Facultad de Economía y Negocios

Escuela de Ingeniería Comercial

Módulo: Microeconomía II

Profesor: Hugo Salgado Ayudantes: Anyela Palavecina - Michael Gaete.

PAUTA CONTROL Nº1

Página 1

1. Considere a un consumidor cuyas preferencias pueden representarse por la función de

utilidad U(X,Y)=X0,7Y0,3

a) Calcule la función de Demanda Marshalliana por el bien X e Y.

Método 1

𝑈𝑚𝑔(𝑋)

𝑈𝑚𝑔(𝑌)=

0,7𝑋−0,3𝑌0,3

0,3𝑌−0,7𝑋0,7=

0,7𝑌

0,3𝑋

0,7𝑌

0,3𝑋=

𝑃𝑋

𝑃𝑌

𝑃𝑌𝑦 =0,3𝑃𝑋𝑥

0,7

Reemplazo en restricción presupuestaria:

𝐼 = 𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 𝐼 = 𝑃𝑋𝑥 +0,3𝑃𝑋𝑥

0,7 𝑋𝑀 =

0,7𝐼

𝑃𝑋

Para obtener la Demanda Marshalliana del bien Y, luego de igualar la RMS con los precios

relativos (Px/Py), despejo “PXx” y reemplazo en la restricción presupuestaria:

0,7𝑌

0,3𝑋=

𝑃𝑋

𝑃𝑌 𝑃𝑋𝑥 =

0,7𝑃𝑌𝑦

0,3

Reemplazo en restricción presupuestaria:

𝐼 = 𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 𝐼 =0,7𝑃𝑌𝑦

0,3+ 𝑃𝑌𝑦 𝑌𝑀 =

0,3𝐼

𝑃𝑌

Método 2

Al reconocer que las preferencias del individuo están representadas por una función de

utilidad del tipo Cobb-Douglas, se puede obtener sus demandas Marshalliana aplicando

formulas.

𝑋𝑀 =𝛼∗𝐼

(𝛼+𝛽)∗𝑃𝑥 𝑋𝑀 =

0,7∗𝐼

(0,7+0,3)∗𝑃𝑥 𝑋𝑀 =

0,7𝐼

𝑃𝑥

𝑌𝑀 =𝛽∗𝐼

(𝛼+𝛽)∗𝑃𝑦 𝑌𝑀 =

0,3∗𝐼

(0,7+0,3)∗𝑃𝑦 𝑌𝑀 =

0,3𝐼

𝑃𝑦

Método 3

También es posible usar “multiplicadores de Lagrange” maximizando el lagrangeano

sujeto a la restricción presupuestaria.

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Página 2

b) Calcule la función de Demanda Hicksiana para el bien X.

Método 1

Se puede igualar la RMS con los precios relativos (Px/Py) para obtener los bienes “X” e

“Y” que luego reemplazo en la función de utilidad del individuo.

0,7𝑌

0,3𝑋=

𝑃𝑋

𝑃𝑌 𝑌 =

0,3𝑃𝑋𝑥

0,7𝑃𝑌 ; 𝑋 =

0,7𝑃𝑌𝑦

0,3𝑃𝑋

𝑈 = 𝑌0,3 ∗ 𝑋0,7 𝑈 = (0,3𝑃𝑋𝑥

0,7𝑃𝑌)

0,3∗ 𝑋0,7

𝑈 = (0,3𝑃𝑋

0,7𝑃𝑌)

0,3

∗ 𝑋0,3 ∗ 𝑋0,7

𝑋𝐻 = 𝑈 (0,7𝑃𝑌

0,3𝑃𝑋)

0,3

Método 2

Utilizando “Multiplicadores de Lagrange”, se debe minimizar el lagrangeano sujeto a la

función de utilidad del individuo.

Min: PXx + PYy

St: U = X0,7Y0,3

ℒ = 𝑃𝑋𝑥 + 𝑃𝑌𝑦 − ℷ(X0,7Y0,3 − 𝑈𝑜)

CPO: 𝑃𝑥 − 0,7ℷ𝑥−0,3𝑦0,3 = 0

𝑃𝑦 − 0,3ℷ𝑥0,7y−0,7 = 0

X0,7Y0,3 − 𝑈𝑜 = 0

1) ℷ =Px

(0,7𝑥−0,3𝑦0,3) 2) ℷ =

𝑃𝑦

(0,3𝑥0,7𝑦−0,7)

Se debe igualar 1) y 2), luego despejar para obtener “Y”, que finalmente se reemplaza

en la tercera condición de primer orden.

