microsoft word - folleto de ejercicios 8vo _2011
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COLEGIO FRANCO
BOLIVIANO
EJERCICIOS Y PROBLEMAS MATEMATICA
8vo DE PRIMARIA
Profesor Lic Reinaldo Calle Armand
Santa Cruz – Bolivia
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INTRODUCCION El presente folleto de ejercicios de matemáticas, no pretende en ningún momento sustituir al libro de texto que la materia utiliza, el mismo tiene como objetivo ser un complemento en lo referente en el ejercicio de la materia, aspecto por tiempo esperado por alumnos, padres y la Dirección del Colegio. Aquí en este folleto los alumnos del nivel de 8vo Grado de la enseñanza de primaria superior, de forma organizada, encontrarán un buen número de ejercicios los que unidos al texto y a las explicaciones y demostraciones en la clase, coadyuvaran a obtener mejores resultados académicos. Para la confección del presente follero, se ha buscado material en ediciones diferentes de la Editorial Santillana, la editorial Voluntad, en los diferentes tomos de los libros de matemáticas, algebra y geometría y trigonometría de Aurelio Baldor, diferentes sitios especializados en matemáticas existentes en internet, la cooperación de otros colegas profesores de matemáticas y de la propia idea del autor. No es idea del autor la comercialización del presente folleto, el mismo ha de estar en la biblioteca del Colegio, en un lugar para que todo aquel que lo quiera pueda ahí fotocopiarlo, y también se entregará en forma digital, a todo alumno que lo desee, previa entrega de un CD para ser copiado. Agradezco a mis colegas, Directora de Nivel, padres de familia y alumnos los que me han ayudado de diferentes formas para que este folleto pueda estar en manos de nuestros estudiantes.
Lic Reinaldo Calle Armand Profesor de matemáticas 8vo Grado
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TEMA 1 Números Racionales e Irracionales
En 7mo Grado aprendiste en el tema 4 lo que son los números racionales, y también aprendiste las diferentes operaciones matemáticas que con ellos se desarrollan.
Ahora en este primer tema de 8vo Grado veremos una ampliación del uso práctico de los números racionales y también los números irracionales.
Recordemos que los números racionales son aquellos que surgen como resultado de una división, son los llamados también fracciones, y se pueden expresar en la
forma donde y son enteros y . Vemos que los números racionales resultan para las operaciones de la adición, la resta, la multiplicación y la división, ya que en todos los casos se obtienen fracciones cuyos numeradores y denominadores son números enteros.
Los números reales que no son racionales, los llamamos números irracionales.
Como ejemplo podemos citar y . Es decir que no pueden ser expresados por número cuyos decimales posean un fin.
1.1 Los Números Los números son un medio de expresión y también de comunicación muy útil en las relaciones entre personas. Nos sirven para transmitir informaciones de todo tipo, y los podemos emplear en trabajos e informaciones de tipo técnica, estadística, económica etc. Podemos afirmar que no existe ninguna actividad en la que participemos en que no estén presentes los números. Una de las cosas que primeros debes conocer de los números es el significado de dos conceptos muy ligados a ellos, uno es el de sucesor y el otro el de antecesor:
Antecesor: Que antecede, que es el anterior, que sucedió antes del fenómeno que estudiamos. Ejemplos sencillos podemos señalar al 2 como antecesor del 3, al 145 como antecesor del 146, al 0.15 como antecesor del 0.16, etc. Sucesor: Sucesor es sinónimo de siguiente, el sucesor de un número es el número siguiente del mismo por ejemplo el 7 es el sucesor del 6, el 28 es el sucesor del 27, el 0.59 es el sucesor del 0.58 etc.
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1) Ejercicios:
No Números Antecesor
Sucesor
1 187 2 21.59 3 0.159 4 9465 5 56348 6 258.64 7 41.08 8 0.00852 9 1578.02
10 84 11 0.95 12 684.123 13 0.852 14 0.0054 15 9624 16 1235 17 35784 18 0.00035 19 0.39871 20 9874 21 1593 22 23.00 23 581.200 24 0.000051 25 6154 26 357159 27 0.5462 28 9999 29 7899 30 0.599 31 147.0599 32 357.159 33 0.54785 34 0.999
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Los números según su origen expresión los podemos clasificar en Reales ( R ) en Naturales ( N ) Enteros ( Z ) Racionales ( Q ) y en Irracionales ( I ).
2) Clasifica los siguientes números:
Número R N Z Q I
π
1
4
1,67
5
1,3233333…
6,9
4
2
3−
0
1−
6,7916161616…..
6
2
−
8
4
−
−
64
5 32−
1,6500000…
33
4−
121
16
2,4578
0
2
6
1.2 La recta Numérica
La recta numérica es un dibujo de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un numeral es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.
Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.
1) Localiza los siguientes números en una recta numérica
a) 9 b) - 5 d) 1 e) 0
f) 1
5 g)
5
3 h)
17
4 i)
2
5− j)
8
5−
2) Representa en rectas numéricas las siguientes series de números: a) 150, 250, -175, 450, - 250, 100, -300 b) -8, 12, -6, 4, 0.8, -15 c) 6, -5, -2, 3, 5, -5, 1, 2, -3 3) Utilizando una recta numérica desarrollar la siguiente situación: En una ciudad a las 4 de la madrugada se registró una temperatura de 2º C, y 4 horas después la temperatura era de 3ºC bajo cero. A las 12 la persona que registra las temperaturas anuncia: “Subió 15ºC desde el último registro” Cuatro horas más tarde la misma persona dice: “Se mantienen estable”. A las 20 horas se anuncia que la temperatura bajó 7ºC. Por último, a las 24 horas el termómetro indica una temperatura de 2ºC bajo cero.
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1.3 Números racionales. Porcentajes En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'. También se puede expresar para la práctica en forma de una fracción, o sea, 32% es equivalente a decir 0.32.
El porcentaje o tanto por ciento es la relación de un número con respecto al 100. Y se puede determinar utilizando una expresión de tres cantidad conocidas y buscar la cuarta que es la expresión buscada.
Podemos tener la situación donde queremos conocer el valor de un % de otro número: ¿Cuál es el 15 % de 250? Aquí se plantea también la relación con el 100
Solución: 15
100 250
x= donde
15 25037.5
100x = =
i
Otra situación puede ser que lo que queremos conocer es que % es un número de otro: El 3 que % es de 25, aquí se plantea también la relación con 100:
Solución: 3
25 100
x= donde
3 10012
25x = =i
%
8
Ejercicio hallar el por ciento de un número. a)
1) 1% 34 17) 25% 104
22) 2% 500 18) 16 % 54
3
13) 4% 75 19) 33 % 108
3
4) 5% 60 20) 75% 48
5) 10% 98 21) 50% 56
6) 20% 155 22) 5% 200
27) 16 % 12 23) 10% 56.75
3
8) 25% 84 24) 40% 35
19) 33 % 15 25) 80% 45
3
10) 40% 25 26) 4% 5
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de 0
111) 60% 40 27) 12 % 56
2
12) 80% 30 28) 75% 8
13) 75% 16 29) 60% 10
14) 50% 42 30) 1% 187.43
15) 20% 85 31) 65% 105
116) 12 % 16 32) 35% 210
2
de de
de de
de de
de de
de de
de de
b)
2 1 11) 10% 15 16) 33 %
5 3 3
12) 25% 1044 17) 20% 108
2
3) 20% 1612 18) 40% 18745
1 14) 75% 18.16 19) 33 % 3
3 3
25) 5% 95.6 20) 16 % 1650
3
de de
de de
de de
de de
de de
9
1
6) 60% 23455 21) 4% 3005
7) 80% 134.65 22) 5% 108.50
28) 16 % 1914 23) 25% 56.84
3
1 49) 12 % 4 24) 50% 108.88
9 5
1 110) 50% 56 25) 75%
6 75
111) 2% 26) 80% 97
2
3 312) 5% 27) 10% 105
4 8
1 113) 4% 28) 12 % 105704
50 2
14) 75%
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de de
de2 1
14324 29) 16 %3 6
315) 10% 15 30) 1% 1
4
de
de de
Problemas de Tanto por Ciento. 1) Gabriela recibe un sueldo líquido de BS. 3900. Destina 1/2 de su sueldo para pagar todos los gastos de la casa y 1/3 para gastos de vestimenta, transporte y educación. Reparte el resto del dinero así. 50% para gastos de diversión y ocio familiar y 50% para el ahorro. ¿Qué montos destina a cada rubro? 2) en una juguetería regalan un vale de 25% de descuento de acuerdo al importe de cada compra. Si Juan y rolando compraron una patinetas pagando 1/2 y 1/2 del importe de la compra. ¿Cuál fue el descuento si cada un pagó Bs. 175? 3) La mamá de Mariela infló 90 globos para la fiesta, pero cuando llegaron los invitados, solo quedaban 72 globos bien inflados. ¿Qué porcentaje de los globos se había desinflados? 4) Si en un aula las notas de matemáticas fueron de 70 puntos para el 40% de los alumnos, 50 puntos para el 36% y 36 puntos para el 24%. ¿Cuántos alumnos hay en cada nota si el total de alumnos del curso es de 33 alumnos? 5) Juan tiene que pagar bs. 90. si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía?
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6) Un metro de tela cuesta Bs. 15. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% del costo? 7) Por la venta de un libro a Bs. 5 el ejemplar, el librero cobra el 30% de comisión. ¿Cuánto recibe el autor por cada libro? 8) Un agente tiene el 12% de comisión en las ventas que haga. Si vende 14 docenas de pañuelos a Bs. 6 cada una. ¿Cuál es el total de comisión que gana? 9) De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14%. ¿Cuántas hectáreas quedan? 10) Tenía 30 lápices. Di a mi hermano Enrique el 30%, a mi primo Orlando el 20 % y a mi amigo Héctor el 10% ¿Cuántos lápices di a cada uno y cuantos me quedaron? 11) Un hombre al morir dispone que su fortuna que asciende a Bs. 20 000 se entregue el 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto correspondió al asilo? 12) Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada. 13) Una compañía adquiere una propiedad de 1800 hectáreas de este modo, el 22% de la finca se paga a Bs. 20 000 la hectárea, el 56 % a Bs. 8000 y el resto a Bs. 5000 la hectárea. ¿Cuánto importa la compra? 14) De los 80 libros que tenía un librero vendió el 45% a Bs. 125 cada uno, el 75% del resto a Bs. 120 cada uno y el resto a Bs. 100 cada uno. ¿Cuál es el importe total de la venta? 15) De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son extranjeros. ¿Cuántos alumnos del país hay? 16) De los Bs. 50 que tenía gasté el 85%. ¿Cuánto he guardado? 17) Las ventas de un almacén durante un año, han importado Bs. 18 675. De esa cantidad el 64% se destina a gastos. ¿Cuál ha sido la ganancia? 18) Mi finca tiene 480 hectáreas. El 35% de la mitad de mi finca la tengo sembrada de caña y el resto de frutas. ¿Cuántas hectáreas tengo sembradas con frutas?
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1.4 Fracciones Equivalentes
Las fracciones equivalentes se obtienen de multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, siempre que este sea diferente de cero. Por supuesto que una fracción equivalente a otra, se simplifica quedarán las dos fracciones iguales.
Ejercicios: 1) en cada caso escribir cinco fracciones equivalentes:
1 1 21) 16) 31)
5 8 7
1 3 22) 17) 32)
9 8 9
1 4 33) 18) 33)
7 7 7
2 6 54) 19) 34)
5 7 9
3 4 75) 20) 35)
5 11 12
1 11 86) 21) 36)
15 87 17
9 3 127) 22) 37)
25 17 25
10 3 138) 23) 38)
35 11 27
12
1 21 119) 24) 39)
25 83 17
7 5 610) 25) 40)
35 14 13
21 32 1211) 26) 41)
55 39 70
9 22 412) 27) 42)
15 31 17
7 6 213) 28) 43)
32 41 27
1 21 3014) 29) 44)
35 99 70
11 17 1915) 30) 45)
55 51 76
2) ¿Qué fracción del cuadrado está sombreada?. Escribe al menos cinco fracciones equivalentes la que representa la parte sombreada.
13
1.5 Conversión de fracciones a decimales y viceversa
1) Escribe las siguientes fracciones decimales en forma decimal. Recuerda que es simplemente dividir el numerador entre el denominador, si existen muchos decimales efectúa el sistema de aproximación desarrollado en clases.
