modelado de sistemas electromagneticos por el´ metodo de elementos...

1

Modelado de Sistemas Electromagneticos por elMetodo de Elementos Finitos

S.J.Amodeo, Dto. de Ingenierıa Electrica y de Computadoras, UNS, (B8000CPB) B.Blanca, ArgentinaEmail: [email protected]

Resumen— Este trabajo trata sobre la utilizacion del metodode elementos finitos como herramienta para el modelado desistemas electromagneticos. Abarca la resolucion de sistemas en2D utilizando elementos triangulares con parametros lineales y seutiliza la aproximaci on de primer orden del potencial dentro decada elemento. La generacion de la malla se implementa en formaautomatica realizandose la misma de manera geometricamenteadaptativa; incluyendo tambien la posibilidad de generar mallasno uniformes. Como ejemplo para analizar los resultados delmetodo se plantea el modelado del campo electrico en la aislacionde un conductor. En el caso del campo magnetico se modela uncircuito magnetico simple y una maquina sincronica de dos poloscon devanados estatoricos distribuidos.

Palabras Clave— elementos finitos, FEM, generador de mallaadaptativo, elementos de primer orden.

Abstract— This paper presents the application of the finiteelements method as a tool for modelling electromagnetic systems.The work includes the resolution of 2D systems using triangularelements with lineal parameters. A first-order approximation ofthe potential is used within the elements. The mesh generation isimplemented automatically and is geometrically adaptive. It canalso be generated non-uniformly. As an example to illustrate theresults of the method, the modelling of the electric fields in theinsulation of a conductor is presented. For the case of magneticfields, a simple magnetic circuit and a synchronous machine oftwo poles with distributed statorical windings are modelled.

I. I NTRODUCCION

El trabajo forma parte del estudio llevado a cabo en lamateriaProyectode la carrera de Ingenierıa Electricista dela Universidad Nacional del Sur. Se planteo el metodo deelementos finitos ([1], [3], [4]) para modelar los camposmagneticos y electricos en las maquinas electricas en estadoestacionario.

Para determinar el campo electrico dentro de la maquinaanalizada se requiere encontrar la distribucion del potencialdentro de la region correspondiente. Este potencialu estagobernado por la ecuacion de Laplace,

∇2u = 0. (1)

Extendiendo el metodo para el poder resolver la ecuacion dePoisson

∇2A = −µ0J, (2)

se pueden modelar campos magneticos. Se presenta el desa-rrollo de esta aplicacion en forma reducida por cuestionesde espacio. En la seccion II-A se plantean las ecuacioneselectromagneticas utilizadas en la formulacion del metodo ([5],

El autor desea agradecer el asesoramiento brindado por el profesorJ.H.Arganaraz

[6]) y se presenta la aplicacion del metodo para resolver (1).La generacion de la malla se presenta en la seccion II-B [2].La seccion II-C muestra los resultados de los casos estudiados.Y finalmente en la seccion III se presentan las concluciones.

II. D ESARROLLO

A. Modelado del Campo electrico

El principio de mınima energıa requiere que el potencialu se distribuya de tal manera que minimice la energıa al-macenada en el campo electrico. Considerando un materialcon permitividadε y utilizando el sistema de unidades Giorgiracionalizado esta energıa esta dada por

W (u) =12

∫ε∇u · ∇u dS (3)

Esta integral de superficie debe calcularse en toda la region. Elprincipio de mınima energıa es matematicamente equivalente aresolver la ecuacion de Laplace y viceversa, por lo tanto exis-ten caminos practicos alternativos para resolver el problema.El metodo de elementos finitos se basa en utilizar (3). Laenergıa almacenada en el campo es aproximada y minimizadaasumiendo que el potencialu(x, y) es una combinacion deunas funciones simples adecuadas con ciertos coeficientes aunno determinados. La minimizacion de la energıa almacenadaW (u) asociada con este potencialu(x, y) determina los coefi-cientes y por lo tanto la distribucion de potencial aproximada.

