introducción de los modelos paramétricos en modelos macroeconómicos, la influencia de la escala de equivalencia sobre el modelo seleccionado, etc.

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NORMAS DE PUBLICACIÓN DE PAPELES DE TRABAJO DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

Esta colección de Papeles de Trabajo tiene como objetivo ofrecer un vehículo de expresión a todas aquellas personas interasadas en los temas de Economía Pública. Las normas para la presentación y selección de originales son las siguientes:

1. Todos los originales que se presenten estarán sometidos a evaluación y podrán ser directamente aceptados para su publicación, aceptados sujetos a revisión, o rechazados.

2. Los trabajos deberán enviarse por duplicado a la Subdirección de Estudios Tributarios. Instituto de Estudios Fiscales. Avda. Cardenal Herrera Oria, 378. 28035 Madrid.

3. La extensión máxima de texto escrito, incluidos apéndices y referencias bibliográfícas será de 7000 palabras.

4. Los originales deberán presentarse mecanografiados a doble espacio. En la primera página deberá aparecer el título del trabajo, el nombre del autor(es) y la institución a la que pertenece, así como su dirección postal y electrónica. Además, en la primera página aparecerá también un abstract de no más de 125 palabras, los códigos JEL y las palabras clave.

5. Los epígrafes irán numerados secuencialmente siguiendo la numeración arábiga. Las notas al texto irán numeradas correlativamente y aparecerán al pie de la correspondiente página. Las fórmulas matemáticas se numerarán secuencialmente ajustadas al margen derecho de las mismas. La bibliografía aparecerá al final del trabajo, bajo la inscripción “Referencias” por orden alfabético de autores y, en cada una, ajustándose al siguiente orden: autor(es), año de publicación (distinguiendo a, b, c si hay varias correspondientes al mismo autor(es) y año), título del artículo o libro, título de la revista en cursiva, número de la revista y páginas.

6. En caso de que aparezcan tablas y gráficos, éstos podrán incorporarse directamente al texto o, alternativamente, presentarse todos juntos y debidamente numerados al final del trabajo, antes de la bibliografía.

7. En cualquier caso, se deberá adjuntar un disquete con el trabajo en formato word. Siempre que el documento presente tablas y/o gráficos, éstos deberán aparecer en ficheros independientes. Asimismo, en caso de que los gráficos procedan de tablas creadas en excel, estas deberán incorporarse en el disquete debidamente identificadas.

Junto al original del Papel de Trabajo se entregará también un resumen de un máximo de dos folios que contenga las principales implicaciones de política económica que se deriven de la investigación realizada.

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PUBLISHING GUIDELINES OF WORKING PAPERS AT THE INSTITUTE FOR FISCAL STUDIES

This serie of Papeles de Trabajo (working papers) aims to provide those having an interest in Public Economics with a vehicle to publicize their ideas. The rules gover-ning submission and selection of papers are the following:

1. The manuscripts submitted will all be assessed and may be directly accepted for publication, accepted with subjections for revision or rejected.

2. The papers shall be sent in duplicate to Subdirección General de Estudios Tribu-tarios (The Deputy Direction of Tax Studies), Instituto de Estudios Fiscales (Institute for Fiscal Studies), Avenida del Cardenal Herrera Oria, nº 378, Madrid 28035.

3. The maximum length of the text including appendices and bibliography will be no more than 7000 words.

4. The originals should be double spaced. The first page of the manuscript should contain the following information: (1) the title; (2) the name and the institutional affi-liation of the author(s); (3) an abstract of no more than 125 words; (4) JEL codes and keywords; (5) the postal and e-mail address of the corresponding author.

5. Sections will be numbered in sequence with arabic numerals. Footnotes will be numbered correlatively and will appear at the foot of the corresponding page. Mathe-matical formulae will be numbered on the right margin of the page in sequence. Biblio-graphical references will appear at the end of the paper under the heading “References” in alphabetical order of authors. Each reference will have to include in this order the following terms of references: author(s), publishing date (with an a, b or c in case there are several references to the same author(s) and year), title of the article or book, name of the journal in italics, number of the issue and pages.