56 15 63 771) 2)
87 86 22 60
21 1 45 223) 4)
8 2 70 10
13 6 11 105) 6)
4 5 7 6
Para convertir una fracción a decimal es solamente dividir el numerador entre el denominador de la misma fracción, teniendo el cuidado de que existen divisiones que no son exactas y ahí debemos efectuar el redondeo de los decimales llevándolos a una cantidad señalada anteriormente. Para convertir un decimal a fracción hay que tener en cuenta si el decimal es exacto o se ha efectuado anteriormente un redondeo. Esto se conoce por la presencia en el caso de redondeo de un símbolo en forma de arco sobre las últimas cifras.
14
48 33 15 177) 8)
21 48 65 28
1 1 6 79) 10)
2 3 5 9
1 1 42 8411) 12)
3 2 71 142− −
2) Expresa en fracciones decimales los siguientes números decimales: Nota: Debes recordar que el método es escribir una fracción que posee como numerador el mismo número decimal, pero eliminando la coma, o sea como si fuera un entero. Como denominador se escribe 1 seguido de tantos ceros como números decimales posee el decimal planteado.. Después se efectúa la simplificación de ser posible. En el caso de los negativos, al procedimiento anterior se pone al final el signo de menos. 1) 0.568 2) 0.2356 3) 0.9871 4) 0.5550 5) -0.650
6) 1.250 7) 10.580 8) 8.254 9) 0.655 10) 25.45
11) 45.230 12) 0.846 13) 0.954 14) 20.005 15) 0.384
16) 0.760 17) 0.945 18) 1.
−
− −
0054 19) 0.150 20) 0.368
21) 0.865 22) 3.45 23) 4.250 24) 10.24 25) 6.456
−
− −
1.6 Orden en los racionales. Recta numérica
¿Tengo que utilizar de nuevo la Recta Numérica?
15
La mejor forma y además más segura de poner en orden una serie de números racionales (fracciones) es utilizar el recurso de la Recta Numérica, así de esa forma se van colocando en la misma cada número racional positivo o negativo y al final quedan todos en el orden deseado. De izquierda a derecha quedarán ordenados en forma ascendentes y de derecha a izquierda en forma descendente. Ejercicios: 1) Ordena de mayor a menor utilizando la Recta Numérica:
11 9 5) ; ; ; 1, 22; 0,98; 1, 2; 2,33; 2,3
5 4 7
1 1 1 4 8 2) ; 1 ; 2 ; 0,6; 1,3; ; ; ; 3, 4
2 5 3 3 5 3
a
b − − −
� �
2) Escribe el signo de <,>, o = entre los siguientes pares de fracciones, según corresponda:
56 15 63 771) 2)
87 86 22 60
21 1 45 223) 4)
8 2 70 10
13 6 11 105) 6)
4 5 7 6
48 33 15 177) 8)
21 48 65 28
1 1 6 79) 10)
2 3 5 9
1 1 42 8411) 12)
3 2 71 142− −
16
1.7 Operaciones con Racionales Para efectuar las operaciones básicas (Suma, resta, Multiplicación y División) de números racionales, se tienen que observar criterios diferentes en cada tipo de operación: - Suma y Resta. Antes de efectuar se tienen que poseer números racionales con iguales denominadores, o sea las fracciones tienen que ser equivalentes. Con la existencia de iguales denominadores, se efectúa la suma o resta de los numeradores y se escribe el mismo denominador. Si es posible este resultado se simplifica. - Multiplicación. No se requiere que los denominadores sean iguales. Se multiplican los numeradores entre si y de igual manera se procede con los denominadores. El resultado si es posible se simplifica.
- División. Lo primero que hay que hacer es determinar que fracción es el divisor, y esta se invierte. Invertido el divisor, se procede igual a una multiplicación. 1) Efectuar las siguientes sumas de números racionales:
2 5 5 7 5 111) 2) = 3)
3 6 12 24 8 64
7 11 8 15 5 7 14) 5) = 6)
24 30 26 39 4 8 16
1 1 1 7 8 11 9 8 137) 8) + = 9)
2 4 8 5 15 60 10 15 75
3 1 2 3 7 11 1 1 110) 11) + = 12)
21 2 49 5 4 6 12 16 18
+ = + + =
+ = + + + =
+ + = + + + =
+ + = + + + =
17
7 11 13 8 13 7 5 7 313) 14) + = 15)
50 40 60 60 90 120 14 70 98
13 4 9 5 2 1 3 6 1 1 416) 17) + + = 18) + +
121 55 10 16 48 9 18 17 34 51 3
7 11 3 7 7 11 2 8 7 3 1 319) 20) + + = 21) + +
90 30 80 40 39 26 3 9 20 40 80 15
3 5 3 1 1 522) 8 6 23) 9 4 24) 7 3
7 7 5 10 8 24
525) 12
+ + = + + + =
+ + = + + =
+ + + = + + =
+ = + = + =
7 1 3 7 1113 26) 5 6 27) 8 5
6 9 8 20 20 25
4 2 3 1 7 1 3 1 128) 5 6 8 29) 8 10 +16 = 30) 5 6 +8
50 5 5 9 9 9 4 3 12
+ = + = + =
+ + = + + =
2) Efectúa las siguientes restas de número racionales.
1 1 3 1 7 11) 2) 3)
2 6 5 10 12 4
11 7 3 2 3 14) 5) 6)
8 24 7 49 8 12
7 7 11 14 11 77) 8) 9)
6 8 10 15 12 16
7 3 7 1 11 210) 11) 12)
62 155 80 90 150 175
93 83 101 97 57 1713) 14) 15)
120 150 114 171 160 224
− = − = − =
− = − = − =
− = − = − =
− = − = − =
− = − = − =
18
1 1 1 3 1 1 3 2 5
16) 17) 18)2 8 40 15 45 90 2 121 11
7 1 11 19 7 11 219) 20) 21) 8
35 100 1000 36 80 90 3
9 7 122) 9 23) 13 24) 16
10 8 11
2 7 1725) 25 26) 30 27) 32
13 24 80
45 3 1128) 93 29) 215 30) 316
83 119 415
− − = − − = − − =
− − = − − = − =
− = − = − =
− = − = − =
− = − = − =
3) Efectuar los ejercicios siguientes de sumas y restas combinadas.
2 5 1 3 5 7 7 5 41) 2) 3)
3 6 12 4 8 12 12 9 24
11 7 3 6 15 8 5 1 44) 5) 6)
15 30 10 9 25 15 6 90 7
4 7 1 11 9 3 31 43 597) 8) 9)
41 82 6 26 91 39 108 120 150
3 1 1 2 1 110) 3 11) 6 1 12) 9 5 4
5 8 3 5 6 12
1 1 1 1 113) 4 2 3 14) 9 3 15) 6 5 4
3 9 4 2 3
+ − = − + = + − =
− + = + − = − + =
+ − = + − = − + =
+ − = + − = − + =
− + − = + − + = + −1 1
16 2
− =
19
3) Ejercicios combinados de sumas y restas de números racionales.
3 1 1 1 3 11) 2) 4
8 6 12 2 5 6
1 1 5 3 13) 7 4 4) 3 2
4 2 8 4 8
1 1 1 1 15) 9 6)
2 3 6 2 8
1 3 17) 50 6 8) 27 3 2
5 8 4
3 1 2 1 39) 7 6 10) 14 2 1
5 3 9 2 5
1 1 111) 18
2 3 4
− + = + − =
− − = − + =
− − = + − =
− − = − − =
+ − = − − =
− + + =
1 9 312) 500
8 5 40
1 1 1 1 2 1 1 113) 16 14) 7 3 1
5 5 10 20 5 2 3 6
1 1 1 3 3 1 115) 4 16) 6 2 1
5 15 60 80 4 9 18
1 1 5 2 3 1 117) 18) 1
2 3 6 3 4 12 2
1 1 1 1 4 1 119) 20)
2 3 6 2 3 2 6
− + − =
− + − = + − + =
+ − + = − − + =
+ − = + + − =
− − = + − +
6 3 1 1 1 1 121) 22) 8 5 3
14 7 3 6 4 8 3
1 1 1 123) 6 4 24) 20 8
5 3 10 25
=
+ − + = + − − =
− − − = − − − =
20
4) Ejercicios de multiplicación de números racionales.
2 3 4 10 7 161) 2) 3)
3 2 5 9 8 21
52 4 18 90 21 114) 5) 6)
24 13 15 36 22 49
13 72 24 51 2 6 17) 8) 9)
4 39 102 72 3 7 4
3 4 5 6 7 8 7 19 2610) 11) 12)
4 5 6 7 8 9 19 13 21
23 17 7 90 41 34 2 6 10 113) 14) 15)
34 28 59 51 108 82 3 5 9 8
7 816)
8 11
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
i i i
i i i
i i i i
i i i i i i
i i i i i i i
i i
22 1 5 7 3 1 3 17 5 3817) 18)
14 4 6 10 14 5 5 19 34 75= = =i i i i i i i
5) Ejercicios de multiplicación de números mixtos.
1 2 1 1 1 21) 1 1 2) 3 1 3) 5 2
2 3 4 13 4 9
2 3 1 4 1 24) 6 1 5) 3 2 6) 8 1
7 11 6 19 9 73
4 5 1 1 1 5 3 17) 14 5 8) 1 1 1 9) 2 3 1
5 6 2 3 5 6 4 17
2 1 3 1 1 3 1 1 310) 9 1 2 11) 8 5 1 12) 10 3 1
9 83 21 6 4 25 10 101 152
1 1 1 3 1 4 1 113) 1 1 1 1 14) 2 2 3 4 15) 3
5 9 8 5 7 5 3 2
= = =
= = =
= = =
= = =
= =
i i i
i i i
i i i i i
i i i i i i
i i i i i i
1 1 11 11 1 1
4 3 26 37
1 1 1 1 2 5 1 4 2 4 1 716) 6 2 3 2 17) 1 1 2 2 18) 8 2 7 2
3 4 5 19 7 9 6 7 5 7 9 10
=
= = =
i i i
i i i i i i i i i
21
6) Ejercicios de división de números racionales.
3 7 5 2 7 141) 2) 3)
5 10 6 3 8 9
3 6 8 4 6 54) 5) 6)
5 7 9 3 11 22
5 3 11 7 3 57) 8) 9)
12 4 14 22 8 6
19 38 3 4 21 610) 11) 12)
21 7 4 3 30 7
25 5 30 3 50 2513) 14) 15)
32 8 41 82 61 183
72 6 104 75 150 13516) 17) 18)
91 13 105 36 136 180
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
7) Ejercicios de división de números mixtos.
1 1 1 1 1 11) 1 2 2) 2 3 3) 3 4
2 3 3 2 4 3
1 1 1 1 3 94) 5 6 5) 7 8 6) 2 3
4 5 6 7 5 10
6 5 1 3 2 17) 1 1 8) 1 3 9) 5 8
11 6 8 5 3 2
3 3 8 1 3 110) 7 5 11) 1 1 12) 8 13
4 8 27 9 4 3
3 1 5 7 6 1513) 6 1 14) 5 3 15) 5 2
7 14 9 11 11 22
12 13 8 13316) 3 2 17) 1 1 18)
31 31 109 218
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ = ÷ =
÷ = ÷ =1 3
4 2450 25
÷ =
22
1.8 Operaciones combinadas Operaciones combinadas, es cuando tenemos dentro del mismo ejercicio, varias operaciones diferentes, y existen entonces signos de agrupación ( Paréntesis, Corchetes, Llaves )
1) Ejercicios combinados donde existen todas las operaciones y signos de agrupación.
2 17 2 1 2 1 1 111) 3 1 2) 3) 4
5 3 3 3 30 6 3 6
3 2 5 9 1 1 5 2 64) 5) 2 1 6)
5 3 6 10 3 4 6 3 5
1 1 7 1 1 17) 1 1 8) 2 2 9) 7 3 14 6
3 5 8 9 8 4
110) 60 3
8
÷ = + ÷ = − ÷ =
÷ + = ÷ − = ÷ =
− ÷ − = + ÷ − = + ÷ + =
− ÷
i
i
1 5 10 1 5 90 11) 10 12) 10 10
16 8 50 12 6 32
1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 113) 1 14) 2 3 3 15) 6 5
2 4 8 5 3 4 8 12 5 10 2
1 1 7 7 7 1 1 1 1 1 116) 150 4 2 17) 18) 1
8 8 8 30 90 3 9 6 3 45 90
− = ÷ = ÷ ÷ =
+ − ÷ = + − ÷ − + ÷ =
÷ ÷ = + + ÷ = + − ÷
i
i
6 3 1 1 2 1 1 5 119) 2 2 20) 5 2 21) 19 4
5 8 5 3 3 4 5 42 6
1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 122) 2 1 23) 4 5 24) 6
2 6 5 3 4 5 18 2 3 2 2 4
=
÷ + = ÷ ÷ ÷ = + ÷ =
− − ÷ − = − − ÷ = ÷ ÷ ÷ + =
i i i
i i i
Si existen decimales, entonces
estos hay que transformarlos en
racional antes.
