Modelación matemática de

Una rueda y eje con J variablepara diseñar experimentos para identificarlas masas de sus componentes ajustables

James Smith19 octubre 2016

Resumen

Se describe un aparato que consiste en un eje, más una rueda que cuenta con seis masascuya distancia puede ajustarse para variar el momento de inercia polar del aparato. Seanaliza un experimento en el que dicho aparato se cuelga de un soporte, mediantecuerdas fijadas en los dos extremos del eje. Rotando el aparato de manera que cadacuerda se enrede alrededor del extremo al que está fijado, se sube el aparato. Actoseguido, se permite que el aparato descienda, girando libremente. Para un rango dedistancias entre las masas y el eje, se mide cuanto tiempo el aparato tarda en descenderuna distancia predeterminada.

Tras análisis basados en la dinámica y en la conservación de energía, identificamosque el experimento arriba descrito no es suficiente para identificar la masa total de lasseis masas. En cambio, es necesario contrastar los resultados de ese experimento, con(por ejemplo) uno que emplee una masa auxiliar conocida.

1

1 Introducción

Este documento se elaboró para que alumnos vieran cómo un fenómeno puede sermodelado matemáticamente, para poder identificar y cuantificar los elementos que loafecta. El proceso de la modelación combina conocimientos matemáticos y de la física.Para validar el modelo que resulta, se propone un experimento a través del cual se podrápredecir la masa total de las seis masas ajustables que se usan para variar el momentode inercia polar del aparato. Después de hacer su predicción, los alumnos podrán medirdicha masa total y discutir con qué grado de precisión el modelo matemático describeel fenómeno.

2 Descripción del aparato

El aparato (Figs. 1 y 2) es una rueda y eje, con seis masas que se pueden colocar adistancias variables, desde el eje. Se enrolla un hilo alrededor de cada extremo del eje.El aparato se descenderá, debido a su propio peso, si los usuarios no lo sostienen.

Figure 1: Diagrama esquemático del aparato “eje y rueda con masas" suspendido desus hilos. Las seis masas (círculos anaranjados) se colocan todas a la misma distanciadesde el eje, pero dicha distancia se variará en el curso del experimento.

3 Descripción (breve) del experimento

Se varia la distancia entre las seis masas y el eje para investigar cómo este parámetroafecta cuánto tiempo el aparato tarda en recorrer una distancia predeterminada.

4 Modelación del comportamiento

4.1 Notación

Ver también las Figuras 2 y 3.

2

Figure 2: Identificación de las dimensiones claves, del aparato. Las líneas gruesas ynegras representan ranuras a lo largo de las cuales las seis masas pueden ser desliadaspara variar rm en el curso del experimento.

.

M Masa del eje + rueda, sin las seis masas.

m Masa total, de las seis masas.

J0 Momento de inercia polar del eje + rueda, sin las seis masas.

t Tiempo trascurrido desde que se dejó de sostener al aparato, para que comenzarasu descenso.

x Ubicación del centro del eje. En t = 0, x = 0.

En vez de usar ranuras paraajustar la posición de las seismasas, se puede usarperforaciones a variasdistancias.

4.2 Modelación del comportamiento del aparato mismo

Para más información acerca de la dinámica de rotaciones, ver Referencias [1] y [2].

4.2.1 A partir de la conservación de energía

La suma de las energías cinética y potencial (gravitatoria) del aparato es constante:(Energia potencial gravitatoria

)︸ ︷︷ ︸

Eg

+(Energia cinetica

)︸ ︷︷ ︸

Ec

= constante.

Por lo tanto, cuando el aparato desciende alguna distancia d,

−∆Eg = ∆Ec

∴ [(M +m) g] d =1

2(M +m) v2 +

1

2Jω2, (4.1)

donde ω es la velocidad angular del aparato en el instante cuando x = d, y v =dx

dt(x = d) = re [ω (x = d)].

3

Figure 3: El aparato en su posición inicial, suspendido de sus hilos, antes de soltarlo.Nótese la definición de la dirección positiva de x, y del origen (o sea, donde x = 0).