6. If tables and graphs are necessary, they may be included directly in the text or al-ternatively presented altogether and duly numbered at the end of the paper, before the bibliography.

7. In any case, a floppy disk will be enclosed in Word format. Whenever the docu-ment provides tables and/or graphs, they must be contained in separate files. Fur-thermore, if graphs are drawn from tables within the Excell package, these must be included in the floppy disk and duly identified.

Together with the original copy of the working paper a brief two-page summary highlighting the main policy implications derived from the re-search is also requested.

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ÚLTIMOS PAPELES DE TRABAJO EDITADOS POR EL

INSTITUTO DE ESTUDIOS FISCALES

2004 01/04 Una propuesta para la regulación de precios en el sector del agua: el caso español. Autores: M.a Ángeles García Valiñas y Manuel Antonio Muñiz Pérez. 02/04 Eficiencia en educación secundaria e inputs no controlables: sensibilidad de los resulta-

dos ante modelos alternativos. Autores: José Manuel Cordero Ferrera, Francisco Pedraja Chaparro y Javier Salinas Jiménez. 03/04 Los efectos de la política fiscal sobre el ahorro privado: evidencia para la OCDE. Autores: Montserrat Ferre Carracedo, Agustín García García y Julián Ramajo Hernández. 04/04 ¿Qué ha sucedido con la estabilidad del empleo en España? Un análisis desagregado

con datos de la EPA: 1987-2003. Autores: José María Arranz y Carlos García-Serrano. 05/04 La seguridad del empleo en España: evidencia con datos de la EPA (1987-2003). Autores: José María Arranz y Carlos García-Serrano. 06/04 La ley de Wagner: un análisis sintético. Autor: Manuel Jaén García. 07/04 La vivienda y la reforma fiscal de 1998: un ejercicio de simulación. Autor: Miguel Ángel López García. 08/04 Modelo dual de IRPF y equidad: un nuevo enfoque teórico y su aplicación al caso español. Autor: Fidel Picos Sánchez. 09/04 Public expenditure dynamics in Spain: a simplified model of its determinants. Autores: Manuel Jaén García y Luis Palma Martos. 10/04 Simulación sobre los hogares españoles de la reforma del IRPF de 2003. Efectos sobre

la oferta laboral, recaudación, distribución y bienestar. Autores: Juan Manuel Castañer Carrasco, Desiderio Romero Jordán y José Félix Sanz Sanz. 11/04 Financiación de las Haciendas regionales españolas y experiencia comparada. Autor: David Cantarero Prieto. 12/04 Multidimensional indices of housing deprivation with application to Spain. Autores: Luis Ayala y Carolina Navarro. 13/04 Multiple ocurrence of welfare recipiency: determinants and policy implications. Autores: Luis Ayala y Magdalena Rodríguez. 14/04 Imposición efectiva sobre las rentas laborales en la reforma del impuesto sobre la renta

personal (IRPF) de 2003 en España. Autoras: María Pazos Morán y Teresa Pérez Barrasa. 15/04 Factores determinantes de la distribución personal de la renta: un estudio empírico a

partir del PHOGUE. Autores: Marta Pascual y José María Sarabia. 16/04 Política familiar, imposición efectiva e incentivos al trabajo en la reforma de la imposi-

ción sobre la renta personal (IRPF) de 2003 en España. Autoras: María Pazos Morán y Teresa Pérez Barrasa. 17/04 Efectos del déficit público: evidencia empírica mediante un modelo de panel dinámico

para los países de la Unión Europea. Autor: César Pérez López.

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18/04 Inequality, poverty and mobility: Choosing income or consumption as welfare indicators.