23
2) Ejercicios combinados con la existencia de complejidad.
1 2 1 1 2 1 1 1 14 3
3 5 30 2 3 4 10 100 10001) 2) 3)23 1 10
230 5
2 3 1 1 1 1 3 5 34 2 3
5 10 20 7 14 2 4 6 54) 5) 6)2 1 5 2 3 1 1 2 7
6 5 103 9 6 3 9 18 2 7 5
3 1 7 1 1 2 3 17 1 3 4 315 8 24 13 10 25 40 68 4 2 97) 8) 9)
1 1 1 7 2 12 1 5
2 10 14 5 3
+ + − + + −
= = =
−
+ − − + +
= = =
+ + + + −
+ − + ++ −
= =
− + −
i
i
i ii
i
1
8 12
1 4 57 1 1 1 1 1 2 9
5 4 1 36 6 1 5 1236 18 72 8 20 55 7 3
10) 11) 12)1 11 1 4
78 64112 3 12 5
2
=
−
÷
− + − − ÷
= = =
− ÷−
i i
i
i
Estos ejercicios debes hacerlo con cuidado y sobre
todo orden.
24
( ) ( ) ( ) ( )
( )
11 12 4 1 1 52 4
3 6 4 1 1 1 15 7 3 2 3 5 613) 14) 15)
1 1 2 4 1 116 84
1 1 1 11 1 15 3 5 10
7 8 9
3 2 15 851 34 22 23 6 1 1 1 18 3 6 12 4 416) 17) 3 18)
5 611 1 1 6 85 348 5 10 3 5
2 12 311 5 31132 4 4
3 2 5 347119) 23 20)2 121 11 1 52 4
3 52 45 1 1 2
6 26
+ − + −
= = =
− ++ −
− + + −+
= + = =÷ −÷ ÷ ÷
− −−+ +
+
÷ =−−
− +
i i
i ( )
( )
7 1120 2
4
1 1
1 11 1 35 6 621 221) 22) 17 49 3431 1 4
21 1 11 1 1
3 8 4
=
+− −
+ − = + =
− +− − −
i i
i
1.9 Los números irracionales
Los números irracionales son los que
no pueden ser expresados como una fracción ya que poseen infinitas cifras decimales
no siendo estas una periódica.
25
Ejemplos de números irracionales son:
1) Encuentra un número irracional comprendido entre los siguientes números:
a) 1
10 y
1
9
b) 1
7 y
1
6
c) 1
3 y
1
5
1.10 Redondeo y Truncado
3.1415926...........
2 1.41142135..........
5 2.236067..............
7 2.64575131..........
π =
=
=
=
Es muy complejo trabajar con
número que poseen gran cantidad de decimales. Por
ello estos se redondean o se eliminan (truncan) y se obtiene
otro número con menos decimales.
26
1) Completar la siguiente tabla:
Número redondeado
Número truncado
Número
a los décimos
a los centésimos
a los milésimos
a la parte entera
en los décimos
en los centésimos
en la parte entera
21,7587
32,0715
1,1289
8,9898
19,9972
25,750
6,0086
0,986
11,678
0,3896
4,0089
0,99882
1,0894
24,992
0,0059
5,197
62,000
59,999
0,9999
1,8888
10,0585
27
TEMA 2 Divisibilidad, Potenciación y Radicación 2.1 y 2.2 Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos.
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:
Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en cero o cifra par. 378: porque "8" es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5. 485: porque acaba en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3. 24: Ver criterios anteriores.
Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1
que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que
admiten más de dos divisores se llaman números
compuestos.
28
Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.
469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
7
Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.
52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: La última cifra es 0.
11
Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.
Si el número tiene dos cifras será múltiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.
42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11
66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11
12 El número es divisible por 3 y 4. 528: Ver criterios anteriores.
1) Factorizar los siguientes números en sus factores primos utilizando criterios de divisibilidad. 1- 64 2- 96 3- 160 4- 306 5- 385 6- 441 7- 861 8- 1188 9- 3249 10- 5887
11- 8950 12- 12740 13- 15700 14- 47601 15- 208537 16- 540 17- 7824 18- 10258 19- 9581 20- 6426
29
2.3 Factorización en primos.
1) Descomponer en sus factores primos los números siguientes: 1) 64 2) 91 3) 96
11) 341 12) 377 13) 408
21) 2401 22) 2093 23) 2890
31) 13690 32) 15700 33) 20677
4) 121 14) 441 24) 3249 34) 21901 5) 160 15) 507 25) 3703 35) 47601 6) 169 16) 529 26) 3887 36) 48763 7) 182 17) 686 27) 5753 37) 208537 8) 289 18) 861 28) 5887 38) 327701 9) 306 19) 906 29) 9410 39) 496947 10) 385 20) 1188 30) 12740 40) 587560 2) Hallar todos los divisores simples y compuestos de los números siguientes: 1) 54 2) 162 3) 150
11) 108 12) 204 13) 540
21) 5819 22) 6727 23)3159
4) 1029 14) 735 24) 5929 5) 210 15) 1080 25) 5915 6) 315 16) 2040 26) 3025 7) 130 17) 3366 27) 6006 8) 340 18) 4020 28) 6591 9) 216 19) 567 29) 9702 10) 1521 20) 4459 30) 14161
La factorización en números primos es única. Consiste en
extraerle al números aquellos primos que multiplicados entre sí den como resultado el
propio número
30
2.4 Máximo común Divisor (MCD)
Máximo Común Divisor ( MCD ) es halla entre varios números cual es el mayor divisor que divide a todos de forma exacta.
1) Hallar el Máximo Común Divisor de los siguientes números: 1- 15 y 30 2- 21 y 28 3- 24 y 32 4- 7, 14 y 21 5- 24, 36 y 72 6- 30, 42 y 54
MCM ¿Qué cosa es
eso?
1) Descomponer los números en sus factores primos por separado. 2) Seleccionamos los factores comunes con el menor exponente 3) El producto de estos factores es el MCD
31
7- 16, 24 y 40 8- 20, 28, 36 y 40 9- 28, 42, 56 y 70 10- 32, 48, 64 y 80 11- 425, 800 y 950 12- 78, 130 y 143 13- 236, 590 y 1239 14- 770, 990, 1265 y 3388 15- 432, 648, 756, 702 y 621 16- 720, 895, 1025, 684 y 900 17- 1240, 1736, 2552, y 3131 18- 31740, 47610, 95220 y 126960 19- 45150, 51600, 78045, y 108489 20- 63860, 66340, 134385 y 206305 21- 500, 560, 725, 4350 y 8200 22- 432, 648, 756, 702 y 621 23- 3240, 5400, 5490, 6300 y 7110 24- 486, 729, 891, 1944 y 4527 25- 3174, 4761, 9522 y 12696 26- 171, 342, 513 y 684 27- 850, 2550, 4250 y 12750 28- 465, 744, 837 y 2511 29- 600, 1200, 1800 y 4800 30- 2523, 5046, 5887 y 7569 3) Hallar el Mínimo Común Múltiplo de los siguientes números: 1- 5, 10 y 20 2- 3, 15, 75 y 375 3- 21 y 28 4- 121, 605 y 1210 5- 7, 14, 21, 35 y 70 6- 46 y 69 7- 32, 48 y 108 8- 14, 28, 30 y 120 9- 108, 216, 432 y 500 10- 81, 100, 300, 350 y 400 11- 98, 490, 2401 y 4900 12- 841, 1682, 2523 y 5887 13- 21, 39, 60 y 200 14- 91, 845, 1690 y 2197 15- 529, 1058, 1587 y 5290
32
2.6 Mínimo Común Múltiplo ( M C M )
1) Hallar por descomposición en factores primos el MCM de: 1) 32 y 80 2) 46 y 69 3) 18, 24 y 40 4) 32, 48 y 108 5) 5, 7, 10 y 14 6) 2, 3, 6, 12 y 50
11) 14, 28, 30 y 120 12) 96, 102, 192 y 306 13) 108, 216, 432 y 500 14) 21, 39, 60 y 200 15) 81, 100, 300, 350 y 400 16) 98, 490, 2401 y 4900
7) 100, 500, 700 y 1000 17) 91, 845, 1690 y 2197 8) 14, 38, 56 y 114 18) 529, 1058, 1587 y 5290 9) 13, 19, 39 y 342 19) 841, 1682, 2523 y 5887 10) 15, 16, 48 y 150 20) 5476, 6845, 13690, 16428 y 20535 2) Hallar el MCD y el MCM de los números siguientes: 1) 2, 3 y 11 2) 7, 8, 9 y 13 3) 15, 25 y 75 4) 2, 4, 8 y 16 5) 5, 10, 40 y 80 6) 7, 14, 28 y 56
11) 8, 10, 15 y 32 12) 9, 12, 16 y25 13) 16, 84 y 114 14) 110, 115 y 540 15) 210, 360 y 548
7) 15, 30, 45 y 60 16) 100, 500, 2100 y 3000 8) 3, 5, 15, 21 y 42 17) 56, 72, 124 y 360 9) 100, 300, 800 y 900 18) 105, 306, 405 y 504 10) 15, 30, 60 y 180 19) 13, 91, 104 y 143 20) 58, 85, 121, 145 y 154
M C M
Se extraen los
factores primos de los números, y se
multiplican todos, de existir factores
repetidos se utilizan aquellos que tienen mayor exponente
El MCM es entre varios números, aquel menor que
los contiene a todos
33
2.7 Mínimo Común Múltiplo de los denominadores.
1) Reducir al Mínimo Común Denominador las fracciones siguientes:
3 71) ,
8 30
7 112) ,
12 15
1 2 33) , ,
6 9 8
5 7 114) , ,
6 20 25
1 7 1 15) , , ,
6 14 20 30
3 1 5 76) , , ,
5 12 8 120
7 3 15 17) , , ,
8 4 48 64
3 1 2 78) , , ,
16 21 15 48
5 7 8 59) , , ,
11 121 9 44
2 18 5 710) , , ,
24 48 22 44
3 1 5 311) , , ,
14 9 36 28
2 3 5 312) , , ,
13 21 25 169
MCM de los denominadores es convertir todas las
fracciones en equivalentes con el mismo denominador
todas.
34
2.8 Propiedades de las Potencias de Q 1) El exponente de un racional te indica las veces que ese número racional se repite:
3a a a a
b b b b
=
3) Si el exponente es negativo, al realizar la operación el numerador y el denominador intercambian su posición
n na b
b a
−
=
2) El exponente afecta igualmente al numerador y al denominador.
n n
n
a a
b b
=
4) Los números enteros con exponente negativo se transforman en fracciones con numerador 1.
1n
na
a
−=
1) Calcular las potencias de los siguientes números racionales:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
21
2 1
54
33
52
11) 6) 2,6
4
2) 0,1 7) 0,86
13) 8) 0,75
3
24) 9) 4,25
5
35) 10) 0,55
4
−
−
−
−
−
−
−
− = =
= =
= =
− = =
= − =
35
2.9 Radicación de números racionales
n a a = Radicando n = Indice de la raíz
Símbolo radical
1) Aplicando las propiedades de los radicales, calcular las raíces de los números racionales siguientes:
33
3
34
34
4 271) 2) 3) 0,027
19 8
121 644) 5) 6) 0,81
64 125
7) 0,0256 8) 169 9) 8
10 0,0256 11) 25 12) 64
= − = =
= − = =
= = − =
= = =
Debemos recordar
36
2) Resolver las siguientes operaciones con números racionales.
