Teora de dnamo y el modelaje del ciclo solar

Trabajo nal de Dinamica No Lineal

German Cristiani

27 de julio de 2005

1 El ciclo solar

El campo magnetico en la fotosfera solar se encuentra concentrado en tubos

de ujo muy intensos y en las llamadas manchas solares, las cuales se ven

como peque~nas areas oscuras en la supercie del Sol. El aspecto oscuro de

estas manchas se debe a que se hallan mas fras que la fotosfera circundante,

debido a que la acumulacion de lneas de campo en la base de la fotosfera, en

la region de la mancha, inhibe la conveccion e impide el ujo de calor en forma

perpendicular a las lneas. La evolucion de las manchas es altamente compleja,

pero el comportamiento general es marcadamente ordenado dando origen al

denominado ciclo solar, el cual muestra entre otras las siguientes caractersticas

Un comportamiento periodico del numero de manchas solares con perodo

aproximado de 11 a~nos.

Restriccion de las manchas a dos cinturones de latitud (simetricos respecto

del ecuador).

Deriva de los cinturones de latitud de las manchas solares hacia el ecuador.

La migracion de las manchas origina los conocidos diagramas de mariposa

de Maunder.

La inclinacion de los grupos de manchas (alrededor de 10

) respecto del

ecuador.

Inversion de la polaridad en las manchas y en el campo dipolar del Sol

cerca del mnimo de manchas solares.

Si consideramos la inversion de la polaridad del campo magnetico, podemos

hablar de un ciclo de 22 a~nos para el campo magnetico solar.

Aqu hemos hecho referencia al numero de manchas solares, entonces debe-

mos tener en cuenta como se determina este numero. A partir del a~no 1848 el

astronomo suizo Johann Rudolph Wolf introdujo una nueva forma de estimar el

numero R de manchas visibles en un hemisferio solar a partir de una expresion

muy simple

R = k(10s+ f) (1)

1

donde f es el numero de manchas individuales (faculae) y s el numero de grupos

de manchas observables (set). El factor k es de correlacion, y se utiliza para

ajustar diferencias entre observadores. A medida que la ciencia astronomica

ha ido evolucionando el valor de k, el cual fue tomado como 1 originalmente

por Wolf, se ha modicado. Un nuevo observador determina su correspon-

diente valor de k comparando los datos obtenidos por el mismo con los de otros

observadores en el mismo intervalo de tiempo.

La existencia de un ciclo solar fue expuesta por Schwabe en 1843, quien ob-

servo un comportamiento aparentemente periodico en la evolucion del numero

de manchas solares. Todos los rasgos del ciclo solar, comentados anteriormente,

se piensa que son causados por algun mecanismo fsico operando en las profun-

didades de la zona convectiva, las cuales no son observables por los instrumen-

tos astronomicos. Sin embargo los detalles de la interaccion entre el plasma y

el campo magnetico en el Sol no son completamente comprendidos en la ac-

tualidad. El primer problema que se plantea es el de concebir un mecanismo,

dnamo, que pueda crear campo magnetico, el cual pueda ser mantenido activo

mas alla de los tiempos de difusion del campo magnetico, que son del orden de

las decenas de a~nos, si se tiene en cuenta el coeciente de difusion magnetica de

turbulencia () en la zona de conveccion. Por lo tanto el campo magnetico solar

no puede ser primordial, sino que, como ya hemos expresado, debe existir un

mecanismo en las capas mas profundas de la zona convectiva que genere y man-

tenga el campo magnetico, es decir un dnamo autoexcitado. En la generacion

y dinamica del campo magnetico solar esta involucrada una caracterstica muy

relevante del Sol que es su rotacion diferencial. Para poder plantear el problema

de la generacion del campo magnetico solar haremos una breve introduccion en

la teora MHD (magnetohidrodinamica).

