modelamiento de sistamas dinamicos

7/23/2019 Modelamiento de Sistamas Dinamicos

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1 TRANSFORMADA DE LAPLACE

Un sistema representado por una ecuación diferencial resulta dificultoso para

representarlo como un diagrama de bloques. Por lo tanto se expone la

Transformada de Laplace, con la cual se puede representar la entrada, la salida y

el sistema como entidades separadas. Más allá su relación mutua será

completamente algebraica.

En primer lugar se presentar la definición de la Transformada de Laplace y un

bree análisis de la condición para la existencia de !sta.

L [ f ( t ) ]= F (s )=∫0

∞

f (t ) e−st

dt (1 )

"onde

s=σ + jω, es una ariable comple#a. En este curso no se demostrarán las

transformadas, simplemente se dará una tabla con sus pares.

Tabla de Pares Transformada de Laplace

af (t ) aF (s ) d

nf (t )dt

sn F (s )−s

n−1f (0 )−s

n−2f

' (

f 1 ( t )+ f 2 ( t ) F 1 (s )+ F 2 (s ) ∫0

t

f (t )dt F (s)

s

f (t ) F (s) ∫−∞

t

f ( t )dt F (s)

s +

1

s∫−∞

0

f (t )dt

f (at ) 1

a F ( s

a ) tf ( t ) −dF (s)

ds

e−at

f (t ) F (s+a) t 2

f (t ) d2 F (s)

d s2

f (t −T ) e−sT

F (s) t n

f (t ) (−1)n dn

f (s )

d sn




df (t )dt

sF (s )−f (0) δ (t ) $

d2

f (t )dt

s2 F (s )−sf (0 )− f ' (0) u(t )

1

s

tu(t ) 1

s2

t sinωt 2ωs

( s2+ω

2 )2

t n

u(t ) n !s(n+1) t cos ωt s

2

−ω2

( s2+ω

2 )2

e−at

u (t ) 1

s+a e

−at sinωt

ω

(s+a)2+ω2

t e−at

1

( s+a )2 e

−at cosωt

s+a

(s+a)2+ω2

t n

e−at

n !

[ s+a ](n+1) t e−at

sinωt 2ω (s+a)

[(s+a)2+ω2 ]2

sinωt ω

s2+ω

2 t e−at

cosωt (s+a )2−ω

2

((s+a)2+ω2 )2

cosωt s

s2+ω

2 2 M e−at

cos(bt +θ M e

jθ

(s+a− jb)+

M e− jθ

(s+a+ jb)=

Teorema de alor %nicial& Teorema de alor final&




t →0+¿

f (t )=lims→ ∞

sF (s)

lim¿ ¿

limt → ∞

f (t )=lims →0

sF (s)

'onolución&

f 1 (t )∗f 2 (t )=∫0

∞

f 1 (t −τ ) f 2 ( τ )

f 1 (t )∗f 1 (t )= F 1 ( s) F 2 (s )

k n

( s+a )nk n

( n−1 ) !t

n−1e−at

Ejemplo 1: "ada la siguiente ecuación diferencial encontrar Y ( s ) &

d2 y

dt 2 +9

dy

dt +2 y=6e

−4 t con y (0 )=2, y

' (0 )=−4

(plicando la transformada de Laplace a cada t!rmino de la ecuación diferencial&

s2

Y ( s)−s (2 )−(−4 )+9 [ sY (s )−2 ]+2Y (s )= 6

s+4

s2

Y ( s )−2 s+4+9 sY (s )−18+2Y ( s )= 6

s+4⟹

( s2+9 s+2 ) Y ( s )−2 s−14=

6

s+4⟹ (s2+9 s+2 ) Y (s )=

6

s+4+2 s+14⟹

Y ( s )= 6

(s+4 ) ( s2+9 s+2 )

+ 2 s+14

( s2+9 s+2)

Ejemplo 2: Escribir las ecuaciones integrodiferenciales de la siguiente rede

el!ctrica, en t!rminos de las corrientes de malla indicadas y posteriormente

exprese las ecuaciones en el dominio de la frecuencia asumiendo condiciones

iniciales cero.



10 V

8Cos 9t

R1

4 Ω

R2 6 Ω

L12 H

L2 5 H

C2 7 F

C1

3 F

i1(t) i2(t)

a)

(plicando L)* para obtener la ecuación de la malla $&

1+ "1+10+ L2+ L1=0⟹

1

1∫0

t

#1 (τ )dτ + "1 [ #1 (t )−#2(t )]+ L2

d [#1 (t )−#2 (t ) ]

dt

+ L1

d #1 (t )

dt

=−10⟹

1

1∫0

t

#1 (τ )dτ + "1#1 (t )− "1 #2 ( t )+ L2

d #1 (t )

dt − L2

d #2 (t )

dt + L1

d #1 ( t )

dt =−10⟹

1

3∫0

t

#1 (τ ) dτ +4 #1 (t )−4 #2 (t )+5d #1 ( t )

dt −5

d #2 (t )

dt +2

d #1 (t )

dt =−10⟹

1

3∫0

t

#1 (

τ )dτ +4 #

1 (t )−

4 #2(

t )+

7d #1 (t )

dt −5

d #2 ( t )

dt =−10

(2

)

