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CEDE

DOCUMENTO CEDE 2004-38ISSN 1657-5334SEPTIEMBRE DE 2004

Microeconomıa AvanzadaNotas de Clase 1

Rocıo Ribero2 y Ricardo Bernal3

Resumen

El presente documento recoge las notas de clase del curso de Microeconomıa Avanzada delPostgrado en Economıa de la Universidad de los Andes dictado por Rocıo Ribero durantevarios semestres. Se basa en las notas de clase del curso de Microeconomıa doctoral quedictaba Yaw Nyarko en New York University circa 1993, las cuales se han venido puliendo yreorganizando con el tiempo. Se compone de tres partes: la primera acerca de la teorıa clasicadel consumidor, la segunda sobre la teorıa clasica de la firma y la tecera sobre desarrollos masrecientes en los temas de la economıa de la informacion y la incertidumbre. A lo largo deltexto se plantean una serie de ejercicios aclaratorios, y al final de cada capıtulo se incluyenotros ejercicios adicionales. Este documento no contiene desarrollos originales, que no estenya planteados o desarrollados en los libros referenciados al final. Solamente pretende ser unaayuda para que el lector pueda enfrentarse a los textos de Microeconomıa avanzada con mayorseguridad y una guıa para los actuales estudiantes del curso. Esperamos que ellos lo encuentrende utilidad, y comprendan que todos los errores que seguramente seguiran encontrando porahı, son muy probablemente nuestros, no de Varian ni de Mas Colell.

Palabras clave: Consumidor, productor, optimizacion, incertidumbre

Clasificacion JEL: A231Deseamos agradecer a todas las personas que de una forma u otra colaboraron con esta publicacion, muy

especialmente a Norman Offstein. Jorge Alexander Bonilla y Edson Apaza colaboraron en versiones anterioresde estas notas de clase. Adicionalmente, agradecemos a la Facultad de Economıa y el Centro de Estudios deDesarrollo Economico CEDE de la Universidad de los Andes por la financiacion parcial del tiempo de Ricardopara la edicion de estas notas.

2Profesora Asociada Facultad de Economıa Universidad de los Andes3Estudiante Postgrado en Economıa, Universidad de los Andes

ii

Abstract

This document is a collection of the notes from the Advanced Microeconomics course in theeconomics master’s program at the Universidad de los Andes, taught by Rocıo Ribero duringvarious semesters. The notes were originally based on the doctoral microeconomics courseat New York University taught by Yaw Nyarko around 1993, which have been modified andreorganized with time. Three areas of microeconomics are presented: first the classic consumertheory, second the classic firm theory, and third more recent developments in economics ofinformation and uncertainty. Throughout the text a series of exercises are included to helpclarify examples, and each chapter concludes with additional exercises. This document doesnot contain material that has not already been included in the referenced texts. It onlyattempts to serve as a complement for readers working with advanced microeconomics textsand an aid for students in the advanced microeconomics course. We hope that they find thenotes useful, and understand that any errors that they find are most likely ours, and not thoseof Varian or Mas Colell.

Key words: Consumer, producer, optimization, uncertainty

JEL classification: A23

Tabla de Contenido

I TEORIA DEL CONSUMIDOR 1

1 Preferencias 3

2 Los Problemas del Consumidor 15

II TEORIA DE LA FIRMA 45

3 Tecnologıa 47

4 Los Problemas de la Firma 57

III TEORIA DE LA INFORMACION 71

5 Decisiones bajo Incertidumbre 73

6 Informacion Asimetrica 83

iii

iv TABLA DE CONTENIDO

Parte I

TEORIA DEL CONSUMIDOR

1

Capıtulo 1

Preferencias

La teorıa del consumidor se sustenta en el concepto de preferencias y en el supuesto deracionalidad de los individuos. Ası un consumidor, considerado un agente racional escogeentre varias cestas o canastas de bienes que puede elegir. En esta seccion se presentan laspropiedades “deseables” de las relaciones de preferencias, incluyendo la racionalidad.

Racionalidad del Individuo

Sea X el conjunto de opciones que tiene el individuo. Las preferencias del consumidor sepueden resumir en una relacion binaria sobre el conjunto X. Una relacion binaria es un sub-conjunto del producto cartesiano X ×X (º⊆ X ×X).

Por ejemplo sea X = {a, b, c}, luego el producto cartesiano X ×X es:

X ×X = {(a, a) , (a, b) , (a, c) , (b, a) , (b, b) , (b, c) , (c, a) , (c, b) , (c, c)} .

Una relacion puede ser por ejemplo: (º) = {(a, a) , (a, b) , (c, c)}, donde º es un subconjunto

del producto cartesiano X ×X, y puede interpretarse como a º a, a º b y c º c.

Propiedades de las relaciones binarias:

1) Reflexividad

Una relacion binaria (Â) definida sobre un conjunto X es reflexiva si ∀x ∈ X,xÂx.

Ej: Sea X = {a, b, c} y sea (º) = {(a, a), (b, c)} no es reflexiva porque faltan las parejas(b, b) y (c, c).

2) Completitud

Una relacion binaria (Â) es completa si ∀x, y ∈ X,xÂy ∨ yÂx.

Ej: Sea X = {a, b, c} y sea (º) = {(a, a), (b, c), (b, b), (a, c), (c, c)}. Esta relacion no escompleta porque falta la pareja (a, b) o la pareja (b, a).

3

4 CAPITULO 1. PREFERENCIAS

3) Transitividad

Una relacion binaria (Â) es transitiva si ∀x, y, z ∈ X,xÂy ∧ yÂz ⇒ xÂz.

Ej: Sea X = {a, b, c} y sea º= {(a, a), (c, b), (a, b), (c, a)}, esta relacion es transitivaporque c º a ∧ a º b ⇒ c º b.

Definicion 1.1 Una relacion binaria sobre X es racional si y solamente si es reflexiva, com-pleta y transitiva.

Sea (Â) una relacion de preferencias sobre X. Esto significa que si x º y ⇒ x es al menostan bueno como y o x es preferido o indiferente a la cesta y. Con base en x º y se definen lasrelaciones de preferencia estricta y la relacion de indiferencia como:

x Â y ⇒ x es mejor que y o x es estrictamente preferible a la cesta y, es decirx º y pero y 6Âx;

x ∼ y ⇒ x es indiferente a y, es decir x º y ∧ y º x.

Definicion 1.2 Dada una relacion de preferencias, se definen los contornos de la relacion depreferencias como:

Contorno superior (CS) de una cesta (x) = {y ∈ X/yÂx}

Contorno inferior (CInf) de una cesta (z) = {y ∈ X/zÂy}

Ej: Sea X = {a, b, c} y sea (º) = {(a, a), (c, b), (a, b), (c, a)}CS(c) = {}.CInf(c) = {a, b}.

Definicion 1.3 Una relacion de preferencias definida sobre un conjunto X es continua sisatisface las siguientes dos condiciones:

(1) ∀x ∈ X,CS(x) es un conjunto cerrado.

(2) ∀x ∈ X,CInf(x) es un conjunto cerrado.

La relacion de preferencias es semicontinua superior cuando se cumple (1) y semicontinuainferior si se cumple (2). Cuando satisface (1) y (2) es continua.Decir que una relacion de preferencias es continua es equivalente a decir que:

(1) ∀z ∈ X, {y ∈ X/y Â x} , y,

(2) ∀z ∈ X, {y ∈ X/z Â y}son conjuntos abiertos.

5

Ejemplo 1.1 Consideremos la siguiente relacion binaria definida sobre R2+:

( x1, x2)Â ( y1, y2) sii ( x1, x2) ≥ ( y1, y2) .

Verificar las propiedades de las relaciones binarias enunciadas anteriormente y graficar CS(3, 5)y CInf(2, 4).

(Se debe recordar que: ∀x, y ∈ Rn,x ≥ y sii xi ≥ yi,∀ ix > y sii xi ≥ yi, ∀ i y ∃j/ xj > yj

x >> y si xi > yi,∀ i

Por ejemplo:(1, 2, 4, 7) ≥ (1, 2, 4, 7)(1, 3, 4, 7) > (1, 2, 4, 7)(1, 2, 4, 7) >>

(12 , 1, 3, 6

))

Veamos cuales de las propiedades de la relacion de preferencias se cumplen.

1) ¿Reflexiva?

(º) es reflexiva pues ∀ (x1, x2) ∈ R2+, (x1, x2) º (x1, x2) porque (x1, x2) ≥ (x1, x2) ,ya

que x1 ≥ x1 ∧ x2 ≥ x2. Esto quiere decir que cualquier cesta es mayor o igual que sımisma.

2) ¿Completa?

(º) no es completa.

Grafico 1.1: Cestas que se pueden comparar

Contra ejemplo: ∃ (2, 4), (4, 2) ∈ R2+�(2, 4) � (4, 2) ∧ (4, 2) � (2, 4) porque: (2, 4) 6≥

(4, 2) ∧ (2, 4) 6≤ (4, 2) .


Las cestas que pertenecen a las regiones A y B se pueden comparar con (3, 5). Aquellascestas en las regiones C y D no permiten comparacion con (3, 5).

3) ¿Transitiva?

Sean x, y, z ∈ R2+, supongase que xÂy y yÂz

⇒ (x1, x2) ≥ (y1, y2) ∧ (y1, y2) ≥ (z1, z2) ,

luego

x1 ≥ y1, y1 ≥ z1 ⇒ x1 ≥ z1; por propiedades de los numeros reales, y

x2 ≥ y2, y2 ≥ z2 ⇒ x2 ≥ z2; por propiedades de los numeros reales

⇒ (x1, x2) ≥ (z1, z2) ⇒ (x1, x2)Â (z1, z2) ⇒ xÂz,

por lo tanto la relacion binaria es transitiva.

4) ¿Continua?

Se analizan los contornos superiores e inferiores para las cestas dadas en el enunciado.

A continuacion se grafican CS(3, 5) y CInf(2, 4):

Grafico 1.2: Contorno inferior y superior

El CS incluye el borde. Por ejemplo, (5, 5) ≥ (3, 5) . De esta manera el CS es unconjunto cerrado. Igualmente, (2, 2) ≤ (2, 4), por lo tanto el CInf incluye los bordes ytambien es un conjunto cerrado.

Dado que CS y CInf son conjuntos cerrados la relacion binaria es continua.

Ejemplo 1.2 Considerese la siguiente relacion de preferencias (º) sobre R2+:

( x1, x2)Â ( y1, y2) sii x1 + x2 ≥ y1 + y2.

Determinar cuales de las propiedades de (º) se cumplen y y graficar CS(3, 1) y CInf(3, 1).

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1) ¿Reflexiva?

(º) es reflexiva pues ( x1, x2)Â ( y1, y2) porque x1 + x2 ≥ x1 + x2, ∀x1, x2 ∈ R2.

2) ¿Completa?

∀x1, x2 ∈ R2, x1 + x2 ≥ y1 + y2,∨, y1 + y2 ≥ x1 + x2; por propiedades de los numerosreales

⇒ (x1, x2) º (y1, y2),∨, (y1, y2) º (x1, x2); por definicion de la relacion binaria

⇒ (º) es completa.

3) ¿Transitiva?

Sean x, y, z ∈ R2+, supongase que

( x1, x2)Â ( y1, y2) ∧ ( y1, y2)Â ( z1, z2),

⇒ x1 + x2 ≥ y1 + y2∧ y1 + y2 ≥ z1 + z2

⇒ x1 + x2 ≥ z1 + z2; por propiedades de los numeros reales

⇒ ( x1, x2)Â ( z1, z2)

⇒ (º) es transitiva.

4) ¿Continua?

CS(3, 1) = {(y1, y2) /y1 + y2 ≥ 4}, y, CInf(3, 1) = {(y1, y2) /4 ≥ y1 + y2}Como ambos conjuntos son cerrados, la relacion de preferencias es continua, ya que sinperdida de generalidad los contornos van a ser cerrados para toda cesta (x1, x2).

Grafico 1.3: Contorno inferior y superior de nivel (3,1)

Notese que ambos contornos incluyen la recta y2= 4 − y1. Esta recta constituye la curva de

indiferencia de nivel 4, CI(z) = {x/x ∼ z} que es tambien la interseccion de los conjuntosCS(z) y CInf(z).


Definicion 1.4 (Convexidad) Una relacion de preferencias (Â), definida sobre un conjuntoconvexo X, es convexa si:∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ [0, 1] , si yÂx ∧ zÂx ⇒ αy + (1− α)zÂx.

(Â) es estrictamente convexa si:∀x, y, z ∈ X, ∀α ∈ (0, 1) , y 6= z, si yÂx ∧ zÂx ⇒ αy + (1− α)z Â x.

Nota: X es un conjunto convexo si

∀x, y ∈ X, ∀α ∈ [0, 1] , αx + (1− α)y ∈ X.

Resultado 1.1 Se puede demostrar que (Â) es convexa sii los CS de una cesta z son convexos∀z ∈ X.

Demostracion.⇒:Se parte de que (º) es convexa. Sean x e y ∈ CS(z); y sea α ∈ (0, 1).⇒ x º z ∧ y º z ;⇒ αx + (1− α)y º z; por convexidad de (º)⇒ αx + (1− α)y ∈ CS(z); por definicion de CS⇒ CS(z) es un conjunto convexo.

⇐:Se parte de que CS(z) es un conjunto convexo. Sea α ∈ (0, 1).Suponga que⇒ x º z ∧ y º z⇒ x ∈ CS(z) ∧ y ∈ CS(z)⇒ αx + (1− α)y ∈ CS(z); porque CS(z) es convexo.⇒ αx + (1− α)y º z; por definicion de CS⇒ (º) es una relacion de preferencias convexa.

Definicion 1.5 Una funcion u : C → <, definida sobre un conjunto convexo C, es:

(a) Cuasiconcava si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ [0, 1] , u (αx + (1− α) y) ≥ min {u(x), u(y)}.(b) Cuasiconvexa si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) ≤ min {u(x), u(y)}.(c) Estrictamente cuasiconcava si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) > min {u(x), u(y)}.(d) Estrictamente cuasiconvexa si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) < min {u(x), u(y)}.

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(e) Concava si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) ≥ αu(x) + (1− α) u(y).

(f) Estrictamente concava si

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) > αu(x) + (1− α) u(y).

(g) Convexa si (−u) es concava, es decir,

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) ≤ αu(x) + (1− α) u(y).

(h) Estrictamente convexa si (−u) es estrictamente concava, es decir,

∀x, y ∈ C, x 6= y,∀α ∈ (0, 1) , u (αx + (1− α) y) < αu(x) + (1− α) u(y).

Resultado 1.2 Toda funcion concava es cuasiconcava.Demostracion.

Sean x, y ∈ C, α ∈ (0, 1) , x 6= y, y sea m = min {u(x), u(y)}.Como u es concava,⇒ u (αx + (1− α) y) ≥ αu(x) + (1− α) u(y) ≥ αm + (1− α) m = m

= min {u(x), u(y)}⇒ u es cuasiconcava

Ejercicio 1.6 Buscar contraejemplos para demostrar que no toda funcion cuasiconcava esconcava.

Definicion 1.6 Consideremos una funcion f definida sobre un conjunto S y sea a ∈ <:El conjunto P a = {x ∈ S/f(x) ≥ a} es el contorno superior de f, de nivel a.El conjunto Pa = {x ∈ S/f(x) ≤ a} es el contorno inferior de f, de nivel a.

Grafico 1.4: Contorno superior e inferior de nivel a de una funcion f


Resultado 1.3 Sea f una funcion definida sobre un conjunto convexo S:

⇒ f es cuasiconcava si todos sus contornos superiores son conjuntos convexos; esdecir ∀a ∈ <, P a es un conjunto convexo.

Del mismo modo, f es cuasiconvexa si todos sus contornos inferiores son conjuntos convexos.

Ejercicio 1.7 Probar que el Resultado 1.3 y la definicion de funcion cuasiconcava de laDefinicion 1.5 son equivalentes.

Resultado 1.4 Sea f una funcion doblemente diferenciable de r variables con derivadas par-ciales de primer y segundo orden continuas. Definimos el Hessiano orlado de la siguientemanera:

Dr(x) =

0 f1(x) f2(x) . . . fr(x)f1(x) f11(x) f12(x) . . . f1r(x)f2(x) f21(x) f22(x) . . . f2r(x)...

......

...fr(x) fr1(x) fr2(x) . . . frr(x)

Condiciones necesarias

1) Si f es cuasiconcava:

⇒ D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, . . . , Dr(x) ≤ 0 si r es impar o Dr(x) ≥ 0 si r es par ∀x.