2 Ecuaciones MHD

Las altas temperaturas reinantes en la corona solar ( 10

6

C) hacen que

los atomos de H y He se encuentren totalmente ionizados formando lo que

comunmente se conoce como un plasma. La teora MHD es una aproximacion

utilizada para describir los campos magnetico y de velocidades en un plasma.

Para ello se parte de las ecuaciones de Maxwell y de la ley de Ohm (en su forma

simplicada, donde se desprecian los terminos de presiones y Hall), ademas de

las ecuaciones de Navier-Stokes, la que establece un balance de fuerzas. Traba-

jando en el sistema de unidades CGS, las ecuaciones de Maxwell se expresan

8

>

>

>

:

rB =

4

c

j +

1

c

@E

@t

r:B = 0

rE =

1

c

@B

@t

r:E = 4

c

9

>

>

=

>

>

;

(2)

La ley de Ohm relaciona la densidad de corriente j con el campo electrico

mediante

j =

E +

1

c

v B

(3)

2

Aqu es la la conductividad electrica, la cual en general esta representada por

un tensor de segundo rango, pero si suponemos isotropa y homogeneidad queda

reducida a un escalar. En el caso en que estamos interesados, la atmosfera solar,

el termino de la corriente de desplazamiento puede ser despreciado, y a partir de

esto 0 =r:(rB) = 4=cr:j, por lo que las lneas de corriente son cerradas

y tenemos cuasineutralidad en el plasma, es decir que las acumulaciones locales

de carga neta son despreciables. Podemos plantear una ecuacion de evolucion

del campo magnetico en la que no aparecen ni E ni j

rB =

4

c

j =

4

c

E +

1

c

v B

)

r (rB) =r(

0

z }| {

r:B)r

2

B =

4

c

1

c

@B

@t

+

1

c

r (v B)

)

@B

@t

=r (v B) + r

2

B (4)

Esta ultima es la llamada ecuacion de induccion, donde hemos denido implcita-

mente la difusividad magnetica = c

2

=(4). Con la ecuacion de induccion

mas la condicion de nulidad de la divergencia del campo magnetico podramos

determinar totalmente el comportamiento del campo magnetico si el campo de

velocidades fuera conocido. El primer termino en el miembro derecho de la

ecuacion de induccion es el termino de transporte, el segundo termino es el

difusivo. El numero de Reynolds magnetico, R

m

, mide la importancia relativa

de estos dos terminos

R

m

jr (v B)j

jr

2

Bj

=

LV

(5)

donde L es una longitud caracterstica y V una velocidad caracterstica del

plasma. Debido a la alta conductividad del plasma solar, en general tenemos

R

m

1, con lo que el termino difusivo puede despreciarse frente al convectivo.

En consecuencia, las lneas de campo magnetico se mueven con el plasma en la

atmosfera solar, dando origen a un fenomeno conocido como congelamiento del

ujo magnetico. El uido puede moverse libremente solo a lo largo de las lneas

de campo magnetico, el movimiento del plasma en el plano perpendicular a las

lneas o bien es frenado por las mismas o se produce el arrastre de las lneas de

campo por el plasma.

Para considerar la evolucion del campo de velocidades es necesario incluir dos

ecuaciones mas en nuestro estudio que son la de Navier-Stokes, que no expresa

otra cosa mas que un balance de fuerzas, y la de continuidad, que es una ley

local de conservacion de masa

@v

@t

+ (v:r)v

= rp+

1

c

j B + r

2

v g(r)r (6)

@

@t

+r:(v) = 0 (7)

3

En la ecuacion de Navier-Stokes, o ecuacion de movimiento del plasma, del lado

izquierdo tenemos la derivada convectiva, siguiendo el elemento de uido, de

la velocidad y del lado derecho el primer termino es el gradiente de presiones,

el segundo la fuerza de Lorentz, el tercero la fuerza viscosa, donde es la

viscosidad cinematica uniforme, y el cuarto la fuerza gravitatoria, donde g(r)

es la aceleracion de la gravedad y r el versor radial. En general la atmosfera

solar se considera como un uido incompresible (=cte), entonces la ecuacion

de continuidad se reduce a r:v = 0.