1

3 s $ 1 (s )+4 $ 1 ( s )−4 $ 2 (s )+7 s $ 1 ( s )−5 s $ 2 ( s )=

−10

s ⟹

( 13 s+4+7 s) $

1 (s )−(4+5s ) $

2 (s )=−10

s

(plicando L)* para obtener la ecuación de la malla +&

8cos9 t + "2+ 2− L 2−10− "1=0⟹

"2 #2 (t )+ 1

2∫0

t

#2 (τ ) dτ −[ L2

d [ #1 (t )−#2 (t ) ]dt ]− "1 [#1 (t )−#2 (t ) ]=10−8cos9 t



"2 #2 (t )+ 1

2∫0

t

#2 (τ ) dτ − L2

d #1 (t )

dt + L2

d #2 (t )

dt − "1#1 (t )+ "1#2 ( t )=10−8cos9 t

6 #2 ( t )+1

7

∫0

t

#2 (τ ) dτ −5d #1 (t )

dt

+5d #2 (t )

dt

−4 #1 (t )+4 #2 ( t )=10−8cos9 t ⟹

1

7∫0

t

#2 (τ )dτ −5d #1 (t )

dt +5

d #2 (t )

dt −4 #1 ( t )+10 #2 (t )=10−8cos9 t (3 )

1

7 s $ 2 (s )−5 s $ 1 (s )+5 s $ 2 ( s )−4 $ 1 (s )+10 $ 2 ( s )=

10

s −8( s

s2+9

2 )⟹

−(5 s+4 ) $ 1 (s )+

(

1

7s

+5 s+10

) $

2( s )=

10

s

− 8 s

s2

+81

'ualquiera de las expresiones obtenidas no pueden ser resueltas directamente

desde la tabla de transformadas de Laplace. Por lo tanto se debe utiliar una

-erramienta matemática que permita resoler y aplicar la transformada inersa de

Laplace para obtener la respuesta en el tiempo. "ic-a -erramienta son las

fracciones parciales.

2 Fraccones Parcales

(l buscar la transformada inersa de Laplace ( L−1 ) , se requiere con frecuencia

el uso de las fracciones parciales. Estas se pueden presentar en cuatro formas& a!cuando el numerador es de orden inferior al denominador y !ste no tiene races

repetidas/ b! cuando el numerador no es de orden inferior al denominador/ c!cuando el denominador tiene races repetidas y d! cuando el denominador tiene

races comple#as con#ugadas.

2"1 C#ando el n#merador es de orden nferor al denomnador $ %s&e no&ene ra'ces repe&das

En este caso, el denominador debe estar expresado en factores de la forma

( s % an ) y es posible encontrar las constantes & 1 & 2 … & n denominadas

residuos, tales que&

Y ( s )= (o) *umerador

sn+an−1

sn−1+…+a

1s+a

0

= (o) *umerador

(s+a ) ( s+b ) ( s+c ) …=

& 1

s+a+

& 2

s+b+… (4)



Los t!rminos indiiduales en el desarrollo representan funciones exponenciales del

tiempo, despu!s de t =0 &

y (t )= & 1e−at + & 2 e

−bt + & 3 e−ct +… (5 )

Para calcular los residuos 0 & 1 & 2 … & n 1, se multiplican todos los miembros de

la ec. 2 por el t!rmino del denominador del residuo que se desea encontrar y el

resultado se eal3a en el alor de s que -aga que el t!rmino del denominador

se anule 0es decir en el alor de la ubicación de la ra1.

Ejemplo (: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace

Y ( s )= 3 s+1s2+6 s+8

Primero se debe factoriar el denominador y luego expandirse en 5.P.

Y ( s )= 3 s+1

s2+6 s+8

= 3 s+1

(s+2)(s+4 )=

& 1

s+2+

& 2

s+4(6 )

Para calcular el residuo de &

1 , se multiplica a ambos lados de la ecuación por

el factor (s+2 )

(3 s+1 ) (s+2 )(s+2)( s+4)

= &

1 (s+2 )

s+2+

& 2 (s+2 )

s+4 |s=−2

⟹

(3 s+1 )(s+4)

= & 1+ & 2 ( s+2 )

s+4 |s=−2

⟹

[3 (−2 )+1 ][ (−2 )+4 ]

= & 1+ & 2 (−2+2 )

−2+4 ⟹

& 1=−6+12

⟹ & 1=−2.5

6i se obsera, el residuo se puede obtener simplemente eliminando el t!rmino del

residuo respectio del lado derec-o de la ecuación. 4bteniendo &

2 &



& 2=3 s+1s+2 |s=−4

⟹ & 2=3 (−4 )+1

−4+2 ⟹ & 2=5.5

7emplaando los alores de los residuos en la ecuación 8, se tiene&

Y ( s )= 3 s+1

s2+6 s+8

= 3 s+1(s+2)(s+4 )

=−2.5

s+2 + 5.5

s+4

(plicando L−1

de acuerdo a la tabla, se tiene&

y (t )=−2.5e−2 t +5.5e

−4 t

Ejemplo ): 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace

Y (+ )=3 s

2+21 s+10

s (s2+7 s+12 )=

3 s2+21 s+10

s(s+4)(s+3)=

k 1

s +

k 2

s+4+

k 3

s+3

k 1=3 s

2+21 s+10

s2+7 s+12 |

s=0

⟹k 1=10

12

k 2=3 s

2+21 s+10s(s+3) |

s=−4

⟹k 2=3 (−4 )2+21 (−4 )+10

(−4 ) (−4+3 ) ⟹ k 2=

−26

4 =

−13

2

k 3=

3 s2+21 s+10s (s+4) |

s=−3

⟹k 2=

3 (−3 )2+21 (−3 )+10(−3 ) (−3+4 )

