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Algebra Lineal

(APUNTE EN

CONSTRUCCION)

por Jesus Juyumaya

Agosto, 2006


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Indice general

Introduccion 5

Captulo 1. PRELIMINARES 7

1.1. Grupos 7

1.2. Anillos y Cuerpos 11

1.3. Ejercicios 13

Captulo 2. MATRICES 17

2.1. Estructura algebraica de las Matrices 17

2.2. Determinante y Adjunta 21

2.3. Sistemas de Ecuaciones y Forma Normal de Hermite 28

2.4. Nociones Complementarias 40

2.5. Ejercicios 41

Captulo 3. ESPACIOS VECTORIALES 47

3.1. Espacios y subespacios vectoriales 47

3.2. Combinacion lineal y espacio generado 51

3.3. Dependencia e Independencia lineal 54

3.4. Base y dimension 56

3.5. Coordenadas y matriz cambio de base 61

3.6. Suma de subespacios y espacios vectoriales 64

3.7. Espacio cociente 693.8. Ejercicios 71

Captulo 4. TRANSFORMACIONES LINEALES 77

4.1. Transformaciones lineales 77

4.2. El espacio Hom(V, W) 85

4.3. El espacio dual 92

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4 INDICE GENERAL

4.4. Ejercicios 95

Captulo 5. DIAGONALIZACION Y FORMA DE JORDAN 1035.1. Diagonalizacion 103

5.2. Forma de Jordan 126

5.3. Ejercicios 138

Apendice A: Lema de Zorn 143

Apendice B: Polinomios 145

Indice alfabetico 151

Bibliografa 153


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Introduccion

Los temas tratados en el presente apunte corresponden al curso de

Algebra Lineal I, de la Carrera de Matematicas de la Universidad de

Valparaso.

La Carrera de Matematicas tiene cuatro semestres de formacion

basica, una vez terminada esta primera etapa, el alumno puede optar

al Plan de Pedagoga o de Licenciatura en Matematicas. El curso de

Algebra Lineal I esta en el tercer semestre. As, las materias tratadas

en este apunte, intentan cubrir por una parte los requerimientos que

debe tanto un Pedagogo, como un Licenciado en Matematicas en un

primer curso de Algebra Lineal.

A lo largo del apunte utilizaremos, como es usual, las notaciones

N, Z, Q, R y C

para los numeros naturales (incluyendo el 0), enteros, reales y complejos

respectivamente.

La escritura a := b quiere decir que el termino a es definido como

la expresion b. Analogamente con la escritura b =: a.

Cualquier tipo de observacion del presente apunte, por fa-

vor enviarlas a: [email protected]

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CAPTULO 1

PRELIMINARES

1.1. Grupos

Definicion 1.1. Un grupo es un conjunto no vaco G, provisto de

una funcion de G G en G, (a, b) ab, tal que para todo a, b y cen G se cumplen los siguientes axiomas:1. a(bc) = (ab)c (asociatividad).

2. Existe un elemento e G que satisface ea = ae = a.

3. Todo elemento a G tiene asociado un elemento a1 G tal

que aa1 = a1a = e.

La funcion que define el grupo es llamada operacion binaria, ley de

composicion interna, o simplemente, producto.

El elemento e del axioma 2 es unico, y se llama el neutro del grupo.

El elemento a1 en el axioma 3 esta unicamente determinado por a.

El grupo es conmutativo (abeliano) si ademas satisface la propiedad

de conmutatividad, es decir: ab = ba, para todo a, b G.

Definicion 1.2. El orden de un elemento g en G es el menor na-

tural n tal que gn

= e. El orden del grupo es la cantidad de elementosdel grupo.

Ejemplo 1.1. Los conjuntos Z, R, Q y C con la suma usual de

numeros, son grupos conmutativos. Con la multiplicacion usual los con-

juntos R, Q y C, son tambien grupos conmutativos.

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8 1. PRELIMINARES

Ejemplo 1.2. El conjunto Zn = {0 , 1 , 2 , . . . , n 1} es un grupo con

la suma de enteros modulo n. Tabla de operaciones de Z4:

0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Ejemplo 1.3. Zn := Zn {0} es un grupo con la multiplicacion

de enteros modulo n si, y solo si, n es un numero primo. Tabla de

operaciones de Z5 :

1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Ejemplo 1.4. Sea Sn el conjunto formado por las funciones biyec-

tivas del conjunto {1 , 2 , . . . , n}. El conjunto Sn con la operacion com-

puesta de funciones es un grupo. Este grupo no es conmutativo para

n 3.

Ejemplo 1.5. Sean G un grupo y X un conjunto no vaco. Sea

F(X, G) el conjunto de todas las funciones de X en G. En F(X, G)

definimos el producto , de las funciones y , como

: X

G

x ( )(x) := (x)(x).F(X, G) con la operacion tiene estructura de grupo.

Ejemplo 1.6. A partir de un grupo G se puede definir el grupo

G G, donde la operacion es definida por coordenadas a partir de la

operacion de G, esto es,

(a, b)(c, d) := (ac, bd).


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1.1. GRUPOS 9

Mas generalmente, sean G1, . . . , Gn grupos arbitrarios, uno puede

definir como antes el grupo producto G1 G2 Gn con operacion

dada por:

(a1, . . . , an)(b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn).

Proposicion 1.3. Para todo a, b G se tiene:

1. (a1)1 = a.

2. (ab)1 = b1a1.

Definicion 1.4. Un subconjunto no vaco H de un grupo G se dice

que es un subgrupo de G, si se cumple:

1. Para todo x, y H se tiene que xy H.

2. Si x H, entonces x1 H.

Notese que todo grupo G tiene como subgrupos a G y {e}.

Ejemplo 1.7. Las siguientes inclusiones de conjuntos son inclusio-

nes de subgrupos.

Z Q R C,

{1, 1} Q R C.

Ejemplo 1.8. El subconjunto del grupo G = F(X, G) constituido

de las funciones constantes es un subgrupo de G.

Ejemplo 1.9. El subconjunto H del grupo Sn formado por las

funciones que fijan a n, es un subgrupo de Sn.

Proposicion 1.5. Sea H un conjunto no vaco de un grupo G,

entonces H es un subgrupo de G si, y solo si, xy1 H, para todo

x, y H.

A partir de un subgrupo H de un grupo G se define una relacion

H sobre G por:

x H y si, y solo si, xy1 H.

Esta relacion recien definida es una relacion de equivalencia, esto

es, para todo x, y y z en G se cumple:


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10 1. PRELIMINARES

1. Refleja: x H x.

2. Simetrica: Si x H y, entonces y H x.

3. Transitiva: Si x H y y y H z, entonces x H z.

Denotemos por cl(g) la clase de equivalencia del elemento g, y por

H\G el conjunto de las clases de equivalencia segun H. Notese que:

cl(g) = {x G ; x H g}

= {x G ; xg1 H}

= Hg.

Luego,H\G = {Hg ; g G} .

Analogamente, uno puede definir la relacion (de equivalencia) H por:

x H y si y solo si x1y H.

Es facil ver que la clase de equivalencia de g es el conjunto gH. De-

notaremos por G/H el conjunto de clases de equivalencia segun H.

Luego,

G/H = {gH ; g G} .

El producto de G induce un producto en G/H (respectivamente en

H\G) mediante:

(1.1) (xH)(yH) = xyH (respectivamente (Hx)(Hy) = Hxy).

El siguiente teorema nos dice cuando el producto de (1.1) define

una estructura de grupo en el conjunto cociente G/H.

Teorema 1.6. El conjunto G/H con el producto definido en (1.1)tiene una estructura de grupo (grupo cociente) si, y solo si, gH = Hg,

para todo g G. Notese que el elemento neutro del grupo G/H es H y

el inverso de gH es g1H.

Corolario 1.7. Para todo subgrupo H de un grupo conmutativo G,

el conjunto G/H tiene estructura de grupo.


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1.2. ANILLOS Y CUERPOS 11

Ejemplo 1.10. Sea nZ el subgrupo de Z constituido por los enteros

multiplos de n. Tenemos que el grupo cociente Z/nZ esta constituido

por los elementos:

nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n 1) + nZ.

Ejemplo 1.11. R/Z = {cl(x) ; 0 x < 1}.

Ejemplo 1.12. Tomemos el subgrupo H de Sn definido en el Ejem-

plo 1.9 y denotemos (i, j) la funcion de Sn que enva k en k, para todo

k= i, j y i j, j i. Tenemos,Sn/H = {H, (1, n)H, (2, n)H , . . . , (n 1, n)H}.

En general, Sn/H no es un grupo.

1.2. Anillos y Cuerpos

Definicion 1.8. Un anillo (con unidad) es un conjunto no vaco

A provisto de dos operaciones, + (suma) y (producto), tales que:

1. A con la operacion + es un grupo conmutativo.2. A con la operacion es un monoide, es decir:

a) Para todo a, b y c se tiene (a b) c = a (b c).

b) EnA existe un elemento unidad1, tal que1a = a1 = a,

para todo a A.

3. Para todo a, b y c se tiene las distributividades:

a (b + c) = a b + a c, (b + c) a = b a + c a.

El anillo se dice conmutativo si la operacion es conmutativa.

Ejemplo 1.13. Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C con las

operaciones usuales de suma y producto son anillos conmutativos.

Ejemplo 1.14. Zn es un anillo conmutativo con la suma y producto

modulo n.


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12 1. PRELIMINARES

Ejemplo 1.15. (Polinomios sobre un anillo conmutativo) Sea A

un anillo conmutativo. Denotaremos por A[x] al conjunto de las expre-

siones (polinomios) de la forma:

a0 + a1x + + anxn,

donde ai A, y n N.

Dos polinomios en A[x] son iguales si, y solo si, sus respectivos

coeficientes lo son. En A[x] introducimos la suma y producto como

sigue. Sean

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 +

y

q(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x

3 +

definimos:

p(x) + q(x) := (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 +

y

p(x)q(x) := c0 + c1x + c2x2 + c3x

3 + ,

donde ci = r+s=i arbs.Con estas operaciones A[x] tiene una estructura de anillo conmu-

tativo con unidad. Ver Apendice B para detalles.

Ejemplo 1.16. Sea A un anillo, y X un conjunto no vaco. El

conjunto F(X, A) hereda la estructura de anilllo de A:

[ +](a) := (a) + (a), [ ](a) := (a) (a),

donde , F(X, A), y a A.

Ejemplo 1.17. Sea A un grupo conmutativo, con operacion deno-

tada por +. El conjunto End(A) formado por todas las funciones de A

en A tiene una estructura de anillo con las siguientes operaciones:

[ +](a) := (a) + (a), [ ](a) := [ ](a),

donde , End(A), y a A.


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1.3. EJERCICIOS 13

Proposicion 1.9. El elemento unidad 1 A es unico. Ademas

para todo a, b A tenemos:

1. a 0 = 0.

2. (1) a = a.

3. (a) = a.

4. (a) (b) = a b.

