modelizaci ó n tareas clasesevaluaci ó n reflexi ó n

ModelizaciónModelización

Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión

¿Qué es la modelización?

ModelizaciónModelización

Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión

2

Sesión 1Introducción a la modelizaciónIntroducción a la modelización

3

ClasesModelización

¿Qué es la modelización? ¿Por qué la modelización?

4

• Trabajar en distintas tareas basadas en la realidad.

• Reflexionar sobre las características de estas tareas.

• Pensar en criterios para identificar tareas de modelización desde otras tareas basadas en la realidad.

Objetivos

ClasesModelización


5

• Criterios para identificar tareas de modelización

• Visión general del proceso de modelización

Resultados

ClasesModelización


6

Actividad 2:

Reflexionar

sobre las

características

de las

situaciones

dadas

Actividad 3:

Compartir las

reflexiones

[Grupos pequeños] [Grupos pequeños] [Todo el grupo]

Actividad 1:

Trabajar sobre

las situaciones

dadas

Actividad 4:

Desarrollar

criterios

[Todo el grupo]

Estructura de la sesión

ClasesModelización


7

Resolver algunas tareas.

Actividad 1:

ClasesModelización


8

Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley»Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el

Congreso 4.000.000 firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno.

Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas

que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta

puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran

realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?

ClasesModelización


9

Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca.

Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula:

frecuencia cardiaca máxima recomendada = 220 - edad

Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue:

frecuencia cardiaca máxima recomendada = 208 - (0,7 x edad)

Un artículo periodístico declaraba: “«El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».

¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo.

Tarea 2: «Frecuencia cardiaca»

Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf

ClasesModelización


10

Tarea 3: Festival de músicaEl Festival de Artes Escénicas

Contemporáneas de Glastonbury

es el mayor festival al aire libre de música y

artes escénicas del mundo. En 2005, el

área vallada del festival tenía más de 3,6

km² (900 acres), y hubo más de 385

actuaciones en directo. Muchos de los

asistentes al festival llevan sus propias

tiendas de campaña y duermen dentro de la

zona del festival.

Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el

número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad.

¿Qué les aconsejarías?

Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelización


11

Tarea 4: Gas naturalEn 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos.

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren

Gracias a Stan Shebs . Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelización


12

Tarea 5: Huevos de pascua

Daniela ha encontrado 23 huevos.

Tiene una sonrisa de oreja a oreja,

porque ha encontrado nueve huevos

más que Cris. Juani sonríe aún más.

Ha encontrado exactamente tantos

huevos como Cris y Daniela juntos.

¿Cuántos huevos ha encontrado

Juani?

ClasesModelización


13

Tarea 6: Vecinos

En tu opinión, ¿cuánta gente vive en

este bloque de pisos?

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren

Timbres de la entrada:

ClasesModelización


14

Comparad vuestras soluciones por grupos:

¿Cuáles son las diferencias?

¿Y las similitudes?

Registrad vuestras ideas en las tablas proporcionadas

(utilizad una tabla distinta para cada tarea)

Actividad 2:

ClasesModelización


15

Directrices para la reflexión

Contexto deContexto de

la tareala tarea

Contexto deContexto de

la tareala tarea

ConocimientoConocimiento

matemáticomatemático

implicadoimplicado

ConocimientoConocimiento

matemáticomatemático

implicadoimplicado

SolucionesSoluciones

esperadasesperadas

SolucionesSoluciones

esperadasesperadas

PrincipalesPrincipales

característicascaracterísticas

de quien resuelvede quien resuelve

la actividadla actividad

PrincipalesPrincipales

característicascaracterísticas

de quien resuelvede quien resuelve

la actividadla actividad

ClasesModelización


16

¿Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre estas tareas?

Contexto Conocimiento matemático

Soluciones

esperadas

Actividad de

quien resuelve

la tarea

Actividad 3: Debate

ClasesModelización


17

Respecto al contexto de la tarea

Respecto al conocimiento matemático implicado

Respecto a las soluciones esperadas

Respecto a la actividad de quien resuelve el problema

Algunas conclusiones

ClasesModelización


18

¿Qué características debería tener una tarea para que se

la considerase de modelización?

Relacionadas con:

el contextoel contexto elel

conocimiento conocimiento matemáticomatemático

las las

soluciones soluciones

esperadasesperadas

la actividad la actividad

de quien de quien

resuelve el resuelve el

problemaproblema

Actividad 4: Desarrollar criterios

Sesión 2Describir el proceso de modelizaciónDescribir el proceso de modelización

19

ClasesModelización


20

• Reflexionar sobre los procesos de resolución de problemas que

utilizasteis en la Sesión 1.

• Resumir estos procesos en un esquema común.

• Debatir un posible esquema que podríais utilizar para describir el

proceso de modelización.