⟹k 2=−26

−3=

26

3

Y ( + )=3 s

2+21 s+10

s (s2+7 s+12 )=

3 s2+21 s+10

s (s+4)(s+3)=10 /12

s +

−13/2s+4

+26 /3s+3

y (t )=10

12−

13

2 e

−4 t +26

3 e

−3t

2"2 C#ando el n#merador no es de orden nferor al denomnador

En este caso se realia la diisión sint!tica de la fracción para reducir el orden del

polinomio numerador. El resultado se expresa como la suma de un polinomio

cociente y una fracción entre el polinomio residuo y el polinomio denominador&



Y ( s )= (o) *umerador

(s+a ) (s+b ) (s+c ) …= (o) , oc#ente+

(o) "es#duo

( s+a ) (s+b ) (s+c ) …= (o) oc#ente+

& 1

s+a+

& 2

s+b+

& 3

s+c …

Ejemplo *: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace

Y ( s )= 2 s

2+3s2+3 s+2

=2+ −6 s+3s2+3 s+2

=2− 6 s−3

(s+1 ) (s+2 )=2−[ k

1

s+1+

k 2

s+2 ]

k 1=

6 s−3

s+2 |s=−1

⟹k 1=−6−3

−1+2⟹k

1=−9

k 2=

6 s−3

s+1 |s=−2

⟹k 2=−12−3

−2+1⟹k

2=15

Y ( s )= 2 s

2+3

s2+3 s+2

=2−[ −9

s+1+ 15

s+2 ]⟹

y (t )=2δ (t )+9e−t −15e

−2 t

2"( C#ando el denomnador &ene ra'ces repe&das

Para este caso, el m!todo del caso $ aplica solamente para el t!rmino repetido de

mayor orden y los demás se obtienen mediante la deriación de la expresiónresultante al multiplicar toda la expresión por el factor respectio.

La transformada inersa de Laplace de una ra repetida se obtiene a partir de&

L−1[ k n

(s+a )n ]= k n

(n−1 )!t

n−1e−at

Ejemplo +: 4btener y (t ) para la siguiente función transformada de Laplace

Y ( s )= 4 s

2−1

s3+6 s

2+12 s+8

5actoriando el polinomio denominador&



Y ( s )= 4 s

2−1

(s+2 ) ( s+2 ) (s+2 )=

4 s2−1

( s+2 )3 =

k 1

( s+2 )+

k 2

( s+2 )2+

k 3

( s+2 )3(8)

Multiplicando la ecuación 9 por (s+2 )3

(4 s2−1) ( s+2 )3

( s+2 )3 =

k 1 (s+2 )3

(s+2 ) +

k 2 (s+2 )3

(s+2 )2 +

k 3 ( s+2 )3

(s+2 )3 ⟹

(4 s2−1)=k

1( s+2 )2+k

2( s+2 )1+k

3|s=−2(9 )

k 3=4 s2−1|s=−2⟹k 3=4 (−2 )2−1⟹k 3=15

"eriando la ecuación :, se obtiene el alor de k 2 &

d (4 s2−1 )

ds =

d

ds [ k 1 ( s+2 )

2+k 2 (s+2 )

1+k 3 ]⟹

8 s=2 k 1 (s+2 ) (1 )+k

2|s=−2(10 )

k 2=8 (−2 )⟹k 2=−16

"eriando la ec. $;, se obtiene el alor dek 1 &

d (8 s )ds

= d

ds [2k

1(s+2)+k

2 ]⟹8=2k 1⟹k

1=4

Y ( s )=4 s

2−1

( s+2 )3 =

4

( s+2 )−

16

(s+2 )2+

15

(s+2 )3⟹

y (t )=4e−2 t −16 t e

−2 t +15

2 t

2e−2 t

En general, los coeficientes de los t!rminos de ra repetida del desarrollo de una

fracción parcial que se repite - eces se obtiene a partir de&



k #= 1

( -−#) !

d -−#

d s -−#

[ ( s+a ) -Y (s)] s=−a #=1,2,3,… -(11)

2") C#ando el denomnador &ene ra'ces complejas conj#,adas

Los residuos de races comple#as con#ugadas, son comple#os con#ugados de cadauna de ellas

Ejemplo -: 4btener y (t ) para la siguiente función Transformada de Laplace

Y ( s )= 10

s ( s2+4 s+13 )