Antes de que sigamos, hagamos una pausa para reconocer que no hemos supuestonada acerca de la distancia d, aparte de que d es un número positivo. Entonces, por LaRegla de la Generalización Universal, la Ec. (4.1) se verifica para todo valor positivo,de x. Por lo tanto, reescribimos dicha ecuación de la forma más convencional, usando

el símbolo x en vez de d, con el entendido de que los valores dedx

dty ω son aquellos

que resultan cuando el aparato desciende la distancia x:

[(M +m) g]x =1

2(M +m) v2 +

1

2Jω2. (4.2)

La Regla de laGeneralización UniversalPara nuestros fines, ésta diceque si se puede demostrar queuna fórmula es cierta para unobjeto elegido en formaarbitraria de una clase,entonces la fórmula es ciertapara todo objeto que lepertenece a la clase. Lareferencia [3] demuestra suuso en un contexto como elpresente.

En cuanto al momento de inercia, J , éste depende de la posición de las seis masascon respecto al eje:

J = J0 +mr2m. (4.3)

Sustituyendo J por esta expresión en la Ec. (4.2),

[(M +m) g]x =1

2(M +m) v2 +

1

2

(J0 +mr2m

)ω2

=1

2(M +m) v2 +

1

2

(J0 +mr2m

)( v

re

)2

=1

2

{M +m+

[J0 +mr2m

r2e

]}︸ ︷︷ ︸Llammosla “B”: Es un constante.

v2

=1

2B

(dx

dt

)2

.

“B" es un constante en cuantoes independiente de t. Pero sí,varía con rm.

4

Para obtener una ecuación diferencial que se pueda resolver, despejamos aldx

dt:

dx

dt=

[√2 (M +m)x

B

]x1/2; (4.4)

∴dx

x1/2=

[√2 (M +m)x

B

]dt. (4.5)

Por fin, integramos ambos lados de la Ec. (4.4) para encontrar la distancia x (τ)

que el aparato cae durante el intervalo 0 ≤ t ≤ τ , siendo τ un número arbitrario. Setoma en cuenta que x = 0 en t = 0:∫ x(τ)

x=0

dx

x1/2=

[√2 (M +m)x

B

]∫ τ

t=0

dt

2√x (τ) =

[√2 (M +m)x

B

]τ

τ2 = 2

[B

(M +m) g

]x (τ)

= 2

{(M +m) r2e + J0 +mr2m

(M +m) gr2e

}x (τ) . (4.6)

Esta maniobra—la de integrarel lado derecho de la Ec. (4.4)entre t = 0 y t = τ , y el ladoizquierdo entre x (t = 0) yx (t = τ)—se apoya en losmismos teoremas que “elcambio de variable" en laintegración ([4], [5]). Dichamaniobra es útil en muchosproblemas de este índole.

Ya que el tiempo τ fue un número arbitrario, este resultado se verifica para todoslos valores de t (ver la página 4). Así que lo escribimos de la forma más convencional,con t en lugar de τ :

t2 = 2

{(M +m) r2e + J0 +mr2m

(M +m) gr2e

}x (t) . (4.7)

4.2.2 A partir de un análisis dinámico

En este análisis, identificamos primero cuánto rota el aparato al descender por un in-tervalo t. Después, convertimos dicha rotación en la distancia caída durante el mismointervalo.

La “aceleración" que figura eneste análisis, es aquella alrespecto del soporte (Fig. 3).

A partir de un análisis de la Figura 4, escribimos ecuaciones para el movimientoen la dirección x, y para la rotación:

(M +m) × aceleracion en la direccion x =∑

Fuerzas en la direccion x

(M +m) a = (M +m) g − Thilo.

(aceleracion angular) × J =∑

Momentos

αJ = (Thilo) re

∴ Thilo =αJ

re.

También, a = reα. Entonces,

(M +m) reα = (M +m) g − αJ

re, y

α =(M +m) gre

(M +m) gr2e + J. (4.8)

5

Figure 4: Diagrama del cuerpo libre, para el aparato ya soltado. Note la definición delsentido positivo, de la rotación.