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Px

(0,7𝑥−0,3𝑦0,3)=

𝑃𝑦

(0,3𝑥0,7𝑦−0,7) 𝑌 =

0,3𝑃𝑋𝑥

0,7𝑃𝑦

Ahora reemplazo en tercera condición de primer orden para obtener la demanda

Hicksiana del bien X

X0,7Y0,3 − 𝑈𝑜 = 0 X0,7 (0,3PXx

0,7PY)

0,3− 𝑈𝑜 = 0

𝑋0,7 ∗ 𝑋0,3 ∗ (0,3𝑃𝑋

0,7𝑃𝑌)

0,3− 𝑈𝑜 = 0

𝑋 ∗ (0,3𝑃𝑋

0,7𝑃𝑌)

0,3= 𝑈𝑜

𝑋𝐻 = 𝑈 (0,7𝑃𝑌

0,3𝑃𝑋)

0,3

Método 3

También es posible obtener la demanda Hicksiana del bien X, mediante la Función del

Gasto (FG) utilizando el “Teorema de Shephard” o un despeje algebraico sujeto a la

función de utilidad.

c) Si el ingreso es M=150, los precios son inicialmente px=2, py=1, y el precio del bien X

baja a px=1, determine el efecto total, el efecto sustitución y el efecto ingreso ante el

cambio en el bien X.

X0M =

0,7∗150

2= 52,5 ; Y0

M = 0,3∗150

1= 45 ; X1

M =

0,7∗150

1= 105

U0 = (52,5)0,7 ∗ (45)0,3 = 50,127; XH = 50,127 (

0,7∗1

0,3∗1)

0,3

= 64,635

ES = XH - X0M =64,635 – 52,5 = 12,135

ER = X1M - XH = 105 – 64,635 = 40,36

ET = X1M - X0

M =105 – 52,5 = 52,5

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d) ¿Qué tipo de bien es X con respecto al ingreso? ¿Qué tipo de relación tienen los bienes

X e Y? Explique con claridad utilizando los resultados anteriores.

Al tener ambos efectos el mismo signo, se identifica como un bien normal, que ante una

baja en el precio de X, sufre un aumento en la cantidad demandada. Este incremento en

el consumo se explica por un aumento en el ingreso real del individuo.

Además se aprecia que los bienes X e Y son sustitutos perfectos, ya que ante un aumento

en la cantidad demandada del bien X, disminuye la cantidad demanda del bien Y

2. La función de gasto indirecto de un consumidor esta dad por:

𝒆(𝒑𝒙, 𝒑𝒚, 𝑼) = 𝒑𝒙 (𝟏 + 𝑼 − 𝒍𝒏 (𝑷𝒙

𝑷𝒚))

a) Determine la función de utilidad indirecta.

E = M

𝑀 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑥 ∗ 𝑈 − 𝑃𝑥 ∗ ln (𝑃𝑥

𝑃𝑦)

𝑃𝑥 ∗ 𝑈 = 𝑀 + 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥 ∗ ln (𝑃𝑥

𝑃𝑦)

1

𝑃𝑥

𝑈 =𝑀

𝑃𝑥+ 1 − ln (

𝑃𝑥

𝑃𝑦)

b) Determine la Demanda Hicksiana por el bien Y

𝑀 = 𝑃𝑥 + 𝑃𝑥 ∗ 𝑈 − 𝑃𝑥 ∗ ln (𝑃𝑥

𝑃𝑦)

𝑌𝐻 =𝜕𝑀

𝜕𝑃𝑦= −𝑃𝑥 ∗

1

(𝑃𝑥𝑃𝑦

)∗ 𝑃𝑥

= −𝑃𝑥 ∗ (𝑃𝑦

𝑃𝑥) ∗ − (

𝑃𝑥

𝑃𝑦2)

𝑌𝐻 = (𝑃𝑥

𝑃𝑦)

c) Determine la Demanda Marshalliana por el bien Y

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Utilizando la Identidad de Roy se puede obtener la demanda Marshalliana del bien Y.

𝑈 =𝑀

𝑃𝑥+ 1 − ln (

𝑃𝑥

𝑃𝑦)

𝑌𝑀 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑃𝑦𝜕𝑉

𝜕𝑅

= −

(−1

𝑃𝑥𝑃𝑦

∗(𝑃𝑥

𝑃𝑦2))

1

𝑃𝑥

= (

𝑃𝑦

𝑃𝑥)∗(

𝑃𝑥

𝑃𝑦2)

1

𝑃𝑥

=

1

𝑃𝑦1

𝑃𝑥

= 𝑃𝑥

𝑃𝑦

d) En base a los resultados anteriores, ¿Qué tipo de bien es Y con respecto al ingreso?

Explique claramente su respuesta.

Según los resultados anteriores se puede concluir que el bien Y es un bien neutro con

respecto al ingreso, la función de demanda Marshalliana y Hicksiana son iguales, es decir,

ante un cambio en los precios el efecto renta o ingreso es cero.