2
0
14 3
12
31
3
1 1 11) 0,1 2 2) 2 15
2 4 2
1 1 113) 16 4) 0,16 1
2 3 5
25 5 1 3 15) 6) 3 3
4 3 3 2 2
2 2 17) 8 8) 1
7 3 2
−
−
− = − + =
− + = + =
+ = − =
− + = − =
i i
i
i i i
i
2.10 Notación Científica.
1) Utilizando potenciación, escribe los números siguientes en notación científica. 1) 52 000 000 = 3) 271 000 = 5) 0,0002 = 2) 0,0000013 = 4) 600 000 = 6) 0,00000603 =
Un número está expresado en notación científica cuando está escrito como producto de una potencia de 10 y un
número entre 1 y 10
37
2) Expresa en notación científica:
1) La distancia del Sol a la Tierra 149 600 000 km 2) La medida del radio ecuatorial 6 378,14 km
3) Resuelve el siguiente problema: La molécula de sacarosa, el azúcar común con que endulzamos, tiene alrededor de 10-9 metros de diámetro. ¡Cuántas moléculas de sacarosa entrarían sobre una cucharilla de 2 cm de longitud, si se colocan en línea recta? 4) Completa la siguiente tabla:
Números
En Notación
A B A B
Producto
A * B
Resultado
en notación científica
a2 + b3
0,0000003 0,00007
0,000000103 0,000006
4 000 000 000 700 000 000
60 0,5
0,0004 10 000
66 000 000 000 0,0000003
0,000501 20 000
10 000 0,5600
38
5) Indica donde se debe colocar la coma decimal para expresar cada número en notación científica.
a) 28000 b) 269,65 c) 1895000 d) 100 3) 250850 6) Escribe en notación científica
a) 128 b) 1680 c) 1960,4 d) 0,00036 e) 0,00285 f) 1800,35 g) 0,00356 h) 0,00000067 i) 4650000000 j) 16805,32
k) 0,0025 l) 1620450 m) 0,000285 n) 96000 o) 0,036
7) Escribe en notación normal:
6 3 5
3 7 3
) 2,0016 10 )6,34 10 ) 3,79 10
) 7 10 ) 0,069 10 ) 5,0015 10
a b c
d e f
−
−
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
8) Escribe en notación científica
7 4 6
9 2 3
) 0,0015 10 ) 648 10 ) 0,185 10
)1980 10 ) 700 10 ) 358, 25 10
a b c
d e f
−
− −
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
9) Realiza las operaciones en notación científica
( ) ( ) ( )
3 2 4
2 3 4
6
2 3 22 3 4
2 1 2
2 3
4,76 10 0, 23 10 1, 23 10)
2,46 10 1,76 10 3,46 10
) 0,00000000046 0,00000023 12 10
2,67 10 1, 21 10 3,68 10)
16400 21600 1600000
1,92 10 0,021 10 1,32 10)
0,00021 3,62 10 621 10
0,00)
a
b
c
d
e
−
−
− −
⋅ + ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ + ⋅
+ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )
12
2 2 53 4 3
000000036 0,00000000000012 12 10
0, 21 10 160 10 0,000021 10
−
−− −
+ + ⋅
⋅ + ⋅ − ⋅
39
2.11 Operaciones combinadas
1) Resolver los ejercicios siguientes
3
11 1
3
1 5 1 5 4 1 71) 2 2) 2
2 2 2 4 5 3 8
1 83) 1 3 4) 7 6,1
3 27
1 2 185) 6) 2 0, 2
3 2551
9
−
−− −
+ − = ÷ + − =
− + = − =
+ = ÷ + =
−
2) Resuelve el siguiente problema. El diámetro del planeta Júpiter (el mayor de los planetas de nuestro Sistema Solar) es de alrededor de 1,4 * 108 metros. ¿Cuántas veces entra el diámetro terrestre ( de unos 1,2756 * 107 metros) en el diámetro de Júpiter.
Veremos que son las operaciones combinadas
Cuando se mezclan diferentes operaciones dentro
del mismo ejercicio.
40
TEMA 3 Iniciación al Algebra
El período de apogeo de la matemática griega coincide en el tiempo con el florecimiento general de su cultura. Comienza en el siglo VII a. C y alcanza su esplendor en el siglo III a. C en la época de los grandes matemáticos que tanto escribieron en el campo de las geometrías y que aún tienen vigencia. Con el final de la ciencia griega el desarrollo se traslada a la India, Asia central y los países árabes. Por un tiempo aproximado de mil años la matemática se desarrolló en conexión con las necesidades y descubrimientos astronómicos, ya que los matemáticos orientales eran en su mayor parte astrónomos. Estos matemáticos lograron notables progresos en el campo de la aritmética y el álgebra. La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado del matemático y astrónomo Mahommed Ibn Musa Al-Kharizmi, el que vivió en el siglo IX Su tratado sobre álgebra se titula en árabe “ciencia de la transportación y eliminación” El origen de la palabra álgebra responde muy bien al contenido real de esta ciencia. El álgebra es la ciencia de las operaciones matemáticas consideradas formalmente desde un punto de vista general, con la abstracción de los números concretos. Con el álgebra se aumenta la precisión y se disminuye la posibilidad de error.
El algebra es más que importante. Imagínate que
desde ahora no verás más la
aritmética, sino solo álgebra.
¿Qué es el álgebra?
41
3.1 Lenguaje algebraico
1) Señale en las expresiones algebraicas siguientes: Un término Una Variable Una constante Un Coeficiente Un exponente a) x3 + 6xy - 45 b) ½ x2 – 24 y + 12 z + 5 c) 6x3 – 2x + 14 5 d) 2ax2 + 4x – 8 e) 12x3 + xy3 +25 2) Utilizando lenguaje algebraico expresa las siguientes expresiones y ponga un ejemplo numérico: 1) La mitad de un número ______________________ Ejemplo____________ 2) Un número elevado al cuadrado _______________ Ejemplo___________ 3) La edad que tenía hace 3 años ________________ Ejemplo ___________ 4) Un número al cubo _________________________ Ejemplo ___________
En algebra, utilizando las letras como su lenguaje, se puede
generalizar las situaciones dadas.
5 ax−
Exponente
Variable
Coeficiente
Signo
42
3) Expresa en lenguaje algebraico. Carola nos hace conocer la edad de cada uno de los miembros de su familia de la siguiente forma: “La edad de mi hermana es dos tercios de la mía, la de mi mamá es el triple, la de mi papá es cuatro veces; la de mi abuelo es igual a la suma de las edades de papá y mamá, y la edad de la abuela es la edad del abuelo menos diez”. Exprese algebraicamente la edad de cada miembro de la familia.
- Edad de Carola _____________ - Edad del padre ______________
- Edad de la hermana _________ - Edad del abuelo _____________
- Edad de la madre ___________ - Edad de la abuela ____________ 4) Expresa con signos y letras.
1) X es igual al doble de y ________________________________________
2) Cuatro veces la suma de x más el triple de y es igual a 100 ____________
3) X diferente de y en 6 unidades ___________________________________
4) El triple de x menos la unidad es igual al cuadrado del doble de y ________
5) El cociente de x entre el doble de y es igual a 2 ______________________
6) El cociente de la suma de x más y entre 4 es igual al triple de y __________
7) El doble del cubo de b, menos el cuadrado d a es igual a 250 ___________ 3.2 Valor numérico 1) En el ejercicio anterior si la edad de Carola es de 9 años ¿cuántos años tiene cada miembro de la familia.
- Edad de Carola _____________ - Edad del padre ______________
- Edad de la hermana _________ - Edad del abuelo _____________
- Edad de la madre ___________ - Edad de la abuela ____________
El valor numérico de una expresión
Algebraica, es el número que se obtiene al reemplaza las letras por
valores dado anteriormente.
43
2) Calcula en cada caso el valor numérico de los siguientes monomios, considerando los valores: a = 2 b = 1/2 y c = -3
2 3 2 2
2
32 3
1) 2 4) 7) 10)
12) 7 5) 6 8) 11) 8
3
1 13) 6) 9) 16 12) 6
4 7
a a b c
b b c b
ca c
b
−
= = = =
= = = =
= = = =i
3) Calcula en cada caso el valor numérico de las siguientes expresiones, considerando los valores: a = 3 b = 4 c = 1/3 y d = 1/2
2 2
2 2
2 2
1) 2 4) 2
2) 2 5)
3) 6) 4 3 3 23 2
a ab b a ab b
a bc cd d
b d
a bc a b c d
− + = + + =
− + = + =
− + = − + − =
4) Calcula en cada caso el valor numérico de las siguientes expresiones, algebraicas considerando los valores: a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 y n = 2/3
( ) ( )
( )( )
( )( )
2 2 2
2
2
1) 4) 2 6 4
82) 4 5) 16
9
3) 2 3 4 6) 5 3
a b c d m b c d
mb m c n a b a
n
m n a b a n b
+ − = + + − =
− − + = + =
+ + = − + =
44
3.3 Sucesiones
1) Resolver los siguientes ejercicios de sucesiones: a) Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general? b) Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6.o
piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m. c) El cuarto y séptimo término de una progresión geométrica son respectivamente 25 y 3125. Calcula la razón y el primer término de ella. d) El sexto y noveno término de una progresión geométrica son respectivamente 8 y 64. Calcula el segundo término de ella. e) El primer y último término de una progresión geométrica de siete números son respectivamente 3 y 192. Determina dicha progresión.
2) Escribe los 5 primeros términos de la sucesión: 20 2, 1,2,3......n n con nt
= + =
1 3
2 4
1) 3)
2) 4)
t t
t t
= =
= =
3) Escribe la sucesión que se va formando. 1, 3, 6, 10, …..
1) ¿Cuál es el término que sigue? __________
2) Calcula:
5 6
2 1 3 2 4 3
1) 3)
2) 4) 5)
t t
t t t t t t
= =
− = − = − =
Una sucesión es una secuencia
numérica ordenada que cumple con un
patrón numérico establecido.