1) Elementos de primer orden:Para construir una solucionaproximada por el metodo de elementos finitos, la region delproblema es subdividida en elementos triangulares (SeccionB). La esencia de este metodo yace en aproximar el potencialu dentro de cada elemento de una manera estandar, y luegointerrelacionar las distribuciones de potencial de los elementospara imponer la condicion de queeste sea continuo a travesde las fronteras de los elementos. Primero se desarrolla laaproximacion del potencial y de su energıa asociada. Dentro

y

x

x1

y1

x2

y2

y3

x3

2

3

1

Fig. 1. Elemento triangular tıpico en el plano x-y

Revista Argentina de Trabajos Estudiantiles

TRATE05-002 Vol. I - Nº 1 - Febrero 2006 7

Eduardo

Rectangle

2

de un elemento triangular tıpico, como el de la Fig. 1, sesupone que el potencialu es representado en forma bilinealpor la expresion,

U = a + bx + cy (4)

La verdadera solucion deu es entonces reemplazada por unafuncion de planos a tramosU . La suave distribucion real delpotencial es modelada por una aproximacion de forma similara la superficie de los diamantes. Debe notarse, sin embargo quela distribucion de potencial es continua a traves de la regiondel problema, aun atravesando los bordes entre elementos. Alo largo de cualquier lado del triangulo, el potencial dado por(4) es una interpolacion lineal de los potenciales de sus dosvertices correspondientes, por lo que el potencial siempre seracontinuo en la frontera entre dos elementos. En otras palabrasno hay ningun hueco en la superficieu(x, y) que aproxima lasolucion verdadera en el planox− y. Por lo tanto la funcionde aproximacion es continua en toda la region y por lo tantodiferenciable en todos los puntos.

Notese que suponer la variacion lineal del potencial dentrodel elemento triangular como en (4) resulta en un campouniforme dentro del mismo,

−→E = −∇U = −(b~i + c ~j) (5)

con~i, ~j versores.Los coeficientesa, b, c de (4) pueden obtenerse de las tres

ecuaciones independientes que son resultado de requerir que(4) adopte los valoresU1, U2, U3 en los respectivos verticesdel elemento.Estas pueden ser expresadas en forma matricialde la siguiente forma:

U1

U2

U3

=

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

abc

. (6)

Al expandir el determinante de la matriz de (6) se ve queequivale al doble delarea del triangulo. Excepto en el casodegenerado dearea cero, los coeficientesa, b, c son determi-nados resolviendo esta ecuacion matricial. La substitucion delos resultados en (4) resulta

U =[

1 x y]

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y3

−1

U1

U2

U3

. (7)

Esta ecuacion puede expresarse como

U =3∑

i=1

Uiαi(x, y), (8)

donde la funcion de posicion α1 esta dada por

α1 =1

2A{(x2y3 − x3y2) + (y2 − y3) x + (x3 − x2) y} ,

(9)y α2 y α3 se obtienen intercambiando los subındicescıclicamente;A es el area del triangulo. Cada funcion seextingue en todos los vertices excepto en uno, en el cual tomael valor unitario (Fig. 2):

αi(xj , yj){

= 0 i 6= j= 1 i = j

(10)

1

2

31

a1

1

2

3

1

a3

1

2

3

1

a2

Fig. 2. Funciones de interpolacion

La energıa asociada con un elementounico puede ser ahoradeterminada utilizando (3) y la region de integracion serael elemento mismo. El gradiente del potencial dentro delelemento puede encontrarse de (8) como

∇U =3∑

i=1

Ui ∇αi(x, y), (11)

entonces la energıa del elemento es

W (e) =12

∫∇U · ∇U dS, (12)

o de (11),

W (e) =12

3∑

i=1

3∑

j=1

Ui Uj

∫∇αi∇αj dS (13)

donde el superındice(e) identifica el elemento, y la region deintegracion es la del elemento. Se define la matriz de elementos

S(e)ij =

∫∇αi∇αj dS, (14)

con lo que (12) puede escribirse en la forma matricialcuadratica [4]

W (e) =12UT S(e)U. (15)

El vector columnaU corresponde a los potenciales de losvertices. Para cualquier triangulo, la matrizS(e) puede serevaluada (combinando (9) y (14)) como