5actoriando el polinomio denominador&

Y ( s )= 10

s ( s+2+3 j ) ( s+2−3 j )=k 1

s + k 2

s+2+3 j+ k 3

s+2−3 j

k 1=

10

s2+4 s+13|s=0

⟹k 1=

10

13

k 2=

10

s (s+2−3 j )|s=−2−3 j

⟹k 2=

10

(−2−3 j )(−2−3 j+2−3 j)⟹

k 2= 10

(−2−3 j )(−6 j)⟹k 2=

10

12 j−18⟹k 2=

10 (−12 j−18 )(12 j−18 ) (−12 j−18 )

k 2=−120 j−180

144+324 ⟹k 2=

−120 j−180

468 ⟹

k 2=−0.38−0.26 j⟹k 2=0.46e− j145.6

k 3=k

2

¿

Y (s )= 10

s ( s+2+3 j ) ( s+2−3 j )=

10 /13s +

0.46e− j145.6

s+2+3 j +

0.46e j145.6

s+2−3 j

y (t )=10

13+2 (0.46 ) e

−2 t cos (3 t −145.6

0)



Ejemplo .: "ada la siguiente ecuación diferencial encontrar la respuesta en el

tiempo para una entrada . (t )=esca)/nun#tar#o &

d3 y

dt

3 +3

d2

y

dt

2 +5

dy

dt + y=

d3 .

d.

3 +4

d2 .

d.

2 +6

d.

dt +8 .

(plicando la transformada de Laplace a cada t!rmino de la ecuación diferencial&

s3

Y ( s )+3 s2

Y ( s )+5 sY (s )+Y ( s )=s3 0 (s )+4 s

2 0 (s )+6 s0 ( s )+8 0 ( s )⟹

( s3+3 s

2+5 s+1)Y ( s )=( s3+4 s

2+6 s+8) 0 ( s )⟹

T ( s)= Y ( s )

0 ( s )=

s3+4 s

2+6 s+8

s3+3 s

2+5 s+1

6i la entrada es un escalón unitario, podemos -allar y (t ) aplicando fracciones

parciales&

Y ( s )= s3+4 s

2+6 s+8

s(s3+3 s

2+5s+1)=

s3+4 s

2+6 s+8s ( s+0.2291 )(s+1.3855−1.5639 j )(s+1.3855+1.5639 j )

Y ( s )=k 1

s +

k 2

s+0.2291+

k 3

s+1.3855−1.5639 j+

k 4

s+1.3855+1.5639 j

k 1=

s3+4 s

2+6 s+8

s3+3 s

2+5 s+1|s=0

⟹k 1=8

k 2= s

3+4 s2+6 s+8

s (s+1.3855−1.5639 j ) (s+1.3855+1.5639 j )|s=−0.2291

⟹

k 2= (−0.2291 )3+4 (−0.2291 )2+6 (−0.2291 )+8

(−0.2291 ) (−0.2291+1.3855−1.5639 j ) (−0.2291+1.3855+1.5639 j )⟹

k 2= 6.823322512

(−0.2291 ) (3.7830 )⟹k 2=

6.823322512

−0.8666853⟹k 2=−7.87289517

k 3= s

3+4 s2+6 s+8

s (s+0.2291 ) ( s+1.3855+1.5639 j )|s=−1.3855+1.5639 j

⟹



k 3= (−1.3855+1.5639 j )3+4 (−1.3855+1.5639 j )2+6 (−1.3855+1.5639 j )+8

(−1.3855+1.5639 j ) (−1.3855+1.5639 j+0.2291 ) (−1.3855+1.5639 j+1.3855+1.5639 j )

k 3=0.4368− j0.13⟹k 3=0.46e− j16.57

Y ( s )=8

s−

7.87

s+0.2291+

0.46e− j16.57

s+1.3855−1.5639 j+

0.46e j16.57

s+1.3855+1.5639 j

(plicando transformada inersa de Laplace se tiene que&

y (t )=8−7.87e−0.229 t +2 (0.46 ) e

−1.385 t cos (1.56 t −16.57

0 )⟹

y (t )=8−7.87e−0.229 t +0.92e

−1.385 t cos (1.56 t −16.57

0 )

La gráfica de la función y (t ) obtenida es&

( LA F/NC0N DE TRANSFERENC0ALos sistemas como los de la figura <.$ representan la relación que existe entre la

salida y la entrada del mismo. Esta función permite separar la entrada, el sistema

y la salida en tres partes distintas, a diferencia de una ecuación diferencial.



5igura <.$ a1 7epresentación de un sistema, b1 7epresentación de subsistemas

La función tambi!n permite combinar algebraicamente representaciones

matemáticas de los subsistemas para producir una representación total del

sistema. Escribiendo de forma general una tiempo ecuación diferencial de orden n,

lineal, inariante en el tiempo.

) S0STEMAS MECN0COS

Los sistemas el!ctricos tienen una seme#ana en su representación matemática

con otros sistemas como son los sistemas mecánicos, -idráulicos y t!rmicos. Es

por ello que se analiara el comportamiento de cada uno de estos sistemas, su

seme#ana matemática y la forma de obtener su función de transferencia.

)"1 Ss&ema Mec3nco Traslaconal

En un sistema mecánico, se aplica la segunda ley de ne=ton

)"2 Crc#&os el%c&rcos an3lo,os

En esta sección se muestra la similitud que existe entre los sistemas de distintas

disciplinas, y como se pueden representar los sistemas mecánicos por los circuitos

el!ctricos. 6e -a demostrado la similitud existente entre las ecuaciones resultantes

de las leyes de *irc--off para los sistemas el!ctricos y las ecuaciones de

moimiento de los sistemas mecánicos. 6e mostrara una similitud más acorde con

nuestra disciplina de ingenieros electrónicos, mediante la obtención de circuitos

el!ctricos equialentes de los sistemas mecánicos. Las ariables de los circuitosel!ctricos se comportan de igual manera que las ariables de los sistemas

mecánicos.