Examinando la Ec. (4.8), vemos que α es una constante: es independiente de

t. Tomando este hecho en cuenta, y reconociendo que α =dω

dt; dω = αdt ; y

ω (t = 0) = 0, escribimos∫ τ

0

αdt =

∫ ω(τ)

0

dω

∴ ω (τ) =

[(M +m) gre

(M +m) gr2e + J

]τ.

Queremos encontrar θ: la rotación total del aparato durante el intervalo de tiempo

0 ≤ t ≤ τ . Ya que ω =dθ

dt,

θ (τ) =

∫ τ

t=0

ω (t) dt

=

∫ τ

t=0

[(M +m) gre

(M +m) gr2e + J

]tdt

=1

2

[(M +m) gre

(M +m) gr2e + J

]τ2. (4.9)

Pero x (τ) = reθ (τ), y J = J0 +mr2m (Ec. (4.3)). Entonces,

t2 = 2

{(M +m) r2e + J0 +mr2m

(M +m) gr2e

}x (t) , (4.10)

la cual coincide con la Ec. (4.7).

4.3 Modelación del comportamiento del aparato con una masa aux-iliar

El uso de la masa auxiliar se demuestra en las Figuras 5 y 6 .

6

Figure 5: La masa auxiliar (pelota roja) y la cuerda que la conecta al eje. Al dejarsedescender el aparato, la masa auxiliar contribuye a su rotación.

Figure 6: El aparato más la masa presentados en la Fig. 6, desde otra perspectiva.

4.3.1 A partir de la conservación de energía

Un aspecto clave de este análisis, es que cuando el eje caiga la distancia d, el eje rota

tras el ángulo θ =d

re. Esta rotación ocasiona que la masa auxiliar cae la distancia

reθ con respecto al eje. Por lo tanto, al caerse el eje una distancia x, la masa auxiliarcae 2d. Razonando de una forma parecida, vemos que la velocidad vertical de la masaauxiliar es, en todo momento, el doble de la velocidad vertical del eje. Hilando estasideas, la energía gravitatoria perdida por la combinación de aparato y masa auxiliar esde (M +m) gd+ 2µgd.

7

Reconociendo que la velocidad vertical del eje es de v = reω,

Energa cinetica =1

2(M +m) v2 +

1

2µ (2v)

2+

1

2Jω2

=1

2

{M +m+ 4µ+

J

r2e

}v2. (4.11)

Igualando la energía gravitatoria perdida y la energía cinética, y usando v =dx

dt,

(M +m+ 2µ) gd =1

2

{M +m+ 4µ+

J

r2e

}(dx

dt

)2

. (4.12)

Apoyándonos en La Regla de la Generalización Universal (página 4), sustituimos dpor la variable x, y seguimos adelante:

(M +m+ 2µ) gx =1

2

{M +m+ 4µ+

J

r2e

}(dx

dt

)2

,

dx

x1/2=

√√√√√ 2 (M +m+ 2µ) g

M +m+ 4µ+J

r2e

dt,

∫ x(τ)

x=0

dx

x1/2=

∫ τ

t=0

√√√√√ 2 (M +m+ 2µ) g

M +m+ 4µ+J

r2e

dt,

2 [x (τ)]2

=

∫ τ

t=0

√√√√√ 2 (M +m+ 2µ) g

M +m+ 4µ+J

r2e

τ,∴ τ2 = 2

{(M +m+ 4µ) r2e + J

(M +m+ 2µ) gr2e

}x (τ) .

Sustituyendo τ por t, y usando J = J0 +mr2m,

t2 = 2

{(M +m+ 4µ) r2e + J0 + +mr2m

(M +m+ 2µ) gr2e

}x (t) . (4.13)

4.3.2 A partir de un análisis dinámico

Este análisis requiere de dos diagramas de cuerpo libre: uno para el aparato mismo, yuno para la masa auxiliar (Figura 7).