45
3.4 Operaciones con expresiones algebraicas.
1) Reducir términos semejantes existentes en cada una de los ejercicios siguientes:
Debemos recordar que
son los términos
semejantes
Términos semejantes
5 ab− son los que tienen la misma parte literal
Parte literal
46
2) Simplificar reduciendo términos semejantes:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1) 8) 3
2) 3 5 9) 2
3) 2 3 10) 5 6 5 6
4) 4 2 11)
5) 2 3 4 3 12) 2
6) 13) 2 3
x x y a b a b b a a b
x x x x y x xy y x y
a b a m m
m m n x y x y z x y z
x y x y a b a a b a b
a a b a b x y xy x xy y x
− − = − + + − − − − + + + =
+ − − − = + − + + + − + =
+ − − + = − + + − + − =
− − − = + + − + − + − =
+ − + = − + + − + − − + =
+ − + − + = − − + + − − − +( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 27) 2 14) 8 2 3 3
y
a b a a b x xy y x xy y x xy
=
+ + + − = + − + − − + − − − =
47
4) Simplificar reduciendo términos semejantes:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 21) 2 4) 4 3 2 3
2) 3 2 5) 2
3) 2 6) 4 2 3 4 2 1
a a a b x x xy y xy x y
x x y x y a a b a b c a
m m n m n m m n n m
+ − + = + − − + − + − − + =
− + − + = + − + − − + − + =
− − − + = − + − + − − + =
5) Simplificar eliminando los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
{ }( )
( ){ }
( ) ( ){ }
( ) { }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( ){ }
2 2 2 2
2 2 2
1) 2 5 2
2) 7 3 2
3) 3 2 2
4) 4 2
5) 2 3
6) 7 3 5 3 2 3
7) 2 4 4
x x y x y
x xy y x xy y
a b a b a b a b a
x y x y x y x y
a b a b a b b a b
m m n n m n
a a b a b a b a
+ − − − + − + =
− − + − + − + − =
− + + − + − − + − − + =
− + − + + − − − + =
− − + + − + − − + + − + − =
− − + − − − − + − + =
− − + − − − + − − − + =
{ } ( )( )
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( )
8) 3 5 2 6
9) 6 2 2 2
10) 3 2 2 2 5 6
x y x y x x y
c a c a c a a c c
m n m m m n n
− + − + − + − − + =
− − + + − + − − + + =
− + − + − + − − − + =
48
3.5 Multiplicación de monomios y polinomios 1) Resolver las siguientes multiplicaciones de monomios:
( )
( )
2
2 3 2
2 2 3
2 3 2 2
2
3 2 4
2 4 4 1
3 2
1) ( ) ( 3 ) ( )
2) (3 ) ( ) ( )
3) ( ) ( 3 ) ( 5 )
4) (4 ) ( 5 ) ( )
5) ( ) ( 2 ) ( 3 )
1 2 36)
2 3 5
2 37) 3
3 4
3 18) 5
5 10
9) (2
m x
m x
x a
a a a
x x y a x
m n m mn
a a x ay
a ab a b
x a x a m
a a b a b
m a m a m
+
−
− −
− − −
− −
− − −
− −
−
− − −
2 3
2 3 2
2 2
2 2 3 2
) ( ) ( 3 ) (4 )
10) ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( 5 )
11) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 )
1 3 10 312)
2 5 3 4
m x
a a a a
b a b ab a x
a b a ab a x
x y xy x x y
− −
− − −
− − −
− − − −
2) Resolver las siguientes multiplicaciones de monomios por polinomios:
3 2
2 2 3
2
3 2
2 2
5 3 2 2
4 2 2 4 3
3 2 2 3
3 2 2 4 2
1 2
1) (3 )( 2 )
2) (8 3 )(2 )
3) ( 4 3)( 2 )
4) ( 4 6 )(3 )
5) ( 2 )( )
6) ( 6 8 )(3 )
7) ( 3 7 )( 4 )
8) ( 4 6 )( )
9) ( 5 8 )( 4 )
10) ( )( 2 )
11) (
m m m
x x x
x y y ax
x x x
a a a ab
a ab b ab
x x x a x
m m n n m x
x x y xy ax y
a a b ab a m
a a a a
x
− −
− −
−
− + −
− +
− + −
− −
+ −
− +
− − −
− + −
1 1 2
1 1 2 2 2
3 )(3 )
12) ( )(3 )
m m m m
m n m n m n
x x x
a b a b a b a b
+ −
− + − +
+ −
+ −
3) Resolver las siguientes multiplicaciones de polinomios por polinomios:
2 2
2 2
3 2
4 2 2 4 2 2
3 2
4 2 2 4
3 2
2 2
3 2 2 2 2 3
3 3 2 2
1) ( ) ( )
2) ( 2 ) ( )
3) ( 3 1) ( 3)
4) ( ) ( )
5) (3 5 6 ) ( 2)
6) (5 3 ) (3 )
7) ( 5 2) ( 5)
8) ( 2 1) ( 1)
9) ( 3 4 ) ( 2 10 )
10) (3 2 ) (2
x xy y x y
a b ab a b
x x x
m m n n m n
y y y
m m n n m n
a a a a
n n n
a a b ab a b ab b
x a ax a
+ + −
+ − −
− + +
+ + −
+ − +
− + −
− + − +
− + −
− + − −
− +2
4 3 2 4 2
6 4 2 2 4 6 5 3 2 4
3 2 2 3
4 3 2 2 4 3 2 2 3
5 3 2 4 2
3 )
11) (5 3 4 2 ) ( 3 1)
12) ( 3 ) ( 2 3 )
13) (3 5 2 4) ( 2 1)
14) ( 2 3 4 ) ( 5 3 )
15) (3 6 2 3 2) ( 3 4 5)
x ax
y y y y y y
x x y x y y x x y xy
x a a a a a
m m n m n n n mn m n m
a a a a a a a
− −
− + + − −
− − + − +
− + − + − +
− + − − + −
− + − + − + −
4) Efectuar las multiplicaciones siguientes:
1 2 3 2
1 1 2 2
2 1 1
2 1 3 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2 3 4 3
1) ( 2 ) ( )
2) ( ) ( 2 3)
3) ( 2 3 ) ( )
4) ( 2 ) ( 2 )
5) (3 2 ) ( 2 1)
6) (3 2 ) ( )
7) ( 2 ) (
n n n
a a a
n n n n n
a a a a a
x x x
x x x x x x
a a a a a a
x x x x x
m m m m m
a a a a a
x x x x x
a a a a a
a a a a a a
m m m m m m
+ + +
− + +
+ + +
+ + + +
− −
− − − −
+ + + + − −
+ − +
+ + − +
− + +
− + −
− + + −
+ − − +
− − + +1 2
1 2 3 4 3 1 2
3 2
2 2
3 2
3 3 2 2 2
)
8) ( 2 ) ( )
9) (3 5 6 ) ( 2)
10) ( 1) ( 1)
11) (2 3 4) (2 5)
12) (3 2 ) (2 3 )
a
a a a a a a a
m
x x x x x x x
y y y
a a a a
y y y y
x a ax a x ax
−
− − − − − − −
+
+ − + − + −
+ − +
+ + − −
+ − − +
+ − −
50
5) Efectuar las siguientes multiplicaciones:
2 2
2 2
2 2
3 2
3 2
4 2 2 4 2 2
3 2
3 2
3 2
2 2
4 2 2 4
1)
2) 2
3) 2
4) 3 1 3
5) 1
6)
7) 2 1 2 3
8) 3 5 6 2
9) 2
10) 3 5 2 4 5
11) 5 3 3
1
x xy y por x y
a b ab por a b
a b ab por a b
x x por x
a a a por a
m m n n por m n
x x x por x
y y por y
m m m por am a
a ab b por a b
m m n n por m n
+ + −
+ − −
+ + +
− + +
− + −
+ + −
− + − +
+ − +
− + − +
− + −
− + −
2 2
3 2 2
3 2 2 2 2
2 2
2 4 2
3 2 3
3 2
2 2 2 2
2 2
3 2 2
2) 1 1
13) 2 2 5
14) 3 2 2 8
15) 1 1
16) 2 3 2 3
17) 4 1 1
18) 5 2 5
19) 2 3
20) 2 1 1
21) 3 4
a a por a a
x x x por x x
m m n mn por m mn n
x x por x x
x x por x x
m m m por m
a a por a a
x xy y por xy x y
n n por n
a a b ab
+ + − −
+ − − +
− + − −
+ + − −
− + − +
− + − +
− + − +
− + − +
− + −
− +2 2 3
3 3 2 2
3 2
3 3 2 2 2
4 3 2 2 3 2 2
2 3 3
4 2 3 2
4 2 2 3 3 4 2
2 10
22) 8 9 6 12 2 3
23) 2 3 4 2 5
24) 3 2 2 3
25) 3 2
26) 2 5 3 2 7
27) 3 2 3
28) 3
por a b ab b
x y xy x y por x y
y y y por y
x a ax por a x ax
x x y x y xy por y xy x
a a a por a a
m m m por m m
a a b a b ab b por a
− −
− + − +
+ − − +
− + − −
− + + − − −
− + − − −
+ − + − +
− + − + −2
4 3 2 2 3 4 2 2
2 4 2
4 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3 2 2
4 2 3 4 2
4 3 2 3 2
2
29) 2
30) 2 1 2 2
31) 3 4 3 2 1
32) 1 2 1
33) 8 12 6 3 4 2
34) 5 3 2 4 1 2 2
35) 1 2 3 6
ab b
x x y x y xy y por x y xy
y y por y y
m m por m m
a a a por a a a
x x y xy y por x y xy
a a a a por a a
x x x x por x x x
+
− + − + − +
− + − +
− + − +
− + + + − −
− − + + −
− + − − − +
− + − + − + +
3 2 2 3
4 3 2 4 2
4 3 2 2 2 3 2 2 3
6 4 2 2 4 6 5 3 2 4
5 3 2 4 2
36) 3 5 2 4 2 1
37) 5 3 4 2 3 1
38) 2 3 4 5 3
39) 3 2 3
40) 3 6 2 3 2 3 4 5
a a a por a a a
y y y y por y y
m m n m n n por n mn m n m
x x y x y y por x x y xy
a a a a por a a a
− + − + − +
− + + − −
− + − − + −
− − + − +
− + − + − + −
51
TEMA 4 Productos y Factores 4.1 Factorización
Lo primero que debemos conocer es que la factorización es el proceso de extraer los factores que posee un número, o sea que la factorización se ha aplicado desde la aritmética, pero quizás no le dimos ese nombre. En álgebra es igual es extraer aquellos factores incluidos en una expresión algebraica y que de ser multiplicados entre sí, pues volveríamos a tener la misma expresión. Según el autor la factorización se divide en diferentes casos (métodos de aplicación). Aurelio Baldor en su libro “Algebra” utiliza 8 casos diferentes, pero además hace de ellos 3 diferentes combinaciones, o sea se puede decir que llegan a los 11 casos. El mejor método y más moderno de estudiar la factorización, es dividiendo las expresiones según la forma en que se nos presentan (la forma en la que la vemos), entonces podemos estudiar la factorización en:
Hay que conocer la
factorización ¿Cuántos
casos son?
125
52
4.1.1 Factor común 1) Factorizar utilizando el método de Factor Común
2 2
2 2 2
3 4 2 2
2 2
2 2 2
3 2 3 3 2 2 3
2 3 3 2
2 2 2 4 3 2
2 3 2
3 2
1) 2)
3) 4) 3
5) 4 6) 5 15
7) 8)
9) 2 6 10) 8 12
11) 9 18 12) 15 60
13) 35 70 14)
15) 24 36 16)
17) 4 8 2 18) 15 20 5
19)
a ab b b
x x a a
x x m a
ab bc x y x z
a x ax m mn
a x ax c d c d
m n m abc abc
a xy x y a a a
x x y y y
a ax
+ +
+ −
− +
− +
+ −
− +
− +
− + +
− + + −
−2 2 2
3 5 7 2 2 3 4
2 2 2 2 3
6 4 3 2 2 3 2 3
2 3 2 4 3 5 4
2 3 2 2 3 3 2
20) 2 2 3
21) 22) 14 28 56
23) 34 51 68 24) 96 48 144
25) 3 8 4 26) 9 12 15 24
27) 12 24 36 48
28) 100 15 50 200
ax a x ax ax
x x x x y x x
ax a y ay mn n
a a a a a ab a b ab
m n m n m n m n
a b c ab c ab c abc
+ + −
+ − − +
+ − − +
− + − − + −
+ − +
− + −
2) Factorizar utilizando el método de Factor Común
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 2 2 2
1) 1 1 2) 1 3 1
3) 2 1 1 4)
5) 2 1 3 1 6) 2 2
7) 1 1 8) 1 1
9) 3 2 2 2 10) 1 2 1
11) 4 12)
13) 1 1 14) 4 1 3 1
15) 2 2 16)
a x b x x a a
x y x m a b a b n
x n y n a n n
x a a a b a
x x y x x a x
x m n n m m n x m n
a a b b a b m a x n x a
x a b c a b c x y n
+ + + + − +
− + − − + −
− + − + + +
+ − − + − +
− − − − + −
− + − − − + +
− + − − + + − + − +
+ + − − − + ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 3 1
17) 1 2 3 2 18) 3 1 4 1
19) 2 2 20) 5 1 1 1
n
x x y x a a a
x m n m n x a x a
+ − +
+ − + − + + + +
+ − + − + + + +
Factor común es cuando en cada término de una expresión algebraica existe
factores numéricos o variables que se repiten en cada uno de ellos.
53
4.1.2 Factorización de Binomios.
1) Diferencia de cuadrados 1) Factorizar las expresiones siguientes:
2 2
2 2
2 2
2 2
4 2 2
2 4 2 8 2
2 6 10 12
2 4 2 4 6
2 4 12 12 4 10
2 4 6 8 14
1) 1 2) 4
3) 9 4) 1 4
5) 16 6) 25
7) 1 8) 4 9
9) 25 36 10) 1 49
11) 4 81 12)
13) 100 14) 49
15) 25 121 16) 144
17) 196 225 18) 256 289
19) 1 9 20) 361
a a
b m
n a
y a
x a b
x y a b c
x y a b
x y a m n
x y z a b m
a b c d x
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
22
2 2 6
2 2 4 6 10
2 4 8
2 2
1
121) 9 22) 1
4 25
1 423) 24)
16 49 36 25
425) 26)
100 81 49 121
127) 100
16
28) n n
aa
x a x
x y z x a
m n x
a b
−
− −
− −
− −
−
−
Presten atención, entre los binomios que podemos factorizar están:
- Diferencia de cuadrados - Suma de cubos - Diferencia de cubos
Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de los términos.
( ) ( ) ( )2 2a b a b a b− = + −
54
2) La Suma y la Diferencia de Cubos 1) Factorizar las sumas o diferencias de cubo siguientes:
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3
3 3 3
3 3 6
3 3
3 6 6 9
3 3 3
3 3 3 6
3 6 9
1) 1 2) 1
3) 4)
5) 1 6) 1
7) 1 8) 8 1
9) 1 8 10) 27
11) 27 12) 8
13) 27 14) 64
15) 125 16) 1 216
17) 8 27 18)
19) 8 27 20) 1 343
21) 64 729 22)
23) 216 24) 27
a a
x y m n
a y
y x
x x
a x y
a b a
a m
a b x b
x y n
a a b x
x y y m
+ −
+ −
− +
− −
− −
+ +
− +
− −
+ −
− +
− −
−6 9343n+
2) Descomponer en dos factores las expresiones algebraicas siguientes:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
3 3
3 33 3
3 33
3 3 33
3 3 3 3
3 3 3 3
3 3 3
1) 1 2) 1
3) 27 4) 8
5) 2 1 6) 1 2
7) 1 8) 8 1
9) 27 10) 2 27
11) 2 12) 1 3
13) 1 2 14)
15) 2 3 16) 2 3
17) 8 18) 64 125
x y x y
m n x y
x y a b
a a a a
x x y a b
x x a a
x x x y x y
m m x y x y
a b a b m n
+ + − +
+ − − −
+ + − −
+ + − −
− − − −
− + + + −
− − + − − +
− + − − + +
+ + − + −
Para factorizar una suma o diferencia de cubos:
1- Una suma o diferencia de cubos se descompone de dos factores. 2- El primer factor es la suma o diferencia de las raíces, respectivamente, y el
segundo factor consta del cuadrado de la primera raíz, el producto de ambas raíces y el cuadrado de la segunda raíz.