S(e)12 =

14A

{(y2 − y3) (y3 − y1) + (x3 − x2) (x1 − x3)}(16)

y en forma similar para los demas coeficientes de la matrizS.2) Continuidad entre elementos:La energıa total al ensam-

blar varios elementos es directamente la suma de la energıade cada elemento individual

W =∑

e

W (e). (17)

Inicialmente se considera el ensamblado de dos elementos,para ver luego como se puede generalizar. Al unir los dostriangulos de la Fig. 3(a) se obtiene la estructura compuestade la Fig. 3(b). Como cada triangulo individual tiene asociadotres potenciales de nodo, a los dos elementos desconectados lecorresponderan seis potenciales de nodo. Los mismos puedendescribirse por un vector columna:

UTdis =

[U1 U2 U3 U4 U5 U6

]T

dis, (18)



Eduardo

Rectangle

3

1

3

2

6

5

4

1

3

2

4

(a) (b)

Fig. 3. Union de dos elementos: (a) Par de elementos electricamentedesconectados. (b) Los mismos elementos conectados y renumerados.

donde el subındicedis indica que los elementos son conside-rados como desconectados electricamente. La energıa total deeste par de elementos es

W =12UT

disSdisUdis, (19)

donde

Sdis=

S(1)11 S

(1)12 S

(1)13

S(1)21 S

(1)22 S

(1)23

S(1)31 S

(1)32 S

(1)33

S(2)11 S

(2)12 S

(2)13

S(2)21 S

(2)22 S

(2)23

S(2)31 S

(2)32 S

(2)33

(20)

es la matriz de Dirichlet del par de elementos desconectados.En forma particionada

Sdis =[

S(1)

S(2)

]. (21)

La condicion para cumplir con la continuidad del potencialen la interfase entre elementos es que el potencial en losvertices correspondientes sea identico. Por lo tanto, el poten-cial en la Fig. 3(a) sera continuo mientras que el potencial delos nodos 1 y 6 sea forzado a ser identico, y lo mismo para losnodos 2 y 4. Esta igualdad de potenciales es implıcita en lanumeracion de la region cuadrilatera de la Fig. 3(b). Por mediode la matriz rectangularC se expresa la relacion entre lospotenciales de los elementos conectados y los desconectados,expresada como:

Udis = CUcon. (22)

Para el caso de la Fig. 3 esta expresion queda

U1

U2

U3

U4

U5

U6

dis

=

11

11

11

U1

U2

U3

U4

con

. (23)

Sustituyendo (22) en (19), la energıa para el caso conectadoqueda

W =12UT

conSUcon, (24)

donde

S = CT SdisC (25)

representa la matriz del problema conectado. Para el caso delensamblaje de la Fig. 3(b),

S =

S(1)11 + S

(2)66 S

(1)12 + S

(2)64 S

(1)13 S

(2)65

S(1)21 + S

(2)46 S

(1)22 + S

(2)44 S

(1)23 S

(2)45

S(1)31 S

(1)32 S

(1)33 0

S(2)56 S

(2)54 0 S

(2)55

. (26)

De esta expresion se puede observar que para construir lamatrizS no es necesario crear la matrizC en forma explıcita(mediante (25)), sino que se deben sumar los elementoscorrespondientes. Realizando la construccion de esta manera([4], [3]) se logra un menor uso de memoria. Esta matriz noes una matriz completamente llena, gran porcentaje de suscoeficientes son nulos. Para sacar provecho de esta condicionse utilizaron las matrices ralas, reduciendo aun mas el uso dememoria.

3) Solucion del problema conectado:La energıa de ladistribucion de aproximacion de potencial fue formulada enforma cuadratica (24) involucrando el vector columna de lospotenciales del total de nodos. Para obtener una solucionaproximada de la ecuacion de Laplace solo resta minimizarla energıa del modelo de los elementos finitos conectados.Como la expresion de energıa (24) es de forma cuadratica,tiene ununico mınimo con respecto a cada componente delvector potencialU. Por esta razon para minimizar solo esnecesario hacer

∂W

∂Uk= 0. (27)