2) Si f es cuasiconvexa:

⇒ Dk(x) ≤ 0, ∀k, ∀x.

Condiciones suficientes

3) Si D1(x) < 0, D2(x) > 0, . . . , Dr(x) < 0 si r es impar o Dr(x) > 0 si r es par ∀x⇒ f es cuasiconcava.

4) Si Dk(x) < 0, ∀k, ∀x⇒ f es cuasiconvexa.

Ejemplo 1.3 f(x) = x2, definida en x > 0.

D1(x) =[

0 2x2x 2

],

⇒ D1(x) = −4x2 < 0, ∀x > 0, por lo tanto f(x) es cuasiconvexa y tambien escuasiconcava.

11

Ejemplo 1.4 f(x) = x2, definida en x ≥ 0.D1(x) = −4x2 ≤ 0, ∀x ≥ 0, dado que D1(0) = 0. Aunque graficamente sabemos que f(x) escuasiconcava y cuasiconvexa, el criterio de condiciones suficientes no define.

Definicion 1.7 (Monotonicidad) Una relacion de preferencias (Â) definida sobre un con-junto X ordenado es:

(a) Monotona si∀x, y ∈ X, x ≥ y ⇒ xÂy.

(b) Monotona estricta si

∀x, y ∈ X, x ≥ y ∧ x 6= y ⇒ x Â y.

La propiedad de monotonicidad de las preferencias significa que para el consumidor “mases mejor”.

Definicion 1.8 (Insaciabilidad Local) (Â) satisface la no saciabilidad local si∀x ∈ X, ∀ε > 0,∃y ∈ X/ ‖x− y‖ < ε, ∧, y Â x.

Esto significa que toda cesta tiene una cesta cercana que es preferida a ella. La no saciabilidadlocal es una propiedad para garantizar que las curvas de indiferencia no sean gruesas.

Resultado 1.5 Si (Â) es monotona estricta entonces satisface la propiedad de no saciabilidadlocal.

Ejercicio 1.8 Probar el Resultado anterior.

Funcion de Utilidad

Sea (Â) una relacion de preferencias definida sobre un conjunto X. Una funcion u : X →<, tal que xÂ y si y solo si u(x) ≥ u(y) es una funcion de utilidad que representa (º).Ahora, xÂ y ⇔ u(x) ≥ u(y) ⇔ h(u(x)) ≥ h(u(y)); donde h es una transformacion monotonacreciente. De esta manera, la funcion de utilidad no es unica dado que es posible efectuartransformaciones monotonas crecientes de ella.

Ejs: u3, u5, u7, eu, Lnu, a+ bu,∀b > 0, (esta clase de transformacion es llamada afın).

Teorema 1.1 Toda relacion de preferencias racional (reflexiva, completa y transitiva) con-tinua y estrictamente monotona se puede representar a traves de una funcion de utilidad.

La demostracion de este Teorema puede consultarse en los capıtulos correspondientes en ellibro de Varian, Mas-Collel, o en Introduction to Equilibrium Analisis, Advanced Textbooks inEconomics, Hildenbrand and Kirman (1988).


Ejemplo 1.5 Supongase una relacion binaria que no es transitiva. ¿Por que en este caso noexiste una funcion de utilidad?

De acuerdo con la propiedad de transitividad:

∀x, y, z ∈ X, xÂy ∧ yÂz ⇒ xÂz, ahora supongase que no se cumple esta propiedad,entonces:

∃x, y, z ∈ X/xÂy ∧ yÂz, pero x6Âz y ademas supongase que existe: u : X → </aÂ b, ⇔u(a) ≥ u(b).

Por lo tanto, u(x) ≥ u(y) ∧ u(y) ≥ u(z). Entonces u(x) ≥ u(z) por la transitividad de losnumeros reales, pero u(x) 6≥ u(z) por el supuesto planteado. Se llega a una contradiccion.

Ejercicio 1.9 Supongase una relacion binaria que no es completa. ¿Por que en este caso noexiste una funcion de utilidad?

Ejercicio 1.10 Supongase una relacion binaria que no es reflexiva. ¿Por que en este casono existe una funcion de utilidad?

Teorema 1.2 Sea C un conjunto convexo y sea u : C → < una funcion de utilidad querepresenta una relacion de preferencias, (Â):

(a) La funcion u es cuasiconcava sii (Â) es convexa.

(b) La funcion u es estrictamente cuasiconcava sii (Â) es estrictamente convexa.

Demostracion.

(a) ⇒:

Sea u una funcion cuasiconcava, sea α ∈ [0, 1] y sean x, y, z ∈ C tales que xÂ y ∧ zÂ y.Como xÂ y ⇒ u(x) ≥ u(y), y como zÂ y ⇒ u(z) ≥ u(y), ademas dado que u escuasiconcava:

⇒ u (αx + (1− α) z) ≥ min {u(x), u(z)} ≥ u(y)

⇒ αx + (1− α) zÂ y, porque u es la funcion de utilidad que representa (Â).

⇐:

Sea (Â) una relacion de preferencias convexa y sean x, y, z ∈ C, x 6= y, sea α ∈ [0, 1].Sin perdida de generalidad se puede suponer que u(x) ≥ u(y) ⇒ xÂ y.

Ahora, yÂ y por que (Â) es reflexiva,

⇒ αx + (1− α) yÂ y dado que (Â) es convexa

⇒ u (αx + (1− α) y) ≥ u(y) = min {u(x), u(y)}⇒ u es cuasiconcava.

Ejercicio 1.11 Probar la parte (b) del Teorema anterior.

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Ejercicios Adicionales

1. Encontrar el maximo (o los maximos) y el mınimo (o los mınimos) de la funcion f(x)sobre el conjunto X correspondiente.

a) f(x) = x3 + x2 + x + 1 donde x ∈ <b) f(x) = x + (1− x)

12 definida en sobre el conjunto {−1,−0.5} ∪ {0, 1}

c) g(x, y) = x2 − 4xy + 2y2 con x ≥ 0, y ≥ 0

2. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones:

a) f(x) = x4 − 4x3

b) h(x, y) = (x + y)2

3. a) Dar un ejemplo de una relacion que no sea completa.

b) Dar un ejemplo de una relacion que no sea reflexiva.

c) Dar un ejemplo de una relacion que no sea transitiva.

4. Considere las preferencias definidas sobre <2 por las funciones de utilidad.

a) U1(x, y) = x

b) U2(x, y) =√

x +√

y

c) U3(x, y) = (x + 2)(y + 1)

Describa las propiedades de estas preferencias y haga un bosquejo de las curvas deindiferencia correspondientes.

Capıtulo 2

Los Problemas del Consumidor

Problema de Maximizacion de la Utilidad (PMU)

Sea m el ingreso del consumidor y p el vector de precios de los bienes, p = (p1, p2, . . . , pn),p >> 0, se define el conjunto de presupuesto:

B(p, m) = {x ∈ <n/p.x ≤ m } donde p.x = p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn.

El problema del consumidor consiste en elegir una cesta que maximice su utilidad sujeta alconjunto de presupuesto. En otras palabras es elegir una cesta

(x1, x2, . . . , xn)/Max u(x1, x2, . . . , xn) s.a. x ∈ B(p,m).

La solucion del problema de maximizacion de la utilidad del consumidor (PMU) es la cestax∗(p,m) llamada demanda Marshalliana.

Grafico 2.1: Curvas de indiferencia

Al evaluar la funcion de utilidad u(x1, x2, . . . , xn) en la solucion x∗(p,m) se obtiene la deno-minada funcion de utilidad indirecta v(p,m) = u(x∗(p,m)).

15

16 CAPITULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR

Para solucionar el PMU se pueden utilizar tecnicas de optimizacion restringida (Multipli-cadores de Lagrange). La solucion del problema puede encontrarse de la siguiente manera:

L = u(x1, x2, ..., xn) + λ(m− p1x1 + p2x2 + · · ·+ pnxn).

C.P.O

[xi] :∂L∂xi

=∂u

∂xi− λpi = 0 , ∀i = 1, 2, . . . , n

∂L∂λ

= 0

⇒∂U∂xi

∂U∂xj

= TMSi,j =pi

pj= TESi,j .

Donde TMSi,j es la Tasa Marginal de Sustitucion entre los bienes i y j; y TESi,j es la tasaeconomica de sustitucion entre estos mismos bienes. Esta relacion obtenida manifiesta igual-dad entre la pendiente de la curva de indiferencia y la pendiente del conjunto de presupuesto,situacion que es siempre posible mientras el problema pueda derivarse.

Las CSO del problema garantizan que la solucion sea un maximo siempre y cuando la funcionu se cuasiconcava (ver desarrollo en Varian (1992)).

Ejemplo 2.1 Sea u(x1, x2) = xa1x

1−a2 ; a ∈ (0, 1). Hallar v(p,m).

El problema del consumidor es elegir (x1, x2)/Max xa1x

1−a2 s.a. p1x1+p2x2 = m. Notese que

la restriccion presupuestal se ha mostrado ahora con igualdad, esto puede efectuarse dado quelas preferencias cumplen la no saciabilidad local. De esta manera el consumidor gasta todosu ingreso en el consumo de los bienes y la restriccion puede presentarse como una igualdad.Tambien se puede verificar que u es cuasiconcava.

Para facilitar la solucion se efectua una transformacion monotona de la funcion de utilidad.El PMU se convierte en:

Max a ln(x1) + (1− a) ln(x2) s.a. p1x1 + p2x2 = m

⇒ L = a ln(x1) + (1− a) ln(x2) + λ(m− p1x1 − p2x2)

C.P.O.

[x1] : ∂L∂x1

= 0[x2] : ∂L

∂x2= 0

[λ] : ∂L∂λ = 0

⇒ x∗1(p,m) =

am

p1, x∗2(p,m) =

(1− a)mp2

⇒ v(p,m) = a ln(

am

p1

)+ (1− a) ln

((1− a)m

p2

)

⇒ v(p, m) = ln(m)− a ln(p1) + (1− a) ln(p2) + k(a).

Donde k(a) es una constante que depende del parametro a.

17

Ejemplo 2.2 Sea u(x1, x2) = min {x1, x2}. Hallar v(p,m).

⇒ Max min {x1, x2} s.a. p1x1 + p2x2 = m. Debe tenerse en cuenta que este problemano puede derivarse ya que la funcion objetivo no es derivable en x1 = x2. Por esta razonsu solucion es generalmente obtenida graficando las curvas de indiferencia y la restriccionpresupuestal.

Para graficar las curvas de indiferencia:

min{x1, x2} ={

x1 si x1 ≤ x2

x2 si x2 ≤ x1

Grafico 2.2: Demandas Marshalianas para el caso Leontief

Graficamente se observa que la solucion se encuentra donde x1 = x2 en el punto A del grafico.

Ası podemos reemplazar este resultado en la restriccion presupuestal de la siguiente forma:

p1x1 + p2x1 = m

⇒ Las demandas Marshalianas son: x∗1 = x∗2 = mp1+p2

.

⇒ La funcion de utilidad indirecta: v(p,m) = mp1+p2

.

Ejercicio 2.1 Sea u(x1x2) = min{ax1, bx2}, a > 0, b > 0. Hallar x(p,m) y v(p,m).

Ejercicio 2.2 Hallar x(p,m) y v(p,m) para las siguientes funciones de utilidad:

u(x1, x2) = min{x2

1, x2

};

u(x1, x2) = ax1 + bx2;

u(x1, x2) = min {x1 + 2x2, x2 + 2x1} .


Proposicion 2.1 El maximo (mınimo) de una funcion f definida sobre un conjunto B esmayor o igual (menor o igual) al maximo (mınimo) de f sobre cualquier A subconjunto de B.

Grafico 2.3: Optimizacion cuando se aumenta el intervalo

Demostracion.Sea m1 = max f(x) ∀x ∈ A.De esta manera, ∃c ∈ A, tal que f(c) = m1.Como c ∈ A y A ⊆ B ⇒ c ∈ B.Ahora, si m2 = max f(x)∀x ∈ B ⇒ f(x) ≤ m2,∀x ∈ B.En particular, f(c) ≤ m2

⇒ m1 ≤ m2.

Propiedades de la Funcion de Utilidad Indirecta

1) v(p,m) es no creciente en p y no decreciente en m. Es decir que:

Si p ≥ p′ , v(p,m) ≤ v(p′,m), y,

si m ≥ m′ , v(p,m) ≥ v(p,m′).

Demostracion.

a) v(p,m) es no creciente en p

Sean B = {x ∈ X/p.x ≤ m} y B′ = {x ∈ X/p′.x ≤ m} y suponga p ≥ p′.Sea x ∈ B(p,m) ⇒ p.x ≤ m.

Como p′ ≤ p ⇒ p′.x ≤ p.x ≤ m

⇒ p′.x ≤ m por lo que x tambien pertenece a B(p′,m).De esta forma queda demostrado que B ⊆ B′.Ası, Max u(x) s.a. p′.x ≤ m = v(p′,m) ≥ Max u(x) s.a. p.x ≤ m =v(p,m);

19

⇒ v(p′,m) ≥ v(p,m), debido a la Proposicion 2.1.

b) v(p,m) es no decreciente en m.

Sean B = {x ∈ X/p.x ≤ m} y B′ = {x ∈ X/p.x ≤ m′}, y suponga m′ ≤ m.

Sea x ∈ B(p,m′) ⇒ p.x ≤ m′ ≤ m

Como p.x ≤ m ⇒ x tambien pertenece a B(p,m); luego B′ ⊆ B se tiene que:Max u(x) s.a. x ∈ B′ ≤ Max u(x) s.a. x ∈ B

⇒ v(p,m′) ≤ v(p,m).

2) v(p,m) es homogenea de grado cero en (p,m). Es decir que:

v(λp, λm) = v(p, m), ∀λ > 0.

Demostracion.

SeaB = {x ∈ X/p.x ≤ m} = {x ∈ X/λp.x ≤ λm} , ∀λ > 0 :

⇒ v(λp, λm) = λ0v(p,m) = v(p,m)

3) v(p,m) es cuasiconvexa en p, es decir que los contornos inferiores de v(p, m),

{p/v(p,m) ≤ k}, son convexos.

Demostracion.

Sea CInf(k) = {p/v(p,m) ≤ k}; sean p y p′ ∈ CInf(k), y sea α ∈ (0, 1).

Se debe probar que αp + (1− α)p′ ∈ CInf(k).

Sea B = B(p,m) = {x/p.x ≤ m} y sea B′ = B(p′,m) = {x/p′.x ≤ m}Sea p′′ = αp + (1− α)p′ ⇒ B′′ = B(p′′,m) = {x/p′′.x ≤ m}

Primero se debe demostrar que B′′ ⊆ B ∪B′.

Por contradiccion:

Sea x ∈ B′′. Supongamos que x /∈ B ∪B′

Como x ∈ B′′ ⇒ p′′.x ≤ m ⇒ (αp + (1− α)p′).x ≤ m; (1)

Ahora, como x /∈ B ∪B′ ⇒ x /∈ B ∧ x /∈ B′

⇒ p.x > m ∧ p′.x > m


⇒ αp.x > αm ∧ (1− α)p′.x > (1− α)m

⇒ αp.x + (1− α)p′.x > αm + (1− α)m = m

⇒ (αp + (1− α)p′).x > m; lo que se contradice con (1).

⇒ Si x ∈ B′′ ⇒ x tambien pertenece a B ∪B′

⇒ B′′ ⊆ B ∪B′

Tenemos que:v(p, m) = Max u(x) s.a. x ∈ B ≤ k,

v(p′,m) = Max u(x) s.a. x ∈ B′ ≤ k y

v(p′′,m) = Max u(x) s.a. x ∈ B′′ ≤ Max u(x) s.a. x ∈ B ∪B′ ≤ k;

dado que B′′ ⊆ B ∪B′

⇒ p′′ ∈ CInf(k).

4) v(p,m)es continua ∀p >> 0,∀m > 0.

Esta demostracion se encuentra en el Apendice matematico de Varian (1992).