Un circuito el!ctrico que es análogo a un sistema de otra disciplina es llamado un

circuito análogo. Estos sistemas análogos pueden ser obtenidos comparando las

ecuaciones que lo describen, tales como las ecuaciones de moimiento en los

sistemas mecánicos, bien sea mediante ecuaciones de malla o de nodo.



'uando la analoga se -ace mediante análisis por mallas, el circuito el!ctrico

obtenido se llama analogía serial .

'uando la analoga se -ace mediante análisis nodal, el circuito el!ctrico obtenido

se llama analogía en paralelo.

)"2"1 Analo,'a Seral

'onsiderar el sistema mecánico traslacional de la figura 0a1 y el sistema el!ctrico

de la figura 0b1, cuyas ecuaciones de moimiento 0$1 y L)* 0+1 son&

( M s2+1s+ & ) 0 ( s )= F (s )(1)

( Ls+ "+ 1

s ) $ ( s )=2 ( s )(2)

'omo se obsera, la ecuación 0$1 no es exactamente equialente a la ecuación

0+1, debido a que el desplaamiento y la corriente no son análogos. 6e creara una

analoga directa mediante la manipulación de la ecuación 0$1, para poder conertir el desplaamiento en elocidad. "iidiendo y multiplicando por s en el lado

iquierdo de 0$1 se tiene&

( M s2+1s+ &

s )s0 ( s)= F (s )⟹( Ms+1+ &

s )2 ( s )= F ( s ) (3 )

'omparando las ecuaciones 0+1 y 0<1 se puede obserar que a-ora existe una

similitud entre las mismas, donde L= M "=1 =

1

& 2 ( s )= F (s )

. Esto se

obsera en la figura 0c1



'uando existe más de un grado de libertad, las impedancias asociadas a un

moimiento aparecen como elementos de serie el!ctrica en una malla, pero la

impedancia entre los moimientos adyacentes se dibu#an como impedancias en

serie el!ctrica entre las dos mallas correspondientes.

Ejemplo 1: "ibu#ar el circuito equialente en serie, para el siguiente sistema

mecánico&

Escribiendo las ecuaciones de moimiento son&

[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )−[ 13 s+ & 2 ] 0 2 ( s)= F (s )

−[ 13 s+ & 2 ] 0 1 ( s)+[ M 2 s2+(12+13)s+( & 2+ & 3)] 0 2 (s )=0

Multiplicando y diidiendo ambas ecuaciones por s en el lado iquierdo&

[ M 1

s+(11+1

3)+( & 1

s +

& 2

s )]s 0 1( s )−[1

3+

& 2

2 ]s 0 2( s)= F (s )

−[13+

& 2

s

]s 0 1 (s )+[

M 2 s+(12+13)+( & 2

s +

& 3

s

)]s 0 2 ( s )=0

En las ecuaciones resultantes, los t!rminoss 0

1( s )=2

1( s) y s 0

2( s)=2

2(s)

, por lo

tanto quedaran as&



[ M 1 s+(11+13)+( & 1

s +

& 2

s )]2 1 ( s)−[13+ & 2

2 ]2 2(s)= F (s )

−

[13+

& 2

s

]2 1 (s )+

[ M 2 s+(12+13)+

( & 2

s +

& 3

s

)]2 2(s)=0

"e estas ecuaciones, resulta el siguiente circuito análogo serial&


mecánico cuando

M 1=5 &3 M 2=3 &3 M 3=2 &3 & 1=3 *

m & 2=1

*

m 11=4 * −

s

m 12=1 * −

s

m 13=8 * −

s

m 14=2

Para facilitar el dibu#o del circuito, se escriben las ecuaciones pero de forma literal

y posteriormente se reemplaan los alores. Esto permite isualiar de manera

clara, cuales elementos son comunes a otras masas y cuáles no.

[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )− & 2 0 2 (s )−13 s 0 3 ( s)=0

− & 2 0 1 (s )+[ M 2 s2+( 12+14 ) s+ & 2 ] 0 2 ( s )−14 s 0 3 ( s )=0

−13 s 0 1 ( s )−14 s 0 2 ( s)+[ M 3 s2+( 13+14 ) s ] 0 3 (s )=0

Multiplicando y diidiendo la parte iquierda de las ecuaciones se tiene&



[ M 1 s+(11+13)+( & 1

s +

& 2

s )]2 1 ( s)− & 2

s 2 2 (s )−13 2 3 ( s)=0

− & 2

s

2 1 (s )+

[ M 2 s+( 12+14 )+

& 2

s

]2 2 ( s)−142 3 ( s)= F (s)

−13 2 1 ( s)−14 2 2 ( s)+[ M 3 s+( 13+14 ) ] 2 3 (s )=0

Las ecuaciones con alores serian&

[5 s+12+(3s+ 1

s )]2 1 ( s)−1

s 2 2 ( s)−82 3 ( s)=0

−1

s 2 1 (s )+[3 s+3+

1

s

]2 2 (s )−22 3 ( s)= F (s )

−82 1 (s )−22 2 (s )+ [2 s+10 ] 2 3 ( s)=0

"ibu#ando el circuito se tiene&

B4

F(s)