3 Teora del dnamo solar

En las teoras de dnamo el campo magnetico se intensica por corrientes in-

ducidas en el plasma por el movimiento de este ultimo a traves de las lneas

de fuerza. Un movimiento (v) a traves de un campo magnetico (B) lleva a un

campo electrico inducido (v B), el cual produce una corriente electrica de

acuerdo a la ley de Ohm (j = (E+1=c vB)) que da un campo magnetico a

partir de la ley de Ampere (j = c=(4) r B). El campo magnetico crea por

un lado un campo electrico de acuerdo a la ley de Faraday (rE = 1=c @

t

B)

y por otro una fuerza de Lorentz (jB), la cual puede oponerse a la fuerza que

produce el movimiento y por lo tanto completa el circuito de causa y efecto.

La resolucion del problema de evolucion del campo magnetico implica re-

solver en forma acoplada las ecuaciones de induccion y de movimiento del plasma

8

>

>

>

:

@B

@t

=r (v B) + r

2

B

h

@v

@t

+ (v:r)v

i

= rp+

1

c

j B + r

2

v g(r)r

(8)

donde ademas tenemos las condiciones de que la divergencia tanto de B como

de v son nulas. Para una solucion completa de este problema altamente no

lineal es necesario resolver las ecuaciones magnetohidrodinamicas y demostrar

que existe un campo de velocidades capaz de mantener un campo magnetico

oscilatorio, y que este campo de velocidades es automantenido por las fuerzas

disponibles. Cowling demostro, a partir de su teorema antidnamo (1934), que

no es posible mantener un campo magnetico poloidal (en

y r) con un ujo

puramente axisimetrico. Sin embargo desde entonces se ha mostrado que existe

una gran diversidad de campos de velocidades que permiten mantener tanto

la componente poloidal como la toroidal del campo magnetico. El problema

completo es tan dicultoso de resolver que los primeros esfuerzos estuvieron

encaminados en resolver la ecuacion de induccion considerandose conocido el

campo de velocidades. Resolver este problema simplicado es lo que se conoce

como encontrar la solucion del dnamo cinematico. El problema completo de

hallar el campo magnetico y el campo de velocidades se conoce como el problema

de dnamo hidrodinamico, para el cual en general se plantean truncaciones que

permitan llevar el problema a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias

acopladas.

4

3.1 Dnamo !

Podemos suponer que la dinamica del campo magnetico es gobernada por la

rotacion diferencial del Sol, y que el campo magnetico no afecta la evolucion

de este campo de velocidades. En las teoras de dnamo el primer problema

que se plantea es como generar y alimentar campo magnetico con componente

poloidal y toroidal. Se ha observado que la region ecuatorial del Sol rota mas

rapido que las regiones polares; tal rotacion diferencial tiende a cancelar campo

puramente poloidal y crear ujo toroidal. Este efecto puede ser demostrado

matematicamente considerando un campo magnetico axisimetrico y un ujo

v = v

+ v

p

, donde se supone que v

v

p

. Con esto la componente

de la

ecuacion de induccion toma la forma

@B

@t

+ r(v

p

:r)

B

r

= rB

p

:r

v

r

+ (r

2

r

2

)B

(9)

donde r = R

sin, con R

representando el radio solar. El primer termino a la

derecha muestra como una rotacion diferencial, es decir una velocidad angular

v

=r ! no constante, puede producir ujo toroidal de un campo poloidal B

p

.