El ındicek se refiere a coeficientes del vector de potencialesUcon. La diferenciacion con respecto a cada uno de losk po-tenciales corresponde al caso de no considerar las condicionesde borde, es decir con todos los potenciales libres de variar;en este caso la solucion es una distribucion nula de potencial(cero energıa almacenada). Como esto no corresponde con losproblemas con condiciones de bordes que se desean resolver,donde el potencial en ciertos puntos preestablecidos tiene unvalor prescripto, se particiona el vector de potenciales entreaquellos libres de variar y aquellos que son prescriptos. Laecuacion (27) se escribe ası en la forma particionada como,

∂W

∂Uk=

∂W

∂ [Uf ]k

[UT

f UTp

] [Sff Sfp

Spf Spp

] [Uf

Up

]=0, (28)

donde los subındicesf y p refieren a los potenciales de nodolibres (free) y prescripto (prescribed), respectivamente. Ladiferenciacion con respecto a los potenciales libres resulta enla siguiente ecuacion matricial

[Sff Sfp

] [Uf

Up

]= 0. (29)

La matriz de esta ecuacion es rectangular, contiene tantasfilas como potenciales libres existan y tantas columnas comonodos hayan. Reescribiendo (29), pasando todos los valoresconocidos al miembro derecho queda

Sff Uf = −Sfp Up. (30)

La solucion del problema esta dada por

U =[

S−1ff Sfp Up

Up

]. (31)



Eduardo

Rectangle

4

Datos de entrada:: función de distancia: función de distribución de tamaño: Largo de lado deseado

: Límites (xmin,ymin,xmax,ymax): Puntos fijos

fdfhhobboxpfix

Crea la distribución inicial dentro de loslímites (triángulos equiláteros)

Elimina los puntos que se encuentran fuerade la frontera y el aplica método de rechazo

(mallas no-uniformes)

Retriangulación por el algoritmo deDelaunay, se obtienen la barras del

reticulado

Desplazamiento de los nodos según ellargo de las barras (L) y las fuerzas (F)

Se vuelven los puntos que hayanatravesado la frontera al punto más

cercano de la misma

SI

NOCriterio determinación:

Todos los nodos internos se muevenmenos que dptol (escalado)

Datos de Salida:: Matriz de puntos (columna de vectores)

: Punteros de indicando los veritices de lostriángulos.

pt p

Fig. 4. Algoritmo de generacion de la malla

Esta solucion aproximada se encuentra definida en todos lospuntos de la region (no solo en los nodos) debido a que seutilizo la aproximacion lineal en el dominio de los elementos.La inversion de la matriz en (31) se vuelve un proceso quedemanda mucho tiempo cuando se aumentan la cantidad deelementos que componen la malla. Buscando optimizar esteproceso se utilizo, aparte de la forma rala de almacenar lasmatrices, la descomposicion matricial de Cholesky que permiteinvertir la matriz utilizando el metodo de eliminacion deGauss.

B. Generacion de la malla

La generacion de la malla (Meshing) necesaria para laresolucion del metodo consiste en el proceso de dividir undominio fısico en subdominios llamados elementos. Se uti-lizo la tecnica propuesta en [2] para realizar la misma yse desarrollaron herramientas para resolver modelos en 2Dutilizando el triangulo como el modelo de elemento. Estatecnica se basa en una analogıa mecanica entre una estructurareticulada y la malla de elementos triangulares. Una malla detriangulos requiere definir los nodos y la triangulacion de losmismos. Los nodos y lados de los elementos de la malla sonrepresentados por los vertices y las barras del reticulado. Laubicacion de los nodos se obtiene a traves de la resolucion delequilibrio de una estructura reticulada (utilizando una relacionlineal a tramos de fuerza - distancia) y la topologıa por latriangulacion de Delaunay de dichos vertices.

Para representar la geometrıa (la forma de la region) seutiliza una funcion de distanciafd(x, y), la cual es negativadentro de la region, toma el valor cero en la frontera y es

positiva fuera de la misma. El valor que toma la funcion encada punto corresponde al de la distancia del mismo al puntode la frontera mas cercano. Se utilizaron funciones de distanciabasicas (polıgonos, cırculos, etc.) para los casos mas simplesy sus combinaciones para lograr figuras mas complejas.

