Modelado

Consideraciones

Causalidad = entrada actual depende (posiblemente) de las entradas pasadas, pero no puede depender de las entradas futuras.

Simplicidad versus precisión.

Lineales si es posible.

Función de transferencia

Un modelo matemático para un sistema descrito por una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo.

Para caracterizar la relación entre la entrada y la salida del sistema.

Es la transformada Laplace de la salida divido entre la transformada Laplace de la entrada.

Se supone que todas las condiciones iniciales son cero.

G(s) =Y (s)

X(s)=

L[fout

(t)]

L[fin

(t)]

Y (s) = G(s)X(s)

y(t) =

Z t

0

x(t)g(t� ⌧)d⌧

Respuesta impulso

La entrada es la función impulso.

Su transformada Laplace es la unidad.

Y(s) = G(s); L-1[G(s)] = g(t).

g(t) se llama respuesta impulso y también función de ponderación.

Su transformada Laplace es la función de transferencia.

Reporte 1

Individualmente, modelen lo que se controlará en su proyecto grupal y calculen la función de transferencia para la planta.

Entrega: la semana que viene.En el blog, publicado antes del inicio de la clase.

Diagramas de bloques

Una representación gráfica de las relaciones entre las funciones involucradas.

Cajitas = funciones; flechitas = flujo de señales.

Punto de suma

El signo indica si se suma o resta los señales que llegan.

a a - b

b

+-

Punto de ramificación Bloque funcional

G(s)

Estructuras típicas

En serie: un bloque atrás de otro bloque.

En paralelo: dos bloques uno al lado de otro, recibiendo la misma entrada ramificada y sumando sus salidas.

Retroalimentado: la salida de uno entra (ramificado) al otro, restándola de la entrada original.

Reporte 2

Individualmente, representen el sistema que buscan controlar en el proyecto grupal a través de un diagrama de bloque.

Entrega: en dos semanas.En el blog, publicado antes del inicio de la clase.

http://octave.sourceforge.net/control/

octave:1> pkg install -forge controloctave:2> pkg load controloctave:3> pkg listPackage Name | Version | Installation directory--------------+---------+----------------------- control *| 2.3.52 | /Users/elisa/octave/control-2.3.52octave:4> addpath(genpath("/Users/elisa/octave/control-2.3.52"))octave:5> s = tf("s");octave:6> G = 1/(s + 1);octave:7> z = tf("z", 0.2);octave:8> H = 0.095/(z - 0.9);octave:9> num = {[1, 5, 7], [1]; [1, 7], [1, 5, 5]};octave:10> den = {[1, 5, 6], [1, 2]; [1, 8, 6], [1, 3, 2]};octave:11> sys = tf(num, den);

..................................... u : +--------+ y1 u2 +--------+ : y ------>| sys1 |---------->| sys2 |-------> : +--------+ +--------+ : :................sys.................

sys = sys1 * sys2

.......................... : +--------+ : : +-->| sys1 |---+ : u : | +--------+ | + : y -------+ O---------> : | +--------+ | + : : +-->| sys2 |---+ : : +--------+ : :.........sys............:

sys = sys1 + sys2

u + +--------+ y ------>(+)----->| sys1 |-------+-------> ^ - +--------+ | | | | +--------+ | +-------| sys2 |<------+ +--------+

sys = feedback(sys1, sys2)

octave:12> num1 = [0, 0, 10];octave:13> den1 = [1, 2, 10];octave:14> num2 = [0, 5];octave:15> den2 = [1, 5];octave:16> sys1 = tf(num1, den1);octave:17> sys2 = tf(num2, den2);octave:18> sysP = sys1 + sys2;octave:19> sysS= sys1 * sys2;octave:20> sysF = feedback(sys1, sys2);

��������������������������������������������� ����������������������������������������

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Tipos de sistemas de control

Controladores automáticosExiste una entrada de referencia con la cual se compara la salida de la planta.

El error está amplificado para su mejor observación.