Este efecto es el que se conoce como efecto !. El estiramiento de las lneas de

campo puede continuar hasta que sea balanceado por la difusion ohmica repre-

sentada por el segundo termino de la derecha. Si B

p

=r (A

p

), integrando

la componente poloidal de la ecuacion de induccion obtenemos

@A

p

@t

+

v

p

r

:r(rA

p

) = (r

2

r

2

)A

p

(10)

Esta ultima ecuacion no permite la generacion de B

p

a partir de B

, porque la

ecuacion muestra que A

p

decae siempre, y por lo tanto tambien lo hacen B

p

y

B

a traves de la Ecuacion (9).

Una sugerencia para generar B

p

a partir de B

fue realizada por Parker en

1955. El apunto que a medida que las burbujas de plasma van ascendiendo ellas

se expanden y tienden a rotar debido a la fuerza de Coriolis. Estos movimientos

anticiclonicos son en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte y

en el sentido contrario en el hemisferio sur. Si el plasma acarrea tubos de ujo

en su movimiento, la torsion convierte campo toroidal en poloidal. la razon de

generacion de B

p

es proporcional a B

, por lo tanto Parker modelo el efecto

neto de muchas celdas de conveccion adicionando un campo electrico

E

=

c

B

(11)

por lo que la Ecuacion (10) toma la forma

@A

p

@t

+

v

p

r

:r(rA

p

) = B

+ (r

2

r

2

)A

p

(12)

Este nuevo termino es el que permite que la accion de dnamo sea posible,

y es llamado efecto . La constante tiene unidades de velocidad y es una

medida de la velocidad rotacional de los vortices. Es de imaginarse que si

5

bien hay movimientos ascendentes de plasma, tambien los hay descendentes,

los cuales tuercen el campo en el sentido opuesto. Entonces es necesaria alguna

asimetra entre los movimientos ascendentes y descendentes para crear un efecto

neto. La principal causa de esta asimetra es la estraticacion, ya que el plasma

ascendente se expande mientras que el descendente se contrae. Otras posibles

causas de asimetra son la geometra , el plasma tiende a subir en el centro de

una celda y a descender en lo bordes , y la otacion magnetica, la cual favorece

los movimientos ascendentes.

3.2 Modelo fenomenologico de Babcock y Leighton

Babcock (1961) y Leighton (1964, 1969) fueron estimulados por las observa-

ciones magnetogracas de la fotosfera a desarrollar un modelo cualitativo del

ciclo solar. En estos modelos tenemos cuatro etapas. Al comienzo de cada ci-

clo el Sol tiene un campo puramente dipolar (solo componente poloidal), las

lneas de campo salen a la supercie cerca de los polos. La rotacion diferen-

cial retuerce las lneas enrrollandolas varias veces alrededor del Sol. Por eso en

la segunda etapa el campo magnetico originalmente poloidal se transforma en

ujo toroidal; estas lneas toroidales se intensican con cada rotacion del Sol,

en especial en la base de la zona convectiva en una franja de latitud entre el

ecuador y los polos, explicando cualitativamente los diagramas de mariposa de

Maunder. En la tercera etapa la intensidad del campo alcanza un valor crtico

en que el campo toroidal se vuelve inestable. El gas connado entre las lneas

de campo esta sometido a la presion termodinamica mas una presion magnetica

dada por B

2

=(8), por lo que tiene una densidad menor que el campo fuera de

las lneas. Entonces las lneas ascienden por la fuerza de empuje y se retuercen

por la fuerza de Coriolis. Al alcanzar la fotosfera la erupcion de ujo genera

dos manchas las cuales tienen polaridades opuestas. Las manchas migran hacia

el ecuador y los polos en la ultima etapa, cancelando el campo magnetico dipo-

lar y luego reemplazandolo por otro con polaridad opuesta. El ciclo comienza

nuevamente con un campo puramente dipolar, pero con la polaridad invertida.

Tomando como premisas las cuatro etapas descriptas por Babcock, y pro-

mediando sobre r y las ecuaciones de dnamo para la evolucion de B

y B

r

,

Leighton logro arribar a las siguientes expresiones

@B

@t

= r sin B

r

@!