Ejemplo 2.3 Verificar las propiedades de v(p,m) para el caso Cobb-Douglas (C-D)

v(p,m) = ln(m)− a ln(p1)− (1− a) ln(p2) + k(a)

(Mirar ejemplo 2.1 para ver donde se obtiene la anterior expresion)

1) v(p,m) es no creciente en p y no decreciente en m

a) ∂ v(p,m)∂p1

= − ap1

< 0

∂ v(p,m)∂p2

= −1−ap2

; como α ∈ (0, 1)

⇒ ∂ v(p,m)∂p2

< 0

b) ∂ v(p,m)∂m = 1

m > 0

2) v(p,m) es homogenea de grado 0 en (p,m)

v(p,m) = ln(m)− a ln(p1)− (1− a) ln(p2) + k(a)

v(λp, λm) = ln(λm)− a ln(λp1)− (1− a) ln(λp2) + k(a)= ln(λm)− a ln(λp1)− ln(λp2) + a ln(λp2) + k(a)= ln(λ) + ln(m)− a ln(λ)− a ln(p1)− ln(λ)− ln(p2) + a ln(λ) + a ln(p2) + k(a)= ln(m)− a ln(p1)− ln(p2) + a ln(p2) + k(a)= ln(m)− a ln(p1)− (1− a) ln(p2) + k(a)= v(p, m)

21

3) v(p,m) es cuasiconvexa en p

Hessiano orlado de v(p, m)

B =

0 − ap1

−1−ap2

− ap1

ap−21 0

−1−ap2

0 (1− a)p−22

⇒ |B2| = −(

ap1

)2< 0

|B3| = ap1

((1− a)p−2

2

(−ap1

))− (1−a)

p2

((1−a)

p2ap2

1

)

(+) (+) (−) (+) (+)

︸︷︷︸︸︷︷︸(−) (+)

⇒ |B3| < 0 ⇒ v(p,m) es cuasiconvexa en p.

4) v(p,m) es continua ∀p >> 0, ∀m > 0

Las funciones logaritmo son continuas y la constante es continua; la suma de dos fun-ciones continuas es continua.

⇒ v(p,m) es continua.

Nota: El numeral 3) se hubiera podido realizar con un Hessiano normal. Se demuestra quev(p,m) es convexa en p y dado que toda funcion convexa es cuasiconvexa entonces v(p,m) escuasiconvexa en p.

Resultado 2.1 Si una relacion de preferencias (º) completa, reflexiva y transitiva satisfaceel supuesto de insaciabilidad local v(p,m) sera estrictamente creciente en m.

Ejercicio 2.3 Probar el Resultado 2.1.

Funcion de gasto

Dado el Resultado 2.1, se puede invertir la funcion indirecta de utilidad y despejar m enfuncion del nivel de utilidad. En el grafico 2.4, se observa que dado un nivel u de utilidadpodemos encontrar el ingreso mınimo para lograr ese nivel de utilidad a los precios p; estarelacion se denomina e(p, u).

De manera analoga al anterior PMU se presenta la funcion de gasto como solucion al problemade minimizacion del gasto (PMG):

e(p, u) = Min p · x s.a. u(x) ≥ u


Grafico 2.4: Funcion de gasto y de utilidad indirecta

El anterior problema se puede leer de la siguiente forma: para alcanzar un nivel de utilidaddado, ¿Cual es el presupuesto mınimo que se necesita?

Ahora, la cesta minimizadora del gasto, que se necesita para alcanzar el nivel de utilidad u alos precios p, sera denominada h(p, u) (funcion de demanda Hicksiana).

De esta manera,e(p, u) = p1h1(p, u) + p2h2(p, u) + · · ·+ pnhn(p, u).

Problema de minimizacion del gasto (PMG)

Min p · x s.a. u(x) ≥ u

L = p · x + λ(u− u(x))

C.P.O.∂L∂xi

= pi − λ∂u

∂xi= 0 ∀i = 1, . . . , n

⇒ TESi,j =pi

pj=

∂u/∂xi

∂u/∂xj= TMSi,j .

Ejercicio 2.4 Hallar la funcion de gasto e(p, u) para u(x1, x2) = xa1 x1−a

2 .

Ejemplo 2.4 Calcular la funcion de gasto e(p, u) para la siguiente funcion de utilidad:u(x1, x2) = min{x1, x2}

min{x1, x2} = u =

x1 si x1 < x2

x2 si x2 < x1

x1 o x2 si x1 = x2

23

Graficamente:

Grafico 2.5: Demandas Hicksianas para el caso Leontief

Se observa en el grafico 2.5 que el lugar donde se alcanza el mınimo gasto dado el nivel deutilidad u es el punto A, donde x∗1 = x∗2 = u es decir h1(p, u) = u = h2(p, u).

De esta manera la funcion de gasto es la siguiente:

e(p, u) = p1u + p2u = (p1 + p2)u.

Ejemplo 2.5 Calcular la funcion de gasto e(p, u) para la siguiente funcion de utilidad:

u(x1, x2) = x1 + x2.

De nuevo se recurre al metodo grafico para encontrar la solucion, pues el calculo no lleva auna solucion coherente.

En primera instancia, sujetamos la funcion de utilidad a un nivel dado, u.

⇒ u(x1, x2) = x1 + x2 = u

Ahora, despejamos x1 o x2

x2 = u− x1 y graficamos los tres casos posibles:

Caso 1 p1 > p2

p1

p2> 1 ⇒

{h1 = 0h2 = u

⇒ e(p, u) = up2.


Grafico 2.6: Caso 1

Observar en este caso que el bien 1 es mas costoso que el bien 2. Dado que el individuopondera, en su funcion de utilidad, los dos bienes de la misma forma, es decir los bienesson sustitutos perfectos, se consume todo del bien 2 y nada del bien 1.

Caso 2 p1 = p2

Grafico 2.7: Caso 2

x1 + x2 = u e(p, u) =

up2

o

up1

En este caso la pendiente de las rectas de iso-gasto y la pendiente de la curva de indifer-encia son iguales, es decir en el mercado los bienes tambien se ponderan de forma igual.En este caso, cualquier punto sobre la recta de presupuesto superpuesta a la curva deindiferencia sera optimo.

25

Caso 3 p1 < p2

Grafico 2.8: Caso 3

p1

p2< 1 ⇒

{h1 = u

h2 = 0⇒ e(p, u) = up1

El razonamiento es similar al del caso 1 pero con el precio del bien 1 menor al del bien2.

Solucion general para el PMG en el caso de una funcion de utilidad lineal de la forma:

u(x1, x2) = x1 + x2

e(p, u) = min{p1, p2} · u

Ejercicio 2.5 Hallar e(p, u) para u(x1, x2) = ax1 + bx2, a > 0, b > 0.

Propiedades de la funcion de gasto

1) e(p, u) es no decreciente en p y estrictamente creciente en u:

Si p ≤ p′ ⇒ e(p, u) ≤ e(p′, u), y

si u < u′ ⇒ e(p, u) < e(p, u′).

Demostracion.

a) Sea x0 la solucion del PMG

Min p · x s.a. u(x) ≥ u

Sea x1 la solucion del PMG

Min p′ · x s.a. u(x) ≥ u


y sea p ≤ p′.Por definicion

e(p, u) = p · x0

≤ p · x1 (1)≤ p′ · x1 (2)= e(p′, u)

⇒ e(p, u) ≤ e(p′, u).Explicacion:(1) p · x0 ≤ p · x1, dado que x0 es la solucion del PMG a los precios p y los dosproblemas tienen las misma restriccion.(2) p · x1 ≤ p′ · x1, dado que p ≤ p′.

b) Para probar que e(p, u) es estrictamente creciente en u, supongamos que no. Seanu′ y u′′ tales que u′′ > u′ pero e(p, u′′) ≤ e(p, u′).Sea x′ la solucion del PMG con u′ y x′′ la solucion de PMG con u′′.Ahora, si e(p, u′′) ≤ e(p, u′) ⇒ p · x′′ ≤ p · x′Sea x = αx′′ para algun α ∈ (0, 1).Como u es continua, α se puede elegir de tal modo que

u(x) > u(x′)

⇒ p · x = αp · x′′

< p · x′′

≤ p · x′

⇒ p · x ≤ p · x′

Ası, x′ no puede ser la solucion del PMG con u′, lo que se contradice con el supuestoinicial.

2) e(p, u) es homogenea de grado 1 en p. ∀λ > 0, e(λp, u) = λe(p, u)

Demostracion.

Sea λ > 0, e(λp, u) = Min λp · x s.a u(x) ≥ u

= λ Min p · x s.a u(x) ≥ u

= λ e(p, u)

3) e(p, u) es concava en p, es decir que ∀α ∈ (0, 1), ∀p, p′,

e(αp + (1− α)p′, u) ≥ αe(p, u) + (1− α)e(p′, u).

Demostracion.

Sean p, p′ y sea α ∈ (0, 1). Se define p′′ = αp + (1− α)p′.

27

Sea x0 la solucion al PMG: Min p · x s.a u(x) ≥ u

⇒ e(p, u) = p · x0.

Sea x1 la solucion al PMG: Min p′ · x s.a u(x) ≥ u

⇒ e(p′, u) = p′ · x1.

Sea x2 la solucion al PMG: Min p′′ · x s.a u(x) ≥ u

⇒ e(p′′, u) = p′′ · x2

= [αp + (1− α)p′] · x2

= αp · x2 + (1− α)p′ · x2.

Ahora, p · x2 ≥ p · x0, dado que x0 es la solucion al PMG dados los precios p y dadoque ambos problemas tienen la misma restriccion.

Tambien, p′ ·x2 ≥ p′ ·x1, dado que x1 es la solucion al PMG dados los precios p′ y dadoque ambos problemas tienen la misma restriccion.

⇒ Multiplicando por α y (1− α) a ambos lados respectivamente, se tiene:

αp · x2 ≥ αp · x0 y

(1− α)p′ · x2 ≥ (1− α)p′ · x1;

sumando verticalmente,

αp · x2 + (1− α)p′ · x2 ≥ αp · x0 + (1− α)p′ · x1

= αe(p, u) + (1− α)e(p′, u).

Como e(p′′, u) = αp · x2 + (1− α)p′ · x2,

⇒ e(p′′, u) ≥ αe(p, u) + (1− α)e(p′, u).

4) e(p, u) es continua, ∀p >> 0, ∀u > 0. Esta demostracion se encuentra en el Apendice

matematico de Varian (1992).

Ejercicio 2.6 Verificar que las propiedades de e(p, u) se cumplen para el caso Cobb-Douglas.

Teorema 2.1 (Teorema de la envolvente) Considere un problema de maximizacion en elque la funcion objetivo depende de un parametro a:

M(a) = maxx1,x2

g(x1, x2, a) s.a h(x1, x2, a) = 0

Sea L el Lagrangeano de este problema y sea x∗ la solucion de este problema.

⇒ ∂M(a)∂a

=∂L(x, a)

∂ax∗


Nota: Ver una demostracion de este teorema en Varian (1992).

Lema 2.1 (Lema de Roy) Sea x(p,m) la funcion de demanda Marshalliana y sea v(p,m)la funcion de utilidad indirecta.

⇒ xi(p,m) = −∂v(p,m)

∂pi

∂v(p,m)∂m

∀i = 1, . . . , n siempre que

∂v(p,m)∂m

6= 0 y pi > 0 ∀i, y m > 0.

Demostracion.v(p,m) = maxu(x) s.a p · x ≤ m

⇒ L = u(x) + λ(m− p · x)

C.P.O.: Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente,

∂v

∂pi=

∂L∂pi x∗

= −λx∗i ; (1)

∂v

∂m=

∂L∂m

x∗= λ. (2)

Igualando λ en (1) y (2) ⇒ ∂v

∂pi= −

(∂v

∂m

)x∗i ⇒ x∗i = −

∂v∂pi

∂v∂m

.

Lema 2.2 (Lema de Shephard) Si la funcion de gasto es diferenciable en p y p > 0,

⇒ hi(p, u) =∂e(p, u)

∂pi; ∀i = 1, . . . , n.

Demostracion.e(p, u) = min p · x s.a u(x) ≥ u

⇒ L = p · x + λ(u− u(x))

∂e(p, u)∂pi

=∂L∂pi h∗

= xi h∗ = h∗i ;

teniendo en cuenta el teorema de la envolvente

⇒ hi(p, u) =∂e(p, u)

∂pi.

29

Teorema 2.2 Identidades de la dualidad

Supongamos que:

- u(x) es continua;

- (º) satisface las N.S.L. (evitar curvas de inferencia gruesas), y,

- el PMU (maxu(x) s.a p ·x ≤ m) y el PMG (min p ·x s.a u(x) ≥ u) tienen solucion.

Entonces se cumplen las siguientes identidades:

e(p, v(p,m)) ≡ m;

v(p, e(p, u)) ≡ u;

xi(p, e(p, u)) ≡ hi(p, u);

hi(p, v(p,m)) ≡ xi(p,m).

Teorema 2.3 Ecuacion de Slutsky

∂xj

∂pi=

∂hj(p, u)∂pi

− ∂xj

∂m· xi(p, e(p, u)) ∀ i, j = 1, . . . , n.

Utilizando las anteriores identidades de la dualidad se puede llegar a descomponer en unaecuacion la variacion de la demanda provocada en un cambio en el precio de algun bien endos efectos: el efecto sustitucion y el efecto ingreso. Otra importante consecuencia de laecuacion de Slutsky es poder calcular la derivada de la funcion de demanda compensada (lacual no es directamente observable) a partir de elementos observables.

Demostracion. Por las identidades de la dualidad se tiene:

xj(p, e(p, u)) ≡ hj(p, u); derivando respecto a pi

⇒ ∂xj

∂pi+ ∂xj

∂m · ∂e(p,u)∂pi

= ∂hj(p,u)∂pi

⇒ ∂xj

∂pi+ ∂xj

∂m · hi(p, u) = ∂hj(p,u)∂pi

; por Lema de Shephard

⇒ ∂xj

∂pi︸︷︷︸Efecto Total

=∂hj(p, u)

∂pi︸︷︷︸Efecto Sustitucion

− ∂xj

∂m· xi(p, e(p, u));

︸︷︷︸Efecto Ingreso

∀ i, j = 1, . . . , n por identidad de dualidad


Grafico 2.9: Ecuacion de Slutsky

Proposicion 2.2 La matriz de sustitucion[∂xj

∂pi+

∂xj

∂m· xi(p, e(p, u))

]

ij

=[∂hj

∂pi

]

ij

es una matriz semidefinida negativa y simetrica. Esta matriz es el Hessiano de la funcion degasto.

Demostracion. Por lema de Shephard

∂e(p, u)∂pi

= hi(p, u)

⇒(

∂hj

∂pi

)=

(∂2e(p, u)∂pi∂pj

)

que es semidefinida negativa ya que la funcion de gasto es concava. Debido a esto tambien setiene que:

∂hj

∂pi=

∂2e(p, u)∂pi∂pj

=∂2e(p, u)∂pj∂pi

=∂hi

∂pj;

entonces la matriz de sustitucion es simetrica.

Corolario 2.1∂hi

∂pi≤ 0; ∀i = 1, . . . , n

(Los efectos sustitucion propios son negativos).

Definiciones:

Sea xj un bien, se dice que:

31

xj es un bien normal si ∂xj

∂m > 0;

xj es un bien inferior si ∂xj

∂m < 0;

xj es un bien ordinario si ∂xj

∂pj< 0;

xj es un bien Giffen si ∂xj

∂pj> 0.

Resultado 2.2 Todo bien Giffen es un bien inferior.

Demostracion.

∂xj

∂pj=

∂hi(p, u)∂pj

− ∂xj

∂m· xj(p, e(p, u)) de la ecuacion de Slutsky.

Ahora, ∂xj

∂pj> 0, por ser un bien Giffen, y,

∂hj(p, u)∂pj

≤ 0, por el corolario anterior. Si

xj(p, e(p, u)) ≥ 0,

⇒ ∂xj

∂m tiene que ser negativo, es decir el bien j es un bien inferior.

Ejemplo 2.6 Verificar la ecuacion de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para ∂x1∂p1

.

Sabemos quev(p1, p2,m) =

m

k pa1 p1−a

2

x∗1 =am

p1, x∗2 =

(1− a)mp2

.

Ahora, por identidades de la dualidad sabemos que:

v(p, e(p, u)) ≡ u

⇒ u =e(p, u)

k pa1 p1−a

2

⇒ e(p, u) = u(k pa1 p1−a

2 )

ahora,

h1(p, u) =∂e(p, u)

∂p1= uak pa−1

1 p1−a2 = uak

(p1

p2

)a−1

.

Por lo tanto tenemos que:

∂x1

∂p1= −am

p21

y sabemos que


∂h1

∂p1= uak(a− 1)pa−2

1 p1−a2

∂x1

∂m=

a

p1

y x1(p, e(p, u)) =a

p1uk pa

1 p1−a2 .