3- Para la suma de cubos, los signos del trinomio son alternativos. +, - , + 4- Para la diferencia de cubos, los signos del trinomio son todos más: +, +, +
55
4.1.3 Factorización de Trinomios
1) Trinomios Cuadrados Perfectos Ejercicios
2 2 8 4 2 4
2 2 6 3 3 6 10 5
22 2 2 2
24 2 2 2 4
42 2 4 2 4 2 2
1) 2 11) 18 81 21) 16 104 169
2) 2 12) 2 22) 400 40 1
3) 2 1 13) 4 12 9 23)4
24) 1 2 14) 9 30 25 24) 1
3 9
5) 10 25 15) 1 14 49 25)4
6
a ab b a a x x
a ab b a a b b x x
ax x x xy y ab b
b by y b a b a
ba a x y x y a a b
− + + + − +
+ + − + + +
− + − + − +
+ + − + + +
− + + + − +
( ) ( )
4 22 10 5
42 4 6 3 2 2 4 6 3 2
22 2 2
22 4 6 12 2
3 6 2 2 2
1 25) 9 6 16) 1 2 26)
25 36 3
7) 16 40 25 17) 49 70 25 27) 16 216
8) 1 49 14 18) 1 49 14 28) 2 99
9) 36 12 19) 121 198 81 29) 2
10) 1 2 20) 24
x xx x a a
yx x m am n a n x x y
na a a a mn m
m m x x a a a b a b
a a a am x
− + + − + −
+ + − + − +
+ − + − + +
+ + + + + + + +
− + − ( ) ( )24 4144 30) 4 4 1 1m x a a+ − − + −
Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio 2
x bx c+ + Trinomio
2ax bx c+ +
Un Trinomio es cuadrado Perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
( es decir tienen raíz cuadrada exacta) y el segundo término es el doble del producto de sus
raíces cuadradas.
56
2) Trinomio 2
x bx c+ + 1) Ejercicios.
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1) 7 10 16) 7 18 31) 15 54
2) 5 6 17) 12 11 32) 7 60
3) 3 10 18) 7 30 33) 17 60
4) 2 19) 6 16 34) 8 180
5) 4 3 20) 20 21 35) 20 300
6) 5 14 21) 30 36) 132
7) 9
x x a a x x
x x m m a a
x x x x x x
x x n n x x
a a a a m m
m m y y x x
y
+ + + − − +
− + − + + −
+ − − − − −
+ − + − + −
+ + + − − −
+ − + − + −
−2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
20 22) 28 11 37) 2 168
8) 6 23) 6 40 38) 24 135
9) 9 8 24) 5 36 39) 41 400
10) 5 24 25) 2 35 40) 380
11) 3 2 26) 14 13 41) 12 364
12) 7 6 27) 33 14 42) 42 432
13)
y a a x x
x x n n a a
x x x x y y
x x a a a a
x x x x x x
a a a a x x
y
+ + − − −
− − − − + +
− + − − − +
+ − − − + −
− + + + + −
+ + + − + +
2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 3 28) 13 30 43) 30 675
14) 12 8 29) 13 14 44) 50 336
15) 10 21 30) 15 56 45) 2 528
y m m a a
n n x x x x
x x x x x x
− + + − − −
− + − − + +
+ + + + − −
2) Ejercicios
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
24 2 10 5
6 3 2 2 2 2
8 4 2 2 4 2 2
2 22 2
2 22
1) 5 4 6) 5 13 5 42 11) 20
2) 6 7 7) 2 15 12) 56
3) 2 80 8) 4 21 13) 7 60
4) 12 9) 2 24 14) 2 4 2 3
5) 4 2 4 15 10) 5 4 15) 5 24
x x x x x x
x x x ax a m mn n
x x a ab b x ax a
x y xy x y x y x x
x x x x x y x y
+ + + + + −
− − + − + −
− − − − + −
+ − − − − − − +
− − + − − + − −
Se cumplen las condiciones siguientes
1. El coeficiente del primer término es 1 2. El primer término es una letra
cualquiera elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma
letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1ª y 2ª términos y es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
57
3) Trinomio 2
ax bx c+ +
Ejemplo: 6x2 + 11x – 10
2x 5 15x
3x –2 – 4x
11x (término central)
donde la repuesta es : ( 2x + 5 )( 3x – 2)
Ejercicios
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 4 2
2 2 2 2
2
1) 2 3 2 16) 9 10 1 31) 12 7 10
2) 3 5 2 17) 20 9 20 32) 21 29 72
3) 6 7 2 18) 21 11 2 33) 6 13 15
4) 5 13 6 19) 6 15 34) 14 45 14
5) 6 6 5 20) 15 8 12 35) 30 13 3
6) 12 6
x x x x x x
x x x x m mn n
x x a a x ax a
x x m m x x
x x x x a ab b
x x
+ − + + − −
− − − − − −
+ + + − − −
+ − − + − −
− − − − − −
− −2 4 8
2 2 2 2 2
2 2 10 5
2 2 2 2
2 2 2
2
21) 9 37 4 36) 5 7 6
7) 4 15 9 22) 44 20 15 37) 4 7 15
8) 3 11 10 23) 14 31 10 38) 30 9 30
9) 12 13 35 24) 2 29 90 39) 30 17 21
10) 20 1 25) 20 7 40 40) 16 4 15
11) 8 14 1
x x x x
x x n n x mnx m n
a a x x x x
m m x x m am a
y y a a a a
x x
+ + + −
+ + + − + −
+ + − − − −
− − + + + −
+ − − − − −
− −2 2 2
2 2 2 2
2 4 2 2 2
2 6 3 2
2 8 4 6 3
5 26) 4 33 41) 11 6 4
12) 7 44 35 27) 30 13 10 42) 27 9 20
13) 16 15 15 28) 6 5 6 43) 18 17 15
14) 2 5 2 29) 5 4 12 44) 30 13 3
15) 12 7 12 30) 10 29 10 45) 7 33 10
a a xy y x
x x a a ab b a
x x a a a ay y
a a a a a a
x x x x x x
+ − − −
− − + − − −
+ − + − + −
+ + + − + −
− − + + − −
Este Trinomio se diferencia del estudiado anteriormente en que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1
58
4.1.4 Factorización de Otras expresiones Algebraicas
Ejercicios
2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 2 2
2 2 2 2 2
3 2 2
1) 16) 9 10 1
2) 17) 20 9 20
3) 2 2 4 18) 21 11 2
4) 3 3 19) 6 15
5) 3 2 2 3 20) 2
6) 21) 2 1
7) 4 4 3 3 22) 4 4
a ab ax bx x x
am bm an bn x x
ax bx ay by a a
a x bx a y by m m
m n nx mx a ab b x
x a x a x a a b
a x a b bm amx x a
+ + + + +
− + − − −
− − + + −
− + − − +
− − + + + −
− + − − + −
− + − + −2
2 2 2
3 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 2 2 2 2
2 2 2
9
8) 6 3 1 2 23) 6 9 4
9) 3 9 3 24) 49 25 9 30
10) 2 5 15 6 25) 16 1 10 9 24 25
11) 2 2 26) 9 2 100 60
12) 6 9 21 14 27) 4 9 49 3
b
ax a x a ay y x
x ax x a x x y xy
a x a y by bx a m x ax m
x xz y z xy m a acd c d m
m n nx mx a x b
−
+ + + − + −
− − + − − +
− + − − − + − −
+ + + − + − + −
− + − − + −2
2 2 2
2 2
2 2
0 25 28
13) 1 3 3 28) 225 169 1 30 26
14) 20 5 2 8 29) 4 4 1 2
15) 3 2 2 6 3 4 30) 16 36 12 8
xy y ab
a ab b a b a bc c
ax bx by ay x y x y
ax by bx a ay b a x a x
− −
+ + + − + + + −
− − + − + + − −
− − − + + − − + + −
Estamos en presencia de expresiones con más de 3 términos, o sea polinomios
con 4 o más términos.
Debemos primero agrupar los términos para poder aplicar todo lo conocido
59
Ejercicios combinados donde se incluyen todos los métodos estudiados de factorización. 1) 3x2 – 6xy 2) 6ab2 – 4a2b3 3) 24p5q2 – 18p4q3 + 12p3q4 4) 6x4y – 3x3y3 – 9x2y4 + 3x2y 5) xm+n ym – x2n ym+n – xn y2m 6) 6xy – 2y – 15x + 5 7) 2ax – 2by + bx – 4ay
8) a2 + 2ab + b2
9) x2 – 14x + 49
10) 9y2 + 25 + 30y
11) 16 a2 + 36 a + 81
12) 4 x2 – 12 xy + 9 y2
13) 49 x4 + 70 x2y3 + 25 y6
26) - 4y2 + 24 y4 – 36 y8
27) 4x4 + 4x2y + y2 – 12 x2 – 6y +9
28) a2 – b2
29) x2 – 25
30) 36 x2 – 49 y2
31) 25 a6 – 16 a4
32) 9 a6x4 – 16 b4y6
33) 36 x2a – 25 a2x
34) 2 xy + 3 x – x2 y – 6
35) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
36) x3 + 6x2 + 12 x + 8 37) x3 - 9x2 + 27 x - 27
38) a3 + b3
14) a2 x2 – b2 x2 + a2 y2 – b2 y2
15) 50 m2 n2 – 2 m2 + 4 m n – 2 n2
16) 4 a4 + 4 a2 – 4 b4
17) x4 y4 – x4 – y4 +1
18) a3 – b3
19) x3 + 125
20) 8x3 + 27 y3
21) x3 + 125
22) 8x3 + 27y3
39) y3 – 64
40) 27 x3 – 125 y6
41) 64 x6 – a12
42) y3 – 64
43) 27 x3 – 125 y6
44) 64 x6 – a12
45) x2 + 3x – 10
46) x2 – 2x – 8 47) x2 – 5xy + 6y2
48) x2 y2 + 9xy + 14
23) x2 + 7x + 12 49) x4 – 5x2 + 4
24) x2 – 3x – 10 50) 6x2 + 11x – 10
25) x2 – 8x + 15
60
4.2 Productos Notables
4.2.1 cuadrado de un binomio
Ejercicios
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 22 5 6 3 3
2 22 2 3 4 4 2
2 22 2 3 2
2 22 2 3 5 2
2 22 10 12 7 7
2 2 2
2 222 3 5
1) 3 11) 4 5 21)
2) 5 12) 7 5 22) 3 5
3) 6 13) 4 5 23) 1
4) 9 4 14) 8 9 24) 3
5) 7 11 15) 10 25)
6) 16) 3 26) 2 3
7) 1 3 17) 7 27) 10 9
8) 2 3
m m n a b
x a b x a b
a b ab xy x
m x y m x ay
x x y a b
x y a m n
x x x xy
x
+ + −
+ + −
+ + −
+ + −
+ + −
+ − −
+ − −
+( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22 2
2 222 2 2
2 223 4 1 2
18) 9 28)
9) 19) 2 3 29) 5
10) 3 8 20) 4 1 30) 3
m n
x
a a
y a x y
a x by a b a
a b ax x x
−
+ −
− −
+ − −
+ − −
Producto Notable es una multiplicación rápida, sin efectuar
operaciones, solo por simple inspección.
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos términos y
más el cuadrado del segundo término.
61
4.2.2 y 4.2.3 Cubo de la suma y la diferencia de dos términos
1) Ejercicios:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3
3 3
3 32
33 2
33 2
1) 2 2) 1
3) 3 4) 4
5) 2 1 6) 1 3
7) 2 8) 1 2
9) 4 3 10) 2
11) 2 3 12) 1
a x
m n
x y
y n
n a b
x y a
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
2) Ejercicios mezclados:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3
2 3
23
2 3
3 22 2 3
22
2
3 22 2 2 3
1) 3 2) 2 5
3) 2 3 4) 5 4
15) 2 5 6) 3
2
7) 6 4 8) 5 1
9) 3 10) 22
11) 2 3 12) 10
x x
x y a b
x y
x y x
ab a b
x y z a
+ −
− −
+ −
+ −
− +
+ −
El método pata la suma es: Cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo, más cubo del segundo término. En el caso de la diferencia, es el mismo procedimiento, pero los signos son alternos, o sea comienzan en + y continúan -, +,- etc.