K2/s

M2s B2

V2 (s)

M1s B1

B3

K1/sV1 (s)

M3s

V3 (s)

7eemplaando alores&



F(s)

1/s

3s

V2 (s)

5s

3/sV1 (s)

2s

V3 (s)

1 4

8

2

)"2"2 Analo,'a Paralelo

'onsiderar el sistema mecánico traslacional de la figura 0a1 y el sistema el!ctrico

de la figura 0b1, cuyas ecuaciones de moimiento 0<1 y L'* 021 son&

( M s2+1s+ & ) 0 ( s )= F (s )(3)

(s+1

"+ 1

Ls )2 ( s )= $ (s )(4)

"iidiendo y multiplicando por s en el lado iquierdo de 0$1 se tiene&

( M s2+1s+ &

s )s0 ( s)= F (s )⟹( Ms+1+ &

s )2 (s )= F ( s) (5 )

'omparando las ecuaciones 021 y 0>1 se puede obserar que a-ora existe una

similitud entre las mismas, donde M = 1=1

" L= 1

& F ( s )= $ (s) . Esto se

obsera en la figura 0c1.




mecánico&

Escribiendo las ecuaciones de moimiento son&

[ M 1 s2+(11+13)s+( & 1+ & 2)] 0 1 (s )−[ 13 s+ & 2 ] 0 2 ( s)= F (s )

−[ 13 s+ & 2 ] 0 1 ( s)+[ M 2 s2+(12+13)s+( & 2+ & 3)] 0 2 (s )=0

Multiplicando y diidiendo ambas ecuaciones por s en el lado iquierdo&

[ M 1

s+(11+1

3)+( & 1

s +

& 2

s )]s 0 1 ( s )−[1

3+

& 2

2 ]s 0 2 ( s)= F (s )

−[13+

& 2

s ]s 0 1(s )+[ M

2s+(1

2+1

3)+( & 2

s +

& 3

s )]s 0 2( s )=0

En las ecuaciones resultantes, los t!rminoss 0

1( s )=2

1( s) y s 0

2( s)=2

2(s)

, por lo

tanto quedaran as&

[ M 1 s+(11+13)+( & 1

s +

& 2

s )]2 1 ( s)−[13+ & 2

2 ]2 2(s)= F (s )



−[13+ & 2

s ]2 1 (s )+[ M 2 s+(12+13)+( & 2

s +

& 3

s )]2 2(s)=0

"e estas ecuaciones, resulta el siguiente circuito análogo en paralelo&

)"( Ss&emas con En,ranajesLos engrana#es son de gran importancia en los sistemas mecánicos rotacionales.

'uando se monta una bicicleta de $; elocidades, se nota la aplicación de ellos.

6i se a subiendo una cuesta, se requiere de más torque y se produce una menor

elocidad. En una recta, se obtiene más elocidad y se requiere de menos torque.

Por lo tanto, los engrana#es permiten que coincida el sistema de tracción y la carga

con la elocidad y el torque.

En muc-as aplicaciones, los engrana#es presentan una reacción, debido al

moimiento que se puede presentar entre dos engrana#es dentados. Los

engrana#es dan un peque?o giro alrededor de un ángulo antes de -acer contactocon los demás. Esto implica que la rotación de los engrana#es de salida no ocurre

-asta que -alla una peque?a rotación angular de los engrana#es de entrada.

La interacción lineal entre dos engrana#es se presenta en la figura $. Un engrana#e

de entrada con radior1 y

* 1 dientes rota a tra!s de un ánguloθ1(t )

debido a un torqueT 1(t )

. Un engrana#e de salida con radior2 y

* 2

dientes responde a la rotación a tra!s de un ánguloθ2(t )

y le suministra un

torque T 2(t ) . )eremos cómo encontrar la relación entre la rotación del

engrana#e $,θ1(t )

y el engrana#e +,θ2(t )



5igura $. 6istema de engrana#es

"e la figura $, como los engrana#es giran, la distancia recorrida a lo largo de la

circunferencia de cada engrana#e es la misma. Por lo tanto&

r1

θ1( t )=r

2θ2(t )⟹

r1

r2

=θ

2 (t )

θ1(t )

= *

1

* 2(1)

@a que la relación del n3mero de dientes a lo largo de la circunferencia está en la

misma proporción que la relación de radios. 6e puede concluir que la relai!" #el

#es$la%a&ie"to a"'lar #e e"'ra"aes* es i"+ersa&e"te $ro$orio"al a la

relai!" #el ",&ero #e #ie"tes.

A'uál es la relación entre el par de entrada y el par entregadoB

6i se asume que los engrana#es no absorben ni almacenan energa, la energa de

entrada al engrana#e $ es igual a la energa de salida del engrana#e + 0equiale a

decir que los engrana#es tienen inercia y amortiguamiento despreciable1. @a que la

energa de traslación de la fuera por el desplaamiento se conierte en energa

rotacional por el desplaamiento angular,

T 1 θ1=T 2θ2 (t )⟹θ1

θ2

=T 2

T 1=

* 2

* 1(2)

Por lo tanto, los torques son directamente proporcionales a la relación del n3mero

de dientes. Esto se resume en la figura +.

