Modelado y Simulación Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD.

ModeloQué es un modelo?

• Es una representación ideal y simplificada de un fenómeno

Para qué sirve?

• Para tener una mejor comprensión de una situación compleja

Algunos ejemplos de Modelos

En arquitectura… En la moda…

Para qué son útiles los modelos?

En investigación y Desarrollo se requiere entender situaciones muy complejasPara resaltar una característica o proceso de interés dentro de un fenómeno más complejo.

Se puede modelar el problema….. pero también la solución…

Procesos de la actividad científica

• Proceso Ascendente:• Conduce a la formación de entidades teóricas (conceptos, leyes,

teorías)• Pueden partir de situaciones idealizadas (Ej: puntos de masa de

Newton)• Ejemplo: Física (Einstein, Newton)

• Proceso Descendente:• Comprobación experimental de las construcciones teóricas

1. Proceso ascendente

• Un objeto ficticio sustituye al real (Objeto científico)• Esto se requiere para hacer las formulaciones matemáticas (Modelado)

• Características del objeto científico reflejan las propiedades relevantes del sistema y prescinden de otras propiedades que consideran irrelevantes

• Ejemplos: • Modelo de una planta a controlar• Modelo de una red de computadores

2. Proceso Descendente:

• Comprobación experimental de las construcciones teóricas

• Tengo un posible modelo matemático, pero…..será cercano a la realidad?

2. Proceso Descendente: Método Científico• Se parte de un problema a resolver• Se emite una hipótesis para una solución posible• Se debe comprobar la hipótesis:

• Si es fácil la observación: Hipótesis empírica• Si no es fácil la observación: Hipótesis Abstractas (Difíciles de

probar y van cambiando con el tiempo)

El método científico (Robert Boyle, siglo XVII)• Reunión de los hechos (plantear el problema y justificar la razón de la investigación)

• Construcción de una hipótesis relacionando los hechos (plantear una posible solución)

• Probar la hipótesis con nuevas experiencias (experimentación: simulación, prototipos; también se pueden usar modelos matemáticos y deducción)

• Si estas desaprueban la hipótesis, construir una nueva con los hechos antiguos y los nuevos

• Repetir hasta encontrar la solución

Formas de estudiar un sistema

Razones para inviabilidad de experimentación con el sistema real• Cuando el sistema aun no exista físicamente: Esta situación

se plantea frecuentemente en la fase de diseño de nuevos sistemas, cuando el ingeniero necesita predecir el comportamiento de los mismos antes de que sean construidos.

• El elevado coste económico del experimento: Consideremos el caso de un empresario que planea ampliar las instalaciones de su empresa, pero que no está seguro de que la ganancia potencial justifique el coste de la ampliación. Ciertamente, no sería razonable que, para salir de dudas, realizara la ampliación y luego se volviera atrás si ésta demostrara no ser rentable. Una alternativa consiste en simular la operación de la configuración actual de la empresa, simular la operación de la configuración alternativa y comparar sus productividades.

Razones para inviabilidad de experimentación con el sistema real• El experimento puede producir perjuicio o incomodidad: Por ejemplo,

experimentar con un nuevo sistema de facturación en un aeropuerto puede producir retrasos y problemas imprevisibles que perjudiquen al viajero.

• El tiempo requerido para la realización del experimento lo hace irrealizable: Casos extremos pueden encontrarse en los estudios geológicos o cosmológicos, de evolución de las especies, sociológicos, etc.

• Algunos experimentos son peligrosos: Por ejemplo, sería inapropiado usar el sistema real para adiestrar a los operarios de una central nuclear acerca de cómo deben reaccionar ante situaciones de emergencia.

• El experimento requiere modificar variables que en el sistema real o bien no están accesibles o no pueden ser modificadas en el rango requerido: Con un modelo matemático adecuado, se pueden ensayar condiciones de operación extremas que son impracticables en el sistema real.

Tipos de Modelos• Modelos Mentales: un operario trabajando en determinado proceso industrial sabe cómo el proceso reacciona ante diferentes acciones: el operario, mediante el entrenamiento y la experiencia, ha desarrollado un modelo mental del proceso.