Autores: Carlos Gradín, Olga Cantó y Coral del Río. 19/04 Tendencias internacionales en la financiación del gasto sanitario. Autora: Rosa María Urbanos Garrido. 20/04 El ejercicio de la capacidad normativa de las CCAA en los tributos cedidos: una prime-

ra evaluación a través de los tipos impositivos efectivos en el IRPF. Autores: José María Durán y Alejandro Esteller.

21/04 Explaining. budgetary indiscipline: evidence from spanish municipalities. Autores: Ignacio Lago-Peñas y Santiago Lago-Peñas. 22/04 Local governmets' asymmetric reactions to grants: looking for the reasons. Autor: Santiago Lago-Peñas. 23/04 Un pacto de estabilidad para el control del endeudamiento autonómico. Autor: Roberto Fernández Llera 24/04 Una medida de la calidad del producto de la atención primaria aplicable a los análisis

DEA de eficiencia. Autora: Mariola Pinillos García. 25/04 Distribución de la renta, crecimiento y política fiscal. Autor: Miguel Ángel Galindo Martín. 26/04 Políticas de inspección óptimas y cumplimiento fiscal. Autores: Inés Macho Stadler y David Pérez Castrillo. 27/04 ¿Por qué ahorra la gente en planes de pensiones individuales? Autores: Félix Domínguez Barrero y Julio López-Laborda. 28/04 La reforma del Impuesto sobre Actividades Económicas: una valoración con microda-

tos de la ciudad de Zaragoza. Autores: Julio López-Laborda, M.ª Carmen Trueba Cortés y Anabel Zárate Marco. 29/04 Is an inequality-neutral flat tax reform really neutral? Autores: Juan Prieto-Rodríguez, Juan Gabriel Rodríguez y Rafael Salas. 30/04 El equilibrio presupuestario: las restricciones sobre el déficit. Autora: Belén Fernández Castro.

2005

01/05 Efectividad de la política de cooperación en innovación: evidencia empírica española. Autores:Joost Heijs, Liliana Herrera, Mikel Buesa, Javier Sáiz Briones y Patricia Valadez. 02/05 A probabilistic nonparametric estimator. Autores: Juan Gabriel Rodríguez y Rafael Salas. 03/05 Efectos redistributivos del sistema de pensiones de la seguridad social y factores de-

terminantes de la elección de la edad de jubilación. Un análisis por comunidades autó-nomas.

Autores: Alfonso Utrilla de la Hoz y Yolanda Ubago Martínez. 14/05 La relación entre los niveles de precios y los niveles de renta y productividad en los países

de la zona euro: implicaciones de la convergencia real sobre los diferenciales de inflación. Autora: Ana R. Martínez Cañete. 05/05 La Reforma de la Regulación en el contexto autonómico. Autor: Jaime Vallés Giménez.

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06/05 Desigualdad y bienestar en la distribución intraterritorial de la renta, 1973-2000. Autores: Luis Ayala Cañón, Antonio Jurado Málaga y Francisco Pedraja Chaparro. 07/05 Precios inmobiliarios, renta y tipos de interés en España. Autor: Miguel Ángel López García. 08/05 Un análisis con microdatos de la normativa de control del endeudamiento local. Autores: Jaime Vallés Giménez, Pedro Pascual Arzoz y Fermín Cabasés Hita. 09/05 Macroeconomics effects of an indirect taxation reform under imperfect competition. Autor: Ramón J. Torregrosa. 10/05 Análisis de incidencia del gasto público en educación superior: nuevas aproximaciones. Autora: María Gil Izquierdo. 11/05 Feminización de la pobreza: un análisis dinámico. Autora: María Martínez Izquierdo. 12/05 Efectos del impuesto sobre las ventas minoristas de determinados hidrocarburos en la

economía extremeña: un análisis mediante modelos de equilibrio general aplicado. Autores: Francisco Javier de Miguel Vélez, Manuel Alejandro Cardenete Flores y Jesús