Definicion 1.10. La caracterstica del anil lo A, denotada car(A),

es el menor entero positivo n tal que n 1 = 0. Si tal entero no existe

se dice que la caracterstica del anillo es 0.

Ejemplo 1.18. car(Z) = 0 y car(Zn) = n.

Definicion 1.11. Un anillo K se dice que es un cuerpo si 0 = 1

y el conjunto K, de los elementos diferentes de 0, forman un grupo

conmutativo respecto al producto.

Ejemplo 1.19. Los anillos Q, R y C son cuerpos.

Ejemplo 1.20. El anillo Zn es un cuerpo si, y solo si, n = p es un

numero primo. En este caso denotamos el cuerpo finito con p elementos

por Fp.

Observacion 1.12. La caracterstica de un cuerpo es 0, o bien un

numero primo. Notese que:

car(Q) = car(R) = car(C) = 0 y car(Fp) = p.

1.3. Ejercicios

Ejercicio 1.1. Demuestre que en un grupo G el neutro es unico, y

que el inverso de un elemento g G esta unicamente determinado por

g.

Ejercicio 1.2. Hacer la tabla de operaciones del grupo S3 Z3.

Ejercicio 1.3. Demuestre la Proposicion 1.3.


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14 1. PRELIMINARES

Ejercicio 1.4. Demuestre que el conjunto nZ de los multiplos de

n es un subgrupo de Z.

Ejercicio 1.5. Demuestre que si H es un subgrupo de G, entonces

el neutro de G pertenece a H.


Ejercicio 1.7. Sean a, a1, , an numeros reales. Encuentre las

condiciones necesarias y suficientes sobre a, para que H sea un subgrupo

de Rn, donde:

H =

(x1, . . . , xn) Rn ;

ni=1

aixi = a

.

Ejercicio 1.8. Sea X un conjunto finito. Demuestre que el subcon-

junto de F(X,R) constituido por las funciones de suma nula constitu-

yen un subgrupo del grupo F(X,R). Una funcion f se dice de suma

nula si

xXf(x) = 0.

Ejercicio 1.9. Explicite la tabla de operacion de los elementos del

grupo cociente Z8/H, donde

H = {0, 4}.

Ejercicio 1.10. Describir un sistema de representantes de: R/Z,

Q/Z y R/Q.

Ejercicio 1.11. Determine un sistema de representantes del grupo

cociente G/H, donde G = Q

y H es el subgrupo {1, 1}.

Ejercicio 1.12. Determine un sistema de representantes del grupo

cociente G/H, donde G es el grupo (R2, +) y

H = {(x, y) R2 ; y = x}.

Ejercicio 1.13. Describir el conjunto G\H en el Ejemplo 1.9.


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1.3. EJERCICIOS 15


Ejercicio 1.15. Un elemento a en un anillo A se dice invertiblesi existe un elemento b A, tal que ab = ba = 1. Demuestre que b

esta unicamente determinado por a. As, uno denota a1 al elemento

b.

Sea U(A) el conjunto constituido por los elementos invertibles de

A. Demuestre que U(A) es un grupo con la operacion producto.

Ejercicio 1.16. Determine U(A), para A = Z, Zn y A = K un

cuerpo cualquiera.

Ejercicio 1.17. Determine U(A[x]).

Ejercicio 1.18. Denotemos por An[x] el subconjunto de A[x] cons-

tituido por el polinomio nulo y los polinomios de grado a lo mas n. Es

decir,

An[x] = {a0 + a1x + + anxn ; a0, a1 . . . , an A}.

Demuestre que con la suma inducida de A[x] el conjunto An[x] es un

grupo conmutativo.

Ejercicio 1.19. Demuestre que el conjunto de los polinomios con

termino constante nulo son un subgrupo de An[x].

Ejercicio 1.20. Demuestre que si a, b son elementos en un cuerpo

K tales que ab = 0, entonces se debe tener a = 0 o b = 0.

Ejercicio 1.21. Explicite las tablas de suma y producto del cuerpo

F5.


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CAPTULO 2

MATRICES

2.1. Estructura algebraica de las Matrices

En todo el presente captulo, A denota un anillo conmutativo.

Definicion 2.1. Una matriz de tamano n m con entradas en A,

es un arreglo rectangular M de n filas y m columnas de elementos de

A,

M =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n...

......

...

an1 an2 anm

, (aij A).

En el caso n = m diremos que la matriz es cuadrada de tamano n.

Para simplificar denotaremos por (aij) la matriz M. As, el elemento

aij esta en la posicion (i, j), es decir, en la iesima fila y j-esima columna

del arreglo M.

Dos matrices (aij) y (bij) son iguales si, y solo si, para todo i, j se

tiene aij = bij.

Denotaremos por Mnm(A) al conjunto formado por todas las ma-

trices de n m con entradas en A, y por Mm(A) al conjunto de las

matrices cuadradas de tamano n.

Definicion 2.2. Sean M = (aij) y N = (bij) dos matrices en

Mnm(A), definimos la suma M + N de las matrices M y N como la

matriz que tiene en la posicion (i, j) el elemento aij + bij. As,

M + N = (aij + bij) .

La suma de matrices es claramente asociativa.

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18 2. MATRICES

La matriz nula es aquella que tiene todas sus entradas igual a 0 A.

Denotaremos otra vez por 0 a la matriz nula. Notese que para toda

matriz M = (aij), se tiene:

1. M + 0 = 0 + M = M.

2. M M = M + M = 0,

donde M denota la matriz (aij); y como es usual, M N denota la

suma M + (N).

Proposicion 2.3. El conjunto Mnm(A) con la suma de matrices

es un grupo conmutativo.

Definicion 2.4. Sean M = (aij) Mnk(A) y N = (bij)

Mkm(A). El producto MN de las matrices M con N, en ese orden,

es la matriz P = (cij) Mnm(A), cuyas entradas son:

cij :=

kr=1

airbrj.

Notese que el producto MN esta definido solamente cuando el

numero de columnas de M es igual al numero de filas de N. Luego,dos matrices de Mnm(A) se pueden multiplicar si, y solo si, n = m.

Proposicion 2.5. El producto de matrices enMn(A) es asociativo.

Demostracion. Sean M = (aij), N = (bij), R = (cij) Mn(A).

El elemento en la (i, j)posicion del producto M (NS) es

n

r=1 airn

s=1 brscsj =n

r=1n

s=1 air(brscsj)=

nr=1

ns=1

(airbrs) csj

=

nr=1

n

s=1

airbrs

csj

De donde se sigue que M (NS) = (MN) S.


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2.1. ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LAS MATRICES 19

El neutro multiplicativo de Mn(A) es la matriz In (matriz identi-

dad),

In :=

1 0 0

0 1 0...

.... . .

...

0 0 1

.

Ademas, tenemos distributividad del producto de matrices respecto a

la suma de matrices, es decir, para todo M, R y S Mn(A) tenemos:

M(R + S) = MR + MS, (R + S)M = RM + MS.

Resumiendo tenemos el siguiente teorema.

Teorema 2.6. Mn(A) es un anillo. Ademas, es un anillo conmu-

tativo si, y solo si n = 1.

Ahora, dado un elemento a A, y una matriz M = (aij)

Mnm(A), definimos el producto aM como la matriz aM := (aaij)

Mnm(A). Dado que A es un anillo conmutativo, la definicion del pro-

ducto Ma corresponde a aM.

Proposicion 2.7. Para todo M, N Mnm(A) y a, b A, se

tiene:

1. (a + b)M = aM + bM.

2. a(M + N) = aM + aN.

3. a(MN) = (aM)N = M(aN).

De acuerdo al Ejercicio 1.15, el conjunto de elementos invertibles

de Mn(A) constituyen un grupo. Este grupo se denota por GLn(A), y

se llama Grupo General Lineal sobre A. Es decir,

GLn(A) := {P Mn(A) ; P es invertible} .

Interesante es poder caracterizar los elementos de GLn(A), o mas

aun, dada una matriz invertible P, poder calcular P1. Para esto es

necesario introducir el concepto de determinante de una matriz. Con

este objetivo, estudiemos brevemente el grupo GL2(A).


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20 2. MATRICES

Sea M = a b

c d GL2(A). Pongamos M1 =

x y

z w,

luego la relacion M1M = I2 implica el siguiente sistema de ecuaciones:

ax + bz= 1

cx + dz= 0

ay + bw = 0

cy + dw = 1

De las ecuaciones primera y segunda obtenemos (ad bc)x = d, y de

las ecuaciones tercera y cuarta (ad bc)y = b. Luego, si ad bc es

un elemento invertible de A, obtenemos:

x = (ad bc)1d y y = (ad bc)1b.

Luego,

w = (ad bc)1a y z= (ad bc)1c.

Por lo tanto, el elemento M GL2(A) queda caracterizado por el

elemento ad bc A, este elemento se llama el determinante de la

matriz M, y lo denotaremos por det(M),

(2.1) det(M) := ad bc.

Resumiendo tenemos:

Proposicion 2.8. El grupo GL2(A) puede ser descrito como,

GL2(A) = {M M2(A) ; det(M) es invertible en A} .

Ademas, para M =

a b

c d

GL2(A), tenemos

(2.2) M1 = det(M)1 d b

c a

.

Ejemplo 2.1. Los elementos invertibles en el anillo Z son 1 y 1.

Luego

GL2(Z) =

a b

c d

M2(Z) ; ad bc es igual a 1 o 1

.


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2.2. DETERMINANTE Y ADJUNTA 21

Ejemplo 2.2. En R todo elemento diferente de 0 es invertible,

luego

GL2(R) =

a b

c d

M2(R) ; ad bc = 0

.

En orden a generalizar la Proposicion 2.8 y la f ormula (2.2), in-

troduciremos en la siguiente seccion los conceptos de determinante y

adjunta de una matriz.

2.2. Determinante y Adjunta

Para M = (aij) Mn(A), denotaremos por Mij la matriz enMn1(A) que se obtiene al omitir la i-esima fila y j-esima columna

de la matriz M.

Definicion 2.9. El determinantedet(M) de una matriz de tamano

n se define del siguiente modo: Para M = (a) de tamano 1, ponemos

det(M) := a. Para M = (aij) de tamano mayor que 1 definimos,

inductivamente, el determinante de M por:

det(M) :=

nj=1

a1j(1)1+jdet(M1,j).

Ejemplo 2.3. Sea M =

a b

c d

.

Tenemos M11 = (d) y M12 = (c). Luego

det(M) = a det(M11) b det(M12) = ad bc.

Cf. 2.1.

Ejemplo 2.4. Sea M = (aij) tal que aij = 0, si i < j (una tal

matriz se llama triangular inferior, ver Seccion 4). Tenemos

det(M) = a11a22 ann.

El siguiente teorema dice que el desarrollo del determinante puede

ser realizado desde cualquier fila o columna.


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22 2. MATRICES

Teorema 2.10. Para toda matriz M = (aij) y todo i, j tenemos

det(M) =n

r=1

air(1)i+rdet(Mi,r) =

ns=1

asj(1)j+sdet(Ms,j).

