modelado matematico motor dc

Apendice A

Modelado matematico de un motor PMDC

A.1. Modelo del motor de corriente directa de iman perma-nente

El motor de corriente directa de iman permanente, llamado motor PMDC (Permanent Mag-net Direct Current), es un transductor que convierte energıa electrica en energıa mecanica. En laFigura A.1 se muestra el sımbolo del transductor electromecanico, y en la Figura A.2 el modeloequivalente.

La relacion entre el par desarrolladoTm por el motor y la corriente de armaduraia esta dadapor (A.1), y la relacion entre lafem vm inducida por el motor y la velocidad de girowm delmotor esta dada por (A.2).

Tm = km · ia (A.1)

vm = km · wm (A.2)

El valor de la constante del motorkm es la misma para ambas ecuaciones cuando se expresa,utilizando las unidades del SI, enNm/A para (A.1) y enV s/rad para (A.2).

Las relaciones descritas por (A.1) y (A.2), y el modelo equivalente de la Figura A.2, puedenser utilizadas para obtener las ecuaciones dinamicas de un motor PMDC.

A.2. Obtencion de parametros

Para caracterizar a un motor PMDC es necesario obtener todos los parametros involucrados.Una forma de lograr esto es mediante la realizacion de experiencias en condiciones de estadoestable. Cuando se aplica una tension constante entre las terminales de un motor PMDC, de-spues de transcurrir el tiempo necesario para que la respuesta transitoria sea nula, se alcanza

Figura A.1: Ejemplo de un transductor electromecanico.

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150 Modelado matematico de un motor PMDC

Figura A.2: Modelo del motor DC a utilizar.

Cuadro A.1: Mediciones de los valores resistivos del motor.

Medicion Valor obtenido

ra(1) 8,9ra(2) 10,7ra(3) 9,3ra(4) 11,1ra(5) 9,3ra(6) 8,6ra(7) 10,6ra(8) 9,4ra(9) 9,6ra(10) 8,3ra(11) 7,5ra(12) 8,5ra(13) 7,9ra(14) 8,6ra(15) 8,3

la respuesta en estado estable. En los siguientes pasos se describen las experiencias realiza-das para obtener la caracterizacion de un motor PMDC en estado estable. Esta guıa tambienesta disponible en el Laboratorio de Electronica Digital [7].

A.2.1. Resistencia de la armadura

La resistencia electrica del motor PMDC se puede obtener mediante la medicion de lasterminales del motor con un multımetro digital. Las medidas se deben realizar para varias posi-ciones del rotor de manera a controlar que no exista un cambio significativo que dependa dela posicion del eje. Especıficamente, se debe realizar una tabla de mediciones girando el eje enpor lo menos 8 posiciones y tomando los valores correspondientes; el valor final deRm o Ra

puede obtenerse utilizando el metodo de los mınimos cuadrados a partir de los valores resistivosindividuales de la tabla obtenida, ver Cuadro A.1.

Ra = 9,1067Ω

Obtencion de parametros 151

A.2.2. Constante del motor

Cuando el motor PMDC alcanza el estado estable, la corriente que circula a traves del motorse estabiliza y por consiguiente la diferencia de potencial entre los terminales del inductor escero. Lafem vm inducida por el motor se puede expresar mediante (A.3), haciendo uso de laley de Ohm y de la ley de voltajes de Kirchhoff.

vm = vin − Rm · ia (A.3)

Resolviendokm de (A.2) y reemplazandovm por (A.3) se obtiene la constante de propor-cionalidadkm de la relacion entre lafem vm inducida por el motor y la velocidad de girowm

del motor, que se expresa en (A.4).

km =vin − Rm · ia

wm

(A.4)

De (A.4), se observa que elunico parametro conocido esRm. Para obtenerkm tambiense deben conocer los parametrosvin, ia y wm. Los parametrosvin e ia pueden ser obtenidosmediante la medicion de la tension vin aplicada al motor y de la corrienteia que circula por elmotor, utilizando un par de multımetros digitales.

Una forma de obtener la velocidad de girowm del motor es mediante la utilizacion de uncodificador para convertir el desplazamiento rotatorio en senales de pulsos. Dicho codificadoresta compuesto por tres elementos principales: una fuente de luz, un disco ranurado y un de-tector de luz. La senal generada por el codificador es adquirida por una computadora, la cualcalculawm empleando (A.5) y (A.6).

n =60 · f

s(A.5)

En (A.5), n representa el numero de revoluciones por minuto del motor, dondef es lafrecuencia de la senal generada por el codificador, ys es la cantidad de ranuras del disco.

wm =2π

60· n (A.6)

Se debe realizar una tabla de mediciones de por lo menos 10 valores de tension de entradavin midiendo los valores correspondientes deia, y wm, y calculandokm. El valor final deKm

puede obtenerse utilizando el metodo de los mınimos cuadrados a partir de los valores dekm

individuales de la tabla obtenida, ver Cuadro A.2 y Figura A.3.

Km = 0,0136

kmaprox = polyfit(vm,km,0)coef = polyval(kmaprox,vm);plot(vm,km,’ro’,vm,coef,’k-’);


Cuadro A.2: Mediciones necesarias para obtener la constante del motor.