Produce un señar de control para reducir la diferencia entre la referencia y la salida.

Este señal de control lo de recibe un actuador que modifica la operación de la planta.

Amplificador Actuador Planta

Sensor

+-

Detector de error

Controlador automático

Clasificación de controladores

On-off.

Proporcionales.

Integrales.

Proporcionales-integrales (PI).

Proporcionales-derivativos (PD).

Proporcionales-integrales-derivativos (PID).

On-off

u(t) = señal de salidae(t) = señal de errorUi = constantePosiblemente con una brecha diferencial.

Conservar el valor hasta que el error supere un umbral.

u(t) =

⇢U1, para e(t) � 0,U2, para e(t) < 0.

Proporcional

Kp = ganancia proporcional.

Mayúsculas: transformadas Laplace.

u(t) = Kpe(t)

U(s)

E(s)= Kp

Función de transferencia

Integral

Ki = constante ajustable.

du(t)

dt= Kie(t)

u(t) = Ki

Z t

0e(t) dt

U(s)

E(s)=

Ki

s

Proporcional-integral

Ti = tiempo integral.

u(t) = Kpe(t) +Kp

Ti

Z t

0e(t) dt

U(s)

E(s)= Kp

✓1 +

1

Tis

◆

Proporcional-derivativa

Td = tiempo derivativo.

u(t) = Kpe(t) +KpTdde(t)

dt

U(s)

E(s)= Kp (1 + Tds)

PID

u(t) = Kpe(t) +Kp

Ti

Z t

0e(t) dt+KpTd

de(t)

dt

U(s)

E(s)= Kp

✓1 +

1

Tis+ Tds

◆

Tipos de modelos de control

Enfoque entrada-salida.

Clásica, analítica, exacto.

Espacio de estado.

Moderno, numérico, aproximado.

Entradas x, salidas y, variables de estado u.

x(t) = f(x, u, t); y(t) = g(x, u, t).. . .

Linealización

En espacio de estados

Linealizado:x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)y(t) +D(t)u(t)

Invariante:x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C y(t) +D u(t).

.

.

.

Series de Taylor

Útiles para linealizar una función alrededor de un punto dado.

Si lo queremos para una región, usamos el punto intermedio de los intervalos.

Si el error es grande, habrá que linealizar por partes.

Diagramas de flujo de señales

Diagramas de flujo de señales

Representación gráfica para ecuaciones diferenciales simultáneas.

Contiene la misma información que un diagrama de bloques.

Es necesario transformar todas la ecuaciones para que estén en términos de s.Los nodos son las variables (complejas; suman las entradas de las aristas entrantes).Las aristas (ramos) son multiplicadoras (dirigidas, ponderadas por constantes).

Terminología

Transmitancia = ganancia entre dos nodos (en términos de la función de transferencia entre nodos).

Camino y lazo (como en grafos dirigidos).

Ganancia del lazo = producto de las transmitancias de sus aristas.

Camino directo (camino simple en grafos).

Simplificación: serial

http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf

3/13/2009 Series Rule 2/2

Jim Stiles The Univ. of Kansas Dept. of EECS

A: Absolutely! The two signal flow graphs are indeed equivalent. This leads us to our first signal flow graph reduction rule:

Rule 1 - Series Rule

If a node has one (and only one!) incoming branch, and one (and only one!) outgoing branch, the node can be eliminated and the two branches can be combined, with the new branch having a value equal to the product of the original two.

For example, the graph: can be reduced to:

0 3. j�

a1 b1 a2

0 3j .�

0 3. a1

a2 b1

1 1

2 1

0 30 3

b . aa j . a

�

1 1

2 1

0 3b . aa j b

�

Simplificación: paralela

http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf

3/13/2009 Parallel Rule 2/5

Jim Stiles The Univ. of Kansas Dept. of EECS

A: Absolutely! The two signal flow graphs are indeed equivalent. This leads us to our second signal flow graph reduction rule:

Rule 2 - Parallel Rule

If two nodes are connected by parallel branches—and the branches have the same direction—the branches can be combined into a single branch, with a value equal to the sum of each two original branches.