@r

C

0

jB

jB

(13)

@B

r

@t

=

C

sin

@

@

(B

sin) +

1

D

sin

@

@

sin

@B

r

@

(14)

Aqu !(r) es la velocidad angular, C y C

0

son constantes, es una constante que

se anula cuando jB

j < B

c

(B

c

es la intensidad crtica del campo para la cual el

campo toroidal se torna inestable) y es igual a la unidad cuando jB

j > B

c

,

D

es el tiempo caracterstico de difusion de vortices supergranulares (que se asume

igual a 22 a~nos), y es el angulo de inclinacion de los grupos de manchas respecto

al paralelo local de latitud. El primer termino a la derecha en la Ecuacion (13)

6

representa la produccion de B

a partir de B

r

por una dependencia radial en

la velocidad angular. Cuando la intensidad del campo toroidal excede el valor

crtico B

c

se asume que los tubos de ujo toroidales se tuercen y ascienden a

traves de la supercie solar, incrementando la intensidad de la componente B

r

y disminuyendo la de la componente B

, como es indicado por los signos de los

terminos que contienen a . El ultimo termino en la Ecuacion (14) representa

la difusion sobre la supercie solar del campo radial.

La integracion numerica de las Ecuaciones (13) y (14) reprodujo exitosa-

mente los rasgos principales del ciclo solar, aunque la falta de una dependencia

en r signica que la generacion de campo poloidal no es incorporada adecuada-

mente.

3.3 Dnamo turbulento

Parker sugirio, como se comento en la Seccion 3.1, que el efecto neto de prome-

diar muchos movimientos convectivos de peque~na escala podra ser el producir

un campo electrico de gran escala (=cB

) en la Ecuacion (12) y permitir la

regeneracion del campo magnetico poloidal. Una base formal para esta idea ha

sido dada por Steenback, Krause y Radler (1966), y ha sido investigada con

mayor detalle por Krause y Radler (1980). Ellos consideraron un movimiento

turbulento de peque~na escala (v) que fuera estadsticamente estacionario y ho-

mogeneo pero no isotropico, superpuesto al movimiento de rotacion diferencial

(v

0

). Esto produce un campo magnetico uctuante (b) en una peque~na escala

(l) y mantiene un campo (B

0

) en una escala mucho mayor (L) , teniendo en

denitiva un campo total B = B

0

+ b, que da una ecuacion de induccion

@

@t

(B

0

+ b) =r [(v

0

+ v) (B

0

+ b)] + r

2

(B

0

+ b) (15)

El promedio sobre alguna escala intermedia entre (l) y (L) lo indicamos por

una barra horizontal. Este promedio sobre la velocidad y el campo magnetico

uctuantes se debe anular (

v =

b = 0). Promediando la Ecuacion (15) se

obtiene

@B

0

@t

=r (v

0

B

0

) +r (v b) + r

2

B

0

(16)

substrayendo este resultado de la Ecuacion (15) llegamos a una ecuacion para

b en terminos de B

0

@b

@t

=r (v B

0

+ v b v b+ v

0

b) + r

2

b (17)

Para que este par de ecuaciones den un sistema cerrado es necesario hacer alguna

suposicion sobre la forma de v b. Generalmente se considera turbulencia

pseudo-isotropica de forma tal que el ujo no es invariante bajo reexiones a

traves del origen. La perdida de simetra pude deberse a rotacion rapida o

estraticacion por ejemplo. Si suponemos

v b = B

0

~rB

0

(18)

7

la Ecuacion (16) toma la forma

@B

0

@t

=r (v

0

B

0

) +r (B

0

) + ( + ~)r

2

B

0

(19)

Veamos que la suposicion expresada en la Ecuacion (18) se obtiene del hecho de

que para un b sucientemente peque~no podemos escribir

@b

@t

r (v B

0

) (20)

Si es el tiempo de coherencia de los movimientos convectivos ( 10

3

s),

podemos aproximar

b r (v B

0

) = (B

0

:r)v (u:r)B

0

(21)