3. Una empresa posee la siguiente función de costo C(X)=X3-6X2+20X+60, donde X

corresponde al nivel de producción.

a) ¿Esta función corresponde al corto plazo o largo plazo? Si w=2, ¿Cuál es el nivel de

capital que está utilizando la empresa?

C(X)=X3-6X2+20X+60, es una función de corto plazo por la existencia de un costo fijo

como por ejemplo la depreciación, que no varía con el nivel de producción; mientras

otros como las materias primas necesarias para fabricar el producto si varían, se

denominan, por tanto, costes variables.

El coste Total a corto plazo será, por tanto, la suma de los costes fijos y de los costes

variables de producción, esta función solo depende de una variable, el trabajo y el capital

al ser fijo no se puede modificar en el corto plazo, está dado.

Si W=2, el nivel de capital que está utilizando la empresa en un corto plazo está en

función de su costo fijo de producción (wK = 60), reemplazo w por 2 y despejo la

ecuación (2K=20; K=30), de esta forma se obtiene que la entidad utiliza 30 unidades de

capital.

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b) Determine las funciones de costo medio, costo medio variable y costo marginal.

CT

X= CMe = X2 − 6X + 20 +

60

X ;

CVT

X= CVMe = X2 − 6X + 20

∂CT

∂X= CMg = 3X2 − 12X + 20

c) Grafique las funciones anteriores, identificando los siguientes puntos de producción: X=0;

X=3; X=3,7; X=4,5 y X=6.

X CMe CVMe CMg

0 20 20 20

3 31 11 11

3,7 27,71 11,49 16,67

4,5 26,58 13,25 26,75

6 30 20 56

0

10

20

30

40

0 3 3,7 4,5 6

CMe

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0 3 3,7 4,5 6

CT

0

5

10

15

20

25

0 3 3,7 4,5 6

CVMe

0

20

40

60

0 3 3,7 4,5 6

CMg

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d) Considere P=20, determine el nivel de producción que maximiza los beneficios de la

empresa, así como la ganancia o pérdida que obtiene.

P=CMg

20 = 3X2 − 12X + 20

X = 0 ; X = 4

𝜋 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇

𝐼𝑇 = 𝑃 ∗ 𝑄 = 20(4) = 80

𝐶𝑇 = X3 − 6X2 + 20X + 60 = (43) − 6 ∗ (42) + 20 ∗ 4 + 60 = 108

Por lo tanto: 𝜋 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 = 80 − 108 = −28

Nivel de producción que

maximiza los beneficios de

la empresa (Q*)

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

200,00

0 3 3,7 4,5 6

CT CMe CVMe CMg

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La empresa obtiene una pérdida de $28 en el corto plazo

4. Considere la función de producción Q=L0,25 + K0,25 suponga que w=r=1.

a) Calcule la productividad marginal del trabajo y el capital, y la TST.

𝜕𝑄

𝜕𝐿= 0,25𝐿−0,75 ;

𝜕𝑄

𝜕𝐾= 0,25𝐾−0,75

𝑇𝑀𝑆 =𝑃𝑀𝑔𝐿

𝑃𝑀𝑔𝐾=

0,25𝐿−0,75

0,25𝐾−0,75=

𝐾0,75

𝐿0,75

b) Determine la demanda condicionada por trabajo y capital.

𝐾0,75

𝐿0,75 =𝑊

𝐿

𝐾0,75

𝐿0,75 =1

1 𝐾0,75 = 𝐿0,75

𝐾 = 𝐿

𝑄 = 𝐿0,25 + 𝐿0,25 ; 𝑄 = 𝐾0,25 + 𝐾0,25

𝑄 = 2𝐿0,25 ; 𝑄 = 2𝐾0,25

𝐿 =𝑄4

16 ; 𝐾 =

𝑄4

16

c) Calcule la función de costos de largo plazo.

𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾

𝐶𝑇 = 1 ∗ (𝑄4

16) + 1 ∗ (

𝑄4

16) ; 𝐶𝑇 =

𝑄4

8

d) Si p=4, ¿Cuál es la cantidad óptima a producir? ¿Cuánto trabajo y capital contrataría?

𝐶𝑀𝑔 =4𝑄3

8=

𝑄3

2

P = CMg 4 =𝑄3

2 𝑄3 = 8 / √

3

Q = 2

Con p=4, la cantidad optima a producir es de 2, luego sustituir esta cantidad en las

demandas condicionadas de trabajo y capital para conocer cuánto se contrataría de cada

uno de estos factores productivos.

𝐿 =𝑄4

16 ; 𝐾 =

𝑄4

16

𝐿 =24

16 ; 𝐾 =

24

16

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𝐿 =16

16= 1 ; 𝐾 =

16

16= 1

Por lo tanto contrataría 1 de cada factor productivo