Demostracion. PENDIENTE

Proposicion 2.11. Si la matriz M es obtenida a partir de mul-

tiplicar una fila (o columna) de la matriz M por a A, entonces

det(M) = adet(M).

Demostracion.

Sea M

la matriz obtenida a partir de multiplicar,por a A, la i-esima fila de la matriz M = (aij). Entonces, desarro-

llando el determinante a partir de la i-esima fila de M, se obtiene:

det(M) =

nr=1

aair(1)i+rdet(Mi,r)

= a

nr=1

air(1)i+rdet(Mi,r)

= a det(M).

La ultima igualdad resulta del hecho que Mi,r = Mi,r.

Proposicion 2.12. Si la matriz M es obtenida a partir de permu-

tar un par de filas (o columnas) de la matriz M, entonces det(M) =

det(M).

Demostracion. La demostracion resulta por induccion sobre el

tamano de la matriz. Sea M M2(A) y M es la matriz que resulta

de permutar la fila 1 con la fila 2, entonces es claro que det (M

) =det(M). Sea M = (aij) una matriz de tamano n, con n > 2 y sea M

la matriz que resulta de permutar las filas i con j en M. Desarrollemos

el determinante de M por una fila k, con k= i, j. Luego,

det(M) =n

r=1

akr(1)k+rdet(Mk,r).


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Notese ahora que Mk,r es la matriz de tamano n 1 que se obtiene

permutando las filas i con j en la matriz Mk,r. Luego, de la hipotesis

de induccion det(Mk,r) = det(Mk,r). Por lo tanto

det(M) = n

r=1

akr(1)k+rdet(Mk,r) = det(M).

Proposicion 2.13. Si la matriz M tiene dos filas (o columnas)

proporcionales, entoncesdet(M) = 0.

Demostracion. Usamos otra vez induccion sobre el tamano de la

matriz. Si M M2(A) tiene dos filas proporcionales, entonces un calcu-

lo directo muestra que det(M) = 0. Sea n > 2 y M = (aij) Mm(A)

cuya fila i es proporcional con la fila j. Desarrollando el determi-nante de M por la fila k, con k = i, j, tenemos que en la suman

r=1 akr(1)k+rdet(Mk,r) las matrices Mk,r son de tamano n 1 y

tienen la fila i proporcional con la fila j. Luego, usando la hipotesis

de induccion, se sigue que det(Mk,r) = 0, para todo r. Por lo tanto

det(M) = 0.

Proposicion 2.14. Si M es una matriz obtenida de sumar los

elementos de una fila (o columna) con los respectivos elementos de unafila (o columna) de M ponderados por un elemento de A, entonces

det(M) = det(M).

Demostracion. Sea M la matriz que se obtiene de sumar a las

entradas de la fila i, las respectivas entradas de la fila j de M = (aij)


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24 2. MATRICES

ponderadas por a A. Desarrollando det(M) por la i-esima fila, te-

nemos:

det(M) =n

r=1

(air + aajr)(1)i+rdet(Mi,r)

=

nr=1

(air + aajr)(1)i+rdet(Mi,r), (M

i,r = Mi,r)

=

nr=1

air(1)i+rdet(Mi,r) +

nr=1

aajr(1)i+rdet(Mi,r).

La primera sumatoria, corresponde al determinante de M, y la se-

gunda corresponde al determinante de una matriz que tiene la fila i

proporcional con la fila j. Luego, de la proposicion anterior se sigue

que det(M) = det(M).

Ejemplo 2.5. Calculemos el determinante de la siguiente matriz

M,

M =

2 0 1 4

1 1 2 2

1 1 2 11 1 2 0

Desarrollando det(M) por la primera fila, tenemos:

det(M) = 2 det

1 2 2

1 2 1

1 2 0

+ det

1 1 2

1 1 1

1 1 0

4 det1 1 2

1 1

21 1 2

Usando la Proposicion 2.13, se sigue que:

det(M) = 2 0 + det

1 1 2

1 1 1

1 1 0

4 0 = det

1 1 2

1 1 1

1 1 0


25/153


Ahora, usando la Proposicion 2.14, se tiene:

det(M) = det

1 1 21 1 11 1 0

= det 1 0 21 0 1

1 2 0

.Luego, desarrollando este ultimo determinate por la segunda columna,

obtenemos:

det(M) = 2

1 2

1 1

= 2(1 2) = 2.

Teorema 2.15. Para todo M, N Mm(A), se tiene:

det(MN) = det(M)det(N).


Corolario 2.16. Si M GLn(A), entonces det(M) es un elemen-

to invertible de A. Ademas, det(M1) = (det(M))1.

Demostracion. Sea M una matriz invertible, entonces existe la

matriz inversa M1 de M; ademas MM1 = In, Luego, usando el

teorema anterior, se obtiene:

1 = det(In) = det(MM1) = det(M)det(M1).

As, det(M) es invertible en A y det(M1) = (det(M))1

Notemos ahora que en cada uno de los n terminos del desarrollo

del determinante aparece solamente una vez el factor aij. Es decir:

det(M)) = aij

(1)i+jdet(Mij)

+ (factores que no contienen aij).

Definicion 2.17. El elemento Mij

:= (1)i+j

det(Mij) de A sellama el cofactor de aij.

Ahora, podemos escribir el determinante de M en termino de los

cofactores como:

det(M) =n

s=1

asjMsj =

nr=1

airMir.


26/153

26 2. MATRICES

En orden a definir la adjunta de una matriz usaremos el concepto

de traspuesta de una matriz.

Definicion 2.18. La traspuesta Mt de una matriz M = (aij)

Mnm(A) es la matriz de Mmn(A), que posee en la posicion (i, j), el

elemento aji.

Es facil ver que:

1. (M + N)t = Mt + Nt.

2. (aM)t = aMt, para todo a A.

Proposicion 2.19. Para todo M y N tales que el producto MNesta definido, se tiene

(MN)t = NtMt.

En particular se deduce que (M1)t = (Mt)1, para toda matriz inver-

tible M.


Teorema 2.20. Para toda matriz M de tamano n, se tiene:

det(M) = det(Mt).

Definicion 2.21. La adjunta adj(M) de la matriz M es la matriz

traspuesta de la matriz

Mij

. Es decir,

adj (M) :=

Mijt

.

Usando los lemas ?? y ?? (PENDIENTES) se obtiene el siguiente

teorema.

Teorema 2.22. Para toda matriz M Mm(A), se tiene

M adj(M) = adj(M) M = det(M)In.

Corolario 2.23. Sidet(M) es un elemento invertible en A, enton-

ces M es invertible. Ademas,

M1 = det(M)1 adj(M).


27/153


Demostracion. Multiplicando por det(M)1 la segunda igualdad

del teorema anterior, obtenemos:

det(M)1adj(M) M = det(M)1det(M)In.

Luego det(M)1adj(M) M = In. Por lo tanto M es invertible y su

inversa esta dada por la expresion del corolario.

Ejemplo 2.6. Calculemos la inversa de la siguiente matriz M de

M3(Q),

M = 1 1 1

2

1 00 1 2

.Tenemos que det(M) = 8, y

adj(M) =

det

1 0

1 2

det

2 0

0 2

det

2 1

0 1

det

1 1

1 2

det

1 1

0 2

det

1 1

0 1

det

1 1

1 0

det

1 1

0 2

det

1 1

2 1

t

=

2 3 1

4 2 2

2 1 3

.

Luego,

M1 = det(M)1adj(M) =

1/4 3/8 1/8

1/2 1/4 1/4

1/4 1/8 3/8

.Los Corolarios 2.23 y 2.16 demuestran el siguiente teorema.

Teorema 2.24. Para todo n 1, se tiene

GLn(A) = {M Mn(A) ; det(M) es invertible en A} .


28/153

28 2. MATRICES

Ejemplo 2.7. Las matrices invertibles de M2(Z) son aquellas de

determinate igual a 1 o 1. As por ejemplo, la matriz M = 1 0

0 3

no es invertible en M2(Z); sin embargo, M es una matriz invertible en

M2(Q).

2.3. Sistemas de Ecuaciones y Forma Normal de Hermite

Todo sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito mediante ma-

trices. De modo preciso, si M = (aij) Mnm(K), X = (xi)

Mm1(K) y B = (bi) Mn1(K), la ecuacion matricial MX = B

corresponde al sistema con m incognitas x1, . . . , xm y las siguientes n

ecuaciones:

a11x1 + + a1mxm = b1

a21x1 + + a2mxm = b2...

......

an1x1 + + anmxm = bn

En consecuencia, nos referiremos a la ecuacion matricial MX = B,como un sistema de ecuaciones lineales. Cuando B = 0, diremos que

el sistema de ecuaciones es homogeneo. Notese que todo sistema de

ecuaciones homogeneo tiene al menos como solucion X = 0.

Proposicion 2.25. Si X0 es una solucion del sistema MX = B,

entonces toda solucion del sistema MX = B es de la forma X0 + Y,

donde Y es una solucion del sistema homogeneo MX = 0.

Demostracion. Sea X0 una solucion del sistema MX = B. Si Y

es una solucion del sistema homogeneo MX = 0, entonces M(X + Y) =

MX + MY = B + 0 = B, es decir, X0 + Y es una solucion del sistema

MX = B. Sea Z cualquier solucion del sistema MX = B. Escribamos

Z = X0 + (Z X0), dado que Z X0 es solucion del sistema homogeneo

MX = 0, la demostracion de la proposicion concluye.


29/153

2.3. SISTEMAS DE ECUACIONES Y FORMA NORMAL DE HERMITE 29

En el caso que la matriz M es invertible podemos despejar X de

MX = B, luego X = M1B. En otros terminos:

X = det(M)1adj(M)B,

de donde obtenemos:

xi = det(M)1

b1M1i + b2M

2i + bnMni

.

Esta ultima expresion puede ser reescrita como:

xi = det(M)1det(i),

donde i es la matriz obtenida de reemplazar la iesima columna de la

matriz M por la columna de la matriz B. Es decir, en el caso que la ma-

triz M es invertible, las incognitas xi pueden ser determinadas usando

el determinante de la matriz M y el determinante de las matrices i.

Este metodo de resolucion del sistema MX = B, se llama metodo de

Cramer.

Ejemplo 2.8. Resolvamos, por el metodo de Cramer, el siguiente

sistema de ecuaciones lineales:

x1 + x2 + x3 = 1 x2 + x3 = 0

x1 + 2x2 x3 = 1

El sistema corresponde a la ecuacion matricial MX = B, con:

M =

1 1 1

0 1 1

1 2 1

, X =

x1

x2

x3

y B =

1

0

1

.

Tenemos:

det(M) = 3, 1 =

1 1 10 1 11 2 1

,

2 =

1 1 1

0 0 1

1 1 1

y 3 =

1 1 1

0 1 0

1 2 1

.


30/153

30 2. MATRICES

Luego como det(1) = 3 y det(2) = det(3) = 0, obtenemos:

x1 = det(M)1det(1) = 1,x2 = det(M)

1det(2) = 0,

x3 = det(M)1det(3) = 0.