Tipos de Modelos• Modelos verbales: el comportamiento del sistema es descrito mediante palabras: si se aprieta el freno, entonces la velocidad del coche se reduce. Los sistemas expertos son ejemplos de modelos verbales formalizados.

Tipos de Modelos• Modelos físicos: como las maquetas a escala que construyen los arquitectos, diseñadores de barcos o aeronaves para comprobar las propiedades estéticas, aerodinámicas, etc.

Tipos de Modelos

• Modelos matemáticos: En ellos, las relaciones entre las cantidades que pueden ser observadas del sistema (distancias, velocidades, flujos, etc.) están descritas mediante relaciones matemáticas. En este sentido, la mayoría de las leyes de la naturaleza son modelos matemáticos.

Tipos de Modelos: Simulación por computador• La Simulación es una herramienta de análisis que nos permite sacar conclusiones sin necesidad de trabajar directamente con el sistema real que se está simulando.

• La simulación es especialmente útil cuando no disponemos de dicho sistema real o nos resulta demasiado arriesgado realizar experimentos sobre él.

Algunos ejemplos de Simuladores

• Simulador de Vuelo• Juego lúdico• Juego Serio para entrenamiento

Simuladores de propósito general

Simulador de Procesos Industriales

Simulador para Ing. Mecánica

Simuladores en Redes de Computadores

• Opnet• Comnet• Omnet• NS2• NS3• GNS-3• Etc.

Simulador de radio-propagación

Situaciones en que es deseable una simulación:• En general, nos interesará simular el comportamiento de aquellos Sistemas que por su complejidad o por su coste elevado no podemos estudiar ni mediante técnicas analíticas (modelos matemáticos directamente resolubles) ni a través de pruebas reales.

• Así pues, la simulación resulta especialmente útil en la fase de estudio de viabilidad, previa al desarrollo e implantación de un Sistema.

Tipos de Modelos de Simulación: Estático vs. Modelo dinámico• Un modelo de simulación estático es una representación de un sistema en un instante de tiempo particular, o bien un modelo que sirve para representar un sistema en el cual el tiempo no juega ningún papel. Ejemplo de simulaciones estáticas son las simulaciones de Monte Carlo.

• Por otra parte, un modelo de simulación dinámico representa un sistema que evoluciona con el tiempo.

Tipos de Modelos de Simulación: De tiempo continuo vs De tiempo discreto

• Modelo de tiempo continuo: está caracterizado por el hecho de que el valor de sus variables de estado puede cambiar infinitas veces (es decir, de manera continua) en un intervalo finito de tiempo. Un ejemplo es el nivel de agua en un depósito.

• Modelo de tiempo discreto: los cambios pueden ocurrir únicamente en instantes separados en el tiempo. Sus variables de estado pueden cambiar de valor sólo un número finito de veces por unidad de tiempo.

Modelos de simulación Híbridos

• Pueden definirse modelos con algunas de sus variables de estado de tiempo continuo y las restantes de tiempo discreto. Este tipo de modelos, con parte de tiempo continuo y parte de tiempo discreto, de llama modelos híbridos.

• La decisión de realizar un modelo continuo o discreto depende del objetivo específico del estudio y no del sistema en sí.

• Un ejemplo de ello lo constituyen los modelos del flujo de tráfico de paquetes en una red. Cuando las características y el movimiento de los paquetes individuales son relevantes puede realizarse un modelo discreto (modelos probabilísticos, teoría de colas). En caso contrario, puede resultar más sencillo realizar un modelo continuo (modelos de optimización de los caminos en redes)

Modelos de tiempo contínuo vs tiempo discreto• En simulación, los modelos de tiempo contínuo son una idealización, al igual que las variables de tiempo contínuo.

• Al simular mediante un computador digital un modelo de tiempo continuo, debe discretizarse el eje temporal a fin de evitar el problema de los infinitos cambios en el valor de los estados. Esta discretización constituye una aproximación (con su error asociado) que transforma el modelo de tiempo continuo en un modelo de tiempo discreto.

Precaución

• Un modelo de simulación podría usarse en rangos de trabajo en los cuales el sistema real no puede hacerlo.

• Se debe tener la precaución de ajustar los rangos de trabajo para una situación real.