Pérez Mayo. 13/05 La tarifa lineal de Pareto en el contexto de la reforma del IRPF. Autores: Luis José Imedio Olmedo, Encarnación Macarena Parrado Gallardo y María

Dolores Sarrión Gavilán. 14/05 Modelling tax decentralisation and regional growth. Autores: Ramiro Gil-Serrate y Julio López-Laborda. 15/05 Interactions inequality-polarization: characterization results. Autores: Juan Prieto-Rodríguez, Juan Gabriel Rodríguez y Rafael Salas. 16/05 Políticas de competencia impositiva y crecimiento: el caso irlandés. Autores: Santiago Díaz de Sarralde, Carlos Garcimartín y Luis Rivas. 17/05 Optimal provision of public inputs in a second-best scenario. Autores: Diego Martínez López y A. Jesús Sánchez Fuentes. 18/05 Nuevas estimaciones del pleno empleo de las regiones españolas. Autores: Javier Capó Parrilla y Francisco Gómez García. 19/05 US deficit sustainability revisited: a multiple structural change approach. Autores: Óscar Bajo-Rubio. Carmen Díaz-Roldán y Vicente Esteve. 20/05 Aproximación a los pesos de calidad de vida de los “Años de Vida Ajustados por Cali-

dad” mediante el estado de salud autopercibido. Autores: Anna García-Altés, Jaime Pinilla y Salvador Peiró. 21/05 Redistribución y progresividad en el Impuesto sobre Sucesiones y Donaciones: una

aplicación al caso de Aragón. Autor: Miguel Ángel Barberán Lahuerta. 22/05 Estimación de los rendimientos y la depreciación del capital humano para las regiones

del sur de España. Autora: Inés P. Murillo. 23/05 El doble dividendo de la imposición ambiental. Una puesta al día. Autor: Miguel Enrique Rodríguez Méndez. 24/05 Testing for long-run purchasing power parity in the post bretton woods era: evidence

from old and new tests. Autor: Julián Ramajo Hernández y Montserrat Ferré Cariacedo.

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25/05 Análisis de los factores determinantes de las desigualdades internacionales en las emi-siones de CO2 per cápita aplicando el enfoque distributivo: una metodología de des-composición por factores de Kaya.

Autores: Juan Antonio Duro Moreno y Emilio Padilla Rosa. 26/05 Planificación fiscal con el impuesto dual sobre la renta. Autores: Félix Domínguez Barrero y Julio López Laborda. 27/05 El coste recaudatorio de las reducciones por aportaciones a planes de pensiones y las

deducciones por inversión en vivienda en el IRPF 2002. Autores: Carmen Marcos García, Alfredo Moreno Sáez, Teresa Pérez Barrasa y César

Pérez López. 28/05 La muestra de declarantes IEF-AEAT 2002 y la simulación de reformas fiscales: des-

cripción y aplicación práctica. Autores: Alfredo Moreno, Fidel Picos, Santiago Díaz de Sarralde, María Antiqueira y

Lucía Torrejón.

2006 01/06 Capital gains taxation and progressivity. Autor: Julio López Laborda. 02/06 Pigou’s dividend versus Ramsey’s dividend in the double dividend literature. Autores: Eduardo L. Giménez y Miguel Rodríguez. 03/06 Assessing tax reforms. Critical comments and proposal: the level and distance effects. Autores: Santiago Díaz de Sarralde Míguez y Jesús Ruiz-Huerta Carbonell. 04/06 Incidencia y tipos efectivos del impuesto sobre el patrimonio e impuesto sobre suce-

siones y donaciones. Autora: Laura de Pablos Escobar. 05/06 Descentralización fiscal y crecimiento económico en las regiones españolas. Autores: Patricio Pérez González y David Cantarero Prieto. 16/06 Efectos de la corrupción sobre la productividad: un estudio empírico para los países

de la OCDE. Autores: Javier Salinas Jiménez y M.ª del Mar Salinas Jiménez. 07/06 Simulación de las implicaciones del equilibrio presupuestario sobre la política de inver-

sión de las comunidades autónomas. Autores: Jaime Vallés Giménez y Anabel Zárate Marco. 18/06 The composition of public spending and the nationalization of party sistems in western