Entonces, trabajando en coordenadas cartesianas, podemos escribir para la com-

ponente i de v b

(v b )

i

=

ijk

v

j

B

0l

@

l

v

k

ijk

v

j

v

l

@

l

B

k

il

B

0l

+

ilk

@

l

B

0k

(22)

donde en el ultimo paso hemos denido

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

@B

@t

= r[r (A

p

)]:r! + (r

2

r

2

)B

@A

p

@t

= B

+ (r

2

r

2

)A

p

h

@v

@t

+ (v:r)v

i

= rp+

1

c

j B g(r)r

(27)

Fijandose en la ecuacion de movimiento puede advertirse que un aumento en la

componente poloidal del campo magnetico produce un incremento en la fuerza

de Lorentz que frena la conveccion. Ademas vimos en la Seccion 3.3 que el valor

de depende de la helicidad del campo de velocidades, por lo que un aumento

del campo magnetico produce una disminucion de . Zeldovich y Ruzmaikin

propusieron una ecuacion que modela el comportamiento de y reemplazaron

la ecuacion de movimiento por este modelo. Plantearon =

0

, junto con

una ecuacion de primer orden para

@

@t

=

+

A

p

B

4L

2

0

(28)

Aqu

es un tiempo caracterstico de la disipacion de y L

0

la profundidad

de la zona de conveccion. Podemos adimensionalizar los campos introduciendo

una magnitud muy utilizada en MHD que es la denominada velocidad de Alfven

v

A

~

B=

p

4, siendo

~

B una intensidad de campo caracterstica del problema

que se este considerando. Entonces adimensionalizamos segun lo siguiente

X =

B

v

A

p

4

Y =

A

p

v

A

L

0

p

4

(29)

9

Podemos adimensionalizar tambien la velocidad angular de rotacion del Sol

multiplicando por L

0

=v

A

L

0

v

A

! (30)

Ahora tambien podemos escribir la variable en funcion de una nueva variable

Z, que es la version adimensionalizada de

= v

A

(1 Z))

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

_

X =

X

R

m

+ (1 Z )Y

_

Y =

Y

R

m

+ (1 Z)X

_

Z =

Z

+

XY

(33)

El numero de Reynolds magnetico esta dado en funcion de las magnitudes ca-

ractersticas de nuestro problema, R

m

= v

A

L

0

=, y L

0

=R

es del orden de

0.1.

El bajo nivel de actividad durante el Mnimo de Maunder debera haber

sido causado por el dnamo trabajando menos ecientemente en forma tempo-

raria, ya que una intensidad de campo mas debil podra inhibir la erupcion de

ujo toroidal por otacion magnetica. Tal comportamiento no lineal no puede

ser explicado por la teora de dnamo cinematica estandard (lineal). Este com-

portamiento es tpico de sistemas no lineales, sistemas como al que arribaron

Zeldovich y Ruzmaikin, el cual se puede mostrar que es topologicamente equiva-

lente al sistema de ecuaciones de Lorenz, que da origen a los atractores extra~nos.

8

>

>

>

>

>

>

>

:

_

X

1

= (X

2

X

1

)

_

X

2

= rX

1

X

2

X

1

X

3

_

X

3

= X

1

X

2

bX

3

(34)

10

El sistema de Lorentz tiene un punto jo en el origen, independientemente del

valor de los parametros, y para los valores del parametro r > 1 se presentan dos

puntos jos mas. La estabilidad de los puntos jos depende de los parametros,

para ciertos valores todos los puntos jos se vuelven inestables. En este regimen

las soluciones se encuentran en un entorno de uno de los puntos jos alejados del

origen por algun perodo de tiempo, y luego subitamente saltan a un entorno

del otro punto jo alejado del origen. Para valores particulares de r, y b

las transiciones de una rama a la otra son cuasiperiodicas, mientras que en

forma irregular el sistema se queda en un entorno del origen por un intervalo

de tiempo equivalente al de varios perodos. Zeldovich y Ruzmaikin asociaron

este fenomeno con el mnimo de Maunder, las oscilaciones rapidas alrededor

de los puntos jos con las variaciones diarias en el numero de manchas, y las

transiciones cuasiperiodicas con la inversion del campo magnetico cada once

a~nos.