Tomando el lado derecho de la ecuacion de Slutsky:

∂h1(p, u)∂p1

− ∂x1

∂m· x1(p, e(p, u)) = uak(a− 1) pa−2

1 p1−a2 − a

p1

(a

p1uk pa

1 p1−a2

)

= uak(a− 1) pa−21 p1−a

2 − a2uk pa−21 p1−a

2

= uak pa−21 p1−a

2 ((a− 1)− a), reemplazando u

= −p−21 ma =

∂x1

∂p1.

Ejercicio 2.7 Probar la ecuacion de Slutsky en el caso Cobb-Douglas para ∂x2∂p1

.

Funcion de utilidad de metrica monetaria directa

Esta funcion relaciona la utilidad de una cesta x con el gasto mınimo que se debe realizar paraalcanza esa utilidad. Se refiere entonces, a la cantidad de dinero que se necesita para alcanzarla utilidad que representa la cesta x cuando los precios son p. Formalmente la definicion es lasiguiente:

M(p, x) = e(p, u(x)).

Funcion de utilidad de metrica monetaria indirecta

Se refiere a la mınima cantidad de dinero que necesita el consumidor para alcanzar a losprecios q, la maxima utilidad que tenıa cuando los precios eran p y su ingreso era m.

Formalmente la definicion es la siguiente:

µ(q; p,m) = e(q; v(p,m)).

Notese que si x es fijo, u(x) tambien lo sera y la funcion de utilidad metrica monetaria directase comporta como una funcion de gasto. Lo mismo sucede con la funcion de metrica monetariaindirecta. Notese que estas funciones, por ser funciones de gasto, son estrictamente crecientesen u(x) y en v(p,m), respectivamente. Por lo tanto, las funciones de metrica monetaria sontambien funciones de utilidad, ya que son transformaciones monotonas de u(x) y v(p,m), queson funciones de utilidad.

33

Ejemplo 2.7 Hallar M(p, x) y µ(q; p, m) para la funcion de utilidad Cobb-Douglas.

v(p1, p2,m) =m

k pa1 p1−a

2

.

Por identidades de dualidad: v(p, e(p, u)) ≡ u

⇒ u =e(p, u)

k pa1 p1−a

2

⇒ e(p, u) = uk pa1 p1−a

2 .

Ahora,M(p, x) = u(x)(k pa

1 p1−a2 )

= xa1x

1−a2 k pa

1 p1−a2

= k(x1p1)a(x2p2)1−a

Por otro lado,

µ(q; p,m) = e(q, v(p, m)) = v(p,m)(k qa1 q1−a

2 ) =m

k pa1 p1−a

2

(k qa1 q1−a

2 ) = m

(q1

p1

)a (q2

p2

)1−a

Ejercicio 2.8 Obtener las funciones de utilidad de metrica monetaria directa e indirecta parala funcion de utilidad CES.

La variacion equivalente y la variacion compensada

La variacion equivalente y la variacion compensada son herramientas para medir los cambiosen el bienestar del individuo frente a cambios en los precios y en el ingreso del mismo. Supongaque desea comparar dos situaciones con precios diferentes en terminos de bienestar para unindividuo. La forma evidente de realizar esta comparacion serıa con las utilidades indirectas,es decir, analizando el signo de la expresion:

[v(p′,m)− v(p0, m)].

Este metodo genera informacion ordinal para saber si el individuo mejoro o empeoro enterminos de bienestar, pero no cuantifica la variacion en la utilidad. Para resolver este prob-lema se utiliza la funcion de utilidad de metrica monetaria indirecta, la cual tiene la ventajade que se mide en unidades monetarias.

Suponga un cambio en precios de la forma: p0 −→ p′.Analizando el signo y la magnitud de:

µ(q; p′,m)− µ(q; p0, m),

podemos expresar esta variacion en la funcion de utilidad de metrica monteria indirectasuponiendo como precios base a p0 o a p1.


Precios base, q = p0

⇒ Variacion Equivalente (VE) = µ(p0, p1,m)− µ(p0, p0,m).

Precios base, q = p1

⇒ Variacion Compensada (VC) = µ(p1, p1,m)− µ(p1, p0,m).

Notese que por definicion µ(q; q, m) = m (Asegurarse de entender esto con los ejercicios deutilidad indirecta presentados anteriormente).

Ası,V E = µ(p0; p1,m)−m,

V C = m− µ(p1; p0,m).

En palabras, la variacion equivalente es el aumento (disminucion) del ingreso que serıa “equiv-alente” a lo que fue el cambio de precios en terminos de utilidad. En forma implıcita se puededefinir como:

v(p0,m + V E) = u1 = v(p1,m).

Grafico 2.10: La variacion equivalente

En palabras, la variacion compensada es el aumento (disminucion) en el ingreso de un indi-viduo que “compense” el cambio de precios en terminos de utilidad. Aquı, se debe compensaral individuo despues de hecho el cambio para dejarlo con la misma utilidad anterior. En formaimplıcita se puede definir como:

v(p1,m + V C) = u0 = v(p0,m).

35

Grafico 2.11: La variacion compensada

Ejemplo 2.8 Un individuo tiene la siguiente funcion de utilidad:

u(x, y) = min{x, y}.En la ciudad 1 su ingreso es de 150 y los precios son : Px = Py = 1. En la ciudad 2 elingreso es el mismo pero los precios son Px = 1 y Py = 2. Calcular la variacion equivalentey la variacion compensada.

• V E = µ(p0; p′,m)−m = µ(p0; p′,m)− 150

Ahora, µ(p0; p,m) = e(p0, v(p′,m)) (1)

v(p′,m) = Max min{x, y} s.a x + 2y = 150

⇒ x∗ = y∗ = 50

⇒ v(p′,m) = 50.

Volviendo a (1)

e(p0, 50) = Min p1x1 + p2x2 s.a min(x, y) = 50

⇒ h1 = h2 = u = 50

⇒ e(p0, 50) = 1× 50 + 1× 50 = 100

⇒ V E = 100− 150 = −50.

• V C = m− µ(p′; p0,m) = 150− µ(p′; p0,m)

Ahora, µ(p′; p0,m) = e(p′, v(p0,m))

v(p0,m) = 75 (Mismo procedimiento anterior)


De la misma forma e(p′, 75) = 225

⇒ V C = 150− 225 = −75

Relaciones entre VE, VC y el cambio en el excedente del consumidor

Para estudiar las relaciones entre la VE, la VC y el cambio en el excedente del consumidor(∆EC), veamos primero como son las pendientes de las demandas Marshalliana y Hicksianadependiendo de como se comporta el bien frente a cambios en el ingreso.

Caso 1. Bien normal

Supongamos que p′ > p0 y grafiquemos las curvas x(p,m) y h(p, u). Dado que el bien x1 esnormal, se tiene que ∂x1

∂m > 0.

Grafico 2.12: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien normal

En este caso el efecto ingreso y el efecto sustitucion se mueven en la misma direccion. Asıh(p, u) es mas inclinada que x(p,m).

37

Caso 2. Bien inferior

Supongamos que p′ > p0 y grafiquemos las curvas x(p,m) y h(p, u).

Grafico 2.13: Demandas Marshalliana y Hicksiana - bien inferior

En el grafico 2.13 se observa que si el bien es inferior x1(p,m) es mas inclinada que h1(p, u).Dado que el bien x1 es inferior, se tiene que ∂x1

∂m < 0. Notese que la relacion entre las pendientesde x(p,m) y h(p, u) depende del sentido del efecto ingreso.

Teniendo en cuenta lo anterior, analicemos ahora la relacion entre VE y VC y ∆EC, para elcaso del bien normal.

Recordemos que:

u0 = v(p0,m); u′ = v(p′,m)v(p0,m + V E) = u′; v(p′,m− V C) = u0.


V E = µ(p0; p′,m)− µ(p0; p0,m)= µ(p0; p′,m)− µ(p′; p′,m)= e(p0, u′)− e(p′, u′)=

∫ p0

p′ h(p, u′)dp

V C = µ(p′; p′,m)− µ(p′; p0, m)= µ(p0; p0, m)− µ(p′; p0,m)= e(p0, u0)− e(p′, u0)=

∫ p0

p′ h(p, u0)dp

∆EC =∫ p0

p′ x(p,m)dp.

Grafico 2.14: VE, VC y ∆EC - bien normal

En este caso, dado que el bien es normal:

V C < ∆EC < V E.

Ejercicio 2.9 Encontrar la relacion entre VC, VE y ∆EC para un bien inferior.

Ejercicio 2.10 Encontrar la relacion entre VC, VE y ∆EC si la funcion de utilidad es lasiguiente:

u(x1, x2) = x1 +√

x2 ,

y en general para cualquier funcion de utilidad cuasilineal de la forma:

u(x1, x2) = x1 + g(x2),

donde la funcion g es concava.

39

Problema de la Integrabilidad

Dadas unas funciones de demanda con matriz de sustitucion semidefinida negativa y simetricase plantea el problema de si existe una funcion de utilidad de la cual puedan obtenerse esasfunciones de demanda.

En primer instancia se debe verificar si las demandas observadas satisfacen:[∂hi(p, u)

∂pj

]

ij

negativa semidefinida y simetrica.

Las condiciones de integrabilidad se derivan del lema de Shephard (ver Varian (1992)) y son:

• ∂µ(p;q,m)∂pi

= xi(p, µ(p; q,m)) ∀i = 1, . . . , k;

• µ(q; q, m) = m.

Ejemplo 2.9 Demostrar que existe una funcion de utilidad que represente las siguientes fun-ciones de demanda:

x1 =a1m

p1x2 =

a2m

p2.

Verificar si las funciones de demanda tienen una matriz de sustitucion semidefinida negativay simetrica:

∂h1

∂p2=

∂x1

∂p2+

∂x1

∂m· x2, ecuacion de Slutsky

= 0 +a1

p1· a1m

p2

∂h2

∂p1=

∂x2

∂p1+

∂x2

∂m· x1

= 0 +a2

p2· a1m

p1

Como ∂h2∂p1

= ∂h1∂p2

, la matriz de sustitucion es simetrica. Se deja como ejercicio la verificacionde que la matriz de sustitucion es semidefinida negativa.

Planteando el sistema de ecuaciones de integrabilidad, se tiene:

a)∂µ

∂p1=

a1µ

p1

b)∂µ

∂p2=

a2µ

p2

c) µ(q1, q2; q1, q2,m) ≡ m

a)∂µ

µ=

a1∂p1

∂p1⇒ ln µ = a1 ln p1 + c1


b)∂µ

µ=

a2∂p2

∂p2⇒ ln µ = a2 ln p2 + c2

Solucionando las dos ecuaciones diferenciales se encuentra:

d) ln µ = a1 ln p1 + a2 ln p2 + c3; reemplazando en c)

ln µ = a1 ln q1 + a2 ln q2 + c3

⇒ c3 = ln m− a1 ln q1 − a2 ln q2; reemplazando en d)

ln µ = a1 ln p1 + a2 ln p2 + lnm− a1 ln q1 − a2 ln q2

⇒ µ(p1, p2; q1, q2,m) = mpa11 pa2

2 q−a11 q−a2

2 .

Esta es una funcion de utilidad que representa las preferencias de un individuo con las de-mandas iniciales.

Preferencia Revelada

Grafico 2.15: Preferencia revelada

Considere las cestas del grafico 2.15. Suponga que este consumidor tiene la restriccion pre-supuestal graficada y demanda la cesta x cuando tambien z, y, y w eran comprables. Entoncesse dice que:

xRº z; x

RÂ y; xRÂ w,

dondeRº significa preferencia revelada. El individuo cuyas preferencias representa el grafico

2.15 revela que prefiere la cesta x a las cestas y, w y z. La preferencia revelada de x sobre zes debil porque x y z cuestan lo mismo. La preferencia revelada de x sobre y y w es estrictaporque y y w cuestan menos que x.

41

Ahora, supongamos que se observa una serie de datos de demanda xi cuando los precios y elingreso son (pi,mi):

x1 −→ (p1,m1)x2 −→ (p2,m2)...

......

xn −→ (pn,mn)

La pregunta que surge tras observar estas demandas es: ¿Estas demandas observadas sonconsistentes con el modelo de maximizacion de utilidad del consumidor?

Definicion 2.1 Si xj es la demanda observada a los precios e ingresos (pj ,mj) ∀ j;

1) Si pj · xi ≤ mj ⇒ xjRº xi, los datos revelan que xj es preferida a xi, pues xi

tambien se podıa comprar con los precios e ingreso (pj ,mj).

2) Si pj · xi < mj ⇒ xjRÂ xi, los datos revelan que xj es estrictamente preferida

a xi, pues xi era estrictamente mas barata a los precios e ingreso (pj ,mj).

En palabras, una cesta se revela preferida sobre otra cesta cuando la otra tambien es comprabley sin embargo se escogio la primera.

Axioma general de preferencia revelada (A.G.P.R.)

Un conjunto de datos de demanda x1, x2, . . . , xn satisface el A.G.P.R. si con las preferenciasque revelan los datos no es posible construir un ciclo intransitivo de la forma:

xiRº xj

Rº · · · Rº xi;

donde alguna de las relacionesRº sea estricta, para algunos i y j en {1, 2, ..., n}.

Ejemplo 2.10 Determinar si el conjunto de datos de demanda observados en el cuadro sigu-iente satisface el A.G.P.R.

Precios Ingreso Demandas(10, 10, 10) 300 (10,10,10)(10, 1, 2) 130 (9, 25, 7.5)(1, 1, 10) 110 (15, 5, 9)

Primero se plantea la siguiente tabla:

donde las posiciones en negrilla representan las demandas observadas a los precios correspon-

dientes. Note que (10, 10, 10)RÂ (15, 5, 9), porque se elegio (10,10,10) cuando (15,5,9) costaba

menos. Tambien se observa que (9, 25, 7.5)Rº (10, 10, 10), y, (15, 5, 9)

Rº (9, 25, 7.5). Por lo


DemandasPrecios (10,10,10) (9,25,7.5) (15,5,9)

(10,10,10) 300 415 290(10,1,2) 130 130 173(1,1,10) 120 109 110

tanto es posible construir el ciclo siguiente (9, 25, 7.5)Rº (10, 10, 10)

RÂ (15, 5, 9)Rº (9, 25, 7.5),

el cual es intransitivo. Ası, estos datos de demanda violan el A.G.P.R.

Nota: Es importante tener en cuenta que cuando las cestas no se pueden comparar no nece-sariamente se viola el A.G.P.R.

Proposicion 2.3 Un conjunto finito de datos de demanda satisface A.G.P.R. sii los datosson consistentes con la maximizacion de utilidad de un individuo con preferencias que cumplanla no saciabilidad local. (Ver demostracion en Mas Colell et al. (1995))

43


1. Considere la siguiente funcion de utilidad indirecta:

V (p1, p2,m) = m

(1p1

+1p2

)

Demostrar que V satisface las propiedades de la funcion de utilidad indirecta (continuapara todo p >> 0, m > 0; no creciente en p; cuasiconvexa en p; homogenea de gradocero en (p,m)).

2. Suponga que un consumidor tiene la funcion de gasto:

e(p1, p2, u) =(p1

3+ 2

p2

3+ (p1p2)

12

)u

Encuentre las funciones de demanda compensadas (o Hicksianas) y Marshallianas y la

funcion de utilidad indirecta.

3. Considere la siguiente funcion de utilidad definida en <2+.

U(x1, x2) =

x1 · x2 si x1 · x2 < 44 si 4 ≤ x1 · x2 ≤ 8

x1 · x2 si 8 < x1 · x2

Cual es la solucion del problema de maximizacion de utilidad si

(a) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8?

(b) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 16?

(c) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 4?

(d) si el vector de precios es y el ingreso del consumidor es 8?

Cual es el planteamiento y la solucion del problema de minimizacion del gasto, paraobtener un nivel de utilidad igual a:

(e) 4 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente?

(f) 8 si los precios de los bienes son 2 y 1 respectivamente?

(g) 4 si los precios de los bienes son 1 y 2 respectivamente?

Porque las soluciones de maximizacion de utilidad punto (3a) y minimizacion el gastopunto (3e) no coinciden?


4. Dada la siguiente funcion de utilidad:

U(x1, x2, x3) = (x1 − b1)α(x2 − b2)β(x3 − b3)γ (Sistema lineal de gasto de Stone).

Porque se puede asumir sin perdida de generalidad que los exponentes suman uno?Plantee el problema de maximizacion de utilidad. Obtenga las demandas Marshallianasx(p, m) y la funcion de utilidad indirecta V (p,m). Plantee el problema de minimizacionde costos. Obtenga las demandas Hicksianas h(p, u) y la funcion de gasto e(p, u). Veri-fique las identidades de la dualidad.