4.2.4 El Triángulo de Pascal
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
5
4
52
4
62
52
6
7
1) 3
2) 2
3) 2 3
4) 2
6) 5 3
7) 4 2
8) 10 4
9) 2
10) 3 2
x
x y
a b
x
m n
x x
m n
x y
y
−
+
−
+
−
+
−
−
+
Ya estudiamos el resultado de un binomio al cuadrado
y al cubo. ¿Qué hacer cuando es de potencias
mayores?
Pascal
Es sencillo
El Triángulo de Pascal nos da los coeficientes de cada término del resultado de elevar a la potencia dada, el
binomio.
4.2.5 Producto de la forma ( x+a )( x+b )
Ejercicios
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
3 3
2 2 3 3
4 4
5 5
6 6
1) 7 3 16) 19 10
2) 3 7 3 17) 5 9
3) 10 6 18) 1 7
4) 3 5 19) 1 20
5) 3 20) 3 6
6) 5 9 21) 7 6
7) 1 2 22) 8 1
8) 2 4 23) 2 7
9) 5 2 24) 7 9
10) 6 5 25) 5
x x n n
a a a a
y y x x
x x n n
p qr p qr n n
t t x x
a a a a
x x a a
x x a a
m m ab ab
+ − − +
+ + + −
− − − −
− + − +
− − + −
+ + + −
+ + + −
+ + − +
+ − + −
− − + −( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1
6
11) 7 3 26) 9 12
12) 2 1 27) 1 7
13) 3 1 28) 6 8
14) 5 4 29) 3 8
15) 11 10 30) 6 5
x x
x x
x x xy xy
x x a b a b
x x x y x y
x x a a
a a a a+ +
+ − − +
+ − − +
− − − +
− + − +
− + − −
El producto de binomios de la forma ( x + a )( x + b ) es igual al producto de los primeros términos seguido por la suma algebraica de los segundos términos acompañado del primer término, y el producto algebraico de los segundos
términos.
64
4.2.6 Producto de la forma ( mx + a) ( nx + b)
Ejercicios:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1) 2 5 3 4) 3 1 2 1
2) 4 3 5) 3 2 4
3) 2 6) 2 3 3 2
x x y y
ab ab x x
x y x y x y x y
+ + + −
+ − + −
− + + +
4.3 Aplicación en la simplificación de fracciones
1) Simplifica o reduce a su más simple expresión:
2 3
2 2
2
2 3
3 2
2
31)
2 2
2)3 3
2 43)
3 6
2 34)
3
105)
80( )
46)
5 10
ab
a x a
xy
x y xy
ax bx
ay by
x x
x
a b c
a a b
x
ax a
+
−
+
+
− −
−
−
−
+
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
3 3
3 2
3
3 4 157)
5 6
15 458)
10 30
9)
3 1510)
25
4 411)
8
4 2112)
9
x x
x x
a bn a bm
a b n a b m
x y
x xy y
x y xy
x
a ab b
a b
x x x
x x
− −
− +
−
−
−
+ +
+
−
− +
−
+ −
−
Se aplica el mismo procedimiento de la
multiplicación anterior.
Para simplificar una fracción, primero hay
que factorizar el numerador y el denominador. Y
efectuar también las operaciones
65
2
2
3
4 3
2 2
3 2 2
2 2
4 4
3 3
3
2
2 2
6 5 613)
15 7 2
114)
1
2 4 215)
4 2 8
616)
6 9
17)
18)( )
( )19)
x x
x x
a
a a a
ax ay bx by
ax a bx b
a ab b
a x a bx ab x
m n
m n
x y
x y
m n
m n
+ −
− −
+
− + −
+ − −
− − +
− −
− +
+
−
+
+
−
−
2
2
2 2
2
4 2 2 4
4 4
2 2
3 3
3 2 2
4 3 2 2
3
2
2020)
7 10
(1 )21)
2 1
22)
23)
24 824)
36 24 4
25)5 6
a a
a a
a
a a
a b a b
a b
x y
x y
a b a b
a a b a b
n n
n n
− −
− +
−
+ +
−
−
−
−
+
+ +
−
− −
2) Simplificar las siguientes fracciones:
2 2
2 3 2
2 3 2 2 2
2 2 2 2 2
3 3 4 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 2 2 2
3 2 2
2 6 5 25 7 71) 11)
3 4 14 10 50
10 92) 12)
5 3
5 4 14 2 23) 13)
7 7 5 2
5 2 3 4 44) 14)
10 2 4
2 3 5 2 25) 15)
15 7 2
a b x x
b a x
x y a m m n n
m x mn n m n
x y m xy y x xy y
y m x x xy x xy
a b x xy y x
a b x xy x y
x a x x x
a y xy x
+ +
+
+
− −
− + +
+ −
− +
+ −
+
i i
i i i
i i i
i i i
i i
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3 2 2
2 2
3 2 2 2
3 2
3
2 3
2 8 36) 16)
6 4 2 2 1 6 6
2 2 4 5 2 3 2 3 67) 17)
2 50 3 3 6 3 4
9 18 5 25 2 3 2 38) 18)
5 5 15 4 8 3
27 1 4 4 29) 19)
1 3 9 3
x x
x x
x x a ab a b
x a a a ab
a a a x x x
a a x x
y y y x x x x x
y y x x x x
x a a a ab b a
a x x
−
− −
+ − + −
+ + + −
− − − − − +
− + + −
+ + − + − +
− + + + −
− + + + +
− + +
i
i i
i i
i i
i i
( )2
2 2 2 2
2 2
4
2
1 5 6 610) 20)
1 3 15 30 2 4
b
a b
x a a x a a a a
a x x a a a a a
+
+
− + − +
+ − − − − −i i i i
66
4.4 Multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas:
1) Efectuar los siguientes ejercicios:
2 2
2 3
2 3
2 2
3 3 4
2
3 2 2
3 2
4
2 2
2
2
2 2 2
2 61)
3 4
10 92)
5 3
5 4 143)
7 7 5
5 2 34)
10
2 3 55)
15 7
7 3 56)
6 10 14
2 87)
6 4 2
5 25 7 78)
14 10 50
9)
a b
b a
x a m
m x
x y m
y m x
a b
a b
x a x
a y xy
a m n
m n ax
x x
x
x x
x
m n n
mn n m n
+
+
+ +
+
+
− −
i
i i
i i
i i
i i
i i
i
i
i
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
3 2
3 2
2
2
2
2
2
2 210)
2
4 411)
2 4
2 2 312)
2 2 3
313)
2 1 6 6
( ) 114)
1 ( )
2 2 4 515)
2 50 3 3
2 3 2 3 616)
6 3 4
9 1817)
5
xy y x xy y
x xy x xy
x xy y x
x xy x y
x x x x
x x x
a ab a b
a a a ab
x y x x
x x y
a a a
a a
x x x
x x
y y
y
+ + +
+ −
− +
+ −
+ −
− −
− + −
+ + −
− + +
− −
− − −
− +
− − +
+ −
+ +
−
i
i
i
i
i
i
i
3 2 2
2 2
5 25
5 15
2 3 2 318)
4 8 3
y
y
x x x x x
x x x x
−
+
+ − +
+ + −
i
i
3 2
3 2
2 2
3
2
2 3
22 3
2
2 4
3 4
22 3
2 2
3 3 4
2 34
2
2 3
2 2 2 2
3
27 119)
1 3 9
4 4 2 420)
3 ( 2 )
221)
3
322)
5
5 1023)
7 14
24) 65
15 2025)
19 38
1126) 22
7
1 2 227)
3 6
3 528)
6 9 3
29)
x a a
a x x
a ab b a b
a b
x x
y y
a ba b
x
m m
n an
a xa x
m y
ax a x
x yy
m
x x
a a
a ab b a b ab
x
− + +
− + +
+ + +
+
÷
÷
÷
÷
÷
÷
− −÷
÷+ + +
−
i
i
2
2
2 2
2
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2
2 3 2 2
2
5 5
2 6 2 6
1 230)
30 42
20 30 4 631)
15 15 1
6 5 2 3532)
15 56 5 24
8 26 15 6 13 533)
16 9 9 1
121 1134)
49 7
5 535)
4 1 2 1
x x x
x x x
a a a a
x x x
x x x
a a a a
a a a a
x x x x
x x
x x x x
x x
ax a x a
a a
−÷
+ +
÷− − + −
− −÷
+ +
− + + −÷
− + − −
+ + + −÷
− −
− −÷
− +
+ +÷
− −
68
4.5 Adición y sustracción de fracciones:
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
1 11)
1 1
2 12)
4 3
3 63)
1 2 5
4)
3 25)
3 2
6)
7)1 ( 1)
2 38)
5 25
19)
3 2 9 4
10)
3 1 811)
2 4 2 4 4
1 512)
5 4 5 2 1
13
a a
x x
x x
x x
x y x y
m m
m m
x y x y
x y x y
x x y
x x
x
x x
x y
x y x y
x a x a
a ax ax ax x
x x
x x x
a a
a a a a a
++ −
++ −
+− +
+− +
+ ++
− −
+ −+
− +
++
− −
+− −
−+
− −
++ +
− −
− ++ +
+ − −
++ +
− − − + +
2 2
2 2 2
2 1 1)
3 11 6 9 3 2
1 1 114)
1 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 3)
2 3 2 115)
2 5 3 2 3 2 5 6
x x
x x x x
x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
++ +
+ + − +
++ +
− − + − + +
− − −+ +
− − − − − +
Acuérdate de la factorización y
de la igualdad de denominadores
69
2
2 2
2
2
2
2 3
2 2
2 2
2 2
2
3 216)
4 8
5 317)
2 118)
3 2
2 319)
20 24
1 2 320)
3 4 6
3 2 1 4 121)
5 10 20
3 1 2 322)
5 3 15
1 123)
4 3
3 424)
12 6 9
4 325)
9 3
126)
1 (
x x
a b b
a ab
mn m n
y x x y
x y
x x x
a a
a a
x x x
x x x
x x
a a
a a a a
a ab b b
a b a b
x x
x x
− +−
+ −−
−
− −−
− − +− −
+ +− −
− + +− −
−− −
+ −−
+ − − +
+ −−
− +
+−
− −2
2
2 2 2
2 2
3 3 2 2
2 2
1)
2 3 127)
6 9 4 12 9
328)
2 2 3 5 6
1 929)
4 12 27 2( 3 9 )
2 3 1 9 1430)
10 10 50 50 50
a a
a a a
x x
x x x x x x
a x a
a a x a ax x
a a a
a a
− −−
+ + +
− −+ − + − + +
+− −
− − + +
− + −− −
+ +
Tenemos que hacer muchos
ejercicios
70
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 3 4 731)
3 2 6
1 1232)
3 6 6 12 12 24
1 133)
1 3
34)
435)
1 4 536)
20 4 5 5 4
2 1 237)
12 8 6 2 16 8
1 1 138)
39)
x
x x x x
a a
a a a
x
x x x
a b a b a
a ab ab ab b
x y x y x
x y x y x y
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
ax x ax a x
−+ −
− + − −
+− +
+ + +
+ −+
− ++ −
+ +
− +− +
+ − −
+ + +− +
− − − − + +
+− +
+ + − −
− ++ +
2
2
2 2 2
2
2
2 2
1 2 2 6
3 3 6 6 9 9
3 2 5 1 4 140)
3 10 4 5 3 2
1 2 141)
2 3 1
2 3 2 342)
2 3 2 3 (2 3 )
1 1 143)
5 5 5 5 10 10
1 1 544)
2 2 3 3 6 6 18 18
1 145)
3 3 3 3 6 6 2 2
a a a a
a a a
x x x
x x x x x x
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
x x x
x x x x
x x
x x x x
− − + −− +
+ − −
+ + −− +
+ − + − − +
− −− +
− + −
+ −− +
− + −
+ −+ − +
+ −− + −
+ − + −
− + −− + + −
Mientras más practico realizando ejercicios,
más domino la materia
71
TEMA 5 Ecuaciones
1) Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) 11x - 10 = -11x - 208
2) 5x + 6 = 8x - 18
3) -4x + 2 = -7x + 14
4) 7x - 7 = 10x - 37
5) 5x + 7 = 10x + 32
6) 11x + 6 = -9x + 66
7) 5x - 11 = -10x - 56
8) 9x + 5 = 3x - 13
9) 5x - 11 = 6x - 6
10) 10x + 3 = 7x + 18
11) 11x - 8 = 6x + 2
12) 8x + 10 = -8x - 22
¿Sabes que es una Ecuación?
Es una Igualdad, pero
donde la variable solo
puede tener un valor.