La tecnica es iterativa y los puntos de la malla son losnodos del reticulado en cada iteracion. Cada barra tiene unarelacion fuerza – desplazamientof(l, lo) la cual depende desu longitud actual (l) y su longitud sin elongar (lo). Se utilizocomo funcion de fuerza en cada elemento una respuesta linealen caso de fuerza repulsiva (sil < lo) y sin producir fuerzaatractiva (sil > lo).

En cada iteracion se resuelve el sistema en condiciones deequilibrio. Las fuerzas producen los desplazamientos de losnodos y la triangulacion de Delaunay (en cada iteracion) ajustala topologıa (decide los lados).

Para generar mallas uniformes es deseable quelo seaconstante en toda la geometrıa pero puede ser muy ventajosotener diferentes tamanos en funcion de la region en que selocalicen. Donde la geometrıa es mas compleja (por ejemplo:un entrehierro), se necesitara resolver con elementos maspequenos (adaptabilidad geometrica). Una malla uniformecon estos pequenos elementos necesitara muchos nodos, delos cuales, no todos ayudaran de la misma forma a mejorarla precision del resultado. Para solucionar este problema seincorporo una funcion de distribucion del tamano del elementoh(x, y) que provee la distribucion relativa deseada de lalongitud del lado, lograndose ası mallas no uniformes de buenacalidad.

SiendoF (p) la resultante de fuerzas en cada nodo (Fig.5). Para obtener el conjunto de posiciones de equilibrio, sedebe resolver el sistemaF (p) = 0. Este es un problemarelativamente difıcil, en parte por la discontinuidad de lafuncion de fuerzas (por cambios en la topologıa) y por lasfuerzas debidas a reacciones externas en la frontera.

Se aproximo la solucion introduciendo una dependenciaartificial del tiempo. Para ciertop(0) = po, se considero elsistema de ODE’s ficticio,

∂p

∂t= F (p) t ≥ 0 (32)

fd

Fxi

Fyi

Pi

Fi

Fextj

αFi

Pj

Fig. 5. Detalle del analisis de fuerzas.



Eduardo

Rectangle

5

Si se obtiene una solucion estacionaria,esta satisfara el sistemaF (p) = 0. Se aproxima el sistema (32) utilizando el metodode Euler. En los tiempos discretos (artificiales)tn = n∆t, lasolucion aproximadapn ≈ p(tn) se actualiza mediante:

pn+1 = pn + ∆tF (pn). (33)

En la Fig. 4 se presenta el esquema del algoritmo utilizado.Para poder hacer un analisis de una maquina electrica el

modelo debe estar formado por varias zonas, cada una delas cuales tiene una propiedad diferente segun el materialal que corresponda. Hasta ahora las mallas generadas sirvenpara formar figuras que constituyan un solo cuerpo. Por lotanto, es necesario que al generar la malla las interfases entredistintos materiales esten bien definidas (por medio de loslados de los elementos); lograndose ası asignar correctamentelas propiedades a cada elemento.

La generacion de una malla que tenga esta caracterıstica selogro incorporando al generador de malla propuesto por [2]el siguiente procedimiento. Primero se analiza el sistema quese quiere resolver, reconociendo aquellas partes que tengandistintos parametros o sea necesario aislarlas. Para cada unade estas zonas se arma una funcion de distancia (fd) indepen-diente. Luego se generan cada una de las zonas correlativa-mente. Asegurando el encastre entre las mallas tomando comopuntos fijos de la nueva malla, los puntos pertenecientes a lafrontera comun entre esta zona y la anteriormente generada.En las mallas obtenidas para el caso de un conductor electrico,un circuito magnetico y una maquina sincronica, Fig. 6, 9 y11 respectivamente, se puede observar la precision lograda enlas interfases entre los diferentes materiales.

C. Casos estudiados

1) Campo electrico en un conductor:Se aplica el metodopara modelar el campo electrico en un conductor genericoformado por 4 capas de dielectricos diferentes. Las capastienen una permitividad relativa de 10, 15, 10 y 30 desdela capa exterior a la interior, respectivamente. Dado quees conveniente por el tipo de figura se genera una mallano uniforme. Obteniendose la malla indicada en la Fig. 6compuesta esta por 496 elementos. Se resuelve aplicando el

Fig. 6. Malla generada para modelar el conductor.