• Aprender sobre el proceso de modelización.

Objetivos

ClasesModelización


21

• Descripción del proceso de modelización.

Resultados

ClasesModelización


22

Actividad 2:

Compartir las

reflexiones.

[Grupos pequeños] [Todo el grupo]

Actividad 1:

Reflexión

sobre tus

procesos de

resolución de

problemas.

Estructura de la sesión

ClasesModelización


23

Trabajo en grupos:

• Volved sobre las tareas que se han resuelto hasta ahora.

• ¿Cómo procedisteis para encontrar una solución? Reflexionad sobre vuestros procesos de resolución de problemas a un nivel general.

• Esbozad un único diagrama sintetizando estos procesos.

[ Tarea 1 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 5 – Tarea 6 ]

Actividad 1:

ClasesModelización


24

Compartid diagramas

¿Qué diferencias y similitudes podéis establecer entre ellos?

Actividad 2: Compartir las reflexiones

ClasesModelización


25

Introducción de una descripción del proceso de modelización

«Mundo real» «Mundo matemático»

1 2

3

4

5

5

Problema del

mundo real

Problema del

mundo real

Problema matemático Problema matemático

Solución matemáticaSolución matemáticaSolución realSolución real

El ciclo de modelización (estudio PISA, 2003)

ClasesModelización


26


1 2

3

4

5

5

Problema del mundo real


Problema

matemático

Problema

matemático

Solución matemática

Solución matemáticaSolución realSolución real

El ciclo de modelización (del estudio PISA, 2003)

1. Empezar con un problema de la realidad.

2. Organizarlo de acuerdo a conceptos matemáticos e identificar las matemáticas

relevantes.

3. “Recortar” gradualmente la realidad a través de procesos como hacer

suposiciones, generalizar y formalizar, que promueven las características

matemáticas de la situación y transforman el problema del mundo real en un

problema matemático que representa la situación.

4. Resolver el problema matemático.

5. Explicar la solución matemática en términos de la situación real.

1

2

3

4

5

Descripción ampliada... Ejemplos...

ClasesModelización


27

Notas importantes

• El ciclo de modelización no es un algoritmo.

• En muchas ocasiones hay que adelantarse al paso siguiente e ir hacia

atrás al paso anterior.

• Puedes necesitar dar varias vueltas al ciclo para llegar a una solución.

• Hay más de una solución posible.

• Muchas veces la solución depende de la persona que trabaja en las

tareas.


1 2

3

4

5

5



Problema

matemático

Problema

matemático

Solución matemática

Solución matemáticaSolución realSolución real

Diapositivas extraSesión 1: Introducción a la modelizaciónSesión 1: Introducción a la modelización

28

ClasesModelización


29

Respecto al contexto de la tarea

¿Real y auténtica?¿Interesante para los

alumnos?Relevante para los alumnos

Tarea 1 Sí Podría ser Sí

Tarea 2 No estoy seguro Podría ser Podría ser

Tarea 3 Sí Podría ser Podría ser

Tarea 4 Sí Podría ser Sí

Tarea 5 No Probablemente no Seguro que no

Tarea 6 Sí Podría ser Podría ser

Volver a las conclusiones

ClasesModelización


30

Respecto al conocimiento matemático implicado


¿Único y completamente determinado por adelantado?

¿Promueve el uso de distintas partes del conocimiento matemático?

Tarea 1 NoEstimación, cálculos aritméticos, medidas,

geometría

Tarea 2 Sí Funciones lineales


geometría


álgebra, funciones

Tarea 5 Sí Aritmética

Tarea 6 No Estimación, cálculos aritméticos

ClasesModelización


31

Respecto a las soluciones esperadas


¿Una o varias?¿Naturaleza de la solución

esperada?¿Relación entre la solución y

el contexto inicial?

Tarea 1

VariasUn número, un intervalo,

una afirmaciónRelevante

Tarea 2

Una Un número Relevante

Tarea 3

Varias Medidas, intervalos Relevante

Tarea 4

VariasNúmeros, intervalos,

afirmaciones, funciones, patrones

Relevante

Tarea 5

Una Un número Totalmente irrelevante

Tarea 6

Varias Números, intervalos Relevante

ClasesModelización


32

Respecto a la actividad de quien resuelve el problema


¿Llevar a cabo un procedimiento «óptimo y

único»?

¿Explorar, plantear hipótesis, buscar distintas maneras de trabajar, interpretar y validar sus

soluciones... ?