5igura +. 5. T para& a1 "esplaamiento angular sin p!rdidas, b1 torque sin p!rdidas en engrana#es

( continuación se muestra lo que ocurre con impedancias mecánicas que son

impulsadas por engrana#es.



5igura <. a1 6istema rotacional impulsado por engrana#es, b1 sistema equialente a la salida despu!s de la reflexión del

torque de entrada, c1 sistema equialente en la entrada despu!s de refle#ar las impedancias.

6e representara la figura 0a1 como un sistema equialente aθ1 sin los

engrana#es. En otras palabras, Apueden las impedancias mecánicas ser refle#adas

desde la salida -acia la entrada, eliminando los engrana#esB

"e la figura + 0b1,T 1 puede ser refle#ado a la salida, multiplicándolo por

* 2 / * 1

. Este resultado se muestra en la figura < 0b1, de la cual se escribe laecuación de moimiento como&

( 4 s2+ 5s+ & ) θ2 ( s)=T 1 (s )

* 2

* 1(3)

(-ora se debe conertirθ2(s)

en un equialenteθ1(s)

, por lo que se erá

como si estuiera escrita a la entrada. Usando la figura + 0a1, para obtener θ2(s)

en t!rminos deθ1(s)

, se obtiene&

( 4 s2+ 5s+ & ) θ

1( s)

* 1

* 2

=T 1( s )

* 2

* 1

⟹T 1 (s )=( 4 s

2+ 5s+ & ) θ1( s )( * 1

* 2)2

⟹



[4 ( * 1 * 2 )

2

s2+ 5( * 1

* 2 )2

s+ & ( * 1 * 2 )

2

]θ1 (s )=T 1 ( s)(4)

Ceneraliando& las impedancias de un sistema mecánico rotacional pueden ser

reflejadas mediante un tren de engranajes, multiplicando las impedanciasmecánicas por la relación&

( n6mero de d#entesde) en3ranaje ene) eje dest#no

n6mero ded#entes de en3ranaje ene) ejefuente )2

Ejemplo 1: encontrar la 5.T.

θ2 (s )

T 1(s ) para el siguiente sistema&

Primero amos a refle#ar las

impedancias 0 4 1 y 51 1 y par 0

T 1 1 en el e#e de entrada al de salida

como se muestra en la figura 0b1&

4 1( * 1

* 2 )2

s2+4 2=4 e 7 51( * 1

* 2 )2

s+ 52= 5 e

& 2= & e 7 T 2 (s )= * 2

* 1T 1 (s )

La ecuación de moimiento pude escribirse como&

(4 e s2+ 5e s+ & e )θ2 (s )=T 1(s)

* 2

* 1

7esoliendo paraθ2 (s )

se tiene&

θ2 (s )

T 1(s )=

* 2/ * 1

(4 e s2+ 5e s+ & e) 'on el propósito de

eliminar los engrana#es con radios grandes, un tren de engrana#es se utilia para

implementar grandes relaciones de engrana#es por relación de engrana#es más

peque?as en cascada. (l lado de cada rotación, el desplaamiento angular con

respecto aθ1 se -a calculado.



Ejemplo 2: encontrar la 5.T.θ2 (s )/T (s)

para el siguiente sistema&

'omo las impedancias de un sistema mecánico rotacional pueden ser refle#adas

mediante un tren de engrana#es, multiplicando las impedancias mecánicas por la

relación ( * 1/ * 2 )2

&

θ2

=

(25

50

)

2

=1

4

Transformando el sistema a una red sin engrana#es, mediante el refle#o de la masa

y el amortiguador a la iquierda del resorte de 4 * −m/rad y multiplicando por

0+>D>;1+, se obtiene,

)"("1 Analo,'a El%c&rca4Mec3nca

"ado el circuito de la figura 2 con un transformador ideal, las ecuaciones serán&



R1

R2

L1

L2

+(t)

-1.-2

+1

+2

i1 i2

5igura 2. Transformador con circuitos acoplados el!ctricamente

L1

d #1

dt + "

1#1+

1= ( t )

L2

d #2

dt + "

2#2−

2=0

(5 )

"onde las corrientes y olta#es del transformador están relacionadas mediante lasraones del n3mero de ueltas&

* 1 * 2

=1

2

⟹2= * 2 * 1

1

* 1 * 2

=#2#1⟹ #2=

* 1 * 2

#1

(6)

'omo se quiere refle#ar la carga del secundario al lado primario del transformador,

se debe encontrar el alor de1

, entonces se reemplaan los alores de la

ecuación 081 en la segunda expresión de la ecuación 0>1&

L2

d #2

dt + "2 #2−2=0⟹ L2

d

dt ( * 1

* 2

#1)+ "2( * 1

* 2

#1)− * 2

* 1

1=0⟹

* 1

* 2 L

2

d #1

dt +

* 1

* 2 "

2#1−

* 2

* 11=0⟹

* 1

* 2 L

2

d #1

dt +

* 1

* 2 "

2#1=

* 2

* 11⟹

1=( *

1

* 2 L2

d #1

dt + *

1

* 2 "2#1

) *

1

* 2⟹ 1=(

* 1

* 2 )2

L2

d #1

dt +( *

1

* 2 )2

"2 #1(7)

7eemplaando la ecuación 01 en la primera expresión de la ecuación 0>1&

L1

d #1

dt + "1 #1+1= (t )⟹ L1

d #1

dt + "1 #1+( * 1

* 2 )2

L2

d #1

dt +( * 1

* 2 )2

"2 #1= (t ) (8 )



R1 L1

V (t) i1

Esto significa que la carga del secundario se refle#a en el primario mediante el

cuadrado de la relación del n3mero de espiras del primario y el secundario. Esto

se puede mostrar en la figura >.