Análisis dinámico del movimiento de la masa auxiliar La aceleración de la masaauxiliar con respecto al soporte, es la suma de a (la aceleración del eje con respecto alsoporte) y la aceleración de la masa con respecto al eje. Esta última es de reα, dondeα es la aceleración angular del eje:

Aceleracion de la masa auxiliar con respecto al soporte = a+ reα.

Igualando la suma vectorial de fuerzas, al producto de la masa µ y su aceleración,

µg − Tµ = (a+ reα)µ;

∴ Tµ = (g − reα− a)µ (4.14)

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Figure 7: Diagramas de cuerpo libre, para el aparato y para la masa auxiliar .

Análisis dinámico del movimiento del eje y de la rueda A modo de un contrastecon la ruta que seguimos en el Apartado 4.2.2, desarrollemos la ecuación para estemovimiento en función de la aceleración a, en vez de α. Examinando las fuerzas queactúan el la dirección x en el diagrama de cuerpo libre para el eje y rueda, escribimos

(M +m) a = Tµ + (M +m) g − Thilo. (4.15)

Examinando las torsiones,

Tµre + Thilore = Jα.

Para seguir adelante, notamos que α = a/re, de manera que

Thilo =J

r2ea− Tµ. (4.16)

y (trasformando la Ec. (4.14) )

Tµ = (g − 2a)µ. (4.17)

Ya tenemos los elementos para desarrollar una ecuación para a. Partimos de la Ec.(4.8):

(M +m) a = Tµ + (M +m) g − Thilo

= Tµ + (M +m) g −(J

r2ea− Tµ

)(Ec.(4.16))

= 2Tµ + (M +m) g − J

r2ea

= 2 [(g − 2a)µ] + (M +m) g − J

r2ea (Ec.(4.17))

a =

{(M +m+ 4µ) r2e + J0 + +mr2m

(M +m+ 2µ) gr2e

}∴ t2 = 2

{(M +m+ 4µ) r2e + J0 + +mr2m

(M +m+ 2µ) gr2e

}[x (t)] . (4.18)

Éste es el mismo resultado que obtuvimos partiendo de la conservación de energía (Ec.(4.13) ).

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5 Diseño de experimentos y análisis de los datos

5.1 Resumen del propósito de este análisis, y cómo pensamos lo-grarlo

Para validar nuestros análisis y las ecuaciones de de ellos resultaron, queremos iden-tificar la masa m sin usar una balanza, a través de experimentos en los que se analicecómo varía t en función de rm, para x dado. Por ejemplo, experimentos en los que semide cuánto tiempo el aparato tarda en descender una distancia D, fija. Se nos permitemedir re, pero ninguna otra característica del aparato.

5.2 Resumen, examinación, y linearización de las ecuaciones queresultaron de nuestros análisis

Bajo estas restricciones, las Ecs. (4.7) y (4.10) tienen tres incógnitas: M , m, y J0:

t2 = 2

{(M +m) r2e + J0 +mr2m

(M +m) gr2e

}x (t) (5.1)

Si linearizamos dichas ecuaciones, haciendo de r2m la variable independiente, seobtiene, para x = D, fijo,

t2

2D=

[m

(M +m) gr2e

]︸ ︷︷ ︸

Pendiente

r2m +(M +m) r2e + J0

(M +m) gr2e︸ ︷︷ ︸Intercepto

. (5.2)

Encontrando el valor de la pendiente y del intercepto a través de experimentos, ten-dremos dos ecuaciones, con las tres incógnitas arriba mencionadas:

Pendiente sin la masa auxiliar =m

(M +m) gr2e

Intercepto sin la masa auxiliar =(M +m) r2e + J0

(M +m) gr2e.

