Modelado matemtico de sistemas

Introduccin Modelo matemtico de un sistema dinmico: Es un

conjunto de ecuaciones que representan la dinmica del sistemacon precisin.

Para un sistema determinado, el modelo matemtico que lo representano es nico.

La dinmica de muchos sistemas (mecnicos, elctricos, trmicos,econmicos, etc.) se describe en trminos de ecuacionesdiferenciales, obtenidas a partir de las leyes fsicas que gobiernan unsistema determinado. Ejemplos:

Sistema mecnico Ley fsicaLey fsica Leyes de Newton

Sistema elctrico Ley fsicaLey fsica Leyes de Kirchhoff

Funcin de transferencia Funcin de transferencia (F.T.): Se define como el cociente entre la

transformada de Laplace de la salida (funcin de respuesta) y latransformada de Laplace de la entrada (funcin de excitacin), bajo lasuposicin de que todas las condiciones iniciales son cero.

Considrese el sistema descrito mediante la siguiente ecuacindiferencial:

xbxbxbxbyayayaya mmmm

nnnn

1

)1(1

)(01

)1(1

)(0 mn Donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La F.T. de este sistema

es el cociente definido anteriormente cuando todas las condicionesiniciales son cero, es decir:

Funcin de transferencia

nnnn

mmmm

ic asasasabsbsbsb

sXsY

entradaLsalidaLsGTF

11

10

11

10

0.. )()(

][][)(..

A partir de la FT es posible representar la dinmica de un sistemamediante ecuaciones algebraicas en s.

Si la potencia ms alta de s en el denominador de la funcin detransferencia es igual a n, el sistema se denomina de la siguiente manera:sistema de orden n-simo.

Funcin de transferencia

Algunas consideraciones:

La FT es una propiedad del sistema, independiente de la magnitud ynaturaleza de la entrada o funcin de excitacin.

La FT no proporciona informacin acerca de la estructura fsica delsistema (Las FT de muchos sistemas fsicamente diferentes puedenser idnticas).

Sistemas de control automtico. Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las

funciones de cada componente en la ingeniera de control, por logeneral se usa una representacin denominada diagrama de bloques.

Un diagrama de bloques de un sistema es una representacin grficade las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de seales.Tales diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversoscomponentes.

En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unascon otras mediante bloques funcionales, los cuales son smbolos que sirvenpara representar la operacin matemtica que sobre la seal de entradahace el bloque para producir la salida.

Sistemas de control automtico. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se

introducen en los bloques correspondientes, que se conectan medianteflechas para indicar la direccin de flujo de las seales. A continuacin sepresente un elemento del diagrama de bloques:

Funcin de Transferencia G(s)

Seal de entrada

Seal de salida

Caractersticas: nicamente contiene informacin relacionada con el comportamiento

dinmico.

No incluye informacin de la construccin fsica del sistema. Muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse

mediante el mismo diagrama de bloques.

Sistemas de control automtico. Punto de suma: es un crculo con una cruz, la cual implica operacin

de suma. Las cantidades que se suman o restan deben tener las mismasdimensiones.

Punto de ramificacin: es aquel a partir del cual la seal de unbloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.

Sistemas de control automtico. Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado: la salidaC(s) se realimenta al punto de suma, donde se compara con la entrada dereferencia R(s).

La funcin de salida C(s) es: C(s) = E(s)G(s) H(s) es la FT del elemento de realimentacin, el cual convierte la forma

de la seal de salida en la de la seal de entrada.

La seal de realimentacin que retorna al punto de suma paracompararse con la entrada es B(s)=H(s)C(s).

Sistemas de control automtico.

Funcin de transferencia en lazo cerrado: la relacin entre lasalida C(s) y la entrada R(s) segn el diagrama de bloques de un sistemaen lazo cerrado se define como:

)()()( sGsEsC )()()( sBsRsE )()()( sHsCsB

)()()()( sHsCsRsE

)()()()()( sGsHsCsRsC

Sistemas de control automtico. Despejando C(s):

)()()(1

)()( sRsHsG

sGsC

Funcin de transferencia en lazo

cerrado.

Sistemas de control automtico. Procedimiento para dibujar un diagrama de bloques:

1. Se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinmicode cada componente.

2. Se toman las trasformadas de Laplace de estas ecuaciones, suponiendoque las condiciones iniciales son cero.

3. Se representan individualmente en forma de bloques cada ecuacin yatransformada a Laplace.

4. Se integran los elementos en un diagrama de bloques completo.

Sistemas de control automtico. Ejemplo: Hallar el diagrama de bloques del siguiente circuito RC:

Sistemas de control automtico. Reduccin de un diagrama de bloques 1.