5igura >. 'ircuito equialente con la carga del secundario refle#ada en el primario

(-ora se a a comparar estas expresiones con las de un sistema mecánico con

engrana#es. 'onsid!rese el sistema mecánico como el de la figura 8&

5igura 8. 6istema mecánico acoplado mediante engrana#es.

Las la figura 8 comprende un tren de engrana#es y tienen las ecuaciones de

rotación siguientes&

4 1d

2θ1

d t 2 +11

d θ1

dt +τ 1=τ ⟹4 1 s

2θ1 ( s)+11θ1 ( s)+τ 1 (s )=τ (s)

4 2d2

θ2

d t 2 +12

d θ2

dt +τ 2=0⟹4 2 s

2θ2 ( s)+12θ2 ( s)+τ 2 ( s)=0

(9 )

El diagrama de cuerpo libre se presenta en la figura .



5igura . "iagrama de cuerpo libre del 6istema mecánico acoplado mediante engrana#es

Las relaciones de engrana#es se obtienen a partir de la ecuación 0+1&

τ 2=n2

n1

τ 1

θ2=−n1

n2

θ1

(10 )

6ustituyendo las relaciones de la ecuación 0$;1 en la segunda expresión de 0:1&

4 2

d2

d t 2 (−n

1

n2

θ1)+1

2

d

dt (−n

1

n2

θ1)+ n

2

n1

τ 1=0⟹

(−n1

n2 )4

2

d2

θ1

d t 2 +(−n

1

n2 )1

2

d θ1

dt +

n2

n1

τ 1=0⟹

n2

n1

τ 1=(n

1

n2)[ 4

2

d2

θ1

d t 2 +1

2

d θ1

dt ]⟹

τ 1=(n1

n2 )2

[4 2d2θ1

d t 2 +12

d θ1

dt ] (l eliminar

τ 1 en la primera expresión de la Ec. : se tiene&

4 1d

2θ1

d t 2 +11

d θ1

dt +(n1

n2)2

[4 2d

2θ1

d t 2 +12

d θ1

dt ]=τ ⟹

4 1d

2θ1

d t 2 +11

d θ1

dt +(n1

n2 )

2

4 2d

2θ1

d t 2 +(

n1

n2 )

2

12

d θ1

dt =τ (11)

La ec. $$ se muestra como la carga del engrana#e se -a refle#ado al lado iquierdo

del tren de engrana#es. En la figura 9 se muestra el sistema mecánico equialente.



5igura 9. 6istema equialente mecánico con la carga refle#ada mediante engrana#esD

Estos sistemas mecánicos son análogos entre s, con las siguientes cantidades

equialentes&

#1=

d θ1

dt 7 #

2=

d θ2

dt 7 =τ 7 L

1=4

17 L

2=4

27 "

1=1

17 "

2=1

27

* 1

* 2=

n1

n2

)") Modelos de ss&emas 5dr3#lcos

Para los sistemas -idráulicos a considerar, se tomaran sólo los modelos de

sistemas de niel, ya que para estos casos, se pueden realiar simpliFcaciones y

además se pude utiliar la presión -idrostática sin mayor dificultad.

6upongamos que se tiene un tanque al cual se le introduce un fluido mediante la

acción de flu#o de entrada8# , as mismo, el tanque posee un olumen que

podemos denotar mediante sus componentes de altura 9 y sección transersal

:

, por 3ltimo el tanque tiene una salida de fluido caracteriada por el fluido de

salida80 y el cual es cerrado mediante una llae o álula que presentan un a

resistencia -idráulica " .

"ebido a la conseración de masa se tiene&



d

dt ( ;:9)= ; 8#− ; 80

Pero se asume que existe una relación lineal entre el flu#o y la resistencia

; 80=

< -

" =

-1− -2

" = ( -a+ ;39 )− -a

" =

;39

"

6i se supone que ; : es constante

;: d9

dt = ; 8#− ;

;39

" ⟹ :

d9

dt =8#−

39

"⟹ :

d9

dt +

39

" =8 #

4bteni!ndose un sistema de primer orden cuya constante de tiempo es

τ = ":

3

)"* Ss&emas T%rmcos

La transferencia de calor es una rama de la ciencia termodinámica, se puede decir

que sólo -ay dos formas de transferir calor& mediante la o"#i!" y la

ra#iai!".

La conducción es la transferencia de calor por moimiento molecular, en fluidos y

sólidos el calor es conducido mediante colisiones elásticas de mol!culas yprocesos de difusión de energa.

La conección implica el moimiento de un fluido, de otra manera la radiación

t!rmica pertenece a un tipo de radiación electromagn!tica.

Los fenómenos de conducción o radiación ocurren en un sistema

simultáneamente, sin embargo, en cada caso siempre existe uno de ellos como

preferencial en el proceso. Estudiaremos los tipos de transferencia de calor y su

modelación básica.

modelamiento de sistamas dinamicos

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