(5.3)

Lo mismo es cierto en cuanto a la ecuación para el aparato con la masa auxiliar. Eneste caso, la ecuación (Ecs. (4.7) y (4.10)) es

t2 = 2

{(M +m+ 4µ) r2e + J0 + +mr2m

(M +m+ 2µ) gr2e

}[x (t)] . (5.4)

Linearizándola, al estilo de la Ec. (5.2),

t2

2D=

[m

(M +m+ 2µ) gr2e

]︸ ︷︷ ︸

Pendiente

r2m +(M +m+ 4µ) r2e + J0(M +m+ +2µ) gr2e︸ ︷︷ ︸

Intercepto

. (5.5)

Entonces,

Pendiente CON la masa auxiliar =m

(M +m+ 2µ) gr2e

Intercepto CON la masa auxiliar =(M +m+ 4µ) r2e + J0

(M +m+ 2µ) gr2e.

(5.6)Un tema lejanamentevinculado: ¿Cómo se pesanlos planetas? (Ver Referencia[6].)

Bueno, ni el uno ni el otro de los experimentos, en sí, puede determinar la masa m.Pero juntos, sí, lo pueden, como veremos a continuación.

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5.3 Calculando m a partir de los resultados de experimentos

Sería interesante idear otroscombinaciones deexperimentos que puedan, encombinación con elexperimento sin la masaauxiliar, determinar m.

Entre las Ecs. (5.4) y (5.5), tenemos cuatro ecuaciones en tres incógnitas. En-tonces, bastan para determinarlas.

5.3.1 Determinar m

Examinando las Ecuaciones (5.3) y (5.6), notamos que

1

Pendiente CON la masa auxiliar=

(M +m+ 2µ) gre2

m, y

1

Pendiente sin la masa auxiliar=

(M +m) gre2

m.

Por lo tanto,

m =2µgre

2

1

Pendiente CON- 1

Pendiente sin

. (5.7)

Una ruta más complicada es la siguiente. Primero, formamos los cocientes

βcon =Intercepto con masa auxiliar

Pendiente con masa auxiliar=

(M +m+ 4µ) r2e + J0m

βsin =Intercepto sin masa auxiliar

Pendiente sin masa auxiliar=

(M +m+) r2e + J0m

.

(5.8)

Ahora, reconocemos que

βcon − βsin =4µr2em

;

∴ m =4µr2e

βcon − βsin.

(5.9)

5.4 Comprobar el resultado

Una vez calculada la masa m, los alumnos pueden quitar las seis masas del aparato,para medir su peso total y compararla con el valor calculado de m. También, se puedeusar el valor calculado de m y el valor experimental de βsin para calcular J0, paraluego calcular (y verificar por medio de un experimento) cuánto tiempo el eje y rueda,sin las seis masas, tardará en descender una distancia determinada.

6 Conclusiones

Para determinar la masam, no es suficiente hacer el uno o el otro de los dos experimen-tos. O sea, solamente el experimento con la masa auxiliar, o solamente el experimentosin la masa auxiliar. Pero los dos, juntos, sí son suficientes. Sería interesante idearotros combinaciones de experimentos que puedan, en combinación con el experimentosin la masa auxiliar, determinar m.

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Deberíamos notar, también, que las cuatro ecuaciones en Ecs. (5.4) y (5.5) bastan ysobran para encontrar las tres incógnitas M , m, y J0. Entonces, aunque no lo hicimosen este documento, podríamos calcular los valores de éstas de otras maneras, para quecomparáramos, el uno contra el otro, los valores obtenidos.

References

[1] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Dinámica de rotación y balanceenergético", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/dinamica/dinamica.htm

[2] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Ecuación de la dinámica derotación", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm

[3] J. Smith, sin fecha, “Unas cuantas características de los triángulos equi-láteros(Con una introducción breve a las técnicas para hacer demostra-ciones matemáticas)", http://www.slideshare.net/JamesSmith245/tcnicas-para-demostraciones-usando-tringulos-equilateros

[4] https://sites.google.com/site/calculointegralupaep/cambio-de-variable

[5] http://www.mat.ucm.es/ dazagrar/docencia/cap7.pdf.

[6] NASA, sin fecha, “¿Cómo se pesan los planetas?",http://spaceplace.nasa.gov/review/dr-marc-solar-system/planet-weights.sp.html .

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