Estamos intresados ahora en resolver el sistema MX = B, donde la

matriz M no es invertible, o mas aun, es una matriz que no es cuadrada.

En orden a estudiar la resolubilidad de este sistema de ecuaciones,

notese primero que:

(2.3) MX = B es equivalente al sistema PMX = PB,

para toda matriz invertible P. Luego, multiplicando por matrices P

convenientes (matrices elementales) el sistema MX = B, este sistema

se reduce equivalentemente al estudio del sistema MX = B, donde

ahora la matriz de coeficientes M es cercana a la matriz identidad.

Esto es, M tiene la forma normal de Hermite:

(2.4)

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0

Definicion 2.26. La matriz elemental fila Fi(b) es la matriz que

resulta de multiplicar la iesima fila de la matriz identidad In por un

elemento invertible b A.

La matriz elemental fila Fij es la matriz que resulta de intercambiar

la iesima fila con la j-esima fila en la matriz In.

La matriz elemental fila Fij(a) es la matriz que resulta de multi-

plicar los elementos de la fila j de In por a A y sumarlos con los

correspondientes elementos de la fila i de In.


31/153


Tenemos los conceptos analogos de matrices elementales columnas:

Ci(a), Cij y Cij(a). Es claro que Ci(b) = Fi(b), Cij = Fij y Cij(a) =

Fji(a).

Ejemplo 2.9.

F13 = C13 =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

, F2(1) = C2(1) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

F13(2) =

1 0 2

0 1 0

0 0 1

, C13(2) = 1 0 0

0 0 0

2 0 1

.Las matrices elementales son invertibles, y sus inversas son tambien

matrices elementales.

Proposicion 2.27. Para todo a, b A con b invertible, se tiene:

1. F1ij = Fij.

2. Fi(b)1 = Fi(b

1).

3. Fij(a)1 = Fij(a).

Demostracion. Queda de ejercicio.

El efecto de multiplicar una matriz M por la izquierda, por una

matriz elemental fila, se llama operacion fila sobre la matriz M. Mas

precisamente, los tres tipos de operaciones filas se comportan del si-

guiente modo:

1. La matriz FijM es la matriz que resulta de intercambiar las

filas i y j en la matriz M.

2. La matriz Fi(b)M es la matriz que resulta de multiplicar la

fila i de la matriz M por b.

3. La matriz Fij(a)M es la matriz que resulta de sumar a los

elementos de la fila i, los elementos de la fila j multiplicados

por a.


32/153

32 2. MATRICES

Analogamente, el efecto de multiplicar una matriz M por la derecha,

por una matriz elemental columna, se llama operacion columna sobre

la matriz M.

La notacion ME

N significa que la matriz N fue obtenida desdela matriz M, despues de haber realizado la operacion elemental (fila o

columna) correspondiente a la matriz elemental E.

Ejemplo 2.10.

M =

1 1 1

2 2 3

1 2 1

F21(1)

1 1 2

3 3 4

1 2 1

C23

1 2 1

3 4 3

1 1 2

.

Teorema 2.28. Sea K es un cuerpo. Tenemos que M GLn(K)

si, y solo siM es un producto de matrices elementales fila (o columna).

Demostracion. Si M es un producto de matrices elementales,

entonces M es invertible dado que las matrices elementales son inverti-

bles. Recprocamente, si M = (aij) es invertible, se debe tener que una

entrada de la primera columna de M es invertible. Luego, podemos

intercambiar las filas de modo que en la posicion (1, 1) aparezca un

elemento invertible b. Enseguida podemos multiplicar la primera fila

por b1, y dejamos as en la posicion (1, 1) el elemento 1. Sobre esta

matriz realizamos las operaciones filas determinadas por las matrices

elementales Fi1(ai1), para todo i 2. Obtenemos luego una matriz

invertible cuya primera columna es la primera columna de la matriz

identidad. En la segunda columna de esta matriz (invertible) se tiene

que alguna entrada en la posicion (i, 2) con i 2 es diferente de 0.

Repitiendo el proceso anterior, vemos que podemos obtener, median-te operaciones elementales filas, una matriz invertible cuya segunda

columna es la segunda columna de la matriz identidad. Procediendo

sucesivamente de este modo, obtemos despues de una sucesion finita

de operaciones elementales filas la matriz identidad In:

ME1

E1M E2 Em In.


33/153


Es decir,

(2.5) EmEm1 E1M = In.

Luego M = E11 E12 E

1m . Es decir, M es un producto de matrices

elementales.

Notese que la demostracion del teorema anterior provee un meto-

do para calcular la inversa de una matriz. En efecto, conservando las

notaciones del teorema la relacion (2.5) nos dice:

M1 = EmEm1 E1.

Ejemplo 2.11. Sea M GLn(Q) la matriz del Ejemplo 2.10,

tenemos:

MF21(2)

1 1 1

0 0 1

1 2 1

F31(1)

1 1 1

0 0 1

0 1 0

F23

1 1 1

0 1 0

0 0 1

F12(1)

1 0 1

0 1 0

0 0 1

F13(1)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

Por lo tanto:

M1 = F13(1)F12(1)F23F31(1)F21(2) =

4 1 1

1 0 1

2 1 0

.

A veces, por razones practicas, es conveniente ir realizando inme-

diatamente el producto de las matrices elementales de (2.5). Para esto

procedemos como sigue: primero formamos la matriz (M|In) y realiza-

mos operaciones filas sobre esta matriz, de modo de alcanzar la matriz

identidad en el primer bloque. Luego, la matriz obtenida en el segundo

bloque es justamente la inversa de M. As, para la matriz del ejemplo


34/153

34 2. MATRICES

anterior tenemos:

(M|I3)F21(2)

1 1 10 0 11 2 1

1 0 0

2 1 0

0 0 1

F31(1)

1 1 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

2 1 0

1 0 1

F23

1 1 1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 0 1

2 1 0

F12(1)

1 0 1

0 1 00 0 1

2 0 1

1 0 12 1 0

F13(1) 1 0 0

0 1 00 0 1

4 1 1

1 0 12 1 0

Por lo tanto:

M1 =

4 1 1

1 0 1

2 1 0

.

La siguiente definicion formaliza la nocion anunciada en (2.4), de

forma normal de Hermite de una matriz.

Definicion 2.29. Sean M Mnm(K) y r un entero tal que 0

r n. Diremos que M tiene la rforma normal de Hermite (o tiene la

forma escalonada reducida por fila) si se cumple:

1. Existe un elemento no nulo en cada una de las primeras r filas

de M. Los elementos en las filas restantes son todos 0.

2. El primer elemento no nulo que aparece en la fila i (i r) y

columna ci es igual a 1. Ademas, debe tenerse c1 < < cr.

3. Las columnas ci son columnas de la matriz identidad Im.

Teorema 2.30. Para toda matriz M Mnm(K), existe una ma-

triz invertible P de tamano n, tal que PM tiene la rforma normal de

Hermite. Ademas, la forma de Hermite esta unicamente determinada

por la matriz M, es decir, si existe otra matriz invertible P tal que

tambien PM tiene la forma normal de Hermite, entonces PM = PM.


35/153


Demostracion. Si la matriz M es nula, ella tiene la 0forma nor-

mal de Hermite. Supongamos que M no es nula, y que la primera

columna no nula de M es la jesima columna. Sea (i, j) la posicion de

la pimera entrada de M que no es nula. Entonces, procediendo como

en la demostracion del Teorema 2.28 sobre la posicion (i, j), podemos

obtener una matriz EM que tiene como jesima columna la primera

columna de la matriz identidad In (en efecto, E es el producto de las

matrices elementales usadas para obtener EM). Procedemos de este

modo con la siguiente columna no nula de EM, y as sucesivamente,

hasta obtener una matriz PM que tiene la forma normal de Hermi-

te.

La unicidad de la forma normal de Hermite permite definir el con-

cepto de rango de una matriz.

Definicion 2.31. Sea M una matriz tal que PM tiene la r-forma

de Hermite. El numero r se llama el rango de M, y sera denotado por

rg(M).

Ejemplo 2.12. Para M :=

0 1 1 1

0 2 0 0

0 0 3 3

determinemossu forma de normal de Hermite, y la matriz P anunciada en el teorema

anterior. Tenemos:

0 1 1 1

0 2 0 0

0 0 3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F2(1/2)

0 1 1 10 1 0 00 0 3 3

1 0 00 1/2 0

0 0 1

F12

0 1 0 0

0 1 1 1

0 0 3 3

0 1/2 0

1 0 0

0 0 1

F21(1)


36/153

36 2. MATRICES

0 1 0 0

0 0 1 10 0 3 3

0 1/2 0

1 1/2 00 0 1

F32(3)

0 1 0 0

0 0 1 10 0 0 0

0 1/2 0

1 1/2 03 3/2 1

F2(1)

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

0 1/2 0

1 1/2 0

3 3/2 1

.

Tenemos entonces que P =

0 1/2 0

1 1/2 0

3 3/2 1

, y

(2.6) PM =

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

.

Notese que rg(M) = 2.

Corolario 2.32. Para toda matrizM Mnm(K) de rango r, exis-

ten matrices invertibles P y Q de tamano es n y m, respectivamente,

tales que PMQ tiene la forma:Ir 0

0 0

.


Ejemplo 2.13. Ejemplifiquemos el Corolario 2.32 para la matriz

M del ejemplo anterior. De acuerdo a (2.6) solo resta determinar la

matriz Q. Tenemos:

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C43(1)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

C12

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1


37/153


C23

1 0 0 0

0 1 0 00 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 1

.

Luego tomando Q =

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 1

, tenemos:

PMQ =

I2 0

0 0

.

Volvamos a la resolucion del sistema MX = B. Usando el Teorema

2.30 existe una matriz invertible P tal que M := PM tiene la for-

ma normal de Hermite. De acuerdo a lo senalado en (2.3) el sistema

MX = B es equivalente al sistema MX = PB. Ahora, el estudio de este

ultimo sistema es sencillo, y toda la informacion de resoluvilidad viene

dada por los rangos de las matrices M y (M|PB). Mas precisamente,

tenemos el siguiente teorema.

Teorema 2.33. Sean M una matriz de n m, y B una matriz

de tamano m 1. Para el sistema de ecuaciones lineales MX = B

tenemos:

1. El sistema no tiene solucion si, y solo si, rg(M|B) > rg(M).

2. El sistema tiene solucion unica si, y solo si, rg(M|B) = rg(M) =

m.

3. El sistema tiene infinitas soluciones si, y solo si, rg(M|B) =

rg(M) < m. En este caso el sistema tiene mrg(M) variables

independientes.


38/153

38 2. MATRICES

Ejemplo 2.14. Analicemos el sistema MX = B, donde:

M =

1 1 0

2 3

1 1

1 1 0

, B =

0

(1 )

.