5 Analisis de series temporales

Modelo del oscilador de relajacion

Mininni, Gomez y Mindlin (2000) encararon el problema de obtener un sis-

tema dinamico para el ciclo solar desde otra perspectiva, el analisis de series

temporales. Utilizaron la base de datos acumulados de la observacion de las

manchas solares para reconstruir el espacio de fases correspondiente al sistema

dinamico subyacente en el ciclo solar. A partir de estos resultados generaron

un modelo dinamico sencillo que respetara la topologa del atractor observado.

En este trabajo tratamos de reproducir los calculos realizados por Mininni et

al., usando los datos proporcionados por el Observatorio de Zurich del numero

diario de manchas solares desde 1818 hasta la actualidad. En la Figura 1 puede

verse un graco generado con estos datos. En este graco se observa que en

todos los mnimos de actividad el Sol pasa por varios das sin manchas en su

supercie. Tpicamente en cada mnimo se registran alrededor de cincuenta das

sin manchas, y generalmente puede haber mas de diez das consecutivos con la

supercie del Sol completamente limpia. Durante estos perodos se produce el

cambio de polaridad de los campos magneticos.

En los modelos de dnamo solar el campo magnetico es la magnitud fsica

relevante. El numero de manchas en la supercie del Sol esta relacionado con

la amplitud del campo magnetico, esta amplitud no permite hacer un analisis

de la topologa del espacio de fases para obtener la dinamica subyacente del

sistema. Segun el modelo de Babcock el numero de manchas es proporcional

a la erupcion de campo magnetico poloidal en la fotosfera, y siguiendo este

modelo se puede considerar que el numero de Wolf es proporcional al cuadrado

del campo magnetico poloidal en la supercie del Sol

R / hjB

p

j

2

i (35)

Para cotejar esta suposicion con las observaciones se obtuvieron los valores del

11

campo magnetico medio (SMMF), segun el Observatorio de Stanford, para com-

pararlos con el numero de manchas. El campo magnetico medio se calcula

diariamente a partir de magnetogramas obtenidos para la supercie de la cara

visible del Sol. En la Figura 2 pueden verse estos datos de campo magnetico

medio.

Figure 1: Numero de Wolf R diario desde 1818 hasta la actualidad de acuerdo

al Observatorio de Zurich.

Figure 2: Campo magnetico medio (SMMF) de acuerdo a datos del Observatorio

de Stanford.

Sin embargo este tipo de mediciones se efectuan en forma sistematica desde hace

solo treinta a~nos, por lo que no se puede hacer un analisis de la serie temporal

12

como el que pretendemos con un perodo de tiempo inferior a dos ciclos solares.

En la Figura 3 se muestran el numero de Wolf y el campo magnetico medio

al cuadrado normalizados por sus respectivos valores maximos. Para tiempos

del orden del ciclo solar las envolventes de las dos curvas son similares y esto

refuerza la idea de que el numero de manchas sobre la supercie solar es un

indicador de la actividad magnetica solar.

Figure 3: Numero de Wolf(R) y campo magnetico medio al cuadrado.

Para tener una serie temporal que sea proporcional al campo magnetico se

puede invertir el signo de la serie del numero de Wolf en cada mnimo del numero

de manchas, tomando previamente la raz cuadrada de esta ultima serie. Para

ello se utilizan las fechas de los mnimos de actividad solar proporcionados por

el Observatorio de Zurich. Con el n de realizar una reconstruccion del espacio

de fases se necesitan hacer calculos de la serie temporal que representa al campo

magnetico, entonces es menester suavizar dicha serie temporal. Esto se logra

ltrando la serie con un ltro pasabajos, eliminando las componentes de alta

frecuencia. La serie temporal obtenida luego de este proceso la denominaremos

de aca en adelante como la serie B, el campo magnetico observacional. En la

Figura 4 se muestra la serie temporal previamente al ltrado y la serie ltrada

(B).