5. Suponga que un consumidor tiene la siguiente funcion de utilidad: U(x, y) = min{x, y}.Cuanto dinero necesita esta persona a los precios (q1, q2) para alcanzar la misma utilidadque tenıa cuando los precios e ingreso eran (p1, p2, y), es decir, cual es su funcion decompensacion indirecta µ(q1, q2; (p1, p2, y))?

6. Suponga que un la funcion de utilidad de Perez es U(x, y) = x + y. Perez tiene $50,000y el precio de x es 1 y el de y es 2 en donde vive. Su jefe esta considerando la posibilidadde trasladarlo a otra ciudad donde el precio de x es 3 y el de y es 2. No le ofrece ningunasubida salarial. Perez, que comprende perfectamente la variacion compensatoria y laequivalente, se queja amargamente. Dice que aunque no le importa trasladarse y lanueva ciudad es tan agradable como la otra, tener que trasladarse es tan malo como unareduccion del salario de A dolares. Tambien dice que no le importarıa trasladarse si leofrecieran una subida de B dolares. Cuales son los valores de A y de B? Cuanto dineronecesita esta persona a los precios e ingreso (q1, q2,m) para alcanzar la misma utilidadque tenıa cuando los precios e ingreso eran (p1, p2,m), es decir, cual es su funcion decompensacion indirecta µ(q1, q2; (p1, p2,m))?

7. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que cumpla el A.G.P.R.

8. Construya un ejemplo con tres datos de demandas observadas que viole el A.G.P.R.

Parte II

TEORIA DE LA FIRMA

45

Capıtulo 3

Tecnologıa

En este capıtulo se analiza la forma en que las empresas producen bienes utilizando distintascombinaciones de factores tecnologicamente viables. Para ello es necesario contar con her-ramientas que nos permitan estudiar las posibilidades de produccion de una empresa. Paraello definimos los conceptos que se exponen a continuacion.

• z : Plan de produccion. Es el listado de producciones e insumos de distintos bienes enuna empresa.

z ∈ Rn; z = (z1, z2, . . . , zn).

En este vector si zi > 0 el bien i se refiere a un producto, y si zi < 0 el bien i es usadocomo un insumo.

• Y : Conjunto de posibilidades de produccion. Es el conjunto de todos los planes deproduccion viables o factibles para la empresa dada su tecnologıa. Es decir,

Y = {z ∈ Rn/z es un plan de produccion factible}.Los planes de produccion que no estan en este conjunto no son viables para esta firma.

Simplificacion: En adelante se trabajara con planes de produccion z que tienen un soloproducto y y varios insumos x, y que por ende se pueden expresar como:

z = (y,−x1,−x2, . . . ,−xn−1).

• V (y) : Conjunto de requerimientos de insumos de nivel y. Dado un nivel de productoy se define formalmente V (y) = {x ∈ Rn−1

+ /(y,−x) ∈ Y } el cual no es otra cosa que elconjunto de todas las combinaciones de factores que generan por lo menos y unidadesde produccion.

• Q(y) : Isocuanta de nivel y. Es la combinacion de factores que generan exactamente yunidades de produccion, es decir:

Q(y) = {x ∈ Rn−1+ /x ∈ V (y) ∧ x /∈ V (y′), ∀y′ > y}.

47

48 CAPITULO 3. TECNOLOGIA

• Funcion de produccion, f(x): maximo producto alcanzable con la cantidad de insumosx:

f(x) = {y ∈ R/y es el maximo producto asociado con −x en Y }.

Ejemplo 3.1 Considere la funcion de produccion: f(x) =√

x, encontrar Y, V (10) y Q(10).

Grafico 3.1: Conjunto de posibilidades de produccion

Y = {(y,−x)/y ≤ √x} ; V (10) = [100, +∞) ; Q(10) = {100}.

Ejemplo 3.2 Para la funcion de produccion Cobb-Douglas

f(x1, x2) = xa1 x1−a

2 , encontrar Y, y graficar V (y) y Q(y).

Y = {(y,−x1,−x2) ∈ R3/y ≤ xa1 x1−a

2 }V (y) = {(x1, x2) ∈ R2/y ≤ xa

1 x1−a2 }

Q(y) = {(x1, x2) ∈ R2/y = xa1 x1−a

2 }

Propiedades de la tecnologıa

A continuacion se analizan las propiedades deseables de una tecnologıa.

1) a) Monotonicidad de insumos: Si x ∈ V (y) y x′ ≥ x ⇒ x′ ∈ V (y); con mas insumos sepuede producir por lo menos el mismo producto; es decir, se pueden desperdiciarinsumos.Ej: (-3,5) ∈ Y ⇒ (−4, 5) ∈ Y es decir que si 3 ∈ V (5) ⇒ 4 ∈ V (5).

49

Grafico 3.2: Conjunto de requerimientos de insumos

b) Monotonicidad de insumos y productos: Si y ∈ Y , y′ ≤ y ⇒ y′ ∈ Y ; es importantetener en cuenta que los insumos son negativos en y; con mas insumos se puedeproducir el mismo producto o menos.Ej: (-3,5) ∈ Y ⇒ (−4, 2) ∈ Y .

2) Convexidad de V (y) :

Si x, x′ ∈ V (y) → (tx + (1− t)x′) ∈ V (y), ∀t ∈ [0, 1].

3) Regularidad de V (y):

V (y) es un conjunto no vacıo y cerrado ∀ y.

Resultado 3.1 La monotonicidad de insumos y productos implica monotonicidad de in-sumos.

Demostracion. Sea x ∈ V (y) → (−x, y) ∈ Y y sea

x′ ≥ x ⇒ −x′ ≤ −x

⇒ (−x′, y) ≤ (−x, y)

⇒ (−x′, y) ∈ Y ; por monotonicidad de insumos y productos

⇒ x′ ∈ V (y).

Ejercicio 3.1 Demostrar que el Resultado anterior no se cumple en sentido contrario.


Grafico 3.3: El conjunto de requerimientos de insumos y la isocuanta

Resultado 3.2 Si Y es convexo ⇒ V (y) es convexo ∀ y.

Demostracion.Sean x, x′ ∈ V (y)

⇒ (y,−x), (y,−x′) ∈ Y

Sea t ∈ [0, 1]

⇒ t(y,−x) + (1− t)(y,−x′) ∈ Y ; porque Y es convexo

⇒ (y,−(tx + (1− t)x′)) ∈ Y

⇒ tx + (1− t)x′ ∈ V (y)

⇒ V (y) es convexo.

Ejercicio 3.2 Probar con un contraejemplo que el recıproco del Resultado anterior no escierto.

Definiciones de rendimientos a escala

Se refiere a la magnitud en que cambia el nivel de produccion ante el aumento o disminucionde algunos de los factores en una proporcion t.

• Una tecnologıa exhibe retornos a escala constantes si:

i) y ∈ Y, ty ∈ Y ; ∀t ≥ 0, o,

51

ii) x ∈ V (y), ⇒ tx ∈ V (ty); ∀t ≥ 0, o,

iii) f(tx) = tf(x); ∀t ≥ 0; en este caso f es homogenea de grado 1.

Nota: Es posible demostrar que los enunciados i), ii) e iii) son equivalentes.

Ej: La funcion f(x) = y =√

3x no exhibe retornos constantes a escala, pues f(tx) =√3tx 6= t

√3x = tf(x).

Ej: La funcion f(x) = y = 3x exhibe retornos constantes a escala, pues f(tx) = 3tx =tf(x) (funcion homogenea de grado 1).

• Una tecnologıa exhibe retornos crecientes a escala si:

f(tx) > tf(x); ∀ t > 1.

Ej: La funcion f(x) = x2 exhibe retornos crecientes a escala.

• Una tecnologıa exhibe retornos decrecientes a escala si:

f(tx) < tf(x) ∀ t > 1.

Ej: La funcion f(x) =√

x exhibe retornos decrecientes a escala.

• Una tecnologıa exhibe retornos no crecientes si:

f(tx) ≤ tf(x), ∀ t > 1,

o, de forma equivalente,

∀ α ∈ [0, 1], y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y.

• Una tecnologıa exhibe retornos no decrecientes si:

f(tx) ≥ tf(x), ∀ t > 1,

o, de forma equivalente,∀ α ≥ 1, y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y.

Resultado 3.3 Si Y es convexo y 0 ∈ Y , entonces Y exhibe retornos no crecientes a escala.

Demostracion. Sean y, y′ ∈ Y y sea α ∈ [0, 1]

⇒ αy + (1− α)y′ ∈ Y ; por convexidad.

Ahora, como 0 ∈ Y ⇒ si y′ = 0⇒ αy ∈ Y,

luego,∀ α ∈ [0, 1], y ∈ Y ⇒ αy ∈ Y.


Ejercicio 3.3 De un ejemplo de conjunto de posibilidades de produccion convexo que no tengaretornos no crecientes a escala.

Elasticidad de escala, e(x) :

Es una medida local del aumento porcentual que presenta el nivel de produccion cuando seincrementan todos los factores en 1%.

Sea y(t) = f(tx); ∀t > 0

⇒ e(x) =d(y(t))

y(t)dtt t=1

⇒ Si e(x) > 1 se presentan retornos crecientes;

⇒ Si e(x) = 1 se presentan retornos constantes;

⇒ Si e(x) < 1 se presentan retornos decrecientes.

Ejemplo 3.3 Sea y = xa1 xb

2

⇒ y(t) = (tx1)a(tx2)b = ta+b xa1 xb

2

⇒ dy(t)dt

= (a + b)ta+b−1 xa1 xb

2

⇒ e(x) =d(y(t))

y(t)

dtt

=dy(t)dt

· t

y(t)=

(a + b)ta+b−1 xa1 xb

2 t

ta+b xa1 xb

2

= a + b.

Elasticidad de sustitucion, σ

La elasticidad de sustitucion σ presenta la relacion entre el cambio porcentual en la razonde factores y el cambio porcentual en la pendiente de la isocuanta. Recordemos que la tasamarginal de sustitucion tecnica (TMST) muestra como se sustituyen los factores en un nivelde produccion constante.

TMST = −∂f∂x1

∂f∂x2

; σ =

∆�

x2x1

�

x2x1

∆TMSTTMST

σ mide la curvatura de la isocuanta, mientras que TMST mide la pendiente de la misma.Utilizando la derivacion logarıtmica se puede definir σ de la siguiente forma:

σ =∂ ln

(x2x1

)

∂ ln |TMST |

53

Ejemplo 3.4 Encontrar la elasticidad de sustitucion (σ) de la funcion de produccion CES:

f(x1, x2) = (xρ1 + xρ

2)1/ρ

∂f

∂x1=

1ρ(ρ xρ−1

1 )(xρ1 + xρ

2)1ρ−1

∂f

∂x2=

1ρ(ρ xρ−1

2 )(xρ1 + xρ

2)1ρ−1

TMST = −xρ−11

xρ−12

= −(

x2

x1

)1−ρ

⇒ |TMST | =(

x2

x1

)1−ρ

ln |TMST | = (1− ρ) ln(

x2

x1

)

ln(

x2

x1

)=

11− ρ

ln |TMST |

σ =∂ ln

(x2x1

)

∂ ln |TMST | =1

1− ρ⇒ Elasticidad de sustitucion constante

Ejercicio 3.4 Encontrar la elasticidad de escala de la CES.

Definicion 3.1 Se dice que una funcion f es homotetica si es una transformacion monotonacreciente de una funcion homogenea de grado 1, f(x) = g(h(x)); donde h(x) es homogenea degrado 1 y g es una funcion monotona creciente, es decir: x > y ⇒ g(x) > g(y).

Resultado 3.4 La TMST de una funcion homotetica es independiente de la escala de pro-duccion.


Ejemplo 3.5 Sea f una funcion de produccion homotetica; probar que si x y x′ producen elmismo nivel de producto, (tx) y (tx′) tambien producen el mismo nivel de producto.

f(x) = h(g(x))⇒ h(g(x)) = h(g(x′)); por definicion⇒ g(x) = g(x′); por ser h monotona creciente⇒ tg(x) = tg(x′)⇒ g(tx) = g(tx′); por ser g homogenea de grado 1⇒ h(g(tx)) = h(g(tx′)); por ser h monotona creciente


Grafico 3.4: Funcion de produccion homotetica

Notese que aunque f(x) = f(x′) = y no necesariamente f(tx) = f(tx′) = ty.

55


1. De ejemplos economicos de conjuntos de posibilidades de produccion que no cumplanconvexidad, monotonicidad de insumos, monotonicidad de insumos y productos y adi-tividad.

2. Determinar si las siguientes funciones son homoteticas:

(a) f(x, y) = ln(xy) + exp(xy)

(b) f(x, y) = ln(x2 + xy)2

Capıtulo 4

Los Problemas de la Firma

Funcion de beneficios

Para este analisis suponemos una situacion de competencia perfecta donde los precios delproducto y los precios de los factores estan dados. Sea p un vector de precios. La funcion debeneficios se define como:

π(p) = max p · y s.a y ∈ Y.

Otra forma de expresar la funcion de beneficios es:

π(p, w1, w2, . . . , wn) = max p · f(x1, x2, . . . , xn)− (w1x1 + w2x2 + · · ·+ wnxn),

y el problema de la firma se llama problema de maximizacion de beneficios (PMB).

Grafico 4.1: Funcion de beneficios

57

58 CAPITULO 4. LOS PROBLEMAS DE LA FIRMA

La solucion de PMB esta dada por x∗ = x∗(p) llamada funcion de demanda de factores yy∗ = y∗(p) llamada funcion de oferta. Por lo tanto π(p, w) = py∗(p)− wx∗(p).

Resolviendo el PMB se encuentran las siguientes condiciones:

C.P.O.:

p∂f

∂xi− wi = 0 ⇒ ∂f

∂xi=

wi

p

p∂f

∂xi︸︷︷︸valor del producto marginal del factor i

= wi︸︷︷︸costo

C.S.O.:∂2f

∂x2i

≤ 0 para que la solucion sea un maximo, f debe ser concava.

Nota: Del Grafico anterior es claro que los retornos decrecientes de f , son condicion necesariapara que exista funcion de beneficios. Esto se prueba en detalle en el siguiente resultado.

Resultado 4.1 Si f tiene retornos constantes (o crecientes) a escala

⇒ π(p) = 0 o π(p) = +∞.

Demostracion. Suponga que la funcion f exhibe retornos a escala crecientes o constantes yque existe (x1, x2, . . . , xn) tal que π(p) > 0.

p · f(x1, x2, . . . xn)− w1x1 − w2x2 − · · ·wnxn > 0.

Ahora, se multiplica por t > 1 la escala de produccion, luego:

p · f(tx)− wtx = t(pf(x)− wx) ≥ tπ(p) > π(p);

por tener retornos constantes o crecientes a escala.

⇒ π(p) = +∞;

por lo tanto las empresas siempre van a desear aumentar el nivel de producto.

Ejemplo 4.1 Hallar π(p) para la siguiente funcion de produccion:

y = xa.

π(p) = Max p · y − wx = pxa − wx

C.P.O.:∂π(p)∂x

= ap xa−1 − w = 0

59

xa−1 =w

ap⇒ x∗ =

(w

ap

) 1a−1

C.S.O.:∂f

∂x= axa−1;

∂2f

∂x2= a(a− 1)xa−2

Para que∂2f

∂x2< 0 ⇒ a < 1.

Entonces

π(p) = p

(w

ap

) 1a−1

− w

(w

ap

) 1a−1

Ejercicio 4.1 Bajo cuales condiciones π(p) > 0?

Conjunto de posibilidades de produccion de corto plazo

En el corto plazo, generalmente, algunos factores son fijos, y a largo plazo las posibilidadestecnologicas de la empresa pueden variar y convertir a algunos factores fijos en variables.Suponga el factor x2 fijo en el corto plazo en el nivel x2 = k. El conjunto de posibilidades deproduccion de corto plazo es:

Y (x2 = k) = {z ∈ Y/z son planes de produccion restringidos a x2 = k}.Ej: Y (k) = {(y,−x1,−x2)/y ≤ xa

1 x1−a2 ; x2 = k}.

Funcion de beneficios de corto plazo:

πk(p) = Max p · y s.a y ∈ Y (k).

Ejercicio 4.2 Encontrar la funcion de beneficios de largo plazo de la siguiente funcion deproduccion:

f(x1, x2) = a1 ln x1 + a2 lnx2.

Ejercicio 4.3 Supongamos que en el corto plazo el factor 2 del ejercicio anterior esta fijo enx2 = e. Hallar π(p, w1, w2) de corto plazo.