Europe. Autores: Ignacio Lago-Peñas y Santiago Lago.Peñas. 09/06 Factores explicativos de la actividad reguladora de las Comunidades Autónomas

(1989-2001). Autores: Julio López Laborda y Jaime Vallés Giménez. 10/06 Disciplina credititicia de las Comunidades Autónomas. Autor: Roberto Fernández Llera. 11/06 Are the tax mix and the fiscal pressure converging in the European Union?. Autor: Francisco J. Delgado Rivero. 12/06 Redistribución, inequidad vertical y horizontal en el impuesto sobre la renta de las

personas físicas (1982-1998). Autora: Irene Perrote.

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13/06 Análisis económico del rendimiento en la prueba de conocimientos y destrezas im-prescindibles de la Comunidad de Madrid.

Autores: David Trillo del Pozo, Marta Pérez Garrido y José Marcos Crespo.

14/06 Análisis de los procesos privatizadores de empresas públicas en el ámbito internacional. Motivaciones: moda política versus necesidad económica.

Autores: Almudena Guarnido Rueda, Manuel Jaén García e Ignacio Amate Fortes.

15/06 Privatización y liberalización del sector telefónico español. Autores: Almudena Guarnido Rueda, Manuel Jaén García e Ignacio Amate Fortes.

16/06 Un análisis taxonómico de las políticas para PYME en Europa: objetivos, instrumentos y empresas beneficiarias.

Autor: Antonio Fonfría Mesa.

17/06 Modelo de red de cooperación en los parques tecnológicos: un estudio comparado. Autora: Beatriz González Vázquez.

18/06 Explorando la demanda de carburantes de los hogares españoles: un análisis de sensi-bilidad.

Autores: Santiago Álvarez García, Marta Jorge García-Inés y Desiderio Romero Jordán.

19/06 Cross-country income mobility comparisons under panel attrition: the relevance of weighting schemes.

Autores: Luis Ayala, Carolina Navarro y Mercedes Sastre.

20/06 Financiación Autonómica: algunos escenarios de reforma de los espacios fiscales. Autores: Ana Herrero Alcalde, Santiago Díaz de Sarralde, Javier Loscos Fernández,

María Antiqueira y José Manuel Tránchez.

21/06 Child nutrition and multiple equilibria in the human capital transition function. Autores: Berta Rivera, Luis Currais y Paolo Rungo.

22/06 Actitudes de los españoles hacia la hacienda pública. Autor: José Luis Sáez Lozano.

23/06 Progresividad y redistribución a través del IRPF español: un análisis de bienestar social para el periodo 1982-1998.

Autores: Jorge Onrubia Fernández, María del Carmen Rodado Ruiz, Santiago Díaz de Sarralde y César Pérez López.

24/06 Análisis descriptivo del gasto sanitario español: evolución, desglose, comparativa inter-nacional y relación con la renta.

Autor: Manuel García Goñi.

25/06 El tratamiento de las fuentes de renta en el IRPF y su influencia en la desigualdad y la redistribución.

Autores: Luis Ayala Cañón, Jorge Onrubia Fernández y María del Carmen Rodado Ruiz.

26/06 La reforma del IRPF de 2007: una evaluación de sus efectos. Autores: Santiago Díaz de Sarralde Míguez, Fidel Picos Sánchez, Alfredo Moreno Sáez,

Lucía Torrejón Sanz y María Antiqueira Pérez.

27/06 Proyección del cuadro macroeconómico y de las cuentas de los sectores instituciona-les mediante un modelo de equilibrio.

Autores: Ana María Abad, Ángel Cuevas y Enrique M. Quilis.

28/06 Análisis de la propuesta del tesoro Británico “Fiscal Stabilisation and EMU” y de sus implicaciones para la política económica en la Unión Europea.