5.1 Reconstruccion del espacio de fases

Se puede reconstruir el espacio de fases, para obtener un sistema dinamico

sencillo del campo solar, calculando la derivada temporal de B (

_

B) utilizando

diferencias nitas

_

B =

B(t

i+h

)B(t

ih

)

t

i+h

t

ih

+O(h

2

) (36)

13

Figure 4: Serie temporal proporcional al campo magnetico obtenida del numero

de manchas solares diario luego de invertir el signo en cada mnimo de actividad

(rojo), y la version ltrada para eliminar las componentes de alta frecuencia de

la serie temporal (negro).

La dimensionalidad del espacio de fases no es conocida a priori, pero la rela-

tiva sencillez de la serie temporal sugiere que un espacio de fases bidimensional

es suciente para describir correctamente el sistema. En la Ecuacion (36) h

representa el paso de derivacion. Mininni et al. analizaron el espacio de fases

para distintos valores del paso. El calculo de la derivada aumenta en un or-

den de magnitud la razon se~nal/ruido respecto de la serie original. El ruido

aumenta considerablemente con la disminucion del paso. Para pasos suciente-

mente grandes el sistema parece mostrar un ciclo lmite casi rectangular como

atractor. En la Figura 5 se puede observar el espacio de fases reconstruido us-

ando un paso de mil das. La densidad de puntos en los lados del rectangulo

es distinta, en los lados horizontales la densidad de puntos es aproximadamente

el doble que en los lados verticales. Esto indica que la dinamica en los lados

horizontales es mas lenta que en los verticales. Este ultimo hecho junto con la

forma rectangular del ciclo, y con el hecho observacional de que el numero de

manchas (as como B) crece rapidamente y decrece mucho mas lento, sugirieron

la dinamica de un oscilador de relajacion tipo Van der Pol.

5.2 El oscilador de van der Pol

Las ecuaciones de Van der Pol corresponden a aun oscilador forzado cuyo coe-

ciente de rozamiento depende de la amplitud de las oscilaciones. Las ecuaciones

14

Figure 5: Espacio de fases de B con un paso de mil das.

de Van der Pol tienen la forma

8

>

>

>

:

z =

x(t

i+h

)x(t

ih

)

t

i+h

t

ih

_z = 4

x(t

i+h

)2x(t

i

)+x(t

ih

)

(t

i+h

t

ih

)

2

(39)

Luego, utilizando un codigo apropiado de ajuste de curvas, se encuentran los

valores optimos de los parametros para que el error cuadratico medio entre _z y

la funcion F = !

2

x z(3x

2

1) sea mnimo. Con los datos tratados en la

forma mencionada se obtuvieron los valores

8

>

>

>

>

>

>

>

:

! = 0:30

= 0:20

= 0:01

(40)

Figure 6: Espacio de fases obtenido integrando numericamente el sistema de

Van der Pol, con los valores optimos de los parametros (negro) y el espacio de

fases correspondiente a la serie temporal observacional (verde).

Con estos valores de los parametros se integro el sistema de Van der Pol uti-

lizando el metodo de Runge-Kutta de orden cuatro. En la Figura 6 se puede ver

16

esta integracion junto con el espacio de fases correspondiente a la serie observa-

cional. En la Figura 7 se compara el campo magnetico observacional B con la

serie obtenida con la integracion numerica del oscilador de Van der Pol.

Figure 7: Serie temporal del campo magnetico observacional (rojo) y serie in-

tegrada numericamente con el oscilador de Van der Pol (negro).

17