El método científico en la simulación

Identificación Factores Problema/Solución

Proponer/refinar el modelo del problema

Obtener solución a partir del modelo del problema

Probar y validar la solución

Conclusiones y recomendaciones finales

Descripción clara del problema

Probar y validar modelo y factores

Experimentación

La Manipulación de datosRequiere de técnicas especialesQue ofrece la Estadística

Experimento

• Experimento: Proceso o procedimiento que transforma una entrada en una salida.

• Experimento determinístico:• Para una misma entrada, se produce siempre la misma salida

en cada repetición del experimento.• Experimento Aleatorio:

• Para una misma entrada, se obtienen diferentes salidas en cada repetición del experimento

Términos

• Espacio de muestreo:• El conjunto S de las salidas de un experimento aleatorio es

llamado espacio de muestreo (o también: espacio de muestras o espacio muestral) del experimento aleatorio.

• Resultados: Los elementos del espacio de muestras se conocen como resultados.• La característica clave de un resultado es la indivisibilidad. Un

resultado no puede ser subdividido en otros resultados más elementales.

Ejemplo: Experimento aleatorio

Medida: Combinación elegida

Población: Todos los posibles resultados , P={0000,0001,…,9998,9999}

Espacio muestral: Todos los resultados del experimento. En este caso S={0783, 2615, 9742, 3212, 2086}

Intento Combinación

1 0783

2 2615

3 9742

4 3212

5 2086

Por qué las técnicas de la estadística?• Variabilidad: Las observaciones sucesivas de un experimento aleatorio no ofrecen exactamente el mismo resultado.

• Fuente de variabilidad: Todo experimento aleatorio tiene factores que introducen variaciones a las observaciones realizadas.

• La estadística permite describir la variabilidad y descubrir cuáles fuentes de variabilidad tienen mayor impacto sobre el experimento.

Usos de la estadística

1.Inferencia Estadística2.Modelado de procesos aleatorios3.Investigación Experimental4.Control estadístico de procesos

1. Inferencia estadística

• Se refiere al proceso que se sigue para obtener unas reglas generales (aplicables a toda la población) acerca de un proceso, a partir de las muestras (unos pocos resultados muestreados)

Muestras PoblaciónInferencia Estadística

Muestras

Tipos de Inferencia Estadística

• Estudio Enumerativo: La población existe. Las muestras son tomadas de la población

Población Existente Muestras Conclusión• Estudio Analítico: La población no existe (sólo

existen las muestras), pero existirá en un futuro.

Inferencia

“La mitad de las pastillas son rojas y la mitad son azules”

Inferencia“La mitad de las pastillas serán rojas y la mitad serán azules”

Muestra Conclusión Población Futura

2. Modelado de Procesos Aleatorios

Muestras Método estadístico

Modelo del

proceso

Mecanicista

Empírico

Estudio observacional

Experimento Diseñado

2.1. Tipos de Modelos

• Modelo Mecanicista:• Se construye a partir del conocimiento previo del

mecanismo físico básico que relaciona las variables del modelo

• Ejemplo: Ley de Ohm • Modelo Determinístico:

I=E/R ;I:Corriente, E:Voltaje, R:Resistencia• Modelo Estocástico:

I=(E/R )+ ;I:Corriente, E:Voltaje, R:Resistencia, :Efectos de fuentes de variabilidad

Muestras Método estadístico

Modelo del

proceso

2.1. Tipos de Modelos

• Modelo Empírico:• Se aplican los conocimientos científicos y de ingeniería al fenómeno, pero el modelo

no se desarrolla directamente de nuestra comprensión teórica o con base en principios fundamentales del mecanismo subyacente.

• Ejemplo: Sabemos que la Resistencia (R) de un material depende del área (A), de la temperatura (T) y de la conductividad (C) del material. Lo que no sabemos es la relación exacta entre estos factores. Por tanto, podemos suponer que existe una función general

R=f(A, T, C)Podría hallarse un modelo a partir de ciertas medidas de un experimento diseñado y

llegar a la conclusión que• Modelo Determinístico: R=1A+(2/T)+(3/C)• Modelo Estocástico: R=1A+(2/T)+(3/C)+

• Los parámetros son desconocidos y deben determinarse. Para esto se utiliza un método conocido como regresión.