Max p · f(x1, x2 = e)− w1x1 − w2x2; s.a x2 = e

f(xa, x2) x2=e= a1 lnx1 + a2

⇒ Max p(a1 ln x1 + a2)− w1x1 − w2e

C.P.O. :∂π

∂x1=

pa1

x1− w1 = 0

⇒ x∗1 =a1p

w1

⇒ πC.P.(p, w1, w2) = p(a1 lna1p

w1+ a2)− a1p− w2e.


Resultado 4.2 Resultado de Le Chatelier.

πL.P. > πC.P.; se puede consultar la demostracion en Varian (1992).

Propiedades de π(p)

1) Monotonicidad respecto a los precios: π(p) es no decreciente en los precios de los pro-ductos y no creciente en los precios de los insumos, es decir, si p′i ≥ pi; i = producto osi p′j ≤ pj ; j = insumo

⇒ π(p′) ≥ π(p).

Demostracion.

Sea p′ ≥ p; sea y un producto maximizador de beneficios a los precios p

π(p) = p · y.

Sea y′ un producto maximizador de beneficios a los precios p′

π(p′) = p′ · y′.

π(p′) = p′ · y′ ≥ p′ · y; por que y′ es maximizador de beneficios a los precios p′

≥ p · y; porque p′ ≥ p

≥ π(p) ⇒ π(p′) ≥ π(p).

2) π(p) es homogenea de grado uno en p.

Demostracion.π(p) = Max p · y s.a y ∈ Y

π(tp) = Max tp · y s.a y ∈ Y

= t Max p · y s.a y ∈ Y = t π(p).

3) π(p) es convexa en p, es decir que ∀p, p′, ∀α ∈ [0, 1],

π(αp + (1− α)p′) ≤ απ(p) + (1− α)π(p′).

Demostracion.

Sea α ∈ (0, 1) y sea p′′ = αp + (1− α)p′. Supongamos que:

para el problema: Max p · y s.a y ∈ Y, la solucion es y ⇒ π(p) = p · y;

para el problema: Max p′ · y s.a y ∈ Y, la solucion es y′ ⇒ π(p′) = p′ · y′; y,

para el problema: Max p′′ · y s.a y ∈ Y, la solucion es y′′ ⇒ π(p′′) = p′′ · y′′.

61

Notese que los tres problemas de maximizacion de beneficios tienen la misma restriccion,

⇒ p · y ≥ p · y′′; porque y es la solucion del PMB a los precios p y y′′ cumple larestriccion de PMB.

⇒ αp · y ≥ αp · y′′,⇒ απ(p) ≥ αp · y′′. (1)

Por otro lado p′y′ ≥ p′y′′ porque y′ es la solucion del PMB en los precios p′ y y′′ cumplela restriccion de PMB.

⇒ (1− α)p′y′ ≥ (1− α)p′y′′,

⇒ (1− α)π(p′) ≥ (1− α)p′y′′. (2)

Si se suman (1) y (2) encontramos:

απ(p) + (1− α)π(p′) ≥ αp · y′′ + (1− α)p′ · y′′= (αp + (1− α)p′)y′′ = p′′y′′ = π(p′′)

⇒ απ(p) + (1− α)π(p′) ≥ π(p′′).

4) π(p) es continua ∀ p > 0.

Ejemplo 4.2 Hallar π(p) para la siguiente funcion de produccion:

f(x) = 20x− x2, p = 1, x ≥ 0.

1) Hallar C.P.O. de PMB.

f(x) = 20x− x2

⇒ Max p · y s.a y ∈ Y

Max 20x− x2 − wx

C.P.O. ⇒ ∂( )∂x

= 20− 2x− w = 0

w = 20− 2x; x = 10− w

2

2) Para que valores de w el optimo es x = 0?

0 = 10− w2 ⇒ w = 20

3) Para que valores de w el optimo es x = 10?

10 = 10− w2 ⇒ w = 0

4) Cual es la funcion de demanda del factor?

x = 10− w2 si w ≤ 20.


5) Hallar π(w);

π(w) = 20(10− w

2

)− (10− w

2

)2 − w(10− w

2

)

=(10− w

2

)2.

Ejercicio 4.4 Hallar π(p) para f(x1, x2) =√

x1 + x2.

Lema 4.1 (Lema de Hotelling) Suponga que π(p) es continua y diferenciable en p, en-tonces:

∂π(p)∂pi

= yi(p); ∀i = 1, 2, . . . , n; ∀pi

Demostracion.π(p) = Max p · y s.a y ∈ Y

∂π(p)∂p

= yi(p); por el teorema de la envolvente

Resultado 4.3 D2π(p) es simetrica y semidefinida positiva.


Funcion de costos

La funcion de costos es el instrumento principal para describir las posibilidades economicasde la empresa. Mide el costo mınimo de obtener un determinado nivel de producto, dados losprecios de los factores. Sean w el vector de precios de los factores y y un nivel de productodado. La funcion de costos se define a traves del problema de minimizacion de costos (PMC)como:

C(w, y) = min w · x s.a f(x) ≥ y.

La solucion del PMC es el vector de demandas condicionadas de factores: x(w, y), y seencuentra a traves de:

L = w · x + λ(y − f(x))

C.P.O. : wi = −λ∂f

∂xi= 0; ∀ i = 1, 2, . . . , n

f(x) = y.

Notese que por el teorema de la envolvente λ = ∂C∂y = costo marginal de la produccion, indi-

cando como cambia la funcion de costos cuando cambia el nivel de producto.

63

Despejando las C.P.O. se encuentra:,

wi

wj︸︷︷︸tasa

economica de

sustitucion

=∂f∂xi

∂f∂xj︸︷︷︸

tasa marginal

de sutitucion tecnica

Grafico 4.2: La minimizacion de costos

El vector de demandas condicionadas de factores x∗ = x(w, y) es el punto donde se igualan larelacion de precios de los insumos a la TMST.

Nota: Si la funcion de produccion es concava (lo cual se da si Y es convexo) se cumple tambienque el PMC tiene solucion unica. Esto coincide con las condiciones de segundo orden delPMC:

C.S.O. :∂2f

∂x2i

≤ 0.

Ejemplo 4.3 La funcion de costos de la funcion de produccion CES

f(x1, x2) = (xρ1 + xρ

2)1/ρ, ρ < 1.

minw1x1 + w2x2 s.a xρ1 + xρ

2 = yρ

L = w1x1 + w2x2 + λ(yρ − xρ1 − xρ

2)


Solucionando el algebra de la C.P.O. se llega a:

x1(w1, w2, y) =w

1ρ−1

1

(wr1 + wr

2)1/ρy;

x2(w1, w2, y) =w

1ρ−1

2

(wr1 + wr

2)1/ρy; r =

ρ

ρ− 1

⇒ C(w1, w2, y) = w1x1(w1, w2, y) + w2x2(w1, w2, y) = y(wr1 + wr

2)1/r.

Nota: La funcion de costos esta restringida a un nivel de produccion. A diferencia de lamaximizacion de beneficios, la minimizacion de costos puede tener solucion auncuando lafuncion de produccion exhiba rendimientos crecientes o constantes a escala.

Ejercicio 4.6 Encontrar la funcion de costos de:

f(x1, x2) = x1 + x2, y, f(x1, x2) = min{x1, x2}.

Propiedades de la funcion de costos: C(w, y)

1) c(w, y) es no decreciente en w y estrictamente creciente en y.

Si w ≤ w′ ⇒ C(w, y) ≤ C(w′, y)

Si y ≤ y′ ⇒ C(w, y) < C(w, y′)

2) C(w, y) es homogenea de grado 1 en p

∀λ > 0, C(λw, y) = λC(w, y)

3) C(w, y) es concava en w, es decir que ∀α ∈ (0, 1), ∀p, p′,

C(α w + (1− α) w′, y) ≥ α C(w, y) + (1− α) C(w′, y).

4) C(w, y) es continua en w, ∀ w > 0.

Nota: Las anteriores demostraciones son iguales a las de la funcion de gasto (capıtulo 2).

Resultado 4.4 Si f es homogenea de grado 1, C(w, y) es homogenea de grado 1 en y es decirque:

C(w, y) = y C(w, 1).

Demostracion. Sea f una funcion homogenea de grado 1 y sea x∗ la solucion de

minw · x s.a f(x) ≥ 1. (1)

⇒ C(w, 1) = w · x∗⇒ C(w, y) = w · y · x∗ (2)⇒ = y C(w, 1)

Veamos el desarrollo que explica la igualdad (2).

65

a) f(x∗) = 1 ⇒ f(y x∗) = y · 1 = y

porque f es homogenea de grado 1

⇒ y x∗ satisface la restriccion de

Min w · x s.a f(x) ≥ y. (3)

b) Supongamos que (y x∗) no es solucion del problema (3) y sea x′ la solucion de (3). Como(yx∗) satiface la restriccion del problema (3),

⇒ w x′ < w(y x∗)

⇒ wx′

y< w x∗

Pero f(x′y ) = 1

yf(x′) = yy = 1, porque f es homogenea de grado 1

⇒ con x′y se puede producir 1 y mas barato que x∗

⇒ contradice que x∗ sea la solucion del problema (1)

⇒ y x∗ es la solucion del problema (3)

⇒ C(w, y) = w y x∗ = y(w x∗) = y C(w, 1).

Resultado 4.5 Si f es homogenea de grado 1 ⇒ x(w, y) es homogenea de grado 1 en y.

Demostracion. Usando el resultado anterior tenemos que C(w, y) = y C(w, 1)

⇒ w x(w, y) = y w x(w, 1)

⇒ x(w, y) = y x(w, 1)

Lema 4.2 Lema de Shephard

∂C(w, y)∂wi

= xi(w, y) ∀i = 1, . . . , n.

Ejercicio 4.7 Demostrar el lema de Shephard usando el teorema de la envolvente.

Resultado 4.6 D2e C(w, y) es semidefinida negativa y simetrica.



Geometrıa de los costos

Para C(w1, w2, y) suponga fijos w1 y w2

⇒ C(·) = C(y)

Ahora C(y) = F︸︷︷︸Costos fijos

+ Cv(y)︸︷︷︸Costos variables

Costos Medios = AC(y) =C(y)

y=

Fy︸︷︷︸

costos fijos medios

+Cv(y)

y︸︷︷︸Costos medios variables (AV C)

Grafico 4.3: Geometrıa de los costos

Costos Marginales = MC(y) =∂C(y)

∂y= C′(y).

Resultado 4.7 MC y AVC empiezan en el mismo punto.Donde AC es mınimo, AC y MC se cortan.Donde AVC es mınimo, AVC y MC se cortan.


Oferta de la firma

Reformulando el problema de maximizacion de beneficios:

Max p · y − C(y)

67

C.P.O. : ⇒ p− C′(y) = 0 ⇒ MC(y) = p.

Ahora, si

p < AC(y) =C(y)

y⇒ p y < C(y)

⇒ π < 0.

Ası, la oferta de la firma es:

MC(y) = p si p ≥ AC(y).

Ejemplo 4.4 Sea C(y) = 3y2 + 10.Graficar: la funcion de costos, costos variables, costosfijos, costos medios, costos marginales, costos medios variables y derivar la oferta de la firma.

Grafico 4.4: Costos fijos, variables y totales

Costo fijo = 10; Costo variable = 3y2. AC = 3y +10y

; AVC = 3y; AFC =10y

; MC = 6y

Nota: El punto y =√

10/3 se puede obtener de la interseccion entre MC y AC u obteniendoel mınimo de AC. La oferta de la firma es la parte sombreada de la curva MC (ver grafico4.5).

Resultado 4.8 Si f es concava entonces C(w, y) es convexa en y, w fijo.

Demostracion.Sea C(y) = C(w, y) = minw · x s.a f(x) ≥ y, w fijo.Ahora, C(y) es convexa si ∀y, y′, ∀λ ∈ [0, 1]

C(λy + (1− λ)y′) ≤ λC(y) + (1− λ)C(y′).


Grafico 4.5: Costos medios y marginales

Para demostrar lo anterior, sean x y x′ tales que:x es la solucion de min w · z s.a. f(z) ≥ y;x′ es la solucion de min w · z s.a. f(z) ≥ y′.⇒ C(y) = w · x; f(x) = y;

C(y′) = w · x′; f(x′) = y′.Como f es concava ⇒ f(λx + (1− λ)x′) ≥ λf(x) + (1− λ)f(x′) = λy + (1− λ)y′.De esta manera, con [λx + (1− λ)x′] se puede producir [λy + (1− λ)y′].Veamos cuales son los costos de producir la cesta [λx + (1− λ)x′]:

w[λx + (1− λ)x′] = λ w x + (1− λ) w x′

= λ C(y) + (1− λ)C(y′)≥ C[λ y + (1− λ)y′],

porque C(λy + (1− λ)y′) es el mınimo costo para producir (λ y + (1− λ)y′).

Dualidad

El concepto de dualidad significa que para una funcion de produccion se puede encontrar lafuncion de costos correspondiente y viceversa. De esta manera:

Funcion de Produccion Funcion de Costos

y = ax1 + bx2 ⇔ C(w1, w2, y) = min{w1a , w2

b }yy = min{ax1, bx2} ⇔ C(w1, w2, y) =

(w1a + w2

b

)y

y = xa1 x1−a

2 ⇔ C(w1, w2, y) = k(a)wa1 w1−a

2 y

y = (xρ1 + xρ

2)1/ρ ⇔ C(w1, w2, y) = (wr

1 + wr2)

1/ry; r = ρρ−1

69


1. Derive la funcion de beneficio π(p), la funcion de oferta (y demanda de factores) y(p)para las siguientes tecnologıas cuyas funciones de produccion estan dadas por:

g(x1, x2) =√

min{x1, x2};h(x1, x2) = (xρ

1 + xρ2)

1/ρ.

2. Sea ei la elasticidad ingreso de la demanda del bien i. Suponga que ei = ej para dosbienes diferentes i y j. Demostrar que xi/pj = xj/pi .

3. Una empresa cuenta con la siguiente funcion de costos:

C(y) ={

y + 1 si y > 00 si y = 0

sea p el precio del bien producido y considere fijos todos los precios de los factores. Sip = 2 ¿Cuanto producirıa la empresa? Si p = 1, ¿Cual es la produccion? En general,cual es la funcion de beneficios de esta empresa? Como cambian las respuestas si lafuncion de costos fuera solamente: C(y) = y2 + 1 si y ≥ 0?

Parte III

TEORIA DE LA INFORMACION

71

Capıtulo 5

Decisiones bajo Incertidumbre

Decision bajo incertidumbre

Ciertas decisiones que toman los agentes representan incertidumbre. Para optimizar estasdecisiones se necesita definir algunos elementos:

(1) Un conjunto de acciones o decisiones

{1, . . . , x, . . . ,X}

(2) Un conjunto de estados de la naturaleza

{1, . . . , s, . . . ,S}

(3) Una funcion de consecuenciasC(X ,S)

(4) Una funcion de probabilidad de los estados de la naturaleza

πs,S∑

s=1

πs = 1

(Probabilidades subjetivas y que dependen del agente)

(5) Una funcion de utilidad que ordena las consecuencias v(C)(Funcion de utilidad elemental)

Definicion de utilidad esperada

Dada U(x) = utilidad de la accion X y dadas las funciones de consecuencias:

C(X , 1), C(X , 2), . . . , C(X ,s), . . . , C(X ,S)

73

74 CAPITULO 5. DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE

La utilidad esperada se define como:

UE(X ) = π1v(C(X , 1)) + π2v(C(X , 2)) + . . . + πsv(C(X , s)) + πSv(C(X ,S))

=S∑

i=1

πiv(C(X , i) (Esperanza matematica de las utilidades elementales)

Nota: Si las consecuencias son numericas la utilidad esperada es la esperanza aritmetica de

las consecuencias.

Ahora, el valor esperado se define como:

EV =S∑

i=1

πiC(xi)

Ejemplo 5.1 A un agente se le presenta una loteria que paga 0 o 1000 con probabilidad 1/2.

Tambien se le ofrece la opcion de tomar 250 con certeza. Suponga que v(C) =[ C

1000

]1/2; ¿Queaccion toma el agente?

L1 = {0, 1000 / 1/2, 1/2}L2 = {250 / 1}

UE(L1) =12

[0

1000

]1/2

+12

[1]1/2 =√

12

=12

UE(L2) = 1[

2501000

]1/2

=12

Agente es indiferente entre L1 y L2.

Notese que en este caso EV (L1) = 500

⇒ U(EV ) > UE.