−4−3

−2−1

01

23

4

−4

−2

0

2

40

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Distancia X (cm)

Distancia Y (cm)

Fig. 7. Distribucion de potencial obtenida dentro la aislacion del conductor

10.0

1

10.0110.01

10.01

10.0

1

10.01

10.01

20.0

1

20.0120.01

20.01

20.0

1

20.01

20.01

30.0

1

30.01

30.01

30.0

1

30.01

30.0140

40

40

40

40

40

50

50

50

50

50

60

60

60

60

60

70

70

70

70

80

80

80

90

90

90

Fig. 8. Campo electrico y lıneas equipotenciales - vectores dentro la aislaciondel conductor

metodo determinandose la distribucion de potencial, campoelectrico y lıneas equipotenciales y de flujo. Los resultados,para un potencial de 100 V en el centro y 0 V en la periferia,se indican en las Fig. 7 y Fig. 8.

2) Campo Magnetico: En la Fig. 10 se muestran los resul-tados obtenidos de modelar un circuito magnetico y su corres-pondiente malla compuesta por 2334 elementos en la Fig. 9.Tambien se modelo el circuito magnetico de una maquinasincronica trifasica de dos polos con devanados estatoricosdistribuidos en 12 ranuras. Se simulo el caso correspondientea no tener corriente de excitacion y una densidad de corrientede 100 (A/m2) con direccion normal y entrante al plano de lagrafica en las ranuras de la fase A y 50 (A/m2) pero en sentidocontrarıo en las ranuras correspondientes a las de las fases By C. El mallado se realizo con 7225 elementos (Fig.11) y ladistribucion de potencial magnetico resultante y lıneas de flujomagnetico se presentan en las Fig. 12 y 13, respectivamente.

III. C ONCLUSIONES

Los resultados obtenidos de la aplicacion del metodo deelementos finitos permiten inferir que el mismo representa unaherramienta muyutil para el modelado de maquinas electricas.Dado que, para implementar el metodo, los algoritmos fueron



Eduardo

Rectangle

6

Fig. 9. Malla generada del circuito magnetico compuesta por 2334 elementos.

Fig. 10. Lıneas de flujo magnetico.

desarrolladosıntegramente, se logro una herramienta muy fle-xible para realizar modelos complejos y el tratamiento de con-diciones especiales. Se observa el potencial del metodo comoherramienta en el diseno y analisis de maquinas electricas,para simular condiciones de falla dentro de las mismas y parala determinacion de parametros del modelo de la maquina atraves de la simulacion.

REFERENCIAS

[1] Chari, M. V. y Silvester, Peter P. ,Finite elements in electrical andmagnetic field problems, J. Wiley. Chichester, UK (1984).

[2] Persson, Per-Olof y Strang, Gilbert , “A Simple Mesh Generator inMATLAB,” SIAM Review, Vol. 46 (2), (2004).

[3] Sadiku, Matthew N. O. , “A Simple Introduction to Finite ElementAnalysis of Electromagnetic Problems,”IEEE TRANSACTIONS ONEDUCATION, Vol. 32 (2), (1989).

[4] Silvester, Peter P. y Ferrari, Ronald L. ,Finite Elements for electricalengineers, Press Syndicate of the University of Cambridge, Third edition,Great Britain (1996).

[5] Skilling, Hugh Hildreth ,Fundamentals of Electrics Waves, John Wiley& Sons, Second Edition, USA (1956).

[6] Santalo, Luıs A. , Vectores y tensores, con sus aplicaciones, EUDEBA,Octava Edicion, Argentina (1970).

Fig. 11. Malla de la maquina sincronica compuesta por 7225 elementos.

−15−10

−50

510

15

−15−10

−50

510

15−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x 10−3

Distancia x, mDistancia y, m

Pot

enci

al m

agné

tico,

Wb/

m

Fig. 12. Distribucion de potencial magnetico resultante.

Fig. 13. Lıneas de flujo magnetico en la maquina.



Eduardo

Rectangle

modelado de sistemas electromagneticos por el´ metodo de elementos...

Documents