Formemos la matriz ampliada (M|B), y luego llevemosla a la forma

normal de Hermite. Tenemos:

(M|B)F31(1)

1 1 0

2 3

0 0

1 1 0

0

(1 )

F41(1)

1 1 0

2 3

0 0

0 0 0

0

(1 )

F21(2)

1 1 0

0 1

0 0

0 0 0

0

(1 )

F12(1)

1 0

0 1

0 0

0 0 0

(1 )

F13(1)

1 0 0

0 1

0 0

0 0 0

0

(1 )

F23(1)

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0 0

0

0

(1 )

:= (M|B).

Luego, la forma normal de Hermite de la matriz M es la matriz M.

Por lo tanto, el rango de M depende del valor que tome . Tenemos

dos casos: (i) Si = 0, entonces rg(M) = 2, (ii) Si = 0, entonces

rg(M) = 3. Mas precisamente,


39/153


(i) En el caso que = 0, es decir rg(M) = 2, tenemos:

(M|B) =

1 0 00 1 0

0 0 0

0 0 0

00

0

.

En el caso de = 0 tenemos rg(M|B) = 3. Por lo tanto, de acuerdo

al teorema, se sigue que el sistema MX = B no tiene solucion.

En el caso = 0 se tiene rg(M|B) = rg(M) = 2 < 3. Por lo

tanto, el sistema tiene infinitas soluciones. Ahora, el sistema MX = B

es equivalente al sistema:

1 0 0

0 1 0

0 0 0

0 0 0

x

y

z

=

0

0

0

0

.

Luego, las soluciones del sistema son los elementos del siguiente con-

junto.

{(x,y,z) ; x = 0, y = 0, z R}.

(ii) Supongamos que = 0. Luego rg(M) = 3. Tenemos,

(M|B)F3(

1)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

(1 )

.

En el caso = 1 tenemos rg(M|B) = 4 > rg(M) = 3. Luego, en

este caso, el sistema no tiene solucion.En el caso = 1, tenemos:

(M|B)F3(

1)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

0

.


40/153

40 2. MATRICES

De donde rg(M|B) = rg(M) = 3; luego, el sistema tiene solucion unica:

(0,0,1).

2.4. Nociones Complementarias

Los conceptos de traza de una matriz y similaridad de matrices,

tomaran importancia en los captulos posteriores.

Definicion 2.34. Definimos la traza, tr(M), de la matriz M =

(aij) Mn(A), como

tr(M) := a11 + a22 + + ann A.

Definicion 2.35. Sean M y N Mn(A), se dice que M es similar

conN si existe una matriz invertible P Mn(A) tal que

N = P1MP.

Proposicion 2.36. Para matrices M, N Mn(K) y A, se

tiene:

1. tr(M + N) = tr(M) + tr(N)

2. tr(M) = tr(M)

3. tr(MN) = tr(NM).

Demostracion. La demostracion de las primeras dos afirmaciones

quedan de ejercicio.

Para demostrar la tercera afirmacion, pongamos M = (aij) y N =

(bij), entonces:

tr(MN) =

n

i=1

n

j=1

aij

bji =

n

j=1

n

i=1

bji

aij =

tr(NM).

Proposicion 2.37. Si M y N son matrices similares, entonces:

1. tr(N) = tr(M)

2. det(N) = det(M).


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2.5. EJERCICIOS 41

Demostracion. Como M y N son matrices similares, existe una

matriz invertible P tal que N = P1MP. Luego, usando la afirma-

cion 3 de la Proposicion 2.36, se sigue que tr(N) = tr(P1MP) =

tr(PP1M) = tr(M).

La demostracion de segunda afirmacion sigue de modo analogo,

pero considerando ahora el Teorema 2.15.

Para finalizar el captulo, definiremos algunas matrices especiales.

Sea M = (aij) Mn(A), entonces:

M se dice que es una matriz triangular superior (respectiva-

mente inferior) si

aij = 0, para todo i > j (respectivamente i < j)

M se dice matriz diagonal si aij = 0, si i = j

M se dice matriz simetrica si M = Mt

M se dice matriz antisimetrica si M = Mt. Notese que si

car(A) = 2, entonces el concepto de matriz antisimetrica coin-

cide con el concepto de matriz simetrica.

M se dice matriz ortogonal si MMt

= Mt

M = InM se dice matriz idempotente si Mk = M, para algun k > 1

M se dice matriz nilpotente si Mk = 0, para algun k > 1

M Mn(C) se dice matriz hermitiana si M = Mt, donde M

denota la matriz conjugada de M, es decir,

M = (aij),

donde aij denota el conjugado del complejo aij.

2.5. Ejercicios

Ejercicio 2.1. Sea A el anillo Z4 = {0,1,2,3}, y considere las si-

guientes matrices M y N en M2(A):

M =

1 1

0 3

, y N =

1 1

1 2

.


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42 2. MATRICES

Resuelva, en M2(A), la siguiente ecuacion:

MtXN + M = 0.

Ejercicio 2.2. Resuelva, en M2(Z), la siguiente ecuacion:

MX + Xdet(M)M + MNX = NMX + I2,

donde N = Mt, y M =

0 1

1 0

.

Ejercicio 2.3. Sea A un anillo tal que car(A) = 2. Demuestre:

1. La unica matriz que es simetrica y antisimetrica a la vez, es lamatriz nula.

2. Toda matriz se puede escribir como una suma de una matriz

simetrica con una matriz antisimetrica.

Ejercicio 2.4. Escriba la inversa de M como un producto de ma-

trices elementales,

M =

0 1 0 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

.

Ejercicio 2.5. Para M, N matrices cuadradas se define el conmu-

tador [M, N] de M con N, por:

[M, N] := MN NM.

1. Demuestre que si M es simetrica y N es antisimetrica, entonces

[M, N] es simetrica.

2. Resuelva en M2(C) la ecuacion:

[M, N] X + X [M, N]t = [M, N],

donde M =

0 1

1 0

, N =

1 1

0 1

.

Ejercicio 2.6. Determine todos los elementos de M2(F2) y GL2(F2).


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2.5. EJERCICIOS 43

Ejercicio 2.7. Demuestre que SLn(A) es un subgrupo de GLn(A),

SLn(A) := {M GLn(A) ; det(M) = 1} .

Ejercicio 2.8. Demuestre que la matriz M M3(R[x]) es inverti-

ble. Calcular M1.

M =

1 x 1

0 x2 + 1 x2

1 x + 1 2

.

Ejercicio 2.9. Demuestre por induccion que det(M) = 2n1, donde

M es la siguiente matriz de Mm(K),

1 1 1 . . . 1 1

1 1 1 . . . 1 1

0 1 1 . . . 1 1...

......

......

0 0 0 . . . 1 1

.

Ejercicio 2.10. Calcular el determinante de la siguinete matriz:

M =

1 a1 a21 a

n11

1 a2 a22 a

n12

1 an a2n a

n1n

.

El determinante det(M), se llama determinante de Vandermonde.

Ejercicio 2.11. Demuestre que det(adj(M)) = det(M)n1, para

toda matriz M de tamano n.

Ejercicio 2.12. Demuestre que rg(M) = rg(Mt), para toda matriz

M.


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44 2. MATRICES

Ejercicio 2.13. Sea M=

1 1 1 1

0 1 0 12 3 2 3

. Hallar matrices in-

vertibles P y Q tales que PMQ tenga la forma:Ir 0

0 0

,

donde r = rg(M).

Ejercicio 2.14. Determine matrices invertibles P y Q de modo

que:

P

0 1 0 11 1 1 11 2 1 3

Q = 1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

.Ejercicio 2.15. Determine todas las soluciones del sistema MX =

B si se sabe que (1, 0, 1) es una solucion, y

M =

1 0 1

0 1 1

1 1 2

.

Ejercicio 2.16. Hallar las condiciones sobre a, b y c para que el

sistema:

1 a a2

1 b b2

1 c c2

x

y

z

=

1

0

0

,

tenga una unica solucion. Determine en este caso la solucion. Cf. Ejer-

cicio 2.10.

Ejercicio 2.17. Estudie la solubilidad del sistema MX = B, donde

M =

0 0

0 1 0

1 1

1 0 0

, X =

x

y

z

y B =

+

0

0

.

Cuando corresponda determine la(s) solucion (es).


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2.5. EJERCICIOS 45

Ejercicio 2.18. Analizar la resolucion del sistema:

x +y + z+ (+ )w = 2y + z+ w =

x + z+ w = 2

Ejercicio 2.19. Decida si son verdaderas o falsas las siguientes

afirmaciones:

1. M2 N2 = (M N)(M + N), para todo M, N Mm(A)

2. Si M y N matrices cuadradas de igual tamano, entonces

(M + N)2 = M2 + 2MN + N2.

3. SI M y N son matrices en GLn(K), entonces:

det(M + N) = det(M) + det(N).

4. Si M y N son matrices invertibles de igual tamano, entonces

(MN)1 = M1N1.

5. Si M y N son matrices invertibles, entonces M + N es inver-

tible.

6. Si M y N son matrices equivalentes por fila, entonces los sis-

temas MX = R, NX = S tienen el mismo conjunto solucion.

7. Si M y N son matrices equivalentes por columna, entonces los

sistemas MX = R, NX = S tienen el mismo conjunto solucion.


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CAPTULO 3

ESPACIOS VECTORIALES

En todo lo que sigue K denota un cuerpo. Tpicamente tomaremos

como K el cuerpo de numero complejos C, el cuerpo de numeros reales

R, el cuerpo de numeros racionales Q, o el cuerpo finito con p elementos

Fp

.

3.1. Espacios y subespacios vectoriales

Definicion 3.1. Sea (V, +) un grupo conmutativo y K un cuerpo.

Diremos queV es unKespacio vectorial si existe una funcion deKV

en V, (, v) v, tal que para todo u, v V y para todo , K secumplen los siguientes axiomas:

1. (u+v) = u+ v.

2. (+ )u= u+ u.

3. ()u= (u).

4. 1v = v.

Los elementos de V son llamados vectores, y los de K escalares.

Ejemplo 3.1. Con las operaciones usuales, Kn := K K (n

veces) es un Kespacio vectorial:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) := (x1 +y1, . . . , xn +yn)

(x1, . . . , xn) := (x1, . . . , xn), ( K).

En particular K es un Kespacio vectorial.

Ejemplo 3.2. Sean K y K dos cuerpos tales que K este contenido

en K. Con las operaciones usuales, K es un Kespacio vectorial. Sin

embargo, si K esta contenido propiamente en K, entonces K no es un

Kespacio vectorial.

47


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48 3. ESPACIOS VECTORIALES

Ejemplo 3.3. Con las operaciones usuales el anillo de matrices

Mnm(K) es un Kespacio vectorial.

(aij) + (bij) := (aij + bij)

(aij) := (aij), ( K).

Ejemplo 3.4. Kn[x] es un Kespacio vectorial, donde la suma es

la suma usual de polinomios (ver Ejercicio 1.18) y la ponderacion por

escalares esta por:

(anxn + + a1x + a0) := anx

n + + a1x + a0a,

donde ai, K.