Ejemplo 5.2 Considere las siguientes loterıas:

L1 = {810, 360, 160 / 0.1, 0.5, 0.4}

L2 = {250 / 1}

v(C) =( C

1000

)1/2

UE(L1) = 0.1(

8101000

)1/2

+ 0.5(

3601000

)1/2

+ 0.4(

1601000

)1/2

= 0.55

UE(L2) =12

⇒ UE(L1) > UE(L2)En este caso el agente prefiere L1.

75

Grafico 5.1: La funcion de utilidad elemental

Definicion 5.1 Un agente es averso al riesgo si prefiere estrictamente una consecuencia Cque cualquier loterıa cuyo valor esperado es igual a C. Si la preferencia es al contrario, elagente es amante al riesgo. Si es indiferente entre los dos es neutral al riesgo.

En terminos de la desigualdad de Jensen se encuentra lo siguiente:

Utilidad Agente Funcion Ejemplov(EV ) > UE Averso al riesgo Concava v(x) =

√x

v(EV ) < UE Amante al riesgo Convexa v(x) = x2, ex

v(EV ) = UE Neutral al riesgo Lineal v(x) = ax + b

Ejercicio 5.1 Trabajar los ejemplos 5.1 y 5.2 con una funcion de utilidad convexa y verificarla desigualdad de Jensen.

Varianza: Si L = {r1, r2, . . . , rN / π1, π2, . . . , πN}

EV =∑

πiri

⇒ V arianza =∑

πi(ri − EV )2

Paradojas

1. San Petesburgo

Se lanza una moneda justa hasta que salga cara. Si en el lanzamiento n sale cara porprimera vez, el individuo gana US $ 2n (el juego se acaba cuando sale cara). Cuantoesta dispuesto el individuo a pagar por participar en este juego ?


EV =∑∞

n=1

(12

)n 2n −→ ∞.

Ahora, si la utilidad del individuo es concava, ¿cuanto pagarıa? (Suponga v(x) =√

x)

UE =∞∑

n=1

(12

)n√2n =

∞∑

n=1

1√2n

=1

1− 1√2

≈ 2.7.

Esta paradoja justifica el supuesto de utilidad elemental concava, ya que nadie estarıadispuesto a pagar una suma infinitamente grande para participar en este juego.

2. Allais

Suponga que a un grupo de personas se les presentan las siguientes loterıas (cifras endolares):

L1 = {500000 / 1}L2 = {2′500000, 500000, 0 / 0.10, 0.89, 0.01}L3 = {500000, 0 / 0.11, 0.89}L4 = {2′500000, 0 / 0.10, 0.90}

La gente, en su mayorıa, entre L1 y L2 escoge L1, porque aunque la probabilidad de noganar nada en L2 es pequena, existe; ademas L1 de por si es muy grande.

Entre L3 y L4, la gente prefiere L4; la diferencia de probabilidades es muy pequena,mientras la diferencia en el pago es muy grande.

Ahora, al observar las utilidades esperadas de las loterıas:

L1 > L2 : U(500000) > 0.10U(2′500000) + 0.89U(500000) + 0

⇒ 0.11U(500000) > 0.10U(2′500000) (1)

L4 > L3 : 0.10U(2′500000) > 0.11U(500000) (2)

⇒ (1) y (2) se contradicen

Nota: La teorıa de la utilidad esperada no logra explicar este comportamiento. Unaexplicacion a esta paradoja es la teorıa del arrepentimiento.

3. Machina

Imagine que a una persona se le ofrecen los siguientes premios posibles:

1. Viaje a Venecia

2. Pelıcula en cine de Venecia

3. Quedarse en la casa

77

Imagine que esta persona prefiere el premio 1. al 2. y el premio 2. al 3., es decir quesus preferencias ordenan los premios ası: 1. > 2. > 3. (1)

Ahora, se le ofrecen las siguientes loterıas, compuestas de los premios descritos arriba:

LA = {1., 2. / 0.10, 0.90}LB = {1., 3. / 0.10, 0.90}

Estudios empıricos demuestran que la gente prefiere LB a LA, lo cual no es coherentecon el ordenamiento dado en (1). La justificacion de esta paradoja es que “la pelıculaen cine serıa tortuosa porque recuerda que se habrıa podido estar en Venecia y no seesta.”

Ejemplo 5.3 (Problema de la demanda de seguros) Supongamos el caso entre un in-dividuo y una aseguradora, donde: w es la riqueza inicial del individuo; p es la probabilidadde ocurrencia de un siniestro; L es la cantidad perdida en caso de que ocurra el siniestro; q esla cantidad asegurada y πq es la cantidad que se le paga a la companıa por el seguro. ¿Cuantoasegura el individuo ?; ¿Cuanto cobra la companıa ?; ¿El individuo se asegura?

Primero se analiza cuanto asegura el individuo. Para ello se determina q de tal forma que semaximice la utilidad esperada del individuo:

Lcon seguro = {w − πq, w − L + q − πq / (1− p), p}UE = (1− p)U(w − πq) + pU(w − L + q − πq)

C.P.O. : (1− p)U ′(w − πq)(−π) + pU ′(w − L + q(1− π))(1− π) = 0

⇒ U ′(w − L + q(1− π))U ′(w − πq)

=1− p

p=

π

1− π(1)

Ahora se observa el problema para la companıa aseguradora:

Lcompanıa = {πq, πq − q / (1− p), p}.

Suponga que la competencia entre las aseguradoras hace que los beneficios esperados sean 0;

⇒ EV = 0 ⇒ (1− p)πq + p(πq − q) = 0

⇒ π = p.

Volviendo a la ecuacion (1)

U ′(w − L + q(1− π))U ′(w − πq)

=1− p

p· π

1− π= 1

U ′(w − L + q(1− π)) = U ′(w − πq)

w − L + q(1− π) = w − πq ⇒ q = L

De esta manera el individuo asegura el total de la perdida.


Lcon seguro = {w − pL, w − L− pL + L / 1− p, p}= {w − pL, w − pL / 1− p, p}= {w − pL, w − pL / 1}

Lsin seguro = {w, w − L / 1− p, p}

UEcon seguro = U(w − pL)

UEsin seguro = (1− p)U(w) + p U(w − L)

Grafico 5.2: La demanda de seguros

Si U es concava (el individuo es averso al riesgo),

⇒ (1− p)U(w) + p U(w − L) < u(w − pL)

⇒ el agente sı se asegura, y ademas se asegura por el total de la perdida.

Medidas de aversion al riesgo

Con relacion a la curvatura de la funcion de utilidad se define lo siguiente:

r(w) = −U ′′(w)U ′(w)

= Medida global de aversion al riesgo

ρ(w) = −wU ′′(w)U ′(w)

= Medida relativa de aversion al riesgo

donde U(·) = funcion de utilidad elemental.

Ejemplo 5.4 Si U(w) =√

w encontrar r(w) y ρ(w).

U ′(w) =12w−1/2, U ′′(w) = −1

4w−3/2

79

⇒ r(w) =14w−3/2

12w−1/2

=12w−1/2 =

12w

⇒ ρ(w) = 1/2.

Nota: Observe que a niveles mas altos de riqueza se es menos globalmente averso al riesgo.

Ejemplo 5.5 Si U(w) = w2, encontrar r(w) y ρ(w).

U ′(w) = 2w; U ′′(w) = 2 ⇒ r(w) = − 22w

= − 1w

⇒ ρ(w) = −1.

Nota: El signo negativo significa que el individuo es amante al riesgo. En el caso anterior,U(w) =

√w, el signo de r(w) era positivo (averso al riesgo). Si r(w) = 0 el individuo es

neutral al riesgo.

Prima de riesgo y equivalente de certeza

Considere una loterıa tal que: L = {M1,M2 / 0.5, 0.5}.Se define el equivalente de certeza C como aquella cantidadque le darıa al individuo la misma utilidad esperada que le da la loterıa pero sin riesgo. Sedefine la prima de riesgo π como aquella suma que esta dispuesto a pagar el individuo parano afrontar el riesgo. De manera implıcita:

⇒ U(EV − π) = U(C) = UE;

⇒ π = EV − C.

Grafico 5.3: Prima de riesgo y equivalente de certeza

Teorema 5.1 (Teorema de Pratt) Este teorema relaciona las medidas de aversion al riesgode Arrow-Pratt con la concavidad de la funcion de utilidad elemental y las primas de riesgo.Sean A(w) y B(w) dos funciones crecientes concavas diferenciables. Entonces los tres enun-ciados siguientes son equivalentes:


1) −A′′(w)A′(w)

> −B′′(w)B′(w)

2) A(w) = G(B(w)), para alguna funcion G creciente y estrictamente concava.

3) πA > πB ∀Loterıas{x + ε, x− ε / p, (1− p)},con πj = prima de riesgo de la loterıa j, j = A,B.

Ejemplo 5.6 Problema del Parqueo Ilegal

Suponga que en una ciudad dado las personas parquean en lugares prohibidos. Suponga queel alcalde esta considerando dos polıticas para reducir el problema. Sean w = riqueza inicial;k = multa; π = probabilidad de ser atrapado y recibir una multa.

Polıtica 1: Aumentar el valor de la multa ⇒ k → 1.1k

Polıtica 2: Aumentar el numero de agentes de transito y por lo tanto la probabilidad derecibir una multa ⇒ π → 1.1π.

Si U es concava, cual es la mejor polıtica (para que el individuo obtenga la menor utilidadesperada)?

Primero se plantea la loterıa actual del infractor:

L = {w − k, w / π, 1− π}

Con las polıticas enunciadas:

L1 = {w − 1.1k, w / π, 1− π}

L2 = {w − k, w / 1.1π, 1− 1.1π}

UE1 = (1− π)U(w) + πU(w − 1.1k)

UE2 = (1− 1.1π)U(w) + 1.1πU(w − k)

Se deben comparar las anteriores utilidades esperadas usando la concavidad de U.

Se puede observar que:

w − k = α(w − 1.1k) + (1− α)w

⇒ w − k = αw − α1.1k + w − αw

⇒ k(α1.1− 1) = 0 ⇒ α =1

1.1(1)

81

Grafico 5.4: Problema del parqueo ilegal

Ahora, volviendo a las expresiones de las utilidades esperadas:

UE1 = (1− π)U(w) + πU(w − 1.1k)= U(w)− πU(w) + πU(w − 1.1k)

UE2 = (1− 1.1π)U(w) + 1.1πU(w − k)= U(w)− 1.1πU(w) + 1.1πU(w − k)

⇒ U(w)− πU(w) + πU(w − 1.1k)?≷U(w)− 1.1πU(w) + 1.1πU(w − k)

dividiendo por π,

⇒ −U(w) + U(w − 1.1k) ?≷ − 1.1πU(w) + 1.1πU(w − k)

⇒ U(w − 1.1k) + 0.1U(w) ?≷ 1.1πU(w − k). (2)

Retomando (1) se sabe que:

w − k = 11.1(w − 1.1k) +

(1− 1

1.1

)w

= 11.1(w − 1.1k) + 0.1

1.1w

Por definicion de concavidad (desigualdad de Jensen) se sabe que:

U(w − k) >1

1.1U(w − 1, 1k) +

0.11.1

U(w); multiplicando por 1.1

1.1U(w − k) > U(w − 1.1k) + 0.1U(w)

⇒ UE1 < UE2

luego la mejor polıtica es la primera.

Nota (1): para llegar a que UE1 < UE2 hay que devolver los pasos para llegar a (2).Nota (2): Si el individuo es amante al riesgo (funcion de utilidad convexa) el resultado escontrario. Si el individuo es neutral al riesgo le da igual cualquiera de las dos polıticas.



1. Suponga que dos individuos A y B tienen la misma riqueza inicial de w0. Ambos tienenla misma funcion de utilidad elemental tal que U(x) = (x−w0)

13 . Suponga que uno de

ellos (A o B) recibe como regalo un billete de una loterıa que paga un premio r, (r > 0)o 0 pesos con igual probabilidad. Muestre que existe un numero b > 0 tal que A(B) lepuede vender el billete a B(A) por b pesos y la venta es beneficiosa para ambos hombres.

2. Suponga que una senora quiere vender gaseosa en un partido de futbol y debe decidirque cantidad ordenar. Ella gana m pesos en cada lata vendida y pierde c pesos encada lata ordenada y no vendida. Si la demanda de gaseosa en el juego es una variablealeatoria continua con f.d.p. f y f.d.a. F , muestre que la senora maximiza su beneficioesperado si ordena una cantidad α tal que F (α) = m

m+c .

3. Suponga que a un individuo que tiene una riqueza inicial de W0 se le ofrece la posibilidadde comprar un billete de loterıa que da un premio de r, (r > 0) o de 0 con igualprobabilidad. Suponga que para cada x dado, su utilidad esta dada por U(x) = log(x).Para que valores de b el individuo estara dispuesto a comprar el billete?

4. Suponga que en un mundo con incertidumbre hay dos activos en los que puede unindividuo invertir. El primero es un activo seguro que paga 1 dolar. El segundo es unactivo incierto que paga 0.5 con probabilidad 0.5 y 2 dolares con probabilidad 0.5. Seanx1 y x2 las demandas por estos dos activos. Suponga que el inversionista es averso alriesgo y tiene funcion de utilidad elemental v(c) = log(c), que su riqueza total es 1 y quelos precios de los activos son tambien 1. Luego su restriccion presupuestal es x1+x2 = 1,y x1 y x2 estan en [0,1].

(a) Cual sera la demanda de x1 y x2?

(b) Como cambia x1 si el segundo activo en lugar de pagar 0.5 en el primer eventopagara solo 0.1?

(c) Como cambiarıa x1 si el segundo activo pagara paga 0.5 dolares con probabilidad1/3 y 2 dolares con probabilidad 2/3?

(d) Repetir todo el ejercicio para un agente neutral al riesgo.

5. De un ejemplo de una funcion de utilidad elemental v1 que exhiba aversion absoluta alriesgo constante. De un ejemplo de una funcion de utilidad elemental v2 que exhibaaversion absoluta al riesgo decreciente. Plantee una loterıa de la forma {W0 + e,W0 −e|p, 1 − p} y encuentre las primas de riesgo con v1 y con v2. Luego aumente el valorde la riqueza inicial y vuelva a calcular las primas de riesgo correspondientes. Como secomparan con las primeras? (Dele valores especıficos a los parametros W0, e y p.)

Capıtulo 6

Informacion Asimetrica

Problema del agente principal (Riesgo moral)

Suponga que existe un principal, que en la mayorıa de los casos es la firma, y un agente,trabajador de la firma. El principal quiere contratar al trabajador pero el nivel de producciondepende del comportamiento (esfuerzo) del agente y este no es observable por el principal(informacion asimetrica). El problema consiste en que el principal proponga el contratooptimo para inducir al agente a realizar la accion que mas los beneficie (a la firma) cuandosolo se pueden observar las consecuencias y no las acciones del agente.

El anterior problema surge cuando los individuos, principal (P ) y agente (A), estan involu-crados en un intercambio donde las acciones de A afectan a P pero no son observables porP . Consideremos el siguiente ejemplo, donde a =esfuerzo; a1 =esfuerzo bajo; a2 =esfuerzoalto. Observe la siguiente tabla de probabilidades y recuerde que el esfuerzo del A incide enel nivel de produccion o retorno:

a1 a2 Retorno0.6 0.1 00.3 0.3 1000.1 0.6 400

Se observa que si A se esfuerza mucho la probabilidad de que el retorno del P sea 0 es muybaja 0 y la probabilidad de que el retorno sea 400 es alta (0.6); por otro lado, si el A seesfuerza poco, la probabilidad de que el retorno sea 0 es alta (0.6) y la probabilidad de que elretorno sea 400 es baja (0.1).

Supuestos:

1) El P tiene una funcion de utilidad inicial en el producto

Beneficio esperado =∑

piRi −∑

piwi, w = salario

(el principal es neutral al riesgo).

83

84 CAPITULO 6. INFORMACION ASIMETRICA

2) El A tiene una funcion de utilidad concava en w (el salario) y decreciente en a.

Ej: U(w, a) = −e−w − a, o U(w, a) = lnw − a.

3) P no puede monitorear la accion de A, solo observa el producto o retorno.

4) Tanto el A como el P son maximizadores de utilidad.

5) Si A no trabaja en la firma, tiene un nivel de reserva U .

Planteamiento del problema

El P le ofrece al A un contrato contingente en los resultados:

R1 −→ w1

R2 −→ w2

R3 −→ w3

Este contrato debe:

1. Ser aceptable para el A

2. Inducir al A a esforzarse

3. Ser optimo para P (debe maximizar el beneficio esperado)

Preguntas:

¿Como serıa el contrato si las acciones fueran observables ? (first best)

¿Como serıa el contrato con acciones no observables? (costos de la incertidum-bre)

Problema del P induciendo esfuerzo al A

Elegir un contrato (w1, w2, w3) tal que se maximice el beneficio esperado

Max∑

piRi −∑

piwi; sujeto a dos restricciones

1. Restriccion de participacion (R.P.) (racionalidad individual)

Si el P quiere que el A elija una determinada accion debera cumplirse que el A quieraelegir esa accion y no irse de la firma.