Autor: Juan E. Castañeda Fernández.

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29/06 Choosing to be different (or not): personal income taxes at the subnational level in Canada and Spain. Autores: Violeta Ruiz Almendral y François Vaillancourt.

30/06 A projection model of the contributory pension expenditure of the Spanish social se-curity system: 2004-2050. Autores: Joan Gil, Miguel Ángel Lopez-García, Jorge Onrubia, Concepció Patxot y Guadalupe Souto.

2007 11/07 Efectos macroeconómicos de las políticas fiscales en la UE. Autores: Oriol Roca Sagalés y Alfredo M. Pereira. 02/07 Deficit sustainability and inflation in EMU: an analysis from the fiscal theory of the

price level. Autores: Óscar Bajo-Rubio, Carmen Díaz-Roldán y Vicente Esteve. 03/07 Contraste empírico del modelo monetario de tipos de cambio: cointegración y ajuste

no lineal. Autor: Julián Ramajo Hernández. 04/07 An empirical analysis of capital taxation: equity vs. tax compiance. Autores: José M.a Durán Cabré y Alejandro Esteller Moré. 05/07 Education and health in the OECD: a macroeconomic approach. Autoras: Cecilia Albert y María A. Davia. 06/07 Understanding the effect of education on health across European countries. Autoras: Cecilia Albert y María A. Davia. 07/07 Polarization, fractionalization and conflict. Autores: Joan Esteban y Debraj Ray. 08/07 Immigration in a segmented labor market: the effects on welfare. Autor: Javier Vázquez Grenno. 09/07 On the role of public debt in an OLG Model with endogenous labor supply. Autor: Miguel Ángel López García. 10/07 Assessing profitability in rice cultivation using the Policy Matrix Analysis and profit-

efficient data. Autores: Andrés J. Picazo-Tadeo, Ernest Reig y Vicent Estruch. 11/07 Equidad y redistribución en el Impuesto sobre Sucesiones y Donaciones: análisis de los

efectos de las reformas autonómicas. Autores: Miguel Ángel Barberán Lahuerta y Marta Melguizo Garde. 12/07 Valoración y determinantes del stock de capital salud en la Comunidad Canaria y Cataluña. Autores: Juan Oliva y Néboa Zozaya. 13/07 La nivelación en el marco de la financiación de las Comunidades Autónomas. Autores: Ana Herrero Alcalde y Jorge Martínez-Vázquez. 14/07 El gasto en defensa en los países desarrollados: evolución y factores explicativos. Autor: Antonio Fonfría Mesa. 15/07 Los costes del servicio de abastecimiento de agua. Un análisis necesario para la

regulación de precios. Autores: Ramón Barberán Ortí, Alicia Costa Toda y Alfonso Alegre Val. 16/07 Precios, impuestos y compras transfronterizas de carburantes. Autores: Andrés Leal Marcos, Julio López Laborda y Fernando Rodrigo Sauco.

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17/07 Análisis de la distribución de las emisiones de CO2 a nivel internacional mediante la adaptación del concepto y las medidas de polarización.

Autores: Juan Antonio Duro Moreno y Emilio Padilla Rosa. 18/07 Foreign direct investment and regional growth: an analysis of the Spanish case. Autores: Óscar Bajo Rubio, Carmen Díaz Mora y Carmen Díaz Roldán. 19/07 Convergence of fiscal pressure in the EU: a time series approach. Autores: Francisco J. Delgado y María José Presno. 20/07 Impuestos y protección medioambiental: preferencias y factores. Autores: María de los Ángeles García Valiñas y Benno Torgler. 21/07 Modelización paramétrica de la distribución personal de la renta en España. Una

aproximación a partir de la distribución Beta generalizada de segunda especie. Autores: Mercedes Prieto Alaiz y Carmelo García Pérez.

modelizaciÓn paramÉtrica de la distribuciÓn personal de … · palabras clave: distribución...

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