Medicion vin ia periodo wm vm km

1 0 0 0 ∞ 0 02 1 0,0740 0,0400 19,6350 0,3261 0,01663 2 0,0786 0,0090 87,2665 1,2842 0,01474 3 0,0847 0,0051 153,9996 2,2287 0,01455 4 0,0904 0,0037 212,2698 3,1768 0,01506 5 0,0966 0,0029 275,5783 4,1203 0,01507 6 0,1027 0,0023 341,4775 5,0647 0,01488 7 0,1082 0,0019 402,7683 6,0147 0,01499 8 0,1127 0,0017 461,9989 6,9737 0,015110 9 0,1169 0,0015 523,5988 7,9354 0,0152

Figura A.3: Aproximacion de los mınimos cuadrados para la constanteKm.


Cuadro A.3: Mediciones necesarias para obtener el coeficiente de friccion viscosa.

Medicion tm bm

1 0 02 0,0010 0,5115e−4

3 0,0011 0,1222e−4

4 0,0011 0,0747e−4

5 0,0012 0,0578e−4

6 0,0013 0,0476e−4

7 0,0014 0,0408e−4

8 0,0015 0,0365e−4

9 0,0015 0,0331e−4

10 0,0016 0,0303e−4

A.2.3. Coeficiente de friccion viscosa

Aplicando la ley de Newton para el movimiento de rotacion al modelo equivalente del motorPMDC, se obtiene (A.7).

Tm = Jm · dwm(t)

dt+ Bm · wm(t) + TL (A.7)

Cuando el motor PMDC alcanza el estado estable, la velocidad de girowm(t) del motor esconstante, y como ademas el motor opera sin carga, (A.7) se reduce a (A.8).

Tm = Bm · wm(t) (A.8)

Utilizando la tabla obtenida anteriormente, con los valores dekm e ia se pueden calcular losvalores correspondientes paraTm mediante (A.1); y resolviendoBm de (A.8), con el valor deTm

obtenido y el valor dewm se pueden calcular los valores correspondientes deBm. Nuevamente,se debe construir una tabla en la cual se deben apuntar los valores obtenidos. El valor final deBm puede obtenerse utilizando el metodo de los mınimos cuadrados a partir de los valores decoeficiente de friccion viscosa individuales de la tabla obtenida, ver Cuadro A.3 y Figura A.4.

Bm = 9,5451 × 10−6

bmaprox = polyfit(tm,bm,0)coef = polyval(bmaprox,tm);plot(tm,bm,’ro’,tm,coef,’k-’);

A.2.4. Inductancia de la armadura

Una forma de hallar la inductanciaLm de un motor PMDC consiste en medir la constantede tiempoτ del motor. Si se sujeta el rotor del motor PMDC, se restringe el movimiento derotacion. De esta manera, dado que el rotor no gira, lafem vm inducida por el motor es igual acero.

En la Figura A.5 se esquematiza el metodo.El modelo del motor PMDC se reduce a un circuito RL. Si al circuito RL se le aplica una

funcion escalon de amplitudvin, con la ayuda de un osciloscopio se puede observar la forma de


Figura A.4: Aproximacion de los mınimos cuadrados para la constanteBm.

Figura A.5: Disposicion del circuito para la obtencion de la inductancia


Cuadro A.4: Parametros del motor de corriente continua.

Descripcion Variable Valor Dimencion

Resistencia de armadura Ra 9,1067 ΩInductancia de armadura La 3e−3 Henrios

Const. del motor Km 5e−3 V/rad/sCoef. de friccion viscosa Bm 13e−6 kg − m2

Inercia del rotor Jm 4e−7 N/m/s

onda de la tension sobre la resistenciaRs, cuyo valor es conocido, y tambien se puede medir eltiempoτ en el cual la tension sobreRs llega al 63 % del valor devin. Luego se puede calcularLm mediante (A.9).

Lm = τ · (Rm + Rs) (A.9)

El control del motor se puede realizar mediante el uso de un circuito conocido con el nombredeHalf Bridge, en la cual la senal de control es una senal digital. Variando el cicloutil de dichasenal, se logra controlar la tension de entradavin.

Se debe realizar una tabla de mediciones de por lo menos 10 valores de tension de entradavin midiendo los valores deτ y calculando los valores correspondientes aLm. El valor final deLm puede obtenerse utilizando el metodo de los mınimos cuadrados a partir de los valores deinductancia individuales de la tabla obtenida.

Lm = 3 × 10−3

A.2.5. Inercia del rotor

A partir de los resultados obtenidos de las experiencias anteriores, launica incognita quequeda por determinar en el modelo del motor, es la inerciaJm. Para determinarJm se debe medirla corriente instantanea y compararla a la corriente obtenida a partir del modelo del motor. Eneste experimento, se deben realizar 2 o 3 medidas para diferentes voltajes en forma de escalon.Las formas de ondas obtenidas deben ser comparadas con los obtenidos a partir de simulaciones,utilizando el modelo para el motor, ver Figura A.6.

Jm = 1,9000 × 10−7

numPs = km;denPs = [(jm*la) ((jm*ra)+(la*bm)) ((bm*ra)+kmˆ2)];sysPs = tf(numPs, denPs);

step(sysPs);

La FT generica del motor DC esta representado por (A.10) y con los valores reemplazadosen (A.11). La Figura A.7 representa la velocidad vs. el voltaje aplicado.

El Cuadro A.4 indica los valores obtenidos en la experiencia.

ω(s)

Va(s)=

Km

LaJms2 + (RaJm + BmLa)s + (K2m + RaBm)

(A.10)

ω(s)

Va(s)=

4166666,6667

(s + 3029)(s + 49,48)(A.11)


Figura A.6: Escalon del sistema en lazo abierto

Figura A.7: Funcion de transferencia de la velocidad del motor DC vs. el voltaje aplicado. Noteque la velocidad no esta definida entre0 y 1 debido a la zona muerta del motor.

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