• A estos modelos también se los conoce como modelos de regresión.

2.2. Métodos Estadísticos de Modelado de procesos aleatorios• Se busca obtener un modelo del proceso. Hay dos tipos:• Estudio observacional:

• Se obtienen datos de un proceso conforme se van presentando.• No hay control sobre ningún factor que afecte el proceso.• También se pueden observar datos históricos para detectar la causa de

ciertos fenómenos en un determinado instante de tiempo.• Experimento diseñado:

• Se realizan cambios deliberados o intencionados en las variables controlables de un sistema o proceso.

• Se observan los resultados obtenidos en las diferentes repeticiones del experimento.

• Se saca una conclusión acerca del efecto de las variables sobre los resultados del proceso.

2.2.1. Estudio observacional

• De las muestras de tráfico de datos de una Internet, se pudo concluir que el tráfico se comportaba de manera Autosimilar. Esto permite utilizar la teoría de Fractales en este tipo de tráfico.

Traza de tráfico Original con datos capturados en Bellcore Labs, tomando un ∆t=500ms.

2.2.2. Experimento diseñado

• Objetivo: Sacar conclusiones acerca del efecto de uno o varios factores en los resultados de un experimento

• Se requiere repetir el experimento varias veces con diferentes valores de los factores que se supone afectan.

• Si en una misma repetición se alteran dos o más factores simultáneamente, al experimento se le conoce como experimento factorial.

• Importante: Es necesaria una planeación eficiente y eficaz de los experimentos!

Ejemplo: Experimento Diseñado

• Variación del retardo medio de los paquetes en un dispositivo de encaminamiento al variar: el número de usuarios (m) y el tamaño de una tabla de almacenamiento utilizada (N)

Experimento Factorial

3. Investigación Experimental• Problema: Procesos en que ninguna teoría matemática tiene una aplicación directa o completa.

• Condición: Se tiene una base de teoría científica subyacente para explicar el fenómeno, pero no se tiene certeza de poder aplicarla.

• Objetivo: Se busca verificar que la teoría científica es operativa en la situación o entorno en que se está aplicando. Se debe realizar una prueba de una hipótesis estadística.

• Por tanto, se requiere diseñar el experimento para después probar la viabilidad de la aplicación de la teoría a partir de los resultados obtenidos (prueba de hipótesis).

Investigación Experimental. Prueba de hipótesis

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-100

0

100

200

300

400

500

TRAZA REAL

TRAZ

A VI

RTUA

L

Q-Q PLOT. GRAFICA DE LOS QUANTILES

DATOS MEDIDOS DATOS OBTENIDOS TEORICAMENTE

PRUEBA DEHIPÓTESIS

Se comportan igual o diferente?Se puede aplicar la teoría para modelar la práctica?

Respuesta:Se comportan de forma similar, luego, se puede utilizar ese modelo teórico

4. Control estadístico de procesos• El objetivo es monitorear, controlar y mejorar un

proceso.• Se aplica para determinar cuándo aplicar un ajuste a

un proceso y de qué magnitud debe ser el ajuste para que los resultados no se salgan de ciertos límites (límite superior y límite inferior).

Diagramas de Control

Y cómo afecta la probabilidad y la estadística a los fenómenos?• El comportamiento aleatorio sucede en muchas de las variables del mundo real•Un ingeniero en la actualidad y en cualquier momento futuro, tendrá que vérselas con sistemas que:

1.1. Tienen entradas aleatorias1.2. Tienen entradas determinísticas pero los sistemas se comportan aleatoriamente1.3. Son muy complejos para ser descritos cercanamente1.4. Son una combinación de los anteriores

1. Sistemas con entradas aleatorias

• Un conmutador telefónico: Llegadas de llamadas aleatorias, duración de llamadas aleatoria.

• Una CPU (unidad central de procesamiento): Programas enviados a la CPU (con múltiples usuarios) en instantes aleatorios. Los tiempos de ejecución tampoco pueden ser conocidos con anterioridad.

• Filtro procesador de señales: Señales de entrada tienen distorsiones aleatorias (causadas por ruido e imperfecciones del canal)

1. Sistemas con entradas aleatorias

Un servidor de archivos: Las solicitudes de envío de archivos llegan en instantes aleatorios. La duración de la descarga de los archivos es aleatoria.