72
13) 11x + 9 = -5x + 121
14) 7x + 9 = 5x + 21
15) -3x + 7 = 7x + 67
16) -6x + 8 = -8x - 14
17) 3x - 4 = 8x - 39
18) -6x - 6 = 11x + 164
19) -3x - 6 = -8x - 26
20) 3x - 5 = -6x + 94
21) 7x - 2 = -9x - 98
22) 3x - 10 = -11x - 150
23) 5x + 3 = -3x + 27
24) -11x - 9 = 9x - 89
25) 8x - 10 = -12x - 140
26) 9 ( 4 x - 10 ) = -3 ( -7 x + 70 )
27) -10 ( -7 x + 11 ) = 4 ( -6 x + 137 )
28) 9 ( 11 x - 9 ) = 3 ( -5 x - 369 )
29) 2 ( 6 x - 3 ) = 6 ( -9 x + 76 )
30) 4 ( 9 x + 10 ) = -2 ( -10 x - 76 )
31) 8 ( 4 x + 6 ) = -10 ( -9 x + 59 )
32) 5 ( -3 x - 5 ) = -10 ( 10 x - 74 )
33) 9 ( 3 x - 2 ) = -6 ( -11 x + 16 )
34) -4 ( -5 x - 7 ) = -11 ( 6 x - 26 )
35) 8 ( -6 x + 7 ) = -2 ( -6 x + 212 )
73
5.4 Ecuaciones con coeficientes fraccionarios
11) 5
6 3
3 2 12) 0
5 3 5
1 1 1 13)
2 4 10 5
54) 2
2 12 6 4
3 1 5 35) 2
4 5 4 20
2 5 7 36) 1
3 10 2
47) 5 0
3
2 58)
12 2
5 1 39) 4
3 5
8 310) 10 2( 3)
4
xx
x x
x x
x x x
x xx
x x x
x
x xx
xx x
xx x
+ = −
− + =
+ − =
+ − = −
− + = −
− = − +
−− =
+− =
−− = −
−− = −
74
2 3 411)
3 4 5
1 2 3 512)
2 3 4 5
7 513) (5 1) 1
10
5 6 114) 2 ( 5) 5
4 3
10 1 16 315) 4 4
6 4
1 1 116) ( 1) ( 3) ( 3)
2 3 6
6 1 11 2 1 517) (5 2) (6 1)
3 9 4 6
4 1 1 13 2 118) (4 1) ( 3)
3 3 6 2
219)
5
x x x
x x x x
xx x
xx x x
x xx
x x x
x xx x
x xx x
− − −− =
− − − −− − =
−− − − =
−− + − = −
+ +− = −
− − − = + +
+ −− − − = +
+ += − − − −
2
2
2 2
2
3 1 6(5 1) (10 3) ( 2)
10 2 5
3 1 5 4 2 2 3 120)
2 3 8 5 10
2 3 421) 61)
3 4 5
3 1 1 722)
7 12 2 6 6 24
( 3) 1 2(7 1)23)
( 3) 1 2 3
4 1 12( 3)24)
5 2 ( 5)
6 1 525)
2 3 1
x x x
x x x x
x x x
x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
− + − = − − −
− + + −− − = −
− − −− =
−= +
+ + + +
+ − += +
− + − −
− + +− =
+ − +
+ + −− = −
+ − − + 4
75
5.6 Teorema de Pitágoras
Ejercicios de aplicación del Teorema de Pitágoras
1) Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 18,36 cm y 12,45 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa
2) Hallar la longitud de la valla que se necesita para cercar un terreno que tiene la forma de un triángulo rectángulo.
Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 a. C
Pitágoras es el introductor de pesos y medidas, canalizó el fervor religioso en
fervor intelectual, usó la definición y consideró que el universo es una obra
sólo descifrable a través de las matemáticas.
Mi teorema dice, que en un triángulo rectángulo, la longitud al cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
2 2 2c a b= +
76
3) Hallar el perímetro del siguiente rombo
4) Hallar el perímetro del siguiente triángulo isósceles.
5) Calcula el valor de x conociendo que la parte sombreada es 1/3 del área total del cuadrado.
77
5.8 Resolución de problemas
Resolver los siguientes problemas utilizando ecuaciones de primer grado:
1) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números
2) Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números
3) La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
4) Tres cestas contienen 575 manzanas. La primera tiene 10 manzanas más que la segunda y 15 más que la tercera. ¿Cuántas manzanas tiene cada cesta?
5) Dividir 642 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.
6) En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?
7) Repartir 133 bolivianos entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y la de C doble de la de B.
8) El duplo de un número equivale al número aumentado en 111. Hallar el número.
La resolución de problemas es la
aplicación práctica de las
ecuaciones
Con los datos del problema hay que
formar una ecuación y la solución de esta es la
del problema
78
9) Si un número se multiplica por 8 el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número.
10) Jorge es 3 años menor que Pedro, pero 7 años mayor que Maria. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
11) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
12) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor ?. 13) Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por 259 dólares. El traje costó 8 veces lo que el sobrero y el bastón 30 dólares menos que el traje. Hallar los precios respectivos. 14) Si me pagan 60 bolivianos tendría el doble de lo que tengo ahora más 10 bolivianos. ¿Cuánto tengo? 15) Las edades de un padre y su hijo suman 83 años- La edad del padre excede en 3 años al triplo de la edad del hijo. Hallar ambas edades. 16) A un hombre se le pregunta su edad y responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre? 17) En una clase hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas: El número de señoritas excede en 15 al duplo de los jóvenes. ¿Cuántos jóvenes y cuantas señoritas hay en la clase? 18) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? 19) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. 20) Al comprar cuadernos de dos tipos, un comerciante gastó $80.400. Por cada cuaderno de 60 hojas pagó $600 y por cada cuaderno de 100 hojas pagó $800. Si compró 6 cuadernos más de 100 hojas, respecto de la cantidad de cuadernos de 60 hojas: 21) Hallar tres números consecutivos tales que si el menor se divide entre 20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41, la suma de los cocientes es 9.
79
22) En 4 días un hombre recorre 120 kilómetros. Si cada día recorrió 1/3 de lo que recorrió el día anterior, Cuantos kilómetros recorre cada día. 23) Tenía cierta cantidad de dinero. Gasté $20, y presté 2/3 de lo que me quedaba. Si ahora tengo $10. ¿Cuánto tenía al principio? 24) A y B comienzan los dos a jugar loba, cuando comienzan los dos tenían la misma cantidad de dinero. Al pasar un rato A tiene perdido 30 Bs. En ese momento A tiene la mitad de lo que tiene B. ¿Con cuanto comenzaron a jugar los dos.? 25) Un capataz contrata a un obrero por 50 días, pagándole $3.600 por cada día trabajado, con la condición de que por cada día no trabajado perderá $2.400. Finalizada la faena el obrero recibió $108.000. Determinar la cantidad de días no trabajados por el obrero. 26) Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11. 27) Que número hay que restar de 22 para que la diferencia equivalga a la mitad de 22 aumentada en los 6/5 del número que se resta. 28) El triplo de un número excede en 48 al tercio del mismo número. Hallar el número. 29) Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenía me quedan 39 bolivianos. ¿Cuánto tenía? 30) Hallar dos números consecutivos tales que los 7/8 del menor excedan en 17 a los 3/5 del mayor. 31) Dividir 260 en dos partes tales que el duplo de la mayor dividido entre el triplo de la menor dé 2 de cociente y 40 de residuo. 32) El jueves perdí los 3/5 de lo que perdí el miércoles y el viernes los 5/6 de lo que perdí el jueves. Si en los tres días perdí 252 bolivianos- ¿Cuánto perdí cada día? 33) Tenía cierta suma de dinero. Gasté 20 bolivianos y presté los 2/3 de lo que me quedaba. Si ahora tengo 10 bolivianos. ¿Cuánto tenía al principio? 34) Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los ¾ del resto gallinas y las 4 aves restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja? 35) Pedro tiene el doble de dinero que Juan. Si Pedro diera 20 bolivianos a Juan tendría los 4/5 de lo que tendría Juan. ¿Cuánto tiene cada uno?
80
36) Enrique tiene 50 bolivianos y Ernesto 22 bolivianos. Si ambos reciben una misma cantidad de dinero, Ernesto tiene los 3/5 de lo que tiene Enrique. ¿Cuál es la suma? 37) El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el denominador se aumenta en 7 el valor de la fracción es ½. Hallar la fracción. 38) El numerador de una fracción es 8 unidades menos que el denominador. Si a los dos términos de la fracción se suma 1 el valor de la fracción es ¾. Hallar la fracción. 39) El numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si al numerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y la nueva fracción es 3. Hallar la fracción primitiva. 40) La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cifra de las unidades en 2. Si el número se divide entre la suma de sus cifras, el cociente es 7. Hallar el número.
81
TEMA 6 Polígonos, circunferencias y círculos.
6.1 Angulos entre paralelas.
Aprenderemos a resolver problemas aplicando las
propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
El ángulo que
forma una Recta Secante al cortar dos
Líneas Paralelas.
Recta secante es la que corta. Al cortar una
secante a dos paralelas se forman un total de 8
ángulos.
82
Angulos que se forman al cortar una secante a dos líneas paralelas y que son iguales entre sí.
83
84
6.3 Eje de simetría y diagonales
Ejercicio: trazar en las figuras siguientes los ejes de simetría y las diagonales
Un eje de simetría divide una figura plana en dos partes
iguales o mitades simétricas. Quiere decir que si doblo la figura por su je de simetría,
las dos coinciden exactamente.
La diagonal es la línea que va de un vértice a otro de la
figura
85
6.4 Suma de ángulos de un polígono convexo
1) Completar la siguiente tabla:
Polígono Número de lados
Número de
triángulos en los que se subdividió
Suma de los ángulos interiores
del polígono
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Un polígono es convexo cuando sus ángulos
interiores son inferiores a 180 grados.
Además se cumple:
( )2 180SAI n= − i
( )2 180SAI n= − i
La suma de los Ángulos interiores es igual a la cantidad de lados menos 2 por 180
86
2) Calcular el ángulo que falta.
6.5 Polígonos regulares. Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea, o sea, el trazo,
por lo que solo tiene longitud
El círculo es el área que
existe dentro de la
circunferencia
Cuando se habla de circunferencia o de círculo
está presente siempre que su valor es 3,141592……
87
Ejercicio: 1) Dibujar una circunferencia de radio 15 cm ; se le llama P al centro:
a) ¿A qué distancia están todos los puntos de P? b) ¿Cuánto mide el diámetro? c) ¿Qué relación hay entre el diámetro y el perímetro de la circunferencia? d) ¿Qué se necesita pata construir una circunferencia?
2) Dibuja circunferencias en los siguientes ejes de coordenadas.
a) Radio = 20 cm y centro en ( 0,0) b) Radio = 15 cm y centro en ( 1, -1 ) c) Diámetro que una segmentos de (2,2) y (3,-1)
3) La pared de una habitación tiene 6 m de ancho y 2,5 m de alto; además tiene 2 ventanas circulares de 50 cm de radio cada una.
a) Si no tuviera las ventanas, ¿qué superficie tendría la pared? b) ¿Qué medida tiene la superficie de cada ventana? c) Si quiere pintar la pared, ¿cuál es el área de la superficie a pintar? d) Si un tarro de pintura alcanza para 5 m2 ¿cuántos tarros se necesitan para
pintar la pared? e) Si cada tarro cuesta Bs. 60 ¿Cuánto dinero se necesita para pintar la
pared? 6.6 Area y perímetro de sectores circulares.
Un sector circular es un pedazo de
un círculo.
El área del sector circular es igual a: 2
360r
απi donde α es el ángulo central
88
Ejercicios 1) Completa la siguiente tabla para perímetros de sectores circulares.
No. de
divisiones de la circunferencia
Angulo del
sector circular
Fracción que representa el sector circular
Area
Perímetros
1 0360
2 0
0360180
2=
3 0
0360120
3=
4 0
036090
4=
5 0
036072
5=
6 0
036060
6=
10 0
036036
10=
2) responder las siguientes preguntas:
a) Si el ángulo del sector aumenta al doble ¿qué sucede con el área? b) ¿Y con el perímetro?
3) Encuentra el área y el perímetro de sectores circulares de círculos con radio de 3 cm y ángulos centrales de 60º, 90º, 120º y 36º
No puedes olvidar que el perímetro de la circunferencia es igual
a: 2 rπ
89
Fórmulas de volumen de cuerpos geométricos
Figura Esquema Volumen
Cilindro
V = p r2 · h
Esfera
Cono
Cubo
V = a3
Prisma
V = área base ´ h
Pirámide
90
Áreas de las figuras planas
Área de un tr iángulo
Área de un cuadrado
Área de un rectángulo
Área de un polígono
Área de un círculo