Ejemplo 3.5. El grupo conmutativo F(X, K) es un Kespacio vec-

torial. Recordemos que para f, g F(X, K), la funcion f + g esta defi-

nida por:

(f + g)(x) := f(x) + g(x),

y para K, la funcion f esta definida por:

(f)(x) := f(x).

En adelante V denota un Kespacio vectorial.

Proposicion 3.2. Para todo v V y K, se tiene:

v = 0 si, y solo si = 0 o v = 0.

Demostracion. Si = 0, entonces v = 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v.

Es decir, 0v = 0v + 0v. Sumando el inverso aditivo del vector 0v, se

concluye que 0v = 0. De igual modo, en el caso v = 0 V, tenemos

v = 0 = (0 + 0), luego se obtiene 0 = 0 + 0. Sumando ahora

el inverso aditivo del escalar 0, se concluye que 0 = 0.

Recprocamente, supongamos que K; debemos demostrar que

v = 0. En efeceto, tenemos, v = 1v = (1)v = 1(v) = 10 = 0.


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3.1. ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES 49

Definicion 3.3. SeaU un subconjunto no vaco de V, diremos que

U es un Ksubespacio (o simplemente subespacio) vectorial de V si se

cumple:

1. u+v U, para todo u, v U.

2. u U, para todo u V y K.

Ejemplo 3.6. Evidentemente V y {0} son subespacios vectoriales

de V.

Ejemplo 3.7. En V = K2 consideremos la recta L que pasa por el

origen,L := {(x, y) V; ax + by = 0} , (a, b K).

La recta L es un Ksubespacio vectorial de V. Notese que el subespacio

L se puede escribir tambien como,

L =

(x, y) V;

a b

xy

=

0

0

.

Mas generalmente, sea M una matriz de Mmn(K). El subconjunto U,

definido a continuacion, es un Kespacio vectorial.

U :=

(x1, . . . , xn) Kn ; M

x1...

xn

=

0...

0

.

Es decir, el conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales

homogeneo es un subespacio vectorial.

Ejemplo 3.8. Sea V = Mn(K). Tenemos:

1. El subconjunto de V constituido por las matrices simetricas esun subespacio vectorial.

2. El subconjunto de V constituido por las matrices antisimetri-

cas de V es un subespacio vectorial.

Ejemplo 3.9. Sea V := F(X, K), donde X es un conjunto finito no

vaco. El subconjunto U de V formado por las funciones de suma nula,


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es un subespacio de V.

U = f V; xX

f(x) = 0 .La siguiente proposicion otorga una condicion necesaria que debe

cumplir un subespacio vectorial. Esta condicion es util para demos-

trar que un subconjunto de un espacio vectorial no es un subespacio

vectorial.

Proposicion 3.4. Si U es un subespacio vectorial, entonces el vec-

tor 0 pertenece a U.

Demostracion. Como U es un subconjunto no vaco, existe u

U. Luego, tambien 1 u U. Por lo tanto, 1 u+ u U, es decir

0 U.

Ejemplo 3.10. Sea U =

(x1, . . . , xn) Kn ;n

i=1 x2i = 1

. El sub-

conjunto U no es un subespacio de Kn, pues (0 , . . . , 0) U.

Proposicion 3.5. SeaU un subconjunto no vaco de V. Entonces,

U es un subespacio de V si, y solo si u+w U, para todo u, w U

y K.


Ejemplo 3.11. Sean U y W dos subespacios vectoriales de V. En-

tonces el conjunto U + W es un subespacio vectorial de V, donde

U + W := {u+w ; u U, w W} .

En efecto, sean x = u+w, y = u +w U + W, K. Tenemos:

x +y = (u+w) + (u

+w

) = (u+u

) + (w+w

).

Por lo tanto x +y U + W, para todo x, y U + W, K. Luego,

segun Proposicion 3.5, U + W es un subespacio de V.

Proposicion 3.6. Sea {Ui} una coleccion de subespacios de un es-

pacio vectorial V. Entonces la interseccion

Ui es un subespacio de

V.


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3.2. COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO 51

Demostracion. Como cada Ui es un subespacio, entonces el vec-

tor 0 pertenece a todos los Ui. Luego, Ui es no vaco. Sean K,y u, w

Ui. Tenemos que u, w Ui, para todo i; luego, como Ui

es un subespacio se sigue de la Proposicion 3.5 que u+w Ui, para

todo i. Por lo tanto u+ w

Ui. As,

Ui es un subespacio de

V.

0

U1

U2

U1 U2

Contrariamente a la interseccion, la union de subespacios no es (en

general) un subespacio. As, uno se interesa en estudiar el siguiente

problema: dada una familia de subespacios {Ui}, determinar (definir,

caracterizar) el menor Ksubespacio vect(

Ui) que contiene a la unionUi.

{0}

Ui Ui

Ui vect(Ui) V.

Mas generalmente, dado un subconjunto S de V, definiremos el mas

pequeno subespacio de V que contiene al subconjunto S. Para esto,

necesitamos introducir los conceptos de combinacion lineal y de espacio

generado.

3.2. Combinacion lineal y espacio generado

Definicion 3.7. Sean v, v1, . . . , vm vectores de un Kespacio vec-

torial V. Diremos que v es una Kcombinacion lineal de los vectores

v1, . . . , vn si existen escalares 1, . . . , m en K, tales que:

v = v1 + + mvm.


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Si es claro el cuerpo de escalares K considerado, diremos simple-

mente combinacion lineal, en vez de Kcombinacion lineal.

Ejemplo 3.12. Tomemos V = K3, y sea v = (1,2,3), entonces v

es combinacion lineal de e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) y e3 = (0,0,1):

v = 1e1 + 2e2 + 3e3.

Sea S un subconjunto, no vaco, de V. Definimos vect(S) como el

subconjunto de V formado por todas las combinaciones lineales de ele-

mentos de S. Es decir,

(3.1) vect(S) := n

i=1

isi ; si S, i K, n N

.

En el caso que S es el conjunto vaco, se define vect(S) como {0}.

Proposicion 3.8. vect(S) es un subespacio vectorial de V.

Demostracion. Si S es vaco, la afirmacion es obvia. Supongamos

que S es distinto del conjunto vaco. Sean u, w vect(S), K. Ahora

escribamos u=mi=1 isi, y w = mi=1 isi. Luego,u+w =

mi=1

isi +

mi=1

isi =

mi=1

(i + i)si.

Por lo tanto u+ w vect(S). De la Proposicion 3.5 se sigue que

vect(S) es un subespacio de V.

Definicion 3.9. El subespacio vectorial vect(S) de V se llama el

espacio vectorial generado por S. Si W es un subespacio de V tal que

vect(S) = W, diremos que S genera a W.

Veremos, en la siguiente proposicion, que el subespacio vect(S) es

el mas pequeno subespacio vectorial de V que contiene a S.

Proposicion 3.10. Si S es la interseccion de todos los subespacios

de V que contienen a S, entonces S = vect(S). En particular, vect(S)

es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S.


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3.2. COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO 53

Demostracion. Como vect(S) es uno de los subespacios de V

que contiene a S, se sigue que vect(S) contiene a S. Recprocamente,

si v vect(S), entonces v se escribe:

v =

ni=1

isi (i K),

donde si S. Luego, v es una combinacion lineal de vectores en cual-

quier subespacio U que contiene a S, es decir v U. Luego, v S.

Por ultimo veamos que vect(S) es el menor subespacio de V que

contiene a S. Si W es un subespacio de V tal que S W vect(S),

entonces, S = vect(S) W. Es decir, W = vect(S).

Ejemplo 3.13. Sea S = {v} V, entonces vect(S) = {v ; K}.

v

vect({v})

Ejemplo 3.14. El subespacio de las matrices simetricas en M2(K)

esta generado por las matrices:1 0

0 0

,

0 0

0 1

,

0 1

1 0

.

En efecto, toda matriz M simetrica de tamano 2 se escribe,

M = a b

b d = a

1 0

0 0+ b

0 1

1 0+ d

0 0

0 1 .

Proposicion 3.11. U + W = vect(U W).

Demostracion. Como U+ W es un subespacio de V que contiene

a U y W, sigue de la proposicion anterior que vect(U W) U +

W. Ahora, por definicion de espacio generado se sigue que U + W

vect(U W).


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3.3. Dependencia e Independencia lineal

Definicion 3.12. Un subconjunto S de V se dice Klinealmentedependiente si existen vectores v1, . . . , vm en S y escalares 1, . . . , m

en K, no todos nulos, tales que:

1v1 + + mvm = 0.

Un conjunto que no es Klinealmente dependiente, se dice Kli-

nealmente independiente. Es decir, S es Klinealmente independiente

si para todo subconjunto {v1, v2, . . . , vm} de S se tiene:

Si 1v1 + + mvm = 0 y i K, entonces 1 = 2 = m = 0.

Cuando es evidente el cuerpo de escalares que se esta conside-

rando, diremos simplemente, linealmente dependiente, en vez de, K

linealmente dependiente. Idem con linealmente independiente.

Observacion 3.13. En el caso que S = {v1, . . . , vm} es finito, la

definicion de independencia lineal se traduce como sigue: S es lineal-mente independiente si la combinacion lineal 1v1 + + mvm = 0

ocurre solo cuando 1 = 2 = m = 0.

Notese que si el vector nulo pertenece a S, entonces S es linealmente

dependiente, pues podemos tomar la combinacion lineal: 0 = 1 0.

En el caso que S conste de un solo vector v diferente de cero, en-

tonces S es linealmente independiente, pues 0 = v, implica = 0.

Ver Proposicion 3.2.

Ejemplo 3.15. Analicemos la dependencia lineal del subconjunto

S = {(1,1,1), (1 , 1 , , a), (1,a,a)} del R-espacio vectorial R3. Estudie-

mos la ecuacion:

(1,1,1) + (1 , 1 , , a) +(1,a,a) = (0,0,0) (,, R).


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3.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 55

En orden a determinar los valores de , y . Formamos el sistema de

ecuaciones homogeno:

+ + = 0

+ + a = 0

+ a + a = 0

Este sistema tendra solucion = = = 0 si, y solo si = 0, donde:

:= det

1 1 1

1 1 a

1 a a

= det

1 0 1

1 0 a

1 a 1 a

= (a 1)2.

Por lo tanto, S es linealmente independiente si, y solo si a = 1.

Ejemplo 3.16. El subconjunto {sen x, cos x} del Respacio vecto-

rial F(R,R), es linealmente independiente. En efecto, una combinacion

lineal de las funciones seno y coseno, (sen x) + (cos x) = 0, impli-

ca las ecuaciones: (sen 0) + (cos 0) = 0 y (sen 2

) + (cos 2

) = 0.

Luego, = = 0.

Ejemplo 3.17. Sea S =

(n, n+1) ; n N

. En V = R2, mirado

como Respacio vectorial, el conjunto S es linealmente dependiente. Enefecto, tenemos:

(, 2) + (1)(2, 3) = (0, 0).