Por ejemplo, UEa=a2 ≥ U (utilidad de reserva)

85

2. Restriccion de incentivos (R.I.) (compatibilidad de incentivos)

Si el P quiere que el A escoja una determinada accion, por ejemplo a2, debe cumplirseque el A quiera elegir a2 y no a1 o cualquier otra accion.

Por ejemplo, UEa=a2 ≥ UEa=a1

Nota: Este problema de maximizacion se debe realizar para cada posible accion del A,suponiendo que cada accion quiere ser implementada sobre las demas y al final escogerla que brinde mayor utilidad al P .

Caso 1. Agente averso al riesgo y principal neutral

Suponga U(w, 1) =√

w − a; U = a y tambien suponga la siguiente tabla de probabilidades:

a1 = 0 a2 = 5 Retorno0.6 0.1 00.3 0.3 1000.1 0.6 400

1) Contrato optimo si las acciones son observables:

Se calculan los retornos esperados (RE) para la firma

RE(a = 5) = 0.1(0) + 0.3(100) + 0.6(400) = 270

RE(a = 0) = 0.6(0) + 0.3(100) + 0.1(400) = 70

Ahora, para que el A acepte el contrato esforzandose a = 5:

U(w, a) ≥ (U) ⇒ √w − a ≥ U

⇒ √w − 5 ≥ 9 ⇒ w ≥ 196

Nota: Para que el A se esfuerce a = 5 hay que ofrecerle un salario ligeramente superiora 196; por ejemplo 196+ ε. Dado que ε puede ser muy pequeno, por facilidad se suponeque el salario que acepta es 196.

Beneficio esperado (BE) para P

BE(a = 5) = 270− 196 = 74

Para que el A acepte el contrato esforzandose a = 0:

U(w, a) ≥ U ⇒ √w − 0 ≥ 9 ⇒ w ≥ 81

BE(a = 0) = 70− 81 = −11


Dado el BE para el P en los dos niveles de esfuerzo del A, un contrato optimo para Py A serıa:

w∗ =

{196 si a = 5,

0 si a = 0.

2) Contrato optimo si las acciones de A no son observables:

Suponga que se quiere implementar el esfuerzo alto. Escoger w1, w2 y w3 tal que

Max 270− (0.1w1 + 0.3w2 + 0.6w3) s.a

(RP ) : 0.1(√

w1 − 5) + 0.3(√

w2 − 5) + 0.6(√

w3 − 5) ≥ 9 y

(RI) : 0.1(√

w1 − 5) + 0.3(√

w2 − 5) + 0.6(√

w3 − 5) ≥ 0.6(√

w1 − 0) + 0.3(√

w2 − 0) +0.1(

√w3 − 0)

Sea w1 = x21, w2 = x2

2 y w3 = x23

El problema anterior se convierte en:

Max 270− (0.1x21 + 0.3x2

2 + 0.6x23) s.a

(RP ) : 0.1(x1 − 5) + 0.3(x2 − 5) + 0.6(x3 − 5) ≥ 9

(RI) : 0.1(x1 − 5) + 0.3(x2 − 5) + 0.6(x3 − 5) ≥ 0.6x1 + 0.3x2 + 0.1x3

Ası,

L = 270− 0.1x21− 0.3x2

2− 0.6x23 +λ(0.1x1 +0.3x2 +0.6x3− 14)+µ(−0.5x1 +0.5x3− 5).

Solucionando el Lagrangeano se obtiene:

x1 = 5.42 ⇒ w1 = 29.4x2 = 14 ⇒ w2 = 196x3 = 15.42 ⇒ w3 = 238.04

Contrato optimo si acciones del A no son observables:

w1 = 29.4 si R = 0w2 = 14 si R = 100w3 = 238.04 si R = 400

Beneficio esperado del principal

BE = 270− (0.1(29.4) + 0.3(196) + 0.6(238.04)) = 65.4

Perdida debida a la informacion asimetrica:

Perdida = 74− 65.4 = 8.569.

Ahora, suponga que el P quiere implementar el esfuerzo bajo por parte del A.

Max 70− (0.6w1 + 0.3w2 + 0.1w3) s.a

87

(RP ) : UEa=a1 ≥ U

(RI) : UEa=a1 ≥ UEa=a2

Resolviendo la maximizacion se obtiene:

w1 = 57.32; w2 = 81; w3 = 308.75

Ası, el BE = −19.57

Por esta razon el P decide implementar el contrato que se describio anteriormente, enel cual se incentiva al A a esforzarse a = 5, y obtener un BE = 65.4, en el caso en quelas acciones no son observables.

Caso 2. Agente y principal neutrales al riego

Dado que tanto la funcion objetivo como las restricciones son lineales, el problema no se puedesolucionar por los metodos tradicionales.

Suponga lo siguiente:

a = 0 a = 25 Retorno0.6 0.1 00.3 0.3 1000.1 0.6 400

U(w, 1) = w − a; U = 81Retorno esperado del P con acciones observables:

RE(a = 0) = 70; RE(a = 5) = 270

Para que el A se esfuerce a = 25, se debe pagar:

w tal que w − a ≥ 81 ⇒ w ≥ 106

⇒ BE del P (a = 25) = 270− 106 = 164Para que el A se esfuerce a = 0 hay que pagarle:

w tal que w − a ≥ 81 ⇒ w ≥ 81

⇒ BE del P (a = 0) = 70− 81 = −11Ahora, si las acciones no son observables, se le ofrece el siguiente contrato contingente en

los resultados al A

Si R = 0 ⇒ w = −164; (0− 164)Si R = 100 ⇒ w = −64; (100− 64)Si R = 400 ⇒ w = 236; (400− 164)


De esta manera, el P se asegura 164 de beneficios y le “vende” la firma al A. Observe larazon: Considere las utilidades del A dado el anterior contrato:

UE(a = 25) = 0.1(−164− 25) + 0.3(−64− 25) + 0.6(236− 25) = 81

UE(a = 0) = 0.6(−164) + 0.3(−64) + 0.1(236) = −94

El A escogera realizar esfuerzo alto (a=25).

Mercado de los limones - planteamiento A

Suponga el siguiente mercado de carros usados: existen usados malos (limones) en una pro-porcion en el mercado de 2

3 ; tambien existen usados buenos (duraznos) en una proporcion de13 . Esta proporcion es conocida por todos. Suponga que un limon vale $2000 para un com-prador y $1000 para un vendedor, y que un durazno vale $3000 para un comprador y $2500para un vendedor. Estas disposiciones a comprar y vender tambien son conocidas. Supongaque hay una oferta fija de carros usados mientras la demanda es ilimitada.

Caso 1.Si la calidad de los automoviles es observable, ¿Cuales autos se venderıan y a que precio?

Rta / Se venden todos los carros; los limones a 2000 y los duraznos a 3000 dado que lademanda es ilimitada y la oferta es fija.

Caso 2.Si la calidad no es observable para compradores ni para vendedores, ¿Cuales carros se venderıany a que precio?

Rta / Se venden todos los carros al mismo precio:

Valor esperado (VE) = 23 × 2000 + 1

3 × 3000 = 2333.3 = Precio

Caso 3. (Mas usual) Informacion asimetricaSi el vendedor conoce la calidad del auto y el comprador no, ¿Cuales autos se venden y a queprecio ?

Escenarios de precios:Si p < 1000; no se venden autosSi 1000 < p < 2500; el vendedor sabe que no habra duraznos en el mercado, ası que solo

se venderan limones a $ 2000.Si p > 2500; el comprador sabe que el vendedor podrıa enganarlo ası que para el puede

haber tanto limones como duraznos a ese precio.⇒ Dado que las proporciones son 2

3 y 13 para autos malos y buenos, respectivamente:

V E = 2333 y P > 2500; no se venden autos en el mercado a este rango de precios.En conclusion se venden unicamente limones a $2000 y no hay intercambio de duraznos.

Mercado de los limones - planteamiento BAhora suponga que cambian las proporciones de autos buenos y malos en el mercado, y

que el resto del problema sigue igual.

89

13 de los autos son limones y 2

3 son duraznos:

⇒ V E = $26666.6⇒ Rango de precios bajo informacion asimetrica:

Si p < 1000, no se vende ningun auto

Si 1000 < p < 2500, solo se venden limones a 2000

Si p > 2500, el comprador sabe que se ofreceran ambos tipos de autos en el mercado ycomo el valor esperado es 2666.6 se venderan ambos autos en el mercado.

Nota: Observe que el vendedor de duraznos estarıa dispuesto a someterse a un costo adicional(senal de mercado) con el objetivo de diferenciarse del vendedor de limones, como por ejemploofrecer una garantıa sobre la calidad del carro.

Senales de calidad en el mercado de trabajo

En el modelo anterior la parte no informada (P ) “jugaba primero”; es decir la primera acciondel juego era ofrecer un contrato optimo que hiciera al A tomar la accion deseada. Por elcontrario, en el modelo que se vera a continuacion, la parte informada juega primero y emiteuna senal que puede revelar informacion sobre un tipo (ej: si es bueno o es malo).

Sin embargo, esta senal tiene un costo que depende de su tipo, por ejemplo en el caso anterior,al vendedor de limones le sale mas costoso someterse a una garantıa que al vendedor deduraznos.

Suponga que un empleador contrata a unos trabajadores, cuya habilidad innata es conocidasolamente por cada trabajador. Las proporciones de trabajadores de habilidad alta y bajason iguales, y esta informacion es conocida por todo el mundo.

t = 1; habilidad baja /p = 1/2habilidad

t = 2; habilidad alta /p = 1/2

Suponga tambien que las firmas contratan en un mundo competitivo y que los trabajadoresse educan entre 0 y 20 anos: e ∈ [0, 20]

Un trabajador de tipo t produce para la firma exactamente t · e, pero la firma no conoce t(fuente de la incertidumbre).

Los trabajadores tienen la siguiente funcion de utilidad.

Ut(w, e) = f(w)−Ktg(e)

f es creciente y concava, g es creciente y convexa, y Kt > 0.

Nota: Observe que U depende de tNote que las curvas de indiferencia de los trabajadores de tipo 1 y 2 se cortan solo una

vez (esto se genera por supuesto del modelo). Note tambien que como al trabajador tipo 1


Grafico 6.1: Curvas de indiferencia - trabajadores tipo 1 y 2

le cuesta mas educarse, cada aumento en educacion debe acompanarse de un aumento en elsalario mayor al del tipo 2 (mayor pendiente de la curva de indiferencia del tipo 1).

Ası, k1 > k2

Ej:U1(w, e) =

√w − 2e

U2(w, e) =√

w − e

Casos de informacion completa

Suponga que la firma conoce la habilidad del trabajador (t)

a) ¿Cuanto le paga a cada tipo de trabajador ?

Dado que el mercado es competitivo

w = e si t = 1, w = 2e si t = 2

a) ¿Cual nivel de educacion elige cada tipo de trabajador ?

t = 1 maxU1(w, e) s.a w = e → e∗1

t = 2 maxU2(w, e) s.a w = 2e → e∗2

Observe que el trabajador de tipo 2 decide educarse mas que el trabajador de tipo 1.

Casos de informacion incompleta

91

Grafico 6.2: Senales de calidad en el mercado laboral

Para solucionar este modelo surgen dos alternativas. El modelo de Spence determina laeducacion de cada trabajador de acuerdo a una funcion de creencias sobre su salario, w(e).El modelo de Rothschild y Stiglitz presenta a la firma ofreciendo un menu de contratos paraque el trabajador revele su tipo. En el primer modelo existen equilibrios separador y conjuntomientras en el segundo modelo solo existe el equilibrio separador.

Modelo de Spence (t no observable)

Los trabajadores eligen el nivel de educacion (e) anticipando una funcion w(e) esforzandoel salario que podrıa recibir en el futuro para cada nivel de e. En este modelo se define unequilibrio de Spence como:

a) Una funcion de salarios anticipados w(e), ∀e;

b) πt(e); determina la probabilidad condicional de que un trabajador tipo t elija un nivele en el equilibrio de modo que:

1. ∀w(e) πt(e) > 0 sii Ut(w(e), e) ≥ Ut(w(e′), e′) ∀e′;

2. w(e) =0.5π1(e)

0.5π1(e) + 0.5π2(e)· e +

0.5π2(e)0.5π1(e) + 0.5π2(e)

· 2e;

dado que 0.5π1(e) + 0.5π2(e) > 0; donde

0.5πi(e)0.5π1(e) + 0.5π2(e)

es la probabilidad de que el trabajador tipo i elija el nivel de educacion ∀i = 1, 2.


Equilibrio Separador:

Todos los trabajadores de tipo 1 eligen e1

Todos los trabajadores de tipo 2 eligen e2

}e1 6= e2

La firma paga: w1 = e1 a los trabajadores tipo 1 y w2 = 2e2 a los trabajadores tipo 2.

Equilibrio conjunto:

Todos los trabajadores eligen e∗, en cuyo caso la firma paga w = 1.5e∗

Grafico 6.3: Equilibrio separador

Modelo de Rothschild y Stiglitz

En este caso la firma ofrece un menu de contratos:

{(w1, e1), (w2, e2), . . . , (wk, ek)}; πt

El trabajador conoce su habilidad y conociendo su menu de contratos se educa.πt = distribucion de probabilidades para cada tipo de trabajador t sobre la lista de contratos.

Tenga en cuenta lo siguiente:

1. Cada trabajador maximiza su utilidad al elegir un contrato.

2. wj ≤ 0.5π1(j)0.5π1(j) + 0.5π2(j)

· ej +0.5π2(j)

0.5π1(j) + 0.5π2(j)· 2ej

3. No existen contratos adicionales a los del menu que de ser ofrecidos generan beneficiospositivos para la firma.

93

Grafico 6.4: Equilibrio conjunto

Resultados del modelo

1. Los contratos aceptados generan beneficios esperados iguales a cero por trabajador parala firma.

2. No existen equilibrios conjuntos

3. No existen equilibrios hıbridos

4. Solo puede haber un equilibrio separador

¿Porque no existen equilibrios conjuntos?• = menu de contratos.A = Un punto como A es una opcion de beneficios positivos para la firma. En A todos

los trabajadores tipo 2 quieren trabajar mientras que los trabajadores de tipo 1 no estaninteresados.

La firma le paga a los trabajadores de tipo 2 menos de 2e y producen 2e (dado que todoslos trabajadores son de tipo 2)

4. ¿Como se encuentra el equilibrio separador ?f1 representa el lugar donde al trabajador tipo 1 le da lo mismo educarse e1 y recibir w = e

a educarse f1 y recibir w = 2e

f1/U1(w = e1, e) = U1(w = 2f1, f1)

Para encontrar e2:maxU2(w, e) s.a w = 2e, e ≥ f1.


Grafico 6.5: Menu de contratos: no existe equilibrio conjunto

Grafico 6.6: Equilibrio separador

95


1. Construir un ejemplo de un problema de agente - principal en el cual para el principalsea demasiado costoso ofrecer un sistema de incentivos para inducir al agente a esfuerzoalto, es decir que su beneficio esperado dejando que el agente participe en la firma y nose esfuerce es superior que su beneficio esperado con el mecanismo de incentivos paraesfuerzo alto.

2. Plantear el problema 3 del capıtulo 16 de Kreps (1990), en donde el pricipal contratados agentes, y el producto depende de las acciones combinadas de los dos agentes.


Referencias

1. Existence and optimality of competitive equilibrium. C.D. Aliprantis, D.J. Brown andO. Burkinshaw. Springer - Verlag 1990

2. Optimal Statistical Decisions. Morris De Groot. Mc Graw Hill. 1970

3. The Analytics of Uncertainty and Information. Jack Hirshleifer and John G. Riley.Cambridge Surveys of Economic Literatura. Cambridge University Press. 1992

4. A Course in Microeconomic Theory. David M. Kreps. Princeton University Press. 1990

5. Microeconomic Theory. Andrew Mas Colell, Michael D. Whinston and Jerry R. Green.Oxford University Press. 1995

6. Microeconomic Analysis. Hal R. Varian. W.W. Norton and Company, Inc. ThirdEdition 1992

microeconom¶‡a avanzada notas de claseel presente documento recoge las notas de clase del curso...

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