Tarea 1 No Sí

Tarea 2 Sí No

Tarea 3 No Sí

Tarea 4 No Sí

Tarea 5 Sí No

Tarea 6 No Sí

Diapositivas extraSesión 2: Describir el proceso de modelización

33

ClasesModelización


34

Del «problema del mundo real» al «problema matemático» (1, 2, 3)

(matematización horizontal, De Lange, 1987)

identificar las matemáticas relevantes respecto a un problema situado en la

realidad;

representar el problema de manera distinta, lo que incluye organizarlo según

conceptos matemáticos y haciendo suposiciones apropiadas;

comprender las relaciones entre el lenguaje del problema y el lenguaje

simbólico y formal que es necesario para entenderlo matemáticamente;

encontrar regularidades, relaciones y patrones;

reconocer aspectos que sean isomorfos a problemas conocidos;

traducir el problema a las matemáticas: por ejemplo, a un modelo matemático.

Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39

El ciclo de modelización (PISA, 2003)

ClasesModelización


35

Trabajar en el «mundo matemático» (4)

(matematización vertical, De Lange, 1987)

utilizar y cambiar entre distintas representaciones;

utilizar lenguaje y operaciones simbólicos, formales y técnicos;

refinar y ajustar modelos matemáticos;

combinar e interpretar modelos;

argumentar;

generalizar.



ClasesModelización


36

Volver a la situación del mundo real (5)

(interpretar y validar tanto la solución como el modelo)

comprender la extensión y límites de los conceptos matemáticos;

reflexionar sobre argumentos matemáticos, y explicar y justificar

resultados;

expresar el proceso y la solución;

criticar el modelo y sus límites.

Vuelta a la presentación



ClasesModelización


37

Ejemplos

Tarea 1: Firmar contra una nueva ley

Tarea 2: Frecuencia cardiaca

ClasesModelización


38

Ejemplo 1: Firmar contra...

Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea

“Mundo real” “Mundo matemático”

Tarea tipo 1: Tarea de modelización(todo el ciclo y los pasos tienen que tenerse en cuenta)


1 2

3

1 2

3

44

55

55

Real-mundo

problema

Reunir firmas

Llevarlas al CongresoReal-mundo

problema

Reunir firmas

Llevarlas al Congreso

¿De verdad se necesitan 11 furgonetas?

Matemático

Problema

¿Cuántas hojas de papel?

¿Cuánto volumen ocupan?

por n hojas de papel?

Matemático

Problema

¿Cuántas hojas de papel?

¿Cuánto volumen ocupan?

¿por n hojas de papel?

Matemático

solución

Cálculos aritméticos

Calcular un volumen

Matemático

solución

Cálculos aritméticos

Calcular un volumen

Real soluciónComparar volúmenes (n hojas

de papel vs. 11 furgonetas)

Debatir sobre la situación

Real soluciónComparar volúmenes (n hojasde papel vs. 11 furgonetas) Debatir sobre la situación

ClasesModelización


39

Ejemplo 2: Frecuencia cardiaca

Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea

“Mundo real” “Mundo matemático ”

Tarea tipo 2: Tarea de aplicación (los pasos 2 y 3 no hay quetenerlos en cuenta: se proporciona el modelo matemático)


1 2

3

1 2

3

44

55

55

Real-mundo

problema

Dos modelos matemáticos (lineales) y

¿De qué edad en adelante el nuevo

por el antiguo?

Real-mundo

problema

Se proporcionan 2 modelos matemáticos(lineales) y una afirmación cualitativa.

¿De qué edad en adelante el nuevomodelo aumenta la frecuenciarecomendada por el antiguo?

Real solucióntérminos de edad y

Real soluciónInterpretar esta desigualdad entérminos de edad y frecuenciacardíaca máxima recomendada.

Comparación de dos funciones:x / 220 - x < 208 - 0,7x?

Resolver una desigualdadlineal: x > 40

Diapositivas extraTareas

40

ClasesModelización


41






realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?Vuelta a la presentación

ClasesModelización


42






Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».



Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf Vuelta a la presentación

ClasesModelización


43

Tarea 3: Festival de músicaEl Festival de Artes Escénicas

Contemporáneas de Glastonbury

es el mayor festival al aire libre de música y

artes escénicas del mundo. En 2005, el

área vallada del festival tenía más de 3,6

km² (900 acres), y hubo más de 385

actuaciones en directo. Muchos de los

asistentes al festival llevan sus propias

tiendas de campaña y duermen dentro de la

zona del festival.

Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el

número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad.

¿Qué les aconsejarías?


Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelización


44


Tarea 4: Gas naturalEn 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos.

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren

Gracias a Stan Shebs . Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelización


45

Tarea 6: Vecinos

En tu opinión, ¿cuánta gente vive en

este bloque de pisos?

© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren© 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren

Timbres de la entrada:


ClasesModelización


46






realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?


ClasesModelización


47






Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente».



Obtenido de www.pisa.oecd.org/dataoecd/46/14/33694881.pdf Vuelta a la presentación

modelizaci ó n tareas clasesevaluaci ó n reflexi ó n

Documents