Un computador aceptando paquetes transferidos mediante el protocolo FTP

2. Sistemas con entradas determinísticas pero respuesta aleatoria

• Línea de comunicación con ruido: La respuesta a una misma entrada no es siempre la misma (debido al ruido y a interferencias).

3. Sistemas muy complejos para ser descritos de forma aproximada

• Movimiento de las moléculas de gas o los electrones

• Los movimientos de los usuarios de una celda de telefonía celular

• La generación de paquetes de todos los usuarios de una red de computadores

Aplicación en Áreas de las comunicaciones• Procesamiento de señales en diferentes áreas:▫ Filtrado, estimación, detección, predicción

• Comunicaciones:▫ Señales y perturbaciones (Densidad espectral de potencia,Tasa de error de

bits, ruido blanco)▫ Transmisores y receptores (modulación en AM, FM, PM; codificación de bits;

Filtrado; Sincronización)▫ Canales de comunicación

Canales Guiados Canales no guiados: Desvanecimiento, Multi-trayecto. Entornos: Espacio

libre, Radio-enlaces micro-ondas, enlaces en redes móviles (celulares, redes WLAN, redes WMAN)

▫ Redes de Datos: Teoría de Colas y Teletráfico (Dimensionamiento de redes de comunicaciones) Diseño y análisis de protocolos de comunicación Métodos de Acceso al medio Métodos de Multiplexación Diseño de Conmutadores

• Simulación:▫ Generación de números aleatorios, Generación de eventos aleatorios

• Computadores:▫ Diseño y análisis de sistemas de servidores, planificadores, CPUs▫ Diseño y análisis de algoritmos (p.ej. Algoritmos de Búsquedas).

Este curso le ayudará a:• Simular la operación de los sistemas con

aleatoriedades; se recordarán los conceptos apropiados (variables aleatorias, procesos aleatorios, promedios, correlaciones, convergencia estocástica, etc)

• Analizar y diseñar tales modelos:• Se requieren técnicas de estadística para diseñar

las fuentes que generan los eventos y el comportamiento de los resultados (posibles modelos a utilizar)

Por qué la Teoría de Probabilidades?• Porque cuando no se tiene certeza de lo que

puede pasar….se debe trabajar con la probabilidad de que algo ocurra para tomar decisiones de diseño para que el sistema responda ante tales eventualidades

• Es la herramienta natural para describir y analizar la aleatoriedad inherente de una gran variedad de sistemas de ingeniería

• Puede ser usada para diseñar y controlar tales sistemas

Aplicación de la Probabilidad y Estadística es transversal a todas las disciplinas:

• Modelamiento de Sistemas y Señales• Teoría de la estimación• Teoría de Decisiones• Teoría de Colas• Simulación por computadora

Componentes de la teoría▫ Eventos: elementos estructurales más simples.

Experimentos simples. Se utiliza la teoría de conjuntos.▫ Variable aleatoria y función de densidad de

probabilidad: Permiten introducir herramientas de cálculo y análisis.▫ Vector de variables aleatorias: Extensión del

concepto de variable aleatoria. ▫ Proceso aleatorio: Permite introducir el

concepto de tiempo en las variables aleatorias. Esto es muy importante en las aplicaciones de Ingeniería de Telecomunicaciones.

Herramientas de Modelado y ModelosHerramientas de Modelado

Modelos Clásicos

Herramienta Característica

Funciones distribucion y densidad de probabilidad

Ambientes estáticos en tiempo

Secuencias infinitas de variables aleatorias

Dinámica en tiempo, No tiene memoria

Cadenas de Markov

Dinámica en tiempo, posee memoria

Modelo Utilidad

V.A. Gaussiana Ruido en Comunicaciones

V.A. Exponencial Modelo de tiempo de servicio en teoría de colas

V.A. Poisson Modelo de llegadas en teoría de colas

V.A. Chi cuadrado Pruebas estadísticas

V.A. t de student Pruebas estadísticas

Proceso aleatorio Gaussiano

Modelo de proceso de ruido

Proc. Aleatorio de Poisson

Modelo de proceso de llegadas