Esta ultima ecuacion no es valida en V, mirado como Qespacio vec-

torial, pues Q. Veamos que S es Qlinealmente independiente:

Cualquier subconjunto finito S de S es de la forma:

S =

n1 , n1+1

,

n2 , n2+1

, . . . ,

nr , nr+1

,

donde n1 < n2 < < nr. Ahora, la combinacion lineal:

1

n1 , n1+1

+ 2

n2 , n2+1

+ + r

nr , nr+1

= (0, 0) ,

donde i Q, implica la ecuacion:

1 + 2(n2n1) + + r

(nrn1) = 0 (i Q).

De donde se deduce que i = 0, para todo i.


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Proposicion 3.14. S es linealmente dependiente si, y solo si, existe

un vector v S que es combinacion lineal de elementos de S \ {v}.

Demostracion. Si S es linealmente dependiente, entonces tene-

mos una combinacion lineal de elementos de S igual a 0:

1v1 + + mvm = 0 (vi S),

donde los escalares i no son todos 0. Sin perdida de generalidad po-

demos suponer que 1 = 0. Ahora, despejando v1, tenemos:

v1 =

1

1 2v2

1

1 3v3

1

1 mvm.

Es decir, existe un vector v := v1 S que es combinacion lineal de

elementos de S \ {v}.

El recproco es inmediato.

Ejemplo 3.18. Sea S := {(0,0,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,2,3)}. El

subconjunto S del Kespacio vectorial K3, es linealmente dependien-

te. En efecto, tenemos:

(0,0,1) = 1(1,1,2) + 1(1,1,3) + 0(1,2,3).

La Proposicion 3.14 puede tambien ser enunciada como la que sigue.

Proposicion 3.15. S es linealmente independiente si, y solo si,

para todo elemento v S, se tiene que v vect(S \ {v}).

3.4. Base y dimension

Definicion 3.16. Un subconjunto ordenado B de V se dice unabase de V si B es un conjunto linealmente independiente, y ademas B

genera a V.

En los ejemplos que daremos a continuacion mostramos, respecti-

vamente, la base canonica de los espacios Kvectoriales: Kn, Mnm(K),

Kn[x] y F(X, K).


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3.4. BASE Y DIMENSION 57

Ejemplo 3.19. La base canonica del Kespacio vectorial Kn es:

{e1, . . . , en},

donde ei es el vector que tiene a 1 en la posicion i, y el resto de las

coordenadas son 0.

Ejemplo 3.20. La base canonica de Mnm(K) es:

{Eij ; 1 i n, 1 j m} ,

donde Eij es la matriz que tiene en la posicion (i, j) a 1, y en el resto

de las posiciones a 0.

Ejemplo 3.21. La base canonica de Kn[x] es:

{1,x,x2, . . . , xn}.

Ejemplo 3.22. La base canonica de F(X, K) es {x ; x X}, donde

x esta definida por:

x(y) =

1, si y = x

0, si y = x.

Ejemplo 3.23. Sea W el subespacio formado por las matrices

simetricas de M2(R). La dimension de W es 3. En efecto, una base

para W es el conjunto B = {v1, v2, v3}, donde:

v1 =

1 0

0 0

, v2 =

0 0

0 1

, v3 =

0 1

1 0

El Ejercicio 3.14, muestra que vect(B) = W, y es facil ver que B lineal-

mente independiente.

El siguiente teorema asegura la existencia de bases.

Teorema 3.17. SeaV un Kespacio vectorial no nulo. Sean S

subconjuntos de V tales que es linealmente independiente y S genera

a V. Entonces existe una base B de V, tal que:

B S.


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Demostracion. La demostracion usa el lema de Zorn, ver Apendi-

ce A. Sea

A := {A V; A es linealmente independiente, y A S}.

Notese que A. La relacion A B induce un orden parcial en

A. Toda cadena totalmente ordenada A1 A2 An tiene

como elemento maximal a Ai. Luego, por el lema de Zorn, existe un

elemento maximal B en A. Como B es linealmente independiente, solo

resta ver que genera a V para tener que B es una base de V, y por

consiguiente, la demostracion del teorema.

Supongamos que B no genera a V. Luego, existe un vector v en V

que no pertenece a vect(B). Consideremos el conjunto B = B {v}. De-

mostraremos que B es linealmente independiente, y luego, un elemento

de A que contiene propiamente a B. Esto contradice la maximilidad de

B, por lo tanto B genera a V, y el teorema queda demostrado.

Veamos que B es linealmente independiente. Sea v + 1v1 + +

nvn = 0. Si = 0, podemos luego, escribir v en combinacion lineal

de elementos de B, lo cual no puede ser pues v vect(B). As, = 0

y luego, se sigue que 1 = = n = 0. Es decir, B

es linealmenteindependiente.

Corolario 3.18. Todo conjunto linealmente independiente esta con-

tenido en una base.

Demostracion. Sea un subconjunto linealmente independiente

de V. El corolario sigue al aplicar el teorema al caso S = V.

Corolario 3.19. Todo conjunto de generadores contiene una base.

Demostracion. Si S es un subconjunto de generadores de V, en-

tonces existe un vector no nulo v en S. El corolario sigue al aplicar el

teorema al caso = {v}.

Teorema 3.20. Si B = {v1, v2, . . . , vn} y B = {w1, w2, . . . , wm}

son dos bases de V, entonces n = m.


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3.4. BASE Y DIMENSION 59

Demostracion. El vector w1 se puede escribir como w1 = 1v1+

+ nvn, donde podemos suponer 1 = 0. Ahora veamos que el con-

junto B1 = {w1, v2, . . . , vn} es una base de V. Como v1 = 1w1

12v2 1nvn, se sigue que B1 genera a V. Por otra parte

la igualdad 1w1 + 2v2 + + nvn = 0, es equivalente a 11v1 +

(12 + 2)v2 + + (1n + n)vn = 0; como B es linealmente inde-

pendiente se deduce que 1 = = n = 0, es decir, B1 es linealmente

independiente. Por lo tanto B1 es una base de V.

Repitiendo este procedimiento para las bases B1 y B, es decir, reem-

plazamos el vector v2 de B2 por el vector w2 de B; obtenemos as una

base B2 = {w1, w2, v3, . . . , vn}. Repetimos este argumento para las ba-

ses B2 y B de V, y as sucesivamente. Luego, obtenemos finalmente

una base de V de la forma {w1, w2, . . . , wm, vm+1, . . . , vn}. Por lo tanto

n m.

Con igual argumento uno demuestra que m n. Por lo tanto n =

m.

El Teorema 3.20 permite definir el concepto de dimension de un

espacio vectorial.

Definicion 3.21. Sea V un Kespacio vectorial. Si V tiene una

base finita B, entonces se define la dimension dimK(V) de B como el

cardinal deB. Si no hay peligro de confusion, escribiremos simplemente

dim(V) en vez de dimK(V).

En el caso queV no admite una base finita, se dice que la dimension

dimK(V) es infinita.

Ejemplo 3.24. De los Ejemplos 3.193.22 obtenemos:

dimK(Kn) = n

dimK(Mnm(K)) = nm

dimK(Kn[x]) = n + 1

dimK(F(X, K)) = |X|.


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Proposicion 3.22. En un espacio vectorial de dimension n, todo

conjunto con mas de n elementos es linealmente dependiente.

Demostracion. Supongamos que existe un subconjunto de V que

es linealmente independiente y de cardinal m, con m > n. Ocupando el

Corolario 3.18, se sigue que V tiene una base con mas de n elementos,

lo cual es una contradiccion.

Corolario 3.23. Un subconjunto B de n vectores, en un espacio

vectorial de dimension n, es una base si, y solo si, B es linealmente

independiente.

Demostracion. Sea B un conjunto de n vectores que es lineal-

mente independiente. Segun el Corolario 3.18 el conjunto B esta con-

tenido en una base B, pero de acuerdo a la Proposicion 3.22 todo

conjunto con mas de n elementos es linealmente independiente. Luego

B = B, es decir B es una base.

El recproco es inmediato, pues toda base es, en particular, lineal-

mente independiente.

Proposicion 3.24. En un espacio vectorial de dimension n, todo

conjunto de generadores tiene a lo menos n elementos.

Demostracion. Supongamos que existe un subconjunto de gene-

radores de V con melementos, y donde m < n. De acuerdo al Corolario

3.19 se deduce que V tiene una base con menos de n elementos, lo cual

es una contradiccion.

Corolario 3.25. Un subconjunto B de n vectores, en un espaciovectorial de dimension n, es una base si, y solo si, B genera a V.

Demostracion. Queda de ejercicio. Cf. con la demostracion del

Corolario 3.23.

Sea W un subespacio vectorial de V. Una base BW de W es, en

particular, un conjunto linealmente independiente contenido en V. Por


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3.5. COORDENADAS Y MATRIZ CAMBIO DE BASE 61

lo tanto BW esta contenido en una base B de V. Luego, obtenemos el

siguiente teorema:

Teorema 3.26. Sea V un Kespacio vectorial de dimension n. Si

W es un subespacio vectorial de V, entonces dimK(W) n.

Proposicion 3.27. SeaV un espacio vectorial de dimension n. Si

W es un subespacio de V tal que dimK(W) = n, entonces V = W.

Demostracion. Si BW es una base de W, entonces BW es lineal-

mente independiente. Ahora, segun Corolario 3.23, BW es tambien una

base de V. Luego V = W.

3.5. Coordenadas y matriz cambio de base

Sea V un Kespacio vectorial de dimension finita n. Un punto clave

en el algebra lineal es poder representar los vectores de V (de modo

unico) mediante matrices, respecto a una base de V. Esto es posible

gracias al siguiente lema:

Lema 3.28. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V, entonces existenunicos escalares 1, . . . , n en K tales que:

v = 1v1 + + nvn.

Demostracion. Si tenemos dos escrituras de v,

v = 1v1 + + nvn = 1v1 + + nvn,

entonces se tiene:

(1 1)v1 + + (n n)vn = 0.

Ahora como los vis son linealmente independiente se debe tener que

1 = 1, . . . , n = n.

Definicion 3.29. Conservemos las notaciones del lema anterior.

Las coordenadas de v V, respecto a la base B, es la matriz [v]B de


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Mn1(K), definida por:

[v]B =

1...

n

.

Ejemplo 3.25. Consideremos la base B = {1,x,x2 + x} del espacio

vectorial K2[x], y sea v = x2 + x 1 V. Entonces,

[v]B =

1

0

1

,

ya que v = 1(1) + 0(x) + 1(x2 + x).

Ejemplo 3.26. Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V. Las coordena-

das de vi B, en la base B, es la matriz con todas sus entradas iguales

a 0, salvo en la posicion i, en donde va 1. Es decir,

[vi]B =

0..

.0

1

0...

0

.

Lema 3.30. Sean u, v dos vectores en un espacio vectorial V de

dimension finita, y sea B una base de V. Entonces,

1. [u+v]B = [u]B + [v]B

2. [u]B = [u]B ( K) .

Demostracion. Pongamos B = {v1, . . . , vn}. Segun el lema ante-

rior tenemos que u y v se escriben de modo unico como:

u= 1v1 + + nvn, v = 1v1 + + nvn (i, i K).