For example, the graph: Can be reduced to:

0 3.

0 2. a1 b1

1 1 10 3 0 2b . a . a �

� �1 1

1

0 3 0 20 5

b . . a. a

�

0 5. b1 a1

Simplificación: bucle

http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf

3/13/2009 Self Loop Rule 3/4

Jim Stiles The Univ. of Kansas Dept. of EECS

can be simplified by eliminating the self-loop. We multiply both of the two branches feeding the self-loop node by:

1 1 1 251 1 0 2sl

.S .

� �

Therefore: And thus: Or another example:

1 1 2

1 1

0.060.3

a a j bb a

�

� �0 6 1 25. .

� �0 4 1 25j . .

a1 a2 b1

0 75.

0 5j .

a1 a2 b1

1 1 20 75 0 5b . a j . a �

0 3.

0 06.

a1 b1

b2 j�

3/13/2009 Self Loop Rule 4/4

Jim Stiles The Univ. of Kansas Dept. of EECS

becomes after reduction using rule 3:

1 2

1 1

0.94

0.3

ja b

b a

�

Q: Wait a minute! I think you forgot something. Shouldn’t you also divide the 0.3 branch value by 1 0.06 0.94� ??

A: Nope! The 0.3 branch is exiting the self-loop node a1. Only incoming branches (e.g., the –j branch) to the self-loop node are modified by the self-loop rule!

0 3.

a1 b1

b2 0 94

j.�

Simplificación: ramificación

http://www.ittc.ku.edu/~jstiles/723/handouts/section_4_5_Signal_Flow_Graphs_package.pdf

3/13/2009 Splitting Rule 2/5

Jim Stiles The Univ. of Kansas Dept. of EECS

Rule 4 – Splitting Rule

If a node has one (and only one!) incoming branch, and one (or more) exiting branches, the incoming branch can be “split”, and directly combined with each of the exiting branches.

For example:

can be rewritten as:

0 3.

j�

0 2.�

a1

a2

b1

a3

0 3j .�

0 2.� j� a1

b1

a2

a3

1 1

2 1

3 1

0 3

0 2

b j a

a . b

a . b

�

�

1 1

2 1

3 1

0 3

0 2

b j a

a j . a

a . b

�

�

�

Tom Penick tomzap@eden.com www.teicontrols.com/notes 5/8/00

MASON'S GAIN RULE

An example of finding the transfer function of a system represented by a block diagram using Mason's rule. This problem has also been worked using a matrix solution; see the file MatrixSolution.pdf.

The Problem: Given the system:

G

R s( )Cs( )

1

s( )H3

s( )

s( )H

1G G2 s( )

s( )2H

s( )G3 Σ

s( )4

Mason's Gain Rule:

j jjM

M∆

=∆

∑

M = transfer function or gain of the system Mj = gain of one forward path j = an integer representing the forward paths in the system ∆j = 1 – the loops remaining after removing path j. If none

remain, then ∆j = 1. ∆ = 1 - Σ loop gains + Σ nontouching loop gains taken two at a

time - Σ nontouching loop gains taken three at a time + Σ nontouching loop gains taken four at a time - · · ·

1) Find the forward paths and their gains: A forward path is a path from R(s) to C(s) that does not cross the same point more than once. There are two forward paths in this example, so we have a j = 1 and a j = 2. The two paths are:

1 1 2 3M G G G= and 2 4M G=

Regla de ganancia de Mason

http://www.tomzap.com/notes/AutomaticControlsEE362K/MasonsRule.pdf

M = 1�

Pj Mj�j

Análisis en el dominio del tiempo

Respuesta transitoria

Respuesta estacionaria Análisis de lugar de raíces

Análisis en el dominio de la frecuencia

Respuesta en frecuencia

Análisis en el espacio de estados Estabilidad

Propiedades estructurales Aplicaciones de controladores