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3.5. COORDENADAS Y MATRIZ CAMBIO DE BASE 63

Luego, el vector u+v se ecribe de modo unico como

u+v = (1 + 1)v1 + + (n + n)vn.

Por lo tanto se deduce la primera afirmacion del lema.

La otra afirmacion se demuestra de modo analogo.

Definicion 3.31. Sean B = {v1, . . . , vn} y D dos bases de un K

espacio vectorial V de dimension n. La matriz cambio de base CDB es

la matriz de Mn(K) cuya iesima columna es [vi]D.

El nombre de matriz cambio de base de la matriz CD

B queda plena-mente justificado por el siguiente teorema.

Teorema 3.32. Sean B y D dos bases deV, y seav V. Entonces:

1. CDB [v]B = [v]D

2. CDB es una matriz invertible, y su inversa es CBD.

Demostracion. Pongamos B = {v1, v2, . . . , vn} y sea v V. Te-

nemos v = 1v1 + + nvn. Luego,

CDB [v]B = CDB [1v1 + + nvn]B

= CDB([1v1]B + + [nvn]B)

= CDB(1[v1]B + + n[vn]B)

= 1CDB [v1]B + + nC

DB [vn]B.

Ahora, el producto CDB [vi]B es la iesima columna de la matriz CDB , es

decir, CDB [vi]B = [vi]D. Luego,

CDB [v]B = 1[v1]D + + n[vn]D

= [1v1]D + + [nvn]D

= [1v1 + + nvn]D = [v]D.

Demostremos la segunda afirmacion. Pongamos D = {w1, . . . , wn}. De

la primera parte tenemos CDB [wi]B = [wi]D, para todo i. Pero [wi]D


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es la iesima columna de la matriz identidad In de orden n. Luego, se

deduce que:

CDBCBD = In.

Es decir, obtenemos la segunda afirmacion del teorema.

Ejemplo 3.27. Sea V el Cespacio vectorial C2[x]. Sea B la base

de V definida en el Ejemplo 3.25, y D la base {x2 + x 1,1,x + 1}.

Segun Ejercicio 3.25,

[x2 + x 1]B =

1

0

1

.Ademas, 1 = 1(1) + 0(x) + 0(x2 + x), y x + 1 = 1(1) + 1(x) + 0(x2 + x).

Luego,

[1]B =

1

0

0

y [x + 1]B =

1

1

0

.

Por lo tanto,

CDB =

1 1 1

0 0 1

1 0 0

.

3.6. Suma de subespacios y espacios vectoriales

3.6.1. Suma de subespacios vectoriales. Sean U y W dos K

subespacios de V. Recordemos (ver Ejemplo 3.11) que la suma U + W

de los subespacios U y W es el subespacio vectorial de V definido por:

U + W = {u+w ; u U, v W}.

Definicion 3.33. Sean U y W dos subespacios de V, tales que

V = U + W y U W = {0}. En esta situacion diremos que V es la

suma directa (interna) de U conW. Escribiremos V = U W.


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3.6. SUMA DE SUBESPACIOS Y ESPACIOS VECTORIALES 65

Ejemplo 3.28. Sea V = Mn(K), con car(K) = 2, y consideremos

los subespacios U y W de V constituidos por las matrices simetricas y

antisimetricas, respectivamente.

Toda matriz M Mn(K) se escribe como sigue,

M =1

2(M + Mt) +

1

2(M Mt).

Como 12

(M + Mt) es una matriz simetrica y 12

(M Mt) es una matriz

antisimetrica, se concluye que V = U + W. Ahora, la unica matriz

que es simetrica y antisimetrica a la vez es la matriz nula, es decir,

U W = {0}. Por lo tanto V = U W.

Lema 3.34. Si BU y BW son bases de los subespacios U y W,

respectivamente, entonces U + W = vect(BU BW).

Demostracion. Es claro que vect(BU BW) U + W, ver Pro-

posicion 3.11. Veamos la otra contencion: Sea v U + W, entonces

v = u+w, donde u U y w W. Ahora u es combinacion lineal de

elementos de la base BU de U. Analogamente, w es combinacion lineal

de elementos de la base BW de W. Luego,v es una combinacion lineal de

elementos del conjunto BUBW, de donde U+W vect(BUBW).

Teorema 3.35 (H. Grassmann). Sean U y W subespacios de un

espacio vectorial. Si la dimension de U + W es finita, entonces:

dim(U + W) = dim(U) + dim(W) dim(U W).

En particular, dim(U W) = dim(U) + dim(W).

Demostracion. Sea BUW = {v1, . . . , vr} una base de U W.

Ocupando el Corolario 3.18 podemos construir bases BU y BW de Uy W, respectivamente, tales que contienen a BUW. Pongamos BU =

{v1, . . . , vr, u1, . . . , u n} y BW = {v1, . . . , vr, w1, . . . , wm}. Veremos que:

B = {v1, . . . , vr, u1, . . . , u n, w1, . . . , wm}

es una base de U + W. De donde se obtiene dim(U + W) = r + n + m=

(r+n)+(r+m)r, o sea dim(U+W) = dim(U)+dim(W)dim(UW).


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Del Lema 3.34 se obtiene que B genera a U+W, pues B = BUBW.

Veamos que B es un conjunto linealmente independiente. Conside-

remos la siguiente combinacion lineal:i

ivi +

i

iui +

i

iwi = 0.

Esta ecuacion es equivalente a:

()

iivi +

iiui =

iiwi.

Claramente, el lado izquierdo de () es un vector de U, y el lado

derecho un vector de W. Por lo tanto, el lado izquierdo () es un vector

de U W. Luego el lado izquierdo de () es una combinacion lineal de

los vectores de BUW, de donde se deduce que i = 0, para todo i. El

mismo razonamiento nos dice que i = 0, para todo i. Luego, la ecua-

cion () se reduce a

i ivi = 0. Pero dado que BUW es linealmente

independiente, se sigue que i = 0, para todo i. Por lo tanto B, es

linealmente independiente. As B es una base de U + W.

Mas generalmente, podemos definir la suma U1 + + Um de los

subespacios U1, . . . , Um de V, como:

U1 + + Um := {u1 + +um ; ui Ui}.

Un argumento inductivo muestra que U1 + + Um es tambien un

subespacio de V.

Definicion 3.36. Sean U1, U2, . . . , Um subespacios vectoriales deV. Diremos que V es la suma directa de U1, U2, . . . , Um, si se tiene:

1. V = U1 + U2 + + Um.

2. Ui

(U1 + + Ui + + Um) = {0}, para todo i.

(el sobre un factor dice que ese factor es omitido).

Esta situacion sera denotada por V = U1 U2 Um.


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3.6. SUMA DE SUBESPACIOS Y ESPACIOS VECTORIALES 67

Ejemplo 3.29. Para el Kespacio vectorial V = K4 tenemos,

V = U1 U2 U3,

donde U1 := vect(e1, e2), U2 := vect(e2 + e3) y U3 := vect(e4). En

efecto, tenemos:

U1 = {(x,y,0,0) ; x, y K},

U2 = {(0,z,z,0) ; z K},

U3 = {(0,0,0,w) ; w K}.

Ahora, todo vector v = (a,b,c,d) V, se escribe:

v = (a, b c,0,0) + (0,c,c,0) + (0,0,0,d).

Es decir, V = U1 + U2 + U3.

Por otra parte, tenemos:

U1 (U2 + U3) = U2 (U1 + U3) = U3 (U1 + U2) = {0}.

Notese que:

U2 + U3 = {(0,x,x,y) ; x, y K},

U1 + U3 = {(x,y,0,z) ; x,y,z K},

U1 + U2 = {(x,y,z,0) ; x,y,z K}.

Proposicion 3.37. V = U1 Un si, y solo si, todo v V se

puede escribir de manera unica en la forma v = u1 + + un, donde

ui Ui.

3.6.2. Suma de espacios vectoriales. Sea V1, . . . , V m una colec-

cion de Kespacios vectoriales. Consideremos el conjunto producto V1

Vm. En este conjunto introduzcamos las operaciones suma y pon-

deracion por escalar, cf. Ejemplo 3.1, del siguiente modo:

(v1, . . . , vm) + (v

1, . . . , v

m) := (v1 +v

1, . . . , vm +v

m),

(v1, . . . , vm) := (v1, . . . , vm), ( K).


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Teorema 3.38. Con las operaciones recien descritas el conjunto

V1 Vm tiene una estructura de Kespacio vectorial.


Definicion 3.39. El espacio vectorial del Teorema se llama la suma

directa externa de los espacios vectoriales V1, . . . , V m. Y se denota por

V1 Vm.

Sean V1 y V2 dos Kespacios vectoriales con bases {u1, . . . , u n} y

{w1, . . . , wm}, respectivamente. Consideremos el subconjunto B :=

{(ui, 0), (0, wj) ; 1 i n, 1 j m} de V1 V2. Veremos que B

es una base de V1 V2.

Sea (u, w) V1 V2. Podemos escribir u =n

i=1 iui, y w =mj=1 jwj, donde i, j K. Luego, el vector (u, w) es una combina-

cion lineal de los elementos de la base B:

(u, w) =

ni=1

i(ui, 0) +

mj=i

j(0, wj).

Es decir, el conjunto B genera a V1 V2.

Por otra parte, la igualdad:

ni=1

i(ui, 0) +

mj=i

j(0, wj) = (0, 0)

implican

i=1 iui = 0, ym

j=i jwj = 0. Por lo tanto, i = 0, para

todo i, y j = 0, para todo j. Es decir, B es linealmente independiente.

Por lo tanto, B es una base de V1 V2, luego,

dimK(V1 V2) = dimK(V1) + dimK(V2).

Generalizando el procedimiento recien realizado, obtenemos:

Teorema 3.40. Sea V1, . . . , V m una coleccion de Kespacios vec-

toriales, tales que dimK(Vi) = ni, entonces

dimK(V1 Vm) = n1 + + nm.


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3.7. ESPACIO COCIENTE 69

Para finalizar notemos que Vi no es un subespacio de V1 Vm.

Mas adelante veremos que el espacio vectorial Vi puede ser identificado

con el siguiente subespacio vectorial Ui de V1 Vm,

Ui = {(v1, . . . , vm) ; vj = 0, si j = i}.

Tenemos, la siguiente proposicion.

Proposicion 3.41. El espacio vectorial V1 Vm es la suma

directa (interna) de los subespacios U1, . . . , Um.


3.7. Espacio cociente

Sea W un subespacio de V. Mirando la estructura de grupo con-

mutativo de V, y como en particular W es un subgrupo de V, se sigue

(ver Corolario 1.7) que el cociente V/W tiene una estructura de grupo

conmutativo con la operacion:

(u+ W) + (v + W) := (u+v) + W.

Teorema 3.42. El cociente V/W tiene una estructura natural de

Kespacio vectorial, donde la ponderacion por escalares se define como:

mlp 200 - algebra lineal (1).pdf

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